J. Musia łe k (Kraków)
Uogólnienie twierdzenia Ossermana dotyczącego nierówności różniczkowej A u ^ f ( u )
1. K. Osserman [1] podał warunki konieczne i wystarczające na istnienie rozwiązań nierówności różniczkowej
Au ^ f ( u ) , П
gdzie Au = JT1 ux.x. jest laplasjanem funkcji u (x x, ..., xn).
i= 1
W pracy niniejszej podamy twierdzenia, które są uogólnieniami twier
dzeń zawartych w pracy [1]. Twierdzenia te dotyczą istnienia rozwiąza
nia nierówności różniczkowej П
(1) L {u) = JT (p (г) ux.)x. > f ( u ), i = l
gdzie
r2 = + 2. Podamy najpierw kilka lematów.
Le m a t 1. Jeżeli 1° f {t) jest funkcją ciągłą, dodatnią i niemalejącą określoną dla wszystkich t rzeczywistych, 2° p { z )t C x dla z ^ 0, 3° p (z ) > 0 , 4° istnieje funkcja <p{z) określona w prawostronnym sąsiedztwie zera (0 , R) spełniająca tamże równanie
(2) %iTZT K -1 2» (*)?>'(«))' = /(?(*))
oraz warunki (a) rp{z) -> co gdy z R, ((3) cp(z) jest przedłużalna do punktu z = 0, tzn. istnieją limę?(z) oraz limę?' {z) = 0 dla z dążącego do zera, to każde rozwiązanie u ( X ) , X ( x x, ..., xn) klasy O2, równania
П
L { u ) = =*f{u)
f=i
( 3 )
określone w kuli
(4) % i ~ { - x % , ^ . R 2,
spełnia nierówność u ( X ) < (p(r) w każdym punkcie wewnętrznym X zbioru (4).
D o w ó d . W eźm y pod uwagę funkcję (5) v { X ) = u { X ) - c p { r ) . Wykażemy, że funkcja v ( X ) jest niedodatnia dla
(6) 0 < r < R.
Dla dowodu niewprost, załóżmy, że v ( X ) > 0 w pewnym punkcie X 0 zbioru (6). Otóż
(7) v ( X ) - > — oo, gdy r - > R .
Ponieważ v ( X ) e C2 w zbiorze (4), więc na mocy (7) funkcja v { X ) osiąga maksimum dodatnie w co najmniej jednym punkcie wewnętrznym X x zbioru (4). Wobec tego, v { X x) > 0 .
A więc, na mocy (5), mamy ,
u ><p w pewnym otoczeniu Q ( X x) punktu X x.
Wobec założenia 1°
/(«0 >f(<p) > 0
w tym zbiorze. Ponadto, na podstawie (2) oraz (3), otrzymujemy
Przeto
czyli
£ ( « ) = / ( « ) > f(<r) oraz L( <p) =f( <p) -
L ( v ) = £ ( » - ? > ) = L ( u ) - L ( ę ) > f(< p )-}(< p ) = 0,
L (v ) > 0 w zbiorze Q ( X x).
W takim razie
П
L (v ) = £ (р(»,) « У ч + 0 ‘ ® > 0 w zbiorze Q (x i)-
г=1
Na podstawie twierdzenia E. Hopfa [2], v { X ) = 0 w ^ ( X x), wbrew założeniu.
Wykażemy teraz twierdzenie dotyczące istnienia rozwiązania <p(x) równania różniczkowego (2) przedłużalnego do brzegu a? = 0, przy czym
(p'(0) = O, 99(0) = a, gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą. Weźmy pod uwagę równanie
(8) (tn~lp{t)<p'{t)\ = tn~lf[(p{t)), t > 0.
Po odpowiednim scałkowaniu obu stron równania (8) otrzymujemy
8 S
f ( t ^ p i t ) ? '{ t ) ) 'd t = f t n~lf(<p(t))dt, s > 0, n > 2,
() . o
skąd
8
8n~lp{s)rp'(s) = J
o oraz
s
(9) . ?>'(») =
Całkując obie strony (9) otrzymujemy
f <p'{s)ds = J sn-=ip ^ J 'fivitydh x > 0
• Mamy stąd równanie całkowe
ж s
/» /*
(10) <?(a?) = я + I .7-г <n_1/ (^ («))^
o * o
równoważne równaniu różniczkowemu (2) z warunkami początkowymi (1 1) 9 9? (0) = a, 9?'(0) = 0.
Udowodnimy, że równanie (10), a więc i równoważne mu równanie (2), ma rozwiązanie q>{%) określone w pewnym przedziale [0, A ), A > 0, spełniające warunki (11). Dowód przeprowadzimy metodą punktu sta
łego. Weźmy pod uwagę zbiór Z funkcji ip klasy G na odcinku [0, b]
(b liczba stała dodatnia), spełniających warunki ^ (0) = u, y)'(0) = 0. Mech
M = sup|v>(®)|+ sup
Ж « [ 0 , Ь ] Ж ,г / е [0 ,6 ]
Х ф у
y){x) — ip{y) х - у
+ sup 0<у<сс<ь
У>(х) — гр(у) I x ( x - y ) f
M ech R ( 3 f , b ) oznacza domknięcie zbioru {ук [|у>|| < Ж }, gdzie Ж jest ustaloną liczbą większą od a. R ( M , b) jest zbiorem funkcji ciągłych i wspólnie ograniczonych przez Ж.
Wykażemy, że
1° spełniają one warunek Lipschitza ze stałą M ,
2° każda z tych f unkcji mą w punkcie O pochodną prawostronną równą zeru.
Mech *(£c) — limipn(x), gdzie |Ы| < M .
71—>00
D o w ó d 1°.
\х(х) — х Ш = lim |ipn{x) — y>n{y)\ < d f|#-? /| .
n—>00
D o w ó d 2°.
y(x) — а \ I i wn( x ) — a lim sup ---j = lim sup I lim --- ж—>0 i X I cc-»O \n-» oo I X
= lim snp (lim ip'n(ęn)), OC—>0 71—>O0
gdzie |яе(0 ,# ), a pochodna \p' jest pochodną aproksymatywną. Z defi
nicji R ( M , b) i definicji normy wynika, że
\Уп(£п)\ <
skąd
lim sup
./■— ►O x = 0, czyli z ' (0) = 0.
R (3 1 , h) jest domknięciem zbioru wypukłego w przestrzeni powstałej przez uzupełnienie zbioru Z względem normy. R ( 3 I , b) jest zbiorem zwar
tym i wypukłym funkcji ciągłych na [a, b], mających dla x = O pochodną prawostronną równą zeru i unormowanych za pomocą normy
SUP \ x ( x )\
xe[0,b]
sup
x,Vf[Q,b]
ХФУ
х ( я ) — х ( У )
х — у sup х( ® ) -х(у) х ( х — у)
Niech f ( u ) będzie funkcją ciągłą dla u rzeczywistych, p{t) funkcją ciągłą i dodatnią na [O, &]. Wykażemy teraz
Twierdzenie 1. Równanie (10) ma rozwiązanie w pewnym przedziale [O, R ], R > 0.
D o w ó d . Oprzemy się na następującym twierdzeniu Schaudera [3]:
Jeżeli operator ciągły К w przestrzeni Banacha przeprowadza zbiór zamknięty, zwarty i wypukły w siebie, wówczas w tym zbiorze istnieje punkt stały.
Oznaczmy przez К operator całkowy występujący po prawej stronie równania (10). .Równanie (10) jest postaci
(p — a-\-Kęp.
Oszacujemy normę \\Ky>||. Niech X = sup \K\p\ oraz p — inf ;p(s). Przy llv||<Af s«[o,&]
tych oznaczeniach mamy
N d N
\(Kw)(x)\ < ---- ж2 oraz j - ~ (Kw)(x) < — x,
2pn \ dx np
skąd
N X
||« + K>|| < N H --- — x 2-np 2np
Wyznaczamy liczbę c e(0 , b), taką że na odcinku (0, c) zachodzi nierówność
\\а-\-Кгр\\ < Ж , gdy [|^]| < J f (gdy \a\~M < 0, wówczas taka liczba c > 0 istnieje). W tym celu rozwiązujemy nierówność
N X
---- ж2 --- a?-Mai < M .
2np np
Niech a = min(b, c) i niech R (c , M ) oznacza podzbiór zbioru R (b , M ) funkcji określonych na (0 ,c). Operator a + K<p przekształca R (c , M ) w siebie, a więc na mocy twierdzenia Schaudera istnieje funkcja cp{x) określona na (0,e), spełniająca równanie <p{x) — a-\-Kq>.
Z kolei udowodnimy
Lemat 2. Jeżeli dla wszystkich t rzeczywistych f ( t) jest funkcją speł
niającą warunki: 1° f ( t ) > 0 , 2° f ( t ) ciągła i nieujemna, 3° p (z )e C l dla z > 0, 4° p (z ) dodatnia dla z M 0, to nierówność (1) ma rozwiązanie na całej hiperpłaszczyźnie a?n+1 = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje rozwią
zanie <p(z) równania (2), takie że
(2a) (p{z) jest przedlużalna wraz z pochodną do punktu z — 0, przy czym ę/(0) = 0.
D o w ó d w y s ta r c z a ln o ś c i w arun ku . Wykażemy, że jeżeli istnieje funkcja 9o (z) spełniająca równanie (2) oraz warunki (2a), wówczas istnieje funkcja u ( X ) spełniająca nierówność (1) na całej hiperpłaszczyźnie xn+1 == 0. Wystarczy w tym celu przyjąć u ( X ) = <p{r). Wówczas funkcja u ( X ) spełnia równanie (2), a więc i nierówność (1).
D o w ó d k o n ie c z n o ś c i w arun ku . Wykażemy, że jeżeli istnieje funkcja u ( X ) klasy O2 na całej hiperpłaszczyźnie xn+1 = 0 spełniająca nierówność (1), to istnieje funkcja tp(z) spełniająca równanie (2) dla wszyst
kich г > 0 oraz warunki (2a). Dowód przeprowadzimy dla twierdze
nia transponowanego, tzn. wykażemy, że jeżeli nie istnieje funkcja <p(z) spełniająca równanie (2) dla wszystkich z > 0 oraz warunki (2a), to nie istnieje funkcja u ( X ) klasy O2 na całej hiperpłaszczyźnie xn+1 = 0, która spełniałaby na tej hiperpłaszczyźnie nierówności (1).
Istotnie, niech a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą, zaś [0, B ) maksymalny przedział istnienia rozwiązania równania (2) z warunkami (2a), przy czym y(0) — a. Wobec tego, na podstawie założenia 1° oraz równania (2), funkcja zn~1p (z )y ' (z) ma pochodną dodatnią dla z > 0. Ponieważ <p'(0) = 0, przeto funkcja zn~1p (z )y ' (z) jest rosnąca i dodat
nia; zatem <p(z) co, gdy z -> B. Pozwala to na zastosowanie lematu 1.
Mech u ( X ) oznacza ustalone rozwiązanie nierówności (1), а ya{r), — oo <
< a < -(-oo, jednoparametrową rodziną rozwiązań równania (2) speł
niającą warunki (2a). Ha mocy lematu 1 każde rozwiązanie u { X ) nierów
ności (1) spełnia warunek u ( X ) <<p(r) dla 0 < r < B . W szczególności u (0) ^ y ( 0) = а, a więc 'м(О) ^ a. Ponieważ a jest dowolną liczbą rzeczywistą, przeto u(0) = — oo, co jest sprzeczne z założeniem regular
ności funkcji u ( X ) . Wykażemy teraz
Le m a t 3. Jeżeli f ( u ) > 0 , f ( u ) > 0 , f ' ( u) eC, — oo < w < - f o o , p{ r ) > 0 dla r > 0, istnieje rozwiązanie у (co) równania (2) w przedziale [0, B ), punkt x — В jest punktem osobliwym dla y( x) oraz
o o V
0 < j (J f(u )d u }~ 112 dv < oo, o o
i jeśli m = inf p( x) , M — sup p{x), to istnieje stała C > 0, taka, że
хф,Щ a;e[0,R]
m
\/2Mj ( j f ( u ) d u j ' o o
dv < B.
D o w ó d . Ponieważ w równaniu (1 0) funkcje p(s), f ( u ) oraz y' ( x) są dodatnie, przeto у (x) jest funkcją rosnącą; zatem x = В jest biegunem funkcji y(x), przy czym y( x) -> oo dla x -> B. Z równania
(р{х)(р’ (х)У~\-
71— 1
X p(x)(p’ {x) = f ( y( x) )
oraz odpowiednich założeń o funkcjach p( x) , f ( u ) i y' ( x) otrzymujemy nierównośó ( py' ) r < f ( y ) , skąd
czyli (1 2 )
py 'ip y 'Y < p y ' f ( y ) < Mf ( y ) y ' ,
Eozrożmmy ter^z dws» przypadki i I. ^dy ^(0) ^ 0, II. gdy 9?(0) < 0.
W przypadku I, po scałkowaniu obu stron nierówności (1 2) w przedziale od zera do x > 0, otrzymujemy nierówność
(13) skąd (14)
(m<p'(x)f <
<p(x) ■ <p( as)
2M f" f (u )d u < 2 31 j f ( u ) d u ,
a 0
dx > m
iż 2 Л/ IJ* f(u )d iĄ
- l [ 2
(p'(x)dx.
Całkując obustronnie nierówność (14) od zera do Ić i uwzględniając, że (p(x) -> oo, gdy x -> R, otrzymujemy, po zmianie zmiennej, nierówność
oo v
о о
W przypadku I I zamiast nierówności (13) otrzymujemy nierówność
<p(X) O <p(x)
[пир'(x))2 < 2M j f (u )d u — 2M ff(u )d u -\ -2 M J f{u )d u <
a a O
q>(X) <p(X)
2M J f(u)du-\-2M j f{u )d u
o o
<p(X)
— 4mJ f(u )d u o
dla x dostatecznie bliskich R. Następnie, rozumując podobnie jak w przy
padku I, otrzymujemy nierówność oo V
Wykażemy teraz twierdzenie odwrotne do lematu 3, a mianowicie Le m a t 4. Jeżeli
1° f{u) > O, f ( u ) ^ O, J" бО $/!/(& siJc^oh
oo v
2° j ( ff (u )d u )~ l/2dv = oo, o o
3° р (х )е С г dla x e [0 , o o) oraz m0 — inf p (x ) > 0, M 0 = sup p (x )
Же[0,оо] хе[0,ео)
(Ж0 — liczba skończona), to istnieje rozwiązanie równania całkowego (1 0) w przedziale [O , oo).
D ow ód . Niech N > O oraz
f ( u ) d l a ^ e [0, N ) , / (N ) + w2 dla u > N .
7л własności funkcji f ^ ( u ) wynika, że f x ( u ) -n-f(u) niemal jednostajnie, gdy N —> oo. №eeh <pN (x) oznacza rozwiązanie równania (10), w którym f ( u ) zastępujemy przez fjs?(u). 7 twierdzenia 1 oraz lematu 3 wynika,
że w przedziale [0, ?v]> gdzie
rN — C m c
OO С/
- 1/2
dv < oo,
istnieje rozwiązanie cpN (x), przy czym <pN (x) = 9?(a?) w przedziale jo , /(ę?(Ar))j i <p n(x) -> (p(x), gdy N —> oo. Wobec założenia 2°, riV -> oo, gdy Ж -> oo.
Wobec tego funkcja tp{x) = lim (pN {x) istnieje w całym przedziale [0, oo).
Л7—>oo
3. łSTa podstawie poprzednich lematów udowodnimy
Tw i e r d z e n i e 2. Jeżeli 1° f {t ) jest dodatnia i ciągła dla wszystkich t rze
czywistych, 2° istnieje liczba dodatnia t0, taka że f ' ( t ) ^ 0 dla t > t0 > 0, 3° p ty e C 1, p' ( z) ^ 0 dla z ^ 0, 1 istnieją liczby dodatnie rn§ oraz H^
tafcie, 00 w0 < р ( г ) < M 0, 5° ma miejsce nierówność 00 t
0 < / (/ / («)< * * ) 1/2 At < 0 0 , o o
to nie istnieje funkcja u ( X ) e C2 na całej hiperpłaszczyźnie xn+l = 0 oraz hiperkula 8, dla których spełnione byłyby warunki
IL ( u) > 0 na całej hiperpłaszczyźnie xn+i = 0 , L ( u ) > f ( u ) w zewnętrzu 8.
Udowodnimy twierdzenie transponowane, tzn.
Tw i e r d z e n i e. Jeżeli istnieje funkcja u ( X ) e C 2 na całej hiperpłaszczyź
nie xnjrl — 0 oraz hiperkula 8, taka że spełnione są warunki (15), to
00 t
f ( ff( s)ds) 1/2dt = 0 0 . o o
D ow ó d . Is a podstawie twierdzenia E. Hopfa [2] funkcja u ( X ) osiąga maksimum równe tx na F r($ ). Ponadto, na podstawie twierdzenia Weierstrassa, funkcja L ( u ) osiąga minimum m > 0 na F r($ ) ze względu na ten zbiór. W eźm y pod uwagę funkcję pomocniczą g(t) klasy G1 dla wszystkich t rzeczywistych, która spełnia warunki: a) g' (t) > 0, dla wszyst
kich t, b) g(t) < m dla t ^ t x, c) g(t) </(#) dla wszystkich t, d) g{t) >
> / ( i ) — .l dla t > > t i , e) g{t) > 0 dla wszystkich t, to Ij(u) > g( u) w całej przestrzeni.
Na podstawie lematów 2, 3, oraz 4, po zastąpieniu funkcji f ( t ) przez g(t) otrzymujemy
oo t
(16) ) I f g(s)dsj ll~ dt — oo.
o o
Wykażemy teraz, że warunek (16) implikuje warunek oo t
J (//(*)йв) 1/2dt = oo.
Istotnie, na podstawie warunku d) mamy
/(«') < 0(«) + l < 2</(,v) dla s > /3 > /•>>
skąd
I f(s)ds‘ < 2 Jff(s)d 8 } t > t3
Otrzymujemy oszacowanie
1 1
I/ 2 f </ (s) ds 1/ //(*) / 1/ f f(s ) ds ~ f f(s)ds
r rt V h ' 0 ó
i/ //(в)й«—%//(*>«*« 1 /
Г о о Г о
dla wszystkich t dostatecznie dużych. Stąd wynika, że
t 00 t
j (2 j g(s)d*) 1 dt < J I j j f(s)ds) 1 dt,
U o t, ' o
a więc
00 t
J (J/(5)^) ll“ dt — 00.
Prace cytowane
[1] R. Osserman, On the inequality Ли > f ( u ) , Pacific Journ. Math. 7 (1957), str. 1641-1647.
[2] M. K r z y ż a ń s k i, Bównania różniczkowe cząstkowe rządu drugiego, część I , Warszawa 1957.
[3] L. E. Elsgolc , (Л. Э. Эльсго льц ), Качественные методы в матема
тическом анализе, Москва 1955.
Ян Му с я л э к (Краков)
ОБО Б Щ ЕНИ Е Т Е О Р Е М Ы Р. О С С ЕРМ АН А КАСАЮ Щ ЕЙСЯ РЕ Ш Е Н И Я Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Г О Н Е Р А В Е Н С Т В А А и > f ( u)
Р Е З Ю М Е
В работе обобщается теорему данную Р. Оссерманом [1], которая решает задачу существования решения неравенства A ^ > f ( u ) на более общее нера
венство
П
(1) L{u) = £ ( p ( r) u'xi ) = » ; + ... + **.
1=1
Автор исследует зависимость между сходимостью интеграла
со t
f (f f s ) d s )~ 1,2 dt о о
и существованием решения неравенства (1).
Неполное у Оссермана [1] доказательство теоремы о существовании ре
шения интегрального уравнения
х d s
<р(х) = a + f — г j
о ' о
в настоящей работе сделанное подробно. Оказывается, что данный Оссерманом метод доказательства упомянутой теоремы к этой задаче неприменим.
J. Mu s i a ł e k (Kraków)
ON T H E G E N E R A L IS A T IO N OF O S SE R M A N ’ S T H E O R E M R E L A T E D TO T H E D IF F E R E N T IA L IN E Q U A L IT Y An > f ( u)
S U M M A R Y
The object of this paper is the generalization of Osserman’s theorem on the conditions of local and integral solutions of the integral inequality
Au > f ( u ) ( A means the laplacian) to a more general inequality
П
(1) L ( u ) = £ (р (г)и 'Х{)щ > f ( u ) , r 2 = x\ + ... + x \ .
i= 1
The relations between the convergence of the integral
CO t
f { } f(s )d s )~ 112 dt о 0
and of the existence of solutions of inequality (1) are considered. A complete proof of the existence of solutions of the integral equation
x s
<p(x) = <*+ J J p -'f f a W d t
is given in detail. (In Osserman’s paper this equation is considered in a special form, but the method of proof suggested there cannot he applied both to his special case and to ours.)
