O ograniczeniu modułów pierwiastków pewnych wielomianów
A. Wilkoński (Wroclaw)Mech p i к będą dwiema ustalonymi liczbami naturalnymi i j-i
1) =
г= 1
dla j = 2 , 3 , . . . , k , A x(0 = 0 ;
Aj(t) jest wielomianem stopnia j — 1 o współczynnikach dodatnich.
Wielomian (2)
к
V(t) — (-1 + A fc_i+1
г=1
1
ma wszystkie współczynniki dodatnie z wyjątkiem wyrazu wolnego, który wynosi —1. Ponieważ V ' ( t ) > 0 dla t > 0, wielomian V(t) jest funkcją rosnącą dla /> 0 . Ponieważ F(0) = — 1 i lim F(f) = oo, wielomian V(t)
<— >00
ma jeden pierwiastek dodatni, który oznaczymy przez r. Oczywiście, pierwiastek r jest jednoznacznie wyznaczony przez p i k .
W szczególności
V{ t ) = ( p i r = —— dla к — 1,
P + 1 V(t) = (p + l)(3p + 2)
O . t* + (p + W - 1 - l — p + |/ {p + l)(7p + 3)
(p + l)( 3p + 2)
dla k—2.
Powiadamy, że wielomian o współczynnikach zespolonych (3) W (z) = a0-\- a>xz + a.2z2 + ... f an_x zn~l + zn stopnia n=p-\-k ma własność (W), jeśh
(4) |«p| = l oraz I ^ K l dla j = p -f 1 ,... ,n — 1.
166 A. W ilk o ń sk i
Jak wiadomo1), istnieje taka stała dodatnia, zależna tylko od k i p, że każdy wielomian W {z) stopnia n=p-\-Tc o własności (W) ma co najmniej к pierwiastków o modułach nie mniejszych od tej stałej. W y
każemy, że za tę.stałą można przyjąó liczbę dodatnią r zdefiniowaną powryżej.
Tw i e r d z e n i e.
Jeśli e11zi ,.. ., z n jest ciągiem pierwiastków wielo
mianu W (z) stopnia n=p-\-k o własności (W) i
(5
)to \Zi\^t dla i = ± , 2 , . . . , k
D ow ód . Niech m — \zk\. Zatem
(6) .. > m = \zk\ > \zk+1\ > . .. Ж 1 - Warunek (W) może być inaczej napisany:
(7) | Z
Ч<... <ik
(8) | 2 ' dla
Udowodnimy przez indukcję względem j, że
(9) Z + A1+i{m) dla j = l , . . . , f e - l .
%i< , . . < % ! < к
Istotnie, podstawiając w (8) j = 1 otrzymujemy z (6), że
Z Щ
^ 1 4-
Zl% l^l
+ ( p ~h l ) m — 1 -j" Л 2 ( м ) ,i»=l j = k
co dowodzi prawdziwości wzoru (9) dła ?'=1.
Załóżmy, że 1 < j < k oraz że
(10) Z Ola r < j .
<!<...< it <k
Wykażemy, że z (10) wynika (9). Istotnie, z (8) i (8) otrzymujemy, stosu
jąc indukcyjne założenie (10) oraz definicję (1), że
ł ) Patrz prace cytowane.
O ograniczeniu modułów pierwiastków wielomianów 167
i - 1
5, 1 • • • zij\ ^ ^ ^ ^га • • * ^1 ^ H<..,<ij<k
r=»0ii<
... < г , < Л <<V+i<... <tj
< 1 + ^ ^ Ш/_Г J j 1^1 ^ '• • • 4 l <
r=0 w ^ / i i < . . . < i r< k
m ’ - r ( l + A r + l ( m ) )
= 1 +
w1 (l + ^ - / + i _ i ( ^ ) ) — 1 ~b 4.^+ i ( m ) .Z (7), (6) i (10) otrzymujemy
Z Z
r=0 й < ... <гг<
fc<
r=0 /l ' i] <...<ir<k
<
<ir+1 < ... <4
^ ^ | ^ r j mk / (^4'-4r+l('w0) ^ | | ^&+1-г(ш))>
to znaczy F(m )>0. Ponieważ F(t) jest funkcją rosnącą dla t^O , wnio
skujemy, że г, с. Ъ. d. o.
Zastępując w sformulovaniu twierdzenia z przez 1 jz otrzymujemy
Wn i ó s e k.
Jeśli
W (z) = a0zn+ •.. 4- an-iZ + V
jest wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia n—pĄ-h, oraz
\ap\ — \an\z^ |%1 dla j = p - { - l , . . . , w —1, fo moduł к pierwiastków wielomianu W (z) nie przewyższa liczby 1/t.
W szczególności moduł ten dla &—1 nie przewyższa n, dla к = 2 nie przewyższa [w — l + ] / ( w —l)(7w —9)|/2. Obliczenie ograniczenia nie jest uciążliwe dla niewielkich k.
Prace cytowane
P. M o n te l, Sur quelques limites pour les modules des zeros des polynómes, Com- mentarii Mathematici Helvetici (1934/6), str. 178-200.
P. Ser g esc u, Quelques proprietes des polynómes, Comptes Kendus des seances de ia Sociśte des Sciences et des Lettres de Varsovie X X I V , zeszyt 7-9 (1931), str.
310-316.
168
Van V le c k , On limits to the absolute values of the roots of a polynomial, Bulletin de la Socióte Matliematique de France, 53 (1925), str. 105-125.
M. B ie r n a e k i, 8'nr Vequation du troisiime deqre, Mathematiea, Clui, 8 (1933), str. 196-200.
A. W ilk o ń sk i
А. Видьконский (Вроцлав)
ОБ О ГР А Н И Ч Е Н И Ю М О Д УЛ Е Й К ОРН ЕЙ Н Е К О Т О Р Ы Х ПОЛИНОМ ОВ
РЕЗЮМЕ
Пусть р и к — два фиксированные натуральные числа. Пусть Л 1(Й— 0 и
-4,(0 == А О + 1j<‘ д-i"
r m - i ( i + ^ (t,(«))(!' + l ) * - *• г=i \ г !
Произвольный полином W (0) = а0-f axz a„_12n“ 1-j~ я" степени п — р + к для которого |«p| = l и |ауК Д , где j = р - \ - \ , . . . , п — 1, имеет по крайней мере к корней z1, z1, . . . , z k таких, что \zt\^ r ( г = 1 , 2 ,...,& ) , где т единственный положи
тельный корень полинома У (t).
A . Wilkoński (Wrocław)
ON T H E B O U N D E D N E S S OF B O O T M O D U LES OF SOME P O L Y N O M IA L S
S U M M A R Y
Let p and к be two fixed positive integers. Let Д 1( / ) = 0 and
Every polynomial lV (z )= a 0-i~a1z + . .. + а 11_ 18 1" 1-\-zu of tlie degree n— pĄ- k, such that |apj = l and |a#j<Cl for j — p - { - l , . . . , n ~ l , has at least к roots z1, zi>. . . , z k such that \zt\^x {i— l , 2 , . . . , k ) , where r is the only positive root of the polynomial V(t).
