Liczenie – ściąga
Mateusz Rapicki 4 stycznia 2017
Definicja 1. Niech n, k ∈ N.
1. Zbiór {1, 2, ..., n − 1, n} będziemy oznaczać przez [n]. Oczywiście |[n]| = n.
2. Liczbę k-elementowych podzbiorów zbioru [n] będziemy oznaczać przez nk.
3. Ciąg długości n, w którym każdy element zbioru [n] pojawia się dokładnie raz, będziemy nazywać permutacją zbioru [n]. Liczbę permutacji zbioru [n] będziemy oznaczać przez n!.
Stwierdzenie 1 (Proste własności). 1. n! = n · (n − 1) · ... · 2 · 1 2. Jeżeli k > n to nk = 0. W przeciwnym razie
n k
=n · (n − 1) · ... · (n − k + 1)
k! = n!
(n − k)!k!.
Przypuśćmy, że wybieramy k elementów ze zbioru [n]. Na ile sposobów możemy to zrobić? To zależy od tego jak wybieramy, i jakie wyniki uznajemy za różne. Po pierwsze, można wybierać z możliwością powtórzeń albo bez. Po drugie można wybrać wszystkie k elementów po kolei albo na raz. Równoważnie – można uznawać wybory różniące się jedynie kolejnością elementów za różne albo za takie same. Daje nam to cztery możliwości.
1. Wybieramy bez powtórzeń, przy czym kolejność jest istotna. W tym przypadku mamy k! · nk możliwości, czyli 0 dla k > n i n(n − 1)...(n − k + 1) dla k ¬ n. Jest to jednocześnie liczba funkcji różnowartościowych z [k] w [n]. Na przykład, wybieramy po kolei 5 uczniów z 20- osobowej klasy. Albo: rozdajemy 20-osobowej klasie 5 różnych cukierków, przy czym każdy może dostać co najwyżej jeden. Możliwych wyników jest 20 · 19 · 18 · 17 · 16 = 1860480.
2. Wybieramy bez powtórzeń, przy czym kolejność jest nieistotna. W tym przypadku mamy nk możliwości, czyli 0 dla k > n i n(n − 1)...(n − k + 1)/k! dla k ¬ n. Jest to jednocześnie liczba funkcji rosnących z [k] w [n]. Na przykład, wybieramy na raz 5 uczniów z 20-osobowej klasy.
Albo: rozdajemy 20-osobowej klasie 5 identycznych cukierków, przy czym każdy może dostać co najwyżej jeden. Możliwych wyników jest 205 = 15504.
3. Wybieramy z możliwością powtórzeń, przy czym kolejność jest istotna. W tym przypadku mamy nkmożliwości. Jest to jednocześnie liczba funkcji z [k] w [n]. Na przykład, rzucamy po kolei 5 identycznymi 20-ściennymi kostkami. Albo: rozdajemy 20-osobowej klasie 5 różnych cukierków. Możliwych wyników jest 205= 3200000.
4. Wybieramy z możliwością powtórzeń, przy czym kolejność jest nieistotna. W tym przypadku mamy 1 możliwość dla k = 0 i n+k−1k możliwości dla k > 0. Jest to jednocześnie liczba funkcji niemalejących z [k] w [n]. Na przykład, rzucamy na raz 5 identycznymi 20-ściennymi kostkami. Albo: rozdajemy 20-osobowej klasie 5 identycznych cukierków. Możliwych wyników jest 245 = 42504.
1
