Hydrodynamique - sur la possibilité d'une résolution numérique directe do probléme de Neuman-Kelvin

(1)

- - JUU 1916

VARCHEF

Lab. v. Scheeps1ouwki_

Technische Hogeschool

Deift

C. R. Acad. Sc. Paris, t. 282 (16 février 1976)

Série A 385

HYDRODYNAMIQUE. Sur Ia possibilité d'une resolution numérique direcre dii problème de Newnann-Kelvin, par introduction d'une perturbation singulière. Note (') de M. Daniel Euvrard, présentée par M. Paul Germain.

Du probléme de l'avancernent d'un navire en eau calme, dar.s Iapproximation iinéairc, on conna?t des solutions analytiques particulièrcs. ainsi que des solutions ( numériques >de caractére analytique. obtenues par Ia méthode des singularités (('), (Z)] On se propose désormais dauaquer cette question scion unc voie purement numérique, en posant un problérric aux limites précis dans un domaine suffisamment grand, entouran.t l'obsracie. Des considerations d'ordrc heuriscique, et uric expérimen-tation numCrique systématiquc, montrent qu'iI convient, pour assurer l'unicitC et Ia stabiité de Ia

solution, d'introduire uric perturbation singuliàre dans Ia condition de surface libre.

Comme premiere approche en vue du traitement nuinérique, par éléments finis, du

problème de Ia résistance de vagues d'uri navire en eau calme, en approximation linéarisCe

(problème dit de Neumann-Kelvin), nous nous sommes pose Ic problème modele très simple (jig. 1).

Fig. I. - Schema physique de iécoulement.

I. Onconsidére un écoulement plan, stationnaire et irrotationnel, d'un liquide incompres-sible et parfait, de vitesse moyenne (c, 0), au-dessus d'un fond d'Cquation

y=H+ef(x) siOxL;

y=H six<Ooux>L;

H>O, e>'O,

e.(<1.

La surface libre, d'équation moyenne y = 0, devient trés vite rectiligne et horizontale vers l'amont. En aval, au contraire, elle est animée d'oscil!ations d'amplitude flnie d; le théorême des quantités de mouvement montre que Ia trairtée de La bosse 0 x L

du fond est proportionnelle a d2; cette trainee, dite << résistance de vagues , sera notéc RW.

Ii s'agit d'obtenir RW parresolution numériqued'un problémeaux limites dans le domaine

= JL2, L+L1 [x ]H, O[ dCfirti par La figure 2, pour des valeurs positives suffisam-ment grandes de L1 et L2.

2. Soit p (x, y) le potentiel de perturbation dans un repCre (T) lie au fond. Pans Q, p doit étre harmomque. Stir le fond CEFB, ii doit satisfaire Ia condition de glissement linCarisde. Sur Ia surface libre DA, Ia continuité de Ia vitesse normale et de la pressioo conduit a La condition linéarisée classique

q+k0ç,=0,

k0=.!,

oi g est l'accélération de Ia pesanteur. Sur Ic bord amont BA, on doit avoir p =

= 0,

(2)

impo-r.

(6)

D

C (-L2-H)

386 - Série A C. R. Acad. Sc. Paris, t. 282 (16 février 1976)

sera une seule, en espdrant que, pour L1 assez grand, I'autre se réalisera asymptotiquement de façon automatique. Sur le bord aval CD, enfin, on écrira Ic comportement classique:

(3)

_{(L2, y) = p(L2,}

0)ch[kl()+H)J

ch(k1H) k1 reprósenta.nt la racine positive de l'équation en k

(4)

th(kH)=!.

3. Queue que soil la condition de rayonnement écrite sur Fe bord amont BA du domaine Q,

le problème ainsi pose, que nous noterons (P), n'admer pas une solution unique. En effet. A x A e

.

E

a

B (L1_ H) (L +1- H)

Fig. 2. - I.e problâme aux limites.

pour un choix convenable de Ia constante x1, le problème homogêne associC a (P) admet Ia solution c naturelle >>

(5) p(x, y) =

Ac1QJcos{k1(x_x1)],

ch(k1 H)

avec un facteur A arbitraire. Et, numériquenient, deux conclusions se dégagent trés nettement

- il est impossible d'empêcher les oscillations de se propager vers I'amont; - la solution est instable.

4. Nous utilisons alors Ia méthode de quasi-réversibilizé (3). Les conditions de surface libre Ctant maintenant écrites dans Ic repère (T) 1i au mouvement moyen du fluide, elles dependent du temps. Soit un paramétre positif petit; nous remplaçons chaque derivation temporelle 8/3t par l'opérateur

8 82

-

C-81 0x2

Revenant au repêre (T), Ia condition de surface libre s'écrit désormais

C

(7)

£=-,

C

(3)

15

5. Le problème (Ps), iui, est bien pose. Nous ['avons discrétisé en differences finies, scion les techniques classiques. Le systérne resultant, algébrique et linéaire, est résolu a l'aide d'une variante de l'algorithme du front (factorisation d'une matrice tridiagonale

A RW( N/rn I 35..' 30-25 20 1'/. 2/. (rn)

Fig. 3. - Evolution de Ia résistance de vagues en fonction du coefficient de viscosité artificielle.

par blocs). Des centaines de resolutions ont permis de faire varier automatiquetnent, un a un, tous les paramétres du calcul; nous avons constaté une precision raisonnable, et une stabilité sans faille. La figure 3, correspondant a une bosse d'Cpaisseur relative de 6 %, a c = 2 mIs, H 0,7 m, L = 1 m, L1 = 3 in, L2 = 2,3 m, et a m pas de discré-tisation de 0,1 m, met clairement en evidence Ic role de c.

(4)

388 - Série A _{C. R. Acad. Sc. Paris, t. 282 (16 février 1976)} En accord avec (3), ii apparait un paramètre optimal c (ic _{de I'ordre de 0,01 m).}

Pour e>

_{Ia solution est quasiment indépendante de c; une extrapolation a Ia limite} permet de s'en aifranchir entiérement; Ia surface libre correspondante est indiquée sur la figure 1. Pour c < C(J, Ia solution change de nature; elle devient irréaliste et instable.

6. Certains auteurs (1) remplacent Ia condition de surface libre

(2) par.

(8) _XX_{+ k0 p, - ji cp =0,}

_{ji> 0.}

II s'agit là d'une perturbation réguliêre, convenable _{pour des 'calculs analytiques, mais}

non pour des calculs numériques. En (7), au contraire, nous avons affaire a une perturbation

singuliere. Le terme en _{de (6), qui s'interpréte conime une viscosité art (fiddle, simule} les effets thermodynamiquement irréversibles du fluide reel, renvoie le sillage et I'énergie vers I'aval, et assure Ia _{stabilité des solutions. Ce phCnomene présente une frappante}

analogie avec celui induit par l'introduction d'un

_{terme dissipatif dans l'équation}

de BUrgers [voir (4), (5) et (6)].

Résumé d'un texte qul sera conserve 5 ans par les Archives de l'AcadCmie et dont copie peut Ctre obtenue de l'AcadCmie.

C') Séance du 5 janvier 1976.

(') P. G LJEVEL., _{Ecoulemenis bidirnensionnels limités par une surface Fibre}_et_{écoulements tridhnensionne!s}

limités par une surface Fibre,_{cours de I 'École nationale supérieure de Mécanique de Nantes.}

R. BRARD, Compres rendus, 278, sCrie A, 1974, p. 161-167 et 379-384.

R. LArrEs et J.-L. LIONS, Méthode de quasi-réversibjlfté er applications,_{Dunod, Paris, 1967.}

P. D. LAX, Comm. _{Pure App!. Math., 7, 1954, p. 159-193.}

P. GERMAIN, Cahiers de Physique, 14, 1960, p. 285-299.

A.-Y. LE Roux,_{Risoluion numérique du prob!Cme de Cauchy pour une equation hyperbolique}

quasi-linéaire dii premier ordre a me ou plusieurs variables d'espace (These de 3 cycle, UniversitC de Rennes, 24 octobre 1974).

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