Logika : czy- ilo- i jak wartościowa.

S u m m ariu m n r 4 (24) za ro k 1975

LOGIKA: CZY- ILO- I JA K WARTOŚCIOWA?

(I) N iew ątpliw ie problem atyka logiki rozpatryw anej od strony jej w artości logicznych, w szczególności logiki formalnej, a logiki zdań prze­

de w szystkim , jest niezw ykle szeroka. A przy ty m nader interesująca, zwłaszcza gdy jest w zięta we wszechstronnej interproblem ow ej koneksji, co w danym przypadku w ydaje się praw ie naturalne, ale i niełatw e, zwa­

żywszy obarczenia szeregiem nieporozumień, a naw et m istyfikacji, w tym kręgu filozoficznym. Wchodzi nadto w grę i rzecz dodatkowo uciekaw ia i u tru d n ia długa trad y cja historyczna zagadnień, które m ają poważne i interesujące starożytne jeszcze, a szczególnie średniowieczne antece­

dencje.

Bogata współczesna literatu ra przedm iotu i okołoprzedmiotowa wciąż narasta. Śladem klasycznych już prac Ja n a Łukasiewicza i Em ila L. Posta, głównych nowożytnych twórców logiki wielowartościowej (do prekurso­

rów zalicza się H. MacColla, Ch.S. P eirce’a i N.A. Wasiliewa, nie licząc antycypatorów ) powstawały i tworzone są coraz lo nowe wielow ar- tościowe konstrukcje. Nie obywa się też bez metodologicznych co do nich uwag, form alnych spekulacji, m erytorycznych refleksji i poszukiwań his­

torycznych. Gdy chodzi o polską linię badań znaczonych nazwiskiem J. Łukasiewicza i głównie jego udziałem — tradycja ta najbardziej nas zresztą interesuje —- w ym ieńm y niektórych bezpośrednich jego uczniów i kontynuatorów : M. W ajsberga, B. Sobocińskiego i J. Słupeckiego, a tak­

że. z różnych względów: S. Jaśkowskiego, J. Łosia, H. Greniewskiego, R. Suszkę, I.M. Bocheńskiego: dołączmy A.N. Priora. Przegląd całościowy stanu badań zaw ierają książki: J.B. Rossera. A.R. T u rq u e tle’a, a zwłaszcza nowsze A.A. Zinowiewa i N. Reschera: znaleźć w nich można szereg wartościowych inform acji, analiz i uwag porównawczych (wiele ich u Priora, a także u Greniewskiego, Suszki, Bocheńskiego i innych)1.

1 R ezygnując w zasadzie (ze w zględu n a b ra k m iejsca) z odw ołań do literatu ry odnosim y generalnie do książki N. R eschera M any-valued Logic (New Y ork 1969), zaw ierającej bogatą ibihliografię w układzie historycznym (237-285), z w ykazem a lfa ­ betycznym autorów (285-305) i problem ow ym (305-331). R escher pom ija jednak J. Ł ukasiew icza Die logischen G rundlagen der W ahrscheinlichkeitsrechnung z 1913 r.

(tłum. poi. Podstaw y logiczne rachunku prawdopodobieństw a. W: Z zagadnień logiki i filozofii. Pism a w ybrane. W arszaw a 1971 s. 73-113), w którym interesująco k laru je się koncepcja w ielow artościowości w dyskusyjnym naw iązaniu do idei B. Bolzana.

STANISŁAW M A JD AŃSKI

41

Geneza problem atyki wiąże się w sposób charakterystyczny ze spraw ą zastosowań logiki. Zdarza się przy tym , że:

Mamy tu do czynienia z koniecznością w yboru w sytuacji poznawczo trudnej i stając wobec problemu, co należy modyfikować: a) aplikowany system, czy b) m ateriał aplikacyjny, znajdujem y, że u źródeł powstania logik (systemów) wielowartościowych — i w ogóle nieklasycznych — leży chyba respektowanie, a naw et preferencja tej pierwszej —■ (a) — możli­

wości (I, 1). To nie ułatw ia bynajm niej sprawy. Poza tym , metalogiczna kwestia wartościowości logiki, a więc i ilości i jakości wartości jest w sporej mierze filozoficzna, a to kom plikuje sprawę. Staw iając te kwestie zakłada się, że logika, system y logiczne, jest jakoś wartościowa ze wzglę­

du na wartość (wartości) jej w yrażeń zdaniowych, ale to jest przecież nasz pierwszy problem z tytułowego trójproblem u.

Problem atykę tytułow ą daje się pomieścić w ram ach szerzej pojętej semiotyki logiki formalnej, należącej do — sensu largo — (meta)logiki.

I tak właśnie rzecz spróbujm y tutaj rozpatrzyć. Praktycznie uwagi tu zaw arte dotyczą logiki zdań, dotyczą w sensie poniżej w yjaśnianym . Przez to zaś, że jest ona działem logiki form alnej w znanym znaczeniu pierw ­ szym, dotykam y logiki form alnej jako pew nej całości, przynajm niej jeśli żywić jakieś niezminimalizowane am bicje poznawcze. W artości zwane logicznymi są wartościami w yrażeń o charakterze zdaniowym, stąd obra­

camy się zarazem w kręgu problem atyki sem iotyki zdania.

Pytania tytułow e brzm ią nader ogólnie i poniekąd maksymalistycznie.

Zauw ażm y:

Jeśli nie m ają być tylko skrótem, sugerować mogą, że istnieje logika jako pew na całościowa spójna dziedzina, tym czasem sytuacja w ydaje się podobna do tej, jaka jest w m atematyce, a raczej w kręgu dyscyplin m a­

tem atycznych; w niejednym okazuje się logika po prostu pew nym niedo­

statecznie, jak się wydaje, zw artym zbiorem dyscyplin logicznych (I, 2).

I pow stają wciąż nowe system y logiczne, a różnice zdań co do tego, czym jest logika, jako taka, pozostają. W tej optyce pytania tytułow e można traktow ać jako wyraz pewnego „relatyw istycznego”, ja k się czasem trochę myląeo powiada, spojrzenia na logikę. Dopuszczają bowiem m yśl o takim lub innym statusie (klas) system ów logicznych i wartości ich w yrażeń zdaniowych, ze względu na które system y się rozpatruje. Z drugiej jed­

nak strony, utrzym uje się mimo w szystko,— ta jakaś zasadnicza tenden­

cja — teoretyczna lub praktyczna — do widzenia logiki jako pew nej zbor­

nej całości systemów, a nie tylko dość luźnego ich zbioru. Więcej, istnieje

dążenie do uczynienia logiki bardziej całościową dziedziną. T rend to nie

tylko dydaktyczny, choć z pewnością dydaktycznie bardzo ważny.

L O G IK A A W A R T O Ś C I L O G IC Z N E

Licząc się z powyższym powiemy, że:

P ytania tytułow e można rozpatryw ać jako dotyczące w artości logicz­

nych — ich istnienia, ilości i jakości — 1° zdań, w yrażeń zdaniowych, 2° poszczególnych system ów logicznych, 3° grup tych systemów, 4° w szyst­

kich tych system ów — de facto lub de iure (I, 3). Przez system logiczny rozumie się tu taj formalizm, czyli rachunek logiczny, ale w raz z jego in­

terpretacją sem antyczno-m atrycow ą (na pewno formalną, a — zależnie od koncepcji logiki -— treściową). Za system em „kryje się” określający go m etasystem (interpretacja m atrycow a należy już form alnie do m eta- systemu, w węższym znaczeniu: gdy system utożsam ia się jedynie z ra ­ chunkiem logicznym, formalnym). Poza systemom są również jego za­

stosowania do jakiejś dziedziny, uzyskane poprzez pozalogiczne podsta­

w ienia za zm ienne i intuicyjne interpretacje stałych logicznych systemu.

Te i inne tego rodzaje rozgraniczenia zależą od przyjętej koncepcji logiki (form alnej): formalistycznej, instrum entalistycznej, przedmiotowej, a ta k ­ że jakiejś m edialnej, k tó rą tu zakładamy, nastaw ionej na pew ne związki 'z dziedzinami zastosowań rachunków logicznych.

N aturalnie, spraw y w yglądają łatwo z uproszczonego p unktu widze­

nia. Dla ilustracji: są system y dwu i więcej w artościowe w zależności od zaistniałych potrzeb (poza)logicznych: nie m a więc zasadniczo problem u jakiegoś konfliktu między tym i a innym i systemami. Ostatecznie, w takim podejściu rzecz sprowadza się do nieinform atyw nej tautologii, gdy chodzi np. o odpowiedź na pytanie o liczbę wartości logicznych: z dwuwartościo- wego p unktu wiedzenia logika — system y logiczne ze względu na ich w yrażenia zdaniowe — jest dwuwartościowa, a ze stanow iska wielow ar- tościowego — wielowartościowa. Tak więc jakaś kolizja jest w prost ex definitione niemożliwa; jeśli pojaw ia się, to jest co najwyżej pozorna.

W rzeczy samej nie są to tak proste sprawy, gdy spojrzeć na nie mniej powierzchownie, a raczej mniej powierzchniowo — co nie przeszkadza temu, że kolejno pogłębione widzenie może w łaśnie naw iązywać do po­

wierzchniowego. Istnieje, jak wspomniano, am bitna i niełatw a tendencja do bardziej rygorystycznego traktow ania związków m iędzy system am i lo­

gicznymi. do bardziej spójnego rozum ienia logiki (formalnej). Inna rzecz, iż prowadzić to może do w yłączenia pew nych systemów z jej obszaru. Nie byłby to w tedy tylko jakiś luźn^ zestaw system ów o nader zróżnicowa­

nych własnościach, lecz ich zespół odznaczający się pew nym i zasadniczy­

mi własnościami wspólnymi, w yznaczającym i to, co nazyw a się po prostu logiką.

W szkicu niniejszym chodzi głównie o eksplikację problem ów ty tu ło ­ wych, tytułow ego trójproblem u. N astaw ienie w zasadzie eksplikacyjne do­

43

tyczy m.in. pewnych ujaw nionych nieporozumień, jak również preferen­

cji lub dyspreferencji niektórych, głównie elem entarnych, rozwiązań. W y­

korzystuje się przy tym pew ną względność a raczej mobilność znaczenio­

wą wchodzących tu w grę wieloznacznych term inów ; dokonuje się odpo­

wiedniego doboru z zestawu nieustalonych ostatecznie znaczeń w yrażeń takich, jak: „wartość zdania”, „w artość logiczna”, „dw uw artościow y”,

„w ielowartościowy”. ..zasada dwuwartościowości” i in. Uwzględnia się też pew ną swobodę w zakresie konstrukcji nowych w artości i w artościow a­

nia zdań, w tym zdań złożonych ze względu na funktory logiki zdań. Oczy­

wiście, jak to już podkreślono, cała ta problem atyka do logiki (formalnej) nie należy, choć jej dotyczy; jest metalogiczna, w ty m z zakresu semio- tycznych i filozoficznych podstaw logiki.

Współczesny problem statusu logik tak zw anych wielowartościowych i ich stosunku do logiki klasycznej (systemów klasycznych) zaistniał wraz z powstaniem wielowartościowych systemów.

Zarysowały się i wyprecyzowały dwa zasadnicze i skrajnie opozycyjne stanowiska w spraw ie wartościowości logiki, ogółu system ów logicznych ze względu na wartości ich w yrażeń zdaniowych: (i) postaw a (pro)dwu- wartościowa, (ii) postawa anty(pro)dwuwartościowa; do pom yślenia są i byw ają (iii) postawy medialne, mniej w yraźne lub bardziej subtelne niż wymienione skrajne (I, 4 )2. Celowe w ydaje się jakieś przezwyciężenie obu postaw skrajnych, zdezabsolutyzowanie ich, wyznaczenie właściwego im zakresu obowiązywalności. Praktycznie jednak nie jest to łatw e. Kuszą bowiem szerokie, zda się, uwrażliwione na pewnego typu ogólność, pers­

pektyw y antybi-naryzmu. A jeszcze bardziej urzekająco prezentuje się binaryzm prosty i zorientowany redukcjonistycznie. Sam Łukasiewicz zajmował z czasem stanowisko w omawianej spraw ie raczej um iarkow ane (powiedzmy tak z grubsza, nie wchodząc w szczegóły), w ahał się jednak w swym stanowisku.

Dziś przeważa raczej postawa (i) lub zbliżające się do niej stanowiska pośrednie. I tak pow tarza się, że system y wielowartościowe to raczej ra ­ chunki stricte form alne a nie system y logiczne; że to naw et zabaw a b a r­

dziej niż logika; że są trudności, gdy chodzi o ich sens intuicyjny (i za­

stosowania, o tym jeszcze potem). W skazuje się też, że system y wielo­

wartościowe są — z pewnego punktu widzenia — jakoś dwuwartościowe,

binarność w taki czy inny sposób. S ugeruje się czasem, że ra -

- Por. H. G r e n i e w s k i . 2n+1 wartości logicznych. W: Spraw y w szystkie i jeszcze inne. Warszawa 1970 s. 127-201. Autor wyodrębnia obozy: dwu, pseudo i antydwuwartościowców, w pierwszym zaś dwa stanowiska, w drugim i trzecim po trzy (136-143).

L O G IK A A W A R T O Ś C I L O G IC Z N E

chunki wielowartościowe nie stanow ią logiki o tyle, że ta jako dyscyplina ściśle form alna, upraw iana jedynie na poziomie rachunkow o-syntaktycz- nym abstrahuje w ogóle od czegoś takiego jak wartości logiczne (nawet form alnie ujęte). Problem wartościowości bierze się w tedy z zewnątrz, np.

z problem atyki zastosowań logiki, a jeśli wartości m ają in terp retację in ­ tuicyjną, to raczej z filozofii, do której teoretycznie powinny należeć. Do­

dajm y krytycznie, że z analogicznych powodów nie można by w takiej optyce mówić rów nież i o logice dwuwartościowej...

W ielowartościowcy ..rasowi” w skazują z reguły na wielość samych w artości logicznych. Na to, że wartości klasyczne są częścią skończonego lub nieskończonego zbioru wartości logicznych. Zw racają też uwagę na pew ne konsekw encje wielowartościowości; podkreślają mianowicie, żc zm ienia się zbiór praw , pew ne odpowiedniki praw logiki klasycznej lub tradycyjnej nie obowiązują, „odpadają” ; dodajm y od razu, uprzedzając nieco późniejsze analizy, że to skutek takich a nie innych przyjętych w ar­

tościowań funktorów , wartościowań, które mogą być zresztą inne. Po­

w ołują się też wielowartościowcy na pew ne analogie z innych nauk, szcze­

gólnie chętnie na geom etrie nieeuklidesowe, które powstały z zanegowa­

n ia pew nych lim itujących geom etrię klasyczną podstaw (piąty postulat Euklidesa, trójwym iarowość); logika wielowartościowa zaś pow stała teo­

retycznie na skutek zanegowania zasady dwuwartościowości, jako logika, w pew nym sensie. nie-A rystotelesowa. Niezależnie od takich czy innych spekulacji ex post, rew olucja w geom etrii mogła być przynajm niej bodź­

cem heurystycznym dla idei wielowartościowości w logice. Inna dyscy­

plina leżąca u źródeł i podstaw logiki wielowartościowej, to teoria praw ­ dopodobieństwa.

Osobna kw estia to prowielowartościowe w sparcie ze strony nauk nie­

form alnych. Za wielowartościowością m ają przem awiać pew ne sytuacje nieokreśloności i ąuasi-względności znane w fizyce w spółczesnej: zjawisko nieoznaczoności z m ikrofizyki i kom plem entarności z optyki. W ielowar­

tościowcy stara ją się do nich dostosować system y logiczne. Do tego do­

chodzą klasyczne już spraw y wiążące się z wielowartościowośćią: indeter- minizm, zdarzenia przyszłe i różnego typu sytuacje w yrażane m o d aln ie3.

Postaw a dwuwartościowców nie jest nastaw iona na m odyfikowanie logiki czy wielość system ów logicznych. Są skłonni uznać za G.W. Leibnizem za praw a (reguły) logiki tylko te, które dotyczą wszelkich sytuacji, „wszel­

5 Uwagi te są nader niepełne wobec licznych wielowartościowych systemów o in­

nej genezie: S1-S5 im plikacji ścisłej (C.I. Lewisa), intuicjonistycznych (A. Heytinga), dyskusyjno-dialogicznych {jak S. Jaśkowskiego), dialektycznych (R. Rogowskiego i in.), deontycznych (J. Kalinowskiego) i in.

4 5

kich możliwych św iatów ” zastosowań. Trudnościam i aplikacji logiki do różnych dziedzin obarczają jej klientów, proponując zarazem dostosować dziedziny zastosowań logiki do jej — w zasadzie klasycznych — w ym a­

gań. Ujęcia ponaddw uwartościowe wzbogacają logiczny p u n k t widzenia, to prawda. Z drugiej jednak strony, pewnego typu — powiedzmy nie tyle skrajną, ile zasadniczą — dwuwartościowość logiki, systemów lo­

gicznych preferow ać by należało przynajm niej ze względu na respek- i( iwanie w nauce zasady m aksym alnej prostoty i ekonomii jej podstaw, a co za tym idzie -—• redukcji ujęć złożonych do tego, co (naj)prostsze.

A więc — redukcji ujęć wielowartościowych do niewielowartościo- wych; tych ostatnich jako — faktu naukowego — zanegować niepodobna.

Idea prostoty i redukcji spraw ia że:

Jest jakiś w ariant (iii) bliski (i) u podstaw niniejszego szkicu, w którym interesujem y się przede w szystkim tym, o ile i w jaki sposób zachowane są w szeroko pojętej logice form alnej (zdań) założenia tak czy inaczej rozumianej dwuwartościowości zasadniczo bezkonfliktowo, a więc także dl? logiki skądinąd „niedw uw artościow ej’’ (1,5).

Na dalszy ciąg rozważań złożą się jeszcze następujące uwagi: najpierw głównie dotyczące tak zwanej zasady dwuwartościowości, jej obowiązy- walności i spraw z tym związanych (II), z kolei dotyczące dw uw artościo­

wości — powiedzmy: „reduktyw nej’’ — pew nych wielowartościowych systemów logicznych (III), wreszcie refleksje specjalne w skazujące na pew ną dość oczywistą „jednowartościowość”, a naw et „niew artościowość”

logiki, którą przyjęto nazywać dwuwartości-ową oraz pew ne uwagi koń­

cowe (IV).

(II) Omawianą tu problem atykę wiąże się zw ykle z (metalogiczną) za­

sadą dwuwartościowości lub jej odpowiednikami dla rachunków wielo­

wartościowych. Nawiązując do A rystotelesa i stoików pierw szy zasadę tę sformułował współcześnie i teoretycznie docenił Ja n Łukasiewicz, który jednocześnie był jej znakomitym krytykiem , przede wszystkim jako twórca logiki trójwartościowej.

Oto metalogiczno-ontologizujące, nazw ijm y je tak roboczo, sform u­

łowanie tej zasady ze stosunkowo mało znanej ii słabo w ykorzystyw anej pracy Logika dwuwcirtościowa (z r. 1920)4:

Istnieją dwie i tylko dwie wartości logiczne, mianowicie praw da i fałsz (11,1). Posługiwał się zwykle Łukasiewicz innym sform ułowaniem zasady dwuwartościowości, pochodzącym jeszcze od starożytnych a znanym dziś jako obiegowe właśnie dzięki Łukasiewiczowi:

4 „Przegląd Filozoficzny” 23: 1921 s. 189-201; por. s. 190.

L O G I K A A W A R T O Ś C I L O G I C Z N E

Każde zdanie jest bądź prawdziwe, bądź fałszywe (11,2). Inaczej mówiąc:

Dla dowolnego zdania Z: albo Z jest prawdziwe, albo Z jest fałszywe (11,3).

Ciekawie i inaczej (pozornie tylko archaicznie) ujm uje Łukasiewicz opozycję praw da — fałsz zdań w e w spom nianym artykule. W yodrębnił tam mianowicie dwie „naczelne zasady logiki dw uw artościow ej” : Uznaję praw dę (11,4), czyli:

U: 1 (11,5)

Odrzucam fałsz (II-,6), czyli:

N : 0 (11,7) 5. Zasady (11,4) i (11,5) w yrażają, jak to dziś rozumiemy, prag- m atyczno-logiczną postawę pozytyw ną wobec zdania prawdziwego, posta­

wę preferow ania, uznania wartości logicznej (ogólniej: logiczno-seman- tycznej) praw dy: podobnie (11,6) i (11,7) w ypow iadają postawę negatyw ną wobec zdania fałszywego, wobec w artości logicznej fałszu, którą się „dys- preferuje". „dyskw alifikuje”, odrzuca.

Razem zasady te odpowiadają zasadzie dwuwartościowości w po­

przednich sform ułowaniach, stanowiąc ich pew ne pragm atyczno-sem an- tyczne uzupełnienie. Łącznie stanow ią postulat paralelizm u sem antyczno- -pragm atycznego w zakresie logiki. P ostulat to ważny, gdyż oprócz po­

staw y uznaw ania i odrzucania zdania ze względu na jego w artość logicz­

ną odróżnia się inne, w tym postawę pow strzym yw ania się od uznaw ania i odrzucania zdania. Łukasiewicz mówi w wym ienionym artykule, że tę trzecią postawę zajm ujem y wówczas, gdy nie wiemy, czy zdanie jest praw dą lub fałszem 6. W prowadzony pod w pływ em idei Fregego znak U a w duchu B rentany znak N, to odpowiednik używ anych później przez J. Łukasiewicza znaków I— i za Principiami rozum ianych m etajęzy- kowo 7.

Rola wartości logicznych w logice nie jest, jak to już podkreślono, na­

leżycie zreflektow ana (meta)teoretycznie. Ówczesne uwagi Łukasiewicza z 1920 r. to raczej w yjątek (poza daw niejszym i jeszcze Fregego, nie liczymy autorów pozostających jaw nie pod w pływ em psycbologizmu). Być może utru d n iają refleksje zróżnicowane koncepcje co do n atu ry logiki, w swej istocie filozoficzne, albo i w ogóle rezygnacja z tego typu rozważań,

5 Tamże s. 191.

6 Tamże s. 191-192. Pragmatyka każe wyróżnić sytuacje: uznawania zdań fałszy­

wych, odrzucania prawdziwych oraz „ani uznawania, ani odrzucania” (np. gdy tylko rozumiemy zdanie). Istnieje tu pewna analogia do metalogicznego problemu relacji zbioru tez do zbioru tautologii. Mówiąc tu „postawy” parafrazujemy Łukasiewicza

„sposoby zachowania się wobec wartości logicznych” (tamże s. 190 n.).

7 Tamże s. 189.

47

w ujęciu logiki radykalnie instrum entalnym , a zwłaszcza form alnym . Łukasiewicz nie w racał już chyba nigdy do tego ty p u problem atyki uw a­

żając zapewne sform ułowania w rodzaju (11,4) — (11,7) za zbyt psycholo- gizujące („sposoby zachowania się wobec w artości logicznych”) i onto- logizujące (za Fregem zdania oznaczają przedm ioty: praw dę lub fałsz).

P rzejęty był bowiem — mniej lub bardziej, zależnie od czasu — anty- psychologizmem i był ostrożny na linii logika — filozofia. Tymczasem jed­

nak, w tedy uznawanie i odrzucanie uważał — obok w strzym yw ania się (wią­

zało się z jakim ś nie kontynuow anym zamysłem „psychologizującej” inter pretacji logiki wielowartościowej ?) — za zasadnicze „sposoby zachowania się wobec wartości logicznych”. Podkreślm y na końcu zadziwiającą nowo­

czesność tych porzuconych potem sform ułowań („zachowanie się”). Nawet sform ułowanie zasad w pierwszej osobie może być uznane za psychologi- zujące (przypomina ponadto cogito i perform atyw y).

Po t e j — w a żn ej— dygresja, trochę historycznej, wróćm y do pierw sze­

go i drugiego sform ułowania zasady dwuwartościowości. N ajpierw rela­

cja między nimi. Spraw a wyglądać może dwojako. Po pierwsze, zasadę (11,1) można potraktow ać jako bliskoznacznik lub rów now ażnik (11,2), oczywiście, przy pew nych założeniach — gdy zaniedba się różnice styli- zacyjne, a przede wszystkim gdy p otraktuje się (11,1) jako w yrażenie eliptyczne, dorównane znaczeniowo do (11,2), rzecz jasna, po odpowied­

nim dopełnieniu. Po drugie, zasadę (11,1) można rozumieć dosłownie; w te­

dy w ydaje się ogólniejsza niż (11,2) — o ile to, że są dwie w artości (do­

m yślnie zdań — tego minimalnego elem entu dopełnienia nie tracim y z pola widzenia) nie przesądza tego, jaki jest m iędzy nim i stosunek.

W tej drugiej interpretacji m ielibyśm y już do czynienia z jakim ś uogól­

nieniem lub osłabieniem zasady dwuwartościowości.

Istnieją pewne równoważniki lub bliskoznaczniki, w tym uogólnienia, osłabienia, sform ułowania cząstkowe zasady dwuwartościowości. Przede wszystkim, (11,2) i (11,3) są bliskie tzw. ostrem u (właściwemu) praw u wyłączonego środka, które nazyw a się czasem (systemowym) praw em dwuwartościowości klasycznego rachunku zdań:

p V ~ p (11,8), gdzie funktor główny stanowi alternatyw ę rozłączną. Do­

kładniej jednak mówiąc, właściwym odpowiednikiem (11,2) lub (11,3) jest odpowiednik metalogiczny praw a (11,8), czyli:

Dla dowolnego zdania Z: albo Z jest prawdziwe, albo r~ Z ' jest praw ­ dziwe (11,9), gdzie ,,albo ... albo ...” jest potocznym odczytaniem funk- tora alternatyw y rozłącznej a r...1 to quasi-cudzysłowy. Zasada dw uw ar­

tościowości (11,3) — że posłużymy się już tylko tym w ariantem — jest

L O G I K A A W A R T O Ś C I L O G I C Z N E

rów now ażna z (11,9) na gruncie następującego m etapraw a o związku m ię­

dzy w artością logiczną (prawdziwością) zdania i jego negacji:

f ^ Z 1 jest praw dziw e = Z jest fałszywe (11,10). O dnotujem y jeszcze rów ­ noważności :

Z jest fałszywe = Z nie jest praw dziw e (11,11), Z nie jest praw dziw e = Z jest nie-praw dziw e (11,12), Z jest nie-praw dziw e = ~ (Z jest prawdziwe) (11,13).

W nioski narzucają się na podstawie przechodniości równoważności i dualności term inów : prawdziwy, fałszywy. Rzecz jasna (11,8) stanowi przy tym koniunkcję praw a niesprzeczności klasycznego rachunku zdań:

~ (P ~ P ) (11,14) oraz „zwykłego” praw a wyłączonego środka tegoż ra ­ chunku :

p V ~ p (11,15). Analogicznie (11,9), jako m etalogiczny odpowiednik (11,8) jest rów now ażny koniunkcji metalogicznych odpowiedników (11,14) i (11,15), czego dla oszczędności już nie zap isu jem y 8.

Z drugiej strony, m etatezę (11,2) lub (11,3) zinterpretow ać można jako

„podziałowe” zdanie analityczne, stw ierdzające podział zdań ze względu n a przyjęte podstawowe wartości logiczne (albo odpowiednio — podział w artości logicznych zdań). Jest to podział binarny, dychotomiczny o ce­

chach adekwatności i rozłączności zapewnionych w sposób stricte logicz­

ny. W spom niane zdanie podziałowe to:

Zbiór zdań dzieli się na podzbiór zdań praw dziw ych i podzbiór zdań fał­

szywych (11,16); pozostańm y dla uproszczenia przy tym tylko sform uło­

waniu, choć można je przekształcać jak podane wyżej sform ułowania oraz uogólniać.

Zdanie (11,16) stanow i koniunkcję z (meta)zasad:

Zbiory: zdań praw dziw ych i zdań fałszywych wykluczają się (11,16.1);

Z b io ry : zdań praw dziw ych i zdań fałszywych dają sum arycznie zbiór zdań (11,16.2) — czyli zbiory: zdań praw dziw ych i zdań fałszywych dają w rezul­

tacie zbiór zdań (11,16) — a więc stanowi w arunki rozłączności i adekw at­

ności podziału zdań ze względu na ich podstawowe w artości logiczne 9.

Zauważmy, że (11,16.1), czyli w arunkow i rozłączności odpowiada (me- ta)zasada niesprzeczności a (11,16.2), czyli w arunkow i adekwatności — (me­

8 Ciekawe uwagi na temat: zasada dwuwartościowości — tzw. naczelne prawa logiki (tradycyjnej) znajdujemy u A. Zinowiewa (Filozoficzne problem y logiki w ie- low a rto śd o w ej. Warszawa 1963).

9 Matrycowe konstrukcje od strony podziału zdań ze względu na ich wartości omawia R. Suszko (Formalna teoria wartości logicznych I. „Studia Logica” 6:1957 s. 145-237). Autor stwierdza, że podział zdań na prawdziwe i fałszyw e nie wyklucza innych podziałów i związanych z nimi macierzy (s. 147).

4 —

49

ta)zasada wyłączonego środka (11,17). Uniwersum przy tym zredukow ane jest tutaj do zdaniowego totum divisionis. Ta odpowledniość m iędzy podzia­

łem logicznym, jego form alnym i własnościami i tzw. najw yższym i p ra­

wami logiki tradycyjnej jest interesująca sam a w sobie. Tutaj jednak jed­

no jest ważne: załatw iają” one w logice to samo, co czyni zasada dw u- wartościowości z jednej strony a w arunki poprawnego podziału zasto­

sowane do problem u podziału zdań ze względu na ich w artości — z d ru ­ giej. Dołóżmy jeszcze i to, że tę sam ą własność gw arantuje logice przy­

jęte u jej podstaw, na jej użytek obiegowe określenie zdania (a raczej w arunek konieczny bycia zdaniem ):

Zdanie jest to wyrażenie, które jest praw dziw e albo fałszywe (11,18)10.

W ymienione wyżej sform ułow ania (11,1) — (II,18) można precyzo­

wać, modyfikować, uogólniać i zacieśniać. Na przykład zamiast mówić o zdaniu prawdziwym i fałszywym (nie-prawdziwym), można mówić o zdaniu o takiej a takiej wartości logicznej, pow iadając na przykład:

Każde zdanie m a taką to a »taką w artość logiczną, albo m a nie-taką ta a taką wartość logiczną (11,19), O dnotujm y nadto i inne sform ułowania:

Dla dowolnego zdania Z: istnieje jakaś wartość logiczna w4 zdania Z z przyjętego w systemie zdań zbioru wartości W ] ,...^ (możliwy jest tu zbiór nieskończony wartości) (11,20). M etatezę (11,20) można nazwać zasadą wartościowania. Jej inna postać to:

Dla dowolnego zdania Z: istnieje dokładnie jedna wartość W; zdania Z z przyjętego w systemie S zbioru wartości wi,...,wn (nie w ykluczony jest zbiór nieskończony) (11,21). Bliższa wszakże uogólnieniu zasady dw uw ar- tościowości w ydaje się m etateza:

Każde zdanie Z albo m a jakąś (jedną) wartość W[ z przyjętego w S zbioru wartości wj,...,wn (ich zbiór może być nieskończony), albo Z nie ma wartości w t (II,22). Dokładniejsze w tym względzie przybliżenie daje m e­

tateza następująca:

Dla każdego Z: albo istnieje przyporządkow ana Z wartość vrt z przyję­

tego w system ie zbioru wartości wi,...,wn (zbiór ten może być nieskoń­

czony), albo istnieje wartość Wj zdania Z, gdzie j=^i (11,23) u .

Podkreślić należy, że można dysponować w system ie dwiem a tylko wartościami logicznymi, charakteryzow anym i jedynie formalnie, to jest bez merytorycznej interpretacji binarności, daje to także jakieś poszerze­

nie rozumienia zasady dwuwartościowości, choć bardzo słabe. Je st to w aż­

ne o tyle, o ile jakościowy charakter wartości logicznych nie należy do do­

10 Jeśli określić zdanie pragmatycznie jako pozytywne lub negatywne stwier­

dzenie, to można mówić także o pragmatycznych wartościach zdań.

11 Por. uwagi Reschera i Zinowiewa w tym względzie.

L O G IK A A W A R T O Ś C I L O G IC Z N E

m eny logiki. Brzmi to pozornie paradoksalnie. Logika form alna treściow ą charakterystykę w artości logicznych przyjm uje z sem iotyki (semantyki) lub teorii poznania, form ułując praw a o związkach między wartościam i logicznymi odpowiednich w yrażeń. To co się nazyw a w artościam i logicz­

nymi (zdań) m ożna więc zaliczyć, biorąc pod uwagę ich sens intuicyjny, do w artości epistemologicznych lub semiotycznych w yrażeń zdaniowych.

Można by godzić praw a logiki, w szczególności logiki zdań z różnymi koncepcjami podstawowych wartości zdań. Wiele w skazuje n a to. że logi­

ka form alna z zew nątrz przejm uje tezę o prawdziwościowym charakterze wartości zdań, o praw dzie i fałszu jako podstawowych w artościach zdań.

N iektórzy uważają, że praw a logiki form alnej — z logiką zdań na czele

— dają się uzgodnić z różnym i koncepcjam i praw dy. Jednak jest faktem, że przyjęta powszechnie w metodologii nauki sem antyczna definicja praw dy stanowi pew ne sform ułowanie odpowiadające klasycznej koncep­

cji praw dy.

To co powiedziano wyżej o form alnym oraz intuicyjnym , w tym głów­

nie prawdziwościowym charakterze dw u podstawowych w artości logicz­

nych daje się odnieść, acz nie bez sporych trudności, do w artości logicz­

nych w ogóle. Interpretacja wartości logicznych, jak zresztą i ich liczba, wiąże się z rozumieniem i liczbą funktorów logiki zdań, w szczególności jednoargum entow ych. Widoczne to było u Lukasiewicza, który w Ł3 (tak oznaczamy jego logikę trójwartościową) przyjm ow ał trzecią wartość zdań, a więc 1/2, jako możliwość, a z drugiej strony interpretow any możli- wościowo funk to r Mp. Sygnalizujem y tu tylko ten ciekawy p ro b le m 12.

Na zakończenie tego w ątku kilka uw ag na tem at rozum ienia w artości logicznych i spraw z tym związanych. W semiotyce elem entarnej i dy­

daktyce logiki w yrazy ..praw da”, „fałsz” lub pochodne tra k tu je się dla uniknięcia zarzutu hipostazow ania jako skróty w yrażeń: „zdanie praw ­ dziwe”, „zdanie fałszyw e”. P rzy takim ujęciu prawdziwość i fałśzywość stanow ią pew ne cechy relatyw ne zdań, traktow ane jako ich własności semantyczne. Niekiedy zamiast o własnościach zdań mówi się o klasach zdań. N atom iast przy ujęciu m atrycow ym wartości oznaczone jako 1, 0 są elem entam i m atrycy przyporządkow anym i w yrażeniom zdaniowym przez pew ne funkcje zwane wartościowaniam i. Tyle o metajęzykowych sposobach użycia w yrażeń praw da, fałsz lub symboli 1, 0.

Oprócz tego należy odróżnić zastosowanie symboli 1, 0 dla oznaczenia pew nych stałych systemów logiki zdań, mianowicie stałego zdania praw ­

12 Por. J. Ł u k a s i e w i c z . O w ielow artościow ych system ach rachunku zdań.

W: Z zagadnień logiki i filozofii. Pism a w ybrane. Warszawa 1961 s. 144-163, a zw ła­

szcza s. 143 n., 153.

51

dziwego 1 i stałego zdania fałszywego 0. Tylko przy takim sposobie uży­

cia wym ienionych symboli wolno mówić w sensie ścisłym o podstaw ianiu stałych 1 lub 0 za zmienne zdaniowo pi,...,pn. Podobnie funkcjonują, zamiast w yrażeń p /l, p/0 stosowane w praktyce logicznej, choć nie prefe­

row ane teoretycznie, zapisy w rodzaju: p = l , p = 0. N atom iast w po­

przednio wym ienionych przypadkach dopuszczalne jest jedynie przypo­

rządkowanie wartości zdań jako ich własności relatyw nych, klas lub w ar­

tości m atrycowych wyrażeniom o charakterze zdaniowym.

Niestety w niektórych ujęciach m iesza się wyszczególnione wyżej sposoby rozumienia i użycia wartości logicznych. Dla uniknięcia niepo­

rozumień należałoby ich stosowanie w yraźnie zróżnicować kontekstowo lub przyjm ując dla nich odmienne symbole. Problem atyka ta wchodzi poniekąd w sam ą filozofię logiki (zdań). Ja k ją, a więc jej zm ienne i ich wartości, rozumieć -— językowo, zdarzeniowo, czy metajęzykowo, czy jeszcze jakoś inaczej? Na szczęście tego typu kw estie nie m ają bezpo­

średniego w pływ u na samo funkcjonow anie rachunków logicznych.

(III) Problem atyka tytułow a posiada pew ne nie uwzględnione dotąd aspekty. Zwrócenie na nie uwagi pozwoli doświetlić niektóre bardziej szczegółowe sprawy i dzięki tem u usunąć pew ne nieporozumienia.

N ajpierw konstrukcja m atrycow a logiki wielowartościowej z uwzględ­

nieniem m atrycy dwu wartościowej. Otóż, dzieje się ta k w łaśnie w syste­

mach Łukasiewiczowskich, gdzie:

Zachowane zostają stare klasyczne wartościowania w Ł-system ach (tak określamy system y Lukasiewicza), dołączają się tylko do nich przypo­

rządkowania wartości związane z wprowadzeniem wartości nowych, po- zaklasycznych; tak tedy stara m atryca MK (klasyczna) danego funktora (funkcji) F pozostaje stając się częścią właściw ą m atrycy nowej MŁ

(111,1) . .

D zięki'ł takiem u założeniu sem antycznem u w swych wielowartościo- wych system ach mógł ich autor posługiwać się dotychczasowymi sym ­ bolami funktorów i zapewnić — przynajm niej z dokładnością do tej czę­

ści wspólnej jaką stanow iła MK — ciągłość sensu stałych klasycznych i nieklasycznych (wielowartościowych), co daje tym sam ym podstaw ę do międzysystemowych ujęć kom paratyw nych (111,2). Zasadę w yrażoną w (III. 2) i odpowiednio uogólnioną nazwać można Łukasiewiczowskim po­

stulatem zachowania K-w artościowań funktorów w n-w artościow ych NK- konstrukcjach matrycowych.

Wobec (111,1) i (111,2), klasyczne form uły logiki obowiązują nadal w branych tu pod uwagę Ł-systemach. Dokładniej rzecz biorąc:

W szystkie logiczne K-form uły, czyli klasyczne, w tym KŁ — na przy-

L O G IK A A W A R T O Ś C I L O G IC Z N E

klad K £N — są w dalszym ciągu ważne w omawianego ty p u NKŁ-w ie- low artościow ych konstrukcjach, form ułach będących odpowiednikam i K (Kł ),

zakresie dokładnie odpow iadającym K (KŁ)-wartościowaniom par argum entów i funkcji (III.3). Inaczej i prościej mówiąc:

W szystkie form uły ty p u NKL są spełnione w zakresie odpowiadającym wartościowaniom ich klasycznych — K (K J-odpow iedników (111,4).

To co powiedziano ilu stru ją tabele: dla funktorów u n a rn y c h ; gdzie

N i C to znaki klasy typy egzempl.

negacji i im plika­ w a r­ W(p) Wf(p) w a r­ z Ł3

cji (w oryginalnej tość. tość. dla Np

notacji Łukasiew i-

k ! K K K N I NO

czowskiej), sens in­

k g K NK NK 0 1

nych oznaczeń da­

k i NK K NK N i

je tu w zasadzie

kontekst; oraz dla k j NK NK NK

funktorów dw uargum entow ych tabela (oznaczenia analogiczne):

klasy w ar- tdśc.

W(p) W(q) Wf(p,q) typy w ar­

tość.

egzempl. z Ł3 dla Gpq

k i ^{K K K K} C li CIO C01 COO

1 0 1 1

k j K NK K NK c o i

1

k

NK K K NK cii

i

k 1 NK NK K N K CU

1

k s K K NK NK cii

1

k e K NK NK NK

k? NK K NK NK Cio

X

k f N K NK NK N K

(111,6).

53

Tabele (111,5) i (111,6) suponują proste określenie:

W artościowanie jest klasyczne = odpowiednie wartości w yrażeń złożo­

nych (funkcji) oraz wszystkich argum entów tychże w yrażeń są klasycz­

ne (111,7). W pozostałych przypadkach — w naszych tabelach: k* — k]

oraz k | — k | — m am y do czynienia z różnego typu NK — w artościo­

waniami. Wskazane klasy wartościowań można ująć w hierarchię kla­

syfikacyjną nadając poszczególnym jej elem entom odpowiednie naz­

wy. Dodajmy jeszcze, że nie wszystkim w yodrębnionym kj-klasom dają się przypisać odpowiednie przykłady wziętego tu pod uw agę system u Ł3.

Fakty tu zasygnalizowane byłyby lepiej uwidocznione i budziłyby mniej nieporozumień, gdyby pisać jakieś indeksy-,,kw antykw alifikatory”

przy odnośnych wzorach, na przykład tak:

(p v ~ p )K (111,8). Można by w tym że celu użyć też kw antyfikatorów w ią­

żących zmienne (wartościowościowe):

w<A.

(p v ~ p ) zdaniowe (111,9), gdzie w(p) to w artość zdania p. Form uły (111,8) i (111,9) są więc nadal ważne w zakresie identycznym z dotychcza­

sowym. Jeśli dojdą tu nowe możliwości wartościowań, to nie przekreśli to starych, podobnie jak one nie przekreślają nowych. P raw o (ostre) w y­

łączonego środka dla wartościowań nieklasycznych w yglądałoby na przy­

kład tak:

(p v ~ p )NK (111,10). Wzór zaś pretendujący (podkreślamy to) do ogólnej ważności pisany byłby bez wskaźników:

p v ~ p (111,11), czyli (11,8), lub też ze wskaźnikiem K,NK:

( p v ~ p ) K , N K

(HI,12), gdyż:

(p v ~ p )K,NK w tedy i tylko wtedy, gdy (p v ~ p )K i (p v ~ p )NK (111,13).

Gdyby o tym wszystkim pamiętać, fenom en logiki wielowartościowej w y­

glądałby może mniej sensacyjnie.

Co wszakże dalej ze spełnialnością form uł wielowartościowych, przy­

najm niej w logikach typu Ł3 i w sytuacjach wartościow ania NK lub K,NK? I tu taj nie jest tak, jak się to czasem sugeruje lub obiegowo pow­

tarza. W każdym razie, jeśli próbuje się dezabsolutyzować (nazwijm y to tak z braku lepszego term inu) przyjęte klasycznie w artościow ania for­

muł, nie można — tym sam ym — absolutyzować w artościow ań nowych, zresztą w pew nym zakresie dość dowolnych. Trudno tu bowiem o sta­

nowczy w ybór kryteriów . Wolno więc starać się dostosować w artościow a­

nia typu NK do K-wartościowań, tzn. dobrać je tak, by ogólnie ważne — K, NK — były odpowiednie formuły, np. prawo wyłączonego środka i niesprzeczności, a tym sam ym systemowy odpowiednik zasady dw u­

wartościowości, czyli ostre prawo wyłączonego środka (111,14).

Jest to możliwe, przynajm niej dla pew nych system ów w ielow artoś-

L O G IK A A W A R T O Ś C I L O G IC Z N E

ciowych, i to zdawałoby się tak niewdzięcznych, jak Ł3. Był on bo­

wiem konstruow any przez Łukasiewicza m atrycow o jakby specjalnie po to, aby podważyć tzw. najw yższe praw a logiki (tradycyjnej). Realizuje się w pew nym zakresie (111,14) zachowując w szczególności starą i b a r­

dzo n atu ra ln ą definicję:

p V q = d f ~ p —> q

(111,15), którą Łukasiewicz odrzucił zastępując ją tylko im plikacyjnym , lecz dłuższym odpowiednikiem ważnym także w logice dwuwartościowej 13;

p V q — df (p-*q)-»-q (111,16). Twórca Ł3 wolał to zrobić niż zmienić pro­

wadzące do odrzucenia (111,15) wartościowania:

W(£ v ł ) = i (HI. 17),

W (~ '> -» ł)= h (111,18). a tym samym:

W ( ~ i ) = 4 (111,19).

W (i-> 2 )= 1 (111,20). Podobnie ze względu n a (111,17) i (111,19) odrzucił praw o wyłączonego środka, które dla p / i m a w artość i , z powodu zaś (111,19) oraz ze względu na W ( łA ł) = i przestało — jak się pow iada — obowiązywać dla K, NK prawo niesprzeczności, które przy p / i przecho­

dzi w j.

Tymczasem przy zmienionym w artościow aniu:

W (| V i ) = l (111,21) zachowuje się w krytycznym podstaw ieniu (zwykłe) prawo wyłączonego środka, gdyż:

W (4v ~ ł ) = W (i vi)= 1 (IH,22), i podobnie — prawo niesprzeczności, gdyż:

W [ ~ ( i A ~ ł ) ] = W [ ~ ( łA ł) ] = W (~ 0) = l (111,23), oczywiście przy założeniu:

p A q = d f ~ ( ~ p v ~ q ) (III,24). Ja k widać, systemowy odpowiednik zasa­

dy dwuwartościowośei. praw o ostre wyłączonego środka zachowuje się w tak zm odyfikowanym Ł3 jako koniunkcja praw wyłączonego środka i praw a niesprzeczności. P rzyjęte w artościow ania funktorów w ydają się intuicyjne — zwłaszcza (111,21) — i nie dają rażących konsekwencji w zakresie nas tu obchodzącym, choć na pewno nie są jedynie możliwe do zaakceptow ania u .

System logiczny może być, ja k wiadomo, zadany „syntaktycznie”, jako

14 Inny wariant wartościowań zachowujących p y ~ p i ~ ( p ~ p ) podaje J.M. Bo­

cheński (La vraie logiąue. W: La verite. A ctes du X Iie Congres des Societes de Phi- losophie de Langue franęaise. B ruxelles—Louvain 22-24 aout 1964. Louvain—Paris 1965 s. 69-83, 77-78). Zob. też A.N. P r i o r . Formal Logic. Oxford 1962 s. 243 (w przyp. 1 odwołuje się do swojego artykułu Three-valued Logic and Futurę Con- tingents z ..Philosophical Quarterly” 3:1953 s. 317-328).

55

aksjom atyczny bądź założeniowy rachunek, lub scharakteryzow any „se­

m antycznie”, matrycowo — dw u lub więcej wartościowo. Optym alnie oba typy ujęć pokryw ają się. Mówi się wtedy, że system czy rachunek posiada m atrycę adekwatną, określoną z grubsza t a k 15:

Matryca M jest adekw atna względem rachunku R o aksjom atach A i dy­

rektyw ach D = zbiór tez T stanowiących konsekwencje system u (A, D) jest identyczny ze zbiorem w yrażeń spełnionych w M, czy zbiorem E(M) (111,25). Określa się funkcjonalną, czyli definicyjną pełność takiego syste­

m u (rachunku):

Rachunek R o aksjom atach A dyrektyw ach D jest definicyjnie pełny =

= m inim alna m atryca adekw atna jest dla R funkcjonalnie pełna (111,26).

Mówiąc prościej, dowolna zadana matrycowo funkcja system u (rachunku) jest definiowalna przez funkcje zbudowane z innych term inów niż dana, w ostateczności z term inów pierw otnych, tak właśnie określonych m atry­

cowo, by definiowały wszystkie inne.

System y istotnie wielo wartościowe nie m ają — jako całość — dwu- wartościowej m atrycy adekw atnej i na tym polega ich zasadnicza wielo- wartościowość (111,27). Tak jest np. z wielowartościowością Ł3.

Można jednak wyodrębnić część takiego systemu, dla którego istnieje m atryca adekw atna dwuwartościowa i w tym sensie jest on — częściowo

— dwuwartościowy (111,28). Dobrze jest, jeśli istnieje m etoda przeprow a­

dzenia takiego wyodrębnienia, np. odpowiedni podział aksjom atów. Dla rachunku trójwartościowego funkcjonalnie pełnego zrobił to J. S łu p e ck i16.

Mocniej honorują dwuwartościowość — powiedzmy tak prowizorycz­

nie — system y wielowartościowe tej klasy co L4 (tak sygnujem y rachu­

nek cztero wartościowy, tzw. Ł-modalny J. Łukasiewicza); jest to system otrzym any z dwuwartościowego mnożeniem m atryc dwuwartościowych m etodą S. Jaśkowskiego; dlatego nazwiem y go wielowartościowym, ale dwuwartościowo-pochodnym, generowanym binarnie (111,29). Nie m iejsce tu na opis ogólny tej m etody (pomijamy tu całkowicie inną m etodę Jaś­

kowskiego — konstrukcji m atryc n + l-w artościow ych na podstawie n-w artościow ych)17.

15 Dokładniejsze określenia tego i innych wchodzących w grę logicznoformalnych pojęć zawiera literatura przedmiotu. Zob. np. J. P o g o r z e l s k i . K lasyczny rachu­

nek zdań. Zarys teorii. Wyd. 2. Warszawa 1973; R. W ó j c i c k i . M atrix Approach in M ethodology of Sentential Calculi. "Studia Logica” 32:1973 s. 7-37; pracę R. Susz­

ki już wspomniano w przyp. 9.

16 Pełny trójw artościow y rachunek zdań. Lublin 1946 (odb. z „Annales Univ.

M. Curie-Skiodowska” s. 200 n.; chodzi o rachunek R, w którym zachowane są od­

nośne prawa klasyczne.

17 Zob. Z i n o w i e w. Filozoficzne problem y s. 40-47.

L O G I K A A W A R T O Ś C I L O G I C Z N E

Najprościej zresztą ująć — w sposób zasadniczo rów now ażny -— sens i genezę takiej logiki czterowartościowej in terp retu jąc cztery funktory jednoargum entow e logiki klasycznej, dokładniej zaś odpowiadające im uporządkowane pary utw orzone z podstawowych w artości 1 i 0: (1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0) jako cztery now e w artości — oznaczone odpowiednio (np. przy pomocy liczb: 1, 2, 3, 4) — logiki czterowartościowej (III.30).

Spraw dzanie w yrażeń A (formuł) zdaniowych złożonych tego rachunku jest

— podkreślm y to — ostatecznie sprowadzalne do operacji na dw u w ar­

tościach logicznych w ziętych z odpowiednich p ar podstawowych wartości klasycznych (111,31).

W Ł4 obowiązują w szystkie tezy klasycznego rachunku zdań (111,32).

Inne tezy d ają się spraw dzić w najdalszej instancji w oparciu o m atryce klasyczne, właśnie ze względu na binarnogenną konstrukcję wartości tej logiki (111,33). Czteroelem entowy zbiór wartości, powiedzmy (1, 2, 3, 4), dzieli się na podzbiór dwu wartości „skrajnych” : (1, 4) oraz podzbiór dwu w artości ,,środkow ych” : (2, 3). W artości z każdego z tych podzbiorów są względem siebie w analogicznej opozycji form alnej, takiej zresztą jak opozycja b inarna wartości wyjściowych, podstawowych: 1—0. Gdyby trzym ać się intuicji prawdziwościowych, to m ożna by tu — choć rzecz to dyskusyjna — dopatrzeć się jakby dw u gatunków zdań praw dziw ych i dw u gatunków fałszywych 18.

Form alnie rzecz biorąc, wszystkie takie •—■ cztero, ośmio, szesnasto itd. -wartościowe — system y są spełnione przez m inim alną dw uw artoś- ciową m atrycę adekw atną; bezpośrednio w przypadku wzorów rów no- kształtnych z klasycznymi, a pośrednio tylko n a zasadzie wspomnianego generow ania dla podzbioru form uł zaw ierających nowe stałe logiczne (111,34). Stąd można mówić, że są to z pewnego p unktu widzenia rachunki w ielowartościowe nieistotnie, bardziej — jeśli wolno stopniować — dwu niż więcej wartościowe (111,35).

Interesujący, do szczegółowego zbadania, jest tu związek pomiędzy Ł4 a Ł3 (lub ich uogólnieniam i)19. Pom ijam y tu — i wyżej — ten aspekt wielowartościowych — skądinąd — rachunków , który polega na tym, że po skreśleniu nowych, wyznaczonych now ym i w artościow aniam i funkto- rów m odalnych (ew entualnie zastąpieniu ich odpowiednimi funktoram i klasycznym i) otrzym uje się z tautologii danego system u tautologie syste­

mu klasycznego 20.

18 Na przykład prawdziwych koniecznych i prawdziwych kontyngentnych oraz analogicznych fałszywych.

19 Por. w związku z tym: B o c h e ń s k i , jw. s. 80-81.

20 Pominięto tu pewien aspekt dwuwartościowości systemów S1-S5, w których zachowane są odpowiednie prawa logiki klasycznej (por. s. 45 przyp. 3).

57

(IV) Podsumowując uwagi dotychczasowe możemy powiedzieć, że:

Nie m a w istocie zasadniczego antagonizmu między, tak czy inaczej rozu­

m ianym i form alnie i interpretow anym i .treściowo, system am i wielo- wartościowymi a logiką dw u wartościową; taik przynajm niej spraw ę tę można postawić i zrozumieć (IV, 1). Za podstawową zaś rolą dw uw artoś- ciowości w tym — uzgodnionym w zasadzie układzie — przem aw ia wie­

le. Zwłaszcza to, że gdzieś — u podstaw lub na jakim ś poziomie m eta- refleksji, do którego się ostatecznie odnosimy, m yślim y najprościej, bi­

narnie. Tak jest zapewne w poznaniu potocznym (niech zresztą rozstrzy­

gają to znawcy — psychologowie i gnozeologowie), które jest przecież praźródłem, prazbiorowiskiem i ostatecznie poznawczym odniesieniem wszystkich typów wiedzy.

W tej końcowej części w arto posunąć podjęty tu tok myślowy jeszcze dalej. Spróbujm y najpierw postawić w yraźnie i wyeksplikować tezę, któ­

rej treść przew ijała się w toku dotychczasowych rozważań:

Obie podstawowe wartości zw ane logicznymi, przyjm ow ane w logice, tj.

praw da i fałsz (przyjm ujem y tę interpretację klasyczną, choć uwagi te mogą mieć sens nieco ogólniejszy) nie są w stosunku do siebie równo­

rzędne; pierw otna jest prawda, prawdziwość, zdanie praw dziw e (IV,2).

W rzeczy samej, praktyka logiczna, zastosowania logiki i pew ne (me­

ta) wypowiedzi o niej w skazują n a (IV,2) — przynajm niej śladowo, jeśli nie wprost. Fałsz jest bowiem dyskwalifikowany, odrzucany, jest czymś zdecydowanie negatyw nym , wiązanym z tak czy inaczej rozum ianym nie­

istnieniem. Funkcjonuje drugorzędnie, pochodnie w stosunku do prawdy.

Jest jakby tylko po to, by dostarczyć jej opozycji, tła komparacyjnego.

O prawdzie zaś powiada się, że jest preferow ana, uznaw ana (stwierdza­

na), pozytywna, związana z istnieniem ; pierw otna. To względem niej określa się fałsz, przy czym nie o „tło” tylko chodzi. Fałsz niejako jest czymś bytowo mniej niż akcydentalnym , ze względu na zw iązanie z „ni­

cością”, a nie tylko z em pirycznym faktem błędu.

Gdy chodzi o form alne uhonorowanie statusu praw dy względem fał­

szu, wspomniane dopiero co postulaty semiotyczne pod adresem logiki są częściowo spełnione. Albowiem, po pierwsze, prio ry tet w wyliczaniu (symbolu) praw dy lub jej (jego) charakterystyki o tym już jakoś zaświad­

cza, jeśli dodatkowo kontekst to wzmacnia. Po drugie, określa się fałsz jako negację praw dy:

0 = ~ 1 (IV,3), czemu odpowiada (w sensie, którego tu nie dyskutujem y);

fl(p)= ~ v r(p ) (IV,4), gdzie fl, to falsum od p, v r — verum od p. Po trzecie, to co nazywa się tautologią jest wyrażeniem, które jest dla każdego w ar­

tościowania prawdziwym, sama etymologia nie w yróżnia tu praw dy, jest

L O G IK A A W A R T O Ś C I L O G IC Z N E

tu więc jakaś p referencja praw dy. Po czwarte, przym atrycow y lub w ew - nątrzm atrycow y znak (m eta)językowy (*) w skazuje zw ykle form alnie na praw dę jako w artość w yróżnioną ze względu n a m atryce system u. W praw ­ dzie byw ają i macierze z wieloma wartościam i wyróżnionymi, lecz brak dotąd w yraźnej ich interpretacji intuicyjnej 21; gdyby zaś była, pozostał­

by problem w artości wyróżnionej z wyróżnionych.

Dom ykając już zbiór tych uwag, stanowiących pew ną próbę ukazania podstawowego charakteru wartości logicznych praw dy i fałszu oraz za­

sadniczej ich bezkolizyjności wobec wielowartościowości, sform ułujm y jeszcze pew ne dodatkowe konkluzje a także refleksje nieco swobodniej­

szej natury.

Z dw u podstawowych wartości logicznych w yodrębnić należy w ar­

tość praw dy jako pierw otną (IV,5).

Fałsz, to w artość logiczna wtórna, uzyskana z pierw otnej przy pomocy pewnej operacji (IV,6). W rezultacie, zgodnie z tym co mówiono wyżej:

Zamiast dw u w artości podstawowych traktow anych często jako pierw ot­

ne, istnieje jedna, nazw ana odtąd pierw otną i jedna pierw otna operacja dotycząca praw dy, „fałszotwórcza” (IV,7). Odpowiednio do tego:

Symbole pew nych innych wartości niż praw da, przede w szystkim fałszu dadzą się konstruow ać w drodze analogicznego przekształcania przyję­

tego pierw otnie znaku praw dy (IV,8). Zakłada się tu, że:

Symbole w yrażeń są konwencjonalne, praw a logiki są względem ich kształtów inw ariantne. stąd możliwość odpowiednich przem ianow ań (IV,9).

Ale też dlatego:

można dobierać pożądane z racji pozakonwencjonalnych kształty wyrażeń lub ich układów (IV,10). W szczególności:

Dogodna jest pew na izom orfia między w yrażeniam i (ich układami) a ich odniesieniem pozajęzylkowym, tu taj — w artościam i logicznymi (ich ukła­

dami) (IV,11).

P rzyjm uje się tu pew ną pochodność (symbolu) fałszu względem (sym­

bolu) praw dy:

Fałsz (jego znak) jest odwrotnością praw dy, (jej znaku) (IV,12).

Zakłada się przy tym asym etrię znaku praw dy, co gw arantuje ,,niejało- wość” operacji odw racania (IV,13). Intuicja odwrotności, której nie sposób tu zgłębiać, nie w yklucza jakiegoś innego try b u generow ania (symbolu) fałszu z (symbolu) praw dy, np. przez zdwojenie znaku 1. Temu co powie­

dziano odpow iadają następujące równości:

21 Zob. np. B. S o b o c i ń s k i . A ksjom atyzacja pew nych w ielow artośeiow ych system ów teorii dedukcji. Warszawa 1936 (odb. z: „Roczniki Prac naukowych Zrze­

szenia A systentów Uniw. J. Piłsudskiego w Warszawie”) s. 2.

59

0 = R1 (IV,14), gdzie R to symbol pewnej operacji, rotacji (w przyjętym kierunku), tutaj „negatyw otw órczej” (może też być dająca zw ierciedlane odbicie jeśli nie inne), ściślej — (pół)rotacji o 180°, czyli — rotacji.

Z kolei wyeliminować można R, gdyż:

R l = I (IV,15).

Tym samym osiąga się tu sporą ekonomię: z jednego symbolu w ar­

tości pierw otnej i pierw otnej operacji R generuje się znaki pozostałych wartości zbioru, a przynajm niej fałszu. Dotyczy to tu w artości tzw. podsta­

wowych.

To co zwie się logiką dwuwartościową (zdań) jest ze względu n a R logiką swoiście jedno wartościową, o jednej wartości pierw otnej, choć logiką dwu wartości podstawowych (IV,16). Idea jest prosta i chyba dlatego mało uwyraźniona. Sprawdzanie form uł m etodą l — l jest jeszcze bar­

dziej tryw ialne niż jedynkowo-zerową (którą nie wiedzieć czemu nazywa się zerowo-jedynkową przy porządku 1—0). Poza tym :

Parę (1, I) można w raz z R w ykorzystać w konstrukcji prostych syste­

mów wielowartościowych; np. trójwartościowego o układzie wartości (lx, I, I), gdzie kreskę i otrzym uje się ^ -rotacją z 1; układ czterowar- tościowy uzyskać można transform ując wartość wyjściow ą n a trójw y­

miarową, tak by jej kolejne rotacje daw ały rezultaty widoczne na płaszczyźnie i odpowiednio wzajem nie co do kształtu, to jest oddające odnośne interopozycje wartości (IV, 17).

Inna idea do wykorzystania, to użycie znaków p lub p i

ew entual­

nie pochodnych jako odpowiedników wartości logicznych. N ajpierw : Literę p potraktować można jako wartość zm ienną (IV,18). Zakładam y też, że: W artości dzielą się na: wartości stałe i zm ienne (IV,19). I:

W artości zm ienne to tyle, co zmienne (IV,20). Założenie to pozwala także eliminować wartości zmienne (może le p ie j: ąuasi-w artości zmienne).

Pomyśleć tu można prostą logikę trójw artościow ą o układzie (1*, p, I), o wartości trzeciej, która przy spraw dzaniu form uł redu k u je się natych­

m iast do (1, I), czyli (1, 0) (IV,21).

Z drugiej strony, suponuje się równość:

q = Rp (IV,22), gdzie R jest znakiem (pół)rotacji (180°), a q wolno do­

godnie zinterpretow ać jako: zdanie-nie-takie-jak p (lecz odw rotne)22.

Można tu pomyśleć prosty system z układem (1, p, q, I) lub (11, p, q, II) (IV,23).

Daje się je sprowadzić do układu (11 II, II, II), analogicznego do

jach (czcionek) nader uproszczonych w stosunku do antykwy.

L O G IK A A W A R T O Ś C I L O G IC Z N E

(11, 10, 01, 00) lub (1, 2, 3, 4), uzyskanego znaną m etodą S. Jaśkowskiego (IV,24). Dopuszcza się tu wszędzie podstaw ienia jałow e: p/p.

Zam iast układu w artości (1. I) przyjąć m ożna układ (p, q) (IV,25).

Przy tym (ąuasi)wartość p jest w yróżniona (p*) (IV,25). W związku z tym : Spraw dzanie (w sensie pozytywnego rozstrzygania) form uły F polega na redukcyjnym uzyskaniu tautologizującego p po każdorazowym podsta­

w ieniu za zm ienne odpowiednich (ąuasi)wartości p, q — n a przykład w F (p,q): p/p, q/p; p/p, q/q; p/q, q/p; p/q, q/q (IV,27).

Je st to dostosowane do kontroli wartości syntaktycznej systemu, ich składności (spójności).

Powiedzm y naw et w y ra źn iej:

Spraw dzaniu form uł nadaje się charakter syntaktyczny (IV,28). A więc inaczej niż zwykle, a na pewno prościej. Podobnie zresztą:

Nie sem antycznie, lecz syntaktycznie rozumie się m atryce logiczne (IV,29).

Z aw ierają przecież, jak i sprawdzenia, quasi-w artości a zatem zmienne

— por. (IV,18). Z drugiej zaś strony, proponowana tu m etoda badania spójności jest inna niż Ajdukiewicza m etoda indeksów i przypom ina właśnie spraw dzanie:

Indeksowi ,,z” odpowiada tutaj zm ienna zdaniowa p w roli — odpowiada­

jąca — (ąuasi)wartości syntaktycznej zdania, bycia zdaniem; jedyna (co do kształtu) p podstaw ia się za zmienne form uły F(p1,...,pn), dokonuje się następnie redukcji, jak przy spraw dzaniu i otrzym uje na końcu p, gdy wszystko jest w porządku (IV,30).

Idee te można próbować uogólnić na pew ne sytuacje wielowartościo- we. Tymczasem jednak odnotujm y na tle powyższego proste i urzekające sform ułowanie (ąuasi)zasady dwuwartości:

Każde zdanie p albo m a (quasi)wartość p, albo q (IV,31). „Quasi”, bo:

W logice z (p, q) b rak w pewnym, standardow ym sensie wartości lo­

gicznych (IV,32).

Poruszony, zwłaszcza pod koniec, pobieżnie zestaw tem atyczny jest w niejednym dyskusyjny i daleki od właściwego ujęcia. W perspektyw ie po­

zostaje cały szereg tru d n y ch problemów, zwłaszcza do całościowego przed­

staw ienia, czy to będzie rotac ja w yrażeń złożonych i ciągów wartości, czy sym bolika funktorów izomorficzna względem przebiegów ich wartości sem antycznych (w rodzaju pom ysłu notacyjnego S. Leśniewskiego), czy też znane m.in. z prototetyki procedury otrzym ania form uł od wielu zm iennych z formuł od jednej zmiennej.

Zresztą całość problem atyki (meta)logicznej systemów wielowartościo­

wych logiki zdań (powiedzielibyśmy raczej logiki wartości zdaniowych)

— podkreślam y to raz jeszcze, w racając do uwag początkowych — nie

61

jest prosta i łatwa. Także odnośna opinia A. Mostowskiego (i analogiczne innych, wcześniej i później) z r. 194823, skądinąd wyważona, choć w pew­

nym sensie prodwuwartościowa, aktualizuje się niejako na coraz to no­

w ym etapie badań metalogicznych, pomimo osiągniętych (ogromnych) postępów, a może właśnie dzięki nim.

Pozostawia się tu w tlej przynajm niej pewne, podstawowe problemy binarności zdania-sądu, wzięte w aspekcie różnych jego charakterystyk i odniesień. A więc — kwestie binarności myśli, działań, zdarzeń. Rzecz charakterystyczna, fundam entalne kategorie filozoficzne układały się zawsze w „dwuopozycje”. W arto zwrócić osobno uwagę na ten krąg pro­

blemów semiotycznie (i oczywiście filozoficznie) doniosłych, ważnych także dla logiki, ze względu na jej naturę, interpretację, zastosowania.

23 Por. Logika m atematyczna. Warszawa—Wrocław 1948 s. 42-43.