ANALIZA DRGAŃ WŁASNYCH PŁYT PIERŚCIENIOWYCH O SKOKOWO ZMIENNEJ GRUBOŚCI

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 331-338, Gliwice 2006

ANALIZA DRGAŃ WŁASNYCH PŁYT PIERŚCIENIOWYCH O SKOKOWO ZMIENNEJ GRUBOŚCI

STANISŁAW KUKLA

MARIUSZ SZEWCZYK

Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika Częstochowska

Streszczenie. Przedstawiona praca dotyczy zagadnienia osiowosymetrycznych drgań własnych płyt pierścieniowych o skokowo zmiennej grubości. Rozwiązanie zagadnienia otrzymano przez podział rozważanej płyty na elementy, którymi są płyty pierścieniowe o stałych grubościach. Dokładne rozwiązanie zagadnienia uzyskano stosując metodę funkcji Greena. Przedstawiono wyniki badań numerycznych wpływu skokowej zmiany grubości płyty na drgania własne.

1. WSTĘP

Zagadnienia drgań własnych płyt pierścieniowych są przedmiotem badań wielu prac (np. prace [1, 2]). W pracach tych przedstawiono wyniki badań teoretycznych i numerycznych drgań własnych płyt pierścieniowych o grubości zmieniającej się wzdłuż promienia płyty.

Rozwiązania postawionych zagadnień drgań uzyskano stosując metody przybliżone: metodę elementów skończonych [1] lub metodę Rayleigha-Ritza [1, 2]. W pracy [3] rozważano problem drgań płyty pierścieniowej o stałej grubości, podpartej na współśrodkowych pierścieniach sprężystych. Rozwiązanie zagadnienia otrzymano wykorzystując własności funkcji Greena.

Niniejsza praca dotyczy osiowosymetrycznych drgań własnych płyt pierścieniowych o skokowo zmiennej grubości. Rozwiązanie zagadnienia drgań otrzymano, dokonując podziału rozważanej płyty na płyty pierścieniowe o stałych grubościach. Model matematyczny obejmuje płyty składające się z dowolnej skończonej liczby płyt pierścieniowych o stałych grubościach.

W opisie matematycznym drgań płyty złożonej, połączenia sąsiadujących płyt o stałej grubości wzdłuż ich wspólnego brzegu zapewnione są przez warunki ciągłości. Równania ruchu płyty i warunki ciągłości uzupełniają odpowiednie warunki brzegowe. Rozpatrzono płyty swobodnie podparte, swobodne i sztywno zamocowane na brzegach zewnętrznym i wewnętrznym płyty złożonej.

Dokładne rozwiązanie zagadnienia drgań własnych otrzymano stosując metodę funkcji Greena. Funkcje Greena odpowiadające rozważanym płytom pierścieniowym wyznaczono, rozwiązując odpowiednie zagadnienia pomocnicze. Równanie częstości drgań płyty o skokowo zmiennej grubości otrzymano wykorzystując warunki ciągłości.

Wykorzystując otrzymane w postaci analitycznej rozwiązanie zagadnienia drgań, wykonano badania numeryczne wpływu parametrów charakteryzujących płytę na częstości drgań

własnych. Rozpatrzono przypadki płyt pierścieniowych o skokowo zmiennej grubości składających się z dwóch lub wielu płyt o stałej grubości.

2. SFORMUŁOWANIE I ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA

Rozważmy płytę pierścieniową o skokowo zmiennej grubości (rys. 1). Zakładamy, że zmiana grubości płyty następuje wzdłuż (n – 1) koncentrycznych okręgów, które dzielą płytę na n elementów – płyt o stałych grubościach hj oraz o promieniach aj-1, aj, gdzie aj-1 < aj (j = 2,…, n).

Rys.1. Przekrój poprzeczny płyty pierścieniowej składającej się z n elementów o stałych grubościach

Osiowosymetryczne drgania j-tego elementu, czyli pierścieniowej płyty jednorodnej o stałej grubości, opisuje następujące równanie różniczkowe:

(

^j

)

^j

(

^j

)

^j

(

^j

)

^j

(

^j

)

j j j j

j j

a r m a r s a r m a

r t s

h w q

r r w r r r r r D r

−

−

− +

− +

−

∂ −

− ∂

=

=









 



 



 



∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

−

−

−

− ' '

1 1

1 1

1 2 1

2

δ δ

δ δ

ρ

(1)

gdzie wj = wj(r, t) jest wychyleniem poprzecznym płyty, Dj – sztywnością zginania płyty, q = q(r, t) – funkcją opisującą rozkład obciążenia płyty na jednostkę powierzchni, ρ – gęstością płyty, hj j – grubością płyty, natomiast sj = sj(t) jest siłą tnącą, a mj = mj(t) momentem gnącym, przy czym s0 = m0 = sn = mn = 0. Występująca po prawej stronie równania δ( ) oznacza dystrybucję Diraca.

Równania różniczkowe (1) uzupełnione są odpowiednimi warunkami brzegowymi:

₀

[ ]

⁰

0 _r=a0 =

w , n

[ ]

₌ ⁼⁰

an

n r

w (2)

oraz warunkami ciągłości:

( )

^{a t w}

( ) ( )

^{a t w a t w}

( )

^{a t}

w_{j j}, = _{j+1 j}, , ^'_{j j}, = ^'_{j+1 j}, , j = 1, …, n – 1 (3) Rozważając swobodne drgania harmoniczne, przyjmujemy q = 0 oraz

( )

j

( )

^{i t}

j r t W r e

w , = ^ω sj

( )

t =Sje^iωt mj

( )

t =Mje^iωt (4) gdzie ω jest częstością drgań własnych układu. Po rozdzieleniu zmiennych oraz wprowadzeniu wielkości bezwymiarowych r_j =r/a_j i W_j =W_j/a_j, równanie (1) oraz warunki ciągłości (3) przyjmują postać:

[ ]

2

( )

^{1 '}

( ) ( )

^{1 '}

( )

¹

1 ∆ − + − − −

+

∆ −

−

= ^{− −} _{j j j j j j j j j}

j j j j j j j

j j j

j M r r S r r M r r

r S r

W δ α δ δ

α α α δ

L (5)

( )

¹

( )

^{1 '}

^{( )}

^{' 1}

( )

¹

1

1 1 ,

1 _{+ + + +}

+

=

= j j j j j

j

j W W W

W α α

α , j = 1, …, n – 1 (6)

gdzie

[ ]

^j

( )

^{j j}

j j j j j j j j j

j r Ω W

r r W r r r r

W r ⁴

d d d

d 1 d

d d

d −



































≡ 

L oraz

( )

j j j j

j D

a h ^{2 4}

4 ρ ω

=

Ω ,

j j j =a₋₁/a

α , ∆_j =D_j−1/D_j, S_j =S_ja_j²/D_j i M_j =M_ja_j/D_j, j = 1, …, n.

W dalszej części pracy opuszczone zostały kreski nad literami.

Rozwiązanie równania (5) wyznaczymy, wykorzystując własności funkcji Greena. Funkcje Greena G operatora ^j L dla wybranych warunków brzegowych wyznaczono w następnym _j rozdziale pracy. Zakładając, że funkcja Greena jest znana, rozwiązanie równania (5) można przedstawić w postaci:

( ) ( ) ( ) ( ) (

j j

)

j j j j j j j j j j j j j j j j

j j j j

j r S G r Ω M G r Ω S G r Ω M G r Ω

W ~ ,1;

; 1

~ ,

;

~ ,

;

~ ,

, ,

1

1 α ρ α ρ

α∆ − ∆ + +

−

= _{− −} (7)

Uwzględniając (7) w warunkach ciągłości (6) otrzymuje się układ 2 (n – 1) równań z niewiadomymi S~_j

, M~_j

(j = 1,...,n – 1):

( )

^{− ∆}

( )

⁺

− ₋ ∆ ₋ j j

j j j j j j

j j

j G Ω M G Ω

S ~ 1, ;

; ,

~ 1

, 1

1 α α

α ^ρ

( ) ( )

_^









 ∆

+

+ ⁺ _{+ + +}

+ +

1 1 1 1 2

1

1 , ;

; 1 ,

~ 1

j j j j

j j j j

j G Ω G Ω

S α α

α

( ) ( )

_^−









 ∆

+

+ ⁺ _{+ + +}

+ +

1 1 1 1 , 1 1

, 1,1; , ;

~

j j j j

j j j j

j G Ω G Ω

M α α

α ^ρ

ρ

(

^,1;

)

^{~ 1}

(

^,1;

)

⁰

1

~

1 1 1 , 1 1 1

1 1 1

1 − =

− ⁺ _{+ +}

+ + +

+ + +

+ j j

j

j j j

j j

j

j G Ω M G Ω

S α

α α

α ^ρ (8)

( )

^{− ∆}

( )

⁺

− ₋ ∆ ₋ j j

j r j j j j j r j j

j G Ω M G Ω

S ~ 1, ;

; ,

~ 1

, 1 ,

1 α α

α ^ρ

( ) ( )

_^









 ∆

+

+ ⁺ _{+ + +}

+ +

1 1 1 1 , 1 1

, 1,1; , ;

~

j j j j r j j j j r

j G Ω G Ω

S α α

α ⁺

( ( )

^+∆ +

(

+ + +

) )

⁻

+ 1 1 1

1 , 1

, 1,1; , ;

~

j j j j

r j j j

r

j G Ω G Ω

M _{ρ ρ} α α

(

^,1;

)

^~

(

^,1;

)

⁰

~

1 1 1 , 1 1

1 1 ,

1 − =

−S_j+ G_r^j+ α_j+ Ω_j+ M_j+ G_ρ^j+_r α_j+ Ω_j+ (9)

przy czym ~ ~ ~ ~ 0

0

0 =M =Sn =Mn =

S . Układ ten zapisujemy w postaci macierzowej

=0 X

A (10)

gdzie ^X =

[

^{S~1,M~1,...,S~n}−^1,M~n−¹

]

^T. Równanie (10) ma nietrywialne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

( )

⁰

detAω = (11)

Warunek (11) stanowi równanie częstości drgań własnych układu. Równanie to jest rozwiązywane numerycznie względem ω.

3. FUNKCJE GREENA

Rozważamy osiowosymetryczne drgania jednorodnej płyty pierścieniowej o stałej grubości.

Zakładamy, że brzeg zewnętrzny (r = a) tej płyty jest swobodny a brzeg wewnętrzny (r = b) swobodnie podparty. Funkcja Greena G odpowiadająca tej płycie jest rozwiązaniem następującego równania różniczkowego:

[

^{G ,}

( )

^{r ρ}

]

^=δ

(

^r−ρ

)

L (12)

gdzie

[ ]

^{rΩ G}

r r G r r r r

G r ⁴

d d d

d 1 d

d d

d −







 





 



≡ 

L oraz

D Ω h

2

4 = ρ ω . Ponadto funkcja G spełnia warunki brzegowe:

d 0 d 1 d

d

2 2

 =

 

 +

=a

r r

G r

rG ν 0

d d d

d 1 d

d =







 

 



 



 





=a

r r

r G r r r

G (13)

=0

=b

Gr 0

d d 1 d

d

2

2 =



 +

=b

r r

G r

rG ν (14)

gdzie ν jest współczynnikiem Poissona.

Rozwiązanie równania (12) można przedstawić w postaci sumy [3]:

( )

^{r ρ =G}

( )

^{r ρ +G}

( ) (

^{r ρ H r−ρ}

)

G , ₀ , ₁ , (15)

gdzie funkcja G0 jest rozwiązaniem równania jednorodnego:

( )

^{, ] 0}

[G r ρ =

L (16)

natomiast iloczyn ^G1

( ) (

^{r,ρ H r−ρ}

)

jest rozwiązaniem szczególnym równania (12), (H oznacza funkcję Heaviside’a). Można pokazać, że funkcja G1 jest rozwiązaniem równania jednorodnego (16), spełniającym warunki:

2 0

1 2 1

1 =

∂

= ∂

∂

=∂

= =

=

ρ ρ ρ

r r

r r

G r

G G oraz

ρ ρ 1

3 1

3 =

∂

∂

=

r r

G (17)

Ponieważ rozwiązanie ogólne równania (16) ma postać:

( )

^{r c J}

( )

^{rΩ c I}

( )

^{rΩ cY}

( )

^{rΩ c K}

( )

^rΩ

G₁ ,ρ = _{1 0} + _{2 0} + _{3 0} + _{4 0} (18)

więc wyznaczając stałe c1, c2, c3, c4 z warunków (17), otrzymuje się:

( ) (

^I

( ) ( )

^{rΩ K Ω I}

( ) ( )

^{Ω K rΩ}

(

^J

( ) ( )

^{rΩ Y Ω J}

( ) ( )

^{Ω Y rΩ}

))

r Ω

G_{1 2 0 0 0 0 0 0 0 0}

2 2

,ρ = 1 ρ − ρ +π ρ − ρ (19)

Występujące w równaniach (18, 19) funkcje J₀, Y₀ i I₀, K₀ są odpowiednio funkcjami Bessela i zmodyfikowanymi funkcjami Bessela rzędu 0.

Funkcja G0 ma następującą postać:

( )

^{r C J}

( )

^{rΩ C I}

( )

^{rΩ CY}

( )

^{rΩ C K}

( )

^rΩ

G₀ ,ρ = _{1 0} + _{2 0} + _{3 0} + _{4 0} (20)

przy czym stałe C1, C2, C3, C4 wyznaczamy uwzględniając (19) i (20) w (15), a następnie wykorzystując warunki brzegowe (13-14). Przyjmując b < a, otrzymujemy funkcję G0 w postaci:

( )

^,ρ

(

0

( )(

^{1 ν} 2

( )

^,ρ

0 a

Ω Ω b

r J r

G = − − Ψ ⁺

(

⁻²bΩI0

( ) ( ) (

bΩ Y0 bΩ ^{+ 1−ν}

) ( )

^Φ3 bΩ

) ( )

^Ψ4 a^{,ρ +}

( ) ( ) ( ) ( )

(

^{− − Φ}

) ( ))

^{Ψ +}

+ 2bΩK₀ bΩ Y₀ bΩ 1 ν ₄ bΩ ₃ a,ρ

( )( (

²¹_π ^ν

) ( )

4 ^,ρ

0 a

Ω Ω b

r

I − Ψ

+ ⁺

(

²bΩJ0

( ) ( ) (

bΩ K0 bΩ ^{− 1−ν}

) ( )

^Φ2 bΩ

) ( )

^Ψ2 a^{,ρ −}

( ) ( ) ( ) ( )

(

^{− − Φ}

) ( ))

^{Ψ +}

− 2bΩK₀ bΩ Y₀ bΩ 1 ν ₄ bΩ ₁ a,ρ (21)

( )(

^{1 ν} 1

( )

^,ρ

0 a

Ω Ω b r

Y − Ψ

+ ⁺

(

²bΩI0

( ) ( ) (

bΩ J0 bΩ ^{− 1−ν}

) ( )

^Φ1 bΩ

) ( )

^Ψ4 a^{,ρ −}

( ) ( ) ( ) ( )

(

^{− − Φ}

) ( ))

^{Ψ +}

− 2bΩJ₀ bΩ K₀ bΩ 1 ν ₂ bΩ ₃ a,ρ

( )( (

²¹_π ^ν

) ( )

3 ^,ρ

0 a

Ω Ω b

r

K − − Ψ

+ ⁻

(

²bΩI0

( ) ( ) (

bΩ J0 bΩ ^{− 1−ν}

) ( )

^Φ1 bΩ

) ( )

^Ψ2 a^{,ρ +}

( ) ( ) ( ) ( )

(

^{2bΩI0 bΩ Y0 bΩ − 1−ν Φ3 bΩ}

) ( )))

^{Ψ1 a,ρ}

(

^2Ω2d

)

+ gdzie:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

^{K bΩ a b I bΩ a b}

)

b Ω a

b Ω J

b ΩJ b b Ω a

b Ω Y

b ΩY b d

, 1 ,

2

, 1

2 , 1

2

4 1

3 1

2 1

0 1

1 0

Ψ +

− Ψ

−

− Ψ

−

−

− Ψ

−

−

= π

ν

ν ν

oraz

( )

^{z J}1

( ) ( )

^{z I}0 ^{z J}0

( ) ( )

^{z I}1 ^z

1 = +

Φ Φ2

( )

^z =^J1

( ) ( )

^{z K}0 ^z −^J0

( ) ( )

^{z K}1 ^z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^{z Y}1 ^{z I}0 ^{z Y}0 ^{z I}1 ^z

3 = +

Φ Φ4

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^z =^Y1 ^{z K}0 ^z −^Y0 ^{z K}1 ^z

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( )

^zΩ

(

^uΩ

( ) (

^uΩ

) ( ) ( )

^{J uΩ K uΩ}

)

I

Ω u Ω I u Ω J

Ω u Ω u z Ω K

z J z u

1 1

2 0

1 1

1 0

0 1

1 2

1 2 ,

ν ν

− + Φ

+

+

−

− Φ

−

−

= Ψ

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( )

^zΩ

(

^uΩ

( ) (

^uΩ

) ( ) ( )

^{Y uΩ K uΩ}

)

I

Ω u Ω I u Ω Y

Ω u Ω u z Ω K

z Y z u

1 1

4 0

1 1

3 0

0 2

1 2

1 2 ,

ν ν

− + Φ

+

+

−

− Φ

−

−

= Ψ

( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( )

^zΩ

(

^uΩ

( ) (

^uΩ

) ( ) ( )

^{Y uΩ I uΩ}

))

J

Ω u Ω I u Ω J

Ω u Ω u z Ω Y

z I z u

1 1

3 0

1 1

1 0

0 3

1 2

1 2 2

,

ν π ν

−

− Φ

−

−

−

− Φ

+

= Ψ

( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( )

^zΩ

(

^uΩ

( ) (

^uΩ

) ( ) ( )

^{Y uΩ K uΩ}

))

J

Ω u Ω K u Ω J

Ω u Ω u z Ω Y

z K z u

1 1

4 0

1 1

2 0

0 4

1 2

1 2 2

,

ν π ν

− + Φ

−

−

− + Φ

+

= Ψ

Ostatecznie funkcję Greena odpowiadającą płycie o brzegu zewnętrznym (r = a) swobodnym i brzegu wewnętrznym swobodnie podpartym (r = b) (płyta S-F) otrzymuje się, uwzględniając (19) i (21) w (15).

Funkcję Greena g odpowiadającą płycie F-S (b > a) można przedstawić, wykorzystując wyznaczone wcześniej funkcje G0 i G1 dla płyty S-F. W rezultacie otrzymuje się

( )

^{r ρ =−G}

( )

^{r ρ −G}

( )

^{r ρ +G}

( ) (

^{r ρ H r−ρ}

)

g , ₀ , ₁ , ₁ , (22)

Wyznaczone powyżej funkcje Greena dla płyt F-S i S-F wykorzystane są w rozwiązaniach zagadnień drgań odpowiednich elementów badanej płyty złożonej. Funkcje Greena dla innych typów płyt wyznaczone zostały w pracach [3, 4].

4. PRZYKŁADY NUMERYCZNE

Rozważmy płytę pierścieniową o brzegu wewnętrznym (r = b) swobodnym i brzegu zewnętrznym (r = a) sztywno zamocowanym (F-C). Zmiana grubości płyty następuje wzdłuż okręgu o promieniu c. Płyta została podzielona na dwa elementy (Rys. 2a). W Tabeli 1 zebrano bezwymiarowe częstości drgań własnych płyty F-C, otrzymane prezentowaną metodą funkcji Greena oraz metodami elementów skończonych i Rayleigha-Ritza [1].

a) b)

Rys.2. Płyta pierścieniowa podzielona na dwa elementy, a) F-C, b) F-S

Tabela 1. Bezwymiarowe częstości drgań własnych ρh₂/D₂ω a² płyty F-C; 1) metoda elementów skończonych, 2) metoda Rayleigha-Ritza, 3) metoda funkcji Greena

h1 / h2 = 0.6

b/a 0.1 0.4 0.7

c/a 0.2 0.5 0.8 0.5 0.8 0.8

1) 9.9699 10.0954 8.1756 14.5024 12.6568 50.6084 2) 9.86006 9.92156 7.80171 14.5533 12.1731 51.4175 3) 9.98899 10.12341 8.19101 14.5528 12.6686 51.2714 Podobnie wykonano badania numeryczne dla płyty pierścieniowej o brzegu wewnętrznym (r = b) swobodnym i brzegu zewnętrznym (r = a) swobodnie podpartym (F-S). Płyta zmienia swą grubość wzdłuż okręgu o promieniu c. Płyta została podzielona na dwa elementy (Rys. 2b). Na rysunku 3 przedstawiono częstości drgań własnych takiej płyty jako funkcje stosunku grubości składowych płyt pierścieniowych o stałych grubościach. Obliczenia wykonano dla różnych wartości promienia c okręgu, wzdłuż którego następuje zmiana grubości płyty.

Ostatni przykład dotyczy drgań płyty pierścieniowej o brzegach swobodnych (F-F).

Dodatkowo zakłada się, że płyta jest swobodnie podparta wzdłuż okręgu o promieniu c, a zmiana grubości płyty następuje wzdłuż okręgu o promieniu d. Płyta ta została podzielona na

trzy elementy (Rys. 4). Częstości drgań własnych płyty otrzymane metodą funkcji Greena zostały porównane z wynikami prezentowanymi w pracy [2], które uzyskano metodą Rayleigha-Ritza (Tabela 2). Wszystkie obliczenia zostały przeprowadzone dla ν = 0.3.

0.5 1.0 1.5 2.0

α = h ₁ / h 2 1.8

2.1 2.4 2.7 3.0

Ω1

0.5 1.0 1.5 2.0

α = h ₁ / h 2 4.5

5.5 6.5 7.5 8.5

Ω2

c/a = 0.6 c/a = 0.7 c/a = 0.8

Rys.3. Dwie pierwsze bezwymiarowe częstości drgań własnych ⁴ ρh₂ω²/D₂ a płyty pierścieniowej F-S; b/a = 0.4

Rys.4. Płyta pierścieniowa F-F, swobodnie podparta wzdłuż wewnętrznego okręgu, podzielona na trzy elementy

5. PODSUMOWANIE

Stosując metodę funkcji Greena, otrzymano rozwiązanie dokładne zagadnienia drgań własnych płyt pierścieniowych o skokowo zmieniającej się grubości. Przedstawione rozwiązanie obejmuje osiowosymetryczne drgania własne płyt pierścieniowych dla różnych przypadków warunków brzegowych oraz dowolnej skończonej liczby płyt składowych.

Zastosowanie przedstawionej metody pozwala wykorzystać wcześniej wyznaczone funkcje Greena dla rozwiązania różnych problemów drgań płyt pierścieniowych i kołowych.

Tabela 2. Częstości drgań własnych ² ρh₁/D₁ ωa² płyty pierścieniowej F-F otrzymanych metodą Rayleigha-Ritza (kursywa) i metodą funkcji Greena

h3 / h1 = 0.6 h3 / h1 = 0.8

d/a d/a

b/a c/a

0.4 0.6 0.8 0.3 0.5 0.7

3.679 4.428 4.469 3.653 4.030 4.190

0.2 3.71 4.46 4.48 3.67 4.03 4.19

5.878 6.277 5.397 5.782

0.1

0.4 5.97 6.29 5.40 5.79

4.705 5.406 4.921

0.5 4.72 5.41 4.91

7.332 6.603

0.4

0.6 7.34 6.62

W sformułowaniu i rozwiązaniu zagadnienia uwzględniono występowanie swobodnych podparć wzdłuż koncentrycznych okręgów rozmieszczonych w obrębie płyty. Wyniki otrzymane prezentowaną metodą zostały porównane z wynikami otrzymanymi przez innych autorów metodą elementów skończonych i metodą Rayleigha-Ritza. Dobra zgodność wyników potwierdza poprawność przedstawionej metody.

Analiza wyników numerycznych wskazuje, że stosunek grubości elementów płyty pierścieniowej jak i promień zmiany grubości płyty mają znaczący wpływ na częstości drgań własnych płyty złożonej.

LITERATURA

1. D. R. Avalos, H. A. Larrondo, V. Sonzogni, P. A. A. Laura: A general approximate solution of the problem of free vibrations of annular plates of stepped thickness. Journal of Sound and Vibration, 196, 3, 1996, s. 275-283.

2. R. H. Gutierrez, P. A. A. Laura: Fundamental frequency of an annular circular plate of non-uniform thickness and an intermediate concentric circular support. Journal of Sound and Vibration, 224, 4, 1999, s. 775-779.

3. S. Kukla, M. Szewczyk: Application of Green’s function method in frequency analysis of axisymmetric vibration of annular plates with elastic ring supports. Scientific Research of the Institute of Mathematics and Computer Science, 1, 4, Częstochowa 2005, s. 79-86.

4. S. Kukla, M. Szewczyk: The Green’s functions for vibration problems of circular plates with elastic ring supports. Scientific Research of the Institute of Mathematics and Computer Science, 1, 3, Częstochowa 2004, s. 67-72.

VIBRATION ANALYSIS OF ANNULAR PLATES OF STEPPED THICKNESS

Summary. The paper concerns axisymmetric vibration of annular plates of stepped thickness. Solution to the problem was obtained by dividing of considered plate into annular plates of uniform thickness. Exact solution to the natural vibration problem was obtained by using Green’s function method. Frequency equation of vibration problem of a plate with stepped thickness was by using continuity conditions.