Podstawy fizyki teoretycznej

W12. Elektrodynamika – pole elektryczne generowane przez rozkład ładunków cd.

Plan wykładu:

●

funkcja Greena dla równania Poissona

●

energia i gęstość energii pola elektrycznego

Funkcja Greena

Funkcję Greena (rezolwentę równania różniczkowego) dla równania Poissona’a

definiujemy następująco (d – wymiar przestrzeni)

Znajdźmy funkcje Greena w 1, 2 i w 3 wymiarach.

Funkcja Greena w 1 wymiarze

gdzie: x’ - położenie punktowego źródła stanowiącego zaburzenie x – punkt w przestrzeni w którym szukamy rozwiązania Z warunku symetryczności delty Diraca

wynika własność funkcji Greena

Dla ułatwienia rachunków użyjmy oznaczenia

Po scałkowaniu dostajemy

Pochodna opisuje skok – jedno z rozwiązań → funkcja Heaviside’a, ale...

nie jest ona symetryczna.

Wybierzmy inną funkcję, która tę własność posiada

Funkcja Greena w dwóch wymiarach

Ale w pustej przestrzeni umieszczamy źródło punktowe, które stanowi zaburzenie.

Wyróżnia ono punkt w przestrzeni, ale układ pozostaje izotropowy – brak zależności kątowej.

Ponieważ istotna jest tylko odległość od źródła, użyjemy współrzędnych radialnych

(dla ułatwienia załóżmy że źródło ustawiamy w początku ukł. współrzędnych)

Poza źródłem równanie ma postać

Po wykonaniu dwukrotnego całkowania dostajemy

gdzie: C, B – stałe całkowania, które należy określić.

Ze względu na niejednoznaczność potencjału możemy założyć B=0 (stałą zawsze możemy dodać do potencjału).

Stałą C wyznaczamy korzystając z tw. Stokes’a

Po przywróceniu poprzednich oznaczeń funkcja Greena w 2D ma postać

Funkcja Greena w trzech wymiarach

Analogicznie jak w 2D, źródło umieszczamy w początku układu współrzędnych, co eliminuje zależności kątowe z rozwiązania

Po dwukrotnym całkowaniu (poza źródłem pola) dostajemy

gdzie: C,D – stałe całkowania

Jak poprzednio ustalamy D=0.

Stałą C wyznaczamy z całkowania równania Poissona ze źródłem punktowym

Pierwszą całkę wyznaczamy korzystając z tw. Gaussa-Ostrogradskiego

Funkcja Greena dla równania Poissona w 3D ma postać

Jak wykorzystać funkcję Greena do rozwiązania problemu?

Policzmy całkę z równania Poissona

Potencjału nie znamy, ale możemy przerzucić działanie operatora różniczkowego z φ na G

by wykorzystać własność delty Diraca

a całkę z deltą łatwo wyznaczymy.

Całkowanie przez części

- tak zakładamy bo potencjału nie znamy

ale okaże się że to założenie jest spełnione

Mamy równanie całkowe w postaci

Powtarzamy całkowanie przez części

Energia i gęstość energii pola elektrycznego

Ładunek punktowy wytwarza w przestrzeni pole elektryczne, którego potencjał opisujemy wzorem

Rozważamy ładunki rzeczywiste, więc aby w pobliże ładunku q1 sprowadzić ładunek q2 należy wykonać pracę

Postępując w ten sposób z kolejnymi ładunkami,

dla ładunku n-tego musimy wykonać pracę

Natomiast całkowita praca będzie ich sumą

W przypadku rozkładu ciągłego ładunku, sumowanie zasętpujemy całkowaniem

możemy zapisać w alternatywnej postaci korzystając z równania Poissona

Następnie całkujemy przez części (chcemy wprowadzić wektor E pod całkę)

Energię pola elektrycznego otrzymamy licząc całkę objętościową

zatem funkcja podcałkowa jest gęstością energii tego pola

Chcąc określić energię pola w dielektryku, musimy uwzględnić zmiany wartości przenikalności elektrycznej materiału

co prowadzi do wyrażeń na energię