Matematyka A dla Wydziału Chemii, semestr 2., 2020/2021 ćwiczenia 20. – wskazówki i rozwiązania

(1)

Matematyka A dla Wydziału Chemii, semestr 2., 2020/2021 ćwiczenia 20. – wskazówki i rozwiązania

17 maja 2021

1. Posługując się macierzą odwrotną rozwiązać układ równań:

⎧⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

x1+2x2+3x3=2

−x1+x2+2x3=1 4x1+x2+x3=3 Ten układ równań to

⎡⎢

⎢⎢

⎣

1 2 3

−1 1 2

4 1 1

⎤⎥

⎥⎥

⎦

⋅

⎡⎢

⎢⎢

⎣ x1

x2

x3

⎤⎥

⎥⎥

⎦

=

⎡⎢

⎢⎢

⎣ 2 1 3

⎤⎥

⎥⎥

⎦ ,

zatem

⎡⎢

⎢⎢

⎣ x1

x2

x3

⎤⎥

⎥⎥

⎦

=

⎡⎢

⎢⎢

⎣

1 2 3

−1 1 2

4 1 1

⎤⎥

⎥⎥

⎦

−1

⋅

⎡⎢

⎢⎢

⎣ 2 1 3

⎤⎥

⎥⎥

⎦ ,

Znajdujemy macierz odwrotną zatem:

=

⎡⎢

⎢⎢

⎣

1 2 3 1 0 0

−1 1 2 0 1 0

4 1 1 0 0 1

⎤⎥

⎥⎥

⎦

→. . . →

⎡⎢

⎢⎢

⎣

1 0 0 −1/2 1/2 1/2

0 1 0 9/2 −11/2 −5/2

0 0 1 −5/2 7/2 3/2

⎤⎥

⎥⎥

⎦ ,

zatem

⎡⎢

⎢⎢

⎣ x1

x2

x3

⎤⎥

⎥⎥

⎦

= 1 2

⎡⎢

⎢⎢

⎣

−1 1 1

9 −11 −5

−5 7 3

⎤⎥

⎥⎥

⎦

⋅

⎡⎢

⎢⎢

⎣ 2 1 3

⎤⎥

⎥⎥

⎦ ,

czyli

⎡⎢

⎢⎢

⎣ x₁ x₂ x₃

⎤⎥

⎥⎥

⎦

=

⎡⎢

⎢⎢

⎣ 1

−4 3

⎤⎥

⎥⎥

⎦ ,

a więc rozwiązanie to x1=1, x2= −4, x3=3.

2. Znaleźć (również zespolone) wartości własne oraz bazy przestrzeni własnych macierzy:

a) [ 0 −6 1 5 ].

w(λ) = ∣ −λ −6

1 5 − λ ∣ =λ²−5λ + 6 = (λ − 3)(λ − 2),

Zatem wartości własne to 3 oraz 2. Równanie x + 2y = 0 opisuje przestrzeń własną dla wartości 3, zatem jest ona rozpięta przez wektor (−2, 1). Równanie x + 3y = 0 opisuje przestrzeń własną dla wartości 2, zatem jest ona rozpięta przez wektor (−3, 1).

b) [ 0 1 1 2 ].

w(λ) = ∣ −λ 1

1 2 − λ ∣ =λ²−2λ − 1 = (λ − (1 +√

2))(λ − (1 −√ 2)),

1

(2)

Zatem wartości własne to 1 −√

2 oraz 1 +√

2. Równanie x + (1 +√

2)y = 0 opisuje przestrzeń własną dla wartości 1 −√

2, zatem jest ona rozpięta przez wektor (−(1 +√

2), 1). Równanie x + (1 −√ 2)y = 0 opisuje przestrzeń własną dla wartości 1 +√

2, zatem jest ona rozpięta przez wektor (−(1 −√ 2), 1).

c) [ 1 −2 5 3 ].

w(λ) = ∣ 1 − λ −2

5 3 − λ ∣ =λ²−4λ + 13 = (λ − (2 + 3i))(λ − (2 − 3i),

Zatem wartości własne to 2 + 3i oraz 2 + 3i. Równanie 5x + (1 − 3i)y = 0 opisuje przestrzeń własną dla wartości 2 + 3i, zatem jest ona rozpięta przez wektor (−1 + 3i, 5). Równanie 5x + (1 + 3i)y = 0 opisuje przestrzeń własną dla wartości 2 − 3i, zatem jest ona rozpięta przez wektor (−1 − 3i, 5).

d) [ −1 1

−1 −3 ].

w(λ) = ∣ −1 − λ 1

−1 −3 − λ ∣ =λ²+4λ + 4 = (λ + 2)²,

Zatem jedyną wartością własną jest −2. Równanie −x − y = 0 opisuje przestrzeń własną dla wartości 2, zatem jest ona rozpięta przez wektor (1, −1).

e) [ 3 0 0 3 ].

Ta macierz jest już w postaci diagonalnej. Dla dowolnego wektor (x, y) mamy

[ 3 0 0 3 ] ⋅ [ x

y ] = [ 3x 3y ],

więc każdy wektor jest wektorem własnym dla wartości własnej 3. Inaczej mówiąc przestrzenią własną dla 3 jest R², czyli baza to ((1, 0), (0, 1)).

f)

⎡⎢

⎢⎢

⎣

3 0 0

0 0 −15

0 1 8

⎤⎥

⎥⎥

⎦ .

w(λ) = RR RR RR RR RR RR R

3 − λ 0 0

0 −λ −15

0 1 8 − λ

RR RR RR RR RR RR R

= (3 − λ)(λ²−8λ + 15) = −(λ − 3²)(λ − 5),

Zatem wartości własne to 3 oraz 5. Równanie y + 5z = 0 opisuje przestrzeń własną dla wartości 3, zatem jest ona rozpięta przez wektory (1, 0, 0), (0, −5, 1). Równania 3x = 0, x + 3y = 0 opisuje przestrzeń własną dla wartości 5, zatem jest ona rozpięta przez wektor (0, −3, 1).

3. Niech v będzie wektorem własnym A dla wartości własnej λ. Wykaż, że v jest wektorem własnym macierzy A⁶ oraz A⁻¹ (jeśli jest odwracalna). Znajdź odpowiednie wartości własne.

Mamy Av = λv. Zatem

A⁶v = A⁵λv = λA⁵v = λA⁴λv = . . . = λ⁶v, zatem v jest wektorem własnym A⁶ dla wartości własnej λ⁶.

Mamy też Av = λv, więc A⁻¹Av = A⁻¹λv, a więc v = λA⁻¹v, więc A⁻¹v = ¹_λv, zatem v jest wektorem własnym A⁻¹ dla wartości własnej ¹_λ.

2