Elektrische netwerken: Theorie en vraagstukken

l

.

IJ2),L

/70

2-

E

I

sSa:::::fj

8

ELEKTRISCHE NETWERKEN

Theorie en vraagstukken

Bibliotheek TU Delft

11111 " 1111 "

C 1929472

Dit boek is gedrukt oP,

ongebleekt kringlooppapier. De milieubelasting als gevolg

van het gebruik van papier is groot, maar bij kringlooppapier een factor vijf

á,

zes

,

kleiner dan bij 'nieuw', hagelwit papier.

Theorie en vraagstukken

ir.

A. Henderson

Î

CIP-gegevens Koninklijke Bibliotheek, Den Haag

I

Henderson, A. It.

Elektrische netwerken: theorie & vraagstukken 1 A. Henderson. - Delft: Delftsche U.M .. - ID. Met index, lil ópg.

ISBN 90-6562:...138-5 Trefw,:netwerktheorie.

/

©VSSD

Eers~druk

1992

Delftse Uitgevers Maatschappij b.v .

.

P.O. Box 2851, 2601 CW Deift, The Netherlands

Telefoon/telefax 015-123725

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd,

op~eslagen

in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in

enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopiren,

ophamen, of.op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke

toestemming van de uitgever.

All rights reserved.

-

No part of this publication

may

be reproduced, stored in a

retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic,

.

mechanical,photocopying, recor{iing, or otherwise, without the prior written

permission of the publisher.

VOORWOORD

Dit boek is ontstaan uit de samenvoeging van de afzonderlijke titelS Elektrische Netwerken, theorie en Elektrische Netwerken, vraagstukken.

In dit boek wordt de klassieke netwerktheorie behaJ).deld. Het is bedoeld voor de studie aan de afdeling Elektrotechniek van de universiteiten en hogescholen. Maar ook andere studierichtingen zoals Natuurkunde, Informatietechniek en Werktuigbouwkunde kunnen dit boek gebruiken. Het vak Elektrische

Netwerken is namelijk een onmisbare basis voor verdere studie in verscheidene snid~erichtingen.

Om het rekenwerk te beperken heb ik voor de waarden van de netwerk-elementen eenvoudige getallen gekozen. Deze waarden liggen nonnaal buiten de realiteit (denk aan een condensator van één of meer farad), maar kunnen wel bij rekenprocessen optreden (normering bij filters).

Men kan in dit vakgebied niet ontkomen aan een zekere mathematische gerichtheid. Ik heb echter op veel plaatsen gewezen op de fysische achtergrónd en op een fysische interpretatie van de mathematische uitkomsten.

De opbouw is zeer geleidelijk~ In de eerste drie hoofdstukken word~ alleen de gelijkstroom behandeld, zodat de gebruikte wiskunde eenvoudig is. Dat heeft het voordeel dat al direct aan het begin van de studie met dit vak kan worden begonnen. Als na enige tijd tijdens de studie de wiskunde-kennis is

toegenomen, kan een begin worden gemaakt met de volgende hoofdstukken. Reeds in hoofdstuk 3 behandel ik belangrijke bouwstenen van de elektronica, zoals de transistor en de operationele versterker.

In hoofdstuk 4 heb ik een uitvoerige inleiding gegeven van de theorie van wisselstromen, hetgeen ik in hoofdstuk 5 heb uitgebreid met gebruikmaking van complexe grootheden. Een eenvoudige behandeling van complexe getallen uit de wiskunde is opgenomen aan het begin van hoofdstuk 5 .

. In hoofdstuk 6 komen onderwerpen aan de orde die van groot belang zijn in andere vakgebieden, zoals elektronica, regeltechniek en energietechniek. Het betreft hier onder meer polaire figUren en resonantie.

Hoofdstuk

7

·behandelt magnetisch gekoppelde spoelen en de transformator. Hoofdstuk 8 beschrijft de driefasensystemen, niét alleen van groot belang voor de toekomstige studie van de elektrische energietechniek, maar ook nuttig voor alle andere ~tudenten in de elektrotechniek, omdat enige kennis van de werking van het energienet in binnen- en buitenland naar mijn mening voor iedere technicus noodzakelijk is.

De reeksen van Fourier behandel ik in hoofdstuk 9. De daarin gebruikte integralen zuilen door de inmiddels verworven kennis van de

wi~kunde

geen problemen opleveren.

Hoofdstuk 10 (de complexe frequentie) bevat een wat meer theoretisch deel van de netwerktheorie, maar ook voor de studie van de elektronica en de

In hoofdstuk,

i

1 heb ik' onder meer de th~rie van filters eri, een verder , onderzoek van de operationele versterker beschreven. ,

Hoofdstuk lZ ~

een

inleiding tot het onderzoek van schakelverschijnselen (de netwerken revatten schakelaars), van groot belang voor vele studierichtingen; Het laatste hoofdstuk'(13) bevat,de computergerichte analyse van netwerken, waarin ik heb ,beschreven hoe ~en een netwerkprQbleem zodanig kan modificeren, dat het met behulp van de digitale computer kan worden berekend. V ~l berekeningen van de voorgaande hoofdstukken leert men via de Computer, (in ~et begin met een zakrekerurtachine) op te lossen. De vraagstukken zijn voor een' deel gelijk aan vroegere vraagstukken en het is boeiend de antwoorden, via de computer verkregen, te vergelijken met de reeds gevonden antwoorden. In de laatste paragraaf van hoofdstuk 13 ben ik kort ingegaan op 'het moeilîjke gebied van niet-lineariteit

Elk hoofdstuk wordt gevolgd door tientallen vraagstukken, die zijn ,

gerangschikt naar opklimmende moeilijkheid. Hierdoor is het voor de student mogelijk reeds na ~e lezing van enkele paragrafen van een hoofdstuk de ~rste vraagstukken met succes te maken. Het vinden van het goede antwoord (er is een uitvoerige antwoord~lijst opgen~inen) zal een stimulans zijn voor verdere, studie. De laatste vraagstukken van'elk hoofdstuk 'zijn van examen- of

tentamenniveau. ,

Het is essentieel veel vraagstukken te maken. Daarbij moet men zich niet tevreden stelleJ). met alle~n'de vergelijkingen op te stêllen,

maar

de berekening tot het einde voortzetten. Dan pas leert men of de gebruikte vergelijkingen juist

, zijn en of hel aantal daarvan voldoende is. "

Gaarne wil ik prof.dr. K.M. Adams en prof.dr.ir. P.M: Dewilde van de Technische Universiteit Delft danken voor hun colleges en de leerzame gespre,kk:en met,hen. Mijn speciale dank gaat uit naar ir. W. Buijze voor de ,jarenlange ~amenwerking en zijn bereidwilligheid een véertigtal vraagstukken af

te staan. De VSSD wil ik d~en voor de prettige en zakelijke samenwerking en de verzorgde uitvoering.

Tenslotte vermeld ik nog, dat in 1990 een Engelse editie van dit boek is verschenen (bij Edward Amold, een afdelmg van Hodder & Stoughton te

Londen). ' r '

/

zomer 1992

, ir. A. Henderson

INHOUD

Symboliek

11

1. BASISBEGRIPPEN

1.1.

Lading en stroom

15

1.2.

Potentiaal en spanning

16

1.3.

Richting en polariteit

17

1.4.

De wet van Ohm

18

1.5.

Kortsluitingen open klemmen

19

1.6.

De wetten van Kirchhoff

20

1.7.

Mathematische modellen voor de accu

21

1.8.

Eigenschappen van de spanningsbron en de stroombron

23

1.9.

Bronsterkte nul

24

1.10.

Dualiteit

25

1 .. 11. Arbeid en vermogen

25

(.

1.12.

. Serieschakeling Van weerstanden

26

1.13.

parallelschakeling van geleIdingen

27

1.14.

Gemengde schakelingen

28

1.15.

Laddemetwerken

29

1.16.

Spannings- en stroomdeling

I

30

1.17.

De oplossing van grotere netwerk~n

31

.} .18.

De maasmethode J

₃₂

,

1.19.

. De knooppuntsmethode I

35

1.20.

De stroomwet voor een snede

37

1.21.

Vraagstukken

38

2.

NETVVERKSTELLUNGEN

2.1.

Lineariteit en superpositie

44

2.2.

Het theorema van Tellegen

48

2.3.

Tweepoorten

51

2.4.

Het reciprociteitstheorema

54

2.5..

De theorema's van Thévenin en van Norton .;

57

2.6.

Vermogensaanpassing 62~

2.7.

Ster -drieh oek -transformati e J

64

2.8.

Vraagstukken'

68

3.

BESTUURDE BRONNEN

3.1.

De transistor

73

3.2.

Transactoren

v

74

3.3.

Bijzondere schakelingen

76

3.4.

Het theorema van Thévenin bij netwerken met transactoren J

80

3.5.

De operationele versterker ti

83

8

4.

WISSELSTROMEN EN WISSELSPANNINGEN ,\

4.1.

Inleiding

92

4.2.

,RIchting en polariteit

92

4.3.

De wetten van Kirchhoff en de wet van Olun

93

4.4.

Periodieke grootheden

93

4.5.

Gemiddelde waarde

94

4.6.

Vennogenbij wisselstroom

94

4.7.

Effektieve waarde

,

95

4.8.

Sinusvormige grootheden

96

4.9.

VeI1llogen hij sinusvormige spanningen en stromen

98

4.10.

De som van tw~e sinusvormige grootheden

100

4.1L

De condensator

101

4.12

.

De spoel

102

4

:

13.

De

opgeslagen energie in condensator en spoel

104

4.14.

De passieve elementen bij sinusvormige excitatie

106

'

4.15.

Grotere netwerken met sinqsvormige excitatie

108

'

4.J6.

Vraagstukken'

'

115

5.

COMPLEXE GROOTHEDEN

5.1.

Complexe getallen

119

"

5.2.

Bewerkingen met complexe getallen

120

5.3.

Complex~spariningen en stromen

121

5.4.

De wetten van Kirêhhoff voor complexe grootheden

129

5.5

.

De, transfonnatiecomplex-tijd

134

,

5.6.

' Wijzerdiagrarnmen

,

138

5.7

.

Complex vermogen

143

5.8.

_I , Co~plexe' vennogensaimpassing

148

,

5.9.

Vraagstukken

149

6.

ENKELE EIGENSCHAPPEli VAN NETWERKEN

6.L

Polaire figuren

158

6.2.

, Bodediagrammen

168

6.3.

Dualiteit

174

,

6.4.

Resonantie '

174

,

>-""',

6

.

5.

Reactantieschakelingen

184

6.6.

,

,Zo bel-netwerken

198

'6.7.

Vraagstukken

201

7.

GEKOPPELDE SPOELEN EN DE TRANSFORMATOR

7

;

1.

Inleiding

208

7.2.

Wederzijdsè iIid1ictie

208

7:3.

Stroomrichting, spanningspolariteit en wikkelzin 211

7.4.

De grootte van M

212

7.5.

De fonnuie 'van Hopkiilson

214

7.6.

, De transformator

215

!

'

7.7.

,ImpedantietransforIhatie '

218

'-7.8.

Vervangingsschema's voor gekoppelde spoelen

221

7.9.

De spannings- en de stroomtransformator

224

7.10.

Vraagstukken

226

8.

DRIEFASENSYSTEMEN

8

'

.l.

Het draaiende veld

230

8.2.

Het opwekken van een draaiend veld

230

8.3.

Het principe van de driefasenmotor

231

8.4.

Het principe van de driefasengenerator

233

8.5.

De driefasen-voeding

234

8.6.

Complexe driefasenspanningen

236

8.7.

De driefasen-belasting

237

8.8.

Vermogen bij driefasensystemen

239

8.9.

Fassecompensatie

242

8.10.

Vraagstukken

245

9.

REEKSEN VAN FOURlER

9.1.

Inleiding

.

252

9.2.

De oneindige reeks van Fourier

252

9.3.

Het frequentiespectturn

256

9.4.

De voorwaarden van Dirichlet

256

9.5.

Het verschijnsel van Gibbs

257

9.6.

De reeks van Fourierin complexe vorm

260

9.7.

De eindige fourier-reeks

262

9.8.

Symmetrie-beschouwingen

265

9~9. De effectieve waarde van een fourièr-reeks

268

9.10.

Vraagstukken

270

10.

DE COMPLEXE FREQUENTIE

10.1.

Inleiding

273

10.2.

Een condensator QJltlaadt zich over een weerstand

273

10.3.

Een condensator ontlaadt zich over een spoel met

276

serieweerstand

10.4.

Het complexe frequentie-vlak

280

10.5

Uitbreiding van het impedantie-begrip

281

10.6.

De wetten van Kirchhoff, als de frequentie complex is

283

10.7.

Polen en nulpunten

285

10.8.

Frequentie-karakteris tieken -

287

.

10.9.

Het samenvallen van polen en nulpunten

293

10.10 .

De orde van een netwerk

294

.

10.11.

_

Vrije trillingen van een éénpoort

295

10.12.

De plaats van de polen en de nulpunten bij een immitt:

298

,

10.13.

Het aantal polen en nulpunten bij een immiuantie .

299

10.14.

Polen en nulpunten op de imaginaire as

300

10.15.

Het amplitudeoppervhtk

301

10.16.

Vraagstukken

304

10

-11. -nyEEPOORTEN, FILTERS 11.1. . Inlèiding

11.2; . De tweepoortmatrices

11; 3. Schakelingen met tweepoorten

11.4. . Reciprociteit

11.5. Het hers~ellen van de poortvoorwaarde

11.6. Polen en nulpunten van een overdrachtsfunctie 11.7. Nogmaals de. operationele versterker

11.8. De realisatie van differentieelvèrgelijkingen

11.9. . Filter ·' 11.1 0: Vr~gstukken 12. SCHAKEL VFRSCHIJNSELEN 12.1. Inleiding '-12.2. Discontinuïteit 123. De continuïteitsstelling .12.4. Beginvoorwaarden

12.5. Een tw~e orde schakelproblee~

12.6. Vrije trillingen

12.7

.

De 'stootfunctie

12.8. Sinus-en Cosinusfuncties,met,afne~ende amplitude

12.9. Samenvattend voorbeeld 12.10 ._. . Besluit. _ - \ 12.11. Vraagstu!cken . 13. COMPUTERGERICHTEANALYSE 13:1. Inleiding 13.2. De NA-matrix

13.3. Het begrip 'stempel'

13.4. De MNA-matrix

13.5 . . Overzicqt vande stempels

13.6. Het aarden van een klem

13.7. Het doorverbiIiden van twee ldenuneri ·13.8. Een klem wordt ,inwendig knooppunt

13.9. Voorbeelden

13.10. Het oplossen van de matrixvergelijking

13.11. Numerieke integratie 1 13.12. Vervangingsschema's 13.13. Niet-lineaire .. elementen 13.14. Vraagstukken Literatuur Antwoorden Index

311

311

316 320

323

325 327 331 332

337

346 346 348 , 349 351

352

353 358 360 364 365 369 369

370

371 37-1 381 381 382 . 383 385 385 389 403

411

419 421 457

SYMBOLIEK

eenheid

Admittantie Y S

Admittantiematrix '11 S

Amplitude en modulus van de spanning

lUI

V Amplitude en modulus van de stroom

111

A

Ampèrewindingen (AW) A

Arbeid en energie W J

Argument van de impedantie Z arg Z rad

Bandbreedte B Hz of radls

Capaciteit C F

Complexe frequentie À S-1

Complex vermogen S VA

Constante lading Q C

Constante, resp. complexe spanning

U

V

Constante, resp. complexe stroom I A

Dempingsexponent

a

S-1

Determinant van de matrix detlof

1

,

11

Differentiërende operator p S-1

Effectieve waarde van de stroom I _Ieff A

Electrische veldsterkte E

Vlm

Fase I{) rad

Frequentie f Hz

Gekoppeld~ flux 4>. _Vs

Geleiding G S

Geleidingsmatrix <fj _S

Gemiddeld, reëel vermogen P W

Hoekfrequentie w rad/s Hybridematrix Jf

I

Impedantie Z

n

bnpedantiematrix

_:J

n

Integrerende operator p-1 _s Kettingmatrix 1{ Koppelfactor k Kracht F N Magnetische fluxdichtheid B I

Vs/m

2

. Magnetische veldsterkte H

Alm

Magnetische weerstand R _m

A/Vs

Ogenblikkelijke lading q C Ogenblikkelijke spanning u V Ogenblikkelijke stroom A Ogenblikkelijk vermogen p W Omgekeerde hybridematrix <fj . Omgekeerde kettingmatrix

_IJ

Ii a"

./

12

Periode

· Permeabiliteit van ~et vacuüm ~ Reactantie' Reactief vermogen Relatieve permeabiliteit Schijnbaar vermogen Soortelijke geleiding Soortelijke weerstand . Spanning = potentiaalverschil · Spanningsverhouding in decibel \ Spilnn41gs- of. stroomverhouding Spoelkwaliteit Spreiding Susceptantie

Toegèvoegd complex van Z Tijdconstante Verstemming · Wederzijdse inductie Weerstand Weerstanrlsmatrix . Zelfinductie T JJ.o

X

'

Q JJ._r

ISI

'Y p Uab=Va-Vb G H Q

a

B · Z* T .v M R .9/ L s Vs/Am

n

VAr VA S/m/rnm2 n/m/mm2 V dB S

n

s H

n

n

H

, gekoppelde spoelen transformator gyrator

R M

~.

schakelaar: schakelaar: transistor

rnaakcontact verbreekcontact'

operationele versterker

u Spanningsbron

-0-I Stroombron

-e-Bestuurde spanningsbron

-0-Bestuurde stroombron

-4-RofO Weerstand of geleiding _~ L Spoel ~ C Condensator

---1~

ZafY Impedantie of admittantie _~ Takstroom Maasstroom Niet-lineaire weerstand Diode

/ '

1. BASISBEGRIPPEN

1.1. Lading en stroom

'

Het elektron heeft de kleinste hoeveelheid elektrische lading. Deze lading is negatief. In een geleider (bijv. koper) staan de atomen een elektron af en de-ze zogenaamde vrije elektronen bewegen zich door die geleider. Deze bewe-ging is ongeordend. Men heeft dan nog niet te maken met een elektrische stroom. 'Door middel van een elektrisch veld in de geleidér kan men een ge-ordende beweging krijgen en dan spreekt men van elektrische stroom. In een elektrolyt kan met iets dergelijks verkrijgen. De elektrische stroom is dan een geordende beweging van positieve of negatieve ionen.

Hoewel in een geleider de stroom bestaat uit bewegende negatieve elektronen, stelt men zich voor, dat de stroom steeds een beweging is van positieve deel-tjes.

Lading geeft men aan met Q of q en de eenheid van lading is één coulomb, afgekort I C. Omdat deze lading erg groot is, komt men in de praktijk vaak tegen de millicoulomb (1 mC = 10-3 C), de microcoulomb (1 J.,LC = 10-6 _C),

de nano.coulomb (1 nC = 10-9 _{C), en de picocoulomb (1 pC = 10-}12

_C).

De eenheid van elektrische stroom (vroeger stroomsterkte genoemd) is de ampère (A). De stroom is I A, als er door de doorsnede van een draad in één seconde (I s) een totale lading van 1 C passeert. Zie figuur 1.1.

fig. 1.1. _doorsnede

De stroom wordt met lof i aangegeven en men heeft dus (T = tijd) (1.1) We zullen hoofdletters gebruiken, als de betreffende grootheid constant is en kleine letters, als de grootheid als functie van de tijd varieert.

Formule (1.1) zegt dus, dat er een gelijkstroom I is (dat is een constante stroom), als. er elke seconde een lading Q passeert.

Voorbeeld

Door een draad gaat een gelijkstroom van 6 mA. Bereken de lading, die in 3 ns door een doorsnede stroomt.

'. Oplossing

Q

=

IT

=

6-10-3-3-10-9

=

18-10-12 C

=

18 pC.

Is de stroom niet constant, maar heeft die elk ogenblik een andere waarde, dan spreekt men van wisselstroom. Het wisselen behoeft niet betrekking te

.. r

16

hebben op de richting (hoewel dat natuurlijk mogelijk is), maar dUldt meer

op de sterkte, de grootte van de stroo~. .

Om een fonnule af te leiden gaan we de tijd in kleirJ.e intervalletjes ~t ver-delen en meten. de ladin~ ~q telkens in dat interval.

De gemiddelde stroom i in een bepaald interval ~t is dan

waannee na limietovergang volgt

0.2)

We zullen in een later hoofdstuk uitvoerig op deze wisselstromen ingaan. Zijner meer stromen in een netwerk, dan geven we die aan met indices: 1₁,

1_{2 ,} 13 enz. of Ia' I_{b, . . .}

1.2. Potentiaal en spnnning

.

De potentiaal VA in volt (V) in een bepaald punt

A

is in grootte gelijk aan de arbeid in joule (1), die het veld verricht bij de verplaatsing van een een-.

heidslading (IC) van het :punt A naar een punt, waar de potentiaal nul ge-steld wordt (aarde. of een punt in het oneindige of een willekeurig punt in een netwerk). Men kan ook zeggen, dat de potentiaal in een punt A in groot-te gelijk is aan de' arbeid, die men moet verrichten om. de eenheidslading van de nulpotentiaal naar A te brengen.

Vergelijk hiermeèhet in het vak mechanica bekende begrip potentiële energie. Onder de, spanning _{UAB tussen twee punten}

A

en B wordt verstaan de' arbeid, die verricht m.oet worden om eeneenheidslading van B naar A te brengen. In een conserverend veld (waarmee we hier steeds te maken hebben) is de ar-beid onafhankelijk van de gekozen weg, dus als wede eenheidslading eerst'

. naar.punt B en daarna naar punt A brerigen, volgt

"d.w.z.

(1.3)

In woorden: de spanning tussen twee punten (knooppunten in een netwerk)

is. het verschil tussen de potentialen van .die punten. Het is dus meestal onjuist van spanningsverschil te spreken (hoewel het verschil van twee spanningen uiter-aard wel kan voorkomen). Een accu, een ~ynamo, eep. droge batterij zijn "

toestellen, die een (constante) spanning tussen hun klemmen kunnen opwek-. .

ken.

In netwerken .van kleine omvang gebruikt men vaak niet de aanliggende

,_ • I

knoöppuntaanduiding als indices, maar UI' U_{2 ,} U_{3 , . • •} of Ua' Ub,U_e,·· ..

Het gebruik van de polariteitsaanduiding

+

en - is dan noodzakelijk. Uit formule (1.3) volgtnog

1-(l.4)

. . .

1.3. Richting en polariteit

,Men kent aan iedere draad in een netwerk een richting toe en men noemt deze de positie,ve stroomrichting. Men gebruikt dit dan als referentie. Deze positieve stroomrichting kan men vrij kiezen. Heeft men deze eenmaal gekozen, dan is daarmee het teken van de stroom bekend.

In figuur 1.2 is een draad getekend met de positieve stroomrichting 1₁ .

fig. 1.2.

Het is mogelijk, dat er in deze draad in het geheel geen stroom vloeit. De pijl met de aanduiding 1₁ handhaven we toch. Dan geldt blijkbaar 1₁ = O. Vloeit er bijvoorbeeld in de draad een stroom van 7 A van links naar rechts dan schrijven we 1₁ = 7 A, is er daarentegen een stroom van 5 A in de draad van rechts naar links, dan noteren we 1₁ = -5 A. Het is dus niet de bedoeling'

in het laatste geval de positieve stroomrichting te veranderen en he_t minteken te verwijderen. De positieve stroomrichting én de grootte van de stroom met het teken geeft ondubbelzinnig de werkelijke situatie weer.

, In figuur 1.3 is een situatie getekend, waarin de stroomrichting enkele keren verandert.

fig. 1.3.

De positieve stroomrichting in de draad geeft betekenis aan de grafiek. Tus-sen 0 en tI seconde is i3

>

0, tussen tI en t₂ is i3

<

O.

Voor de polariteit geldt een dergelijk betoog. Wat de pijl is bij de positieve (referentie) stroomrichting, zijn de tekens + en - bij de positieve spa,!nings-polariteit (zie figuur l.4.a).

U2

+

44--=-_. _

•

•

fig. 1.4.a.

Is U₂

>

0 dan heeft de linker klem een hogere potentiaal dan de rechter klem. Als U₂

<

0 dan is de potentiaal van de linker klem kleiner dan die van de rechter klem.

18

aàngeven met twee indices. Voor grote netwerken geeft dat bepaalde voorde-. len.' De indices geven de aanliggende klemmenaan~ De eerste in,dex is de

po-sitieve,klem van de referentiespanning. Zie figuur 1.4.b.

A + UAB - B

o •• ---.,;..;.:;.._" 0

+

o 0'

fig, 1.4.b, fig. 1..4.c.

Men kan dus zonder bezwaar de aanduiding + en - weglaten en ook de aan-duiding

'

u

AB'

We merken tenslotte nog op dat, als er geen verwarring kan ontstaan, men de streep'Jtlet 2 pijlen kan weglaten (zie figuur 1.4.c):

1.4. De wet van

Ohm

Laten we een stroom door een geleider vloeien en, variëren we die stroom, dan blij~t de spanning over degelei<;ler ook te veranderen. De stroom I ~un­

nen we meten met een anipèremet~r, de spanning U kunnen, we met een voltmeter meten.

. \ '

We vinden in het algemeen een niet-lineair verband, zie figuur 1.5.a.

Wij zullen in het vervolg aannemen, dat dit verband welliIieair is. Zie figuur 1.5._. b. We beperken ons nagenoeg in h~t gehele boek tot lineaire systemen.

. .

fig. 1.5,3. fig. 1.5.b.

Het verband volgens figuur1.5.b kan worden uitgedrukt met de lineaire be-trekking

u

= RI, (1.5)

waa~ R constant is.We noemen R de, Weerstand van de geleider.

Dit is de wet van Ohm. Het rechterlid zullen we in verband met de later in té voeren matrix-notatie steeds in deze volgorde schrijve~.

Hoe de' positieve spanning samenhangt met de positieve' stroom is in figuur 1.6 getekend.

+ u

o-H:.:J-1.

R

fig.' 1.6.

We zien' dat de positieve stroom vloeit van plus ,naar min dóór de weerstand.

kaar. Vooral bij de gekoppelde spoelen blijkt deze regel belangrijk om geen vergissingen in tekens te krijgen. Hier krijgt formule (1.5) eenvoudig een

min-teken, als stroom en spanning niet bij elkaar horen.

In de praktijk komt men weerstanden tegen van de grootte-orde 1 m

n

tot

(

1

Gn.

De weerstand van een draad met constante doorsnede is

p9.-

9.R = =

-A "rA (1.6)

Hierin is 9.-de lengte in meter (m), A de doorsnede in vierkante meter (m2_), p de soortelijke weerstand en "r de soortelijke geleiding. De beide laatste zijn

afhankelijk van het materiaal.

Verder zijn weerstanden temperatuurafhankelijk. Dat leidt tot niet-lineariteit en dat zullen we veelal achterwege laten. In hoofdstuk 13 besteden we enige aandacht aan niet-lineariteit.

De geleiding G is de inverse van de yveerstand: 1

G=-R

, De wet van Ohm kan dus ook als volgt geschreven worden

I = GD

(1.7)

(l.8) . In het algemeen is R (en dus ook G) positief. We zullen later (elektronische) schakelingen tegenkomen waarbij het mogelijk blijkt negatieve weerstanden te maken.

We merken nog op, dat we de aansluitdraden van de weerstanden en andere toestellen weerstandsloos zullen veronderstellen.

1.5.

Kortsluitingen en open klemmen

Met een glijcontact is het mogelijk een variabele weerstand te maken. In de

. praktijk spreekt men van een schuifweerstand. Theoretisch kan men zo'n weerstand dan variëren van R

=

0 tot R-+ 00.

Als R = 0 spreekt men van een kortsluiting, als R -+ 00, d.w.Z. G = 0, spreekt men van open klemmen. In figuur 1.7.a is tussen de klemmen 1 en 2 een kortsluiting, getekend, in figuur 1.7.b hebben we open klemmen.

2 1 2

•

o o

fig. 1.7.

al

b)

,

~o

1.6. De wetten van Kirchhoff

Met accu's en weerstanden kunnen we schakelingen, schema's, netwerken ma-ken. In deze schakelingen ontstaan spanningen en stromen, waarvan we de . grootte en het teken resp. richting willen kennen. Met behulp van de twee wetten van Kirchbpff (die af te leiden zijn uit de wetten vàn Maxwell) kun-nen we de oplossing vinden.

De stroomwet

In een 'punt waar draden aan elkaar verbonden zijn, we noemen dat een

knooppimt, is de algebraïsche som van alle stromen nul:,

. " J

b

~ I = 0

n=l n n = 1, 2, . . .. ' b (1.9)

,

Formule (1.9) heeft betrekking op een knooppunt, waar b draden (takken) bij elkaar komén. Dè positiéve stromen kiest meri van het knooppunt afvloei-end; toevloeiende stromen zijn zodoende negatief.

Voorbeeld Zie fjguur 1.8. SA I, fig. 1.8. . Bereken de stroom l. pplossing SA -I

We vinden: 5

+

7 ..:.. 14 - I = O. Hieruit volgt I = -2 A. - De spanningSwet

In ec;ln lus is de algebraïsche som van alle spanningen nul:

1

~ U = 0

m=l ,m m = 1, 2, ... , I

,

(LlO)

Formule·(l.:10) heeft betrekking op een lus, waarin I spanningen aanwezig zijn. Bij het doorlopen van de lus rekent men de potentiaald.alingen positief en dus de poteritiaalstijgingen negatief.

Voorbeeld Zie figuur 1.9.a.

Bereken de spanning U. Oplossing

-~i

~v;'

17' A 0 _ + + U -B. A • fig. 1. 9.a.

We beginnen in knooppunt A en gaan rechtsom. We.krijgen: 2

+

8 - 17 - U = O. Hieruit volgt: U = -7V .

oC

oD fig. 1.9.b.

. Het gebruik van knooppuntsaanduiding en bijbehorende dubbele spannings-index geeft een overzichtelijke formule; zie, figuur 1.9.b.

Hier geldt: U_AB

+

U_BC

+

U_CD

+

U_DA = 0,

dus:

(1.11)

. Deze formule kan men als volgt voor elk willekeurig netwerk direct opschrij-ven. Het linkerlid is de te berekenen onbekende spanning. De eerste index van de eerste term van het rechterlid is gelijk aan de eerste index van de' on-bekende spanning. In alle volgende termen geldt, dat de eerste index gelijk

is aan de tweede index van de voorgaande term. De tweede index van de laatste term tenslotte is gelijk aan de tweede index van de onbekende span-ning. We zullen formule (1.11) de indexregel noemen.

We merken hier op, dat tussen twee knooppunten niet altijd één tak behoeft te zijn. De spánningswet· kan dus ook spanningen van fictieve takken bevat-ten.

1.7

:

Mathematische modellen voor de accu

We sluiten een variabele weerstand R aan op een accu (zie figuur L 10). We noemen, R de belasting en Ib de belastingsstroom.

+

fig. 1.10.

Er blijkt, dat de spanning Uk tussen de klemmen (de klemspanning) als func-tie yan de belastingsstroom Ib het verloop heeft volgens figuur 1.11.

Bij open klemmen (R -+ 00) is Uk = U, da:t is een constante, die bepaald wordt door de constructie van de accu. Bij kortgesloten klemmen (R = 0) is Uk

=

0 en de optredende stroom noemen we de kortsluitstroom Ik'

22

fig. LIL

_ I b

. (Opmerking. In de praktijk maakt men R niet gelijk aan nul, omdat de op-tredende grote ontlaad stro om de accu ial vernielen.)

De lj.halytische uitdrukking voor Uk = f (Ib) is:

( 1.12)

Men noe~t Ri de inwendige weerstand en die is groter

dan

nul. In de

prak-tijk is die bijv. 1 mil. '

Met behulp van de spanningswet van Kirchhoff kunnen we nu het volgende schema tekenen. (zie figuur 1.12):

u

fig. 1.12.

Het symbool U (vroeger EMK

=

elektromotorische -kracht genoemd)

iS

d~

(ideale) spanningsbron~ We noemen U de sterkte van die spanningsbron en .

. \ . .

, deze is constant voor elke waarde van Ib' We zullen deze spanningsbron als

. een netwerk-"element" inv~eren, d.w.Z. hij is elementair. Delen we in formule (1.12r"l?,eide leden doo:ç ~ dan ontstaat

. ~:~

.0.

13)

,

en .dit geeft met

de

stroom wet van Kirchhoff aanleiding tot het volgende schema_. · (zie figuur 1.13) _,

fig. 1.13.

Hieru',

hebbenw~ ~

= I gesteld en het daarbij getekende /SymbOol heet

1

Deze stroombron is weer een nieuw netwerkelement.

We hebben dus voor een accu een mathematisch model met een spannings-bron en een mathematisch model mèt een stroomspannings-bron gevonden.

Met bronsterkte bedoelen we in het algemeen een spanningsbronspanning en een stroombronstroom.

1.8. Eigenschappen van de spanningsbron en de stroombron

Een spannings.bron heeft tussen zijn beide klemmen een spanning, die onaf-h'ánkelijk is van de belasting. (zie figuur 1.14)

u

fig. 1.14.

We hebben I =

~

.

Uit mathematisch oogpunt sluiten we R

=

0 uit en we komen zo tot de ver-bodsregel: Een spanningsbron mag niet worden kortgesloten.

Ook is verboden een netwerk, waarin twee ongelijke spanningsbronnen pa-rallel zijn geschakeld (zie figuur 1.15).

U1

fig. 1.15.

Deze schakeling is verboden als U_l =1= U₂. Als U_l = U₂ is het netwerk niet verboden, maar dan, doet zich het eigenaardige geval voor, dat de optredende stroom 1 niet kan worden bepaald. Elke stroom 1 voldoet aan de stroomwet. In de praktijk komen deze situaties niet voor, maar het is van theoretisch belang deze situaties te onderkennen.

Een goede, geladen accu is een praktisch voorbeeld van een spanningsbron. Omdat de inwendige weerstand klein is (orde van grootte 1 mn), zal de klemspanning bij niet te grote belastingsstroom nagenoeg constant zijn. Een stroombron geeft door zijn klemmen een stroom, die onafhankelijk is van de belasting (zie figuur 1.16).

fig. 1.16.

We hebbèn U =

~

.

Uit. mathematisch ·oogpunt sluiten we G

=

0 uit en we komen zo tot de verbodsregel: Een stroombron mag niet worden opengelaten.

24 '

Ook is verboden een netwerk, waarin twee ongelijke stroombronnen in serie

zijn gesch~keld (zie figuur 1.17). I

fig. 1.17. '

. r

Dit' netwerk is verboden als 1₁ =fo 1_{2 ,} Als Ij

=

1₂ is het netwerk niet verbo-, ' den, maar dan is de 'stro,ombtonspanning onbepaald.

Een elementair voorbeeld van een stroombron is moeilijker te geven dan van een spanningsbron. Een goed~ praktische benadering is de generator van Van der Graaff. Het schema van figuur 1.18 is ook een benad~ring.

fig. 1.18.

---,

I I I I I I I I I I I I I I I 1Q3 V I , I I I I, L _ _ _ _ _ .J

Als we R variëren tussen nauwe grenzen, bijv. van 0 tot 100

n,

dan gedraagt het netwerk binnen de, gestippelde rechthoek zich bijna als een stroombron. Immers voor R = 0 is I = I mA, terwijl voor, de andere uiterste waarde van R, dat' is 100

n,

de stroom slechts ongeveer 0, I

0/00

kle,iner is. Merk op, dat de klemspanning voor R

=

100

n

ongeveer 0,1 V is, terwijl die spanning de hoge

, 'waarde van 103 V a~nneemt.als R wordt wèggenomen.De stroombron is van

'grote theoretische' betekenis en wordt in de elektronica vaak gebruikt.

1.

9 .

Bronsterkte

nul

Een spanningsbron' geeft tu&Sen zijn klemmen een constante spanning, terwijl de stroo~ door de bron afhangt van hetne~werk,waarin hij is opgenomen. Dit houdt in, dat een spannirtgsbron met sterkte nul een kortsluiting is. Zie figuur [19.

u=o

=?

(

fig. 1.19.

Een stroombron levert een constante stroom, terwijl de spanning over de stroombfon bepaald wordt door het netwerk, wa,arin de stroombron is opge-.

nomen. Een stroombron met sterkte nul is daarom te vervangen door open

klemmen. Zie figuur 1.20. .

o

I=O

=?

fig. 1.20. o

1.10

.

Dualiteit

Het komt in de netwerktheorie vaak voor, dat er tussen twee formules, tus-sen twee elementen of tustus-sen twee schakelingen een zekere analogie bestaat.

Zq gaat de ene wet van Kirchhoff over in de andere, als men spanning en stroom omwisselt. Men zegt dan,dat de stroomwet de duaal is van de span-ningswet en omgekeerd.

Hét duale karakter vindt men ook in spanning - stroom

open klemmen - kortsluiting weerstand - geleiding

In het vervolg zullen we nog vaak te maken krijgen met dit begrip dualiteit.

1.11. Arbeid en vermogen

De spanning U AB tussen twee punten A en B is per definitie de arbeid, die men moet verrichten om een eenh~idslading van het punt B te brengen naar het punt A.

Is de lading Aq, dan is dus deze arbeid

(1.14) waarin VA resp. VB de potentiaal is van de beschouwde punten A en B. Is VA - VB == _{UAB constant (gelijkspanning) en geschiedt de overbrenging}

in een tijd At dan is het gemiddelde vermogen

Voor At -+ 0 is dus

P

=

UI (1.15)

Het vermogen bij gelijkstroom is het produkt van spanning en stroom. Energie wordt uitgedrukt in joule (J), vermogen in watt (W). ...

Inde elektronica komt men vaak erg kleine vermogens tegen (mW, pW), in de energietechniek zijn de vermogens vaak erg groot (kW, MW, GW). Het vermogen kan worden opgenomen of worden geleverd. Vloeit er door een tweeklemmennetwerk N (ook wel éénpoort genoemd) een stroom 1 en is de spanning U zó, dat de stroom vloeit van + naar -, dan is het opgenomen vermogen positief (zie figuur 1.21).

, '

26 ,

+

u _{N u}

fig. 1.21.

De spanningsbron transporteert (positieve) lading van min naar plus en levert dus elektrische energie,aan N (deze e~ergie wordt geleverd door het chemi-' , scheot het mechanische syste~ buiten het netwerk).

Het netwerkN neemt deze energie op. We hebben afgesproken, dat van een \

tweeklemmennetwerk de spanning en de stroom bij elkaar horen, als de strodpl

loopt van plus naar min dóór het netwerk., Zodoende komen we tot de vol-gende regel:

Het opgènomen verrnogen P = UI is positief, als stroom ell spanning bij eIkaár horen.

We merken nog op, dat ,de stroom I niet van een spanningsbron afkomstig behoeft te zijn; het kan ook een stroombron of in het algemeen een ander

, ' .

.

netwerk zijn.

1.12.

Series~hakeling

van weerstanden (figuur 1.22.a)

u

fig. 1.22.a.

R _n

In knooppunt A geldt de stroomwet van Kirchhoff, zodat de stroom 1 door

Rl en R₂ gelijk is. Er volgt verder, dat ,er in elke w~erstand dezelfde stroom I-vloeit. Volgens de wet van Ohm geldt '

Tenslotte ~s volgens de spanningswet van Kirchhoff

Uit het bovenstaande volgt

waarin / n ' R = Rl + R₂ + ... + Rn = '~ Rk k=l (1.16) ,

Deze formule zegt, dat de vervangingsweerstandvan een serieschakeling de somis van de afzonderlijke weerstanden. Zie figuur 1.22.b .. De formule is alleen geldig als dooi' alle weerstanden dezelfde stroom vloeit.

fig. 1.22.b:

I

.

1.13. Parallelschakeling van geleidingen (figuur 1.23.a)

~---r---""--

---. fig. 1.23.a.

Volgens de spanningswet van Kirchhoff staat er over elke geleiding dezelfde spanning U. Volgens de wet van Ohm geldt

Tenslotte is volgens de stroomwet van Kirchhoff

Hieruit volgt met

(1.17) In woorden: de vervangingsgeleiding van een parallelschakeling is de som van de afzonderlijke geleidingen. Zie figuur 1.23.b.

+

u

fig. 1.23.b.

De formule is alleen geldig als er over alle geleidingen dezelfde spanning staat. Merk op de dualiteit van de formules (1.16) en (1.1 7) en ook het duale be-toog in de afleiding.

Voor twee geleidingen G_I en G₂ parallel geldt 1 1

G = G + G = -R + T r .

28

[)e weerstand hiervan is R = l/G. Dus

R = Rl R2

Rl + _R2 (1.18)

d.w.z. het produkt van beide w~erstanden gedeeld door de som. Deze

for-1

mule wordt vaak gebruikt. .

Merk op, dát voor drie ·weerstanden parallel niet geldt _{, .} , R

=

Rl R2 R3 .

• R₁ +R₂ +R₃ (Let op de dimensie!)

,

1.14. Gemengde schakelingel)

. VOQr niet te ingewikkelde schakelingen kunnen de formules (1.16) en (L17) goede diensten bewijzen:

Voorbeeld Zie figuur 1. 24.

fig. 1.24.

We vinden· de stroQm I als volgt: De· parallelschakeling van 6

n

en 3

n

ver~

. vangen

w~

door een

w~erstand 66~33

=

2

n

.

We hebben nu drie weerstanden in serie, waarvan de totale weerstand is 4 + 2 + I = 7

n.

De stroom is dus 1= 14J7=2A.

Ingewikkelder netwerken, zoals bijvoorbeeld de brugschakeling (figuur 1.29) of netwerken met meer dan één bron (figuur 1.31) vereise~ een andere aan-pak.

I

29

1.15. Laddemetwerken

Een laddernetwerk heeft de volgende structuur. Zie figuur 1.25.

fig. 1.25.

R1 is de afsluitweerstand.

Het aantal takken kan natuurlijk ook kleiner of groter zijn dan hier getekend. De vervangingsweerstand aan de ingang (klemmen 1 en 2) kan als volgt met een zogenaamde kettingbreuk worden opgeschreven: Rl en R₂ in serie bete-kent een weerstand R₂

+

d

.

Deze weerstand parallel met R3

1

betekent een een geleiding G₃ + n 1 1 . De weerstand hiervan is G 1 1 . Deze

, .~ +G 3 + R

+1-I 2 G

weerstand staat in serie met R4 zodat de totale weerstand is:

,

We komen zodoende tot de volgende kettingbreuk voor de ingangsweerstand: R = R6 + =

-G_s +

( 1.19)

Deze formule laat zich het gemakkelijkst opstellen door met de laatste breuk te b~ginnen en zo naar links en naar boven te werken. Op duale wijze kan ook de kettingbreuk met geleidingen worden afgeleid. Zie, figuur 1.26.

:

Qo,

CJ

go<

c:::J

go, go,

G5 G3 fig. 1.26. G_I is de afsluitgeleiding (1.20)

Merk weer de dualiteit op.

.

.

1.16. Spannings- en stroomdeling

Een formule, die vaak wordt gebruiktis de formule voor spanningsdeling. Beschouw bet netwerk volgens figuur 1.27 .

u + fig. '1.27 . . We berekenen U₂• We Vinden 1 = R

Y

R en U₂ = _R21. 1 2 Dus (1.21)

.

De deelspanning U₂ is de "voedende" spannIng U vermenigvuldigd met een breuk. In de teller staat de weerstand, waarover de deelspanning aanwezig is, _.

"

in de noemer staat de weerstand, waarover de voedende spanning staat. Deduaal van de spanningsdeling. is de stroomdeling (figuur 1.28).

+ u· fig. 1.28. We vinden U

=

G r G en 1₂

=

G₂ U. I 2 Dus G 12 =G

/G

J

I 2 (1.22) Soms wordt deze formule met weerstanden geschreven. We vinden met GI = I/Rl en, G₂ = 1/R2'

(1.23) Let daarbij op de index van de teller.

1.17. De oplossing van grotere netwerken

Is de structuur van een netwerk wat ingewikkelder en/of bevat het netwerk meer bronnen, dan kan men voor de oplossing meestal niet meer volstaan met toepassen van de formules voor serie- resp. parallelschakelingen voor spannings- resp. stroom deling.

Onder de oplossing van een netwerk(-probleem) zullen we verstaan het be- ,

palen van alle spanningen en stromen in het netwerk. We zullen als voor-beeld oplossen de brugschakeling en nemen in elke tak ee,n, stroom aan (zie

figuur' 1.29). _B

fig. 1.29.

De stroom wet van Kirchhoff toege'past op de knooppunten A, B, C en D levert op: ~= 12 + Is 12

=

13 '+ 14 1₁ = 13

+

16 -16 = 14 + Is (a) (b) (c) (d)

Deze-vergelijkingen zijn niet alle onafhankelijk. Zowel uit (a) en (b) als uit (c) en (d) volgt

Despanningswet van Kirchhoff toegepast OP de lussen I, 2 en 3 levert op: U AO

+

UOC + UCA

=

0 UAB + U BD

+

U DA

=

0 U BC

+

U CO

+

U OB

=

0 (e) (f) (g)

Deze drie lussen, die zelf ,geen kleinere lussen omvatten, noemen we mazen. De spanningswet van Kirchhoff, toegepast op de, lus ABCD, levert op

(h)

"

32

Formule (h) is afhankelijk, want optelling van (f) en (g) levert formule 'eh). , Tenslotte passen we de wet van Ohm toe:

U

_AB UAO UBO UBC UDC

=

R_l 1₂ = R2Is = Rsl4 '

=

R4I3 ' = R3I6 (i), G) (k) (1) (m)

Het aantal vergelijkingen, dat wij met deze zogenaamde takm~thode ver-krijgen, is onoverzichtelijk groot.

We zullen nu twee meer systematische methoden bespreken.

1; 18. De maasmethode

We nemen als voorbeeld weer de 'brugschakelllg en voeren

iri

iedere maas een zogenaamde' maasstroom in. Dat is een fictieve stroom, die in een maas '

circuleert. Fig. 1.30.

fig. 1.30.

Een tg.lç§ttoom is zodoende het verschil yantwee maasstroine!h als zo'n tak

de scheiding isvan\ twee mazen: '

(1.24) In een buitenmaas is de maasstroorn gelijk aan de takstroo1l;l, bijv. ~ in de spannmgsbron en 1₂ in Ri.

We 'passen nu de spanningswet toe op de drie mazen. Daarbij schrijven we

,

,

-

-

...

de bronsterkte in het linkerliden de, weerstandsspanningen rechts.

,of, anders gerangschikt,

33 De eerste term in het rechterlid is de spanning, die de maasstroom veroorzaakt in de som van de weerstanden in de maas, de overige termen zijn negatief en .

worden veroorzaakt door de 'tegenwerkende' stroom van de aanliggende mazen. Merk verder op, dat de bronspanning positief is, als bij het doorlopen van de maas volgens de pijl de plusklem wordt verlaten:

Voor de andere mazen vinden we zodoende:

0= -R₂11 + (Rl + Rs + R2 )I2 - Rsl3 (f3)

o

= -

R3 11 -

Rs

12 + (R4 + R3 + Rs) 13 ('Y)

Uit de drie vergelijkingen (a), (/3) en ('y) kunnen de drie maasstromen wor-den opgelost. Daarmee zijn alle takstromen bekend en dus alle takspanningen. In matrixnotatie worden de drie vergelijkingen:

Met

-R

_{2 ,}

Rl +Rs +~ -Rs'

krijgen we de wet van Ohm in matrixvorm

(1.25)

Merk op, dat de wet alleen in deze volgorde kan worden opgeschreven. Op de hoofddiagonaal van R komen alleen positieve termen voor. De overige termen zijn niet positief (als we alle ·maasstromen rechtsom of alle maasstr0-men linksom nemaasstr0-men).

De symmetrie is opvalle~d: Plaatsen we een tweezijdige spiegel op de hoofd-diagonaal, dan zijn voorwerp en spiegelbeeld van de niet-positieve termen gelijk!

Als tweede voorbeeld nemen we een netwerk met een spanningsbron en een stroombron. Zie figuur 1.31.

il , 34

1n

6A 2.0 fig. 1.;U.

We,kiezen over de stroombron de spanning U met willekeurige polariteit en kiezen drie maasstromen 11,12 en 13·

,We vinden

-u

=

~

i

1

-

!

12

U - 9

=

-!\

+

~

12

9=

Als aanvullende betrek,king hebben we nog

6

=

I - I _{2 . 1}

(a)

(b)

(c)

(d)

De termen van (a), (b) en(c) zijn spanningen, die van (d) stromen. Oplossing levert

I _.1 = -5 A

u

'

=

13 V

,Merk op, -dat bij de maasmetliode .de stroomwet schijnbaar niet wordt gebruikt .

. 'Dit komt, omdat elke maasstroom voor elk knooppunt automatisch voldoet.

aan' de stroomwet: hij komt aan bij een knooppunt en verlaat ook dat knoop-punt.

We hebben in het bovenstaande de maa:sstromen rechtsom gekozen. Dat is niet noodzakelijk.' Men kan z~lfs de ene maasstroom rechtsom en de andere

. linksom kiezen. - ,

De hläasmethode iS beperkt tot zogenaamde planairenetwerken, dat zijn netwerken, die zon<ier kruisende takken op een plat vlak kunnen worden getekend. Zie figuur 1.32.

35

fig. 1.32. a)

b)

c)

In fig. 1.32 is de zogenaamde graph van enkele netwerken gétekend: de bronnen en weerstanden zijn vervangen door lijnen, verbonden door knoop-punten.

De lijnen heten takken. Men tekent de graph zo, dat een knik in een lijnstuk een knooppunt betekent. Zodoende is men vaak verplicht kromlijnige takken te tekenen.·

Alle drie graphs van figuur 1.32 zijn planair. Figuur 1.32.c bevat weliswaar twéë kruisende takken, maar dezelfde graph is al in figuur 1.32.b getekend. Het is verder gebruikelijk in de "graph-theorie" alle takken te voorzien van een richting; we spreken dan van gerichte graphs.

Een oplosmethode ook voor niet-planaire netwerken is de zogenaàmde

knoop-puntsmethode.

1.19. De knooppuntsmethode

We beschouwen het netwerk van figuur 1.33.

fig.

1.33.

We geven één knooppunt de pot~ntiaal 0 V (aarde), voor de ,andere knoop-punten schrijven we de stroomwet op:

knooppunt 1:

Nu

is

. U₁₂

=

UlO - U₂₀ (indexregel) dus

(a)

We kunnen deze vergelijking als volgt beredeneren:

Het linkerlid. bevat de bronstroom, die naar het knooppunt toevloeit..De eerste term van het rechterlid is de som van de geleidingen incident (aanlig-gend) aan het beschouwde knooppunt, vermenigvuldigd met de spanning

36

van het knooppunt, gemeten t.O.v. de aarde. De overige termen zijn niet posi-tief en worden veroorzaakt door de 'tegenwerkende' spanning van qe

aanlig-gende knooppunten. .

(Let op de duale redenering t.O.V. de maasmethode.) Voor de andere knooppunten vinden we:

, knooppunt 2: knooppunt 3: 10 = 0 - 4U₂₀ + 6U₃₀ In matrixnotatie I , ' Algemeen

Merk op, dat de 'spanningswet gebruikt wordt in de inde~regel.

• • • 1

({3)

(r)

(1.26)

Zijn de knooppuntsspanningen: opgelost dan zijn alle takspanningen en de . bronstromen bekend en daarmee alle takstromen. _{, '}

_.

_--

_.

We beschduwen nu weer het netwerk met een spanni,ngsbron en' éen stroom-bron (figuur 1.31) en lossen dit op met de knooppuntsmethode (figuur 1.34).

fig. 1.34. 15 :2 .6A 15 9\1 15

We kiezen de stroom I in de spanningsbron ..

Knooppunt 1: 6 - I = ~ UlO - U₂₀ Knooppunt 2: I = -UlO + 2U₂₀ . Knooppunt 3.: -6 = 2U₃₀ (1) (2) (3)

37

Oplossen levert:

U₁₀ = 10 V, U₂₀ = 1 V, U₃₀ = -3 V . en I = -8 A In plaats van de spanningen UlO' U₂₀ enz. kan men ook noteren U₁, U₂,

enz., waarbij wordt aangenomen, dat de spanningen steeds gemeten worden t.o.v. de nulpotentiaal.

1.20. De stroomwet voor een snede

We beschouwen fig. 1.35.

IA

I

6

fig. 1.35 .

\s

.In dezegraph van een netwerk zijn de takstromen aangegeven. Voor de,

knoop-. punten l, 2 en 3· gelden resp.:

.-1₁ ~ 1₂

+

14

=

0 11 - 13

+

16 = 0

1₂ + 13 + Is = 0

,

Optellen levert 14 + Is +16 = 0 en dat zijn juist de stromen, die over de snij-lijn A - B lopen. We noemen de verzameling takken, die gesneden worden door een dergelijke snijlijn, een snede.

Verwijderen we alle takken van een snede, dan valt de graph in twee losse

deelgraphen uiteen; brengen we één willekeurige tak uit de snede weer aan,

dan· wordt het geheel weer samenhangend.

De stroomwet van Kirchhoff (1.9) is dus ook geldig voor een snede. De stroom wet voor een knooppunt kan men dan zien als een bijzonder geval, n!. voor een knooppunts-snede, zie bijv. de snijlijri C - D.

1.1 1.2 38 - . 1.21. Vraagstukken " 3

X

\

'

. , (

"

,

"

,

'

A 7A ' Bepaal I. A o Gegeven UAB

=

5 V, UCB

=

l4 V, UCD==-2 V, Bepaal UDA. c

1.3 De strOorll door een weerstand R is I en de,spanning is U.

Toon ,aan dat' het gedissipeerde vermogen is P

=

J2R == U2G. '

Bepaal de spanning over de stroombron.

~epaal de stroom door de spanningsbron.

sn

\

1.6 ,Bepaal voor vraagstuk 1.5 het door de bron afgegeven vermogen en , bepaal.hèt door elk van de

weerstanden opgenomen vermogen.

. .t . , ' • I \ 1.7 a 20 sn b Bepaal Rab. 1.8 a 65 b Bepaal Gab. 1.9 a 50

'"

b

Schrijf Rab in de vorm yan een kettingbreuk.

UO

a

45

b

Scl)rijf Gab in vorm van een kettingbreuk.

1.1 l'

+

24V ~-_.+

24A 1.13 l.14 1.15 55 45 Bepaal I. 2A 20 12V

Los dit netwerk op. Bereken het door de bron van 12 V afgegeven vennogen.

"1-a

20 ' 40

20 10

Bepaal Uab.

, Bepaal het vennogen, geleverd door elke bron en het door de weerstand opgenomen vennogen. 1.17 30V 1.18 1.19 10 + flV Bepaal I. 50 Bepaal 11 met a.takmethode, b. maasmethode. a 10 lA

t

40 b Bepaal Uab. 20 20 . Bepaal de vervangingsweerstand,

geme~n aan de klemmen a en b.

1.22 1.23 40 + Bepaal U.

-, Bepaal de spanningen UI en U2ten opzichte van aarde met de

knooppuntSmethode.

U)S dit op met a. de ~methode.

b., de kJiooppuntsmethode.

Bepaal Ua. Ub en Ucmet de

, knooppuntsmethode.

1.24

1.25

1.26

1.27

Bepaal Ia. Ib en Ic met de maasmethode.

Ga na of deze graph planair is.

+ 2V

Bepaal I.

1.28 6V 1.29 Bepaal I. 10 a. Bepaal de knoöppuntsspanningen met behulp van de knooppunts-methode.

b. Teken de graph van het netwerk en geef daarin de takstroinen aan. 1.30 Gegeven: de brugschakeling, waarin

de weerstand R variabel is. De

andere weerstanden zijn constant.

a - - - -...

b---~

3S

1.32

a. Bepaal de vervangingsweerstimd Rab tussen de klemmen a en bals functie van R.

b. Bepaal lim Rab en

lim

Rab en

R40 R~

verklaar uw antwoorden door beschouwing van het netwerk.

15A

Men wil dit netwerk oplossen met de knooppuntsmethode.

a. Schrijf de vergelijkingen op, die nodig zijn om dit uit te voeren. (Oplossen is niet nodig.) b. Zou men dit netwerk kunnen

oplossen met de maasmethode? Antwoord toelichten.

c. Bepaal rechtstreeks de stroom in de geleiding van 9S.

Bepaal het vermogen dat elk van de bronnen afgeeft.

Bepaal het vermogen dat elk van de weerstanden dissipeert.

1.33 42

a. Bepaal met deknooppunts-, '

methode Uien U2.

b. Geefin de graph van het netwerk alle takstromen aan.

1.36

1.37

-=, ,a. Bepaal

de

knooppuntsspanrungen 1.38

ten opzichte van aàrde met dç knooppuntsmethode.

b, Geef in de grapt. van het netwerk ,alle takstromen aan.

1.35, 1

a. Los dit netwerk op metde knooppuntsmethode.

b. Geef daàina in de graph, van het,

netwerk de grootte van alle takstiomen aan.

c. Bepaal het vermogen dat elk van de bronnen afgeeft.

.1

4S

Bepaal de knooppuntsspanningen Uln opzichte van aarde met de

knooppuntsmethod~

u

Ga na of Ix groter is dari Iy. kleiner is dan Iy of gelijk is aan Iy.

a. Bepaal de knooppuntsspànningen ten opzichte van aàrde met behulp van de knooppuntsmethode. b. Geef in de graph van ,het netwerk

de richting en de grootte van alle takstromen.

1.39 a. Een voorwerp beweegt zich voort gedurende een tijd t met een snèlheid VI en daarna gedurende dezelfde tijd 1 met een snelheid

V2. Bepaal de gemiddelde snelheid v gem.

b. Een voorwerp beweegt zich voort over een afstand s met een snelheid VI en nogmaals over een afstand s met een snelheid V2.

Bepaal de gemiddelde snelheid

v gem.

c. Geef van beide oplossingen een equivalent netwerk.

44

2~

NETWJ;:RKSTELLINGEN

.

2.1.

Lineariteit

.

en

~uperpositie

We beschouwen het netwer,kvan figuur 2.

i

;

u,

,\ . fig. 2.1.

We bepalen de stroom I. Dat kan bijv. met behulp van de maasmethode:

. UI = 1211 + 612

U₂ = 61₁ + 91₂ :

1

=

'~+ 1₂

Hieruit volgt 1= hUI + l2i U_{2 .} We vinden een functie niet tweè variabelen

(2.1)

.'

{We

noemen de gevo.

nde~

(unctie lineair, omdat hij geen constanten,

kwadra-~

en,derde

machten, wortels enz. bevat. '

Het netwerk kan als volgt worden getekend (zie figuur 2.2):

fig. 2.2.

UI en U₂ zijn ingangsgroothedtm. M~n noemt deze wel excitaties (excitatie =

. opwekking): lis deuitgangsgrootheid, ook wel responsie genoemd (responsie

= antwoord). Het systeem wordt gevormd door het netwel'k.

,Er kunnen natuurlijk ook meer,ingangen en meer uitgangen zijri. Vaak echter

heeft het systeem één ingang en één uitgang.

W,Ç btengen nu het gegeven netwerk van figuur 2.1 in twee verschillende

toe-standen, hetgeen we kunnen realiseren door de excitaties verschillende waar-'

dèn te geven.'

De eerste toestand geven we aan met één accent, de tweede toestand met twee accenten.

Dus, uitgaande. vap ~'

(A)

-en

I" == .1.. U" + ...L {f,'

24 1 12 2 (C)

Zijn

a

en ~ twee willekeurige constanten, dan volgt

, {3 I" - (I U' I ') {3 (I 11 .. I ")

al +. - a 24 I + 12 U₂ + i4 UI + 12 U₂

dus

(D)

Algemeen: als de excitatie (UI ,U₂) de responsie I oplevert, zal de excitatie

(au. + {3u.',aU~ + (3U~) de responsie (al' + (31") opleveren.

Dit is een algemene eigenschap van lineaire systemen. Ter illustratie onderzoeken we of

P

=

UI (E)

een lineaire functie is.

45

Dat dit niet zo is, zien we gemakkelijk in, omdat hier sprake is van een

pro-dukt. ,We zullen het echter formeel onderzoek.en.

Eerste toestand: p' = U' I'

Tweede toestand: p" = u"I"

De excitatie (aU' + ~u",'UI' + {3I") heeft de responsie (aU'

+

{3U")o(aI'

+

{3I")

tot gevolg, terwijl de responsie aP' + {3P" gelijk is aan

au'1'

+

{3u"f'

(F)

(G)

De uitdrukkingen (F) en (G) zijn niet gelijk, m.a.w. de functie is piet-lineair.

Als tweede voorbeeld kiezen we di

u= L

-dt (H)

Dit is de formule voor de spoel, die wij in hoofdstuk 4 zullen tegenkomen.

We beschouwen (H) als een systeem met i als excitatie en u als responsie.

De excit~tie ai' . + ~i" heeft de responsie

L! (ai' + (3i")

dt ,

tot gevolg, terwijl dersponsie au' + {3u" gelijk is aan

46

di' di"

aL-+

t3L-dt dt ~. (K)

(J) 'en (K) zijn g~lijk, het systeem is dus lineair.

, J .

De maasmethode en de knooppuntsmethode geven lineaire vergelijkingen . . . Om tot oplossing y,an een netwerk te komen, passen we uitsluitend lineaire

bewe~kingtoe; we :vermenigvuldigen met con~tanten en tellen verg~1ijkingen op of trekken ze af. Het re~ultaat is een lineaire betrekking.

Voor een netwerk met twee bronnen komen we zo tot de formule (2.1), .

, '\ ' . ) .

die lineair is. (De e~cita,ties kunnen natuurlijk óok twee stroombronnen of één spanningsbron en één stroombron zijn.)

We kiezen nu a=

t3

= I en vinden dan: de excitatiè (U~ + U~', U~ + U;) geeft de responsie (I' + lil). Vervolgens stellen we V~ = 0, d.W.Z. de bron U₂ wordt in d'e eerste toestand door een kortsluiting vervangen, terwijl we verder stel-len

U;'

=

0, d.w.z. br~n UI wordt in de tweede situatie een kort'sluiting. We hebben dan:

de excitatie (U~ + 0,0 + U~) l~vert de responsie (I' + lil), waarbij hier

I'

volgt! uit alleen U~ e,n lil uit allèenU~ .

. Anders geschreven .

(U:,O) =9

I'}

"

"

, 1=1+1

, (O,U~') =9 lil ' (2.2)

Voor het voorbeeld van figuur 2,1 betekent dit de situatie zoals getekend

~ figuur 2:3. +

ov

eerste toestand fig. 2.3 .. Berekening levert op Algemeen'

.

I'-

=

.L U' . 24 1 lil

=

.1.. 12 Uil 2 I = I' ₊ I" _\ = ..!.. U· , + ..l.. Uil 24 1 12 2 + - tweede toestand

1 =

t.ï

UI +

1\

U

2

Vergelijk de oorspronkelijke uitkomst.

Deze sommering noemt men (enkelvoudige) superpositie en we zeggen: voor een lineair systeem geldt de wet van de sl.lperpositie.

Voor drie excitad~s (we kiezen drie spanningsbronnen) kan men de samen-gestelde superpositie toepassen:

Er geldt

Eerste toestand (UI' 0,0) ==? Tweede toestand (0,U₂ ,U₃) ==?

I' } 1 = I'

+

\

1"

I" .

De tweede toestand kan men weer opvatten als ontstaan uit twee toestanden:

(0,U₂,0) (0,0,U₃ )

.==? I'" }

. lil

=

I'"

+

I""

==? I"" Het resultaat is dus

(UI ,0,0) ==? I'

(0 U 0) --.::.... I'" 1 = I'

+

I'"

+

I""

, 2' - (2.3)

--.::... I""

(0,0,U₃) ---7

Resultaat

-[

Een spanning of stroom il1 een netwerk kan worden berekend door alle bron-sterkten op één na nul te maken, dan de betreffende spanning of stroom te

. bepalen, dit uit te voeren voor achtereenvolgens alle bronnen en de resultaten op' te tellen.

.

.

In de praktijk wordt het superpositiebeginsel slechts bij hoge uitzondering in een netwerk met meer dan twee bronnen toegepast.

Voorbeeld Zie figuur 2.4.

'fig. 2.4.

(

48

Oplossing

In de eerste toestand kiez~n' we de stroombronsterkte m,ll, dus open klem-men,in de tweede toestand stellen we de spanningsbronsterkte nul, dus een kortsluiting. Zie figUur 2.5.

40

fig. 2.$. _a) b)

We vinden I' =2 A; 1",= 1 A. Dus 'I =

I'

+ I" = 3 A:

2.2. Het theorema van Tellegen

!

In figuur

2.6

is· van een bepaald netwerk de graph getekend. Daarin zijn de

takstromen en de knooppuntspotentialen aangegeven.

fig. 2.6. '

!

_j

We bepalen nu het produkt van spanning en.sttoomvoor elke tak en tellen _

de resultaten op. Daarbij laten we voor elke tak de spanning en de stroom

1.

1

"pij

~lk~arhoren",

d.w;z. de stroom loopt in de tak van plus naar min.

U₁₂1₁ + U₁₂1₂ + U₁₃1₃ + U₃₂1₄ =

=(\1'1 -V_{2)11 + (VI -V2 )I2} + (VI -V₃

)I

₃ +(V₃

-V

₂)1₄ = = VI (11

+

1₂

+

'1_{3 )} + V₂(-1_{1 -} 1₂ - 1

₄₎

+ V₃(I4 - 1

3) = O.

Er geldt, immers volgens de stroomwet:

~nooppunt I knooppunt 2 knóoppunt 3 Voor dit netwerk geldt dus

~ + 1₂

+

13 =0, -'1_{1 -} 1₂ - 14 = 0 14 - 13 = 0