ANALIZA ADAPTACYJNA STRUKTUR SPRĘŻYSTYCH Z WARSTWĄ BRZEGOWĄ NA PRZYKŁADZIE PŁYTY O ZMIENNEJ GRUBOŚCI

 

ANALIZA ADAPTACYJNA STRUKTUR

SPRĘŻYSTYCH Z WARSTWĄ BRZEGOWĄ NA PRZYKŁADZIE PŁYTY

O ZMIENNEJ GRUBOŚCI

Łukasz Miazio

, Grzegorz Zboiński



1

Wydział Nauk Technicznych, Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie

2

Instytut Maszyn Przepływowych Polskiej Akademii Nauk w Gdańsku

a

lukasz.miazio@uwm.edu.pl,

zboi@imp.gda.pl

 

Streszczenie

Prezentowane wyniki badań wynikają z kontynuacji prac nad wpływem grubości płyty i rodzaju warunków brze- gowych na intensywność i zasięg zjawiska warstwy brzegowej w przypadku analizy numerycznej struktur cienko- i grubościennych. W pracy badany jest wpływ zjawiska warstwy brzegowej w analizie adaptacyjnej typu hp płyty o zmiennej grubości. Wcześniejsze prace autorów obejmowały tylko płyty o ustalonej grubości. W przypadku ana- liz numerycznych usunięcie niekorzystnych następstw zjawiska wymaga zastosowania siatek zgęszczanych wykład- niczo w sąsiedztwie brzegu struktury, w kierunku prostopadłym do tego brzegu.

Słowa kluczowe: zjawisko warstwy brzegowej, płyty, analiza adaptacyjna, metoda elementów skończonych



ADAPTIVE ANALYSIS OF ELASTIC STRUCTURES WITH A BOUNDARY LAYER AS EXEMPLIFIED BY A PLATE OF VARYING THICKNESS

Summary

The presented results of the research follow from a continuation of the works on influence of the plate thickness and a type of boundary condition on a range and intensity of the boundary layer phenomenon in the case of nu- merical analysis of thin-walled and thick-walled structures. In the paper, an influence of the phenomenon in the hp-adaptive analysis of a plate of varying thickness is investigated. The hitherto works covered the case of a uni- form symmetric thickness. It is worth mentioning that the boundary layer phenomenon consists in insufficiently accurate representation of the so called boundary part of the solution. In the case of numerical analyses, the get- ting rid of the polluting effect of the phenomenon needs an application of meshes refined exponentially in a vicini- ty of the boundary, in the direction perpendicular to this boundary.

Keywords: boundary layer phenomenon, plates, adaptive analysis, finite element methods

1.  WSTĘP

W niniejszej pracy przedmiotem badań jest wpływ zmiennej grubości płyty na wystąpienie intensywność i zasięg warstwy brzegowej. Dodatkowym przedmiotem zainteresowania jest odpowiedź na pytanie, czy metody wykrywania i oceny zjawiska stosowane wcześniej w przypadku struktur o stałej grubości pozostają efek- tywne w przypadku zmiany tej grubości wzdłuż brzegu.

W pracy zostały przedstawione i porównane przykłady analizy adaptacyjnej typu hp płyty o zmiennej grubości w razie zastosowania bądź niezastosowania dodatkowego kroku adaptacyjnego, którego celem jest wyeliminowanie następstw zjawiska warstwy brzegowej. W tym drugim przypadku wykorzystano narzędzia do wykrywania i oceny istotności zjawiska warstwy brzegowej, zapropo-

ŁUKASZ MIAZIO, GRZEGORZ ZBOIŃSKI

nowane w [7] i rozwinięte w [2]. Prezentowane tutaj badania są jednym z etapów szerszych studiów nad narzędziami do wykrywania i oceny zjawiska warstwy brzegowej w analizie numerycznej struktur cienko- i grubościennych. Wcześniejsze prace autorów dotyczące tych studiów obejmowały tylko płyty o ustalonej grubo- ści [2, 3, 4].

2.  METODY ADAPTACYJNE

Adaptacyjne metody elementów skończonych wykorzy- stywane są w celu uzyskania rozwiązania badanego problemu o błędzie globalnym rozwiązania mniejszym od założonego i błędach lokalnych równomiernie rozłożo- nych. Klasyczne metody elementów skończonych (MES) nie pozwalają kontrolować poziomu błędu i nie dają odpowiedzi na pytanie o jakość uzyskanych wyników.

Rys. 1. Schemat blokowy udoskonalonej metody adaptacyjnej typu hp

W pracy wykorzystano jedną z odmian metod adapta- cyjnych – metoda typu hp (rys. 1). Działa ona popraw- nie w zakresie tzw. zbieżności asymptotycznej rozwiąza- nia, w którym to zakresie obowiązują teorie zbieżności wiążące poziom błędu z parametrami dyskretyzacji h (wymiar elementu) i p (stopień aproksymacji w elemen- cie). Z tego powodu konieczne jest, aby przed przystą- pieniem do adaptacji siatki, gwarantującej założony poziom błędu rozwiązania, znajdowało się ono w takim zakresie. Zastosowana adaptacja, o której jest tu mowa, wykorzystuje podejście trzech kroków [6]. Polega ono na stworzeniu siatki początkowej dla analizowanej struktu- ry, rozwiązaniu w jej przypadku problemu globalnego i ocenie błędu globalnego oraz błędów lokalnych (dla każdego elementu w strukturze). W drugim kroku, na podstawie wielkości błędów z pierwszego etapu, dokonu- je się lokalnego zagęszczenia siatki początkowej. Dla takiej pośredniej siatki po raz drugi rozwiązuj się pro-

blem globalny i szacuje błędy. Etap ten nazwano kro- kiem h. W kroku trzecim (krok p) na podstawie oszaco- wań błędów z kroku h powstaje siatka docelowa, w której lokalnie zostaje podniesiony stopień wielomia- nów aproksymujących. Następnie po raz trzeci rozwiązu- je się problem globalny i analizuje błędy.

Należy tutaj przypomnieć, że zjawisko warstwy brzego- wej (inaczej – efekt brzegu) utrudnia wejście rozwiązania numerycznego w obszar zbieżności asymptotycznej, co zostało szerzej omówione w pracach [2, 3]. To właśnie z powodu efektu brzegu pojawia się wspomniana już konieczność modyfikacji siatki początkowej, tak aby przed rozpoczęciem adaptacji typu h i p, rozwiązanie znajdowało się w obszarze zbieżności asymptotycznej (patrz [7]).

3.  NARZĘDZIA NUMERYCZNE DO WYKRYWANIA I OCENY ZJAWISKA

3.1 WYKRYWANIE ZJAWISKA

Wykorzystywana metoda wykrywania efektu brzegu była już opisywana wcześniej przez autorów [2, 3, 4, 5].

Polega ona na dwukrotnym rozwiązaniu problemu lokalnego zdefiniowanego w obszarze Vc pary elementów pryzmatycznych, tworzącej obszar ograniczony rozważanym brzegiem struktury oraz dwiema płaszczyznami prostopadłymi i jedną równoległą do brzegu (rys. 2a).

Rys. 2. Obszar … : a) para elementów macierzystych, b)



elementy utworzone przez podział równomierny, c) cztery elementy utworzone przez podział wykładniczy

Równowagę obszaru gwarantuje uwzględnienie naprężeń międzyelementowych na brzegu Sc obszaru, uzyskanych dla wspomnianej pary elementów. W obszarze tym dokonywany jest podział w kierunku normalnym n do

brzegu na dwa mniejsze podobszary. W kierunku stycznym s do brzegu podział nie ulega zmianie.

Następnie każdy z podobszarów jest dzielony na dwa elementy pryzmatyczne (rys. 2b i 2c). Powstałe w ten sposób problemy lokalne czteroelementowego układu są określone przez następujace równania:

Â^F Ã^ÄÅ^Ä

ÄÆ  Â^F ‡Ç^ÄÈ Ç^Ä` Ç^ʼn

ÄÆ (1)

gdzie: k – elementowa macierz sztywności, q - wektor przemieszczeń elementowych, f^M - wektor sił węzłowych od obciążeń masowych, f^S- wektor sił od obciążeń powierzchniowych, f^R- wektor sił węzłowych od obciążeń międzyelementowych.

Kryterium wykrywania efektu brzegu oparte jest na oszacowaniach energii odkształcenia dwóch czteroele- mentowych problemów lokalnych. Energie te są równo- ważne energiom potencjalnym. Omawiane kryterium ma postać:

Â^F _Dœ^ćÉÊ^˕Ìw® ÉÊ^˕Ìw‰

ÄÆ  Â^F _Dœ^ćÉÊ^ËÄi® ÉÊ^Ëąi‰

ÄÆ Í   (2)

gdzie:  to forma dwuliniowa reprezentująca energię odkształcenia, ÉÊ^˕Ìw oznacza przemieszczenia w przypadku podziału arytmetycznego (rys. 2b) pary elementów przy brzegu struktury, natomiast ÉÊ^Ëąi oznacza wektor przemieszczeń w przypadku podziału wykładniczego (rys. 2c).

Spełnienie lub niespełnienie powyższej zależności prowa- dzi do wniosku, że zjawisko warstwy brzegowej odpo- wiednio występuje lub nie. Wynika to z przeprowadzonej analizy wrażliwości rozwiązania problemu lokalnego na charakter podziału. Spełnienie kryterium sugeruje bo- wiem, że część brzegowa rozwiązania jest istotniejsza od części wewnętrznej rozwiązania. Części te wymagają bowiem odpowiedniej siatki z podziałem wykładniczym i równomiernym, co zostało dokładniej wyjaśnione w pracy [2].

3.2 OCENA ISTOTNOŚCI

W przypadku wykrywania efektu brzegu z oceną istot- ności, po wykryciu zjawiska [2, 3, 4, 5] sprawdzana jest jego istotność. Do kryterium wprowadzono energię od- kształcenia z problemu dwuelementowego przed podzia- łem wybranej pary elementów:

 ¡

¿ œ

ćÉÊ^Ëąi® ÉÊ^Ëąi‰

F

ÄÆ  Â ¡

¿ œ

ćÉÊ^ËÌÄή ÉÊ^ËÌÄΉ

D

ÄÆ

 ¡

¿ œ

ćÉÊ^ËÌÄή ÉÊ^ËÌÄΉ

D ÄÆ

Ï Ð^D

W równaniu tym ε to przyjęty poziom istotności zjawi- ska warstwy brzegowej. W równaniu pojawia się rozwią- zanie odniesienia ÉÊ^ËÌÄÎ uzyskane z dwuelementowego problemu lokalnego, odpowiadającego siatce bez dodat-

kowego podziału (rys. 2a), a jednocześnie siatce z pro- blemu globalnego (całej struktury).

3.3 

W opcji ustalania optymalnego podziału wykładniczego [2] w sąsiedztwie brzegu zastosowano podobne podejście jak w przypadku wykrywania efektu brzegu. Kryterium porównawcze dla pojedynczej pary elementów zapisać można następująco:

¡

¿œ^ÄWÉ^{Ë Ä…i®ÑŽ}® É^{Ë Ä…i®ÑŽ}^

F ÄÆ

 ¡

¿œ^ÄWÉ^{Ë Ä…i®Ñ}® É^{Ë Ä…i®Ñ}^

F ÄÆ

Í  Ò

Maksymalna wartość j = jopt, dla której spełniony jest powyższy warunek, odpowiadać będzie przyjętej szeroko- ści optymalnego podziału wykładniczego tj. ӊÔr’ 3­  ÕÖiw:× ÕØÖiw, gdzie j = 1,2,…,J - 1 i przyjęto jako równe J = 10 [2]. Zaproponowane kryterium porównuje czteroelementowe problemy lokalne z różnym podziałem wykładniczym.

Rys. 3. Schemat blokowy korekty iteracyjnej siatki wykładni- czej.

3.4 OCENA INTENSYWNOŚCI ZJAWISKA

W celu uwzględnienia intensywności zjawiska warstwy brzegowej [2] wprowadzono korektę iteracyjną siatki początkowej (rys. 3). Polega ona na wielokrotnym wy- krywaniu efektu brzegu (z oceną istotności lub doborem optymalnego stosunku podziału) i następującej po nim ewentualnej modyfikacji siatki (kiedy zjawisko zostało wykryte i okazało się istotne). Oznacza to, że po wykry- ciu warstwy brzegowej rozwiązywany jest ponownie problem globalny na zmodyfikowanej siatce. Jeżeli zja- wisko warstwy brzegowej jest w dalszym ciągu istotne, to po raz kolejny zagęszczana jest siatka globalna, po wprowadzeniu kolejnej warstwy wykładniczo zagęszczo- nych elementów w kierunku normalnym do brzegu. Po czym ponownie rozwiązywany jest problem globalny

ŁUKASZ MIAZIO, GRZEGORZ ZBOIŃSKI

i cały proces jest powtarzany aż do chwili, gdy dodanie kolejnej warstwy przestaje być konieczne.

Fragment A-B algorytmu z rys. 3 musi być wstawiony w schemat blokowy z rys. 1. Parametr L oznacza mak- symalną liczbą warstw zagęszczających wykładniczo siatkę, które można ewentualnie wprowadzić.

4.  EKSPERYMENT NUMERYCZNY

W celu oceny, czy metody wykrywania i oceny zjawiska stosowane wcześniej w przypadku struktur o stałej gru- bości pozostają efektywne w razie zmiany tej grubości wzdłuż brzegu, przeprowadzono analizy trzech typów, tj.: analizę adaptacyjną z wykrywaniem warstwy brze- gowej i oceną intensywności, analizę adaptacyjną z wy- krywaniem optymalnego podziału warstwy elementów przy brzegu struktury oraz standardową analizę adapta- cyjną, bez dodatkowego kroku uwzględniającego wystą- pienie warstwy. Przez optymalny podział rozumie się podział, przy którym uzyska się rozwiązanie obarczone najniższym błędem. Wykonano także analizę z narzuco- nym podziałem w obszarze warstwy brzegowej w celu porównania krzywych zbieżności rozwiązań. Uzyskane wyniki pozwoliły ocenić skuteczności: metody wykrywa- nia i metody usuwania niekorzystnego wpływu warstwy brzegowej.

Rys. 4. Ćwiartka płyty i jej podział równomierny 3î3

Eksperyment numeryczny wykonano dla ćwiartki syme- trycznej płyty o wymiarach: długość Ù<= 1,57075 m, grubość f = 0,03 – 0,3 m. Wykonana była z materiału sprężystego o module Younga E = 2,11⋅10¹¹ N/m² i współczynniku Poissona Ȟ = 0,3. Górna powierzchnia płyty obciążona została równomiernie siłami powierzch- niowymi Ú skierowanymi pionowo ku dołowi, o wartości -4,0⋅10⁶ N/m². Dwa górne brzegi boczne zostały sztywno utwierdzone, z kolei na dwa pozostałe został nałożony warunek symetrii. Zastosowano hierarchiczny model powłokowy MI (I Ł q = 2), przedstawiony w [7, 8], gdzie I to rząd modelu hierarchicznego, a q to poprzeczny stopień aproksymacji. W testach numerycznych jako

punkt wyjścia do dokonywanych podziałów wykorzysta- no siatki równomierne 3î3 (rys. 4).

W pierwszym eksperymencie numerycznym przeprowa- dzono analizę adaptacyjną z wykrywaniem warstwy brzegowej i oceną intensywności. Uzyskaną siatkę koń- cową zamieszono na rys. 5. Kolor siatki oznacza stopień wielomianów aproksymujących. Na lewym górnym brze- gu zostały wprowadzone automatycznie dwie warstwy wykładnicze w stosunku 1:9. Natomiast jedna warstwa wykładnicza została wprowadzona na prawym górnym brzegu.

Rys. 5. Siatka końcowa hp uzyskana w przypadku zmodyfiko- wanej metody adaptacyjnej z wykrywaniem istotności efektu brzegu

Kolejny test obejmował analizę adaptacyjną z wykrywa- niem optymalnego podziału warstwy elementów przy brzegu struktury. Otrzymana siatka końcowa została zamieszczona na rys. 6. Na lewym górnym brzegu rów- nież zostały wprowadzone dwie warstwy wykładnicze w stosunku 1:9. Górny prawy brzeg zmodyfikowano przez wprowadzenie jednej dodatkowej warstwy w sto- sunku 2:8.

Rys. 6. Siatka końcowa hp – zmodyfikowana metoda adapta- cyjna z poszukiwaniem optymalnego podziału wykładniczego Trzeci eksperyment wykonano dla standardowej proce- dury adaptacyjnej (rys. 7), bez dodatkowego kroku wykrywania warstwy brzegowej. W tym przypadku adaptacja ma charakter trójkrokowy, zgodny z oryginal- ną metodą trzech kroków [6].

Rys. 7. Siatka (trójkrokowej)

Na podstawi krzywe zbież wano je na r rytm globaln pionowej log U reprezentu globalnym, n mana z najle go do uzysk

końcowa hp uzy metody adapta

e uzyskanych żności rozwiąz rys. 9. Na osi nej liczby stop arytm miary uje tutaj energ natomiast Ur

epszego rozwią kania za pom

yskana w przyp acyjnej

h wyników ba zań adaptacyj

i poziomej za pni swobody N

błędu aproksy gię odkształce

to energia od ązania numery mocą zastosow

padku standardo

Rys. 9. Krzyw

dań sporządzo jnych. Zilust amieszczono lo N, z kolei na ymacji. Wielk enia w problem dniesienia, otr ycznego możliw wanego progra

owej

Ostatn kładni zagęsz tury.

Rys. 8 wanej m

we zbieżności ro

ono tro- oga- osi kość mie rzy-

we- amu

adapta zostały podzia przyję p = 9 o jedn krotne o jedn krotny

ni test wykon iczym (rys. 8) zczone w stosu

. Siatka końcow metody adaptac

ozwiązania

acyjnego 3Dm y uzyskane n ału na element ęciu maksymal

9. Należy zw ną jednostkę n emu zmniejsz ną jednostkę y wzrost stop

nano z narzu ), gdzie wpro unku 1:9 na g

wa hp uzyskana cyjnej z wykryw

mhpqAP. Te na siatkach z

ty, co w anali lnego stopnia wrócić uwagę,

na osi pionowe eniu tego błę na osi poziom pni swobody.

uconym podzi owadzono dwie

górnych brzeg

a w przypadku waniem efekty br

najlepsze ro z tym samym izowanym pro

aproksymacji że zmniejsze ej odpowiada ędu. Natomia mej generuje Jak widać,

iałem wy- e warstwy ach struk-

zmodyfiko- rzegu

ozwiązania m wzorem

blemie, po wzdłużnej enie błędu

dziesięcio- ast wzrost

dziesięcio- w trzech

ŁUKASZ MIAZIO, GRZEGORZ ZBOIŃSKI

przypadkach, kiedy była modyfikowana wykładniczo siatka początkowa, założony poziom błędu, oznaczony kolorem zielonym, został osiągnięty. Najlepszą poprawę zbieżności rozwiązania uzyskano, modyfikując siatkę początkową poprzez poszukiwanie optymalnego stosunku podziału wykładniczego. Jednak ze względu na iteracyj- ny charakter takiego poszukiwania jest to metoda naj- bardziej czasochłonna.

5.  WNIOSKI

Metoda wykrywania oraz oceny istotności zjawiska warstwy brzegowej, stosowana do struktur o stałej grubości okazała się efektywna także w przypadku struktur o zmiennej grubości. Zaproponowane narzędzia numeryczne umożliwią efektywne wykrywanie i ocenę efektu brzegu.

W przypadku modelowej płyty, przedstawionej w pracy, najlepszą zbieżność rozwiązania uzyskano w przypadku analizy adaptacyjnej z wykrywaniem optymalnego po- działu wykładniczego. W pozostałych, czterokrokowych metodach adaptacyjnych, uwzględniających dodatkowy krok wykrywania warstwy brzegowej, uzyskano porów- nywalną poprawę zbieżności rozwiązania. Domyślny stosunek podziału, tj. 1:9, również w przypadku struk- tur o zmiennej grubości okazał się wystarczający do uzyskania założonego poziomu błędu.

Zaproponowane narzędzia można wykorzystać do auto- matycznej modyfikacji siatki początkowej, przeprowa- dzanej jako drugi krok procesu adaptacji typu hp, w strukturach o zmiennej grubości.

Literatura

1. Arnold D. N., Falk R. S.: Asymptotic analysis of the boundary layer for the Reissner-Mindlin plate model.

„SIAM J. Math. Anal.”, 1996, 27, p. 486-514.

2. Miazio Ł.: Analiza układów liniowo-sprężystych z warstwa brzegową z wykorzystaniem adaptacyjnej metody elementów skończonych typu hp. Rozprawa doktorska (promotor – G. Zboiński). Gdańsk: IMP PAN, 2013.

3. Miazio Ł., Zboiński G.: The numerical tool for a posteriori detection of boundary layers in hp-adaptive analysis.

„Short Papers 2011 CMM”, Warsaw, p. 351-352, 2011 i CD ROM, p. 1-6.

4. Miazio Ł., Zboiński G.: Wykrywanie warstwy brzegowej a posteriori w problemach numerycznych powłok zdomi- nowanych giętnie. „Modelowanie Inżynierskie” 2012, 12, s. 177-184.

5. Miazio Ł., Zboiński G.: Zastosowanie narzędzi do wykrywania warstwy brzegowej w adaptacyjnej analizie płyt i powłok. „Mechanik” 2012, 7, s. 451-458.

6. Oden J. T.: Error estimation and control In computational fluid dynamics. The O. C. Zienkiewicz Lecture. Proc.

Math. of Finite Elements – MAFELAP VIII. Brunnel Univ., Uxbridge, p. 1-36, 1993.

7. Zboiński G.: Modelowanie hierarchiczne i metoda elementów skończonych do adaptacyjnej analizy struktur złożonych. Gdańsk: IMP PAN Gdańsk, 2001. ZN IMPPAN: Studia i Materiały, nr 520/1479/01.

8. Zboiński G.: Adaptive hpq finite element method for the analysis of 3D-based models of complex structures. Part 1: Hierarchical modeling and approximations. „Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering”, 2010, 199, p. 2913-2940.