Ogrzewanie wywołane przez nieliniowe straty energii dźwięku w płynach

Politechnika Gdańska

Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Katedra Fizyki Teoretycznej i Informatyki Kwantowej

Rozprawa doktorska

Ogrzewanie wywołane przez

nieliniowe straty energii dźwięku w płynach

Weronika Pelc-Garska

dr hab. Anna Perelomova, prof. nadz. PG

Gdańsk 2013

Pragnę podziękować wszystkim bez których niniejsza praca nie mogła by powstać.

Przede wszystkim mojej pani promotor, doktor habilitowanej Annie Perelomovej

za wszelką pomoc jaką mi udzieliła w czasie dotychczasowej współpracy, a zwłaszcza za cenne uwagi merytoryczne.

Składam serdeczne podziękowania profesorowi Sergiejowi Leble za wszelkie wskazówki i okazaną pomoc.

Spis treści

Spis tablic 4

Spis rysunków 6

1 Wstęp 7

1.1 Podstawowe prawa zachowania . . . 7

1.2 Podstawowe równania akustyki . . . 12

1.2.1 Fale proste . . . 12

1.2.2 Równanie Earnshawa . . . 13

1.2.3 Równanie Burgersa . . . 14

2 Metoda matematyczna 17 3 Ogrzewanie akustyczne w płynie z maxwellowskim lepkim ten- sorem naprężeń 21 3.1 Równania opisujące termolepki przepływ w płynie z relaksacją . 21 3.2 Definicje modów w przepływie płaskim o infinitezymalnej am- plitudzie . . . 24

3.3 Równania dynamiczne w przepływie słabo nieliniowym . . . 28

3.3.1 Słabo nieliniowe równanie dynamiczne dla dźwięku . . . 28

3.3.2 Generacja modu entropowego przez dźwięk dominujący. Ogrzewanie akustyczne. . . 29

3.4 Przykłady . . . 30

3.4.1 Ogrzewanie akustyczne spowodowane dźwiękiem stacjo- narnym . . . 31

3.4.2 Efektywność ogrzewania akustycznego, spowodowanego przez impulsy falowe . . . 31

4 Ogrzewanie akustyczne w gazie, w którym zachodzi reakcja chemiczna 36 4.1 Podstawowe równania . . . 36

4.2 Związki dyspersyjne w jednowymiarowym przepływie . . . 37

4.3 Przypadek wysokoczęstotliwościowy . . . 39

4.3.1 Seperacja równań . . . 40

4.4 Przypadek niskoczęstotliwościowy . . . 44

4.4.1 Separacja równań . . . 45

4.5 Przykłady . . . 46

4.5.1 Zmiany temperatury związane z modem entropowym wy- wołanym przez okresowy, wysokoczęstotliwościowy dźwięk 46 4.5.2 Zmiany temperatury związane z modem entropowym wy- wołanym przez impulsy o równej energii . . . 49

4.5.3 Zmiany temperatury związane z modem chemicznym . . 50

4.6 Wnioski . . . 51

5 Ogrzewanie (chłodzenie) akustyczne w rezonatorze wypełnio- nym gazem chemicznie reaktywnym 53 5.1 Podstawowe równania. Definicje modów w przepływie liniowym 53 5.2 Równania dynamiczne w słabo nieliniowym przepływie . . . 54

5.3 Pole akustyczne i związane z nim zjawiska nieliniowe . . . 55

5.3.1 Fale stojące i związane z nimi ogrzewanie przed formo- waniem się nieciągłości fali . . . 56

5.3.2 Fale w kształcie ”zębów piły” i związane z nimi ogrzewanie 58 5.4 Podsumowanie . . . 60

6 Płyn z pęcherzami. Nieliniowy wzrost promieni pęcherzy wy- wołany dźwiękiem 62 6.1 Równania opisujące płyn z pęcherzami . . . 62

6.2 Rozdzielenie dźwięku i modu entropowego w przepływie o nie- skończenie małej wielkości . . . 64

6.3 Sprzężone równania dynamiczne w przepływie nieliniowym . . . 66

6.4 Wzrost promienia pęcherza spowodowany dźwiękiem . . . 68

6.5 Wnioski . . . 72

7 Podsumowanie 75

Bibliografia 75

Spis tablic

6.1 Współczynniki β_i,jⁿ w równaniu fali akustycznej propagującej w płynie z pęcherzami . . . 67 6.2 Współczynniki ηⁿ_i,j w równaniu fali akustycznej propagującej

w płynie z pęcherzami . . . 68

Spis rysunków

3.1 Fala stacjonarna (linia pogrubiona) i odpowiadający jej wzrost temperatury (linia normalna). . . 32 3.2 a) Początkowe kształty fali (Na podstawie równania 3.51). b),c),d)

Zmiany temperatury, wywołane przez przez fale z punktu a), dla różnych wartości współczynnika τ = ωτ_R. . . 34 3.3 a), c), e) Początkowe kształty fal, wyznaczone na podstawie

równania (3.52). b), d), e) Zmiany temperatury spowodowane przez fale z przykładów a), c), e), dla różnych wartości współ- czynnika τ = ωτ_R. . . 35 4.1 Bezwymiarowe zmiany temperatury dla dodatnich i ujemnych

wartości B_∞^∗ . . . 48 4.2 a) Początkowe kształty fal zgodne z równaniem (4.45) i b) bez-

wymiarowe zmiany temperatury otoczenia, wywołany przez trzy impulsy z równania (4.45), kiedy B_∞^∗ =−0.005 . . . 49 5.1 Prędkość i zmiany gęstości w fali stojącej powstającej w rezo-

natorze wypełnionym gazem, w którym zachodzi reakcja che- miczna, dla różnych czasów mniejszych od charakterystycznego czasu powstania nieciągłości. . . 57 5.2 Fale w kształcie ”zębów piły” wyznaczone na podstawie równań

(5.17) . . . 58 5.3 Prędkość i zmiany gęstości w fali stojącej powstającej w rezo-

natorze wypełnionym gazem, w którym zachodzi reakcja che- miczna, dla różnych czasów większych od charakterystycznego czasu powstania nieciągłości i dla różnych wartości współczyn- nika b. . . 59 5.4 Ewolucja bezwymiarowej energii dla różnych współczynników b. 60 6.1 a) Rozwiązanie równania (6.17), dla t = 0.01. b) Zmiany gęsto-

ści modu entropowego opisany przez równanie (6.20), dla t = 0.01. 71

6.2 a) Stacjonarne rozwiązanie równania (6.17), _3D^ε ρ₁(ξ)≡ ϕ(ξ), b) zmiany gęstości modu entropowego, _9D3^ε_(ε²₋₂₎ρ3(ξ) ≡ ∫_ξ

∞ϕ^d_dξ^3ϕ3dξ (równanie 6.24). . . 71

Rozdział 1 Wstęp

1.1 Podstawowe prawa zachowania

Tematem niniejszej rozprawy doktorskiej jest ogrzewanie wywołane przez nie- liniowe straty energii dźwięku w płynach. Ogrzewanie akustyczne będzie tu rozumiane jako wzrost temperatury ośrodka, spowodowany stratami energii fali dźwiękowej w nim się rozchodzącej. Punktem wyjścia do wszystkich anali- tycznych rozważań, które zostaną przedstawione w niniejszej pracy będą pod- stawowe równania zachowania. W niniejszym rozdziale zostaną przedstawione prawa zachowania masy, pędu i energii, a także zostaną wyprowadzone równa- nia zachowania w postaci różniczkowej, które będą używane w dalszej części pracy.

Masę zawartą w pewnej ustalonej objętości płynnej V można zdefiniować jako następującą całkę:

M =

∫

V

ρdV, (1.1)

gdzie ρ jest gęstością płynu, będącą funkcją promienia wodzącego opisującego obszar zajmowany przez płyn ⃗r i czasu t, ρ(⃗r, t). Można wówczas sformułować następujące prawo [46]:

„Zmiana w czasie masy w objętości płynnej jest równa zero” ’ które można zapisać: ∫

V

(dρ

dt + ρ ⃗∇ · ⃗v )

dV = 0, (1.2)

W równaniu (1.2) operator d/dt jest operatorem pochodnej substancjalnej:

d dt = ∂

∂t + ⃗v· ⃗∇, (1.3)

gdzie ⃗v jest wektorem prędkości płynu. Korzystając z (1.3) i prostych prze- kształceń matematycznych, otrzymano różniczkową postać zachowania masy:

∂ρ

∂t + ⃗∇ · (ρ⃗v) = 0. (1.4)

Prawo zachowania pędu można sformułować następująco [46]:

„Szybkość zmian pędu w dowolnej ustalonej objętości płynnej V jest równa sumie sił masowych, działających na tę objętość oraz sił powierzchniowych,

działających na powierzchnię płynną S.”

Prawo to można zapisać w postaci:

d dt

∫

V

ρ⃗vdV =−→

F_V +−→

F_S. (1.5)

Symbolem −→

FV w równaniu (1.5) oznaczono siły masowe działające na objętość płynną. Do takich sił zalicza się siły działające na elementy płynu i propor- cjonalne do masy płynu, np. siły grawitacyjne. Jeżeli wyrazić je gęstością rozkładu sił [46]:

f = lim⃗

△m→0

△−→

F_V

△m = 1 ρ lim

△V →0

△−→

F_V

△V = 1 ρ

d−→

F_V

dV , (1.6)

to otrzymujemy:

−→F_V =

∫

V

ρ ⃗f dV. (1.7)

Z kolei symbol−→

F_S w równaniu (1.5) oznacza siły powierzchniowe działające na powierzchnię płynną S, których gęstość można zdefiniować następująco [46]:

−

→p_n= lim

△S→0

△−→

F_S

△S = d−→

F_S

dS , (1.8)

czyli

−→F_S =

∫

S

−

→p_ndS. (1.9)

Wektor −→p_n zależy nie tylko od punktu w przestrzeni, ale również od zorien- towania elementu powierzchni wektorem normalnym ⃗n. Przez dany punkt w przestrzeni może przechodzić nieskończenie wiele elementów powierzchni

∆S, którym będą odpowiadały różne wektory −→p_n. Jeśli za element płynu przyj- mie się element płynu w kształcie czworościanu o wymiarach dx, dy, dz we współrzędnych kartezjańskich na tyle małych, że można gęstość rozkładu sił

powierzchniowych na każdej ze ścian potraktować jako stałe, to wówczas ozna- czając objętość czworościanu jako dV , jego masę jako ρdV , można równanie (1.5) zapisać w postaci:

ρd⃗v

dtdV = ρ ⃗f dV + −→p_ndS_n− −→p_xdS_x− −→p_ydS_y − −→p_zdS_z. (1.10) Ujemne wartości wektorów −→p_x, −→p_y, −→p_z wynikają ze skierowania wersorów nor- malnych −→nx, −→ny, −→nz odpowiednich elementów powierzchni Sx, Sy, Sz przeciw- nie do kierunku osi x, y, z. W granicy dV −→ 0 otrzymano lokalną zależność:

−

→p_ndS_n= −→p_xdS_x+ −→p_ydS_y + −→p_zdS_z. (1.11) Wektor −→p_n można zapisać w postaci:

−

→p_n = −→p_xn_x+ −→p_yn_y + −→p_zn_z = T⃗n, (1.12) gdzie T jest tensorem naprężenia, ⃗n = n_x⃗i+n_y⃗j+n_z⃗k jest wersorem normalnym do powierzchni. Zatem równanie (1.5) można zapisać w postaci:

d dt

∫

V

ρ⃗vdV =

∫

V

ρ ⃗f dV +

∫

S

−

→p_ndS. (1.13)

Następnie korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego:

∫

S

−

→p_ndS =

∫

S

T⃗ndS =

∫

V

DivTdV, (1.14)

gdzie przez Div oznaczono dywergencję tensora, otrzymujemy:

∫

V

( ρd⃗v

dt − ρ ⃗f − DivT )

dV = 0, (1.15)

co prowadzi do różniczkowej postaci równania zachowania pędu:

ρd⃗v

dt = ρ ⃗f + DivT. (1.16)

Gdy nie ma naprężeń stycznych, a istnieje tylko naprężenie normalne, tensor naprężeń ma wartości niezerowe tylko na głównej przekątnej i można zapisać następującą równość:

−

→p_n =−p⃗n, (1.17)

gdzie przez p oznaczano ciśnienie. Wówczas równanie (1.16) przybiera postać:

ρd⃗v

dt = ρ ⃗f − ⃗∇p, (1.18)

znane jako równanie Eulera [4].

W modelu płynu lepkiego newtonowskiego występuje „lepki tensor naprężeń”

w następującej postaci [19], zapisany w konwencji Einteina:

σ_ik = η (∂v_i

∂x_k +∂v_k

∂x_i − 2 3δ_ik∂v_l

∂x_l )

+ ζδ_ik∂v_l

∂x_l, (1.19) gdzie η, ζ to odpowiednio współczynniki lepkości kinetycznej i dynamicznej.

Uwzględniając, że: ∂v_l/∂x_l ≡ ⃗∇ · ⃗v, ∂²v_i/∂x²_k ≡ △vi, równanie (1.16) przyj- muje następującą postać dla płynu lepkiego newtonowskiego:

ρd⃗v

dt =−⃗∇p + η△⃗v +( ζ + η

3

)∇(⃗∇ · ⃗v).⃗ (1.20)

Przy założeniu nieściśliwości cieczy, otrzymuje się dobrze znane równanie Naviera- Stokesa:

ρd⃗v

dt =−⃗∇p + η△⃗v. (1.21)

Lepki tensor naprężeń dla cieczy nieściśliwej przybiera następującą postać:

σik = η (∂v_i

∂x_k +∂v_k

∂x_i )

. (1.22)

Oczywiście istnieje szereg płynów, których tensorów naprężeń lepkich nie da się opisać za pomocą wzorów (1.22) czy (1.19), np. płyny reologiczne takie jak krew, czy tkanki biologiczne. W rozdziale 3 niniejszej pracy rozważono przykład takiego nienewtonowskiego płynu, który jest dobrym modelem tkanek biologicznych.

Prawo zachowania energii można sformułować następująco [46]:

Zmiana w czasie całkowitej energii wewnętrznej w objętości płynnej V jest równa sumie mocy sił masowych, mocy sił powierzchniowych oraz

strumieniowi energii wypływającemu z objętości płynnej, co można zapisać w postaci następującego równania zachowania energii :

d dt

∫

V

ρ (⃗v²

2 + e )

dV =

∫

V

ρ ⃗f⃗vdV +

∫

S

−

→p_n⃗vdS−

∫

S

J⃗⃗ndS, (1.23)

gdzie wektor ⃗J jest natężeniem strumienia ciepła, przez e oznaczono energię wewnętrzną. Po zamianie całek powierzchniowych na objętościowe:

∫

S

−

→p_n⃗vdS =

∫

S

(T⃗n)⃗vdS =

∫

S

(T⃗v)⃗ndS =

∫

V

∇ · (T⃗v)dV,⃗

∫

S

J⃗⃗ndS =

∫

V

∇ · ⃗JdV,⃗ możemy równanie (1.23) zapisać w następującej postaci:

∫

V

[ ρd

dt (⃗v²

2 + e )

− ρ ⃗f⃗v − ⃗∇ · (T⃗v) + ⃗∇ · ⃗J ]

dV = 0, (1.24) co prowadzi do różniczkowej postaci równania zachowania energii:

ρd dt

(⃗v² 2 + e

)

= ρ ⃗f⃗v + ⃗∇ · (T⃗v) − ⃗∇ · ⃗J. (1.25) Po pomnożeniu skalarnie przez ⃗v równania (1.16) i odjęciu go stronami od równania (1.25) otrzymuje się:

ρde

dt = ⃗∇ · (T⃗v) − ⃗vDivT − ⃗∇ · ⃗J, (1.26) przy czym:

∇ · (T⃗v) − ⃗vDivT ≡ T : ⃗∇⃗v + ⃗vDivT − ⃗vDivT = T : ⃗∇⃗v,⃗

gdzie symbolem „:” oznaczono iloczyn wewnętrzny Frobeniusa. Korzystając z prawa Fouriera dla strumienia cieplnego:

J =⃗ −χ⃗∇T, (1.27)

gdzie χ jest współczynnikiem przewodnictwa cieplnego, a T oznacza tempera- turę, można równanie (1.26) zapisać w następującej postaci:

ρde

dt = T : ⃗∇⃗v + χ△T, (1.28)

gdzie △ oznacza operator Laplace’a. Równanie zachowania energii w formie (1.28) zostało wykorzystane na przykład w rozdziale 3. Ostatecznie układ równań zachowania przyjmuje następującą postać:

∂ρ

∂t + ⃗∇ (ρ⃗v) = 0, ρd⃗v

dt = ρ ⃗f + DivT, (1.29)

ρde

dt = T : ⃗∇⃗v + χ△T.

Układ równań (1.29) należy uzupełnić o termiczne i kaloryczne równania stanu:

T = T (ρ, p),

e = e(ρ, p). (1.30)

1.2 Podstawowe równania akustyki

1.2.1 Fale proste

Pojęciem „fali prostej” definiuje się jednowymiarową falę rozchodzącą się w ga- zie doskonałym, bez lepkości. Zatem w niniejszym rozdziale będzie rozważany nielepki, jednowymiarowy przepływ wzdłuż osi OX. Wówczas pierwsze dwa równania z układu równań (1.29) przyjmują następującą postać:

∂ρ

∂t + ρ∂v

∂x + v∂ρ

∂x = 0, ρ∂v

∂t + ρv∂v

∂x + ∂p

∂x = 0. (1.31)

Energię wewnętrzną gazu doskonałego można wyrazić wzorem:

e = p

ρ(γ− 1), (1.32)

gdzie γ oznacza wykładnik adiabaty. Zatem:

de = dp

ρ(γ− 1)− pdρ

ρ²(γ− 1). (1.33)

W przemianie adiabatycznej zachodzi równość:

0 = T ds = de + pdv = de−pdρ

ρ² , (1.34)

gdzie s oznacza entropię. Z równań (1.33) oraz (1.34) otrzymano następującą zależność na prędkość dźwięku w gazie doskonałym:

c²₀ = (∂p

∂ρ )

s=const

= p₀ ρ0

γ. (1.35)

Definiując następująca funkcję [47]:

ϕ =

∫ ρ ρ0

c0

ρdρ =

∫ p p0

dp

ρc₀, (1.36)

z równania (1.36) otrzymano następujące równości:

∂ρ

∂t = ρ c₀

∂ϕ

∂t, ∂ρ

∂x = ρ c₀

∂ϕ

∂x, ∂p

∂x = ρc0

∂ϕ

∂x. (1.37)

Wstawiając te równości do (1.31) otrzymano układ dwóch równań:

∂ϕ

∂t + v∂ϕ

∂x + c₀∂v

∂x = 0,

∂v

∂t + v∂v

∂x + c₀∂ϕ

∂x = 0. (1.38)

Następnie, zastosowanie następujących wielkości:

ψ₊= 1

2(ϕ + c₀), ψ₋= 1

2(ϕ− c0), (1.39) prowadzi do następujących równań:

∂ψ₊

∂t + (v + c₀)∂ψ₊

∂x = 0,

∂ψ₋

∂t + (v− c0)∂ψ₋

∂x = 0. (1.40)

Równania (1.40) są to równania opisujące fale proste propagujące bez zmiany kształtu wzdłuż osi x z prędkościami v +c₀ i v−c0. Wielkości ψ₊, ψ₋przedsta- wione równościami (1.39) zostały wprowadzone przez Riemanna w roku 1860 (stosował on oznaczenia r i s) [47] i noszą nazwę niezmienników Riemanna.

1.2.2 Równanie Earnshawa

Dla gazów doskonałych z adiabatycznym równaniem stanu:

p = p₀ (ρ

ρ₀ )γ

, (1.41)

funkcja ϕ przedstawiona przez Riemanna [47] przyjmuje następującą postać:

ϕ =

∫ _ρ

ρ0

c₀ ( ρ

ρ₀ )^γ−1

2 dρ

ρ =

∫ _p

p0

(ρ ρ₀

)₋^γ−1

2 dp

c₀ρ, (1.42) gdzie c0zdefiniowane równaniem (1.35) jest prędkością dźwięku o nieskończenie małej amplitudzie (tak zwaną liniową prędkością dźwięku). Z równania (1.42) otrzymuje się następujące równości:

∂ρ

∂t = ρ c0

( ρ ρ0

)₋^γ−1

2 ∂f

∂t, ∂ρ

∂x = ρ c0

( ρ ρ0

)₋^γ−1

2 ∂f

∂x, ∂p

∂x = ρc₀ ( ρ

ρ0

)^γ−1

2 ∂f

∂x.

Wstawiając te równości do (1.31) otrzymuje się układ dwóch równań:

∂f

∂t + v∂f

∂x + c₀ ( ρ

ρ₀ )^γ−1

2 ∂v

∂x = 0,

∂v

∂t + v∂v

∂x + c₀ (ρ

ρ₀ )^γ−1₂

∂f

∂x = 0. (1.43)

Można założyć, że gęstość płynu zmienia się o niewielką wartość ρ^′ w porów- naniu do wielkości stacjonarnej ρ₀ (ρ^′ << ρ₀): ρ = ρ₀+ ρ^′. Wówczas:

(ρ ρ0

)^γ−1

2 ≈ 1 + γ− 1 2

ρ^′ ρ0

. (1.44)

Ponadto również ciśnienie zmienia się o niewielką wielkość p^′ (p^′ << p₀), zatem z (1.41) otrzymano:

p = p₀+ p^′ ≈ p0

(1 + c²₀ρ^′)

. (1.45)

Korzystając z zależności: p^′ ≈ ρ0c₀v i z (1.45, 1.44) otrzymano z układu (1.43):

∂f

∂t + v∂f

∂x + c₀∂v

∂x + γ− 1 2 v∂v

∂x = 0,

∂v

∂t + v∂v

∂x + c₀∂f

∂x +γ− 1 2 v∂f

∂x = 0. (1.46)

Przy zastosowaniu niezmienników Riemanna (1.39) układ (1.46) prowadzi do:

∂ψ₊

∂t + (

v + c₀+γ− 1 2 v

)∂ψ₊

∂x = 0,

∂ψ₋

∂t + (

v− c0− γ− 1 2 v

)∂ψ₋

∂x = 0. (1.47)

Gdy jeden z niezmienników Riemanna jest stały, na przykład, jeśli płyn w ob- szarze x > x₀ jest wolny od wszelkich zaburzeń dla wszystkich czasów t < t₀, wówczas ψ₋ = 0. Wówczas ψ₊ = f = v i układ (1.47) prowadzi do równania Earnshawa [8]:

∂v

∂t + c₀∂v

∂x +γ + 1 2 v∂v

∂x = 0. (1.48)

1.2.3 Równanie Burgersa

W tym podrozdziale rozważony zostanie bardziej fizyczny przypadek, który zakłada absorpcję fali spowodowaną lepkością płynu i przewodnością cieplną.

Rozważany płyn jest newtonowski i jednorodny, to znaczy, że niezaburzone

wielkości gęstości i ciśnienia (ρ₀, p₀) są stałe.

Ogólne równanie przenoszenia ciepła dla płynu lepkiego, wyprowadzone do- kładnie w [20], ma następującą postać:

ρT (∂s

∂t + ⃗v∇s )

= χ△T + η 2

(∂v_i

∂x_k + ∂v_k

∂x_i −2 3δ_ik∂v_l

∂x_l )2

+ ζ

(∇ · ⃗v⃗ )2

(1.49) Równania zachowania pędu i masy z układu (1.29) w przypadku jednowymia- rowym, przy uwzględnieniu ich członów nieliniowych można zapisać w postaci:

∂ρv

∂t = − ∂

∂x [

ρv²+ p− (4

3η + ζ )∂v

∂x ]

,

∂ρ

∂t +∂ρv

∂x = 0. (1.50)

Następnie różniczkując pierwsze równanie w układzie (1.50) po x, a drugie po t otrzymano

∂²ρv

∂t∂x = − ∂²

∂x² [

ρv²+ p− (4

3η + ζ )∂v

∂x ]

,

∂²ρ

∂t² = −∂ρv

∂t∂x. (1.51)

Natomiast rozwijając w szereg Taylora równanie stanu p(s, ρ) względem stanu stacjonarnego (ρ₀, s₀) otrzymano [13, 29]:

p^′ = c²₀ρ^′+ c²₀ ρ₀

γ− 1 2 ρ^′2+

(∂p

∂s )

ρ

∂s

∂x. (1.52)

Po dodaniu równań (1.51) i wstawieniu za p równania (1.52), otrzymano:

∂²ρ

∂t² −c²0

∂²ρ

∂x² =− ∂²

∂x²(ρ₀v²)− ∂²

∂x² [

c²₀ ρ₀

γ− 1 2 ρ^′2+

(∂p

∂s )

ρ

∂s

∂x − (4

3η + ζ ) ∂v

∂x ]

(1.53) Aby wyprowadzić człon(_∂p

∂s

)

ρ

∂s

∂x z równania (1.53) wykorzystano liniowe przy- bliżenie równania (1.49) (w jednym wymiarze) prowadzi do następującej za- leżności [13]:

ρ₀T₀∂s^′

∂t = χ∂²T

∂x². (1.54)

Dla małych zaburzeń entropii, rozważając tylko falę propagującą w dodatnim kierunku osi OX, można zamienić pochodną cząstkowa względem czasu na pochodną cząstkową względem x, zatem:

−c0ρ₀T₀∂s^′

∂x = χ∂²T

∂x². (1.55)

Następnie użycie następującej relacji termodynamicznej [29]:

T^′ = T₀βc²₀

ρ₀c_p ρ^′, (1.56)

(gdzie β to współczynnik rozszerzalności cieplnej, a c_p ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu) prowadzi do:

∂s^′

∂x =−χβc₀ ρ²₀c_p

∂²ρ^′

∂x². (1.57)

Przy pomocy następującej relacji termodynamicznej:

(∂p

∂s )

ρ

= c_p/c_V − 1 β ρ₀,

gdzie c_V to ciepło właściwe przy stałej objętości, ostatecznie otrzymano:

− (∂p

∂s )

ρ

∂s^′

∂x = χc₀ ρ0

( 1 cV − 1

cp

)∂²ρ^′

∂x². (1.58)

Wstawiając (1.58) do (1.53) i korzystając z v = c₀ρ^′/ρ₀ przy założeniu, że fala propaguje w kierunku dodatnim osi OX, otrzymano:

∂²ρ^′

∂t² − c²0

∂²ρ^′

∂x² + c²₀ ρ0

γ + 1 2

∂²ρ^′

∂x² = c₀ ρ0

b∂³ρ^′

∂x³, (1.59)

gdzie:

b = 4

3η + ζ + χ ( 1

c_V − 1 c_p

) .

Zastosowanie nowych zmiennych: t^′ = µt, ξ = x−c0t (gdzie µ = max(M, b) <<

1) prowadzi do następującego równania:

∂ρ^′

∂t^′ + c0

ρ₀ γ + 1

2 ρ^′∂ρ^′

∂ξ = b 2ρ₀

∂²ρ^′

∂τ². (1.60)

zaś zastosowanie zmiennych: τ = t^′− x/c0, x^′ = µx do:

∂ρ^′

∂x^′ − 1 c₀ρ₀

γ + 1 2 ρ^′∂ρ^′

∂τ = b 2ρ₀c³₀

∂²ρ^′

∂ξ². (1.61)

Równania (1.60, 1.61) są znane jako równanie Burgersa.

Rozdział 2

Metoda matematyczna

W niniejszym rozdziale zostanie pokrótce przedstawiona metoda matematyczna, zastosowana w rozprawie doktorskiej. Metoda ta pozwala na wyprowadzenie równań opisujących różne typy ruchu np. akustyczny, entropowy lub wirowy.

Co więcej, dzięki tej metodzie możliwe jest wyprowadzenie równania opisują- cego oddziaływanie pomiędzy tymi typami. Wyprowadzenie równania opisują- cego interakcję pomiędzy akustycznym i entropowym typem ruchu jest głów- nym tematem rozprawy doktorskiej. Jest to równanie opisujące ogrzewanie akustyczne.

Poniżej przedstawiono układ równań, opisujący zaburzenia zmiennych hy- drodynamicznych w ogólnej formie:

∂

∂tψ + Lψ = φ, (2.1)

gdzie ψ jest wektorem zawierającym zmienne hydrodynamiczne, L jest linio- wym, macierzowym operatorem działającym na wektor ψ, zaś φ jest wektorem zawierającym człony nieliniowe układu równań. Dla liniowej wersji układu równań (2.1):

∂

∂tψ + Lψ = 0, (2.2)

możliwe jest znalezienie rozwiązania w postaci sumy fal płaskich:

f (⃗r, t) =

∫ _∞

−∞

f (⃗k, t) exp(˜ −i⃗k⃗x)d⃗k + cc, (2.3) gdzie ⃗k = (k_x, k_y, k_z) jest liczbą falową, ˜f (⃗k)e^iωt jest transformatą Fourier’a.

Wartości własne operatora L z (2.2) wyznaczają związki dyspersyjne: ω_i(⃗k) i determinują odpowiadające im wektory własne ψ_i. Wektor własny odpowia- dający danej wartości własnej nazywamy modem. W przypadku jednowymia- rowym można wyróżnić dwa mody akustyczne, odpowiadające fali propagują- cej zgodnie ze zwrotem osi i fali propagującej przeciwnie do zwrotu osi, a także

mody niefalowe, np.mod entropowy.

Za pomocą wektorów własnych definiuje się macierzowe operatory rzutowe, czyli projektory. Po działaniu projektorem na ogólny wektor ψ otrzymuje się określony wektor własny:

Piψ = ψi. (2.4)

Macierzowe operatory rzutu spełniają następujące właściwości:

PiPj = 0 (i̸= j), Pi² = Pi, ∑

i

Pi =I, (2.5)

gdzie przez I oznaczono macierz jednostkową. Działając określonym projekto- rem na liniowy układ równań (2.2), otrzymuje się równanie dla poszczególnych modów:

P_i (∂

∂tψ + Lψ )

= (∂

∂t+ L )

P_iψ = (∂

∂t+ L )

ψ_i. (2.6) Wyżej wymienioną metodę można przedstawić na prostym przykładzie. Roz- ważono układ dwóch równań:

∂v

∂t +∂ρ

∂x= 0,

∂ρ

∂t +∂v

∂x= 0. (2.7)

Układ równań (2.7) można przedstawić w ogólnej formie:

∂

∂tψ + Lψ = 0, (2.8)

gdzie:

ψ = ( v

ρ )

, L =

( 0 ∂/∂x

∂/∂x 0 )

.

Należy szukać rozwiązania w postaci fal płaskich ∼ exp(iωt − ikx) z amplitu- dami ˜v(k), ˜ρ(k). Wartości własne operatora L w przestrzeni Fouriera, spełniają następujące równanie:

 iω −ik

−ik iω

 = 0, (2.9)

i wynoszą odpowiednio:

ω₁ = k, ω₂ =−k (2.10)

Są to relacje dyspersji dla fal propagujących w kierunku dodatnim i ujem- nym osi x z prędkością równą 1. Relacjom dyspersji odpowiadają następujące wektory własne:

ψ₁ = ( 1

1 )

ρ₁, ψ₂ = ( −1

1 )

ρ₂. (2.11)

Zatem można zapisać następujące relacje dla nowych zmiennych:

v = v₁+ v₂ = ρ₁− ρ2, ρ = ρ₁+ ρ₂. (2.12) Korzystając z definicji projektora (2.4) i używając relacji (2.12), określono operatory rzutu:

P₁ = ( ₁

2 1 1 2 2

1 2

)

, P₂ = ( ₁

2 −¹₂

−¹₂ ¹₂ )

. (2.13)

Projektory P₁ i P₂ spełniają własności 2.5. Następnie działając określonym projektorem na układ równań (2.7) otrzymano równania dla poszczególnych modów:

∂ρ₁

∂t + ∂ρ₁

∂x = 0,

∂ρ₂

∂t − ∂ρ₂

∂x = 0. (2.14)

Pierwsze równanie z układu (2.14) opisuje falę akustyczną propagującą się bez zmiany kształtu w kierunku dodatnim osi 0X ze stałą prędkością równą 1, zaś drugie falę akustyczną propagującą w kierunku przeciwnym.

W wyżej wymienionym przykładzie występowały tylko dwie gałęzie akustyczne.

Jednakże w przypadku bardziej ogólnym, gdy rozważa się trzy równania za- chowania, otrzymuje się oprócz modów akustycznych również mod niefalowy (nazywany entropowym) odpowiadający stacjonarnym, izobarycznym zmia- nom gęstości i odpowiednio zmianom temperatury. Działanie projektorami na liniowy układ równań pozwala uzyskać równania dla poszczególnych mo- dów. Aby wyprowadzić równanie opisujące interakcję pomiędzy modami na- leży rozważyć przepływ słabo nieliniowy. Każdą ze zmiennych hydrodynamicz- nych można przedstawić jako sumę pewnej stałej wielkości w stanie równowagi (oznaczonej indeksem „0”) i niewielkiego zaburzenia owej zmiennej (oznaczonej

„primem”), np: ρ = ρ₀ + ρ^′, itd. Wówczas człony nieliniowe w prawej części układu równań (2.1) można rozwinąć w szeregi względem potęg małych zabu- rzeń. Następnie pozostawia się człony słabonieliniowe, czyli rzędu kwadratu liczby Macha (M = v₀/c₀, gdzie v₀ jest amplitudową prędkością cząsteczek płynu, a c₀ jest prędkością dźwięku o nieskończenie małej amplitudzie i często- tliwości (liniową prędkością dźwięku)). Działanie wybranym operatorem rzutu na ogólny układ równań (2.1) ze słabo nieliniowymi członami pozwala uzyskać z lewej strony równanie dla określonego modu, zaś z prawej kombinację nieli- niowych członów wszystkich modów. Przy założeniu, że modem dominującym jest mod akustyczny, propagujący w kierunku dodatnim osi 0X, działając pro- jektorem wyodrębniającym w części liniowej mod entropowy, w części nielinio- wej zostają tylko człony odpowiadające modowi akustycznemu, określane jako

źródło akustyczne. Mod entropowy można powiązać z temperaturą i otrzymać w ten sposób równanie opisujące ogrzewanie akustyczne, którego wyprowadze- nie i zbadanie w różnych ośrodkach jest głównym tematem niniejszej rozprawy doktorskiej.

Rozdział 3

Ogrzewanie akustyczne w płynie z maxwellowskim lepkim tensorem naprężeń

W niniejszym rozdziale wyprowadzono i zbadano równanie, opisujące ogrze- wanie akustyczne w termolepkim płynie, w którym zachodzą procesy relaksa- cyjne. Do takich płynów należą, między innymi, ośrodki biologiczne opisywane przez maxwellowski tensor naprężeń lepkich. Przedstawione w niniejszym roz- dziale wyniki zostały opublikowane w [40].

3.1 Równania opisujące termolepki przepływ w pły- nie z relaksacją

Równania ciągłości, bilansu pędu i energii w termolepkim przepływie bez sił masowych, przybierają postać:

∂ρ

∂t +−→

∇ · (ρ−→v ) = 0,

∂−→v

∂t + (−→v ·−→∇)−→v = 1 ρ

(−−→∇p + Div P) ,

∂e

∂t + (−→v ·−→

∇)e = 1 ρ

(−p(−→

∇ · −→v ) + χ∆T + P : Grad −→v )

. (3.1)

⃗

v oznacza prędkość płynu, ρ, p są odpowiednio gęstością i ciśnieniem płynu, e, T oznaczają energię wewnętrzną na jednostkę masy i temperaturę, χ jest przewodnością cieplną, a xi, t oznaczają współrzędne przestrzenne i czas. Ope- rator Grad oznacza gradient pola wektorowego. Literą P oznaczono lepki

tensor naprężeń. W niniejszym rozdziale do opisu lepkiego tensora naprężeń zastosowano model Maxwell’a, który jest najbardziej powszechnym modelem stosowanym w akustyce medycznej [16]. Równanie łączące lepki tensor na- prężeń z przemieszczeniem cząsteczki w ośrodku w danym punkcie przestrzeni i czasu, można zapisać w dwóch równoważnych formach [1], [20]:

∂P_i,k

∂t + 1

τ_RP_i,k = µ∂

∂t (∂u_i

∂x_k + ∂u_k

∂x_i )

, P_i,k = µ

∫ _t

−∞

(∂v_i

∂x_k + ∂v_k

∂x_i )

e^{−(t−t′)/τR}dt^′. (3.2) W równaniu (3.2) τ_R nazywano makswelowskim czasem relaksacji, zaś µ ozna- cza moduł ściskania, u to przesunięcie płynu. W przypadku, gdy ωτ_R → ∞ to tensor naprężeń lepkich z równania (3.2) przybiera postać lepkiego tensora naprężeń dla nieściśliwego, lepkiego płynu newtonowskiego (równanie (1.22) z rozdziału 1).

Układ równań (3.1) należy uzupełnić o funkcje stanu termodynamicznego, ka- loryczną i termiczną e(p, ρ) i T (p, ρ). Energia wewnętrzna i temperatura płynu zmieniają sie o małe zmiany (e = e₀+ e^′, T = T₀+ T^′), które można rozwinąć w szereg względem potęg zmian ciśnienia i gęstości (p^′ = p− p0, ρ^′ = ρ− ρ0):

e^′ = E₁ ρ0

p^′+ E₂p₀

ρ²₀ ρ^′+ E₃ p0ρ0

p^′2+E₄p₀

ρ³₀ ρ^′2+ E₅

ρ²₀ρ^′p^′+ . . . , (3.3) T^′ = Θ1

ρ₀c_V p^′+Θ2p0

ρ²₀c_V ρ^′+ Θ3

p₀ρ₀c_V p^′2+ Θ4p0

ρ³₀c_V ρ^′2+ Θ5

ρ²₀c_V ρ^′p^′+ . . . , (3.4) gdzie E₁. . . Θ₅ są bezwymiarowymi współczynnikami, c_V oznacza pojemność cieplną przy stałej objętości. Równania (3.3, 3.4) pozwalają opisać w ogólnej formie szeroki zakres płynów. Za rozbieżność w termodynamicznych własno- ściach płynów odpowiedzialne są właśnie bezwymiarowe współczynniki różne dla różnych płynów. Poniżej wyprowadzono zależności dla współczynników E1

i E₂. Zgodnie z (3.3):

E₁ = ρ₀ (∂e

∂p )

ρ

, p₀ ρ²₀E₂ =

(∂e

∂ρ )

p

. (3.5)

Korzystając z definicji pojemności cieplnej przy stałej objętości:

c_VdT = δq = de, (3.6)

otrzymano następującą relację (V = 1/ρ):

(∂e

∂T )

V

= c_V = (∂e

∂p )

ρ

(∂p

∂T )

ρ

. (3.7)

Funkcje termodynamiczne spełniają następująca tożsamość:

(∂p

∂T )

ρ

(∂T

∂ρ )

p

(∂ρ

∂p )

T

=−1. (3.8)

Wprost z równań:(3.7), (3.8) i (3.5) uzyskano:

E1 = ρ₀c_V (_∂p

∂T

)

ρ

=−ρ0cV

(∂T

∂ρ )

p

(∂ρ

∂p )

T

. (3.9)

W ten sposób uzyskano ostateczne wyrażenie dla współczynnika E₁: E₁ = ρ0cVκ

β , (3.10)

gdzie κ i β są odpowiednio: współczynnikami ściśliwości izotermicznej i roz- szerzalności izobarycznej:

κ = −1 V

(∂V

∂p )

T

= 1 ρ

(∂ρ

∂p )

T

, β = 1

V (∂V

∂T )

p

=−1 ρ

(∂ρ

∂T )

p

. (3.11)

Aby obliczyć postać drugiego współczynnika E2 skorzystano z definicji pojem- ności cieplnej przy stałym ciśnieniu:

c_pdT = (

de + d (p

ρ ))

p

, (3.12)

z czego wynika, że:

c_p = (∂e

∂T )

p

− p ρ²

(∂ρ

∂T )

p

. (3.13)

Korzystając z równaniem (3.13) uzyskano:

(∂e

∂ρ )

p

= (∂e

∂T )

p

(∂T

∂ρ )

p

= (

c_p+ p ρ²

(∂ρ

∂T )

p

) (∂T

∂ρ )

p

=−c_p βρ + p

ρ², (3.14) gdzie β jest współczynnikiem rozszerzalności termicznej opisanym równaniem (3.11). Korzystając z:

p₀ ρ²₀E₂ =

(∂e

∂ρ )

p

, (3.15)

wyprowadzono ostateczną zależność dla współczynnika E₂: E₂ =−c_pρ₀

βp0

+ 1. (3.16)

Dokładne zmiany entropii są różniczką zupełną:

T ds = de + pdV = de− p

ρ²dρ. (3.17)

Korzystając bezpośrednio z definicji różniczki zupełnej i wybierając za nieza- leżne wielkości termodynamiczne p i ρ otrzymano:

∂s

∂pdp + ∂s

∂ρdρ = 1 T

∂e

∂pdp + 1 T

(∂e

∂ρ − p ρ²

)

dρ (3.18)

Wyliczając pochodną mieszaną z (3.18):

∂²s

∂p∂ρ = ∂

∂ρ (1

T

∂e

∂p )

= ∂

∂p (1

T (∂e

∂ρ − p ρ²

))

. (3.19)

i korzystając z szeregów (3.3) i (3.4), otrzymano:

− 1 T0

Θ₂p₀ ρ²₀cV · E₁

ρ0

=− 1 T₀²

Θ₁

ρ0cV · E₂p₀ ρ²₀ − 1

T0ρ²₀ + 1 T₀²

p₀ ρ0 · Θ₁

ρ0cV

, (3.20) co po uproszczeniach prowadzi do ostatecznej zależności między współczynni- kami Θ₂ i Θ₁:

Θ₂ = c_Vρ₀T₀

E₁p₀ − (1− E2)Θ₁

E₁ . (3.21)

3.2 Definicje modów w przepływie płaskim o in- finitezymalnej amplitudzie

Rozważono jednowymiarowy przepływ wzdłuż osi 0X. Następnie przedsta- wiono nowe, bezwymiarowe zmienne:

p^∗ = p^′ c²₀· ρ0

, ρ^∗ = ρ^′

ρ₀, v^∗ = v

c₀, x^∗ = ωx

c₀ , t^∗ = ωt, τ^∗ = ωτR. (3.22) Powszechna praktyką stosowaną w akustyce nieliniowej, jest koncentrowanie się na przybliżonych równaniach drugiego rzędu względem liczby Macha, c₀ =

√(1−E2)p0

E1ρ0 = √

cp

cVκρ0 jest prędkością dźwięku o nieskończenie małej amplitu- dzie i częstotliwości (liniową prędkością dźwięku), ω jest charakterystyczną

częstotliwością dźwięku. Również w niniejszej rozprawie przybliżone równa- nia będą wyprowadzone z taką dokładnością, dlatego człony w prawej części układu równań rozwinięto w szeregi Taylora względem potęg wielkości zabu- rzonych i zachowano tylko człony nieliniowe drugiego rzędu względem liczby Macha. Uwzględniając zależności (3.2), (3.3), (3.4) można przedstawić kom- pletny układ równań (3.1) w zmiennych bezwymiarowych (dla klarowności zapisu pominięto w dalszej części tekstu gwiazdki przy zmiennych bezwymia- rowych):

∂ρ

∂t +∂v

∂x = −v∂ρ

∂x − ρ∂v

∂x ,

∂v

∂t + ∂p

∂x − 2 bA∂²v

∂x² = −v∂v

∂x + ρ∂p

∂x − 2ρ bA∂²v

∂x² , (3.23)

∂p

∂t + ∂v

∂x − δ1

∂²p

∂x² − δ2

∂²ρ

∂x² = −v∂p

∂x + (D₁p + D₂ρ)∂v

∂x + 2 E₁

∂v

∂xAb∂v

∂x + δ₃∂²p²

∂x² + δ₄∂²ρ²

∂x² + δ₅∂²(ρp)

∂x² .

Gdzie bA oznacza bezwymiarowy operator działający na funkcję skalarną ϕ(x, t):

Aϕ = mb

∫ _t

−∞

ϕe^{−(t−t′)/τ}dt^′. (3.24) m = µ/(ρ₀c²₀) = c²_∞/c²₀ − 1 jest bezwymiarową dyspersją (c_∞ jest prędkością dźwięku o nieskończenie małej amplitudzie przy infinitezymalnie dużej często- tliwości, ωτ_R >> 1), a układ równań w zmiennych bezwymiarowych (3.23) zawiera również następujące bezwymiarowe współczynniki:

δ1 = χΘ₁ω

ρ₀c²₀c_VE₁, δ2 = χΘ₂ω ρ₀c²₀c_V(1− E2), δ₃ = Θ3χω

E₁ρ₀c²₀c_v

1− E2

E₁ , δ₄ = Θ4χω

(1− E2)ρ₀c²₀λc_v, δ₅ = Θ5χω

E₁ρ₀c²₀c_V, (3.25) D₁ = 1

E₁ (

−1 + 21− E2

E₁ E₃+ E₅ )

,D₂ = 1 1− E2

(

1 + E₂+ 2E₄+1− E2

E₁ E₅ )

. Ponieważ:

Θ₂ = (∂T

∂ρ )

p

·ρ²₀c_V p₀ =−

(∂T

∂V )

p

· V · ρ₀c_V

p₀ =−ρ₀c_V

p₀β , (3.26) współczynnik δ₂ przyjmuje postać:

δ₂ =− χω

ρ₀c²₀c_p, (3.27)

i jest ujemny dla każdego płynu. Suma dwóch pierwszych współczynników w (3.25), jest współczynnikiem liniowego tłumienia, spowodowanego przewodno- ścią cieplną:

δ = δ₁+ δ₂ = χω ρ₀c²₀

( 1 c_V − 1

c_p )

.

Rozważono zlinearyzowaną wersję układu (3.23), opisującą przepływ o infini- tezymalnie małej amplitudzie, gdy M → 0:

∂ρ

∂t + ∂v

∂x= 0,

∂v

∂t + ∂p

∂x − 2 bA∂²v

∂x² = 0, (3.28)

∂p

∂t + ∂v

∂x − δ1

∂²p

∂x² − δ2

∂²ρ

∂x² = 0.

Jak zostało zreferowane w rozdziale (2), należy szukać rozwiązania w postaci superpozycji fal płaskich:

v(x, t) =

∫ _∞

−∞

˜

v(ω) exp(iωt− ikx)dω + cc, p(x, t) =

∫ _∞

−∞

˜

p(ω) exp(iωt− ikx)dω + cc, (3.29) ρ(x, t) =

∫ _∞

−∞

˜

ρ(ω) exp(iωt− ikx)dω + cc,

gdzie cc. oznacza sprzężenie zespolone. Dla operatora ˆA otrzymano:

Av = mˆ

∫ _t

−∞

v(x, t)e^{−(t−t′)/τ}dt^′ = m

∫ _t

−∞

(∫ _∞

−∞

˜

v(ω)e^iωt−ikxdω )

e^{−(t−t′)/τ}dt^′ = m

∫ _∞

−∞

˜

v(ω)e^−ikxdω (∫ t

−∞

e^iωt′e^{−(t−t′)/τ}dt^′ )

= m

∫ _∞

−∞

˜

v(ω)e^−ikx e^iωtτ 1 + iωτdω Wartości własne wyznaczono przyrównując wyznacznik macierzy do zera:

iω −ik 0

0 iω− _1+iωτ^2mτ (−ik)² −ik

−δ2(−ik)² −ik iω− δ1(−ik)² 

= 0. (3.30) Liniowe, hydrodynamiczne pole reprezentują dwa mody akustyczne, propagu- jące w kierunku dodatnim i ujemnym osi 0X i mod entropowy. Każdy typ ruchu jest zdeterminowany przez jeden ze związków dyspersyjnych ω(k). Roz- wiązując równanie (3.30) i uwzględniając tylko człony drugiego rzędu względem