################################################################################
Próżnia w jednorodnym polu grawitacyjnym i wzbudzenie
równomiernie przyspieszonego detektora.
W. L. Ginzburg , W. P. Frołow
Tytuł oryginału : „Вакуум в однородном гравитационом поле и возбуждение равномерно ускоренного детектора”
UFN 1987 tom 153 zeszyt 4
********************************************************************************
Tłumaczenie z rosyjskiego: R. Waligóra
Ostatnia modyfikacja : 2012-06-01 Tłumaczenie całości artykułu.
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1. Wprowadzenie.
W fizyce klasycznej wykorzystuje się pojęcie pustej przestrzeni – mówiąc bardziej fizycznie mówi się w tym kontekście o pewnym obszarze przestrzennym w którym nie występują cząstki i pola. Taką pustą przestrzeń można przyjąć jako synonim próżni klasycznej nierelatywistycznej fizyki. Wprowadzona przez Newtona „przestrzeń absolutna”, która „w samej swej istocie , bez względu na jakiekolwiek działanie zewnętrzne, pozostaje zawsze jednakowa i nieruchoma”
odgrywała rolę idealnego IUO wraz z powyższą charakterystyką mogłaby odgrywać rolę właśnie próżni klasycznej.
Mówiąc słowami Einsteina „idea niezależnego istnienia przestrzeni i czasu może być wyrażona w następujący sposób – jeśliby materia znikła, to pozostałyby tylko przestrzeń i czas ( jako swojego rodzaju scena, na której rozgrywają się zjawiska fizyczne ) [1]. Jednakże całkowicie niezależna od materii scena – przestrzeń absolutna, jest kategorią metafizyczną, ponieważ nie jest wiadome jak jej przyporządkować rzeczywistość fizyczną. Dlatego też w mechanice przestrzeń absolutna była faktycznie zamieniona na praktycznie realizowane układy inercjalne, w pierwszej kolejności przez astronomiczny układ odniesienia ( początek współrzędnych w takim układzie umieszczony jest w centrum masy Układu Słonecznego, a jego osie skierowane są na „gwiazdy stałe” – zobacz [2] ). Wraz z rozwojem optyki,
elektrodynamiki i pojęcia pola na arenę weszło już wcześniej wprowadzane pojęcie eteru – wypełniającej całą przestrzeń substancji o szczególnych własnościach, w której rozchodzą się zaburzenia EM. Przy tym koniec końców Lorentz musiał założyć, że „część eteru nie przemieszcza się względem siebie. Zatem, eter występuje jako wypełnienie absolutnie spoczywającej przestrzeni”
Los takiego nieruchomego eteru okazał się jednakże taki sam jak i newtonowskiej przestrzeni absolutnej – eterowi nie można nadać żadnego fizycznego sensu, nie mówiąc o nim jako o pewnego rodzaju IUO. STW ugruntowała właśnie taki punkt widzenia – w ramach STW można przyjmować, że „eter ogólnie mówiąc nie istnieje. Pola EM nie reprezentują sobą stanu pewnego ośrodka, a są bytami samoistnymi, których nie można sprowadzić do czegoś innego i które podobnie do atomów materii nie są związane z jakimiś nośnikami” [3]
Dlatego przyjęto, że STW wygnała eter z fizyki, a samo pojęcie „eter” nie występuje we współczesnej literaturze. Nie należy przeciw temu oponować, ponieważ stare wyobrażenie o eterze okazało się zdyskredytowane. Jednakże wraz z STW nie znikło wyobrażenie o pustej przestrzeni i o IUO różniących się od NIUO. Einstein nawet próbował rehabilitować lub lepiej – reanimować pojęcie „eteru”, nadając mu ściślejsze znaczenie. W opublikowanym artykule (1920) „Eter i teoria względności”, mówił on „Bliższe rozpatrzenie pokazuje, że STW nie wymaga bezapelacyjnego odrzucenia pojęcia eteru. Można nawet przyjąć istnienie eteru, nie należy jednak przy tym zapominać, aby nadać mu odpowiedni stan ruchu, inaczej mówiąc abstrahując należy pozbawić go mechanicznego charakteru, jaki nadał mu Lorentz”. Myśl taka wyjaśniona jest dalej „Co zaś tyczy mechanicznej natury eteru Lorentza, to można powiedzieć, ze Lorentz pozostawił mu jeszcze jedną własność mechaniczną – nieruchomość. Do tego można dodać, ze cała zmiana, jaką wniosła STW do koncepcji eteru, polegała na pozbawieniu go również tej jego własności mechanicznej.”
Oczywiście problem nie polega na nazywaniu. Pojęcie „eter” było zamieniane na pojęcie „próżnia” lub „próżnia fizyczna”. Bez tego pojęcia, jak już mówiliśmy, nie można się obejść już w fizyce klasycznej, zwłaszcza z uwzględnieniem roli pola grawitacyjnego. Właśnie dlatego, czemu trudno się dziwić po zbudowaniu
OTW Einstein powrócił do koncepcji eteru [3]. Mówiąc słowami Einsteina ( które są w tej materii aktualne do dzisiaj )
„metryczne własności kontinuum czasoprzestrzennego w otoczeniu oddzielnych punktów czasoprzestrzennych są różne i zależne są od rozkładu materii w rozpatrywanym obszarze. Wyobrażenie o fizycznie pustej przestrzeni eliminowane jest przez mierzalność przestrzenno-czasową odległości i czasu. Zatem przyznanie tego faktu, że „pusta przestrzeń” w rozumieniu fizycznym nie jest jednorodna i izotropowa zmusza nas do opisu jej stanu za pomocą dziesięciu funkcji – potencjałów grawitacyjny gµν. Jednakże w ten sposób pojęcie eteru ponownie nabiera określonego sensu, który jest jednak różny od pojęcia eteru mechanicznej teorii światła. Eter OTW jest ośrodkiem, samym w sobie pozbawionym wszelkich mechanicznych i kinematycznych własności, jednakże określa on mechaniczne ( i elektromagnetyczne ) procesy. Ogólny wniosek jest zatem następujący „Podsumowując można powiedzieć, że OTW nadaje przestrzeni fizyczne własności ; w takim razie w tym właśnie sensie eter istnieje. Zgodnie z OTW , przestrzeń jest bezsensowna bez
pojęcia eteru, w istocie bowiem w takiej przestrzeni nie tylko nie była by możliwa propagacja światłą, ale nie mogłyby istnieć linijki i zegary i nie byłoby żadnych odległości przestrzenno- czasowych w fizycznym sensie tego pojęcia” [3]
Zatem, chociaż pojęcie „eteru” nie zachowało się, zamieniając go na pojęcie próżni fizycznej, jest ono konieczne już w mechanice przed kwantowej. Wydaje się nam iż okoliczność ta jest nie tylko ważna w kontekście niniejszej pracy, ale również w związku z rozpowszechnieniem obecnie utożsamiania pojęcia próżni fizycznej z próżnią KTP.
Wraz z tym głębokie zmiany wniesione do pojęcia próżni fizycznej wraz z zbudowaniem KTP są bardzo istotne [4]
Dotyczą one już w istocie próżni fizycznej w IUO lub innymi słowy w CP Minkowskiego dla której g00 = 1 , gij = δij (i, j = 1, 2, 3 )
tj. wtedy, kiedy pole grawitacyjne nie występuj ( chodzi oczywiście o stałość współczynników gµν tj. jednorodność i izotropowość CP )
Już w CP Minkowskiego ( lub po prostu w M-przestrzeni ) próżnia kwantowa według obrazowej opinii I. Ja
Pomeranczuka przedstawia sobą „wrzącą ciecz operatorową”. W istocie bowiem definiując próżnie jako najniższy stan energetyczny, w którym nie występują żadne cząstki rzeczywiste ( fotony, pary elektronowo pozytonowe e+e- itp. ) wiemy, że w stanie takim pola nie są równe zero, fluktuują one wokół wartości średnich równych zero – chodzi o drgania zerowe pól swobodnych. Dla pól oddziałujących można mówić o fotonach wirtualnych, parach wirtualnych e+e- itp.
Wyobrażenie o drganiach zerowych pól kwantowych, które ma już 60 lat, jest obecnie ogólnie znane. Tym niemniej, uwzględniając cel i charakter przedstawionego artykułu, ukierunkowanej nie na specjalistów, wydaje się użytecznym przypomnieć kilka elementarnych faktów. Energia drgania zerowego pola EM, odpowiadająca modowi ( drganiu normalnemu ) o częstości ω jest równa ½ hω (* h – jest stałą Diraca *) ( Oczywiście kwantowanie w przestrzeni M można przeprowadzić również w ten sposób, aby energia drgań zerowych była równa zero ( zobacz np. [5] ), jednakże wyniki fizyczne nie są zależne od takiego lub innego wyboru saki energii ), spektrum takich drgań przypadające na interwał dω, jest proporcjonalne do hω3dω. Przejście do innych IUO tj. przekształcenie Lorentza, nie zmienia spektrum drgań zerowych [6] i tak właśnie być powinno. Drgania zerowe są całkowicie realne – prowadzą do pojawienia się sił między ciałami i do zmiany energii ich oddziaływania. Chodzi o siły van Der Waalsa [7], przy czym najbardziej znane jest ( rozpatrzone po raz pierwszy w 1948 roku ) przyciąganie miedzy rozdzielonymi próżnią dwoma idealnymi płytami przewodzącymi [8] (* chodzi oczywiście o efekt Casimira *)
Istnienie drgań zerowych jest bezapelacyjnie nadzwyczaj ważnym następstwem praw KTP. Oczywiście w związku z tym ,że w teoriach klasycznej i kwantowej często wykorzystuje się różne podejścia i metody często można dojść do
niespójności. I tak np. istnieje rozpowszechniona opinia, ze spontaniczne promieniowanie światła powodowane jest przez drgania zerowe pola EM – co oczywiście nie jest prawdą [9].
Jeszcze bogatsze pojęcie, można powiedzieć że i zawartość, pojęcia próżni fizycznej otrzymujemy w teorii kwantowej przy uwzględnieniu oddziaływania między polami, w szczególności między polem EM i cząstkami naładowanymi ( tj. w innym języku miedzy polem EM i polem elektro-pozytonowym ). Konkretnie takie oddziaływanie prowadzi do istnienia w próżni par wirtualnych e+e- , cały czas kreowanych i anihilujących wzajemnie. Obecność takich par od razu sprawia, ze staje się zrozumiałe istnienie elektrycznej polaryzacji próżni i ogólnie wpływu na próżnie zewnętrznych pól EM. W takich polach próżnia zachowuje się podobnie do nieliniowego ośrodka dwójłomnego ( dwójłomność – anizotropia własności optycznych, związana z obecnością wydzielonego kierunku – kierunku pola zewnętrznego )
Na ile jest bogate wyobrażenie o parach wirtualnych e+e- można pokazać na następującym przykładzie.
W silnym polu magnetycznym próżnia, jak już powiedziano, staje się dwójłomna, jednakże aktywność magnetyczna przy tym nie występuj. W próżni występuje jednakowa liczba wirtualnych elektronów i pozytonów, cząstki te zakręcają się w polu magnetycznym w różne strony i próżnia staje się podobna to tak wyjątkowego ośrodka jak np. e+e- -plazma ( o różnych koncentracjach e+ i e- ), która nie jest magnetoaktywna, chociaż jest dwójłomna.
Pole EM, działając na próżnie może prowadzić do przekształcenia się wirtualnych par e+e- w pary rzeczywiste, tj. do kreacji elektronów i pozytonów. Przykładami takich procesów może być kreacja par e+e- przy rozpraszaniu fotonu ( o częstości hω ≥ 2mc2 , m – masa elektronu i pozytonu ) na centrum coulombowskim lub przy zderzeniu dwóch fotonów. W ostatnim przypadku próg reakcji jest następujący : hω = mc2 ; ω - częstość każdego z fotonów w układzie środka masy. Pary mogą być kreowane również w zewnętrznym statycznym polu elektrycznym E. Poszczególne składowe wirtualnej pary przy niewystępowaniu pola zewnętrznego znajdują się standardowo na odległości L <~ Lc ≡ h/mc = 3,86 x 10-11 [cm]
Prawdopodobieństwo znalezienia ich na odległości L >> Lc jest zmniejszane przez czynnik exp( -L/Lc ) Proces kreacji par występuje wystarczająco intensywnie, jeśli E > E0 , E = mc2/eLc
Sens wyrażenia dla E jest oczywisty : pole E0 na odległości Lc wykonuje nad elektronem ( lub pozytonem ) pracę mc2 W polach E << E0 prawdopodobieństwo kreacji par zmniejsza się według prawa exp( -πE /E0 ).
Zanim przejdziemy do głównego tematu niniejszego artykułu, powiemy nieco o efektach kwantowych w polu grawitacyjnym. Przy tym chodzić nam będzie tylko o klasyczne pole grawitacyjne opisywane przez równania OTW ( a nie o inne teorie pola grawitacyjnego ).
Zaniedbanie efektów kwantowych jest dopuszczalne, jeśli charakterystyczny promień krzywizny CP jest dużo większy od długości Plancka :
Lg = sqrt(Gh/c3 ) = 1,6 x 10-33 [cm]
i dlatego efektu polaryzacji próżni przez pole grawitacyjne można nie uwzględniać.
Nie będziemy również rozpatrywali obszarów CP o skalach Plancka : L ~ Lg , t ~ tg = Lg /c
W których fluktuacje samego pola grawitacyjnego są istotne.
( Należy przypomnieć, że współczesna fizyka wysokich energii w eksperymencie „przenikła” przestrzeń tylko do skal L ~ 10-16 [cm] (* obecnie jest to wartość L ~ 10-18 [cm] *)
Wyobrażenie o tym, ze CP „jest w porządku” aż do skal planckowskich jest zatem sporą ekstrapolacją. Tym niemniej taka ekstrapolacja jest do przyjęcia, póki nie mamy żadnych konkretnych wskazówek o istnieniu jakieś nowej fundamentalnej długości Lf > Lg ( przy takiej długości – jeśli oczywiście ona istnieje ) OTW mogłaby okazać się niestosowalna, dotyczy to również każdej innej znanej nam obecnie teorii fizycznej )
O możliwości istnienia takiej długości nie powinniśmy zapominać [13, 14], jednakże obecnie będziemy ją ignorować.
Jeśli chcemy być dokładni powiemy, ze interesujemy się tylko obszarem L >> Lf , t >> tf = Lf /c )
Jest jasne, że zmienne pole grawitacyjne może, ogólnie mówiąc, kreować pary cząstek z próżni. Przyjmując pole grawitacyjne jako słabe, możemy podać parę uwag, wykorzystując prosty język. Przykładowo, próg kreacji par e+e- przy zderzeniu dwóch grawitonów jest równy hω = mc2 , gdzie ω - częstość grawitonu. Kreacja par przez pole grawitacyjne może odgrywać dużą rolę w kosmologii [12, 15].
Rozpatrzmy teraz działanie stałego pola grawitacyjnego na wirtualne par e+e-. Jeśli pole grawitacyjne jest jednorodne , to nie może ono kreować takich par, ponieważ i elektron i pozyton będą poruszały się w tym samym kierunku. Pary mogą być kreowane tylko w wyniku efektu pływowego, tj. w polu niejednorodnym. Jeśli g – jest przyspieszeniem spadku swobodnego w polu grawitacyjnym, a L – jest charakterystyczną skalą jego niejednorodności, to różnica sił działających na e+ i e- , jest rzędu f ~ mgLc /L i warunek kreacji określony z równania fLc ~ mc2 ma postać g/L ~ c2 /Lc2
Dla konkretu rozważmy kreacje par e+e- przez nierotującą ( czarna dziura Schwarzschilda ) CD o masie M. Aby cząstka o masie m ( w danym przypadku jest to e+ lub e- ) mogła uciec z otoczenia CD „ku nieskończoności”, należy poświecić energię E ≥ mc2. Energię tę można otrzymać w wyniku tego faktu, ze jedna ze składowych wykreowanej pary wirtualnej
„narodzi się” wewnątrz promienia grawitacyjnego ( przy r < rg ≡ 2GM/c2 = 1,48 x 10-28 ( M [g] ) [cm] ≈ 3M/MSł [km]
Lub jak jeszcze przyjęto mówić – pod horyzontem zdarzeń ). Cząstka taka zostaje pochłonięta przez CD i tym samym wykona pracę, druga składowa pary, wykorzystując tą energię odlatuje od CD. Dla obszaru poza CD, skąd możliwa jest taka ucieczka cząstki, maksymalna wartość wielkości g/L, wchodzącej do warunku kreacji, jest rzędu c2 /rg2.
Dlatego należy oczekiwać intensywnej kreacji przez CD cząstek o masie m tylko w tym przypadku, kiedy rg <~ Lc = h/mc
Dla CD o dużej masie prawdopodobieństwo takiej kreacji spada wykładniczo. Dla kwantów bezmasowych, częstość których w nieskończoności jest równa ω, warunek kreacji możemy otrzymać, jeśli Lc zamienimy na wielkość λ/2π = c/ω
Innymi słowy, CD w pierwszej kolejności może rodzić cząstki o energii : E ~ hc/rg = hc3/ 2GM
Takiej energii odpowiada temperatura :
TCD ~ E kB-1 ~ hc3 / 2GMkB (1.1)
Gdzie : kB – stała Boltzmanna.
Przedstawione rozważania i oceny stanowią dla nas świadectwo na korzyść tego, że CD z uwzględnieniem kwantowania elektromagnetycznego i innych pól powinny promieniować fotony i „kwanty” takich pól. Oczywiście jest to efekt kwantowy, co jest jasnym również w związku z pojawieniem się stałej kwantowej h w wyrażeniu (1.1) dla TCD.
Istnieją jednak inne sposoby uzasadnienia takiego wniosku; zagadnienie to dokładniej rozpatruje się np. w [16].
Wnioskowanie o kwantowym „parowaniu” CD zostało po raz pierwszy przeprowadzone przez Hawkinga w 1974 roku [17], przy czym w owym czasie było ono nieoczekiwanym.
Ponadto, jak świadczą obliczenia, czarna dziura Schwarzschilda o masie M promieniuje jak ciało czarne o temperaturze :
TCD ~ hc3/ 8πkBGM ≈ 10-7 (MSł /M ) K (1.2)
Bez wątpienia wynik Hawkinga jest istotnym osiągnięciem fizyki teoretycznej.
Podana powyżej ocena (1.1) pokrywa się z dokładnym wyrażeniem dla temperatury promieniowania Hawkinga (1.2) z dokładnością do czynnika 1/4π.
Pole CD Schwarzschilda jest bardzo ważnym, ale szczególnym przykładem pola grawitacyjnego. Jest jasne, że kreacja różnych cząstek i ogólnie efekty kwantowe ( w szczególności polaryzacja próżni ) ma miejsce we wszystkich, ogólnie mówiąc polach grawitacyjnych. Szczególne miejsce pośród nich zajmuje jednorodne i stałe w czasie pole grawitacyjne.
W takim polu wszystkie procesy fizyczne i zjawiska zachodzą dokładnie tak samo jak i w równomiernie przyspieszonym UO bez obecności pól – na tym polega zasada równoważności, leżąca u podstaw OTW.
Jak przejawiają się efekty kwantowe w jednorodnym i stałym w czasie polu grawitacyjnym i jak należy sformułować zasadę równoważności w obszarze kwantowym ?
Jest oczywiste, że powyższe zagadnienie jest istotne, wystarczy powiedzieć, że próżnia Minkowskiego, jest inwariantna względem przekształceń Lorentza, ale nie jest inwariantna przy przejściu do układu przyspieszonego. Wraz z tym jednorodne pole grawitacyjne jest jawnie wyróżnione – nie ma w nim sił pływowych i dlatego pary e+e- nie będą kreowane.
Kwantowaniu różnych pól w równomiernie przyspieszonym układzie współrzędnych poświęcono wiele prac, do których odsyłacze podamy w podrozdziale 2.3. Obecnie wspomnimy o wyniku otrzymanym przez Unrucha w 1976 roku [18].
Okazało się mianowicie, że spoczywający w równomiernie przyspieszonym układzie odniesienia „detektor” ( atom, oscylator itp. ) zostaje wzbudzony, przy czym wzbudza się on tak jak gdyby znajdował się on w termostacie ( lub w polu promieniowania cieplnego ) o temperaturze :
Ta = ha / 2πkBc (1.3) Gdzie : a – stałe przyspieszenie rozpatrywanego układu względem IUO.
Wzór (1.3) przechodzi w (1.2), jeśli w charakterze przyspieszenia wziąć charakterystyczne dla CD przyspieszenie ( „natężenie” pola grawitacyjnego ) – tzw. powierzchniową grawitacje CD :
κ = GM/ rg2 = c4/ 4GM (1.4)
( Cząstka, spoczywająca w pobliżu czarnej dziury Schwarzschilda w punkcie r porusza się nie po geodezyjnej ma zatem pewne przyspieszenie. Wartość tego przyspieszenia jest równa :
a(r ) ≡ sqrt( | aµ aµ | ) = GM/ r-2 α(r)
gdzie : α(r ) ≡ sqrt( | g00(r ) | ) = [ 1 – (2GM/c2r )]½ - czynnik przesunięcia ku czerwieni ( promieniowanie które na odległości r ma częstość ω1 , przy odejściu „ku nieskończoności” będzie miało częstość ω2 = α(r )ω1 )
Grawitacje powierzchniową κ = GM/rg2 można określić jako wartość na powierzchni CD wielkości α(r )a(r) Jeśli w pobliżu CD istnieje równowagowe ( cieplne) promieniowania o lokalnej temperaturze :
T(r ) ≈ ha(r )/2πkBc
to „w nieskończoności“ ( z uwzględnieniem przesunięcia ku czerwieni ) promieniowaniu temu odpowiada temperatura : TCD = hκ / 2πkBc
co jest tożsame z (1.3) )
Wzbudzenie „detektora” spoczywającego w równomiernie przyspieszonym UO, jest podobne do kwantowego promieniowania CD co zwróciło na siebie dużą uwagę ( zobacz np. [19, 20, 21, 22] )
Przyczynę wzbudzenia przyspieszonego „detektora” i charakter związanego z takim wzbudzeniem zmiany stanu oddziałującego z detektorem pola kwantowego ( masywnego lub bezmasowego pola skalarnego, pola EM lub innego ) należy wyjaśnić – przy czym jak nam się wydaje w ostatnich latach nie było w tym temacie pełnej jasności.
Znaczny postęp został osiągnięty w 1984 roku w pracy [23], w której wzbudzenie detektora, równomiernie przyspieszonego, poruszającego się w przestrzeni Minkowskiego rozpatrzono w IUO. Przy tym wyjaśniono, że wzbudzenie „detektora” powiedzmy, że znajdującego się na początku w swoim stanie podstawowym w M-próżni ( tj. przy nie występowaniu realnych kwantów rozpatrywanego pola ), powodowane jest promieniowaniem kwantu pola.
Taki proces – wzbudzenie z promieniowaniem – jest nieco niezwykły i należy go wyjaśnić. Należy wyjaśnić również ten fakt, że „detektor” okazuje się wzbudzony o rozkładzie termicznym względem poziomów energetycznych, przy czym odpowiednia temperatura jest równa :
Ta = ha / 2πkBc
Autorzy niniejszej pracy zwrócili uwagę na to, że wzbudzenie z promieniowaniem jest znane od dawna na przykładzie tzw. anomalnego efektu Dopplera (AED). W przypadku przyspieszonego „detektora” sytuacja jest analogiczna i całkowicie zrozumiała. Wystarczająco jasna jest również przyczyna wzbudzenia, charakteryzowanego właśnie przez temperaturą Ta – wynik ten jest związany z wypełnieniem zasady równoważności.
W niniejszym artykule – na tym polega właśnie jego cel – zastanowimy się na podanych zagadnieniach, przy czym podamy również szereg obliczeń. Aby jednak wyliczenia te nie zakryły istoty problemu, już teraz podkreślimy następujący fakt.
Będziemy rozpatrywali pewien „detektor” – atom, oscylator itp. – z dyskretnymi poziomami energetycznymi w trzech układach odniesienia : IUO, równomiernie przyspieszonym UO i UO spoczywającym w jednorodnym polu
grawitacyjnym. Oczywiście, jeśli detektor znajduje na pewnym poziomie i, to energia tego poziomu Ei w różnych UO jest różna, jednakże sam fakt przebywania detektora właśnie na poziomie i nie jest zależny od UO. To samo dotyczy rozkładu ansamblu jednakowych detektorów po poziomach energetycznych.
Niech rozpatrywany detektor w IUO posiada pewno stałe przyspieszenie a, przy czym niech prędkość detektora v = 0 w chwili t = 0. Wtedy w równomiernie przyspieszonym UO, z przyspieszeniem a względem IUO przyspieszenie detektora jest równe zero, a jego prędkość również można przyjąć równą zero. Dla rozkładu detektora po poziomach
energetycznych, jak już wynika z powyższych faktów, obliczenia „z punktu widzenia” IUO lub UO równomiernie przyspieszonego powinny prowadzić do jednakowych wyników. W danym przypadku okazuje się jednak, ze w szeregu przypadków do celu szybciej prowadzi wykorzystanie przyspieszonego UO, w takim układzie bowiem łatwiej i
przejrzyściej można dojąć do wniosku o tym, że funkcja rozkładu detektora ma charakter termiczny ( boltzmannowski ), przy czym jest to rozkład o temperaturze (1.3). W analogiczny sposób, dla opisu zachowania detektora, spoczywającego w jednorodnym polu grawitacyjnym, dogodniej jest wykorzystywać UO spoczywający w tym polu.
Aby się o tym przekonać w rozdziale 2 przeprowadzimy kwantowanie pola w płaskiej CP ( w M-przestrzeni ) w układzie inercjalnym i równomiernie przyspieszonym, jak również w jednorodnym polu grawitacyjnym. Następnie w rozdziale 3 rozpatrzymy zachowanie równomiernie przyspieszonego detektora oraz detektora spoczywającego w jednorodnym polu grawitacyjnym w UO względem których takie detektory spoczywają. W rozdziale 4 procesy wzbudzenie i
promieniowania równomiernie przyspieszonego detektora rozpatrzone zostaną w IUO. W rozdziale 5 zastanowimy się na wzbudzeniu detektora, poruszającego się w ośrodku ze stałą, ale nadświetlną prędkością, kiedy efekt Dopplera okazuje się zarówno normalny jak i anomalny. Na zakończenie, w rozdziale 6 omówimy zagadnienie o zasadzie równoważności przy uwzględnieniu zjawisk kwantowych.
2. Próżnia w CP Minkowskiego, rozpatrywana w UO – inercjalnym i równomiernie przyspieszonym.
Próżnia w statycznym i jednorodnym polu grawitacyjnym.
2.1 KTP w IUO.
Teoria swobodnych ( tj. nie oddziałujących wzajemnie ) pól kwantowych w przestrzeni M omówiona jest w wielu podręcznikach ( n. [26, 27] )
Teraz jedyni krótko przypomnimy pewne podstawowe fakty tej teorii na najprostszym przykładzie skalarnego pola bezmasowego.
Przyjmiemy, że mamy do dyspozycji pewien IUO i nieco abstrahując, możemy mówić o realizacji przestrzeni M w której będziemy pracowali ( zobacz np. [2] ). Położenie dowolnej cząstki względem tego IUO można scharakteryzować poprzez współrzędne kartezjańskie :
Xµ = (cT, X, Y, Z )
Element długości dsµ między dwoma zdarzeniami Xµ i Xµ + dXµ w tych współrzędnych zapiszemy w postaci ( wykorzystujemy oznaczenia w których indeksy greckie przyjmują wartości 0, 1, 2, 3 a łacińskie 1, 2, 3 ) :
ds2 = ηµν dXµ dXν = - c dT2 + dX2 + dY2 + dZ2 (2.1)
Podobny IUO niekiedy dla wygody będziemy nazywali I-układem, a współrzędne kartezjańskie Xµ - współrzędnymi związanymi z I-układem.
Skalarne bezmasowe pole ϕ w przestrzeni M opisywane jest równaniem :
ϕ ≡ ηµν ∂/∂Xµ ∂/∂Xν ϕ = 0 (2.2)
Ogólne rozwiązanie równania (2.2) zapiszemy w postaci : ϕ(X) = ∫ d3k [ Φk(X ) ak + Φ-
k(X ) a*k ] (2.3)
gdzie : Φ-
k(X ) = ( Φk(X ) )- ; kµ = ( ωk /c , k ) ; ωk = c | k | Φk(X ) = exp( -iωT ) Φ~
k(X ) = √h [ (2π )3 2ωk ] −½ exp( ikµXµ ) (2.4) - są dodatnio częstościowymi rozwiązaniami równania (2.2), a kreseczka oznacza sprzężenie zespolone.
Można powiedzieć, że funkcjom Φ-
k(X ) odpowiadają ujemne częstości ωk
W teorii klasycznej ak i a*k = ak- - funkcje sprzężone zespolenie. W teorii kwantowej a^k i a^*k = ( a^k )* - są hermitowsko sprzężonymi operatorami, spełniającymi zależności komutacyjne o postaci :
[ a^k , a^*k’ ] ≡ a^k a^*k’ − a^*k’ a^k = δ( k − k‘ ) (2.5)
[ a^k , a^k’ ] = [ a^*k , a^*k’ ] = 0 (2.5)
Stan pola, opisywany przez wektor w przestrzeni Hilberta | 0 ; M > określany przez zależność:
a^k | 0 ; M > = 0 (2.6)
jest najniższym stanem energetycznym. Wszystkie pozostałe stany, pojawiające się przy działaniu operatorów a^*k na stan | 0 ; M >, posiadają wyższą energię i opisują stany „wzbudzone” danego układu. Stan | 0 ; M > w którym nie występują żadne wzbudzenia, nazywamy stanem próżniowym. Stany | 1k ; M > ≡ a^*k | 0 ; M > odpowiadają stanom jednocząstkowym, kiedy w przestrzeni M istnieje jeden kwant pola ϕ, posiadający energię hωk i pęd hk oraz opisywany przez funkcje falową :
Φk(X ) = < 0 ; M | ϕ^(X ) | 1k ; M >.
W analogiczny sposób interpretujemy stany wielocząstkowe. Operatory a^*k i a^k nazywamy operatorami kreacji i anihilacji cząstki w stanie Φk(X ).
Można się przekonać, że opisany schemat kwantowania i w szczególności wybór próżni jest relatywistycznie inwariantny, tj. nie zależy od konkretnego wyboru IUO.
Próżnia | 0 ; M > nie zmienia się, jeśli w miejsce rozkładu po falach płaskich (2.4) wykorzystamy rozkład po dowolnym innej pełnym układzie rozwiązań równania (2.2) przy warunku, że rozwiązania takie wybieramy jako dodatnio-
częstościowymi względem czasu T w IUO. Przy tym same rozwiązania można zapisać w dowolnych, nie koniecznie kartezjańskich współrzędnych. Wykorzystywanie w charakterze bazowych rozwiązań, posiadających dodatnią częstość względem czasu T gwarantuje, że odpowiadająca mu próżnia jest najniższym energetycznie stanem układu, a zatem pokrywa się z próżnią Minkowskiego | ; M >
( Bardziej szczegółowo problemy te omawiane są np. w [25. Pozostałe zagadnienia związane z kwantowaniem rozpatrywane są również w [5] )
Całkiem inna sprawa jest w przypadku, jeśli wykorzystujemy krzywoliniowy czterowymiarowy układ współrzędnych xµ w którym xµ nieliniowo zależy od Xµ = cT, następuje bowiem rozkład na dodatnio- i ujemnie częstościowe rozwiązania względem x0. Przy takim kwantowaniu, odpowiadającemu przy odpowiednich warunkach kwantowaniu w NIUO, wyniki ( w szczególności wybór próżni ) okazują się różne od opisanych powyżej – tj. odpowiadającym kwantowaniu w IUO. Dokładniej o tym problemie powiemy w podrozdziale 2.3
2.2 Równomiernie przyspieszony UO i UO spoczywający w jednorodnym polu grawitacyjnym.
Opiszemy teraz własności najprostszego NIUO, a mianowicie układu równomiernie przyspieszonemu względem IUO.
W tym celu w przestrzeni M wprowadzimy nowe współrzędne : xµ = ( η, ρ , y, z )
związane z współrzędnymi kartezjańskimi Xµ = ( cT, X, Y, Z ) poprzez zależności :
cT = ρ sin(η ) , X = ρ cosh(η ) , Y = y , Z = z (2.7)
Takie nowe współrzędne pokrywają część R+ przestrzeni M w której X > c | T |. Brzeg R+ tworzą dwie płaszczyzny świetlne :
ℵ+ ( X = cT ) i ℵ-(X = - cT )
Linie współrzędnościowe η( ρ, y, z = const. ) są hiperbolami, których asymptotyki to proste świetlne leżące na ℵ+ i ℵ- ( rys. 1 )
Rys. 1 CP Minkowskiego. γ0 - linia świata cząstki równomiernie przyspieszonej, poruszającej się wzdłuż osi X.
ℵ± - płaszczyzny świetlne, opisywane przez równanie cT -/+ X = 0
dzielące całą CP na cztery obszary R+ , R- , T+ , T- . W każdym z tych obszarów możemy wprowadzić odpowiadające mu współrzędne Rindlera. Równomiernie przyspieszony UO związana z cząstką γ0, pokrywa obszar R+ .
Wyobraźmy sobie, że wzdłuż takiej linii współrzędnościowejη porusza się pewna cząstka. Dla takiej cząstki parametr η związany jest z jej czasem własnym τ poprzez zależność :
τ = ρηc-1
a jej 4-prędkosć uµ i 4-przyspieszenie aµ we współrzędnych Xµ są równe :
uµ = ( c cosh(η ) , c sinh(η ) , 0 , 0 ) (2.8)
aµ = ( ρ-1c2 sinh(η ) , cρ-1cosh(η ) , 0 , 0 ) (2.8)
Innymi słowy, taka cząstka w IUO porusza się z przyspieszeniem, skierowanym wzdłuż osi X, przy czym wielkość tego przyspieszenia jest równa :
a ≡ | aµaµ | ½ = c2/ρ
i jest ona stała ( ruch jednostajnie przyspieszony ).
Po takich trajektoriach poruszają się np. naładowane cząstki w jednorodnym stałym polu elektrycznym, jeśli ich prędkość ma kierunek tego pola. ( Jeśli ruch nie następuje wzdłuż jednego kierunku ( w danym przypadku osi X ), ale warunek a = const. jest spełniony, to mówimy o ogólniejszym typie ruchu przyspieszonego [5] Równomiernie przyspieszony ruch niekiedy nazywa się hiperbolicznym )
(* Dodatek własny.
Przekształcenie współrzędnych odpowiadające przejściu do równomiernie przyspieszonego UO jak już wiemy nazywa się przekształceniem Rindlera. Przekształcenie to obejmuje tylko pewien wydzielony obszar CP Minkowskiego – klin Rindlera. Możemy jednak poprzez np. odbicia i obroty pokryć całą przestrzeń M za wyjątkiem linii osobliwości – horyzontów. ( rys. 1.1a ).
Warto również zwrócić uwagę na związek między przestrzenią Rindlera a przestrzenią CD – w obu bowiem występują horyzonty.
Rys. 1.1 a Klin Rindlera.
*)
Z cząstką próbną można związać sztywny równomiernie przyspieszony UO. Wyobraźmy sobie, że cząstka „niesie”
standardowy zegar i przyczepione trzy sztywne linijki skierowane zgodnie z osiami X, Y, Z. Sztywność linijek oznacza, ze ich długość mierzona w UO równomiernie przyspieszonej cząstki nie zmienia się w czasie. W rozpatrywanej sytuacji nie stanowi trudności sformułowanie warunków koniecznych i wystarczających sztywności ciał.
Przyjmijmy położenie Xµ
0 cząstki w chwili η0. Wtedy łatwo przekonać się, że miejsce geometryczne punktów ( zdarzeń ) Xµ jednoczesnych z Xµ
0 z punktu widzenie przyspieszonego obserwatora, pokrywa się z płaszczyzną przechodzącą przez Xµ
0 oraz przez „linie” ρ = 0 ; płaszczyzna ta opisywana jest przez równanie η = η0 ( zobacz rys. 1 ) Jeśli xµ (η) – są współrzędnymi końca linijki, której początek zaczepiono w cząstce ( xµ
0 (η ) ), to jej długość L będzie równa :
L = [ ( ρ – ρ0 )2 + ( y – y0 )2 + ( z – z0 )2 ]½
Dlatego też jeśli linie świata, opisujące początek i koniec linijki pokrywają się z liniami współrzędnych czasu η, to długość takiej linijki jest stała i jest ona sztywna. Lub innymi słowy, sztywność fizyczna w rozpatrywanym układzie jest równoważna sztywności „współrzędnościowej” tj. stałości współrzędnych ρ, y, z początku i końca linijki; wprowadzony układ odniesienia jest nierotujący.
Można przyjąć, że układ współrzędnych xµ przedstawia sobą kanoniczną realizacje równomiernie przyspieszonego UO w tym sensie w jakim kartezjański układ współrzędnych Xµ związana jest z IUO. Wprowadzony równomiernie przyspieszony UO będziemy krótko nazywali A-układem.
Zwrócimy teraz uwagę również na pewną ważną własność sztywnych przyspieszenie poruszających się ciał (linijek itp. ) Różne ich punkty poruszają się z różnymi przyspieszeniami. Aby się o tym przekonać wystarczy rozpatrzyć dwa punkty tego ciała, posiadające różne współrzędne ρ. Punkty z dużą wartością ρ poruszają się z mniejszym przyspieszeniem.
To w szczególności prowadzi do tego, że maksymalny rozmiar sztywnego przyspieszonego ciała w kierunku
przeciwnym do kierunku przyspieszenia, odmierzany od wybranego punktu, poruszającego się z przyspieszeniem a, nie może przekraczać wartości c2/a ( wielkość ta jest odległością we własnym UO A od hiperbolidy do początku
współrzędnych – zobacz rys. 1 ). Aby uniknąć nieporozumień, należy podkreślić, że pod przyspieszeniem pewnego równomiernie przyspieszonego UO zawsze będziemy mieli na uwadze przyspieszenie a cząstki z jaką ten UO jest związany. Rozpatrując przyspieszenie ciała ( atomu itp. ) będziemy przyjmowali ich rozmiary w kierunku określonym przez wektor przyspieszenia a, jako dużo mniejsze od c2/a.
Mając na uwadze podane dalej ( zobacz rozdział 6) omówienie zasady równoważności w związku z efektami kwantowymi w przyspieszonych UO, opiszemy tutaj również UO spoczywające w jednorodnym i statycznym polu grawitacyjnym ( dokładne omówienie tego tematu zobacz [28, 30, 31] )
W pierwszej kolejności zauważmy, ze element długości (2.1) we współrzędnych xµ przyjmuje postać :
dS2 = gµν dxµ dxν = - ρ2 dη2 + dρ2 + dx2 + dy2 (2.9)
Można przyjąć, ze taka metryka gµν opisuje statyczne jednorodne grawitacyjne pole. Często w miejsce ρ i η wykorzystuje się związane z nimi współrzędne :
x = ρ – c2/a , τ = cη/a
w których metryka (2.9) przyjmuje postać :
ds2 = − ( 1 + c-2ax )2 c2 dτ2 + dx2 + dy2 + dz2 (2.10)
Ciało spoczywające pod działaniem jakiś „zewnętrznych” w punkcie x = 0 ( ρ = c2/a ) w tym statycznym polu grawitacyjnym istnieje 4-przyspieszenie równe a. Dlatego g = -a jest przyspieszeniem spadku swobodnego w tym punkcie względem wybranego spoczywającego ciała. W przybliżeniu newtonowskim kiedy | ϕ | /c2 << 1 :
− g00 = 1 + 2ϕ /c2 (2.11)
gdzie : ϕ - potencjał newtonowski.
Porównując (2.10) z (2.11) widzimy, że metryka (2.10) odpowiada przypadkowi jednorodnego pola grawitacyjnego w przybliżeniu newtonowskim o potencjale :
ϕ = − gr = | g | x , r = (x, y, z ) (2.12)
Z ciałem spoczywającym w punkcie (ρ, y, z) można związać sztywny układ odniesienia, dokładnie tak jak to zrobiliśmy dla cząstki równomiernie przyspieszonej. Ten UO będziemy nazywali UO, spoczywającym w jednorodnym polu grawitacyjnym, lub krótko G -układem.
Szczególnie poglądowy sens G -układu odniesienia jest w tym przypadku, kiedy statyczne pole grawitacyjne generowane jest przez masywne ciało. Przykładowo, możemy rozpatrywać pole grawitacyjne w pobliżu powierzchni Ziemi, Słońca , gwiazdy neutronowej itp.
W obszarze o rozmiarach ł << L, gdzie L – jest charakterystycznym promieniem krzywizny CP, dla opisania pola grawitacyjnego takiego masywnego źródła można wykorzystywać metrykę (2.10), przy czym G-układ odniesienia jest wydzielony poprzez tę swoją własność, że jest on nieruchomy względem powierzchni masywnego ciała ( np. gwiazdy neutronowej )
Łatwo możemy wprowadzić współrzędne analogiczne do (2.7) w pozostałych trzech obszarach przestrzeni M : R- , T+ , T- ( rys. 1 )
Związek takich współrzędnych ( które również będziemy oznaczali przez η, ρ, y, z ) ze współrzędnymi kartezjańskimi we wszystkich czterech obszarach można zapisać w postaci :
cT = ερ sinh(η ) , X = ερ cosh(η ) } w Rε > c | T | (2.13) Y = y , Z = z
cT = ερ cosh(η ) , X = ερ sinh(η ) } w Tε : εcT > | X | (2.13) Y = y , Z = z
Gdzie ε = ± 1.
Wprowadzone współrzędne ( η, ρ, y, z ) wykorzystano po raz pierwszy w pracy Rindlera [30] z tego powodu przyjęto nazywać je współrzędnymi Rindlera.
Przesunięciom η→η + ψ w tych współrzędnych odpowiadają przekształcenia Lorentza w przestrzeni M o postaci :
cT' = cT cosh(ψ ) + X sinh(ψ ) , X’ = cT sinh(ψ ) + X cosh(ψ ) (2.14)
Przekształcenia te są przekształceniami symetrii I zgodnie z twierdzeniem Noether, odpowiadają im odpowiednie prawa zachowania. W rozpatrywanym przypadku odpowiednią wielkością zachowaną, często nazywaną energią Rindlera ( oznaczymy ja jako K ) jest wielkość, którą możemy zapisać następująco :
K = K(+) + K(-) , K(ε) = ε ∫ Tηη ρ d3x (2.15)
η = const.
Rε Gdzie : Tηη - TEP pola.
2.3 KTP w równomiernie przyspieszonym UO.
W chwili obecnej istnieje duża liczba prac poświęconych kwantowej teorii pól fizycznych w równomiernie przyspieszonym UO [18, 23, 32, 45].
Obecnie zastanowimy się na podstawach KTP w takich właśnie UO na przykładzie skalarnego bezmasowego pola ϕ. Niech xµ = ( η, ρ, y, z) – będą współrzędnymi Rindlera, pokrywającymi obszar Rε ( ε = ± 1 ), związek których ze współrzędnymi kartezjańskimi zadany jest przez zależność (2.13).
Łatwo się przekonać, że funkcje :
u(ε)νq(x) = exp( -iενη ) Uνq(x ) , ν ≥ 0 (2.16)
Uνq(x) = sqrt(h/c ) [ sinh½(πν)/ 2π2 ] exp( iεqz ) Kiν(qρ) (2.16) są rozwiązaniami równania ϕ = 0w obszarze Rε ( tu i dalej dla wygody wykorzystujemy następujące oznaczenia : z = (y, z) – dwuwymiarowy wektor na płaszczyźnie y, z ; q = ( qy , qz ) , qz = qyy + qzz = ( qy2 + qz2 )½ , Ka(ξ ) – funkcja McDonalda )
Dla rzeczywistych wartości ν i ξ funkcja Kiν(ξ ) jest rzeczywista i spełnia warunek : K-iν(ξ ) = Kiν(ξ )
Zauważmy, że w Rε rindlerowska częstość νzwiązana jest z częstością własną ωrównomiernie przyspieszonym UO ( z przyspieszeniem a ) ( tj. z częstością ω względem zegara w tym właśnie układzie ) zależnością o postaci :
ω = εaν/c
Oczywiście, że wprowadzone rozwiązania posiadają dodatnią częstość ze względu na czas własny τ = εcη/a w tym UO.
Funkcje u(+)νq zadane przez zależność (2.16) w obszarze R+ , można rozciągnąć na całą przestrzeń M wymagając aby rozwiązania równania ϕ = 0 w obszarze R- równały się zero.
W analogiczny sposób, zakładając, że u(-)νq = 0 w R+ można określić w M rozwiązania u(-)νq.
Wykorzystując wprowadzone funkcje bazowe tworzące układ zupełny ( O zupełności układu funkcji u(ε)νq , u-(ε)νq zobacz np. [45]. Często w charakterze bazy okazuje się dogodnym wykorzystywać nie rozwiązania u(ε)
νq , u-(ε) νq a zbudowany z nich układ zupełny rozwiązań typu pakietów falowych, posiadających w szczególności, regularne zachowania w otoczeniu horyzontów H± ( zobacz np. [22] ) ) można zapisać rozkład operatora ϕ^ względem nich w następującej postaci :
∞
ϕ^(x ) = ΣΣΣΣ ∫ dν ∫ dq [ u(ε)νq(x ) b^(ε)νq + u−(ε)νq(x) b^(ε)*νq ] (2.17) ε = ± 0
gdzie : u−(ε)νq ≡ ( u(ε)νq )−
Niekiedy okazuje się dogodnie ( co również wykorzystamy ) oznaczyć zbiór indeksów νq poprzez indeks kolektywny J i wykorzystać zapis :
∞
ΣΣΣΣ≡ ∫ dν ∫ dq , δJJ’ ≡ δ( ν – ν’ ) δ( q – q’ ) (2.18)
0
W tych oznaczeniach, zależność (2.17) przyjmuje postać : ϕ^(x) = ΣΣΣΣΣΣΣΣ( u(ε)J(x ) b^(ε)
J + u−(ε) J b^(ε)*
J ) (2.19)
ε J
Łatwo się przekonać, że operatory b^(ε) J i b^(ε)
*J spełniają standardowe zależności komutacyjne dla operatorów kreacji i anihilacji :
[ b^(ε)
J , b^(ε’)*
J’ ] = δεε’ δJJ’ (2.20)
[ b^(ε)
J , b^(ε’)
J’ ] = [ b^(ε)*
J , b^(ε’)*
J’ ] = 0 (2.20)
Zauważmy, ze chociaż dla uproszczenia rozpatrujemy skalarne i bezmasowe pole, otrzymane zależności o postaci (2.19) – (2.20) są słuszne również dla innych pól bozonowych z tą różnicą, że ϕ^ , u(ε)
J i u−(ε)
J – nie są funkcjami skalarnymi, a wektorowymi lub tensorowymi, spełniającymi odpowiednie równania polowe, a indeks J wraz z ν i q zawiera dodatkowe liczby kwantowe ( np. dla pól bezmasowych ze spinem, różnym od zera mamy na myśli chiralność ) Z pomocą rozkładu (2.19) można pokazać, że operator K^ odpowiadający rindelrowskiej energii K ( zobacz (2.15)), można zapisać w postaci :
K^ = K^(+) + K^(-) , K^(ε) = ΣΣΣΣεν b^(ε)*J b^(ε)J (2.21)
J
Na koniec zdefiniujemy próżnia Rindlera | 0 ; R >, w której nie występuje rindlerowskie kwanty : b^(ε)
J | 0 ; R > = 0 (2.22)
Pełna przestrzeń Foka H stanów Rindlera pojawia się w wyniku działania operatorów kreacji i anihilacji cząstek rindlerowskich b^(ε)*J na | 0 ; R >
Dla punktów x, leżących w jednym obszarze Rε ( dla jednoznaczności będziemy zakładali, ze jest to np. obszar R+ ), w rozkładzie operatora ϕ^(x) wystarczy ograniczać się tylko do tych składowych, dla których ε posiada znak (+).
Zgodnie z tym można określić stan | 0 ; R+ > poprzez zależności b^(+)J | 0 ; R+ > = 0
i zbudować przestrzeń Foka H(+) za pośrednictwem działania operatorów b^(+)*J na | 0 ; R+ >. Operator K^ (+) można rozpatrywać jako hamiltonian w takiej przestrzeni stanów.
Analogicznie budujemy przestrzeń H(-) i hamiltonian K^(-). Pełna przestrzeń stanów Foka H, jak mówią matematycy, jest iloczynem tensorowym przestrzeni H(+) i H(-). Zgodnie z tym będziemy niekiedy zapisywali próżnie Rindlera
| 0 ; R > w następującej postaci :
| 0 ; R > = | 0 ; R+ > | 0 ; R- >
Wprowadzony układ funkcji u(ε) J , u−(ε)
J można rozłożyć względem fal płaskich (2.4). Słuszne jest również podejście odwrotne – fale płaskie (2.4) mogą być zapisane w postaci rozkładu po modach Rindlera. Wykorzystując taki rozkład oraz reprezentacje (2.13) i (2.17) dla operatora ϕ^, możemy ustanowić związek między operatorami a^k i a^*k z jednej strony i operatorami b^(ε)
J i b^(ε)*J – z drugiej. Związki te mają jednak złożoną postać i nie będziemy ich tutaj podawać ( można je znaleźć np. w [21] ). Teraz zauważymy tylko ten fakt, że próżnia | 0 ; M >, określona w IUO poprzez
równania (2.6), spełnia zależności : [ exp(πν/2 ) b^(ε)
νq – exp(- πν/2) b^(-ε)*νq ] | 0 ; M > = 0 (2.23)
przy czym jest to słuszne zarówno przy ε = + , jak i przy ε = -. Dla dowodu tego faktu wystarczy przekonać się, że funkcje :
exp(πν/2 ) u(ε)
νq + exp(- πν/2) u−(-ε)*νq
przy rozkładzie względem fal płaskich (2.4) zawierają tylko dodatnie częstości względem czasu T w IUO ( dokładniej zobacz [21] )
Zależność (2.23) pokazuje, że standardowa próżnia w przestrzeni M | 0 ; M > ( zobacz (2.6)) nie pokrywa się z próżnią Rindlera | 0 ; R > ( zobacz (2.22)). Oprócz tego, zależność (2.23) pozwala znaleźć rozkład | 0 ; M > względem bazy wielocząstkowych stanów Rindlera. Dokładnie, można pokazać, że :
∞
| 0 , M > = ΠΠΠΠ ΣΣΣΣcJ exp( -πnJν) | nJ ; R+ > | nJ ; R- > , cJ = [ 1 – exp(-2πν)] – ½ (2.24) J nJ = 0
Dla opisu wielkości fizycznie mierzalnych rozpatrujemy, w szczególności wartości średnie operatorów, opisujących wielkości obserwowalne w wybranym stanie kwantowym.
Niech Q^ - będzie takim operatorem i rozpatrzymy wielkość :
< Q^ >M ≡ < M ; 0 | Q^ | 0 ; M >
tj. Wartość średnia Q^ w próżni Minkowskiego.
Standardowy sposób obliczenia < Q^ >M polega na podstawieniu w miejsce operatora ϕ^, od którego zależy Q^
( zakładamy, że Q^ jest funkcją ϕ^ ), jego rozkładu (2.3) z kolejnym wykorzystaniem zależności komutacyjnych (2.5).
Można jednakże postąpić inaczej, wykorzystując inna bazę – bazę Rindlera. W tym celu należy wykorzystać rozkład (2.19), zależność komutacyjną (2.20) i wyrażenie (2.24) dla | 0 ; M >. Oczywiście wyniki takich dwóch rożnych metod obliczania wielkości < Q^ >M pokrywają się.
My rozpatrzymy teraz dokładniej drugi sposób obliczenia w tym szczególnym przypadku, kiedy operator obserwabli Q^ = Q^(+) nie zależy od wartości pola ϕ^(x) na zewnątrz obszaru R+. Oczywiście, że w tym przypadku obserwabla Q^+ zależy tylko od b^(+)J i b^(+)*J i nie zawiera zależności od b^(-)
J i b^(-)*J. To pozwala po podstawieniu w miejsce | 0 ; M > wyrażenia (2.24) dokonać częściowego uśrednienia względem | nJ ; R- >- stanów.
W wyniku takiego uśrednienia wyrażenie dla < Q^(+) >M możemy sprowadzić do następującej postaci [25] :
< Q^(+) >M = Tr(+)( ρ^(+) Q^(+) ) (2.25)
gdzie :
ρ^(+) = ρ0 exp( -2π K^(+) ) ≡ ρ0 exp( - K^(+)
a / kB Ta ) (2.26)
K^(+)a = (ha/c ) K^(+) , K^(+) – operator energii Rindlera, określony przez zależność (2.21) ρ0 = ΠΠΠΠ [ 1 – exp( -2πνJ ) ] – unormowana stała
Ta = ha/2πkBc (2.27)
Operacja brania śladu w zależności (2.25) dokonywana jest w przestrzeni H(+)
Należy podkreślić, że pojawienie się macierzy gęstości ρ^(+) w zagadnieniu obliczania wartości średnich operatora Q^(+) w stanie czystym | 0 ; M > powodowane jest tym, że wybrana obserwabla Q^(+) faktycznie zależy tylko od stanów pewnego wydzielonego podukładu rozpatrywanego pełnego układu.
Zgodnie z zasadami MQ stan takiego podukładu opisywany jest przez macierz gęstości. Oprócz tego, z zależności (2.26) i (2.27) wynika, że i sama macierz gęstości ρ^(+) odpowiada promieniowaniu ciała czarnego o temperaturze Ta.
Zatem, do tej chwili, póki rozważamy obliczenia wartości lokalnych obserwabli, zależnych tylko od pola ϕ^ w obszarze R+ to wyniki obliczeń średniej wartości próżniowej dla tej obserwabli w próżni M pokrywają się z wynikami obliczeń tej obserwabli w gazie termicznym cząstek rindlerowskich ( lub, lepiej powiedzieć quasicząstek ) o temperaturze (2.27).
Jeśli uwzględnić to, że trajektorie „detektorów” spoczywających w UO Rindlera, cały czas pozostają w obszarze R+, to można oczekiwać, że wyniki pomiarów, dokonywanych nad polem ϕ^ w równomiernie przyspieszonym UO, będą prowadziły do takich samych wyników, jak pomiary w odpowiednim termostacie o temperaturze Ta, spoczywającym w takim równomiernie przyspieszonym UO. Innymi słowy, próżnia Minkowskiego w układzie przyspieszonym przejawia się jako gaz rindlerowskich kwantów odpowiedniego pola, nagrzany do temperatury Ta. Należy podkreślić, że chociaż rozkład po „energii” hω = hνa/c rindlerowskich kwantów ma w rozpatrywanym stanie charakter termiczny, funkcje falowe u(+)νq są istotnie różne od fal płaskich. Różnica ta związana jest z tym, że swobodne kwanty w przestrzeni M względem przyspieszonego UO poruszają się z przyspieszeniem tj. tak jak gdyby działała na niego siła ( siła inercji ).
Prowadzi to do tego, że zrównanie gazu cieplnego cząstek rindlerowskich ze stanem w termostacie jest poprawne tylko przy tym dodatkowym warunku, że taki termostat i jego zawartość znajduje się w polu sił zewnętrznych ( sił „inercji” ) lub jak to będzie pokazane w podrozdziale 2.4 w jednorodnym statycznym polu grawitacyjnym.
2.4 Próżnia w statycznym i jednorodnym polu grawitacyjnym.
Schemat kwantowania, rozwinięty w poprzednim podrozdziale w zastosowaniu do równomiernie przyspieszonego UO może być w wielu aspektach przeniesiona na przypadek KTP w statycznym jednorodnym polu grawitacyjnym. Obecnie krótko opiszemy taką teorię, pozostawiając póki co na boku omówienie subtelniejszych zagadnień dotyczących sformułowania zasady równoważności dla zjawisk kwantowych. Do tego akurat zagadnienia powrócimy w rozdziale 6.
Przypomnijmy, że metryka jednorodnego pola grawitacyjnego, ma postać (2.9). Dla zbudowania teorii kwantowej pola skalarnego w takim UO wykorzystamy rozkład operatora pola ϕ^(x) o postaci :
∞
ϕ^(x ) = ∫ dν ∫ dq [ uνq(x ) c^νq + u−νq(x) c^*νq ] (2.28) 0
gdzie :
uνq(x ) = exp( -iνη ) Uνq(x ) = (h/c )½ [ sinh½(πν )/ 2π2 ] exp( - iνη + iqz ) Kiν(qρ) , ν > 0 (2.29) a operatory kreacji c^*νq i anihilacji c^νq spełniają standardowe zależności komutacyjne.
Zdefiniujmy próżnię | 0 ; B > w jednorodnym polu grawitacyjnym poprzez warunki :
c^νq | 0 ; B > = 0 (2.30)
Formalnie taki schemat kwantowania, oprócz oczywistej zmiany oznaczeń : b^(+)νq → c^(-)νq , b^(+)*
νq → c^(-)*νq , | 0 ; R+ > → | 0 ; B >
nie różni się schematu kwantowania w równomiernie przyspieszonym UO. Zauważmy jednakże, że zagadnienie o kwantowaniu w jednorodnym polu grawitacyjnym jak również zagadnienie o realizacji G -układu odniesienia, nabiera realnego fizycznego znaczenia w tym przypadku, kiedy istnieje masywne ciało, generujące takie pole. Przy tym metryka (2.9) opisuje pole grawitacyjne na zewnątrz takiego ciała ( przy ρ > ρ0 jeśli ρ = ρ0 - równanie brzegu ciała )
Oczywiście w realnej sytuacji, kiedy ciało posiada duży, ale ograniczony rozmiar, metryka (2.9) jest przybliżona, słuszna w obszarze o rozmiarze l << L, gdzie L – promień charakterystyczny krzywizny CP.
Wewnątrz ciała metryka ma już inną postać. W wyniku zmiany postaci metryki i warunków granicznych funkcje falowe uνq(x), wykorzystywane dla rozkładu operatora ϕ^(x) zmieniają się i ogólnie mówiąc nie są takie same jak (2.29).
Istotne jest jednak to, że jeśli pole jest statyczne, to zachowuje sens rozkład postaci (2.28) względem dodatnio i ujemnie częstościowym funkcjom względem „czasu” η. Stan | 0 ; B > określony w statycznym polu grawitacyjnym poprzez zależności (2.3) nazywa się próżnią Boulware’a. Dla tego stanu energia pola kwantowanego, obliczana z
uwzględnieniem pracy pola grawitacyjnego jest minimalna ( Boulware rozpatrywał podobne stany próżniowe przy opisie efektów kwantowych w polu grawitacyjnym statycznych czarnych dziur [46, 47, 48] ). Dokładniej o określeniu i
własnościach próżni w statycznym polu grawitacyjnym można przeczytać w [15, 16, 49].
Osobno należy podkreślić, że w tym przypadku, kiedy statyczne pole grawitacyjne generowane jest przez statyczne ciało masywne, obszary CP, różne od R+ nie występują ( rys. 2 )
Rys. 2 CP w UO, spoczywającym w jednorodnym statycznym polu grawitacyjnym ( G-układ ) Obszar zajęty przez materię generującą pole grawitacyjne ( 0 ≤ ρ ≤ ρ0 ) zakreskowano.
Dlatego też nie ma konieczności wprowadzania dodatkowych rozwiązań ( analogicznych do u(-)νq ).
Podobne ( dodatkowe ) obszary w CP pojawiają się, kiedy masywne ciało, generujące pole grawitacyjne jest niestabilne i w wyniku jego kolapsu pojawia się czarna dziura.
Zagadnienie o definicji próżni w polu grawitacyjnym czarnej dziury wielokrotnie i dokładnie omawiano w literaturze [16, 21, 50].
Na zakończenie tego podrozdziału zauważymy, ze pełna przestrzeń stanów w statycznym i jednorodnym polu grawitacyjnym generowana jest standardowo przez działanie operatorów kreacji c^*νq na próżnie | 0 ; B >. Można również rozpatrywać różnorodne stany mieszane. Przykładem takiego typu jest stan, opisywany przez macierz gęstości : ρ^θ = ρ(0)θ exp[ − ΣΣΣΣ hωJ c^*
J c^J ( kBθ )-1 ] (2.31)
J
Gdzie : ωJ = | g | νJ c-1 – częstość modu J mierzona w G- układzie odniesienia w którym przyspieszenie spadku swobodnego jest równe g
Rozkład ten opisuje gaz równowagowy promieniowania ciała czarnego bezmasowych cząstek skalarnych, przy czym dowolny parametr θ ma sens temperatury tego gazu mierzonej w G- układzie odniesienia.
Przypomnijmy, że lokalna temperatura θloc gazu równowagowego w statycznym polu grawitacyjnym zależy od punktu tak, ze wielkością stałą jest wielkość :
θloc(x ) | g00(x ) |½
Dlatego dla ustalenia wartości tej temperatury należy wskazać punkt w którym jest ona rozpatrywana. W naszym przypadku jest to początek współrzędnych x = ρ – c2 | g |-1 = 0 tj. θ - jest temperaturą w tym punkcie.
Zauważmy, ze w przypadku szczególnym przy θ = Ta macierz gęstości (2.31) pokrywa się z (2.26), jeśli podstawimy g = - a , c^J = b^(+)
Jq , c^*
J = b^(+)*
J
Stan w jednorodnym, statycznym polu grawitacyjnym, opisywany przez taką macierz gęstości nazywa się “próżnią”
Hartle’a –Hawkinga ; oznaczamy go jako | 0 ; H >
( W pracy [51] rozpatruje się stan pola kwantowego znajdującego się w równowadze z czarną dziurą. Jeśli czarna dziura nie rotuje, to w takim stanie w oddaleniu od niej istnieje promieniowanie ciała czarnego o temperaturze TCD ( zobacz
