S.
Kn a po w sk i(Poznań)
O pewnych kryteriach nierozkładalności wielomianów Celem niniejszego artykułu jest udowodnienie kilku kryteriów pozwalających stwierdzić nierozkładalność wielomianu, jeżeli znany jest rząd jego grupy Galois. Zakładam, że czytelnik zna podstawy teorii Galois, np. w zakresie książki B. L. van der W aerdena [1].
Na wstępie udowodnię twierdzenia pomocnicze.
Niech
Кbędzie ciałem komutatywnym i doskonałym (tzn. takim, że każdy wielomian nierozkładalny w
Кma tylko pojedyncze pier
wiastki), a
f(x)wielomianem o współczynnikach z
K.Niech w tym ciele zachodzi rozkład
(1)
f(x) = fi(oo)f2(x)(pierwiastki
fi(x): ai,a 2>*••>«&> pierwiastki
f2{x): ak+1,aй+2, ...,а и); wtedy 27=
K( ax, a2, . . . ,
an).Wiadomo, że grupą wielomianu
f(x) =0 w ciele
Кjest grupa ©(27,/f) (grupa ciała 27 względem ciała
K).Podobnie, grupą wielomianu
f1(x) = Qw ciele
Кjest grupa ©(zl,i?) (gdzie
A =Щ а и ^ ,...,^ )) . Wobec tego mamy
К С АC27.
Z zasadniczego twierdzenia teorii Galois wynika
© (
A,
K ) ~© (27,
K)l<3(27,
A).Grupa ©(27,
A)jest grupą Galois wielomianu
f2(x) =0 w ciele
A 1).Stąd wynika
Tw ie r d z e n ie 1. Grupa Galois czynnika f1(x) rozkładu (1) jest izo
morficzna z grupą ilorazową grupy Galois wielomianu f(x) przez grupę Galois czynnika f2{x) w ciele rozszerzonym o pierwiastki czynnika
Д
(x).Przypuśćmy teraz, że pierwiastki wielomianu
f2{x) =0 wyrażają się jako funkcje wymierne pierwiastków wielomianu
fx(x) —0. Wtedy /1=27, zatem ® ( 4 ,k )~ © (2 7 ,t f).
Jeżeli na odwrót, ©(zl
, K) ~©(27,
K),to ©(27,
A)jest grupą jednost
kową, skąd /1=27. Zatem pierwiastki wielomianu
f2( x) ~0 wyrażają się wymiernie przez pierwiastki wielomianu
f l (x) = 0.) Por. [1 ], str. 151.
Kryteria nierozkładalności wielomianów 273
Stąd wynika
Tw ie r d z e n ie 2. Warunkiem koniecznym i dostatecznym, by grupa Galois f1(x) =
O
czynnika rozkładu(1)
była izomorficzna z grupą. Galois wielomianu f(x) =O
jest, by każdy pierwiastek f 2(x)= O
wyrażał się wymiernie przez pierwiastki f1(x) =0.
Podane twierdzenia pozwalają dać kryteria nierozkładalności wie
lomianów.
Kr y t e r iu m
I.
Jeżeli wielomian f{x) =0
o współczynnikach z K, stopnia n, nie ma żadnego pierwiastka należącego do К oraz jeżeli każdy jego pierwiastek wyraża się jako funkcja wymierna dowolnych dwu pierwiastków f(x) = 0, to w przypadku gdy m
2
nie dzieli n\ (m jest rzędem grupy Galois©
wielomianu) wielomian jest nierozkładalny.D ow ód. Przypuśćmy, że wielomian rozkłada się w sposób nastę
pujący:
f(x) = f1(x)f2(x) (U(x)
ma stopień 2, * = 1 ,2 ).
Grupy Galois obu czynników rozkładu byłyby izomorficzne z grupą ©.
W szczególności obie miałyby rząd
m.Oznaczmy
km — nl, \ m - k x l , l2m = k
2!
(k1Ą-k2 = n).Mech
n!
jkx!
k2! =
c.Jak wiadomo,
cjest liczbą naturalną. Wobec tego
k m jl^ m 2 = c,czyli
k = l 1l2mc,zatem byłoby
m\k,skąd
m2\n\,co jest sprzeczne z założeniem.
U w aga. Zupełnie analogicznie można wypowiedzieć kryterium dla wielomianów normalnych2), których każdy pierwiastek jest generujący.
Tu jednak mamy mocniejsze kryterium. Warunkiem koniecznym i do
statecznym nierozkładalności takich wielomianów jest
m —n.Jest to twierdzenie prawie oczywiste.
Jako ilustracja kryterium I może służyć przykład wielomianu
a ? ~ a {pjest liczbą pierwszą), nierozkładalnego w ciele liczb wymiernych. Grupa Galois wielomianu w tym ciele jest izomorficzna z pełną grupą meta- cykliczną3), zatem rząd jej wynosi
p ( p —l).Wielomian nasz spełnia założenia kryterium I oraz
p 2( p —l ) 2nie dzieli
p!
Kr y t e r iu m
II.
Wielomian stopnia p o grupie rzędu p (p jest liczbą pierwszą) jest nierozkładalny.D ow ód. Grupa wielomianu jest cykliczna, bo jej rząd jest liczbą pierwszą. Oznaczmy przez
лpodstawienie generujące. Przypuśćmy, że
2) Por. [1], str. 104.
3) Zob. [2], str. 416, ćwiczenie 5.
Roczniki P. T. M.-Prace Matematyczne I 18
274 S. K n a p o w s k i
rozpada się ono na
кcykli po
nx,n2, . . . , n kwyrazów. Wtedy
nx-\-n2Ą-...,..-\-n k = p
(niektóre
щmogą, być równe 1). Mamy
nl=1 dla
l —pi nie wcześniej. Zatem
pjest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb
nx,n2, . . . , n k.Stąd
k = l , nx — p.Grupa jest więc przechodnia, czyli wielo
mian jest nierozkładalny, c. b. d. u.
Kr y t e r iu m
III.
Niech f(%) =0
będzie wielomianem cyklicznym stopnia pm (p jest liczbą pierwszą). Na to, by wielomian ten był nierozkładalny, potrzeba i wystarcza, by rząd jego grupy był równy stopniowi wielomianu.
D o wód. Konieczność warunku wypływa stąd, że wielomian jako cykliczny i nierozkładalny jest normalny. Dla dowodu dostateczności przedstawmy podstawienie generujące
tigrupy jako iloczyn cykli po
nx,n2, . . . , n kwyrazów. Wtedy
пх-\- п2 + . . .+ п к= р т(niektóre
щmogą być równe 1). Analogicznie jak w dowodzie kryterium II,
pmjest najmniej
szą wspólną wielokrotnością liczb
nx,n2, . . . , n k.W szczególności liczby
щjako dzielniki
pmmuszą być postaci pa(a<m). Zatem
k = 1, nx= p m.Grupa jest więc przechodnia czyli wielomian jest nierozkładalny, c. b. d. u.
U w aga. Konieczność warunku pozostaje w mocy także dla dowol
nych wielomianów abelowych. Dowód jest analogiczny do poprzedniego.
Natomiast dostateczność przestaje być słuszna w przypadku ogólnym.
*Prace cytowane
[1] B. L. van der W aerden, Moderne Algebra, tom I, Berlin 1930.
[2] A. M ostow ski, Zarys teorii Galois, przypis do książki W. S ie rp iń sk ieg o Zasady algebry wyższej, Warszawa-Wrocław 1946.
С. Кнаповский (Познань)
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРИВОДИМОСТИ ПОЛИНОМОВ Р Е З ЮМ Е
В настоящей работе представлены теоремы, которые позволяют убедиться в неприводимости некоторых алгебраических уравнений, если известен порядок их группы Галуа.
I. Пусть j(x) — 0 алгебраическое уравнение п-ой степени, коэффициенты кото
рого принадлежат к некоторому совершенному полю К , но ни один из его корней не является элементом К , и пусть порядок его группы Галуа будет т.
Если каждый из корней уравнения /(ж )= 0 выражается в виде рациональной функции произвольной пары корней уравнения и тъ не делит п\, то уравнение неприводимо.
II. Всякое уравнение степени р с группой Галуа порядка р (р простое число) — неприводимо.
Kryteria nierozhladalności wielomianów 275
III. Пусть f ( x ) = 0 — циклическое уравнение степени pm (p простое число).
Для того, чтобы оно было неприводимым, необходимо и достаточно, чтобы ® = р т (© группа Галуа уравнения).
S. K n a p o w s k i (Poznań)
CERTAIN THEOREMS, CONCERNING IRREDUCIBILITY OF POLYNOMIALS
S U M M A R Y
In this paper I prove some theorems, which permit us to state the irreduci
bility of certain algebraic equations when the order of the Galois group is known.
I. Let f{x) = 0 be an equation of degree n, its coefficients belonging to a perfect field K, and none of its zeros belonging to K.
Let © be the Galois group of this equation and % — m. •
Let every zero of the equation f { x ) ~ 0 be expressed by a rational function of each pair of zeros of this equation. I f т г'\п\, then the equation is irreducible.
II. Every equation of degree p (p being prime) whose Galois group is of order p is irreducible.
III. Let f{x) — 0 be a cyclic equation of degree p m (p being prime). The necessary and sufficient condition for the irreducibility of the equation is-.% = pm (© is the Galois group of the equation).
18'
