Matematyka A dla Wydziału Chemii, semestr 2., 2020/2021 ćwiczenia 11. – rozwiązania
9 kwietnia 2021
1. Rozwiąż układ równań:
⎧⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
2x − y − z = 4 3x + 4y − 2z = 11 3x − 2y + 4z = 11 Wypisujemy macierz w kolejności niewiadomych y, z, x:
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
−1 −1 2 4 4 −2 3 11
−2 4 3 11
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w2+4w1, w3−2w1
ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
−1 −1 2 4
0 −6 11 27
0 6 −1 3
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w3+w2
ÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
−1 −1 2 4
0 −6 11 27
0 0 10 30
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w1⋅ (−1), w3⋅ 1 10 ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 1 −2 −4 0 −6 11 27
0 0 1 3
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w1+2w3, w2−11w3
ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 1 0 2
0 −6 0 −6
0 0 1 3
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦ w2⋅
−1 ÐÐÐÐ6→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 1 0 2 0 1 0 1 0 0 1 3
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w1−w2
ÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 3
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦ Zatem y = 1, z = 1, x = 3, czyli (3, 1, 1) jest jedynym rozwiązaniem tego układu równań.
2. Rozwiąż układ równań:
⎧⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
x − 2y + z = 0 4x − 5y + 2z = 3 5x + 2y − 3z = 6 Wypisujemy macierz
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 −2 1 0 4 −5 2 3 5 2 −3 6
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w2−4w1, w3−5w1
ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 −2 1 0 0 3 −2 3 0 12 −8 6
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w3−4w2
ÐÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 −2 1 0
0 3 −2 3
0 0 0 −6
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦ co oznacza, że układ jest sprzeczny i nie ma rozwiązań.
3. Rozwiąż układ równań:
⎧⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
x − 2y + z = 1 4x − 5y + 2z = 3 5x + 2y − 3z = 1 Wypisujemy macierz
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 −2 1 1 4 −5 2 3 5 2 −3 1
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w2−4w1, w3−5w1
ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 −2 1 1
0 3 −2 −1 0 12 −8 −4
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w3−4w2
ÐÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 −2 1 1
0 3 −2 −1
0 0 0 0
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦ w2⋅
1 ÐÐÐ→3
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 −2 1 1
0 1 −2/3 −1/3
0 0 0 0
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w1+2w2
ÐÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 0 −1/3 1/3 0 1 −2/3 −1/3
0 0 0 0
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦ 1
zatem ten układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, a rozwiązanie ogólne jest postaci
⎧⎪
⎪
⎨
⎪⎪
⎩
x = 13+z3 y = −13+2z3
czyli rozwiązanie jest każdy wektor (13+z3, −13+2z3, z) dla dowolnego z ∈ R.
4. Rozwiąż układ równań:
⎧⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
x1+2x2+x3−x4=7
−x1+2x3+x4=0
−x1+4x2+8x3+x4=14 Wypisujemy macierz
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 2 1 −1 7
−1 0 2 1 0
−1 4 8 1 14
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w2+w1, w3+w1
ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 2 1 −1 7
0 2 3 0 7
0 6 9 0 21
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w1−w2, w3−3w2
ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 0 −2 −1 0
0 2 3 0 7
0 0 0 0 0
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦ w2⋅
1 ÐÐÐ→2
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 0 −2 −1 0
0 1 3/2 0 7/2
0 0 0 0 0
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
więc oczywiście ten układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, które są opisane przez rozwiązanie ogólne
⎧⎪
⎪
⎨
⎪⎪
⎩
x1=2x3+x4, x2=72−32x2
czyli rozwiązaniem jest każdy wektor (2x3+x4, 7/2 − 3x2/2, x3, x4)dla dowolnych x3, x4∈R.
5. Dla jakich wartości t ∈ R układ
⎧⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎩
x1+2x2+2x3+x4=3 3x1+8x2+8x3+7x4=9 2x1+5x2+6x3+5x4=7 x1+3x2+4x3+tx4=5 jest niesprzeczny?
Wypisujemy macierz tego układu równań i sprowadzamy go do postaci schodkowej:
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 2 2 1 3 3 8 8 7 9 2 5 6 5 7 1 3 4 t 5
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w2−3w1, w3−2w1, w4−w1 ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 2 2 1 3
0 2 2 4 0
0 1 2 3 1
0 1 2 t − 1 2
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦ w2⋅
1 ÐÐÐ→2
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 2 2 1 3
0 1 1 2 0
0 1 2 3 1
0 1 2 t − 1 2
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w3−w2, w4−w2
ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 2 2 1 3
0 1 1 2 0
0 0 1 1 1
0 0 1 t − 3 2
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w4−w3
ÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 2 2 1 3
0 1 1 2 0
0 0 1 1 1
0 0 0 t − 4 1
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦ A to oznacza, że ten układ jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy t = 4.
6. Znaleźć rozwiązanie ogólne poniższego układów równań.
⎧⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
3a + 2b + 3c + 4d = 8 a + b + c + 2d = 4 5a + 3b + 6c + 3d = 9
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
3 2 3 4 8 1 1 1 2 4 5 3 6 3 9
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w1↔w2
ÐÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 1 1 2 4 3 2 3 4 8 5 3 6 3 9
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w2−3w1, w3−5w1
ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→
2
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 1 1 2 4
0 −1 0 −2 −4 0 −2 1 −7 −11
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w3−2w2 ÐÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 1 1 2 4
0 −1 0 −2 −4 0 0 1 −3 −3
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w1+w2 ÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 0 1 0 0
0 −1 0 −2 −4 0 0 1 −3 −3
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
w2⋅ (−1), w1−w3
ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→
⎡⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
1 0 0 3 3
0 1 0 2 4
0 0 1 −3 −3
⎤⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦ .
Czyli rozwiązanie ogólne, to:
⎧⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
a = 3 − 3d b = 4 − 2d c = −3 + 3d
,
w postaci parametrycznej: (3 − 3d, 4 − 2d, −3 + 3d, d).
7. Dla jakich wartości t ∈ R ciąg (t2, −1, 1, −t2, 1) jest rozwiązaniem poniższego układu równań.
⎧⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
7x1−5x2−3x3+5x4−5x5= −1 9x1+8x2−9x3+2x4+11x5=1
−4x1+6x2+2x3−x4+9x5=2
Podstawiając dostajemy równania: 2t2=2, 7t2=7, −3t2= −3, czyli jest to rozwiązanie dla t = ±1.
3
