OPTIMAL BLADE DESIGN FOR WINDMILL BOATS AND VEHICLES B. L. B l a c k f o r d P h y s i c s D e p a r t m e n t D a l h o u s i e U n i v e r s i t y H a l i f a x , Canada B3H 3 J 5 A b s t r a c t T h i s p a p e r d i s c u s s e s t h e t h e o r e t i c a l p r o b l e m o f d e s i g n i n g t h e o p t i m a l w i n d m i l l b l a d e f o r u s e o n w i n d m i l l b o a t s a n d v e h i c l e s . T h e a n a l y s i s shows t h a t t h e o p t i m a l d e s i g n f o r t h i s a p p l i c a t i o n i s c o n s i d e r a b l y d i f f e r e n t f r o m t h a t f o r a c o n v e n t i o n a l s t a t i o n a r y w i n d m i l l . A p r a c t i c a l p r o c e d u r e f o r b l a d e d e s i g n i s g i v e n , and e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f r o m a 4 m c a t a m a r a n b o a t , u s i n g a A m d i a m e t e r w i n d t u r b i n e , and f r o m a w h e e l e d v e h i c l e , u s i n g a 1.2 m d i a m e t e r w i n d t u r b i n e , a r e p r e s e n t e d . The b o a t a c h i e v e s a n u p w i n d speed o f -503! o f t h e w i n d s p e e d and t h e v e h i c l e a c h i e v e s " 1 0 0 2 , i n a g r e e m e n t w i t h t h e o r y . 1. INTBODÖCriON A w i n d m i l l boat i s a w i n d - d r i v e n b o a t i n w h i c h a w i n d m i l l t y p e a i r t u r b i n e i s m e c h a n i c a l l y c o u p l e d t o an u n d e r w a t e r p r o p e l l e r . K i n e t i c energy e x -t r a c -t e d f r o m -t h e w i n d by -t h e w i n d m i l l b l a d e s i s used by t h e underwater p r o p e l l e r t o push t h e b o a t d i r e c t l y a g a i n s t t h e w i n d . F i g . 1 . The b o a t moves f o r w a r d because t h e moraentum added t o t h e w a t e r c a n be g r e a t e r t h a n t h a t removed f r o m the a i r , d e s p i t e u n a v o i d a b l e energy l o s s e s i n t h e system. I n a s i m i l a r manner, a wheeled v e h i c l e can move a g a i n s t the w i n d b y c o u p l i n g t h e w i n d m i l l b l a d e s t o a d r i v i n g w h e e l . I n a d d i t i o n t o t h e c a p a b i l i t y o f s a i l -i n g d -i r e c t l y upw-ind, w -i n d m -i l l b o a t s and v e h -i c l e s can a l s o s a i l a t any o t h e r d i r e c t i o n r e l a t i v e t o the w i n d , by o r i e n t i n g t h e w i n d m i l l b l a d e t o f a c e t h e a p p a r e n t w i n d , F i g . 1 . H i s t o r i c a l l y , t h e concept o f w i n d m i l l b o a t s and v e h i c l e s c a n be t r a c e d back t u the e a r l y 1900*8, b y numerous p a t e n t s and p u b l i s h e d a r t i c l e s i n Europe and America.^'-) More r e c e n t l y , i n t e r e s t i n w i n d
p r o p u l s i o n was r e v i v e d by t h e " o i l c r i s i s " and t h e subsequent s e a r c h f o r a l t e m a t i v e energy s o u r c e s . ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) D u r i n g t h e p a s t s e v e r a l y e a r s we have worked on t h e t h e o r y o f w i n d m i l l b o a t s and v e h i c l e s and have c a r r i e d o u t niogerous
experiment8^5),(6), ( 7 ) _ o b j e c t i v e was t o d e v e l o p a f u n d a m e n t a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e s e d e v i c e s and, t h e r e b y , t o i d e n t i f y t h e p a r a m e t e r s w h i c h a r e i i i { > o r t a n t f o r t h e i r e f f i c i e n t , f a s t o p e r a t i o n . I n the p r e s e n t paper we e x t e n d t h i s work t o t h e p r o b l e m o f d e s i g n i n g t h e o p t i m a l w i n d m i l l b l a d e f o r t h i s a p p l i c a t i o n . A d e t a i l e d account o f t h e g e n e r a l t h e o r y o f w i o d m i l l b o a t s and v e h i c l e s i s g i v e n i n r e f e r e n c e s ( 5 ) and ( 6 ) .
2. BLADE ELEMEOT THEOKÏ
2.1 WIND BLADE
The modem t h e o r y o f p r o p e l l e r d e s i g n , and a l s o o f w i n d m i l l b l a d e d e s i g n , was d e v e l o p e d d u r i n g t h e e a r l y 1900's by B e t z , P r a n d t l and G o l d s t e i n .
A t h o r o u g h r e v i e w o f t h e s u b j e c t was g i v e n b y G l a u e r t ^ l ' ' ^ and we f o l l o w h i s a p p r o a c h and n o t a t i o n w h e r e p o s s i b l e . More r e c e n t l y , t h e p r o p e l l e r t h e o r y was r e v i v e d by L a r r a b e e ^ 1 1 ) , t a i l o r e d t o c o m p u t e r use and a p p l i e d t o s e v e r a l c a s e s , t h e m o s t n o t a b l e s u c c e s s b e i n g an i m p r o v e d p r o p e l l e r f o r t h e Gossamer A l b a t r o s s raan-pouered m o n o p l a n e . O u r o b j e c t i v e h e r e i s t o use and e x t e n d t h i s p r o -p e l l e r t h e o r y t o d e s i g n t h e o -p t i m u m w i n d m i l l b l a d e a n d u n d e r w a t e r p r o p e l l e r f o r a w i n d m i l l b o a t . L e t W b e t h e w i n d s p e e d and assume t h a t t h e c r a f t t r a v e l s s t r a i g h t u p w i n d * a t a s p e e d u , e x p r e s s e d as u - f W. F o r g i v e n u/W, we s e e k t o o p t i m i z e t h e b l a d e d e s i g n so as t o m a x i m i z e t h e n e t f o r w a r d f o r c e . R e f e r r i n g t o F i g , 2, t h e a p p a r e n t w i n d s p e e d e x p e r i e n c e d by t h e r o t a t i n g b l a d e e l e m e n t a t r a d i u s r i s g i v e n b y
V - C [ ( u + W ) ( l - a ) ] ^ + ( ( l + a ' ) n r f ) l / 2 ( i )
w h e r e t h e q u a n t i t y a e x p r e s s e s t h e f r a c t i o n a l d e c r e a s e i n t h e w i n d by t h e t i m e i t r e a c h e s t h e p r o p e l l e r and q u a n t i t y a* a c c o u n t s f o r t h e i n d u c e d r o t a t i o n o f t h e w i n d f i e l d a t t h e p r o p e l l e r t l O J . The q u a n t i t y a s a t i s f i e s 0 < a < l / 2 and b o t h a and a' d e p e n d on r and a r e f u n c t i o n a l l y r e l a t e d t o e a c h o t h e r . I f t h e p r o p e l l e r was a b s e n t , o r i n o p e r a -t i v e , a and a' w o u l d be z e r o and -t h e a p p a r e n -t w i n d f e l t by t h e b l a d e w o u l d be s i m p l y ( u + W ) . The p o w e r e x t r a c t e d f r o m t h e w i n d by t h e b l a d e e l e m e n t s o f l e n g t h d r i s g i v e n by t h e p r o d u c t o f the t a n g e n t i a l c o m p o n e n t o f t h e a e r o d y n a m i c f o r c e a c t i n g o n t h e b l a d e e l e m e n t t i m e s t h e t a n g e n t i a l v e l o c i t y c o m p o n e n t o f t h e b l a d e e l e m e n t , f ! r . T h a t i s .dP = ^ycm^iCi sin4i-CDC0s«)rir d r ( 2 )
w h e r e N i s t h e number o f b l a d e s , ^ i s t h e a p p a r e n t w i n d a n g l e , p y i s t h e a i r d e n s i t y , c i s t h e c h o r d a n d C L and Cp a r e t h e l i f t a n d d r a g c o e f f i c i -e n t s o f t h -e b l a d -e -e l -e m -e n t , r -e s p -e c t i v -e l y j F i g . 2. Gj^ a n d Cp d e p e n d u p o n t h e p a r t i c u l a r a e r o f o i l s e c t i o n u s e d and upon i t s a n g l e o f a t t a c k w i t h r e s p e c t t o t h e v e l o c i t y V. The f o r w a r d f o r c e , dF, d e r i v e d f r o m t h e p o w e r dP c a n be e x p r e s s e d as w h e r e C i s t h e o v e r a l l e f f i c i e n c y f a c t o r **o£ t h e d r i v i n g m e c h a n i s m , 0 < 4 < 1 . The d r i v i n g m e c h a n i s m c o n s i s t s o f t h e d r i v e s h a f t , g e a r s , b e a r i n g s and u n d e r w a t e r p r o p e l l e r , o r d r i v e w h e e l f o r t h e c a s e o f t h e v e h i c l e . The u n d e r w a t e r p r o p e l l e r i s t h e m a j o r s o u r c e o f i n e f f i c i e n c y f u r the c a s e o f che b o a t . A s s o c i a t e d w i t h t h e e x t r a c t i o n o f p o w e r f r o m t h e w i n d , t h e r e i s a b a c k w a r d s f o r c e , d F y , on t h e a i r t u r b i n e w h i c h i s g i v e n by t h e l o n g i t u d i n a l c o m p o n e n t o f t h e a e r o d y n a m i c f o r c e a c t i n g on t h e b l a d e e l e m e n t s , i . e . dF„ = - P ^ C N V ^ C C L C O S * + C D s i n ^ ) d r . ( 4 ) 2 The n e t f o r w a r d f o r c e ( d F - d F y ) i s g i v e n by c o m b i n i n g E q n s . ( 2 ) , ( 3 ) and ( 4 ) : d F - d F y = -pycGLNV^[c_5. ( s i n i( i e cos4>) -( c o s i j i+ e s i n ^ ) ] d r ( 5 ) w h e r e e » Cp/C^ i s t h e d r a g t o l i f t r a t i o o f t h e a e r o f o i l s e c t i o n . I n t r o d u c i n g t h e d i m e n s i o n -l e s s s p e e d r a t i o s = n r / ( u + W ) ( 6 ) and n o t i n g t h a t , f r o m momentum c o n s i d e r a t i o n s , t h e b a c k w a r d s f o r c e c a n be e x p r e s s e d i n t h e a l t e r n a t i v e f o r m t l O ^ , d F y = 2 p ( ^ ( u + W ) ^ a ( l - a ) 2 i i r d r , ( 7 ) The n e t f o r w a r d f o r c e , E q n . ( 5 ) , c a n t h e n be w r i t t e n as dF-dFw = 4TrpHR^(u+W)^ l Ü^ ^ H ( s ) s ds ( 8 ) S w h e r e R i s t h e p r o p e l l e r t i p r a d i u s , S = fiR/(u+W) i s Che t i p s p e e d r a t i o , f = u/W and t h e f u n c t i o n H ( s ) i s g i v e n by d F - CdP/u ( 3 ) ( a ) * F o r s i m p l i c i t y , we l i m i t t h e d i s c u s s i o n h e r e t o t h e u p w i n d d i r e c t i o n , w i t h the i n t e n t i o n o f p u b l i s h i n g t h e c o m p l e t e t h e o r y a t a l a t e r d a t e . ( b ) * * 5 i s f u n d a m e n t a l l y d i f f e r e n t f r o m t h e e f f i c i e n c y f a c t o r n u s e d i n o u r p r e v i o u s p u b l i c a t i o n s '•^'°>'K
104
H ( . ) -
C ( X n / f ) .
[Cl-')-^"*"')']
- I . ( 9 ) [(l»«').+c(l-a)] I n t e g r a t i n g E q n , ( 8 ) o v e r t h e b l a d e l e n g t h f r o m c e n t r e t o t i p , we g e t t h e t o t a l n e t f o r w a r d f o r c e , n o r m a l i c e d f o r a g i v e n p r o p e l l e r r a d i u s a n d a p p a r e n t w i n d s p e e d , i . e . F N E T 1 s " - ƒ a ( l - a ) H ( a ) a ds . ( 1 0 ) 4 » P w ? ( u + W ) * o Our o b j e c t i v e i s t o d e s i g n t h e b l a d e s o as t o m a x i m i z e F j j g j w i t h r e s p e c t t o t h e v a r i o u s p a r a m e t e r s . F i r s t l y , we s e e f r o m Eqn. ( 9 ) t h a t t h e e f f i c i e n c y C m u s t be l a r g e i f h i g h b o a t s p e e d s , f ^ 0,5, a r e t o be o b t a i n e d . S m a l l v a l u e s o f t h e d r a g / l i f t r a t i o , e, a r e a l s o h e l p f u l . S e c o n d l y , we k e e p C, f a n d E f i x e d and a d d r e s s t h e p r o b l e m o f m a x i -m i z i n g fffg^j. w i t h r e s p e c t t o a ( s ) , a'Cs) and S, F o r t u n a t e l y , a ' ( a ) d e p e n d s on a ( a ) a n d i t c a n be shown, a f t e r a c o n s i d e r a b l e number o f s t e p s w h i c h a r e o m i t t e d h e r e , t h a t « ' ( s ) - - i ( l + e / s ) + i / ( l + e / s ) 2 + 4 a [ ( l - a ) / s 2 - E / 8 ] ( U ) w h i c h i s a n e x a c t r e l a t i o n , i n c o n t r a s t t o t h e a p p r o x i m a t e r e l a t i o n u s e d b y L a r r a b e e ^ We a r e t h e n l e f t w i t h t h e p r o b l e m o f o p t i m i z i n g a ( s ) . I t i s v e r y d i f f i c u l t , i f n o t i m p o s s i b l e , t o f i n d a n e x a c t a n a l y t i c a l f u n c t i o n f o r t h e o p t i m a l a ( a ) , so we c h o s e i n s t e a d t o u s e an e m p i r i c a l t e c h n i q u e . a C s ) was c h o s e n t o m a x i m i z e FjigT» E q n s , ( 9 , 1 0 ) , f o r a s e r i e s o f d i s c r e t e v a l u e s o f s, r a n g i n g f r o m a"0 t o s"S. T h i s e m p i r i c a l f o r m f o r aia) was t h e n a p p r o x i m a t e d b y a c o n v e n i e n t a n a l y t i c a l f o r m . I n t h i s way we f o u n d t h a t •Cs) - a„(l-exp(-28)) ( 1 2 ) a p p r o x i m a t e s t h e o p t i m a l a ( a ) w i t h i n l O Z . N o t e t h a t a ( s ) d e v i a t e s s i g n i f i c a n t l y f r o m t h e c o n s t a n t v a l u e a j , o n l y f o r s < 2, d e c r e a s i n g t o z e r o a t • - 0 . • F i g . ( 3 ) shows p l o t s o f t h e n o r m a l i z e d F ^ E T V B S f r o m E q n . ( 1 0 ) , f o r w h i c h a ( s ) was a p p r o x i m a t e d by E q n , ( 1 2 ) a n d t h e o t h e r p e r t i n e n t p a r a m e t e r s w e r e E " 0 , 0 2 , f " 0 , 5 a n d C"0,8. C u r v e s a r e shown f o r s e v e r a l v a l u e s o f a^ and i t c a n be s e e n t h a t ag • 0,21 g i v e s t h e maximumFjfjx
v a l u e s o f t h e t i p s p e e d r a t i o , S, H o w e v e r , i t s h o u l d be e m p h a s i z e d h e r e t h a t t h e o p t i m a l v a l u e o f a ^ d e p e n d s upon t h e o t h e r p a r a m e t e r s , p a r t i c u l a r l y t h e b o a t s p e e d f r a c t i o n , f . F o r e x a m p l e , i f f = l t h e n = 0.13 w o u l d g i v e t h e nwximom T^^j. T h i s r e s u l t i s somewhat c o u n t e r i n t u i t i v e b e c a u s e i t s a y s t h a t a t h i g h e r b o a t s p e e d s t h e p r o p e l l e r m u s t be d e s i g n e d t o e x t r a c t e v e n l e s s e n e r g y f r o m t h e w i n d , t o o b t a i n t h e maximum p o s s i b l e n o r m a l i z e d , F „ g j . O f c o u r s e , t h e v a l u e o f t h e maximum F^g^j d e c r e a s e s as t h e b o a t s p e e d i n c r e a s e s See F i g . ( 6 ) . I t i s i n t e r e s t i n g t o c o m p a r e t h e a b o v e r e s u l t t o t h e c a s e o f a s t a t i o n a r y w i n d m i l l w h e r e t h e o p t i m i z a t i o n c o n d i t i o n i s s i m p l y t o o b t a i n t h e maximum p o s s i b l e p o w e r o u t p u t , r e g a r d l e s s o f t h e b a c k w a r d s f o r c e on t h e w i n d m i l l b l a d e . T h e w e l l - k n o w n r e s u l t f o r t h i s c a s e i s t h a t t h e o p t i m a l a ( s ) i s g i v e n by a ( 8 ) = 1/3, e x c e p t f o r a r e d u c t i o n o f a few p e r c e n t f o r 8 < 1 . T h i s i s a v e r y much d i f f e r e n t r e s u l t f r o m t h e c a s e o f a w i n d m i l l b o a t o r v e h i c l e , w h i c h we h a v e p r e s e n t e d h e r e . The d e p e n d e n c e o f F^gx °" o t h e r p a r a m e t e r s i n E q n . ( 1 ) i s shown i n F i g s . ( 4 ) , ( 5 ) a n d ( 6 ) . The e f f i c i e n c y f a c t o r C h a s t h e g r e a t e s t e f f e c t o n FuET, as c a n be s e e n i n F i g . ( 4 ) . R e d u c t i o n o f 5 f r o m 1,0 t o 0.6 r e d u c e s Fj^gf b y a f a c t o r o f s e v e n , f o r t h e p a r t i c u l a r c h o i c e o f t h e o t h e r p a r a m e t e r s g i v e n i n t h e f i g u r e - F o r t h e c a s e o f t h e b o a t , t h e u n d e r w a t e r p r o p e l l e r i s t h e m a j o r s o u r c e o f i n e f f i c i e n c y a n d we t h e r e f o r e see t h e n e e d f o r g o o d u n d e r w a t e r p r o p e l l e r d e s i g n . T h i s i s d i s c u s s e d f u r t h e r i n s e c t i o n s ( 2 . 2 ) a n d ( 3 . 2 ) . The e f f e c t o f t h e d r a g / l i f t r a t i o , E , i s shown i n F i g . ( 5 ) , w h e r e i t c a n be s e e n t h a t l o w v a l u e s o f e a r e v e r y i m p o r t a n t , p a r t i c u l a r l y a t t h e h i g h e r t i p s p e e d r a t i o s . S m a l l v a l u e s o f E a r e o b t a i n e d b y u s i n g good a e r o f o i l s e c t i o n s , c o m b i n e d w i t h h i g h a s p e c t r a t i o b l a d e s and h i g h q u a l i t y c o n s t r u c t i o n m e t h o d s . T h e e f f e c t o f t h e b o a t s p e e d f r a c t i o n , f , i s shown i n F i g . ( 6 ) , The g e n e r a l r e s u l t i s t h a t FJJET d e c r e a s e s r a t h e r r a p i d l y as b o a t s p e e d i n c r e a s e s . O f c o u r s e , t h e o p t i m a l v a l u e o f i s d i f f e r e n t f o r e a c h v a l u e o f f , as d i s c u s s e d p r e v i o u s l y and as shown i n F i g , ( 6 ) . T h e d e p e n d e n c e o f F(JET ^^P * p e e d r a t i o , S, o f t h e w i n d m i l l b l a d e c a n be s e e n i n a l l o f t h e F i g s , ( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 ) and ( 6 ) , F o r e x a m p l e , i n F i g , ( 5 ) , w h i c h shows F ^ E T ^ s e v e r a l v a l u e s o f e , i t c a n be s e e n t h a t t h e b e s t v a l u e o f S i s S ~ 5 f o r e - 0.01 and S = 2.5 f o r E = 0.05. F r o m a p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w , E = 0.01 w o u l d be v e r y d i f f i c u l t t o a c h i e v e , w h e r e a s one c a n e a s i l y a c h i e v e E = 0,05, o r l e s s . We h a v e e x p e r i m e n t e d w i t h w i n d m i l l b l a d e s h a v i n g d e s i g n e d t i p s p e e d r a t i o s o f 2.8 and 6, r e s p e c t i v e l y , a n d t h e r e s u l t s a r e d i s c u s s e d b e l o w i n s e c t i o n ( 4 . 2 ) .105
2.2 H A T E R B L A D E I t i s o f t h e u t m o s t i m p o r t a n c e t h a t t h e u n d e r w a t e r p r o p e l l e r b l a d e s be d e s i g n e d t o o p e r a t e a t a h i g h e f f i c i e n c y , as c a n be s e e n f r o m F i g . ( 4 ) . F o r t u n a t e l y , t h e t h e o r y o f m i n i m u m i n d u c e d l o s s p r o p e l l e r s d o e s e x i s t i n t h e l i t e r a t u r e ^ ' 0 ) gnd h a s r e c e n t l y been p u t i n t o a c o n v e n i e n t c o m p u t a -t i o n a l f o r m by L a r r a b e e w h i c h we u s e h e r e . I n p r a c t i c e , i t i s p o s s i b l e t o o b t a i n t ~ 0.8 t o 0.9. The r e s u l t i n g b l a d e s a r e r a t h e r l o n g a n d n a r r o w , a s p e c t r a t i o " 8 , a n d a r e a p p r o x i m a t e l y 25X o f t h e l e n g t h o f t h e c o r r e s p o n d i n g w i n d m i l l b l a d e s w h i c h t h e y a r e d e s i g n e d co m a t c h . The p r o p e l l e r h a s t h e a p p e a r a n c e o f an a i r p l a n e p r o p e l l e r , as o p p o s e d t o a c o n v e n t i o n a l m a r i n e p r o -p e l l e r . I t w o u l d be d e s i r a b l e t o h a v e C > 0.9 b u t t h e r e s u l t i n g b l a d e s become so l o n g a n d n a r r o w t h a t s t r u c t u r a l p r o b l e m s a r e e n c o u n t e r e d , a t l e a s t when n o r m a l p r o p e l l e r m a t e r i a l s , s u c h as b r o n z e o r a l u m i n i u m , a r e u s e d . A p r a c t i c a l p r o c e d u r e f o r d e s i g n i n g t h e u n d e r w a t e r b l a d e s i s g i v e n i n s e c t i o n ( 3 . 2 ) .
3. PRACTICAL PROCEDURE FOR BLADE DESIGN
w h e r e a ( s ) i s d e t e r m i n e d b y E q n . ( 1 2 ) and a' ( B ) b y Eqn. ( 1 1 ) . The a p p a r e n t w i n d a n g l e as a f u n c t i o n o f b l a d e r a d i u s , i t i ( r ) , c a n be f o u n d b y m a k i n g u s e o f E q n . ( 6 ) , w h e r e i s g i v e n b y 3.1 WIND BLADES F i r s t l y , c h o o s e a v a l u e f o r t h e r e l a t i v e b o a t s p e e d , u/W = f . F o r e x a m p l e , s u p p o s e we c h o o s e u/W " 0,5 a n d assume t h a t we w i s h t o o p e r a t e i n a w i n d s p e e d o f W = 10 m/s i~ 20 k n o t s ) . The b o a t w o u l d t h e n be m o v i n g t h r o u g h t h e w a t e r a t a speed u = 5 m/s, w h i c h w o u l d r e q u i r e a c e r t a i n n e t f o r c e , d e p e n d i n g o n t h e t y p e a n d s i z e o f b o a t . T h i s f o r c e c a n be d e t e r m i n e d e x p e r i m e n t a l l y by t o w i n g t h e b o a t a n d m e a s u r i n g t h e t e n s i o n i n t h e Cow l i n e . The o p t i m a l v a l u e s o f w i n d s p e e d r e d u c t i o n , a^,, and t i p s p e e d r a t i o , S, a r e t h e n d e t e r m i n e d f r o m E q n s , ( 1 0 ) a n d ( 1 2 ) , a s p l o t t e d i n F i g . ( 3 ) . F o r t h i s e x a m p l e , ao = 0 . 2 1 a n d S = 3.5 a r e t h e b e s t c h o i c e s , w h e r e t h e b e s t v a l u e o f S d e p e n d s somewhat o n t h e v a l u e o f d r a g / l i f t r a t i o , s e e F i g . ( 5 ) . H a v i n g d e t e r m i n e d a n d S i n t h i s m a n n e r , t h e b l a d e t i p r a d i u s c a n be d e t e r m i n e d f r o m F i g , ( 5 ) and a k n o w l e d g e o f t h e r e q u i r e d n e t f o r c e . F o r t h e p r e s e n t e x a m p l e , s u p p o s e t h a t a n e t f o r c e o f 600 N e w t o n s i s r e q u i r e d t o move t h e b o a t a t u = 5 m/s. I f we assume t h a t e = 0.03, w h i c h i s e a s i l y a c h i e v e d , t h e n one f i n d s f r o m F i g , ( 5 ) t h a t R = 1,90 m, w h e r e P y = 1,12 kg/ra^ was u s e d f o r t h e a i r d e n s i t y . fi = S (u+W)
(lA)
F o r o u r e x a m p l e , fi " 27,5 r a d / s e c u n d e r t h e a s s u m e d o p e r a t i n g c o n d i t i o n s . F o r p u r p o s e s o f b l a d e c o n s t r u c t i o n , i t i s c o n v e n i e n t t o c a l c u l a t e ^ f o r a s e r i e s o f d i s c r e t e v a l u e s o f r a d i i f r o m r • 0 t o r = R, as shown i n T a b l e 1 , The a c t u a l a n g l e b e t w e e n t h e c h o r d l i n e o f t h e a e r o f o i l s e c t i o n a n d t h e r o t o r p l a n e i s g i v e n by ( i ( i- a ) , w h e r e a i s t h e a n g l e o f a t t a c k , see F i g . ( 2 ) , N e x t , t h e s i z e o f t h e c h o r d as a f u n c t i o n o f r a d i u s c a n be d e t e r m i n e d f r o m t h e e x p r e s s i o n .C - i l L s i n ^ * c o s * [ a / ( l - a ) + a ' / ( l + a ' ) ] ( 1 5 )
N C L w h i c h c a n be d e r i v e d f r o m t h e b a s i c t h e o r y O-"). The v a l u e o f t h e l i f t c o e f f i c i e n t , C L , i s d e t e r m i n e d b y t h e c h o i c e o f a e r o f o i l s e c t i o n a n d b y t h e a n g l e o f a t t a c k , a. We h a v e u s e d a N A C A - A A 1 2 a e r o f o i l , T a b l e I , and a l s o a Wortraan FX63-137 O f c o u r s e , t h e s i z e o f t h e c h o r d i s i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e number o f b l a d e s , N , w h i c h o n e c h o o s e s t o u s e ; N=A i n T a b l e 1 . T h e o u t p u t p o w e r g i v e n i n t h e c a p t i o n o f T a b l e 1 w a s o b t a i n e d by n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n o f E q n . ( 2 ) . S i m i l a r l y , t h e b a c k w a r d s f o r c e on t h e b l a d e s a n d t h e n e t f o r w a r d f o r c e was o b t a i n e d b y n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n o f E q n s . ( A ) a n d ( 5 ) , r e s p e c t i v e l y . I t i s w o r t h n o t i n g h e r e t h a t t h i s b l a d e d e s i g n w i l l c o n t i n u e t o be o p t i m a l a t o t h e r v a l u e s o f t h e w i n d s p e e d p r o v i d e d t h a t t h e d r a g f o r c e o n t h e b o a t ( o r v e h i c l e ) d e p e n d s on t h e s q u a r e o f t h e b o a t ( o r v e h i c l e ) s p e e d , u ^ ( 5 , 6 ) _ T h i s means t h a t t h e b o a t ( o r v e h i c l e ) s h o u l d o p e r a t e a t u/W " 0.5 f o r a w i d e r a n g e o f w i n d s p e e d s , W. P e r f o r m a n c e a t v e r y l o w w i n d s p e e d s w o u l d be l i m i t e d b y f r i c t i o n i n t h e g e a r s , e t c . , a n d a t h i g h w i n d s p e e d s b y m e c h a n i c a l f a i l u r e o r c a p s i z e ! T h e d r a g f o r c e i s r e a s o n a b l y a p p r o x i m a t e d b y a u ^ d e p e n d e n c e f o r c a t a m a r a n t y p e h u l l s ( a n d v e h i c l e s ) b u t n o t f o r h e a v y d i s -p l a c e m e n t h u l l s , whose d r a g f o r c e i n c r e a s e s v e r y r a p i d l y n e a r h u l l s p e e d . The a p p a r e n t w i n d a n g l e , if, i s d e t e r m i n e d b y t h e r e l a t i o n * ( 3 ) t a n _ l r l , l - a1(-'J:1-)]
s 1+a'(13)
I t i s a l s o w o r t h n o t i n g t h a t , a l t h o u g h t h e a i r t u r b i n e o f T a b l e 1 g i v e s t h e maximum p o s s i b l e n e t f o r w a r d f o r c e f o r a g i v e n R, i t may n o t b e t h e b e s t c h o i c e f o r some a p p l i c a t i o n s . To b e s p e c i f i c , s u p p o s e t h a t we c h o o s e t o o p e r a t e t h e a i r t u r b i n e a t a v a l u e o f 8^=0.10 i n s t e a d o f a o - 0 . 2 1 , w h i l e m a i n t a i n i n g t h e same b o a t s p e e d u/W"0.5 a n d k e e p i n g t h e o t h e r p a r a m e t e r s t h e same. One t h e n f i n d s .106
f r o m t h e t h e o r y , t h a t a l a r g e r t u r b i n e r a d i u s , R=2.25 ra, i a r e q u i r e d t o a c h i e v e t h e same n e t
f o r w a r d f o r c e . H o w e v e r , t h e b a c k w a r d s f o r c e , F r ^ e O O N e w t o n s , i s now s m a l l e r t h a n b e f o r e ( 9 0 0 N ) , w h i c h i s an a d v a n t a g e s i n c e i t r e d u c e s t h e b a c k w a r d s p i t c h i n g moment when s a i l i n g u p w i n d and r e d u c e s t h e h e e l i n g moment when s a i l i n g o f f - w i n d . The d i s a d v a n t a g e i s t h a t one has a l o n g e r p r o p e l l e r and a t a l l e r m a s t s t r u c t u r e . 3.2 WATER BLADES To c o m p l e t e t h e s y s t e m i t i s n e c e s s a r y t o d e s i g n an u n d e r w a t e r p r o p e l l e r t o p r o p e r l y m a t c h t h e a i r t u r b i n e . To do t h i s , we use t h e c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e w o r k e d o u t by L a r r a b e e The r e q u i r e d i n p u t p a r a m e t e r s a r e ; s h a f t p o w e r , s h a f t s p e e d , b o a t s p e e d , p r o p e l l e r r a d i u s and d r a g / l i f t r a t i o o f t h e a e r o f o i l ( h y d r o f o i l i n t h i s c a s e ) s e c t i o n u s e d . As an e x a m p l e , we g i v e , i n T a b l e 2, t h e d e t a i l e d p a r a m e t e r s o f an u n d e r w a t e r p r o p e l l e r d e s i g n e d t o m a t c h t h e e x a m p l e w i n d t u r b i n e o f T a b l e 1 . The t h e o r e t i c a l e f f i c i e n c y o f t h i s u n d e r w a t e r p r o p e l l e r i s " 0 . 8 5 . A l l o w i n g f o r l o s s e s o f a f e w p e r c e n t i n t h e r i g h t a n g l e d r i v e g e a r s and b e a r i n g s , we o b t a i n C"0.82 f o r t h e o v e r a l l e f f i c i e n c y . I n T a b l e 2, t h e s h a f t power o f 9000 w a t t s was o b t a i n e d f r o m T a b l e 1 , a l l o w i n g f o r a 5Z l o s s i n t h e g e a r s and b e a r i n g s . The s h a f t s p e e d o f 55 r a d / s e c t a k e s i n t o a c c o u n t a g e a r r a t i o o f 2,0 i n t h e r i g h t a n g l e d r i v e u n i t s , i . e . t h e u n d e r w a t e r p r o p e l l e r r o t a t e s 2.0 t i m e s f a s t e r t h a n t h e a i r p r o p e l l e r , i n t h i s e x a m p l e . The p r o p e l l e r r a d i u s o f R=0.35 m was c h o s e n somewhat a r b i t r a r i l y t o e n s u r e t h a t C>0.8. i ; d e c r e a s e s r a p i d l y as R i s d e c r e a s e d . F o r e x a m p l e , C-O.66 f o r R=0.2 m, w h i c h w o u l d d r a s t i c a l l y r e d u c e t h e n e t f o r w a r d f o r c e . F i g . 4. The a c t u a l a n g l e b e t w e e n Che c h o r d l i n e o f t h e a e r o f o i l s e c t i o n and t h e r o t o r p l a n e i s g i v e n by (^+a) i n t h i s c a s e , w h e r e a i s a g a i n t h e a n g l e o f a t t a c k . F i g . ( 7 ) . F o r a NACA-4412 a e r o f o i l s e c t i o n , i t i s r e a s o n a b l e t o use C L = 0.8 and a = 4*.
4, EXPERIMENTAL RESULTS AND DISCUSSION
4 . 1 WINDMILL VEHICLE I n t w o p r e v i o u s p u b l i c a t i o n s ^ 6 , / ; „g r e p o r t e d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f r o m a w i n d m i l l v e h i c l e c o n s i s t i n g o f a 1.2 m d i a m e t e r a i r t u r b i n e m o u n t e d on an a l u m i n u m t u b e f r a m e w o r k i n a t i - i c y c l e c o n f i g u r a t i o n . Two d i f f e r e n t t u r b i n e t y p e s w e r e t e s t e d : one 4 - b l a d e d w i t h a t i p speed r a t i o o f a b o u t 2.5 and one 2 - b l a d e d w i t h a t i p speed r a t i o o f a b o u t 5. The e x p e r i m e n t a l r e s u l c s g a v e u/W " 0.45 ± 0.05 i n a w i n d s p e e d r a n g e o f 3 t o 8 ra/sec. T h o s e t u r b i n e b l a d e s w e r e n o t o f a p a r t i c u l a r l y g o o d q u a l i t y , a e r o d y n a m i c a l l y s p e a k i n g , and w e r e n o t d e s i g n e d a c c o r d i n g t o t h e t h e o r y g i v e n i n t h e p r e s e n t p a p e r . I n F i g . ( 8 ) we p r e s e n t new d a t a f r o m t h e same w i n d v e h i c l e u s i n g a new t u r b i n e d e s i g n e d a c c o r d i n g t o t h e p r e s e n t t h e o r y and u s i n g NACA-4412 a e r o f o i l s e c t i o n s . As can b e s e e n f r o m t h e f i g u r e , t h e v e h i c l e a c h i e v e s u/W - 0.85 ± 0,07 i n a w i n d s p e e d r a n g e o f 4 t o 8 m/sec. an i m p r o v e m e n t b y n e a r l y a . f a c t o r o f t w o . The a i r t u r b i n e u s e d was a 2 - b l a d e d one h a v i n g a d e s i g n e d t i p s p e e d r a t i o o f 3, T h r e e d i f f e r e n t d r i v e w h e e l s i z e s w e r e t r i e d ( 2 0 , 24 a n d 28 cm d i a m e t e r ) b p t c a u s e d no s i g n i f i c a n t c h a n g e i n p e r f o r m a n c e . The t u r b i n e o p e r a t e s n e a r e s t t o i t s d e s i g n e d t i p s p e e d r a t i o when t h e 20 c n w h e e l i s u s e d . S t a l l i n g o c c u r s w i t h a 38 cm w h e e l . The e x p e r i m e n t s w e r e d o n e i n n a t u r a l w i n d c o n d i t i o n s on a f l a t a s p h a l t s u r f a c e h a v i n g a n u n o b s t r u c t e d w i n d f i e l d o f a b o u t 1,5 km. The s p e e d s w e r e m e a s u r e d b y t i m i n g t h e v e h i c l e a t 6 m i n t e r v a l s o v e r a 30 m r u n u p w i n d . The w i n d s p e e d s w e r e m e a s u r e d by a c u p - t y p e a n e m o m e t e r , w h i c h was l a t e r c a l i b r a t e d i n a w i n d t u n n e l a g a i n s t an NRC* S t a n d a r d , S l i p p a g e o f t h e d r i v e w h e e l was n o t e n c o u n t e r e d i n r e l a t i v e w i n d s p e e d s ia*V) o f up t o 13 m/sec, t h e m a x i n u m e n c o u n t e r e d . I t s h o u l d be n o t e d . F i g . ( 8 ) , t h a t t h e v e h i c l e a c h i e v e d u/H ^ 1 i n some o f t h e r u n s . I n o u r o p i n i o n , t h i s i s p r o b a b l y more r e p r e s e n t a t i v e o f t h e s p e e d c a p a b i l i t y when a l l c o n d i t i o n s a r e o p t i m a l , i . e . when t h e v e h i c l e i s t r a c k i n g e x a c t l y u p w i n d i n a s t e a d y w i n d f i e l d . 4.2 WINDMILL BOAT I n a p r e v i o u s p a p e r we r e p o r t e d r e s u l t s f r o m a w i n d m i l l b o a t c o n s i s t i n g o f a 4 m A q u a c a t c a t a m a r a n u s i n g a 2 - b l a d e d ( 3 . 0 5 m d i a m e t e r ) a i r t u r b i n e w i t h a t i p s p e e d r a t i o o f 5. The u n d e r w a t e r p r o p e l l e r was 0.9 m a n d was a l s o o f t h e 2 - b l a d e d t y p e w i t h a t i p s p e e d r a t i o o f 5. I n t h a t s y s t e m , i n c o n t r a s t t o F i g . ( 1 ) , t h e a i r t u r b i n e and p r o p e l l e r w e r e m o u n t e d on o p p o s i t e e n d s o f a l o n g , s t r a i g h t d r i v e s h a f t , i n c l i n e d ac 25° t o t h e l ^ o r i z o n t a l ' ^ i ^ ) . S i n c e t h e o r i e n t a t i o n o f t h e a i r t u r b i n e was f i x e d , i t c o u l d s a i l o n l y u p w i n d o r d o w n w i n d , b u t n o t a t o t h e r a n g l e s t o t h e w i n d . A l s o , t h e e f f i c i e n c y was somewhat r e d u c e d b e c a u s e t h e t u r b i n e was n o t p e r p e n d i c u l a r t o t h e w i n d , e v e n when g o i n g u p w i n d . The s y s t e m d i d h a v e one a d v a n t a g e , i n t h a t t h e b a c k w a r d p i t c h i n g moment e n c o u n t e r e d w i t h t h e a r r a n g e m e n t o f F i g , ( l ) was e s s e n t i a l l y a b s e n t . I n t h e u p w i n d d i r e c t i o n i t g a v e u/W - 0,34 ± 0,05 and i n t h e d o w n w i n d d i r e c t i o n , u/W - 0.25 ± .05. We now p r e s e n t e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f r o m a w i n d m i l l b o a t u s i n g t h e same c a t a m a r a n , b u t w i t h t h e * N a c i o n a l R e s e a r c h C o u n c i l o f C a n a d a , O t t a w a ,
c o n f i g u r a t i o n shown i n F i g . ( l ) . A s i m i l a r d e s i g n was a l s o u s e d b y J . B a t e s w i t h t h i s a r r a n g e m e n t t h e b o a t c a n s a i l i n any d i r e c t i o n by o r i e n t i n g t h e a i r t u r b i n e t o f a c e t h e a p p a r e n t w i n d . When s a i l i n g u p w i n d , i n h i g h w i n d s , t h e r e i s a c o n s i d e r a b l e b a c k w a r d s p i t c h i n g moment t e n d i n g t o l i f t t h e b o a t a t t h e bow and t o d i g i n a t t h e s t e r n . T h i s g r e a t l y i n c r e a s e s t h e d r a g o f t h e b o a t a n d , t o c o r r e c t t h i s , a h y d r o f o i l was i n s t a l l e d a t the r e a r o f t h e b o a t , as shown i n F i g . ( 1 ) . S i n c e the p i t c h i n g moment i s p r o p o r t i o n a l t o ( u + W ) 2 and the h y d r o f o i l l i f t f o r c e i s p r o p o r t i o n a l t o u ^ , we see t h a t t h e p r o p e r b a l a n c e i s m a i n t a i n e d o v e r a w i d e r a n g e o f w i n d s p e e d s , i f u i s l i n e a r l y p r o p o r t i o n a l t o W. The l a t e r i s a f a i r l y g o o d a p p r o x i m a t i o n f o r t h e c a t a m a r a n , see F i g s . ( 9 , 1 0 ) . We h a v e t e s t e d t w o d i f f e r e n t a i r t u r b i n e s y s t e m s , a s l o w s p e e d 4 - b l a d e d one and a h i g h speed 2 - b l a d e d t y p e . The r e l e v a n t p a r a m e t e r s a r e g i v e n i n T a b l e 3 and t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a r e g i v e n i n F i g s . ( 9 ) a n d ( 1 0 ) , r e s p e c t i v e l y . The w i n d s p e e d s w e r e m e a s u r e d b y a c u p anemometer and t h e b o a t s p e e d s w e r e m e a s u r e d f r o m m o v i e f i l m s t a k e n w i t h a h i g h q u a l i t y m o v i e c a m e r a . The e x p e r i m e n t s w e r e d o n e i n r e l a t i v e l y s h e l t e r e d w a t e r s , h a v i n g an u n o b s t r u c t e d w i n d f i e l d o f a b o u t 1 km. The 4 - b l a d e d s y s t e m , F i g , ( 9 ) , a c h i e v e d an a v e r a g e v a l u e o f u/w = 0.48 ± .03 u p w i n d , i n w i n d s p e e d s f r o m W = 3.5 t o 7.5 m/s, w i t h a downward t r e n d a t the h i g h e r w i n d s p e e d s . I n t h e d o w n w i n d d i r e c t i o n , i t a c h i e v e d u/W = 0,32, The 2 - b l a d e d s y s t e m , F i g . ( 1 0 ) , a c h i e v e d an a v e r a g e v a l u e o f u/W = 0.53 ± ,03 u p w i n d , i n w i n d s p e e d s f r o m W - 3.0 t o 7.3 m/s, a g a i n w i t h a d o w n w a r d t r e n d a t h i g h e r w i n d s p e e d s . I n t h e d o w n w i n d d i r e c t i o n , i t a c h i e v e d u/W = 0.45. The d o w n w a r d t r e n d o f u/W a t h i g h e r s p e e d s s u g g e s t s t h a t t h e d r a g f o r c e o f t h e c a t a m a r a n h u l l i s i n c r e a s i n g f a s t e r t h e n u ^ i n t h i s s p e e d r a n g e . We do n o t h a v e d e t a i l e d t e s t r e s u l t s f o r s a i l i n g i n o t h e r d i r e c t i o n s w i t h r e s p e c t t o t h e w i n d , b u t q u a l i t a t i v e o b s e r v a t i o n s s u g g e s t C h a t t h e u p w i n d p e r f o r m a n c e i s m a i n t a i n e d f o r 0 < X < 60°, w h e r e \ i s t h e a n g l e b e t w e e n t h e t r u e w i n d and t h e b o a t c o u r s e . F o r 6 0 * < X < 1 8 0 * , t h e p e r f o r m a n c e g r a d u a l l y d i m i n i s h e s t o t h e d o w n w i n d v a l u e a s t h e b o a t g o e s f a r t h e r o f f - w i n d . I t i s r e l e v a n t t o e m p h a s i z e t h a t t h e a i r t u r b i n e u s e d h e r e i s o p t i m a l o n l y f o r u p w i n d p e r f o r m a n c e . The o p t i m a l t u r b i n e f o r o f f w i n d and d o w n w i n d p e r f o r m a n c e w o u l d be d i f f e r e n t . The d e t a i l s a r e n o t g i v e n h e r e , b u t one f i n d s t h a t Che o p t i m a l v a l u e o f a^ i n c r e a s e s as one g o e s f u r t h e r o f f - w i n d , r e a c h i n g " 0.4 i n t h e d o w n w i n d d i r e c t i o n f o r o u r e x a m p l e w h e r e f = 0.5. A c o n t r o l l a b l e p i t c h s y s t e m w o u l d be n e e d e d t o a c h i e v e t h i s i n p r a c t i c e . We h a v e a l s o made q u a l i t a t i v e c o m p a r i s o n s w i t h c o n v e n t i o n a l s a i l b o a t s . G o i n g s t r a i g h t u p w i n d i n wind» o f W « 4 t o 8 m/s, t h e w i n d m i l l b o a t p e r f o r m s v e r y w e l l , e a s i l y p a s s i n g r a c i n g raonohulls o f 8 -10 ra l e n g t h . G o i n g d o w n w i n d u n d e r t h e same c o n d i t i o n s , t h e w i n d m i l l b o a t a p p e a r s t o be somewhat s l o w e r t h a n a c o n v e n t i o n a l s a i l b o a t . I n w i n d s o f W < 2 m/s i t p e r f o r m s r a t h e r p o o r l y , w h i c h i s p r e s u m a b l y due t o f r i c t i o n i n t h e d r i v e t r a i n . The 4 - b l a d e d a i r t u r b i n e h a d a d e s i g n e d t i p s p e e d r a t i o , S=2.8 and a d e s i g n e d v a l u e o f t h e w i n d s p e e d r e d u c t i o n f a c t o r a^, = 0.14. The l a t t e r means t h a t t h i s t u r b i n e w o u l d be o p t i m a l f o r a s y s t e m o p e r a t i n g a t u/W = 0.9, w h e r e a s t h e b o a t a c h i e v e d a/W = 0.5, f o r w h i c h = 0.21 i s o p t i m a l , see F i g s . ( 3 ) and ( 6 ) . The 2 - b l a d e d t u r b i n e d i d h a v e ao = 0 . 2 1 . The a i r t u r b i n e r o t a t i o n a l s p e e d s , f i , w e r e a l s o m e a s u r a b l e f r o m t h e m o v i e f i l m s and t h e s e r e s u l t s w e r e u s e d t o make p l o t s o f 0 v s (u+W). The r e l a t i o n s h i p was a l i n e a r o n e , as e x p e c t e d , and f r o m t h e s l o p e o f t h e g r a p h one c a n g e t t h e o b s e r v e d t i p s p e e d r a t i o . The r e s u l t s ( u p w i n d ) w e r e 2.6 ± 0.2 f o r t h e 4 - b l a d e d s y s t e m and 6.0 ± 0.4 f o r t h e 2 - b l a d e d s y s t e m , r e s p e c t i v e l y . T h e s e r e s u l t s c o m p a r e v e r y f a v o u r a b l y w i t h t h e d e s i g n e d v a l u e s o f 2.8 and 6.0, r e s p e c t i v e l y . T h i s means t h a t t h e a i r t u r b i n e s w e r e o p e r a t i n g v e r y c l o s e t o t h e i r d e s i g n e d p o i n t . On t h e d o w n w i n d r u n s t h e o b s e r v e d t i p s p e e d r a t i o s w e r e somewhat h i g h e r , w h i c h i s e x p e c t e d b e c a u s e o f t h e r e d u c e d l o a d i n g u n t h e u n d e r w a t e r p r o p e l l e r . The a d v a n t a g e s a n d d i s a d v a n t a g e s o f l o w t i p s p e e d r a t i o v e r s u s h i g h t i p s p e e d r a t i o a r e o f i n t e r e s t . F i r s t l y , c o n s i d e r l o w t i p s p e e d r a t i o s , 8 ^ 4 . A c c o r d i n g t o t h e t h e o r y p r e s e n t e d h e r e ( F i g s . 3 , 4 , 5 , 6 ) , a t i p s p e e d r a t i o o f ~ 3.5 s h o u l d g i v e the maximum F j ^ g f , w h i c h i s one a d v a n t a g e . O t h e r a d v a n t a g e s a r e t h e s a f e r o p e r a t i o n a s s o c i a t e d w i t h l o w e r r o t a t i o n a l s p e e d s and t h e l a c k o f a e r o d y n a m i c n o i s e . H o w e v e r , t o o p e r a t e e f f i c i e n t l y i n t h i s r a n g e , t h e p r o p e l l e r m u s t h a v e 3 o r 4 b l a d e s , o t h e r w i s e t h e d e t r i m e n t a l e f f e c t s ^^^^ o f a s m a l l e r number o f b l a d e s becomes t o o i m p o r t a n t . The d i s a d v a n t a g e s o f t h i s a r e t h e e x c e s s w e i g h t and b l a d e a r e a a l o f t , as w e l l as a d d i t i o n a l c o s t . S e c o n d l y , c o n s i d e r h i g h t i p s p e e d r a t i o s , S ^ 5, I n t h i s r a n g e o n l y 2 - b l a d e s a r e r e q u i r e d , w i t h t h e a d v a n t a g e o f l e s s w e i g h t , l e s s a r e a and l e s s c o s t . The d i s a d v a n t a g e s a r e t h e v e r y h i g h c e n t r i f u g a l f o r c e s and a e r o d y n a m i c n o i s e a s s o c i a t e d w i t h t h e h i g h e r r o t a t i o n a l s p e e d s . I n a d d i t i o n , t h e n e t f o r w a r d f o r c e i s e x p e c t e d t o be somewhat l e s s , F i g s , ( 3 , 4, 5, 6 ) , F i g , ( 5 ) shows t h a t t i p s p e e d r a t i o s l e s s t h a n 2 s h o u l d d e f i n i t e l y n o t be u s e d , w h i c h r u l e s o u t t h e m u l t i - b l a d e d A m e r i c a n - f a r m t y p e w i n d m i l l . A t t h e h i g h s p e e d e n d , i t i s p r o b a b l y n o t u s e f u l t o e x c e e d a t i p s p e e d r a t i o o f 7, s i n c e E < 0.02 i s n o t e a s i l y a c h i e v e d i n p r a c t i c e . The a s p e c t r a t i o o f t h e b l a d e s i s a l s o v e r y r e l e v a n t t o t h i s d i s c u s s i o n , s i n c e l o w a s p e c t r a t i o s l e a d t o h i g h e r e f f e c t i v e v a l u e s o f e.
108
5. CONCLUDING REMARKS TABLE 2 The m a i n p o i n t s t o be d r a w n f r o m t h e p r e s e n t s t u d y c a n b e s u m m a r i z e d as f o l l o w s : ( 1 ) We g i v e a n a n a l y s i s o f t h e t h e o r e t i c a l p r o b l e m o f d e s i g n i n g t h e o p t i m a l w i n d m i l l b l a d e f o r u s e on w i n d m i l l b o a t s and v e h i c l e s s a i l i n g s t r a i g h t u p w i n d . The a n a l y s i s shows t h a t t h e o p t i m a l b l a d e d e s i g n i s c o n s i d e r a b l y d i f f e r e n t f r o m t h a t f o r a s t a t i o n a r y p o w e r w i n d m i l l ; ( 2 ) We g i v e a p r a c t i c a l p r o c e d u r e f o r d e s i g n i n g t h e o p t i m a l w i n d m i l l b l a d e f o r u s e o n a b o a t m o v i n g u p w i n d a t a c e r t a i n f r a c t i o n o f t h e w i n d s p e e d , p r o v i d e d o n l y t h a t t h e b o a t ' s d r a g c h a r a c t e r i s t i c s a r e k n o w n ; ( 3 ) We a l s o o u t l i n e t h e p r o c e d u r e f o r d e s i g n i n g a n u n d e r w a t e r p r o p e l l e r b l a d e t o m a t c h c h e w i n d m i l l b l a d e ; ( 4 ) U s i n g t h e a b o v e t h e o r y , we h a v e d e s i g n e d a n d b u i l t t w o w i n d m i l l / p r o p e l l e r s y s t e m s ; (5) T h e s e p r o p u l s i o n s y s t e m s h a v e b e e n t e s t e d ( u p w i n d ) o n a 4 m c a t a m a r a n h u l l a n d t h e e x p e r i m e n t a l b o a t s p e e d s a g r e e d c l o s e l y w i t h t h e t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s , w h i c h s u p p o r t s t h e t h e o r y ; ( 6 ) We a r e c o n t i n u i n g t h i s s t u d y w i t h a v i e w t o e s t a b l i s h i n g t h e o p t i m a l p r o p e l l e r d e s i g n f o r t h e o f f - w i n d a n d d o w n - w i n d s a i l i n g d i r e c t i o n s . r • <^*CL [ c m ] [ d e g ] [ c m ] 3.5 71.4 1.93 7.0 56.0 4.68 10.5 44.7 5.86 14.0 36.6 5.88 17.5 30.7 5,40 21.0 26.3 4,74 24,5 23.0 4 . 0 1 28.0 20.4 3,20 31,5 18.3 2 , 2 1 35,0 16.5 2.04 T a b l e 2. R e l e v a n t p a r a m e t e r s f o r a 2 - b l a d e d u n d e r w a t e r p r o p e l l e r d e s i g n e d t o m a t c h t h e w i n d t u r b i n e o f T a b l e 1 . The d r a g / l i f t r a t i o u s e d w a s € = 0.03 a n d t h e i n p u t s h a f t power was assumed t o be 9000 w a t t s a t a r o t a t i o n r a t e o f 55 r a d / s e c . See t e x t f o r f u r t h e r d i s c u s s i o n . TABLE 3 I m ] 0,1 0,3 0.5 0,7 0,9 1,1 1.3 1.5 1,7 1,9 TABLE 1 [ d e g ] 69,8 50.4 3 8 , 1 30.0 24,6 20.7 17.9 15.7 14.0 12,6 4 - B l a d e d S y s t e m 2 - B l a d e d S y s t e m 0,102 0.276 0.318 0 . 3 0 1 0.269 0.238 0.210 0.188 0.169 0,153 T a b l e 1 , R e l e v a n t p a r a m e t e r s f o r a 4 - b l a d e d w i n d t u r b i n e d e s i g n e d t o o p e r a t e a t a b o a t s p e e d u/W " 0.5 i n a w i n d s p e e d o f W =- 10 m/s. The r o t a t i o n r a t e i a « - 27.5 r a d / s e c . T h e t i p s p e e d r a t i o i s 3.5, t h e assumed e f f i c i e n c y i s C = 0.82, a n d t h e d r a g / l i f t r a t i o i s e 0.03. r = r a d i u s , • -a p p -a r e n t w i d e -a n g l e , c = c h o r d -and C ^ = l i f t c o e f f i c i e n t . T h e o u t p u t power i a 9400 w a t t s , t h e b a c k w a r d f o r c e o n t h e b l a d e s i s 900 N e w t o n s and t h e n e t f o r w a r d f o r c e i s 600 N e w t o n s , I f a NACA-4412 a e r o f o i l s e c t i o n i s u s e d t h e n i t i s r e a s o n a b l e t o assume t h a t C L " 0.8 a t a n a t t a c k a n g l e o f a = 4*. The a c t u a l c h o r d s i z e s c a n t h e n be c a l c u l a t e d f r o m t h e l a s t c o l u m n i n t h e t a b l e . See t e x t f o r f u r t h e r d i s c u s s i o n . A i r W a t e r A i r W a t e r # o f B l a d e s , N 4 2 2 2 B l a d e r a d i u s , R(ra) 1.8 0.35 1.9 0.40 T i p s p e e d r a t i o , S 2.8 4.5 6.0 3.8 RPM 210 610 4 5 0 4 5 0 P r o p mass ( k g ) 12 2 7 2 F o i l s e c t i o n NACA-4 NACA-4 1 2 FX67K-150 FX63-137 FX67K 150 T a b l e 3. R e l e v a n t p a r a m e t e r s o f t h e p r o p e l l e r s y s t e m s t e s t e d on t h e w i n d m i l l b o a t . T h e RPM n u m b e r s a r e f o r w = 10 m/s and u - 5 m/s. T h e t h e o r e t i c a l n e t f o r w a r d f o r c e ( F - F y ) i s 400 N e w t o n s f o r t h e 4 - b l a d e d s y s t e m and 6 0 0 Newtons t h e 2 - b l a d e d s y s t e m . The t h e o r e t i c a l b a c k w a r d s f o r c e F y i s 550 N e w t o n s f o r t h e 4 - b l a d e d s y s t e m and 900 N e w t o n s f o r t h e 2 - b l a d e d s y s t e m . f o r
• F i g . I . S k e t c h o f a w i n d m i l l b o a t ( c a t a r m a r a n ) s a i l i n g s t r a i g h t u p w i n d . The w i n d t u r b i n e c a n b e r o t a t e d a b o u t t h e v e r t i c a l m a s t s o as t o f a c e t h e a p p a r e n t w i n d , a l l o w i n g t h e b o a t t o be s a i l e d i n a n y d i r e c t i o n w i t h o u t t a c k i n g . F„ i s t h e b a c k w a r d f o r c e on t h e w i n d t u r b i n e , F i s t h e f o r w a r d f o r c e p r o d u c e d h y t h e u n d e r w a t e r p r o p e l l e r a n d Fp i s t h e d r a g f o r c e o f t h e w a t e r o n t h e b o a t . T h e n e t f o r c e (F-F„) p r o d u c e s t h e f o r w a r d s p e e d , u , o f t h e b o a t , a t w h i c h F-F„-Fn = 0. T h e u n d e r w a t e r h y d r o f o i l a t t h e r e a r o f t h e b o a t c o u n t e r a c t s t h e r e a r w a r d p i t c h i n g moment d u e t o t h e f o r c e s F „ , F and F p .
X 1 0
- 2 F i g . 3. N o r m a l i z e d n e t f o r w a r d f o r c e v e r s u s t i p s p e e d r a t i o , s h o w i n g t h e e f f e c t o f t h e w i n d s p e e d r e d u c t i o n p a r a m e t e r a^,. B o t h a x e s a r e d i m e n s i o n l e s s . To o b t a i n F U E T i n n e w t o n s one m u s t m u l t i p l y b y 4 I I P „ R 2 ( U + W ) 2 . See Eqn. ( 1 0 ) .x t e
- 2^0 =. 0.21
E- 0.03
f = 0.5
F i g . 4. N o r m a l i z e d n e t f o r w a r d f o r c e v e r s u s t i p s p e e d r a t i o , s h o w i n g t h e e f f e c t o f t h e e f f i c i e n c y f a c t o r{u+W)(l*a)
F i g . 7. S k e t c h o f a c r o s s s e c t i o n o f t h e u n d e r w a t e r p r o p e l l e r b l a d e e l e m e n t , s h o w i n g t h e w a t e r v e l o c c o m p o n e n t s i m p i n g i n g o n t h e b l a d e e l e m e n t .1.5^
1.0
u/W
0.5
Q -20 Cill wheel
^ - 24 on wheel
• - 28 an wheel
• A D6
W (m/s)
P i g s . 8. E x p e r i m e n t a l r e . s u l t s ( u / H v s W) f o r a w i n d m i l l v e h i c l e u s i n g a t u r b i n e d e s i g n e d a c c o r d i n g t o t h e o r y p r e s e n t e d h e r e .113
J 1 1 1 1 — I
3 4 5 6 7 8
W (m/s)
F i g . 9. E x p e r i m e n t a l r e s u l t s (u/W v s W) f o r a w i n d m i l l b o a t u s i n g a 4 - b I a d e d a i r t u r b i n e s y s t e m . E a c h p o i n t o n t h e g r a p h r e p r e s e n t s an a v e r a g e o f s e v e r a l r u n s . F i g . 10. E x p e r i m e n t a l r e s u l t s ( u / H v s W) f o r a w i n d m i l l b o a t u s i n g a 2 - b l a d e d a i r t u r b i n e s y s t e m . E a c h p o i n t r e p r e s e n t s an a v e r a g e o f s e v e r a l r u n s .REFERENCES 1. S c h u i t , J o a c h i m 1971. " C u r i o u s y a c h t i n g i n v e n t i o n s " . T r a n s , by I n g e Moore. 1 9 7 4 . T a p l i n g e r P u b l i s h i n g Co, I n c . , N.Y. 2. M a r t i n , S. 1975, S c i . Amer. 233 ( D e c ) . 3. S t a n s e l l , J o h n . 1 9 8 0 . New S c i e n t i s t . 8 8 , 700-3, Dec. 4. S k e a t e s , N. 1981. C r u i s i n g W o r l d , p. 107 ( A u g u s t ) . D e s c r i b e s a w i n d m i l l b o a t b u i l t by J . B a t e s o f Mew Z e a l a n d . 5 . B l a c k f o r d , B. L . 1 9 7 8 . Am. J o u r . P h y s i c s . 4 6 , 1004-6.
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ACKNOWLEDGEMENTS
1 w i s h t o acknowledge w i t h t h a n k s t h e a d v i c e and a s s i s t a n c e o f R. H. M a r c h , B . F u l l e r t o n , C. P u r c e l l , J . C h e v a r y , A. F e a r g r i e v e , R. J a n e and M. B l a c k f o r d . T h i s r e s e a r c h was s u p p o r t e d by g r a n t s fra« D a l h o u a i e U n i v e r s i t y and t h e N a t u r a l S c i e n c e s and E n g i n e e r i n g R e s e a r c h C o u n c i l o f C a n a d a .
