Sterowanie Mechanizmów Wieloczłonowych
Wykład 1 - Wprowadzenie, pojęcia podstawowe
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski
Instytut Automatyki i Robotyki
Warszawa, 2019
Dane dotyczące przedmiotu
Dane dotyczące przedmiotu Prowadzący
dr inż. Jakub Możaryn, p. 346, e-mail: j.mozaryn@mchtr.pw.edu.pl, mgr inż. Jan Klimaszewski, p. 307, e-mail:
j.klimaszewski@mchtr.pw.edu.pl
dr inż. Anna Sibilska-Mroziewcz, p. 109, e-mail:
a.sibilska@mchtr.pw.edu.pl
Strona www przedmiotu: http://jakubmozaryn.esy.es Informacje o przedmiocie Wykład - 15 godzin
Projektowanie - 15 godzin
Warunki zaliczenia
Warunki zaliczenia
Realizacja projektu zespołowego - 40% oceny końcowej Raport na zadany temat - 30% oceny końcowej Zespołowa prezentacja projektu - 30% oceny końcowej Liczba punktów ECTS - 3
Program
Cele przedmiotu
Umiejętność projektowania ciągłych i dyskretnych układów regulacji mechanizmami wieloczłonowymi (robotami).
Program - wykłady
Tematyka wykładów cz. 1
1: Opis mechanizmów wieloczłonowych w przestrzeni stanu. Model geometrii, kinematyki i dynamiki mechanizmów wieloczłonowych.
Identyfikacja parametrów kinematycznych i dynamicznych robotów.
Zastosowanie kwaternionów. Otwarte i zamknięte łańcuchy kinematyczne. Układy niedosterowane. Układy nieholonomiczne.
Kolizje.
2: Standardowe modele układów wieloczłonowych: acrobot, wahadło odwrócone, maszyny kroczące.
3: Planowanie trajektorii ruchu robota w przestrzeni wewnętrznej, zewnętrznej i kartezjańskiej. Koordynacja ruchu robotów w przestrzeni zadań. Planowanie ruchu jako przeszukiwanie.
4: Serwomechanizmy przegubów. Sterowanie w przestrzeni
przegubów. Transmitancja przegubu, regulator położenia przegubu, regulator momentu przegubu, stabilność układu regulacji i wskaźniki jakości regulacji. Sterowanie adaptacyjne.
Program - wykłady
Tematyka wykładów, cz. 2
5: Regulator dla robota o wielu stopniach swobody. Linearyzacja sprzężenia zwrotnego. Dobór funkcji Lapunova dla potrzeb sterowania manipulatorów. Sterownie pozycyjne i sterowanie nadążne. Projektowanie sterowania jako zadanie optymalizacji.
6: Sterowanie impedancyjne. Sterowanie siłowe. Sterowanie pozycyjno-siłowe. Modele tarcia.
7: Sterowanie o zmiennej strukturze mechanizmów wieloczłonowych.
Sterowanie predykcyjne mechanizmów wieloczłonowych. Sterowanie LQR/LQG mechanizmów wieloczłonowych.
8: Zastosowanie sieci neuronowych w układach sterowania mechanizmów wieloczłonowych.
Program - projektowanie
Tematyka projektów
Temat 1: ROBOT WĄŻ - modelowanie i sterowanie robota o strukturze redundantnej
Zakres:
opracować model geometrii, kinematyki i dynamiki robota.
określić standardowe zadania realizowane przez robota, oraz sposoby ich rozwiązania.
opracować regulator do realizacji postawionych zadań, oraz symulacyjne sprawdzić działanie układu regulacji.
Dodatkowo:
opracować regulator do realizacji postawionych zadań w przypadku niepełnej znajomości modelu, uszkodzenia członów robota lub pojawiających się zakłóceń.
Literatura
Fu K.S., Gonzalez R.C, Lee. C.S.G.: Robotics: Control, Sensing, Vision and Intelligence. McGraw-Hill Book Company, New York, 1987.
Craig J. J.:Wprowadzenie do robotyki. WNT, Warszawa, 1993.
Spong M. W., Vidyasagar M.: Dynamika i sterowanie robotów. WNT, Warszawa, 1997.
Kozlowski, K.: Modelling and Identification in Robotics. Advances in Industrial Control. Springer, London,1998.
Kozłowski K., Dutkiewicz P., Wróblewski W.: Modelowanie i sterowanie robotów. PWN, Warszawa, 2003.
Spong M. W., Hutchinson S., Vidyasagar M.: Robot Modeling and Control, John Wiley & Sons, 2006.
Dombre, E., Khail, W.: Robot Manipulators: Modelling, Performance Analysis and Control, John Wiley & Sons, 2007.
Siciliano B., Khatib O. : Siciliano B., Khatib O. (eds) Springer Handbook of Robotics. Springer, Berlin, Heidelberg, 2008.
Corke P.: Robotics, Vision and Control. Springer Tracts in Advanced Robotics, vol 118. Springer, Cham, 2017.
Co to jest mechanizm wieloczłonowy?
Mechanizm
Mechanizm - zespół współpracujących ze sobą elementów maszyny wykonującej określone zadanie (np. poruszanie się po zadanej trajektorii).
Mechanizm wieloczłonowy (MW)
Mechanizm wieloczłonowy (MW) - zespół połączonych brył
sztywnych (członów). Połączenia (lub stawy, przeguby) określają w jaki sposób człony mogą się poruszać względem siebie.
Geometria, kinematyka, dynamika
Geometria
Geometria - dziedzina matematyki badająca własności niezmienników typu odległość, pole powierzchni, czy np. miara kąta. Do opisu MW najbardziej przydatna jest geometria euklidesowa.
Kinematyka
Kinematyka - dziedzina fizyki (mechaniki, matematyki) zajmująca się badaniem geometrycznych właściwości ruchu ciał bez uwzględniania ich cech fizycznych (np. masy) i działających na nie sił.
Dynamika
Dynamika - dziedzina fizyki (mechaniki) zajmująca się ruchem ciał materialnych (z uwzględnieniem ich cech fizycznych - np. masy, moentu bezwładności) pod działaniem sił. Czasem utożsamiana z kinetyką - badaniem zachowania ciał fizycznych w ruchu.
Notacja - skalar i wektor
W uproszczeniu skalar - pojedyncza wartość liczbowa.
y = a ∗ x + b (1)
W uproszczeniu wektor - seria wartości skalarnych.
V =
v1
v2
v3
v4
(2)
W uproszczeniu macierz - zestaw wartości skalarnych zorganizowany w postaci układu prostokątnego (wiersze i kolumny).
A =
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
(3)
Macierzowe przekształcenia liniowe
Układ n równań liniowych o m zmiennych postaci
a11x1+ a12x2+ · · · + a1mxm= b1 a21x1+ a22x2+ · · · + a2mxm= b2
...
an1x1+ an2x2+ · · · + anmxm= bn
(4)
można zapisać w postaci równania macierzowego
AX = B, (5)
gdzie: A = [aij], i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m to macierz główna układu, X = [xj], oraz B = [bi].
Macierzowe przekształcenia w przestrzeni 3D
Każda macierz A o wymiarach m na n opisuje pewne przekształcenie li- niowe odwzorowujące wektor X o wymiarach m na 1 w wektor B o wy- miarach n na 1.
Wygodnie jest stosować współrzędne jednorodne ponieważ można wtedy łatwo zapisać obroty i przemieszczenia w postaci jednej macierzy. W takim przypadku:
x0 y0 z0 1
= T
x y z 1
(6)
gdzie: x , y , z - współrzędne punktu oryginalnego, x0, y0, z0 - współrzędne punktu przekształconego, T - macierz przekształcenia.
Macierz przesunięcia w przestrzeni 3D
Macierz przesunięcia (translacji):
Tabc = Tran(a, b, c) =
1 0 0 a
0 1 0 b
0 0 1 c
0 0 0 1
(7)
gdzie:
T - macierz przekształcenia - translacji, a, b, c - przesunięcie wzdłuż osi X , Y oraz Z przestrzeni trójwymiarowej.
Macierz przesunięcia - przykład
Rysunek:Przykład przesunięcia.
T−6,2,0=
1 0 0 −6
0 1 0 2
0 0 1 0
0 0 0 1
Macierz obrotu w przestrzeni 3D
Macierze obrotu wokół osi odpowiednio X, Y, Z:
Tx ,α = RotX (α) =
1 0 0 0
0 cos α − sin α 0 0 sin α cos α 0
0 0 0 1
(8)
Ty ,β= RotY (β) =
cos β 0 sin β 0
0 1 0 0
− sin β 0 cos β 0
0 0 0 1
(9)
Tz,γ= RotZ (γ) =
cos γ − sin γ 0 0 sin γ cos γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(10)
gdzie: α, β, γ - kąty obrotu woków osi odpowiednio X , Y oraz Z .
Macierz obrotu - przykład
Rysunek:Przykład obrotu.
Tz,pi /2=
cos(pi /2) −sin(pi /2) 0 0 sin(pi /2) cos(pi /2) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Składanie macierzy przekształceń
Składanie transformacji - macierz wynikowa złożenia przekształceń to iloczyn składowych macierzy transformacji. Kolejność mnożenia ma zna- czenie.
Przykładowo złożenie obrotu Tz,γ a następnie przesunięcia Tabc można zapisać następująco:
x0 y0 z0 1
=
1 0 0 a
0 1 0 b
0 0 1 c
0 0 0 1
cos γ − sin γ 0 0 sin γ cos γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
x y z 1
(11)
Macierz wynikowa Tγabc jest złożeniem dwóch powyżdzych przekształceń.
x0 y0 z0 1
= Tγabc
x y z 1
, Tγabc =
cos γ − sin γ 0 a sin γ cos γ 0 b
0 0 1 c
0 0 0 1
(12)
,
Ruch ciała sztywnengo
Macierz opisująca przekształcenie możliwe do wykonania na ciałach sztyw- nych (ruch ciała sztywnego) obejmuje dowolne złożenie obrotów i przesu- nięć. Taka macierz reprezentuje obrót a następnie przesunięcie ciała sztyw- nego i można ją zapisać jako
T =R D
0 1
(13)
gdzie:
R - macierz obrotu, D - wektor opisujący przesunięcie.
Model kinematyki i stopnie swobody
Model kinematyki
Model kinematyki MW - matematyczny opis uwzględniający kształty, rozmiary i położenia elementów składowych MW. Bez prędkosci, sił oraz momentów bezwladnosci.
Stopnie swobody
Stopnie swobody określają niezależne możliwości ruchu MW. Liczba stopni swobody określa minimalną liczbę współrzędnych pozwalających jednoznacznie określić położenie MW względem określonego układu odniesienia. Np. bryła sztywna w przestrzeni 3D ma 6 st. swobody - trzy przemieszczenia i trzy rotacje.
Współrzędne uogólnione
Zestaw wszystkich niezależnych zmiennych pozwalający jednoznacznie określić położenie MW nazywamy współrzędnymi uogólnionymi.
Współrzędne uogólnione - definicja
Dla układu n cząstek w przestrzeni ich położenie w chwili t można opisać za pomocą 3n współrzędnych kartezjańskich X = [x1, x2, ..., x3n]. Jeżeli jednak wprowadziny r więzów opisanych za pomocą r równań:
ϕi(X , t) = 0, i = 1, ..., r (14) Wtedy zamiast współrzędnych X można wprowadzić f = 3n − r nowych współrzędnych Q = [q1, q2, . . . , qf] zadanych za pomocą f niezależnych funkcji współrzędnych X oraz czasu t:
qi= qi(X , t), i = 1, ..., f (15) Współrzędne Q nazywa się współrzędnymi uogólnionymi.
Wartości Q określają położenie układu w przestrzeni konfiguracyjnej, w której wprowadzono współrzędne uogólnione.
Człony i połączenia
Człon
Człon - bryła sztywna, będąca częcią MW.
Para kinematyczna
Para kinematyczna - połączenie dwóch członów ograniczające ich możliwości ruchu względnego. Klasa pary kinematycznej określa liczbę st.
swobody, którą ogranicza para.
Przegub / staw / połączenie
Przegub / staw / połączenie - para kinematyczna określonej klasy, zazwyczaj w MW występują:
przeguby przesuwne klasy 5 - możliwy jest ruch względny wzdłuż jednej osi układu współrzędnych,
przeguby obrotowe klasy 5 - możliwe są tylko względne obroty wokół jednej osi układu współrzędnych.
Notacja DH
Istnieje wiele sposobów na przypisanie układów współrzędnych do czło- nów mechanizmu. Powszechnie stosuje się system określany jako notacja Denavita-Hartenberga (DH).
Każda transformacja pomiędzy sąsiednimi układami współrzędnych opisana jest jako złożenie czterech podstawowych transformacji:
Ti −1i =Ri −1i Dii −1
0 1
= Rotzi −1,θiTranszi −1,diTransxi,aiRotxi,αi
(16) gdzie:
αi - kąt skręcenia członu, ai - długość członu, di - odsunięcie przegubu, θi - kąt przegubu.
Parametry θi, di, ai, αi związane z członem oraz połączeniem i opisują przekształcenie między układem i − 1, a układem i .
Macierz Ti −1i jest zwykle funkcją zmiennych θi lub di - w zależności od rodzaju przegubu (obrotowe lub przesuwne).
Cztery parametry notacji DH
Rysunek:Notacja DH.
αi - kąt skręcenia członu ai - długość członu di - odsunięcie przegubu θi - kąt przegubu
Zestaw wszystkich zmiennych parametrów MW określa współrzędne uogólnione (na- zywane czasem wewnętrzne, złączowe lub konfiguracyjne) układu.
Przypisanie układów w notacji DH (1)
1 Ustalamy osie zi jako osie ruchu przegubów i + 1. W przypadku przegubu obrotowego - oś obrotu, a przegubu przesuwnego - oś translacji.
2 Ustalamy środek układu bazowego jako dowolny punkt na z0. Następnie ustalamy w dowolny sposób osie x0, y0- układ musi być prawoskrętny.
3 Dla każdego kolejnego układu zaczynając od 1 ustalamy jego położenie i orientację na podstawie układu poprzedniego.
4 Jeśli osie zi −1, zi nie są współpłaszczyznowe:
Wybieramy oś xi tak, aby zwierała najkrótszy odcinek łączący obie osie z i prostopadły do nich.
Przecięcie zi oraz xi to środek układu oi.
Wybieramy oś yi tak, aby układ i był prawoskrętny.
Przypisanie układów w notacji DH (2)
5 Jeśli osie zi −1, zi są równoległe:
Wybieramy środek układu oi jako dowolny punkt na prostej zi. Oś xi zawiera punkt oi oraz przecina zi −1.
Wybieramy oś yi tak, aby układ i był prawoskrętny.
6 Jeśli osie zi −1, zi przecinają się:
Wybieramy środek układu oi jako punkt przecięcia osi zi −1oraz zi. Wybieramy oś xi jako normalną do płaszczyzny zwierającej obie osie z, oś xi przecina zi −1.
Wybieramy oś yi tak, aby układ i był prawoskrętny.
Przypisanie układów w notacji DH (3)
7 Przypisanie parametrów notacji DH:
ai - odległość pomiędzy osiami zi −1i zi mierzona wzdłuż osi xi
αi - kąt pomiędzy osiami zi −1i zi mierzony w płaszczyźnie normalnej do osi xi, obrót jest prawoskrętny od zi −1do zi
di - odległość od oi −1do przecięcia osi zi −1i xi mierzona wzdłuż osi zi −1
θi - kąt pomiędzy osiami xi −1i xi mierzony w płaszczyźnie normalnej do osi zi −1
Przypisanie układów w notacji DH - uwagi
Osie odpowiednio zi −1, xi oraz xi, zi zawsze się przecinają tworząc pewien łańcuch łączący układ bazowy z układem końcowym.
Dla przegubów obrotowych parametry ai, αi oraz di są zawsze stałe.
Dla przegubów przesuwnych parametry ai, αi oraz θi są zawsze stałe.
Przykład notacji DH (1/2)
Przykład - model robota kroczącego.
Rysunek:Wizualizacja 3D robota czteronożnego
Przykład notacji DH (2/2)
Przykład - uproszczony model nogi 2D.
Rysunek:Schemat nogi z DH.
i ai αi di θi
1 l1 0 0 θ1
2 l2 0 0 θ2
Tablica:Parametry DH.
T01=
c1 −s1 0 l1c1
s1 c1 0 l1s1
0 0 1 0
0 0 0 1
T12=
c2 −s2 0 l2c2
s2 c2 0 l2s2
0 0 1 0
0 0 0 1
Sterowanie Mechanizmów Wieloczłonowych
Wykład 1 - Wprowadzenie, pojęcia podstawowe
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski
Instytut Automatyki i Robotyki
Warszawa, 2019
