Vraagstukken over theoretische mechanica; 4e dr.

Ilmlll! 1I1

'!

11

!

11

~ I~IIIIIII!II!

111111111

~III'IIIIIIIIIII

IllIjlll.1I11

'Ilimij

mll~

II

~

~1I11!i~~!lIIIIII~1I1111

II

~IIII,III~II

IIIIIIIIIIIIU 1111111111111111111111 IIIIU I liill

n

...

-..10 COO N\J\ \J\O

VRAAGSTUKKEN OVER

THEORETISCHE MECHANICA

A.M.A. van der Heijden

en

w.

van Horssen

WORDT NIEr UITGELE:.E D

c

L. TU

ra

.• T

BIBLIOTHEEK TU Delft P 1683 6372

" " " " 11111

c

501782

---~ -- - - -

-VOORWOORD BIJ DE EERSTE DRUK

Deze vraagstukkenverzameling is bestemd voor studenten die zich voorbereiden in de theoretische mechanica voor het kandidaatsexamen en daarbij behoefte gevoelen om hun bedrevenheid in het hanteren van de collegestof te toetsen aan het oplossen van concrete problemen. Wij hopen dat met deze verzameling niet alleen studenten aan de Technische Hogeschool te Delft gebaat zijn, maar ook zij die in Eindhoven en Groningen (in het bij-zonder de technisch geöriënteerde studierichting) met de theoretische mechanica te maken krijgen, haar zullen kunnen gebruiken.

De verzameling is in twee delen gesplitst. I n deel A, uit negen hoofdstukken bestaande, zijn de onderwerpen systematisch gerangschikt, terwijl, waar ons da t wenselijk voorkomt, de vraagstukken zodanig zijn onderverdeeld dat de voor de oplossing geschikte methoden duidelijk naar voren komen. Sommige vraagstukken hebben hierdoor een aanzienlijke leng-te gekregen. Om zo spoedig mogelijk leng-te wennen aan het overzien van een groot deel van de stof, zijn aan het eind van sommige hoofstukken vraagstukken opgenomen die ook proble-men bevatten welke reeds in vorige hoofdstukken aan de orde werden gesteld. Deel B bevat uitsluitend opgaven die in de jaren 1950 en later voor het kandidaatsexamen theoretische mechanica aan de Technische Hogeschool te Delft dienst hebben gedaan. Ter bevordering van het zelfstandig denken der studenten zijn deze opgaven niet in bepaalde groepen inge-deeld. Eén uitzondering is hierbij gemaalkt, namelijk voor de opgaven die bedoeld zijn als toepassingen van de vergelijkingen van Lagrange. Zij staan (naast enkele in deel A, hoofd-stuk VII) in deel B, hoofdhoofd-stuk Il. Door deze scheiding hopen we bereikt te hebben dat de verzameling ook bruikbaar is voor diegenen, die de systematisering van de theorie door Lagrange niet op hun studieprogramma hebben staan.

In alle problemen, waarin de wrijving een rol speelt, is droge wrijving bedoeld. De wrijvings-coëfficiënt is onafhankelijk van de bewegingstoestand der met elkander in contact zijnde oppervlakken verondersteld. De rollende wrijving is verwaarloosd.

Om de zelfwerkzaamheid der studenten te bevorderen zijn in deze verzameling geen uitge-werkte opgaven opgenomen. Wel geeft een uitvoerige antwoordenlijst de gelegenheid om de gemaakte vraagstukken op eventuele fouten te controleren.

De ervaring leert dat het weinig zin heeft te trachten zich de theoretische mechanica eigen te maken zonder de theorie te bestuderen. Het is de opzet van de samenstellers dat deze vraagstukkenverzameling gebruikt wordt door diegenen die de collegestof serieus verwerken. Wij spreken gaarne onze erkentelijkheid jegens Prof. Or. O. Bottema uit voor zijn stimulans om deze verzameling samen te stellen en voor zijn belangstelling en waardevolle adviezen tijdens de bewerking ervan. Or. G.R. Veldkamp danken wij voor zijn bereidheid om ons, waar dit nodig was, te laten delen in zijn inzicht in mechanische problemen.

Voor opmerkingen, die tot verbetering kunnen leiden, houden wij ons gaarne aanbevolen.

1963 W.l. Claas

P.A.J. Scheelbeek

VOORWOORD BIJ DE TWEEDE DRUK

In de tweede druk heeft in de eerste plaats de rangschikking van de hoofdstukken enige wijziging ondergaan. Ook is in sommige hoofdstukken de volgorde van de vraagstukken veranderd. Een dertigtal minder omvangrijke vraagstukken van deel B is ondergebracht in voorafgaande hoofdstukken.

Daar de vergelijkingen van Lagrange sinds enige jaren niet langer een speciale plaats in het studieprogramma innemen, is de splitsing van deel B in twee hoofdstukken overbodig geworden. Mede in verband hiermee is de vraagstukkenverzameling niet meer verdeeld in twee delen A en B, doch in tien hoofdstukken. Het merendeel van de vraagstukken in het laatste hoofdstuk is afkomstig uit deel B van de eerste druk, aangevuld met opgaven ontleend aan examenzittingen van de Technische Hogeschool te Delft uit de jaren 1964 en later, voor studenten met de studierichtingen Werktuigbouwkunde, Scheepsbouwkunde, Vliegtuigbouwkunde en Wiskunde.

vrij groot aantal vraagstukken meer eenheid in de formulering te hebben bereikt. In verband met zijn benoeming aan de Rijksuniversiteit te Leiden heeft Or. \V.J. Claas zich als samensteller teruggetrokken. In zijn plaats heeft Or. G.W. Decnop aan de samen-stelling van deze tweede druk meegewerkt.

1969

VOORWOORD BIJ DE DERDE DRUK

P.A.J. Scheelbeek G.W.Decnop

In de derde druk is een hoofdstuk Kinematica toegevoegd, omdat dit

onder-werp momenteel deel uitmaakt van de colleges theoretische mechanica voor

studenten met de studierichtingen Werktuigbouwkunde, Scheepsbouwkunde

en Vliegtuigbouwkunde. Een tweede verschil met de vorige druk is dat bij een

aantal vraagstukken een visuele voorstelling van het te beschouwen probleem

is opgenomen. Wij hebben gemeend aan de algemene opbouw van deze

vraag-stukkenbundel weing te moeten wijzigen, alleen is het totaal aantal

vraag-stukken wat verminderd en werden een dertigtal opgaven voornamelijk in

hoofdstuk XI vervangen door recente vraagstukken ontleend aan

examen-zittingen van de Delftse Technische Hogeschool.

De samenstellers van de tweede druk, Dr. P.A.J. Scheelbeek en Dr. G.W. Decnop,

hebben zich helaas teruggetrokken. Van hun inzichten, die duidelijk zijn

geble-ken uit de opzet van de tweede druk, is bij de samenstelling van de derde druk

dankbaar gebruik gemaakt.

Voor de adviezen van de docent van het vak theoretische mechanica,

Prof. Dr. Ir. J.G. Lekkerkerker, speciaal voor wat betreft het onderwerp kinematica, spreken wij gaarne onze erkentelijkheid uit.

Voor opmerkingen over de opzet en de samenstelling van deze

vraagstukken-bundel houden wij ons aanbevolen. 1975

VOORWOORD BIJ DE VIERDE DRUK

A.M.A. van der Heijden

W. van Horssen

De vierde druk heeft een kleine uitbreiding van het aantal vraagstukken

ondergaan in vergelijking met de derde druk. De toegevoegde vraagstukken zijn voor het grootste deel ondergebracht in het hoofdstuk "GEMENGDE OPGA VEN". Voorts werden in de antwoordenlijst enkele korrekties aan-gebracht.

Voor Uw opmerkingen waarmede de bruikbaarheid van deze

vraagstukken-bundel wordt vergroot houden wij ons aanbevolen.

nov. 1981 A.M.A. van der Heijden

INHOUD

Beweging van stoffelijke punten langs een rechte lijn 7

11 Beweging van stoffelijke punten in een plat vlak 9

III Energie van mechanische stelsels 15

IV Dynamica van mechanische stelsels 17

V Wrijving, zuiver rollen 23

VI Stoot 29

VII Relatieve beweging 35

VIII Vergelijkingen van Lagrange 41

IX Evenwicht en kleine trillingen om de evenwichtsstand 45

X Kinematica 51

XI Gemengde opgaven 57

- - - -

-I.

BEWEGING VAN STOFFELIJKE PUNTEN LANGS

EEN RECHTE LIJN.

1. Op een stoffelijk punt P (massa m) werkt een naar een vast punt 0 gerichte kracht van de grootte

~~,

waarin r de afstand van P tot 0 is. In een punt A, waarvan de afstand tot 0 gelijk is aan a, wordt P zonder beginsnelheid losgelaten. Op welk tijdstip komt Pin 0 aan?

2. Op een stoffelijk punt P (massa m) werkt een van een vast punt 0 af '2

gerichte kracht van de grootte

m~

(k> 0), waarin r de afstand van P tot 0 r

is. In een punt A, waarvan de afstand tot 0 gelijk is aan a, wordt P zonder beginsnelheid losgelaten.

a. Waar bevindt P zich op het tijdstip ti? b. Welke dimensie heeft k?

I- I

3. Een stoffelijk punt P (massa m) beweegt zich onder invloed van de zwaarte-kracht (versnelling g) en ondervindt daarbij een luchtweerstand die evenredig is met de snelheid van P. Op het moment dat P de eenheid van snelheid heeft, bedraagt de grootte van de luchtweerstand mk eenheden. Kies het beginpunt van de beweging als oorsprong en neem de positieve X-as verticaal naar beneden. Op het tijdstip t = 0 is de snelheid van P gelijk aan O. a. Waar bevindt P zich op het tijdstip tI ?

b. Bereken op twee manieren de door de luchtweerstand in het tijdsinterval (0,t

1) verrichte arbeid. c. Welke dimensie heeft k?

4. Een stoffelijk punt P (massa m) beweegt zich langs een ruwe horizontale rechte I en ondervindt daarbij een weerstandskracht die evenredig is met het kwadraat van de snelheid van P. Op het ogenblik dat P de eenheid van snelheid heeft, bedraagt de grootte van de kracht mk eenheden. Op het tijdstip t = 0 heeft de snelheid van P de grootte v.

a. Over welke afstand heeft P zich in het tijdsinterval (O,t_I) verplaatst'? b. Bereken op twee manieren de door de weerstandskracht in het.

tijds-interval (O,t_I) verrichte arbeid.

5. Een· stoffelijk, punt P (massa rri) kan zich langs een- rechte I in een ruw horizontaal vlak V (wrijvingscoëfficiënt! ) bewegen onder invloed van 'een naar een vast punt 0 op I gerichte kracht, die evenredig is met. de afstand van P fot O. Op de eenheid van afstand is de grootfe van de kracht gelijk aan mk2' eenheden (k> 0). Öp het tijdstip t = 0 bevindt P zich op de afstand a van 0 en heeft de snelheid O. De versnelling van de zwaartekracht is g.

1-2

a. Aan welke voorwaarde moet a voldoen, opdat P zich over I gaat bewegen'! b. Tussen welke grenzen ligt a, als P bij deze beweging het punt 0 niet

bereikt?

c. Bereken voor dit geval de kleinste afstand van P tot 0 en het tijdstip waarop de afstand van P tot 0 minimaal is.

d. Komt het stoffelijke punt, nadat het tot rust is gekomen, weer in beweging? 6. Langs een rechte I bewegen zich een stoffelijk punt P (massa m) en een

punt C. De beweging van C is eenparig (snelheid c); P beweegt zich onder invloed van een naar C gerichte kracht, die evenredig is met de afstand tot C en die op de eenheid van afstand mk2 _{eenheden bedraagt. Op het tijdstip} t =

°

bevindt P zich in het punt A (OA = a) en C in 0; de snelheid van P t.O.v. I heeft op dit tijdstip de grootte v. Bereken de plaats van P op het tijd-stip tI'

7. De beweging van een stoffelijk punt P (massa m) langs een rechte I wordt gegeven door x = xosin wt, waarin x de coördinaat van P langs / met een punt 0 op 1 als oorsprong voorstelt.

Een punt Q (massa m) kan zich langs / bewegen, terwijl het door P wordt aangetrokken met een kracht die evenredig is met de afstand PQ en die op de eenheid van afstand een grootte heeft van ITJf.12 eenheden (Jl > 0, w> 0, Jl

'*

w). Op het tijdstip t =

°

heeft Q de coördinaat xo' terwijl Q t.O.V. 1 in rust is.

Bepaal de coördinaat van Q als functie van t.

8. Op een rechte 1 zijn drie punten 0, A en B gegeven. 0 is oorsprong van een coördinatenstelsel op I; de coördinaten van A en B zijn resp. a en b. Een stoffelijk punt P (massa m) beweegt zich langs / onder invloed van twee krachten, die resp. naar A en naar B gericht zijn. Deze krachten zijn evenredig met de afstanden van P tot A resp. B; op de eenheid van afstand is iedere kracht in grootte gelijk aan mk2 eenheden (k > 0).

a. Bepaal de coördinaat van P als functie van t.

b. Hoe groot is de periode van de beweging van P langs /?

9. Twee stoffelijke punten P (massa bm) en Q (massa am) kunnen zich vrij langs een rechte I bewegen. Zij trekken elkaar aan met krachten die evenredig zijn met hun onderlinge afstand en die op de eenheid van afstand beide de grootte ITJf.12 eenheden hebben. Op het tijdstip t

=

°

bevinden P en Q zich in rust ter weerszijden van een gegeven punt 0 op I, op afstanden van 0 die gelijk zijn aan a resp. b. Bereken de posities van P en Q op het tijdstip ti'

11. BEWEGING VAN STOFFELIJKE PUNTEN IN EEN

PLAT VLAK.

11-1

1. In een vlak V is een coördinatenstelsel OXY aangebracht met 0 als oorsprong. Een stoffelijk punt P (massa m) beweegt zich in V en ondervindt daarbij een kracht waarvan de drager loodrecht op de X-as staat, die naar de X-as gericht is en waarvan de grootte evenredig is met de afstand van P tot die as. Op de eenheid van afstand is de grootte van de kracht gelijk aan mk2 eenheden. Op het tijdstip t

=

0 bevindt het stoffelijk punt zich in het punt (O,a) en is de grootte van de snelheid gelijk aan v; de richting van de snelheid is die van de positieve X-as. Bepaal de vergelijking van de door P beschreven baan.

2. De coördinaten van een stoffelijk punt P (massa m) worden in een recht

-hoekig assenstelsel gegeven door x = asin wt, y = bcos wt (a> 0 en b> 0). Gevraagd wordt:

a. De vergelijking van de baan en de baanvorm.

b. De tangentiële en de normale versnelling van P als functie van t. c. De kracht (in grootte en richting), die P dwingt de baan te doorlopen.

3. Een stoffelijk punt P (massa m) beweegt zich in een vlak onder invloed van

een kracht die naar een vast punt 0 van dit vlak gericht is en waarvan de grootte evenredig met de afstand van het punt P tot 0 is. Op de eenheid

van afstand bedraagt de grootte van de kracht mk2 eenheden. Op het

tijd-stip t = 0 bevindt P zich op de afstand a van 0, met een snelheid die lood-recht op OP gericht is en de grootte v heeft.

a. Bepaal de vorm van de door P beschreven baan.

b. Bewijs dat het impulsmoment van P t.O.v. 0 constant is en bereken de grootte van deze constante.

4. Een stoffelijk punt P (massa m) beweegt zich in een vlak t.O.V. een recht-hoekig assenstelsel OXY onder invloed van een kracht waarvan de drager loodrecht op de X-as staat en die voortdurend naar de X-as gericht is. De grootte van deze kracht is omgekeerd evenredig met de derde macht van de afstand van P tot de X-as; op de eenheid van afstand bedraagt deze grootte

mk2 _eenheden.

Op het tijdstip t = 0 bevindt P zich in het punt (O,a); de snelheid van P op dit tijdstip is evenwijdig met de positieve X-as gericht en heeft de grootte v.

a. Bepaal de vergelijking van de baan van P.

b. Welk gedeelte van de l' a. gevonden kromme wordt door P doorlopen?

c. Bereken het tijdstip waarop P de X-as bereikt.

5. Op een stoffelijk punt P (massa m), dat zich in een vlak V beweegt, werken twee krachten Kl en K₂, waarvan de dragers in V liggen.

Il-2

In V is een rechthoekig coördinatenstelsel OXY aangebracht. De drager van Kl staat loodrecht op de X-as, terwijl Kl voortdurend naar de X-as gericht is. De grootte van K I is evenredig met de afstand van P tot de X -as; op de eenheid van afstand bedraagt deze grootte k2 eenheden. De drager van K

2 staat loodrecht op de Y-as, terwijl K

2 voortdurend naar de lijn l met

verge-2

lijking x = - ; - gericht is (k > 0 en a > 0). De grootte van K₂ is even-4k a

redig met .de afstand van P tot l; op de eenheid van afstand bedraagt deze grootte 4k2 eenheden. Op het tijdstip t = 0 bevindt P zich in 0; de snelheid van P is dan gericht volgens de positieve Y-as en heeft de grootte v.

a. Bepaal de vergelijking van de baan van P; welk gedeelte van de gevonden kromme wordt door P doorlopen?

b. Welke dimensies hebben k en a?

6. In een vlak V is een rechthoekig assenstelsel OXY aangebracht. Een stoffe-lijk punt P (massa m) beweegt zich in Vonder invloed van een naar 0 gerichte kracht, waarvan de grootte evenredig is met OP. Op de eenheid van afstand is de grootte van de kracht mk2 eenheden (k> 0). Op het tijdstip t = 0 bevindt P zich in het punt (a,O); de snelheid van P is dan evenwijdig met de positieve Y-as gericht en heeft de grootte v.

a. Bepaal de vergelijking van de baan van P en bereken de omloopstijd. b. Bereken v zodanig dat de baan door het punt (~a,%a) gaat.

c. In welk(e) punt(en) van de onder b. bedoelde baan is de grootte van de snelheid maximaal en hoe groot is deze snelheid?

7. _{In een vlak V liggen twee punten Cl en C2 op onderlinge afstand 2a}. Een stoffelijk punt P (massa m) beweegt zich in Vonder invloed van twee krach-ten Kl en K2' die door Cl resp. C2 op P worden uitgeoefend. De kracht Kl is naar Cl gericht; zijn grootte is evenredig met de afstand van P tot Cl en op de eenheid van afstand gelijk aan 4mk2 eenheden (k> 0). _{De kracht K2} is naar C

2 gericht; zijn grootte is evenredig met de afstand van P tot C2 en op de eenheid van afstand gelijk aan mk2 eenheden. Op het tijdstip t = 0

bevindt P zich in het punt A van de verbindîngslijn Cl C₂; Cl A : AC

2 = I : 3. De snelheid van P heeft op dit tijdstip de grootte v; de drager van de snelheidsvector staat loodrecht op Cl C

2.

a. Bepaal' de vergelijking van de baan van, P in een geschikt gekozen assen-stelsel, waarvan de oorsprong samenvalt met dat punt van V, waarin Kl'

en K₂ evenwicht maken. b. Bepaal de omloGpstijd van P.

8. lri'.eén vlak V is een rechthoelcig assenstelsel'0XY aangenomen,. Een punt C beweegt zich met constante snelheid ter grootte c langs de' X-as; op het. tijd-stip t· = 0 bevindt'C zich in O. Een stoffelijlç pUNt P (massa-

mt

beweegt zich' in Vonder invloed' van een kra'Cht die van·

C

af gericht is;. de grootte van deze kracht is evenredig met de afstand van C tot P en is op de een-heid van afstand gelijk aan m k2 eenheden. Op het' tijdstip t = 0 is P in

11-3

het punt (O,a); de snelheid van P is dan evenwijdig met de positieve X-as gericht en heeft de grootte v. Bepaal de coördinaten van P als functie van t.

9. Een punt P beweegt zich in een vlak V t.O.V. een in dit vlak gegeven

recht-hoekig coördinatenstelsel OXY. De coördinaten van P zijn x = asin wt

en y = b cos wt. Een stoffelijk punt Q (massa m) beweegt zich in het vlak

Vonder invloed van een kracht die voortdurend naar P gericht is en waarvan

de grootte evenredig is met PQ; op de eenheid van afstand is de grootte van

de kracht gelijk aan m/12 eenheden (/12 =1= w2). Op het tijdstip t = 0 bevindt Q zich zonder snelheid in O.

Bepaal de coördinaten van Q als functie van t.

10. Een punt C doorloopt in een vlak V eenparig een cirkel (middelpunt 0,

straal r) met hoeksnelheid w. Een stoffelijk punt P (massa m) beweegt

zich zonder wrijving langs een rechte I die door 0 gaat en in V ligt. Op P werkt een kracht die voortdurend naar C gericht is en waarvan de grootte

evenredig met de afstand PC is; op de eenheid van afstand is de grootte van

de kracht gelijk aan m/12 eenheden. Op het tijdstip t = 0 bevindt C zich

in één van de snijpunten van I met de cirkel; het punt P bevindt zich dan zonder snelheid in O.

a. Bepaal de plaats van P op het tijdstip ti (onderscheid de gevallen

/1 =1= w en /1 = w).

b. Bereken de kracht die het punt P op het tijdstip ti van I ondervindt. II . Twee stoffelij ke pun ten PI (massa mi) en P 2 (massa m₂)

kunnen zich ieder langs een rechte bewegen, PI langs 1₁ en P 2 langs 1 2 (il

IJ

[2)' De punten trekken elkaar aan met een kracht, waarvan de grootte gelijk is aan mi m

2/1

2 _{.P 1 P 2' Er is geen wrijving. De afstand tussen i} 1 en i2

is gelijk aan a. Op het tijdstip t = 0 is de afstand tussen PI en P 2 gelijk aan a; PI heeft op dit tijdstip een snelheid ter grootte v, terwijl P 2 dan geen snelheid heeft.

a. Bepaal de door PI en P 2 afgelegde weg als functie van t.

b. Bepaal de krachten die PI resp. P 2 van i

1 resp. 12 ondervinden. c. Hoe groot is de snelheid' van het zwaartepunt van het stelsel, bestaande

uit de stoffelijke punten PI en P 2 ?

1"2, Een stoffelijk punt P (massa m) be.weegt zich in een vlak Vonder invloed van 'een kracht die voortdurend naar een vast" punt 0 in V gericht is en waarvan de grootte gelijk is aan km (r is de afstand

tu~en

0 en P; k is een

r3

constante). Op het tijdstip t = 0 is de afstand' van P tot 0 gelijk aan a; de sne).heid van P heeft dan de grootte v en maakt een: hoek a met het verlengde van OP.

a.' Stel-de bewegings.vergelijkingen· op in· een geschikt p00lcoördinatenstelsel. b, Leid een bewegingsvergelijking van de eerste ord.e af, die. alleen de. coördi

-naat r bevat en los deze vergelijkin'g op,

c. Aan welke voorwaarde(n) moeten a, v en a voldoen, opdat het punt P

13. Een stoffelijk punt P (massa m) beweegt zich onder invloed van de zwaarte-kracht (versnelling g) zonder wrijving langs de binnenzijde van een verticaal gestelde cirkel (middelpunt M, straal r). Op het tijdstip t = 0 bevindt P zich zonder snelheid in het horizontale vlak door M. Als coördinaat kiest men de hoek <p die MP met de naar beneden gerichte verticaal maakt.

a. Stel de bewegingsvergelijkingen voor Pop.

b. Bereken de grootte van de kracht, die P van de cirkel ondervindt, als functie van <p.

c. Geef een uitdrukking in de vorm van een bepaalde integraal voor de tijd waarin P de halve cirkel doorloopt.

14. In een vlak, waarin een rechthoekig assenstelsel OXY is aangenomen, is een

krachtveld gegeven. De componenten van de veldsterkte in de X- resp. Y- rich-ting zijn F = k(4xy - 3ax + a2) en F = k(2x2

- 5ay - 2a2), waarin

x y

a een constante voorstelt.

a. Bewijs dat het veld conservatief is en bepaal de potentiaal.

b. Bereken de potentiële energie van een stoffelijk punt (massa m) dat zich in het veld bevindt.

c. Welke dimensie heeft k?

15. In een vlak V, waarin een rechthoekig assenstelsel OXY is aangenomen, is

een krachtveld gegeven. De componenten van de veldsterkte in de X- resp. Y-richting zijn F

=

k2(-4x - 3y) en F

=

k2_{(-3x - 4y), waarin keen}

x y

positieve constante voorstelt.

Een stoffelijk punt P (massa m) beweegt zich in Vonder invloed van dit krachtveld.

a. Bewijs dat het veld conservatief is en bepaal de potentiaal.

b. Bepaal de algemene oplossing van de bewegingsvergelijkingen van P. c. Bepaal de coördinaten van P als functie van t, als gegeven is dat P zich op

het tijdstip t = 0 in het punt (2a,O) bevindt en op dit tijdstip geen snelheid heeft.

d. Bereken de kinetische energie van P.

e. Controleer dat de som van de kinetische en potentiële energie van P constant is.

16. Een stoffelijk punt P (massa m) beweegt zich langs de binnenzijde van een vaste, verticaal opgestelde hoepel (middelpunt M, straal R), onder invloed van de zwaartekracht (versnelling g). Bovendien werkt op P gedurende de beweging een weerstandskracht, die steeds tangentieel ten opzichte van de hoepel gericht is en waarvan de grootte gelijk is aan mk<p, hierin is keen positieve constante, terwijl <p de hoek (in radialen) is, die de voerstraal van P sinds het begin van de beweging heeft doorlopen. Op het tijdstip t = 0 bevindt P zich in rust in een uiteinde A van de horizontale middellijn van de hoepel.

a. Druk de hoeksnelheid van P op een willekeurig tijdstip in <p uit. b. Bereken k, als gegeven is dat P juist het onderste punt B van de hoepel

II-S

c. Bereken de door de weerstandskracht verrichte arbeid over de weg AB. d. Bepaal de normale reactie, die P van de hoepel ondervindt op het tijdstip dat

1,0

=%.

17. In een vlak, waarin x en y de coördinaten voorstellen ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel met oorsprong 0, is een krachtveld gegeven, waarvan de componenten van de veldsterkte zijn:

Fx

=

k(3x2 + 8xy + y2); Fy

=

k(5x2 + 2xy + 2 y 2). Verder zijn gegeven de punten A (a,O) en B (a,a); (a

>

0).

Bereken de arbeid die de veldkracht verricht, als de eenheid van massa ver-plaatst wordt langs de gesloten baan gevormd door de gerichte lijnstukken OA, AB en BO.

nl. ENERGIE VAN MECHANISCHE STELSELS.

1. Een homogene staaf (lengte 2l, massa m) beweegt zich vrij over een vlak. a. Hoeveel vrijheidsgraden heeft de staaf tijdens zijn beweging?

b. Voer coördinaten in en bereken de kinetische energie van de staaf. 2. Een staaf AC bestaat uit de homogene delen AB (massa m, lengte 21) en

BC (massa 3m, lengte 2l), die onwrikbaar met elkaar zijn verbonden. De staaf beweegt zich vrij over een vlak.

Voer coördinaten in en bereken de kinetische energie van de staaf. 3. Een homogene staaf AB (massa 3m, lengte 2l) is in B scharnierend met

een homogene staaf BC (massa 2m, lengte 3l) verbonden, zodanig dat beide staven zich in een vlak V kunnen bewegen. Bij deze beweging is de staaf AB draaibaar om de as die in A loodrecht op V staat. Voer als coördinaten in de hoeken tp en {}, die AB resp. BC met een vaste richting in V maken en bereken de kinetische energie van het stelsel dat door de beide staven wordt gevormd.

4. In een vast verticaal vlak V is een coördinatenstelsel OXY aangenomen, waarvan de positieve Y-as verticaal naar beneden is gericht. Twee

homo-lIl- I

gene staven AC (lengte 2/, massa 3m) en BC (lengte 2/, massa m) zijn in C scharnierend verbonden. De uiteinden A en B bewegen zich langs de X-as,

terwijl C zich in V beweegt. Er is nergens wrijving. Het stelsel, gevormd door AC en BC, is onderworpen aan de zwaartekracht (versnelling g). Als coördi-naten van het stelsel kiest men de x-coördinaat u van het midden van AB en de hoek BAC = tp (positief te meten als C onder de X-as ligt). Bereken de kinetische en de potentiële energie van het stelsel.

5. Een homogene staaf AB (lengte 6l, massa 2m) kan in alle richtingen vrij draaien om één van zijn punten 0 (OA = 2l). Als noodzakelijke coördinaten voert men in de hoek tp die AB met de naar beneden gerichte verticaal maakt en de hoek {} die het verticale vlak door AB met een vast verticaal vlak maakt. Bereken de kinetische energie van de staaf.

6. Een homogene rechte buis (lengte 2l, massa mI) draait in een vlak om één van z;ijn uiteinden. In de buis beweegt zich een stoffelijk punt (massa m

2). a. Hoeveel vrijheidsgraden heeft het systeem?

b. Voer coördinaten in en bereken de kinetische energie van het systeem. 7. Een homogene rechte buis AB (lengte 2l, massa mI) beweegt zich over een

vlak. In de buis beweegt zich een stoffelijk punt (massa m

2). Voer coördi. -naten in en bereken de kinetische energie van het systeem.

8. Van een homogene cirkelvormige buis (middelpunt 0, straal R, massa M) zijn AB en CD twee onderling loodrechte middellijnen; AB valt langs een

IlI-2

vaste horizontale as I, waarom de buis zonder wrijving draaibaar is. In de buis kan zich een stoffelijk punt P (massa m) zonder wrijving bewegen. De versnelling van de zwaartekracht is g. Als coördinaten kiest men de hoek \{J

die

oe

maakt met de naar boven gerichte verticaal door 0 en L DOP = (J.

Bereken de kinetische en de potentiële energie van het stelsel.

9. Een homogene hoepel (straal R, massa m) is draaibaar om een vaste verticale as, die langs een middellijn valt. Een homogene staaf AB (lengte R, massa 2m) beweegt zich met de uiteinden A en B langs de hoepel. Er is geen wrij-ving. Het systeem is onderworpen aan de zwaartekracht (versnelling g). Men kiest als coördinaten de hoek \{J die AB maakt met de verticaal en de hoek (J

die het vlak van de hoepel met een vast verticaal vlak maakt. Bereken de kinetische energie en de potentiële energie van het systeem.

10. In een vlak, waarin een rechthoekig assenstelsel OXY is aangenomen, is een conservatief krachtveld gegeven. De potentiaal in een punt P (x,y) van het veld is gelijk aan p2 (x 2 - X Y + 2y2), waarbij p een constante is. In het veld beweegt zich een homogene staaf AB (lengte 2/, massa m) zodanig dat het midden Z van de staaf gedwongen wordt op de X-as te blijven. Als coördinaten voor d!! beweging van de staaf voert men in de x-coördinaat u van het punt Z en hoek BZX = \{J. De positieve zin van deze hoek is zodanig dat wanneer Z in 0 en B op de positieve Y-as valt, voor \{J de waarde +~ genomen wordt. Bereken de kinetische en de potentiële energie van de staaf.

IV-I

IV. DYNAMICA VAN MECHANISCHE STELSELS.

1. Een stoffelijk punt A beweegt zich in de ruimte.

a. Wat verstaat men onder de impuls (hoeveelheid van beweging) van A? b. Is de impuls een vector of een scalaire grootheid?

c. Wat verstaat men onder het impulsmoment van A ten opzichte van een punt O?

d. Is het impulsmoment een vector of een scalaire grootheid?

e. Wat verstaat men onder het impulsmoment ten opzichte van 0 van een mechanisch stelsel?

Men neemt een (rechts) rechthoekig assenstelsel OXYZ aan en beschouwt het mechanische stelsel S, bestaande uit drie stoffelijke punten Al' A₂ en A3' elk met massa m; Z is het zwaartepunt van S. Op het tijdstip t = 0 is Al in 0, zijn snelheid is dan (O,O,u); A₂ is in (a,O,O), zijn snel-heid is (O,v,O); A3 is in (O,a,O), zijn snelheid is (w,-v,-u).

f. Bereken de snelheid van Z op het tijdstip t = O.

g. Bepaal het impulsmoment van S ten opzichte van 0 voor t = O.

Gegeven is verder dat Al en A₂ elkaar aantrekken met een kracht ter grootte mk1₁₂, waarin 1₁₂ hun afstand en k een constante is; Al en A₂ trekken elkaar aan met een kracht ter grootte mk'I3' waarin

'13

hun afstand is. Er werken geen andere krachten dan de genoemde.

h. Beantwoord opnieuw de in f. en g. gestelde vragen, maar nu voor een willekeurig tijdstip tI' Formuleer daarbij de toegepaste theorema's. 2. Een stoffelijk punt beweegt zich in een vlak onder invloed van een centrale

kracht, waarvan het centrum in dit vlak ligt. Laat zien dat uit de stelling van het impulsmoment de perkenwet volgt.

3. Twee gelijke homogene staven AB en BC (elk met massa m en lengte 21) zijn in B scharnierend verbonden. A is vast; het geheel kan zich in een vast vlak V bewegen. Als coördinaten worden gekozen de (in dezelfde richting gemeten) hoeken IP

I en 1P2 die AB, respectievelijk BC met een vaste richting in V

maken. Druk het impulsmoment t.o.v. A van het uit de twee staven bestaande systeem uit in m, I, 1P₁, 1P₂ en hun fluxies.

4. Een homogene buis AB (lengte 2/, massa m) kan in een horizontaal vlak V zonder wrijving draaien om een as door het vaste punt A, loodrecht op V. Het zwaartepunt van de buis heet Z. Men kiest als coördinaat de hoek lP die AB maakt met een vaste, in V gelegen rechte.

a. Bereken de impulsmomenten van de buis resp. ten opzichte van A en ten opzichte van Z.

b. Wat volgt uit a. voor de richting van de kracht die de draaiingsas op de buis uitoefent?

IV-2

5. In de homogene buis van vraagstuk 4 bevindt zich een stoffelijk punt P (massa m), dat zich zonder wrijving in de buis kan bewegen. Als coördinaat voor de beweging van P ten opzichte van de buis wordt de afstand AP = u ingevoerd.

a. Bereken het impulsmoment van P ten opzichte van A.

b. Bereken het impulsmoment ten opzichte van A van het systeem, gevormd door de buis AB en het punt P.

c. Op het tijdstip t = 0 bevindt P zich in het midden van de buis, terwijl de hoeksnelheid van de buis op dit tijdstip gelijk is aan w.

Bereken de hoeksnelheid van de buis op het tijdstip da t P in B gekomen is.

6. Een homogene cirkelvormige buis (massa 2m) kan draaien om een vaste verticale middellijn l. Een stoffelijk punt P (massa m) kan zich in de buis bewegen. Er is nergens wrijving. Het geheel is onderworpen aan de zwaarte-kracht (versnelling g). Op een ogenblik, waarop het stoffelijk punt zich bevindt in een van de uiteinden van de middellijn Z, is de hoeksnelheid van de buis w. Hoe groot is de hoeksnelheid van de buis als P in een van de uitein-den van een horizontale middellijn is gekomen?

7. In een vast vlak V is een rechthoekig assenstelsel OXY aangenomen. In dit vlak beweegt zich een homogene staaf AB (lengte 2Z, massa m); onder invloed van een in het punt A aangrijpende en in V werkende kracht K beweegt A zich over de X-as. Er is nergens wrijving en er werkt geen zwaartekracht. Als noodzakelijke coördinaten voor de beweging kiest men de x-coördinaat u van het punt A en de hoek 'P die AB met de positieve X-as maakt.

a. Stel de bewegingsvergelijkingen voor de staaf op.

b. Druk de versnelling van A uit in de hoekversnelling van de staaf.

c. Bepaal de kracht K in het geval dat A zich eenparig langs de X-as beweegt.

8. In een vast verticaal vlak bevindt zich een vaste cirkel (middelpunt 0, straal R). Een homogene staaf AB (massa m, zwaartepunt Z, OZ = !R) beweegt zich onder invloed van de zwaartekracht (versnelling g) met de uiteinden A en B langs de binnenkant van deze cirkel. Er is nergens wrijving. Als noodzakelijke coördinaat voor de beweging van de staaf kiest men de hoek 'P die OZ maakt met de naar beneden gerichte verticaal door O. Op het tijdstip t = 0 is AB verticaal en heeft AB geen snelheid.

a. Bereken de hoeksnelheid van de staaf op het tijdstip tI' waarop hij voor het eerst horizontaal is.

b. Geef een uitdrukking voor tI in de vorm van een bepaalde integraal. c. Bewijs dat op het tijdstip tI de krachten, door de cirkel op de staaf

uitgeoefend, in grootte gelijk zijn en bereken deze grootte.

9. Een vast lichaam L bestaat uit twee gelijke homogene staven AB en BC (elk met lengte 4Z en massa m), die in B onwrikbaar met elkaar zijn verbon-den en loodrecht op elkaar staan. L is zonder wrijving draaibaar om een vaste horizontale as door A loodrecht op het vlak ABC en is onderworpen aan de zwaartekracht (versnelling g). Men laat L zonder beginsnelheid los

10.

- - -- - -

-in een stand, waarbij B zich verticaal boven A bev-indt. Men vraagt bij het begin van de hierop volgende beweging te berekenen:

a. de horizontale en verticale component van de kracht, die de as op L uitoefent;

b. de horizontale en verticale component van de kracht, die AB in het punt B op BC uitoefent.

IV- 3

A _B Een onvervormbaar lichaam bestaat uit

twee homogene staven AB en BC die in B onder een rechte hoek aan elkaar

R

verbonden zijn. Elk der staven bezit een " massa m en een lengte R. De uiteinden

I

I A en C kunnen wrijvingsloos glijden I

I langs de omtrek van een cirkel met straal R.

Ten tijde t = 0 bevindt het lichaam zich in rust in een stand waarbij A zich in het bovenste punt v.an de in een verticaal vlak opgestelde cirkel bevindt en ABC in het vlak van de ring ligt. De hierop volgende beweging onder invloed van de versnelling van de zwaartekracht g speelt zich geheel af in dit vlak. Bepaal:

a. De hoeksnelheid

:p

en de hoekversnelling

:P

die het lichaam vertoont als functie van de hoek '{J die de uitwijking van A (en dus eveneens van B) aangeeft vanuit de beginstand.

b. De krachten die in A en C op het lichaam worden uitgeoefend in de stand bij het begin van de beweging, '{J

=

O.

c. De krachten die in A en C op het lichaam worden uitgeoefend in de stand '{J = 90°.

11. Het uiteinde B van een homogene staaf AB (massa m, lengte 2l) is verbonden met het zwaartepunt van een tweede homogene staaf CD (massa 2m,

lengte 2l); de staven maken een rechte hoek met elkaar en zijn onwrikbaar verbonden. Het uit beide staven bestaande stelsel is in een vast verticaal vlak V draaibaar om het vaste punt A. De versnelling van de zwaartekracht is g. Op het stelsel werkt in Veen koppel van constante grootte M. Als coördinaat wordt de hoek '{J gekozen, die AB met de naar beneden gerichte verticaal maakt.

a. Leid, door het impulsmoment ten opzichte van A te beschouwen, een bewegingsvergelijking van de eerste orde af.

b. Op het tijdstip t = 0 is '{J = 0 en zijn de staven in rust. Bereken Mals gegeven is dat '{J maximaal 60° is.

c. Bereken de kracht en het koppel die door de staaf AB op de staaf CD worden uitgeoefend op het tijdstip t = 0 bij de onder b. genoemde omstandigheden.

IV-4

12. Een homogene staaf AB (lengte I, massa m) is onderworpen aan de

zwaarte-kracht (versnelling g). De staaf is met zijn uiteinden A en B opgehangen aan

twee massaloze koorden, die bevestigd zijn aan een vast punt 0 en die beide

de lengte 1 hebben. De staaf bevindt zich in zijn stabiele evenwichtsstand in rust; in het verticale vlak door de staaf wordt een rechthoekig assenstelsel

OXY aangebracht, waarvan de positieve X-as de richting van BA heeft en de positieve Y-as verticaal naar beneden wijst. Men knipt nu het koord OB door. Als noodzakelijke coördinaten voor de hierop volgende beweging van de staaf worden gekozen de hoek <p die OA maakt met de positieve Y-as en de hoek {} die BA maakt met de positieve X-as.

Bereken de hoekversnelling van de staaf en de spanning in het koord OA

onmiddellijk nadat het koord OB is doorgeknipt.

13. Een homogene cirkelvormige schijf (middelpunt M, straal r, massa m) van te

verwaarlozen dikte is in een punt 0 van zijn omtrek zonder wrijving draaibaar

om een vaste horizontale as loodrecht op het vlak van de schijf. In een punt A

van de omtrek, zo gelegen dat L OMA = 90°, is aan de schijf een stoffelijk

punt (massa m) bevestigd. Het geheel is onderworpen aan de zwaartekracht

(versnelling g) en wordt zonder beginsnelheid losgelaten in een stand, waarbij

MA horizontaal is en beneden 0 ligt.

Bepaal de kracht (richting en grootte) die het stoffelijk punt onmiddellijk na het loslaten op de schijf uitoefent.

14. Twee homogene staven AB en Be, beide met massa m en lengte 21 zijn in B

scharnierend verbonden. Het punt A kan zich verplaatsen langs een vaste

horizontale rechte h. AB en Be bewegen zich in het verticale vlak door h onder invloed van de zwaartekracht (versnelling g). Er is geen wrijving. Het

stelsel wordt losgelaten zonder beginsnelheid in een stand waarbij AB en

Be in elkaars verlengde langs h liggen. Bepaal onmiddellijk daarna de reactie-kracht in A.

15. Een homogene staaf AB (massa 3m, lengte 21) kan zonder wrijving om de vaste verticale as door het uiteinde A draaien; de staaf staat loodrecht op

de draaiingsas. Langs de staaf kan een stoffelijk punt P (massa m) zonder

wrijving glijden. Op het tijdstip t = 0 bevindt P zich op de afstand 1 van

A; P heeft op dit tijdstip geen snelheid ten opzichte van de staaf, terwijl de hoeksnelheid van de staaf dan gelijk is aan w. Als noodzakelijke coördinaten voor de beweging van het stelsel kiest men u = AP en de hoek <p die AB

maakt met zijn beginstand.

a. Toon aan dat van het stelsel het impulsmoment ten opzichte van de as

door A constant is en leid hieruit een differentiaalvergelijking voor het

stelsel af.

b. Doe hetzelfde voor de totale mechanische energie van het stelsel. c. Stel een differentiaalvergelijking van de eerste orde op, die uitsluitend

een coördinaat u bevat.

d. Geef een uitdrukking in de vorm van een bepaalde integraal voor het tijdstip t I waarop P het uiteinde B van de staaf bereikt. Bewijs dat tI alleen van w afhangt en omgekeerd evenredig is met w.

IV-S e. Bereken op het tijdstip tI de snelheid van het punt P en de hoeksnelheid

van de staaf.

f. Als nog gegeven is dat het punt P op het tijdstip tI de staaf loslaat, bereken dan de hoekversnelling van de staaf onmiddellijk voor en na het tijdstip ti'

16. Een holle rechte buis AB met een totale homogeen verdeelde massa m en een lengte 2l kan zich bewegen in een vast vlak V. De buis is vrij draaibaar om een vaste as door A loodrecht op het vlak V. Een homogene staaf PQ, eveneens met een totale massa m en een lengte 2l, past in de buis en kan ten opzichte van de buis wrijvingsloos glijden. Zolang de staaf of een wille-keurig gedeelte daarvan zich binnen de buis bevindt, vallen hun langsrich-tingen samen.

In de begintoestand bevindt de staaf zich juist geheel binnen de buis (P in A, Q in B) en is ten opzichte van de buis in rust. De buis draait op dit tijdstip met een hoeksnelheid Wo om de as door het punt A. Er werkt geen andere uitwendige kracht op het stelsel, bestaande uit buis en staaf, dan de reactie

-kracht in A.

Er wordt een vast assenkruis in het vlak V aangenomen. De oorsprong 0 valt samen met A. De richting van de positieve X-as valt samen met die van AB op het tijdstip dat de staaf de buis verlaat. De positieve Y-as wordt ver-kregen door draaiing van de positieve X-as over een hoek van 90° in de draai-richting van de buis.

Gevraagd:

a. De hoeksnelheid van de buis op het tijdstip dat de staaf de buis verlaat. b. De coördinaten van de beide uiteinden P en Q van de staaf op het

tijd-stip dat de buis voor het eerst, nadat de staaf de buis verlaten heeft, op-nieuw samenvalt met de positieve X-as.

17. Een stoffelijk punt P (massa m) beweegt zich in de ruimte. De plaats van P wordt gegeven door de van de tijd t afhankelijke vector f = OP, waarin 0 een vast punt is.

a. Geef in vectoriële vorm de impuls van P en het impulsmoment van P ten opzichte van O.

b. Als OXYZ een rechthoekig assenstelsel is, druk dan de componenten van het impulsmoment uit in de coördinaten x, y en z van P en hun fluxies. Een homogene cirkelschijf (middelpunt M, straal R, massa m) kan in zijn vlak roteren om een as, die loodrecht op zijn vlak staat en de schijf snijdt in een vast punt 0, waarbij OM = fR. In een buis die met de omtrek van de schijf samenvalt, daaraan is bevestigd en waarvan de massa verwaarloosd wordt, kan zich het punt P met massa m bewegen. Er is nergens wrijving en de zwaartekracht wordt buiten beschouwing gelaten.

c. Noem de uitwendige krachten die werken op:

1. het punt P; 2. de schijf;

IV- 6

In het vlak waarin S beweegt wordt een vast rechthoekig assenstelsel OXY aangenomen. De plaats van S wordt bepaald door L XOM = <p en

LAMP = Ij;. Daarbij is A het snijpunt van de buis met het verlengde van OM. Beide hoeken worden in tegenwijzerzin gemeten.

d. Druk de coördinaten van P uit in <p en Ij; uit en toon met behulp van b. aan dat het impulsmoment van P ten opzichte van 0 gelijk is aan àmR2 [(5 + 4cos

Ij;)(p

+ (4 + 2cos

Ij;)~l

.

e. Bepaal h.et impulsmoment van S ten opzichte van O.

f. Leid twee differentiaalvergelijkingen van de eerste orde af voor de beweging van S.

Op het tijdstip t

=

0 is gegeven dat <p

=

Ij;

=

0;

(p

=

-w en ~

=

2w

(w> 0)

g. Geef een uitdrukking in de vorm van een bepaalde integraal voor het tijd-stip waarop P voor het eerst in A terug is.

V. WRIJVING. ZUIVER ROLLEN.

1. Een homogene staaf AB (massa m, lengte 21) kan met het ene uiteinde A glijden langs een vaste verticale rechte k. De glijdende beweging van A langs k gaat gepaard met wrijving (wrijvingscoëfficiënt f). De staaf kan bovendien zonder wrijving om A draaien en is onderworpen aan de zwaartekracht (versnelling g). Hij wordt zonder snelheid losgelaten in een stand waarbij

V- I

het uiteinde B hoger ligt dan A en de hoek tussen AB en k gelijk is aan 60°. Nodig en voldoende, opdat A onmiddellijk na het loslaten niet langs k gaat glijden, is dat f voldoet aan een ongelijkheid van de vorm f

>

c. Bepaal het getal c.

2. Twee homogene staven AC en BC, beide met lengte 2/ en met massa m, zijn in C zonder wrijving scharnierend verbonden. De punten A en B zijn langs een horizontale rechte k verschuifbaar; in beide punten is de wrijvings-coëfficiënt f. De staven zijn onderworpen aan de zwaartekracht (versnelling g). Op het tijdstip t = 0 bevindt C zich boven k in het verticale vlak door k; op dit tijdstip is L CAB = a, terwijl alle snelheden 0 zijn.

a. Aan welke voorwaarde moet f voldoen, opdat beweging ontstaat? b. Bereken in het geval a. de grootte van de versnelling van A op het

tijd-stip t = O.

c. Neem nu f = 0 en stel dat C op het tijdstip tI de lijn k bereikt. Geef een uitdrukking voor tI in de vorm van een bepaalde integraal. 3. In een vast verticaal vlak V is een rechthoekig assenstelsel OXY aangebracht,

waarvan de positieve X-as naar rechts en de positieve Y-as naar boven is gericht.

Een homogene cirkelvormige schijf (middelpunt M, straal r, massa m) kan zich in V zodanig bewegen dat de schijf voortdurend de X-as raakt; het middelpunt blijft daarbij op de lijn y = r. De versnelling van de zwaarte-kracht is g; de wrijvingscoëfficiënt tussen de schijf en de X-as is f.

Als noodzakelijke coördinaten voor de beweging van de schijf neemt men de x-coördinaat u van M en de hoek <{J die een vaste straal 'van de schijf maakt met de positieve Y-as (<{J is positief te meten in wijzerrichting).

Op het tijdstip t

=

0 geldt: u

=

0, <{J

=

0, Ü

=

v, ~

=

w.

L Zij f = O.

a. Stel de vergelijkingen op die de beweging van de schijf beschrijven. b. Bereken u en <{J als functie van t.

c. Welke betrekking bestaat er tussen v en w, als de beginsnelheid van het aanrakingspunt van schijf en X-as nul is?

V- 2

11. Zij f =1= 0, v

>

0, W

=

0.

a. Stel de vergelijkingen op die de beweging van de schijf beschrijven. b. Bereken u en '{J als functie van t.

c. Bereken het tijdstip tI waarop de snelheid van het aanrakingspunt van schijf en X-as nul is.

d. Kan de schijf van het tijdstip t I af zuiver rollen?

Waarom geldt bij het zuiver rollen de wet van behoud van mecha-nische energie?

e. Bereken de snelheid van M op het tijdstip tI'

f. Bereken op twee manieren de door de wrijving in het tijdsinterval rO,tIl verrichte arbeid.

III. Zij f =1= 0, v = 0, W

>

0.

Beantwoord dezelfde vragen a-f als onder Il gesteld. IV. Zij f=l=O,v>O, w>~.

a. Stel de vergelijkingen op die de beweging van de schijf beschrijven. b. Bereken u en '{J als functie van t.

c. Bereken het tijdstip tI waarop de snelheid van het aanrakingspunt van schijf en X-as nul is.

d. Kan de schijf van het tijdstip tI af zuiver rollen? V. Zij f =1= 0, v

>

0, W

<

f.

a. Stel de vergelijkingen op die de beweging van de schijf beschrijven. b. Bereken u en '{J als functie van t.

c. Bereken het tijdstip t I waarop de schijf zuiver gaat rollen. d. Bereken de snelheid en de x-coördinaat van M op het tijdstip tI'

e. Aan welke voorwaarden moet

w

bij gegeven v voldoen, opdat M

in zijn beginstand terugkeert? f. Bereken in het geval e. het tijdstip t

2, waarop M in zijn beginstand terugkeert en de grootte van de snelheid van M op dit tijdstip. 4. Op een hellend vlak met hellingshoek

a

(0

<

a

< ;)

plaatst men een

homo-gene massieve bol (middelpunt M, straal r, massa m). De wrijvingscoëfficiënt tussen de bol en het hellende vlak is gelijk aan f. De versnelling van de zwaar-tekracht is gelijk aan g. De bol wordt zonder beginsnelheid losgelaten. De verplaatsing van M in het tijdsinterval (O,t) wordt met u aangeduid, de hoek waarover de bol in dit interval draait om een horizontale as door M even-wijdig aan het hellende vlak wordt met '{J aangeduid.

I. Stel dat de bol zuiver gaat rollen.

a. Stel de vergelijkingen op die de beweging van de bol beschrijven. b. Bereken de grootte van de wrijving en de normale kracht.

c. Aan welke voorwaarde moet f voldoen, bij gegeven a, opdat de bol zuiver rolt?

d. Toon aan dat uit de in a. gevonden vergelijkingen de wet van behoud van mechanische energie kan worden afgeleid. Bewijs ook, zonder van de in a. gevonden vergelijkingen gebruik te maken, dat deze wet tijdens de beweging geldt.

-II. Veronderstel dat de bol bij zijn beweging langs het vlak naar beneden slipt.

V-3

a. Stel weer de vergelijkingen op die de beweging van de bol beschrijven. b. Bereken u en tp als functie van t.

c. Aan welke voorwaarde moet f bij gegeven a voldoen, opdat de bol slipt?

5. Een homogene massieve bol (middelpunt M, straal r, massa m) kan zich over een hellend vlak met hellingshoek a (0

<

a <~) zodanig bewegen, dat een vaste straal MA van de bol in een vast verticaal vlak V blijft, dat loodrecht op het hellende vlak staat.

6.

In V is een rechthoekig assenstelsel OXY aangebracht, waarvan de positieve X-as langs het hellende vlak naar boven en de positieve Y-as loodrecht op het hellende vlak naar boven zijn gericht. Als noodzakelijke coördinaten voor de beweging van de bol kiest men de x-coördinaat u van M en de hoek tp die de straal MA van de bol maakt met de positieve Y-as (tp is positief te meten in dezelfde zin als de draaiing over de hoek ~ van de positieve Y-as naar de positieve X-as).

De versnelling van de zwaartekracht is gelijk aan g; de wrijvingscoëfficiënt tussen de bol en het hellende vlak is gelijk aan f.

Op het tijdstip t

=

0 geldt: u

=

0, tp

=

0,

ti

=

v (v> 0),

(p

=

o.

Gedurende het tijdsinterval (O,t 1) slipt de bol over het hellende vlak. a. Stel de vergelijkingen op die de beweging van de bol in het tijdsinterval

(0,t

1) beschrijven.

b. Bereken voor dit geval

ti

en

(p

als functie van t.

Op het tijdstip tI komt het slippen van de bol tot een eind;

ti

is dan gelijk aan tv.

c. Bereken f, tIen de waarde van u op het tijdstip tI.

d. Ga na dat de bol van het tijdstip tI af zuiver rolt en bereken de versnel-ling van Mals t > tI·

e. Bereken het tijdstip t₂ waarop M de hoogste stand bereikt alsmede de waarde van u op het tijdstip t₂.

f. Bereken het tijdstip t

3 waarop M in zijn beginstand terug is.

Hoe groot is de snelheid van M op dit tijdstip? r--_ I I \ \ \ R , / , / ,

-, , / / ... / i / 1 I /

Gegeven is een homogene schijf in de vorm van een halve cirkel met straal R. De totale massa van de schijf is m. De schijf rust (onder invloed van de zwaar-tekracht met versnelling g) op een horizontale ondergrond. De wrijvingscoëffi-ciënt is zodanig dat bij de in het vraagstuk bedoelde beweging zuiver rollen optreedt en slippen is uitgesloten. We beschouwen uitsluitend beweging in het (verticale) vlak van tekening. Een stabiele evenwichtsstand is die waarbij

V-4

het midden van de cirkelboog de ondergrond raakt. De schijf voert kleine slingeringen uit om deze evenwichtsstand.

Bepaal de slingertijd.

7. Langs één der stralen van een homogene cirkelvormige schijf (straal R, massa m) is een homogene staaf AB (lengte R, massa m) bevestigd, zodanig dat A met het middelpunt van de schijf en B met een punt van de omtrek samenvalt. Het vaste lichaam gevormd door de schijf en de staaf kan in een vast verticaal vlak V over een horizontale rechte k in V zuiver rollen. De wrijvingscoëfficiënt tussen het lichaam en de rechte k is f; de versnelling

van de zwaartekracht is g. (Zie ook hoofdstuk VI, vraagstuk 16). a. Bereken de kinetische energie van het lichaam bij deze beweging. b. Bereken de cirkelfrequentie van de kleine trillingen, die het lichaam om

de stabiele evenwichtsstand kan uitvoeren.

8. In een vlak V is een rechthoekig assenstelsel OXY aangenomen. Een voldoend lange buis AB bevindt zich in V; A valt samen met 0 en AB maakt een vaste gegeven hoek

a

(0

<

a

<

*)

met de positieve Y-as, zodanig dat AB in het eerste kwadrant ligt. In de buis kan een stoffelijk punt P (massa m) bewegen onder invloed van een krachtveld in V, waarvan de veldsterktecomponenten gegeven worden door F

=

ax (a> 0) en F

=

b (b > 0). De

wrijvings-x y

coëfficiënt tussen P en de buis is gelijk aan f. Als noodzakelijke coördinaat voor de beweging van P in de buis wordt de afstand OP = u ingevoerd. Op het tijdstip t = 0 bevindt P zich zonder snelheid in O.

a. In welk punt van de buis is de normale reactiekracht op P gelijk aan O? b. Stel de bewegingsvergelijking op als P zich van 0 af beweegt.

c. Tussen welke grenzen moet f liggen, opdat P gaat bewegen en in de buis tot stilstand komt?

9. In een vast verticaal vlak rolt een homogene cirkelvormige schijf (straal R, massa m) langs de binnenzijde van een cirkelvormige baan (straal 4R). De versnelling van de zwaartekracht is g. Voorts is nog gegeven dat de wrijvings-coëfficiënt tussen de schijf en de baan gelijk is aan f.

We beschouwen de beweging welke volgt op een beginsituatie waarbij de schijf het onderste punt van de baan raakt en verkeert in een toestand van zuiver rollen (dus zonder slippen) met een hoeksnelheid wo'

Bepaal de waarde die Wo tenminste moet bezitten opdat de schijf zonder het contact met de baan te verliezen en zonder dat op enig tijdstip slippen optreedt gehele omlopen over de baan maakt, als nog gegeven is dat

f =

hli.

10. Aan beide uiteinden van een onvervormbare als massaloos op te vatten as, lengte 2R, is een homogene cirkelvormige schijf met straal R bevestigd. Elk der schijven bezit een massa m. Het vlak van elk der schijven staat loodrecht op de as, terwijl het bevestigingspunt samenvalt met het middelpunt. De bevestiging is star, zodat er sprake is van één onvervormbaar lichaam. Het lichaam rust, onder invloed van de zwaartekracht met versnelling g, op een horizontale ondergrond. Beide schijven zijn in aanraking met de

onder-grond. Tussen deze ondergrond en elk der schijven kan droge wlijving optreden met een wrijvingscoëfficiënt Jl.

v-s

Op een tijdstip dat het lichaam in rust verkeert grijpt een horizontaal gerichte kracht F aan in het middelpunt van een der schijven. De werklijn van deze kracht staat loodrecht op de as.

Bepaal de versnelling van het aangrijpingspunt van de gegeven kracht als nog gegeven is dat de grootte van deze kracht Jlmg bedraagt.

--

- - -

-VI- l

VI. STOOT.

I. Een homogene staaf AB (massa m, lengte 21) ligt in rust op een glad vlak V. Op een gegeven ogenblik ontvangt de staaf in het uiteinde A een stoot ter grootte S, waarvan de drager in V ligt en loodrecht op AB staat.

a. Bereken de snelheid van het zwaartepunt van AB en de hoeksnelheid van de staaf onmiddellijk na de stoot.

b. Beschrijf de beweging van AB na de stoot.

c. Bereken op twee manieren de door de stoot verrichte arbeid.

2. Een staaf (niet noodzakelijk homogeen) ligt in rust op een glad horizontaal vlak. A en B zijn punten van de staaf. Van een horizontale stoot ter grootte S staat de richting loodrecht op de staaf; de stoot kan de staaf hetzij in A, hetzij in B treffen.

a. Bewijs dat de snelheid van B onmiddellijk nadat deze stoot de staaf in A treft, gelijk is aan de snelheid van A onmiddellijk nadat deze stoot de

staaf in B treft.

b. Toon aan dat de hoeveelheden arbeid, die de stoot in de beide in a.

genoemde gevallen verricht, zich verhouden als de traagheidsmomenten van de staaf ten opzichte van A en B.

3. Een homogene staaf AB (massa m, lengte 2/) kan om een horizontale as k

door zijn uiteinde A zonder wrijving in een verticaal vlak V loodrecht op k draaien. De staaf is onderworpen aan de zwaartekracht (versnelling g).

Terwijl de staaf in de stabiele evenwichtsstand in rust is, ontvangt hij een horizontale stoot van de grootte S, waarvan de drager op afstand d van A in V gelegen is.

a. Bereken de grootte van de reactiestoot in A.

b. Hoe groot moet d zijn opdat in A geen reactiestoot optreedt?

c. Hoe groot moet in dit geval S minstens zijn, opdat de staaf na de stoot volledige omwentelingen maakt?

4. Een homogene staaf AB (massa m, lengte 4/) valt in horizontale stand onder

invloed van de zwaartekracht in een vast verticaal vlak naar beneden. Op het ogenblik dat de snelheid van de staaf de grootte v heeft, ontvangt hij in het punt C, zodanig gelegen dat BC = I, een verticale stoot, die geen arbeid

verricht. Bereken de grootte van de snelheid van het zwaartepunt van AB en van de hoeksnelheid van AB onmiddellijk na de stoot.

S. Een homogene massieve bol (massa m, straal r) bevindt zich in rust op een ruw horizontaal vlak V. De bol ontvangt een horizontale stoot van de grootte S, die gelegen is in een verticaal vlak door het middelpunt van de bol. De afstand van de stootvector tot V is gelijk aan d. Onmiddellijk na de stoot krijgt de bol een zuiver rollende beweging.

VI-2

a. Hoe groot is d?

b. Bereken op twee manieren de door de stoot verrichte arbeid. c. Ga na dat de bol zuiver blijft rollen.

6. Een homogene cirkelvormige schijf (straal R, middelpunt M, massa m) rolt zuiver over een horizontaal vlak en blijft daarbij voortdurend in een vast verticaal vlak. De snelheid van M is in richting en grootte constant. De schijf wordt getroffen door een stoot, die dezelfde richting heeft als de snelheid van M en waarvan het aangrijpingspunt op de afstand hboven M ligt.

Kan men h zó kiezen dat de schijf ook na de stoot zuiver rolt?

7. Een homogene massieve bol (massa m, straal r) ligt op een ruw horizontaal vlak (wrijvingscoëfficiënt f) in rust en wordt getroffen door een horizontale stoot ter grootte S, waarvan de werklijn door het middelpunt gaat. De versnelling van de zwaartekracht is g.

Welke afstand heeft het middelpunt afgelegd op het ogenblik dat de bol zuiver gaat rollen?

8. Twee gelijke homogene staven AB en BC (ieder met massa m en lengte 2l) zïjn in B scharnierend verbonden. Het geheel ligt op een vlak in rust, in een stand, waarbij de staven een rechte hoek met elkaar maken. De staaf AB word t in A getroffen door een stoot die de richting van B naar C heeft. Onmiddellijk na de stoot heeft A een snelheid ter grootte v.

a. Bewijs dat de werklijnen van de verbindingsstoten in B langs BC vallen.

b. Bereken de grootte van de hoeksnelheden van AB en BC onmiddellijk na de stoot.

c. Bereken de grootte van de snelheid van C onmiddellijk na de stoot en de grootte van de verbindingsstoten in B.

9. Een homogene vierkante plaat ABCD (massa m, AB = 2a), die zich vrij kan bewegen, voert een rotatie uit om de diagonaal AC met hoeksnelheid w. Op een gegeven ogenblik ontvangt de plaat in het punt B een stoot, waarvan de drager loodrecht op de plaat staat; onmiddellijk na de stoot heeft B geen snelheid.

a. Bereken het traagheidsmoment van de plaat ten opzichte van AC.

b. Bereken de hoeksnelheid van de plaat onmiddellijk na de stoot. c. Bereken de energievermindering van de plaat ten gevolge van de stoot. 10. In een verticaal vlak V is een rechthoekig assenstelsel OXY aangebracht,

waarvan de positieve X-as naar rechts en de positieve Y-as verticaal naar beneden is gericht. Een homogene staaf AB (massa m, lengte 2/) kan zich onder invloed van de zwaartekracht (versnelling g) in V zodanig bewegen dat het uiteinde A ol? de X-as blijft. Er is nergens wrijving.

Op het tijdstip t = 0 ontvangt de staaf, die zich in de stabiele evenwichts-stand in rust bevindt waarbij het punt A met 0 samenvalt, in het uiteinde B een horizontale stoot ter grootte S, die dezelfde richting heeft als de posi-tieve X-as. Als noodzakelijke coördinaten voor de beweging van de staaf worden gekozen de x-coördinaat u van A en de hoek 'P die AB maakt met

de positieve Y-as (positief te rekenen in tegenwijzerzin).

a. Bereken de hoeksnelheid van de staaf en de snelheid van zijn

zwaarte-punt onmiddellijk na de stoot.

VI- 3

b. Druk de kinetische en de potentiële energie van de staaf bij de beweging die op de stoot volgt uit in de noodzakelijke coördinaten en hun fluxies.

c. Wat merkt U op betreffende de beweging van het zwaartepunt van de

staaf?

d. Leid een differentiaalvergelijking van de eerste orde af, die alleen de vari-abele '{J bevat.

e. Op het tijdstip t

1 is de staaf voor de eerste keer horizontaal. Aan welke

voorwaarde moet S voldoen opdat dit mogelijk is? Geef een uitdrukking

voor t₁ in de vorm van een bepaalde integraal.

f. Bereken de hoeksnelheid van de staaf op het tijdstip tI'

g. Bereken de snelheid van B op het tijdstip tIen druk de x-coördinaat

van B op dit tijdstip uit in t₁.

11. Een staaf AC bestaat uit het homogene stuk AB (lengte 2l, massa m) en het

homogene stuk BC (lengte 2l, massa 3m), die in elkaars verlengde liggen en

onwrikbaar verbonden zijn. Men plaatst de staaf in C loodrecht op een glad

horizontaal vlak. Terwijl de staaf zich in deze labiele evenwichtsstand in

rust bevindt, wordt hij door een horizontale stoot ter grootte S getroffen,

zodanig dat het punt C onmiddellijk na de stoot geen snelheid heeft en dat

de staaf bij de op de stoot volgende beweging het horizontale vlak

onmid-dellijk loslaat. De versnelling van de zwaartekracht is g.

a. Welke relatie bestaat er tussen S en de hoeksnelheid w van de staaf,

onmiddellijk na de stoot?

b. Hoe groot is S minstens?

c. Bereken de afstand van het aangrijpingspunt van de stoot tot het punt C.

12. Twee homogene staven AB (lengte 2l, massa m) en BC (lengte 61, massa m)

zijn in B onwrikbaar verbonden; de staven maken een rechte hoek met elkaar.

Het stelsel kan zonder wrijving om het vaste punt A draaien in een vast

verti-caal vlak en is onder invloed van de zwaartekracht (versnelling g). Terwijl

het stelsel zich in de stabiele evenwichtsstand in rust bevindt, wordt BC in C door een stoot ter grootte S getroffen, die de richting van BA heeft. Kies als

noodzakelijke coördinaat de hoek '{J die AB met de naar beneden gerichte

verticaal maakt.

a. Hoe groot is '{J als het stelsel in stabiel evenwicht verkeert?

b. Bereken de hoeksnelheid van het stelsel onmiddellijk na de stoot.

c. Aan welke ongelijkheid moet S2 voldoen, opdat het stelsel volledige

omwentelingen gaat beschrijven?

13. In een horizontaal vlak V is een rechthoekig assenstelsel OXY zodanig

aangebracht, dat bij draaiing over ~ in wijzerrichting de positieve Y-as in

de positieve X-as overgaat.

Een vast lichaam L bestaat uit een homogene staaf AB (massa 3m, lengte 4l),

waaraan in het uiteinde Been massaloze rechte buis BC (lengte eveneens 41)