Permutacyjny problem przepływowy z liniowymi modelami operacji

ZESZYTY NAUKOWE P O L IT E C H N IK I S A S K I E J S e r i aíAUTOHATTEA s . 9 ^

________ 1988 H r I c o l . 970

Adam O a n ia k

P o l it e c h n i k a W r o c ła w s k a

PERMUTACYONY PROBLEM PRZEPŁYWOWY Z L IN IO W Y M I MODELAMI O PER A G b l

S t r e s z c z e n i ę . W a r t y k u l e do ko n an o p r z e g lę d u p r o b le m a t y k i ro z- d z i a ł u z a so b ó w i s z e r e g o w a n ia o p e r a c j i na m a s z y n a c h . S z c z e g ó ło w o p r z e d s t a w io n o r e z u l t a t y u z y s k a n e d l a k la s y c z n e g o p e r m u ta c y jn e g o p ro b le m u p r z e p ły w o w e g o . N a s t ę p n ie p ro b le m t e n u o g ó ln io n o na p r z y ­ p ad ek z l i n i o w y m i m o d e la m i o p e r a c j i . S z c z e g ó ło w o r o z p a t r z o n o dwu- m aszynow y p ro b le m p r z e p ły w o w y , a u z y s k a n e r e z u l t a t y u o g ó ln io n o na p r z y p a d e k w ie lo m a s z y n o w y .

1. W stęp

Je d e n z w a ż n y c h a k t u a l n i e k ie r u n k ó w ro z w o jo w y c h a u t o m a t y k i d o t y c z y s te ro w an ia d y s k r e t n y m i p r o c e s a m i t e c h n o lo g ic z n y m i i p r o d u k c y jn y m i. Ob­

szerna k l a s a t y c h p ro b le m ó w s p ro w a d z a s i ę do p ro b le m ó w s z e r e g o w a n ia z a ­ dań na m asz y n ac h i ró w n o c z e s n e g o r o z d z i a ł u o g r a n ic z o n y c h zaso b ó w ró ż n y c h rodzajów [ 3 , 2 9 J . A n a lo g ic z n e p ro b le m y , w y s t ę p u ję w k o m p u te ro w y c h s y s t e ­ mach s t e r o w a n ia [ 7 , 43 , . P r o c e s p r o d u k c y j n y c h a r a k t e r y z u j e s i ę

"p rzep ływ em " m a t e r ia ł ó w i p ó łp r o d u k tó w w p o s t a c i p o je d y n c z y c h e le m e n tó w , podzespołów i z e s p o łó w . E le m e n ta m i mogę b y ć d e t a l e , k ę s i s k a , w le w k i , od- kuwki, p ro g ra m y m aszyn c y f r o w y c h . E le m e n t y t e sę poddaw ane o p e ra c jo m ob­

róbki na k o l e j n y c h s t a n o w is k a c h / g n ia z d a c h / p r o d u k c y jn y c h w y p o sa ż o n y c h w m aszyny. P r z e z m asz yn y n a l e ż y ro z u m ie ć : m asz yn y do o b r ó b k i m e c h a n ic z ­ n i /n p . o b r a b i a r k i / , m asz yn y b u d o w la n e , p i e c e g r z e w c z e , z g n i a t a c z e , k la t k i w a l c o w n i c z e , s t a n o w is k a m o n ta ż u , ś r o d k i t r a n s p o r t u , p r o c e s o r y systemów k o m p u te ro w y c h i t p . O p e r a c ja m i n a t o m ia s t mogę b y ć : o b ró b k a m echa­

n ic z n a , c z y n n o ś c i m o n ta ż u , c z y n n o ś c i t r a n s p o r t o w e , w y to p s t a l i , w a lc o w a ­ n ie , p o d g r z e w a n ie , o b ró b k a r ę c z n a , o b l i c z e n i a w s y s te m a c h k o m p u te ro w ych

Proces p r z e t w a r z a n ia e le m e n tó w c h a r a k t e r y z u j e c i ę g k o l e j n o po s o b ie n a s tę p u ję c y c h o p e r a c j i . T e g o r o d z a ju c i ę g o p e r a c j i j e s t n a z y w a n y zad aniem . W o g ó ln o ś c i, z a d a n ie w d y s k r e tn y m s y s t e m ie p ro d u k c y jn y m s t a n o w i z b i ó r o p e r a c ji u w a ru n k o w a n y c h c z a s o w o . W o g ó ln ym p rz y p a d k u z a d a n ia / o p e r a c j e / do swego w y k o n a n ia mogę w ym agać, o p r ó c z m a s z y n , ta k ż e in n y c h d o d a tk o w y ch Zasobów d o s t ę p n y c h w o g r a n ic z o n y c h i l o ś c i a c h , e c z a s y t r w a n ia o p e r a c j i

*ogę z a le ż e ć od i l o ś c i z a so b ó w l a p r z y d z i e l o n y c h . P r o b l e a o p t y m a l i z a c j i iH S P . e * y _ p t o d y k c y i n a j ł p J * t y ».

p

126 A. Jana

D any J e s t z b i ó r z a d ań p r o d u k c y j n y c h , z b i ó r m aszyn o r a z o g r a n ic z o n e ilofc z a so b ó w , p r z e z n a c z o n e do w y k o n a n ia t y c h z a d a ń . N a le ż y z n a l e ź ć t a k i e dop s z c z a ln e p r z y p o r z ą d k o w a n ie o p e r a c j i do p o s z c z e g ó ln y c h m a s z y n , ta k ą dopi- s z c z e ln ą k o le j n o ś ć w y k o n y w a n ia o p e r a c j i na t y c h m asz yn ach o r a z t a k i do­

p u s z c z a ln y r o z d z i a ł o g r a n ic z o n y c h za so b ó w p o m ię d z y o p e r a c j e / l u b pomięć m a s z y n y / , a b y p r z y j ę t e k r y t e r iu m e f e k t y w n o ś c i b y ł o o p t y m a liz o w a n e .

N i n i e j s z a p r a c a p o ś w ię c o n a j e s t p e w n e j k l a s i e w sp o m n ia n y ch pow yżej p ro b lem ó w s z e r e g o w a n ia z r o z d z ia łe m o g r a n ic z o n y c h zasobóW j a m ia n o w icie pe rm u ta c y j nym problem om taśmowym p r z y z a ł o ż e n i u , ż e c z a s y t r w a n i a ope­

r a c j i / n a pew nych m a s z y n a c h / z a le ż ę l i n i o w o od i l o ś c i o g r a n ic z o n y c h ze-:

bów / r o z d z i a ł 4 / . W c z e ś n ie j w r o z d z i a l e 2 do ko n an o k r ó t k i e g o p rz e g lą d u p r o b le m a t y k i r o z d z i a ł u zaso b ó w i s z e r e g o w a n ia o p e r a c j i na m a sz y n a c h . A n a s t ę p n ie w r o z d z i s l e 3 om ówiono w m ia r ę s z c z e g ó ło w o d o ty c h c z a s o w e wy n i k i o s i ą g n i ę t e d l a k la s y c z n e g o p e r m u ta c y jn e g o p ro b le m u p rz e p ły w o w e g o . U w a g i końcow e z n a j d u j ę s i ę w r o z d z i a l e 5 .

2 , P r z e g l ą d p r o b le m a t y k i r o z d z i a ł u zaso b ó w i s z e r e g o w a n ia o p e r a c j i na o s z y n a c h

P o c z ą w s z y od w c z e s n y c h l a t 60 b a r d z o in t e n s y w n ie b y ł a rozwijane t e o r i a r o z d z i a ł u za so b ó w p r z y u s t a l o n e j k o l e j n o ś c i w y k o n y w a n ia operacji;' w s z c z e g ó ln o ś c i d o t y c z y to tz w . z a g a d n i e n ia p la n o w a n ia s i e c io w e g o /anal:

z y s i e c i o w e j , a c t i v i t y n e t w o r k s / . W sp o só b i s t o t n y w y r ó ż n io n o tu próbie:

P E R T / k o s z t / t im e - c o s t t r a d e o f f / [ 2 B j . W p r o b le m ie tym p r z y jm u j e s i ę moe l e c z y n n o ś c i / o p e r a c j i / w p o s t a c i k o s z t / c z a s . Z a k ła d a s i ę t u t a j , że cza:

w y k o n a n ia c z y n n o ś c i może z m ie n ia ć s i ę w sp o só b c i ą g ł y w pewnym zadanya p r z e d z i a l e , p r z y czym z m n ie j s z e n i e c z a s u w y k o n a n ia c z y n n o ś c i pow oduje w z r o s t k o s z t u j e j w y k o n a n ia . Z w y k le p rz y jm o w a n o m o d e le c z y n n o ś c i w postr c l n ie r o e n ą c y c h f u n k c j i l i n i o w y c h lu b o d c in k a m i l i n i o w y c h lu b wypukłycti b ą d i te 2 w k l ę s ł y c h , W k la s y c z n y m s f o r m u ło w a n iu p ro b le m u P E R T / k o s z t wyzir c z e 3 lę n a j m n i e j s z y k o s z t w y k o n a n ia c a ł e j s i e c i c z y n n o ś c i / t z w . projekt- p rz y Z a ł o ż e n i u , ż e te n p r o j e k t m u si b y ć w y k o n a n y w zadanym c z a s i e . Ogól- n i e j , z w y k le w y z n a c z a c i ę tz w . c a ł ą k rz y w ą p r o j e k t u , r o z w i ą z u j ą c powyżsi p r ó b ie * d l a c a łe g o d o p u s z c z a ln e g o p r z e d z i a ł u z m ie n n o ś c i c z a s u wykonsnls p r o j e k t u .

R o z p a lr y w a n o ta k ż e p ro b le m y ró w n o m ie rn e g o w y k o r z y s t a n i a za so b ó w /res:

u r c e l e v e l i n g / o r a z p ro b le m y r o z d z i a ł u z a s o b ó w , k t ó r y c h i l o ś ć j e s t ogra­

n ic z o n a w k a ż d e j c h w i l i c ż a s u / c o n s t r a i n e d — r e s o u r c e p r o j e c t s c h e d u le Po d su m o w an ie w yn ik ó w o s i ą g n i ę t y c h p r z y w sp o m n ia n y ch w y ż e j m odelach o p e r a c j i można z n e la ź ć w m o n o g r a f ii f s 3 .

P e rm u c s c y jn y p ro b le m p r z e p ły w o w y . 127

Z n a c z n ie o g ó l n i e j s z e m o d e le o p e r a c j i w p o s t a c i rów nań r ó ż n ic z k o w y c h , w iężące p r ę d k o ś ć w y k o n y w a n ia o p e r a c j i z p r z y d z i e lo n y m i i l o ś c i a m i zaso b ó w w każ d e j c h w i l i c z s s u / p r z y z a d a n y c h r o z m ia r a c h o p e r a c j i / ; z o s t a ł y w p ro ­ wadzone w j~ 5 j /w w a ru n k a c h d e t e r m i n i s t y c z n y c h / o r a z w [ a] /w w a ru n k a c h p r o b a b i l i s t y c z n y c h . R o z p a t r y w a n o s z e r e g i s t o t n y c h p ro b le m ó w r o z d z i a ł u z a ­ sobów p r z y p o w y ż s z y c h m o d e la c h o p e r a c j i . W y n i k i u z y s k a n e /w w a ru n k a c h d e­

t e r m in is t y c z n y c h / do 1976 roku podsum owano w [ ¿ 2 ] . N : e s t e t y , d a ls z e b a r d z o is t o t n e w y n i k i n ie d o c z e k a ły s i ę - j a k d o tą d - m o n o g r a f ic z n e g o u j ę c i a .

Z k o l e i p o c z ą w s z y od l a t 50 [ 26J d a t u j e s i ę in t e n s y w n y / s z c z e g ó l ­ nie o k r e s l a t 7 0 / ro z w ó j t e o r i i s z e r e g o w a n ia zad ań na m a s z y n a c h . Otrzymano s z e r e g i n t e r e s u j ą c y c h r e z u l t a t ó w d o t y c z ą c y c h z ł o ż o n o ś c i o b l i ­ c z e n io w e j, a lg o ry tm ó w w ie lo m ia n o w y c h , p r z y b l i ż o n y c h / a p r o k s y m a c y jn y c h / oraz d o k ła d n y c h o p a r t y c h z r e g u ł y na m e to d z ie p o d z i a ł u i o g r a n ic z e ń . Podsumowanie t y c h w y n ik ó w można z n a l e ź ć , n p . w j s i j , P r a w ie we w s z y s t k i c h pracach p rz y jm o w a n o , k l a s y c z n y d l a t e j t e o r i i , m odel o p e r a c j i , p od aw an y w p o s t a c i u s t a lo n e g o c z a s u w y k o n y w a n ia o r a z z a k ła d a n o , że do w y k o n a n ia danej o p e r a c j i p o t r z e b n a j e s t t y l k o j e d n a m aszyn a o p o je m n o ś c i j e d e n , tzn. m a s z y n a , k t ó r a w k a ż d e j c h w i l i c z a s o w e j może .w ykonyw ać co n a jw y ż e j jedną o p e r a c j ę . O e d n a k ż e p r z y p ró b a c h z a s t o s o w a n ia o tr z y m a n y c h r e z u l t a ­ tów do s t e r o w a n i a d y s k r e t n y m i p r o c e s a m i p rz e m y s ło w y m i z a u w a ż o n o , że t a k i e modele są z b y t dużym u p r o s z c z e n ie m s k o m p lik o w a n e j r z e c z y w i s t o ś c i . D la t e g o też, k la s y c z n e s f o r m u ło w a n ia r o z s z e r z a n o o ró ż n e d o d a tk o w e e le m e n t y . P o ­ cząwszy od p r a c y G a r e y a i O o h n so n a z '1975 [ 10J d a t u j e s i ę ro s n ą c e z a ­ in t e r e s o w a n ie p ro b le m a m i s z e r e g o w a n ia z o g r a n ic z e n i a m i z a s o b o w y m i.A m ia ­ n o w ic ie , z a k ła d a s i ę t u t a j , że c z a s w y k o n a n ia o p e r a c j i na d a n e j m a s z y n ie je s t n a d a l u s t a l o n y , a l e o p e r a c j a do sw ego w y k o n a n ia o p r ó c z m asz yn y wyma­

ga d o d atk o w ych p o d z i e ln y c h w s p o s ó b d y s k r e t n y z a s o b ó w , d o s t ę p n y c h w o g r a ­ n iczo n e j i l o ś c i . N a s t ę p n ie p ro b le m y t e b y ł y r o z p a tr y w a n e p r z y ró ż n y c h z a ­ ło ż e n ia c h o d n o ś n ie / m a s z y n , o p e r a c j i , i l o ś c i zaso b ó w p o d z i e ln y c h w sp o só b d y s k re tn y . W s z y s t k i e d o ty c h c z a s o w e w y n i k i b ad ań d o t y c z ą c e t y c h p ro b lem ó w z o s ta ły p r z e d s t a w io n e w m o n o g r a f ii [ 2^{} .}

2 p r z e g lą d u d o k o n an e g o p o w y ż e j, w y n ik a , że do t e j p o r y zajm o w an o s i ę problemami s z e r e g o w a n ia z a d a ń na m a s z y n a c h , w n a j o g ó l n i e j s z e j p o s t a c i , przy z a ł o ż e n i u , że o p e r a c j a do swego w y k o n a n ia może wym agać j e d n e j lu b w ię c e j m aszyn o r a z p ew n ych d o d a tk o w y c h p o d z i e ln y c h w sp o só b d y s k r e t n y z a ­ sobów . W n a j o g ó l n i e j s z y m p rz y p a d k u można m ówić n aw e t o w i e l u / s k o ń c z o n y c h , z góry u s t a l o n y c h / s p o s o b a c h w y k o n y w a n ia o p e r a c j i £ 3 7 j . P r z y czym c z a s wykonania o p e r a ę j i /danym sp o so b em / b y ł z g ó r y u s t a l o n y . P r z y j ę c i e t a k i e ­ go z a ło ż e n ia s t a n o w i w w i e l u s y t u a c j a c h p r a k t y c z n y c h i s t o t n e u p r o s z c z e n ie r z e c z y w i s t o ś c i , bowiem c z a 6 t r w a n i a o p e r a c j i może w o g ó ln ym p rz y p a d k u zm ien iać s i ę w sp o só b c i ą g ł y w o k r e ś l o n y c h g r a n i c a c h , w y n ik a ją c y c h z t e c h ­ n o lo g ic z n y c h u w aru n k o w ań i może b y ć z m ie n n ą d e c y z y j n ą p o d l e g a j ą c ą o ptym s-

123 A . Ja n lil

l i z a c j i . Na p r z y k ł a d , c z a s t r w a n i a o p e r a c j i może z a le ż e ć od i l o ś c i przy­

d z i e l o n e j . t e j o p e r a c j i / l u b m a s z y n ie , na k t ó r e j J e s t w y k o n y w a n a / zasobu p o d z is ln y c h w sp o só b c i ę g ł y . P r z y czym g l o b a l n i e d o s tę p n a i l o ś ć zasobói J e s t o g r a n ic z o n a , a z u w aru n ko w ań t e c h n o lo g ic z n y c h w y n ik a , że dana ope- r a c j a może p o b i e r a ć z a s o b y z e z g ó r y o k r e ś lo n e g o c i ę g ł e g o p r z e d z i a ł u .

O g ó ln ie r z e c z b i o r ę c , c z a s y w y k o n y w a n ia o p e r a c j i na m asz y n ac h mogę b y ć pew nym i n ie r o s n ę c y m l f u n k c ja m i i l o ś c i o g r a n ic z o n y c h p o d z i e ln y c h w s;

sób c i ę g ł y za so b ó w p r z y d z i e lo n y c h do i c h w y k o n a n ia . Z a s o b a m i t a k im i mog b y ć : n a k ła d y f in a n s o w e , e n e r g i a , t l e n , g a z , p a l i w o , k a t a l i z a t o r i t p . Po­

w y ż s z y m odel s k ró to w o o z n a c z a n y b ę d z ie c z a s / z a s ó b .

W p ro b le m a c h s z e r e g o w a n ia z a d a ń na m a sz y n a c h w sp o m n ia n e w y ż e j modele o p e r a c j i z o s t a ł y p o ra z p ie r w s z y w p ro w ad zo n e w [25J . N i e z a l e ż n i e f w f4l]

w p row ad zono podobne / o d w r o t n e / m o d e le o p e r a c j i / l i n i o w a z a le ż n o ś ć koszu w y k o n a n ia o p e r a c j i od j e j c z a s u z a k o ń c z e n i a , t z n . m o d e le k o s z t / c z a s / dli pewnego Je d n o o o s z y n o w e g o p ro b le m u s z e r e g o w a n ia o p e r a c j i . T e o s t a t n i e mods l o b y ł y n a s t ę p n ie r o z p a tr y w a n e w p r a c a c h [a O , 39 , 32^). N a t o m ia s t modeli c z a s / z a s ó b d l a Je d n o m a sz y n o w y c h p ro b le m ó w s z e r e g o w a n ia o p e r a c j i p r z y róż­

n ych z a ło ż e n i a c h o d n o ś n ie ie f u n k c ji k r y t e r i a l n y c h , o g r a n ic z e ń k o le jn o ś c ią - w y c h , momentów d o s t ę p n o ś c i o p e r a c j i b y ł y r o z p a t r y w a n e w £ 1 5 ,1 9 ,2 2 ,2 3 ,2 4 ], d la p ro b le m u g n ia z d o w e g o w f l - ś j , a d la n ie p e r m u t a c y jn e g o p ro b le m u taśmo­

wego w

[ l 7

N i n i e j s z a p r a c a b ę d z ie p ie r w s z ę p ró b ę z a s t o s o w a n ia m o d e li czas/zasób do p e r m u ta c y jn e g o p ro b le m u ta śm o w e g o , co b ę d z ie m ia ł o m i e j s c e w rozdzieli A , Z an im t o Je d n a k z o s t a n i e z r o b i o n e , w n a s tę p n y m r o z d z i a l e k r ó t k o podsu­

mowana z o s t a n ę r e z u l t a t y o s i ę g n i ę t e d la te g o p r o b le m u , a l e p r z y klasyczn y z a ło ż e n i u o z a d a n y c h c z a s a c h w y k o n y w a n ia o p e r a c j i .

3 . Po d su m o w an ie r e z u l t a t ó w u z y s k a n y c h d l a k la s y c z n e g o p e r m u ta c y jn e g o p ro b le m u p rz e p ły w o w e g o

K l a s y c z n y pa m u t a c y j n y p ro b le m p r z e p ły w o w y można s f o r m u ło w a ć w nastę- p u ję c y s p o s ó b . D an y J e s t z b i ó r z a d a ń O j . D g , , , , , 3 , z k t ó r y c h k a ż d e musi b y ć w ykonyw ane po k o l e i na m asz yn ach M j,M 2 , . . . ,Mm. Z a d a n ia na k a ż d e j z m aszyn m uszę b y ć w ykon yw an e w t e j sam ej k o l e j n o ś c i / p e r m u t a t i o n Schedule, K a ż d a z m aszyn może w yk o n yw ać c o n a j w y ż e j J e d n o z a d a n ie w k a ż d e j c h w ili c z a s u . K e ż d o z a d a n ie 3 ^ , i « l , 2 , . . . ,m , z a te m s k ł a d a s i ę z c ię g u m operacji

8 o p e r a c j a Oi v o d p o w ia d a w y k o n y w a n iu z a d a n ia 3 A na mast n i e Mv w c z a s i e pi v b e z p r z e r w a ń / z a d a n i a n i e p o d z i e l n e / . P r o b le m polega na z n a l e z i e n i u t a k i e j k o l e j n o ś c i w y k o n y w a n ia z a d a ń TTC

TT

TT

Permutacyjny problem przepływowy.. 129

F u n d a m e n ta ln y a lg o r y t m r o z w i ą z u j ą c y p o w y ż s z y p ro b le m d l a p rz y p a d k u a = 2 z o s t a ł p o d a n y w 1954 roku p r z e z Oohnsona: £ 2 6 ] , k t ó r y w y k a z a ł, że I s t n i e j e o p ty m a ln e u s z e r e g o w a n ie z a d a ń j W k tó ry m z a d a n ie J j p o p rz e d z a j e ś l i min ^ P ^ > pk 2 } ' m in ¿ pj 2 * pk l j ’ Z P owy ż s z e g o w y n ik a , że p ro b le m ten można r o z w ią z a ć w 0 ( n * l o g n ) k r o k a c h , w y k o n u ją c n a j p i e r w z a d a n ia z P j l i P j2 w p o rz ą d k u n i e m a l e j ą c y c h Pj-^» a n a s t ę p n ie p o z o s t a ł e z a d a n ia w p o rzęd ku n i e r o s n ą c y c h p ^ g .

D ednakże j u ż d l a m = 3 p o w y ż s z y p ro b le m s t a j e s i ę s i l n i e N P - tr u d n y f i l ] . / D e f i n i c j e p o j ę ć z w ią z a n y c h z t e o r i ę z ł o ż o n o ś c i o b l i c z e n i o w e j można z n a le ź ć n p . w [ l]/ . N a w e t d l a m = 2 , J e ś l i d o p u ś c i s i ę n ie z e r o w e m omenty d o s tę p n o ś c i z a d a ń a l b o o g r a n i c z e n i a k o le j n o ś c io w e p o m ię d z y z a d a n ia m i / n a ­ wet w p o s t a c i d r z e w a / , ir. p r o b le m y t e s t a j ę s i ę j u ż s i l n i e N P - z u p e łn e [ l i ] . D o p u szcz e n ie p r z e r y w a l n o ś c i o p e r a c j i z w y k le p o w o d u je u ł a t w i e n i e /w s e n s ie z ło ż o n o ś c i o b l i c z e n i o w e j / r o z w ią z a n ia p ro b le m u . D e d n ak że w tym p rz y p a d k u nawet p r z y d o p u s z c z e n iu p r z e r y w a l n o ś c i o p e r a c j i p ro b le m z m = 2 i n ie z e -

;rowymi m omentam i d o s t ę p n o ś c i z a d a ń o r a z p ro b le m z m = 3 p o z o s t a j ę n a d a l s i l n i e N P - tr u d n y m i [12J .

Do o p ty m a ln e g o r o z w ią z a n ia o g ó ln e g o p ro b le m u s to s o w a n o ró ż n e im p le m e n ­ t a c j e m e to d y p o d z i a ł u i o g r a n i c z e ń . S to s o w a n o ró ż n e s t r a t e g i e p o d z i a ł u

■drzewa r o z w ią z a ń , ró ż n e d o ln e o g r a n i c z e n i a i k r y t e r i a e l i m i n a c y j n e , p oz­

w a la ją c e na z a n i e c h a n i e p o s z u k iw a n ia r o z w i ą z a n ia o p ty m a ln e g o w pew nych p a r tia c h d rz e w a r o z w ią z a ń . Z i s t o t n y c h p r a c n a l e ż a ł o b y t u t a j w y m ie n ić pracę f 3 o ] , w k t ó r e j w ę z e ł d rz e w a r o z w ią z a ń c h a r a k t e r y z u j e s i ę c z ę ś c io w y m

¡uporządkowaniem z a d a ń o r a z p r a c ę f l 3 ] , w k t ó r e j w każdym w ę ź le je s t p e łn e r o z w i ą z a n ie d o p u s z c z a l n e . .

Do r o z w ią z a n ia r o z p a tr y w a n e g o p ro b le m u s to s o w a n o t a k ż e a lg o r y t m y su b - optymalne / p r z y b l i ż o n e / . N a j b a r d z i e j a k t u a ln e g o p r z e g lą d u i e k s p e ry m e n ­ ta ln e g o p o r ó w n a n ia t y c h m etod d o k o n an o w [ 3 8 ] , z k t ó r e g o w y n ik a , że n a j ­

lepszą - j a k d o tą d - m eto d ą p r z y b l i ż o n ą j e s t h e u r e z a z a p ro p o n o w a n a w f ^ ć j . N i e s t e t y a n a l i z ę n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u u d a ło s i ę p r z e p r o w a d z ić d l a n i e ­ w ielu a lg o r y tm ó w h e u r y s t y c z n y c h r o z w i ą z u j ą c y c h ro z w a ż a n y p ro b le m . W p r a c y fl2] w y k a z a n o , ż e d l a d o w o ln e g o tz w .. z w a r t e g o u s z e r e g o w a n ia / b u s y Sc h e d u ­ l e , c h a r a k t e r y z u j ą c e g o s i ę ty m , ż e w k a ż d e j c h w i l i c z a s u od momentu ro z ­ p o częcia a ż do momentu z a k o ń c z e n ia w y k o n y w a n ia z a d a ń c o n a j m n ie j je d n a maszyna r e a l i z u j e J a k i e ś z a d a n ie / w s p ó łc z y n n ik n a jg o r s z e g o p rz y p a d k u rów­

na 9 ię m. P r z y czym g r a n i c a t ą j e s t o s i ą g a l n a n a w e t d l a tz w . L P T u s z e r e ­ gowania, w k tó ry m z a d a n ia s z e re g o w a n e s ą z g o d n ie z n ie ro s n ą c y m i sumami czasów w y k o n y w a n ia o p e r a c j i z a d a n i a . W t e j sam ej p r a c y p odano t a k ż e i n n y p rz y b liż o n y a l g o r y t m , b a z u j ą c y na a l g o r y t m i e Dohnsonai / o z ł o ż o n o ś c i ob­

lic z e n io w e j o (m - n * lo g n^ o w s p ó łc z y n n ik u n a jg o r s z e g o p rz y p a d k u równymf ^ J /gdzie f n a j m n i e js z a l i c z b a c a ł k o w i t a , t a k a , ż e f ^~j > j / » P r z y k ła d o s ią g a ln o ó c i te g o o g r a n i c z e n i a u d a ło s i ą p o k a z a ć t y l k o d l a a *■ 3 .

130 A. Oaniai

R o z p a try w a n o t a k ż e p e r r a u t a c y jn y p ro b le m p r z e p ły w o w y p r z y z a ło ż e n i u , ii j e ś l i r o z p o c z ę to r e a l i z a c j ę j a k i e g o ś z a d a n ia ^ t o .m u si ono b y ć realizo w an i b e z p r z e rw a ń s ż do j e g o z a k o ń c z e n ia / t z w . p ro b le m " b e z c z e k a n i a " /no w a i t / / . In n y m i s ł o w y , w każdym z a d a n iu po r o z p o c z ę c iu j e g o w yko n yw an ia o p e r a c j e muszę b y ć w yko n yw an e n a t y c h m ia s t j e d n a po d r u g i e j . P r o b le m y te-;

k i e w y s t ę p u ję na p r z y k ła d w h u t a c h , g d z ie pewne w le w k i n ie mogę wystygn?

i muszę b y ć w a lc o w a n e m a ję c o d p o w ie d n io w yso k ę t e m p e r a t u r ę . P ro b le m taki;

[

35

c j “ ^ ■

K . l

g d z ie p Q i *= 0 ( i = l , , . . , m ) .

Można w y k a z a ć , ż e p r z y p a d e k te g o p ro b le m u z dwiem a m asz yn am i można re w ię z a ć w w ie lo m ia n o w y m c z a s i e w 0 ( o 2 ) k r o k a c h £36] . N a t o m ia s t przypadek z c z te r e m a m aszyn am i j e s t j u ż s i l n i e N P - t r u d n y |^ 3 3 j. P r o b le m z trzem a tt[

s z y n a m i j e s t prob lem em o t w a r t y m , t z n . a n i n i e w y k a z a n o j e g o N P - tru d n o ści a n i n i e z n a l e z i o n o a lg o r y t m u w ie lo m ia n o w e g o .

W p ro w a d z e n ie o g r a n i c z e n i a “ b e z c z e k a n i a " może w sp o só b i s t o t n y zwięk­

s z y ć o p ty m a ln ę w a r t o ś ć k r y t e r iu m c roax C no w a i t ) . Można je d n a k ż e * pokazał,

¿ 6 * ’

Cmax ( no w a i t ) / C *ax < ra* d l a m > 2 *

g d z ie CraaK J o s t o p ty m a ln ę w a r t o ś c i ę k r y t e r iu m Craax d l a p ro b le m u b e z ogd n i c z e n i a : "b e z c z e k a n i a " .

W n a s tę p n y m r o z d z i a l e u o g ó ln im y ro z p a try w a n y - p o w y ż e j p e r m u t a c y jn y prti lem k o le j n o ś c lo w y na p r z y p a d e k , gdy c z a s y w y k o n y w a n ia o p e r a c j i na pewnyc1 m asz yn ach z a le ż ę l i n i o w o od i l o ś c i p r z y d z i e l o n y c h im z a s o b ó w .

A , P e r m u t a c y jn y p ro b le m p rz e p ły w o w y z o g r a n ic z e n i a m i z a so b o w y m i

W n in i e j s z y m r o z d z i a l e r o z p a tr z y m y p e r m u t a c y jn y p ro b le m p rz e p ły w o w y / s fo r m u ło w a n y w p o p rz e d n im r o z d z i a l e / p r z y z a ł o ż e n i u , że c z a s y wykonywa­

n i a o p e r a c j i na p ew n ych m a sz y n ach l i n i o w o z a l e ż ę od i l o ś c i p rz y d z ie lo n y cl im z a s o b ó w . N ie u m n i e j s z a j ę c z b y t n i o o g ó l n o ś c i r o z w a ż a ń , c B le m zwięzłegs z a p i s u , z a ło ż y m y , ż e c z a s y w y k o n y w a n ia w s z y s t k i c h o p e r a c j i z a l e ż ę od iloś­

c i p r z y d z i e lo n y c h im z a s o b ó w , p r z y czym k a ż d a m asz yn a tt ,' v ■ 1 , 2 , . . . , « d y s p o n u je i l o ś c i ę zaso b ó w U v . M o d e l o p e r a c j i Oi v J e s t n a s t ę p u j ę c y :

P l v 5 P l v ( u i v ) 4 b i v - ° i v ° l V W

g d z ie b i y > O , a j v > 0 eę z a d a n y m i p a r a m e tr a m i m o d e lu , a u i v J s a t ilo ści!

z a so b u p r z y d z ie lo n e g o do w y k o n a n ia o p e r a c j i 0 i y . Z b i ó r d o p u s z c z a ln y c h itf d z ia łó w zaso b ó w J e s t n a s t ę p u j ę c y :

P e r m u ta c y jn y p ro b le m p r z e p ły w o w y . . . 131

U = | u € Rm'n : u £ [ 'u 1 , . . . . u v , . . . , u j a

a ¥ ( v = 1 m) [ ( u v 6 [ u l v u i v ’ ” " u i v ] ) A

a-^C1 = 1 n) ( < L v ^ u i v ~ /? l v ) A £ 1 = 1 u i v ^ UJ }

gdzie oC i v , ^ i v ( i b i v / a i v ) s ? z a d a n y m i . t e c h n o lo g ic z n y m i o g r a ­ n ic z e n ia m i na z a k r e s zaso b ó w p r z y d z i e la n y c h o p e r a c j i 0 i v ;

£ 1 = 1 ^ 1 v ^ Uv ^ Z i = l Ą y

Problem t u t a j p o le g a na z n a l e z i e n i u t a k i e j k o l e j n o ś c i w y k o n y w a n ia z a ­ dań TT*eTTo r a z t a k i e g o r o z d z i a ł u zaso b ó w u *e U , a b y c z a s w y k o n a n ia w s z y s t ­ kich zadań c m ax( Tr o s i ą g n ą ł w a r t o ś ć m in im a ln ą , t z n . ;

m in min C ( t r , u ) = C ( n * , u * ) .

ir c T T u 6 U max ' maX '

W p o p rz e d n im r o z d z i a l e z o s t a ł o p o d k r e ś lo n e , że d la k la s y c z n e g o perm uta- cyjnego p ro b le m u p rz e p ły w o w e g o g r a n ic a m ię d z y w ie lo m ia n o w o ro z w ią z y w a ln y m problemem a N P - t rudnym l e ż y m ię d z y m = 2 a m = 3 . Dak s i ę za c h w i l ę o każe, dla prob lem u z z a s o b a m i l e ż y ona “ n i ż e j " , bo j u ż p ro b le m dw um aszynow y, z zasobami t y l k o na j e d n e j z m a s z y n , i z id e n t y c z n y m i w s p ó łc z y n n ik a m i n a c h y ­ le n ia a i v = a v , i = l , 2 , . . . , n , v = 1 .a lb o 2 j e s t N P - t r u d n y . D o k ła d n ie j , decyzyjna w e r s ja te g o p ro b le m u j e s t N P - z u p e łn a . Można j ą s fo rm u ło w a ć n a­

s tę p u ją c o :

'.F : Dany j e s t dwum aszynowy s y s te m w y k o n y w a n ia n n ie p o d z ie l n y c h z a d ań o stosach w y k o n y w a n ia pi 2 na d r u g i e j m a s z y n ie , m o d ele ( l ) zad ań na p ie r w s z e j m aszynie, z p a r a m e tr a m i b i l , oC±1m0 , i j L , i = l , 2 ... o r a z l i c z ­ bami U j i y / g d z ie n .a .^ ,b i l , P i 2 są n ie u je m n y m i li c z b a m i c a ł k o w i t y m i , a oraz y są n ie u je m n y m i li c z b a m i w y m ie r n y m i/ .

Pytanie: C z y i s t n i e j e TTe7F oraz u € U t a k i e , że /7T ,u ) £: y ? . Własność 1 ,

°WP J e s t NP-zupe łn a C323,

W dowodzie k o r z y s t a s i ę z d e c y z y j n e j w e r s j i p ro b le m u PO D ZIA ŁU Z B IO R U , a k tó re j w iadom o [ 2 7] , ż e j e s t N P - z u p e łn a . Ma ona p o s t a ć :

OWPZ: Dane są l i c z b y n a t u r a l n e k , e ^ , e 2 , . . . , e ^ , E t a k i e , że l U l = 2 E . P y t a n i e : c z y i s t n i e j e Q C K = ^ 1 , 2 , . . . , k j , t a k i , że

i ? Q e i = E 7

W y k o rz y s tu ją c n a s t ę p u j ą c y s z c z e g ó ln y p rz y p a d e k p ro b le m u W P: n = k + 1 , a 1 = 1 , b ^ = Z e i , = 2 e i , pi 2 = e jL,

« a i = 1 , 2 , . . . , k = n - l, b R l = E , - 0 , Pfl2 =» 2 E . U j = 2 E . y - 4 E . można w yk az ać w ie lo m ia n o w ą t r a n s f o r m o w a ln o ś ć DWPZ do DWP. / P r z y n a le ż n o ś ć DVfP do k l a s y zad ań NP j e s t o c z y w i s t a / .

Poniew aż DWP j e s t N P - z u p e łn a jW ię c p e r m u t a c y jn y p ro b ie ra p r z e p ły w o w y p rz y f a 2 , a i Ł o a 1# p i 2 ■ b i 2 , i » 1 , 2 , . . . , n , J e s t N P - tr u d n y /o z n e cz m y te n O statn i p ro b le m p r z e z P 2 / , co p o w o d u je , że n i e i s t n i e j e a lg o r y t m d o k ła d n y

132 A . Ja n ia k

o z ł o ż o n o ś c i w ie lo m ia n o w e j / j e ż e l i P / N P / r o z w ią z u j ą c y te n p ro b le m . Nie z n a c z y to j e d n a k , ż e p r z y p r z y j ę c i u d o d a tk o w y ch o g r a n ic z e ń n ie można po­

d a ć a lg o ry tm ó w e f e k t y w n y c h . Ł a tw o z a u w a ż y ć , że p ro b le m P2 d l a p rzyp ad k u z u s ta lo n y m r o z d z ia łe m zaso b ó w może b y ć t r y w i a l n i e r o z w ią z a n y a lg o ry tm e s Jo h n s o n w O (n - lo g n } k r o k a c h ; z d r u g i e j s t r o n y , j e ś l i p e r m u t a c ja tt jest u s t a l o n a , w ów czas może b y ć on r o z w ią z a n y w O ^n) k r o k a c h za pomocą a lg o ­ rytm u podobnego do a lg o r y tm u p r z e d s t a w io n e g o w [ l 5 ] . Z k o l e i ła t w o można p o k a z a ć , że j e ś l i w P2 p ^ = P 2 * w ó w czas n a s t ę p u j ą c y a l g o r y t m w o { n 2j k ro k a c h d a je o p ty m a ln e r o z w i ą z a n ie :

A lg o r y tm 1:

K ro k 1 . P o d s ta w N = 1 1 , 2 , . . . , n j , k : = l

K r o k 2 . W yz n acz p ^ : c P i ; l ( m in » U ^ 'j d la i £ N.

K r o k 3 . Z n a jd ź j £ N s p e ł n i a j ą c e p ^ = min { p^ } » n a s t ę p n ie p o d staw 7 7 * fk ):= j, U j i : =min j/ 3 i l , u l j u 1:*= L^-u^, k := k + l o r a z N : = N v ^ j J . J e ś l i N / ¡Z, p r z e jd ź do K ro k u 2 , w p rz e c iw n y m p rz y p a d k u - STOP:

j,

TT o r a z u d a j ą o p ty m a ln e r o z w i ą z a n ie .

N a to m ia s t p rz y p a d e k p ro b le m u P2 z /511= i = l , 2 , . . . , n , możni t r y w i a l n i e r o z w ią z a ć w 0 ( n - lo g n ) k ro k a c h s z e r e g u j ą c z a d a n ia z g o d n ie z n ie r o s n ą c y m i w a r t o ś c ia m i p^g f o t rzym uj emy pe r m u t a c ję 7r*) o r a z r o z d z ie la ją c z a s o b y z g o d n ie z n a s tę p u ją c y m a lg o ry tm e m / z ło ż o n o ś ć o b l ic z e n io w a Ofn'k : A lg o r y tm 2 :

K ro k 1 . D la i : ° l do n w y k o n a j K r o k 2

K ro k 2 . P o d s ta w u * ^ 1 ;= . * ± * . { 0 ^ x , u J , U ^ U ^ u ^ ' i ,

W powyższym a l g o r y t m i e i d a l e j p r z e z .u ^ . £. U b ę d z ie o z n a c z a n y optymalny r o z d z i a ł zaso b ó w d la p e r m u t a c j i t t cTT^ t z n . r o z d z i a ł d l a k t ó r e g o :

Cm a x (7 r * u*rr) = * * " „ Cm a x f ^ ‘ ) * u £ U

D la o g ó ln e g o p ro b le m u P2 / b e z s p e c y f ic z n y c h z a ło ż e ń u p r a s z c z a j ą c y c h / z a p ro p o n o w a n y z o s t a n i e n a s t ę p u j ą c y a lg o r y t m h e u r y s t y c z n y o z ł o ż o n o ś c i ob­

l i c z e n i o w e j o ( n 2J : A lg o r y tm h e u r y s t y c z n y :

K ro k 1 . P o d s ta w N: ■= { 1 , 2 , . . . , n j , k : » l , l : = n . ; K r o k 2 . W y z n a c z p ±1 = pi l ('m in (/S , u l ) ) d l a i £ N .

K r o k 3 . Z n a jd ź j f N o r a z q e { l , 2 i s p e ł n i a j ą c e P j q = m i n ^ p ^ , P i 2 ^J. 3eśll q - l , p o d s ta w 7TH ( k ) : Cj . u ^ ( k ) l := m in ( U * ) .

U 1 : c U l ~ uV ( k ) i » k : “ k + l , N := N - ^ j3 i J e ś l i N / ¡Z, p r z e jd ź do H '

K ro k u 2 , w p rz e ciw n y m p rz y p a d k u p r z e j d ź do K ro k u 4 . N a to m ia s t j e ś l i q - 2 , p o d s ta w i f H ( l ) : « = J , 1 : - 1 - 1 . N := N - ^ j} i j e ś l i N / p, p r z e jd ź do K ro k u 2 , w p rz e c iw n y m p rz y p a d k u p r z e jd ź do K ro K u 4.

K ro k 4 . D la i : » k do n w y k o n a j:

P e rm u ta c y jn y p ro b le m p rz e p ły w o w y . 1 5 3

p o d s ta w u ^ a ) l : » m in ( J ) . u J , ^ N a s t ę p n ie

STO P - TT^ w ra z z u *^ j e s t p o sz u k iw an ym r o z w ią z a n ie m p rz y b liż o n y m . H

Łatw o z a u w a ż y ć , że p o w y ż s z y a lg o r y t m h e u r y s t y c z n y s p e ł n i a w a r u n k i k o ­ nieczne o p t y m a ln o ś c i d l a p ro b le m u P 2 , t z n . m in C (TT.u>") =C (7T , u 'j r . )

\ j. u £ ii max H max H H

oraz m i ^ Cmgx(- ,u 7r H^ C max f T ^ . u * . ^ .

P rz e p ro w a d z o n o a n a l i z ę n a jg o r s z e g o p rz y p a d k u d l a p o w yższe g o a lg o r y tm u p r z y b liż o n e g o . Z a n a l i z y t e j w y n ik a , że w s p ó łc z y n n ik n a jg o r s z e g o p r z y p a d ­ ku d la te g o a lg o r y t m u j e s t rów ny 2 . M ożna t a k ż e p o k a z a ć , ż e g r a n ic a ta Je s t o s i ę g a l n a / t z n . p o d a ć p r z y k ł a d , d l a k t ó r e g o te n w s p ó łc z y n n ik w y n o s i d o k ład n ie 2 / . Z p u n k tu w id z e n ia a n a l i z y n a jg o r s z e g o p rz y p a d k u u z y s k a n y wy­

nik n ie j e s t r e w e l a c y j n y , p o n ie w a ż można ła t w o p o k a z a ć , ż e d l a h e u r e z y , w k tó rej b ie r z e m y d o w o ln ą p e r m u t a c j ę , a n a s t ę p n ie d la n i e j z n a jd u je m y o p t y ­ malny r o z d z i a ł z a s o b ó w , t e n w s p ó łc z y n n ik w y n o s i t a k ż e 2 / i j e s t o s i ę g a l n y / Tym n ie m n ie j z a p ro p o n o w a n a h e U re z a w y k a z u je b a r d z o w y so k ą d o k ła d n o ś ć e k s ­ p e ry m e n ta ln y . A m ia n o w i c i e , p r z e t e s t o w a n o 360 lo s o w o g e n e ro w a n y ch p r z y k ­ ładów, d la k a ż d e g o z n ic h w y z n a c z a n o n a s t ę p u j ą c y w s p ó łc z y n n ik

^ 4 ^ Cm ax"Cm ax )/ C m ax J- 1 00 % * 9d z i ® Cmax “ w a r t o ś ć k r y t e r iu m o trz y m a n a za pomocą p ro p o n o w a n e g o a l g o r y t m u , Cmax o p ty m a ln a w a r t o ś ć u z y s k a n a za pomocą plgorytmu p o d z i a ł u i o g r a n ic z e ń , p r z e d s t a w io n e g o w d a l s z e j c z ę ś c i te g o ro z d z ia łu . A r y t m e t y c z n a ś r e d n i a 360 w y li c z o n y c h w s p ó łc z y n n ik ó w w w y n o s i ła 0.00625%, a w a r t o ś ć m ak sym aln a 0 .4 7 9 2 1 % ;

O becnie p r z e jd z ie m y do p r z e s t a w i e n i a a lg o r y t m u d o k ła d n e g o r o z w i ą z u j ą c e ­ go problem P 2 , a n a s t ę p n ie p o k a ie m y , Ja k te n a lg o r y t m u o g ó ln ić na o g ó ln y przypadek z d o w o ln ą i l o ś c i ą m aszyn m i podamy w y n i k i o b l ic z e n io w e d l a pew­

nych p rz y k ła d ó w z 5 m asz yn am i i 20 z a d a n ia m i /1 0 0 o p e r a c j a m i/ . Z anim j e d ­ nak to z r o b im y ,p r z e d s t a w im y n a j p i e r w pew na w ł a s n o ś c i p r o b le m u , na k t ó r y c h bazuje a lg o r y t m .

Zaczniemy od pewnych d e f i n i c j i i oznaczeń.

TrćJkqi l i c z b , 7 r f j) , 7 T(ń)^ , d l a k t ó r e j z a c h o d z i

Cnax ( l r * ^ r ) TT(i1 1 " 3 T T i) 1* U T C i) 1 ) + Z i= J p T T (i) 2 *

będzie n azyw an a d ro g ą k r y t y c z n ą d l a TT / d o k ł a d n i e j , t a t r ó j k a w y z n a c z a d ro - 8? k r y t y c z n ą w TT / . W a r t o ś ć Craax(lT » u^-) ' b ę d z ie n az y w a n a d łu g o ś c ią d r o g i k ry ty c z n e j w 7 T , a l i c z b a n a t u r a l n a J b ę d z ie n azy w a n a k r y t y c z n ą p o z y c ją

* 7^{r .}

Łatw o z a u w a ż y ć , że może b y ć w i e l e d ró g k r y t y c z n y c h / o c z y w i ś c i e o t e j lan ej d łu g o ś c i Cn a x (7r ,u ^ .) / w JT p r z y r o z d z i a l e u^. . N ie c h k^. o z n o cż a lic z b ę w s z y s t k i c h d ró g k r y t y c z n y c h w T T ; o r a z n ie c h < J j . J g , . . . , j k # . . .•

3 ^ .^ b ę d z ie / u p o rz ą d k o w a n y m / c ię g ie m k o l e j n y c h k r y t y c z n y c h p o z y c j i w tr

3 i< J 2 < /•

A. Oanisi

P o d c i ę g i z a d ań 0 i r f l ) ' ' * ' irC J i ) ^ * * * * *

° T T ( J k - 1 +1> ' ^ ( K + 1 ) J ^

p e r m u t a c j i Tr będę n a z y w a n e , o d p o w ie d n io , p i e r w s z ę , , . . , k - t ę , . . . , i k.^ + l- s z ę / o s t a t n i ę / s e k c j ę z a d a ń w 7r / p r z y r o z d z i a l e zaso b ó w u V -

Można w y k a z a ć , ż e p ra w d z iw a j e s t n a s t ę p u j ę c a w ła s n o ś ć : W ła s n o ś ć 2 :

D la k a ż d e j p e r m u t a c j i z a d a ń Tr e T T , j e ś l i p e r m u t a c ja / ? z o s t a ł a o t r z y j na z TT p r z e z pewnę z m ia n ę k o l e j n o ś c i w y k o n y w a n ia z a d a ń i j e ś l i

Cmax ( 0 *u/j ) < Cm ax ^ 7 r *ui- ) * w ów czas w :

,-'1/ co n a jm n ie j J e d n o z a d a n ie z p i e r w s z e j s e k c j i z o s t a ł o p r z e s u n ię t e za o s t a t n i e z a d a n ie z t e j s e k c j i ; lu b

'2 / co n a jm n ie j je d n o z a d a n ie k - t e j s e k c j i j e s t p r z e s u n i ę t e p r z e d piern- s z e a l b o z a o s t a t n i e z a d a n ie t e j s e k c j i , d l a k=2 lu b 3 , , , . , lu b Ic^-i lu b

,/3/ co n a jm n ie j Je d n o z a d a n ie z o s t a t n i e j ' + l - e j / s e k c j i w TT zostałc p r z e s u n ię t e p r z S d p ie r w s z e z a d a n ie t e j s e k c j i .

W y k o r z y s t u j ę c p o w yż sze w ł a s n o ś c i e l i r o i n a ć y j n e , s k o n s t r u o w a n o a lg o ry ts , o p a r t y na m e t o d o lo g ii p o d z i a ł u i o g r a n ic z e ń , c e le m r o z w ię z a n ia problemu P 2 .

A lg o r y tm te n b y ł t e s t o w a n y na 360 lo s o w o g e n e ro w a n y c h p r z y k ła d a c h . !>:•

k ł a d n i e j j b y ł o p o '30 p r z y k ła d ó w z 5 0 ,1 0 0 ,1 5 0 i 200 o p e r a c j a m i , rozpatrytn- n ym i d l a t r z e c h s k r a j n y c h w a r t o ś c i / d o k ł a d n i e j d la w a r t o ś c i 0 .1 0 . 5 Ą ./ * Mak s y m a ln y c z a s r o z w ię z a n ia p rz y k ła d ó w , z 200 ope­

r a c j a m i w y n o s i ł 116 se k u n d / n a m a s z y n ie c y f r o w e j ODRA 1 3 2 5 / . D la 93.8 8?

g e n e ro w a n y ch 360 p rz y k ła d ó w ^ a lg o r y t m z n a j d o w a ł ' r o z w ię z a n ie o p ty m a ln e w p ie rw s z y m w ę ź le d rz e w a r o z w ię z a ń , a d la 5 .0 0 % w d ru g im w ę ź l e . Rozwię- z a n ie p o c z ą tk o w e w a l g o r y t m i e b y ł o . u z y s k iw a n e z a pomocę w s p o m n ia n e j heu- r e z y . Po w yż sz e b a r d z o s k ró to w o p r z e d s t a w io n e r e z u l t a t y b a d a ń empirycznyc1 ś w ia d c z ę o ty m , że z a p ro p o n o w a n y a l g o r y t m , mimo n i e n a j le p s z e g o oszaco«' n i e w s e n B ie a n a l i z y n a jg o r s z e g o p r z y p a d k u , c h a r a k t e r y z u j e s i ę b ard zo de­

b r ę o ce n ę e k s p e r y m e n t a ln ę ; a z a p ro p o n o w a n y a lg o r y t m d o k ła d n y , z k o l e i , c h a r a k t e r y z u j e s i ę sz y b k im ro z p o z n aw an ie m r o z w i ę z a n i a o p ty m a ln e g o .

P r z e jd ź m y o b e c n ie do o g ó ln e g o m m aszynow ego p e r m u t a c y jn e g o problemu p rz e p ły w o w e g o . Można p o k a z a ć , że p r z e d s t a w io n e w ł a s n o ś c i p ro b le m u P2 , s fo rm u ło w a n e we W ł a s n o ś c i 2 , można u o g ó l n ić na o g ó ln y m m aszynow y przyp!' d e k . Na b o z ie t y c h u o g ó ln io n y c h w ł a s n o ś c i można s k o n s t r u o w a ć a lg o r y tm ty­

pu p o d z i a ł u i o g r a n ic z e ń , W c e lu w y z n a c z e n ia o p ty m a ln e g o r o z d z i a ł u zaso­

bów u ^ - f U d l a u s t a l o n e j p e r m u t a c j i 7Tć7T z a s to s o w a n o pewnę m o d y fik a c ję a lg o r y t m u po d aneg o w £34] . T en u o g ó l n io n y a lg o r y t m t e s to w a n o n a 25 przy­

k ł a d a c h , k a ż d y z n ic h m i a ł 5 m aszyn i 20 z a d a ń / t z n . 100 o p e r a c j i / .

Pensiutacyj ny p ro b le m p rz e p ły w o w y . 135'

N ie s te ty w y n i k i n ie b y ł y J u ż t a k z n a k o m ite j a k d l a a lg o r y t m u o p ra c o w a n e ­ go d la dwu m a s z y n , w k tó ry m i s t o t n e z n a c z e n ie m ia ło z a s t o s o w a n ie wspom­

nianego a lg o r y t m u h e u r y s t y c z n e g o i b a r d z o d o b r y c h d o ln y c h o g r a n ic z e ń . Dla tego o g ó ln e g o a lg o r y t m u c z a s y o b l i c z e ń /ALGO L na ODRZE 1300/ b y ł y od k ilk u do k i l k u d z i e s i ę c i u m in u t . D la 6 p r z y k ła d ó w na 2 5 , t z n , d l a 24% b a ­ danych p r z y k ła d ó w , n ie z n a l e z i o n o r o z w ię z a n ia o p ty m a ln e g o w c ią g u g o d z in y . Wspomniany a lg o r y t m wymaga d a l s z y c h u le p s z e ń , w s z c z e g ó ln o ś c i o p r a c o w a n ia

nowych, w sp o só b i s t o t n y le p s z y c h a lg o r y tm ó w h e u r y s t y c z n y c h , d a ją c y c h ro z w iąz a n ie p o c z ą tk o w e w d o k ła d n ym a l g o r y t m i e . I s t o t n y w p ły w ma t a k ż e opracow anie le p s z y c h d o ln y c h o g r a n i c z e ń , je d n a k ż e - z d a n ie m a u t o r a - z b y t wiele t u t a j n i e da s i ę j u ż z r o b i ć / m a ją c na m y ś l i do-lrse- o g r a n ic z e n i a w y­

znaczane w w ie lo m ia n o w y m c z a s i e / .

5. Z a k o ń c z e n ie

W d a ls z y c h b a d a n ia c h d o ty c z ą c y c h ! s z e r e g o w a n ia o p e r a c j i na m asz yn ach przy z a ło ż e n i u , że c z a s y t r w a n ia o p e r a c j i mogą z m ie n ia ć s i ę w p ew n ych p rz e d z ia ła c h z m ie n n o ś c i , w a r t o b y ło b y z a j ą ć s i ę m o d e la m i ró ż n ic z k o w y m i [ 5 ,4 ] / d y n a m ic z n y m i/ o p e r a c j i . M o d e le t e d o k ł a d n i e j m o d e lu ją r z e c z y w is ­

tość, p o n ie w a ż p o z w a la j ą na z m ia n ę i l o ś c i p r z y d z i e lo n y c h zaso b ó w do o p e­

r a c ji w t r a k c i e i c h w y k o n y w a n ia , co j e s t p r a k t y c z n i e n ie m o ż liw e p r z y mo­

delach ro z p a tr y w a n y c h do t e j p o r y . P i e r w s z e p o c z ą t k i j u ż z r o b io n o , n p . w (44] podano p e w ie n a lg o r y t m h e u r y s t y c z n y d la p ro b le m u z r ó w n o le g ły m i ma­

szynami o o g r a n ic z o n y c h , p r z e p u s t o w o ś c i a c h , d l a s t a ł e j g l o b a l n e j i l o ś c i zasobów iz je d n a k o w y m i m omentam i d o s t ę p n o ś c i o p e r a c j i . Z k o l e i w [ l 8 , 2 1 , 1 6 j rozpatrywano pewne p r o b le m y p r z y z m ie n n e j w c z a s i e g l o b a l n e j i l o ś c i z a ­ sobów, ró ż n y c h m om entach d o s t ę p n o ś c i o p e r a c j i i p r z y z a ło ż e n i u n i e o g r a ­ niczonej p rz e p u s to w o ś c i- m a sz y n .

Rezultaty badań problemów sze reg o w a n ia zadań na maszynach przy wspom­

nianych dynamicznych modelach o p e r a c ji-m o g ą mieć s z c z e g ó l n ie i s t o t n e z a ­ stosowanie w e l a s t y c z n i e automatyzowanych pro c esac h prod ukcyjn ych.

LITERATURA

U] Błażewicz O .: P r o b le m y o p t y m a l i z a c j i k o m b in a t oty c z n e j - z ło ż o n o ś ć ob­

l i c z e n i o w a , a lg o r y t m y a p r o k s y m a c y j n e , PWN, W arsz aw o 1 S S 6 .

[2] Błażewicz O . , C e l l a r y W . , S ł o w i ń s k i R . , W ę g la r z O . : B c h e d u l i n g u p d e r Resource C o n s t r a i n t s : D e t e r m i n i s t i c M o d e ls , 3 . C . B a ^ t z e r , B a s e l , 1986.

136 A. dan

[3^] B u b n i c k i Z . : P r o b le m y o p ty m a ln e g o s t e r o w a n i a k o m p le k sa m i o p e r a c j i, P r a c e k o n f e r e n c j i n t . : P r o b le m y a u t o m a t y k i i i n f o r m a t y k i , tom : In ­ fo r m a ty k a i a u t o m a t y z a c ja k o m p le k s o w a , G l i w i c e ^ 1 97 3.

£4] B u b n i c k i Z . : O p tim a l c o n t r o l o f co m p le x o f o p e r a t i o n s w i t h randoc p a r a m e t e r s . P o d s ta w y S t e r o w a n i a , No 1 , 1 9 7 1 , s$ .r, 3 - 1 0 .

[5] B u r k o v V . N . : O p tim a l p r o j e c t c o n t r o l , 4 th C o n g r e s s o f IF A C , Techni-:

c a l S e s s i o n , 3 5 , 1 9 6 9 , s37 , 4 6 - 5 7 .

[ ó ] C a m p b e ll H . G . , Dudek R . A . , S m it h M . L . : A h e u r i s t i c a l g o r i t h m fo rtfe n j o b , m m a c h in e s e q u e n c in g p ro b le m . Mgmt S c i 1 6 , 1 97 0.

[7] C e l i a ry W . : R o z d z i a ł za so b ó w sy ste m ó w k o m p u te ro w y c h - p ró b y podejś­

c i a g l o b a l n e g o . R o z p ra w y N r 136 , W y d a w n ic tw o U c z e ln i a n e P o lite c h n ik ; P o z n a ń s k i e j , Po zn ań 1981.

£8] E lm a g h ra b y S . E . : A c t i v i t y n e t w o r k s , 0 . W i l e y an d S o n s , New Y o r k , 191 [9J F u lk e r s o n D . R . : A n e tw o r k f l o w c o m p u t a tio n f o r p r o j e c t c o s t curves,

M anag. S c i . 7 , 1 9 5 1 , s S i , 167 -17 8.

[10^] G a r e y M .R . , D ohnson D . S . : C o m p le x it y r e s u l t s f o r m u l t i p r o c e s s o r scte d u li n g u n d e r r e s o u r c e c o n s t r a i n t s . SIA M D . on C o m p u tin g 4 . 1975, p p . 397 -41 1.

£ ll] G a r e y M . R . , Dohnson D . S . , S e t h i R . : T h e c o m p le x it y o f flo w - s h o p ani jo b - s h o p s c h e d u li n g . M a t h . O p e r . R e s . 1 , 1 9 7 6 , s S / ', 1 1 7 - 1 2 9 .

[ l 2 ] G o n z a le z T . , S a h n i S . : F lo w s h o p an d jo b s h o p s c h e d u le s : c o m p le x it y and a p p r o x im a t io n . O p e r. R e s . 2 6 , 1 9 7 8 , s S T ; 3 6 - 5 2 .

£1 3] G ra b o w s k i 0 . , S k u b a ls k a E , , S m u t n i c k i C z . : On f lo w shop s c h e d u lin g w it h r e l e a s e and due d a t e s t o m in im iz e maximum l a t e n e s s . D . Opl.Res, S o c . v o l . 34,- No 7 , 1 9 8 3 , 351% 6 1 5 - 6 2 0 .

f l 4 j G ra b o w s k i D . , O a n ia k A . : O ob-shop s c h e d u li n g w i t h r e s o u r c e - t im e mo­

d e l s o f o p e r a t i o n s . E u r o p . D o u r n a l o f O p e r . R e s . 2 8 , 1 9 8 7 , s i r . - 58-71 [15] D a n ia k A . : T im e - o p tim a l C o n t r o l i n a S i n g l e M a c h in e P ro b le m w it h Re­

s o u r c e C o n s t r a i n t s . A u t o m a t ic s v o l . 2 2 , No 6 , 1 9 8 6 , s E t‘ . 745-747.

£li£) D a n ia k A . , S t a n k i e w i c z A . : On T im e - O p tim a l C o n t r o l o f a S e q u e n c e of A c t i v i t i e s u n d e r T im e - V a r ia b le R e s o u r c e . I E E E T r a n s , on A u t . Control 1988 /w d r u k u / .

[ l ? ] D a n ia k A . : G e n e r a l flo w - s h o p s c h e d u li n g w i t h r e s o u r c e c o n s t r a i n t s , I n t e r n a t . D o u r n a l o f P r o d u c t io n R e s e a r c h , 1988 /w d r u k u / .

[ l 8 j D a n ia k A . , S t a n k i e w i c z A . : T he e q u i v a l e n c e o f l o c a l and g l o b a l tine- o p t im a l c o n t r o l o f a c o m p le x o f o p e r a t i o n s . I n t e r n a t . D o u r n a l o f C o n t r o l , v o l . 3 8 , No 6 , 1 9 8 3 , sS»\, 1149-1 16 5..

£ l9 j D a n ia k A , : One - m a c h in e s c h e d u li n g w i t h a l l o c a t i o n o f c o n t in u o u s ly d i v i s i b l e r e s o u r c e an d w it h no p r e c e d e n c e c o n s t r a i n t s . K y b e m e t ik a , v o l . 2 3 , No 4 , 1 9 8 7 , sSi\. 2 8 9 - 2 9 3 .

[2o3 D a n ia k A . : Some p ro b le m s i n flo w - s h o p s e q u e n c in g . M o d e l l i n g , Simula­

t i o n and C o n t r o l , C , v o l . 1 3 , No 2 , 1 9 8 8 , s S l , 1-11 /w d r u k u / . [ 2 l j D a n ia k A . : T im e —O p tim a l C o n t r o l o f a S e q u e n c e o f P r o j e c t s o f A c t iv i­

t i e s . S y s t . A n a l . M o d e l. S i m u l . V o l . 4 , No 1 , 1 9 8 7 , s S i , 4 3 - 5 2 .

£223 D a n ia k A . : M in im i z a t io n o f th e Maximum T a r d i n e s s i n O n e - M a ch in e Soft d u lin g P ro b le m S u b j e c t t o P r e c e d e n c e an d R e s o u r c e C o n s t r a i n t s . Syst, A n a l. M o d e l. S i m u l . v o l . 4 , No 6 , 1 9 8 7 , sBJ-, 5 4 9 - 5 5 6 .

£233 D a n ia k A . : On a s i n g l e m a c h in e s e q u e n c in g t o m in im iz e th e maximum J 5' p o s t s u b j e c t t o r e s o u r c e an d p r e c e d e n c e c o n s t r a i n t s . A rc h iw u m A u t.

i T a le m . Tom X X X I , Z e s z y t 4 , 1 9 3 6 , s S T , 4 1 5 - 4 1 7 .

£243 D a n ia k A . : S i n g l a m a c h in e s e q u e n c in g w i t h l i n e a r3 ra o d o ls o f ./jobs sut' j e c t t o p r e c e d e n c e c o n s t r a i n t s , A r c h i r a ia A u t . i T e łe m . 1938 /w druh*

Pe rm u ta c y jn y p ro b le m p rz e p ły w o w y 157

["25] O a n ia k A . , G r a b o w s k i 0 . : O p t i m i z a c j a p ro b Ly e m y posl^-edowa t i e l n o s t i o p i e r a c i j s ra s p r i e d i e W r e n i j em r i e s u r s o i» w d i s k r i e t n y c h p ro iz v to d s t- tiie n n y c h s i s t i e m a c h , P r a c e I B S PA N , 5 9 , 1 9 8 0 , s S * ', 129-138.

[26] Oohnson S . M . : O p t im a l tw o - and t h r e e - s t a g e p r o d u c t io n s c h e d u le s w it h s e t u p t im e s i n c l u d e d , N a v . R e s , L o g . Q u a r t . No 1 , 1954.

[27] K a rp R . M . : R e d u c i b i l i t y among c o m b i n a t o r i a l p r o b le m s , w: C o m p le x it y o f C o m p u te r C o m p u t a t io n s . Ple n u m P r e s s . 1972. s g j', 8 5 -1 0 3 .

[28] K e l l e y , O r . , O . E . , C r i t i c a l p a t h p la n n in g and s c h e d u l i n g ; M a th e m a t i­

c a l b a s i s , O p e r . R e s . 9 , 1 9 6 1 , s S / \ 2 9 6 - 3 2 0 .

[29J K o w a lo w s k i H . / p r a c a z b io r o w a pod k ie r u n k ie m / : A u t o m a t y z a c ja d y s k r e t ­ nych p ro c e s ó w p r z e m y s ło w y c h , W N T ,W arszaw a 1984.

[30j Lagew eg B . O . . , L e n s t r a O . K . , R in n o o y Kan A . H . G . : A g e n e r a l b a u n d in g Scheme f o r t h e p e r m u t a t io n flo w - s h o p p ro b le m . O p e r .R e s . v o l . 2 6 , No 1 , 1 9 7 8 , s 6 r f 5 3 - 6 7 .

[3 l] L a w le r E . L . , L e n s t r a O . K . , R in n o o y Kan A . H . G . : R e c e n t d e v e lo p m e n ts in d e t e r m i n i s t i c s e q u e n c in g , and s c h e d u l i n g : a su r v e y . iw ij M. A . H . D e p s t e r , O . K . L e n s t r a , A . H . G . R in n o o y Kan / e d s / , D e t e r m i n i s t i c and S t o c h a s t i c S c h e d u l i n g , R e i d e l , D o r d r e c h t , 1 9 8 2 , sS*-. 3 5 -7 3.

[32J N o w ic k i E . , Z d r z a łk a S . : Dwum aszynowy p ro b le m p rz e p ły w o w y ze z m ie n ­ nym i c z a s a m i w y k o n y w a n ia z a d a ń . Z e s z y t y N auk.AG H w K r a k o w ie , Autom a­

ty k a 3 9 , 1 9 8 5 , S6i\- 1 61 -16 9.

1,33] P o p a d im it r io u C . H . , K a n e l l a k i s P . C . : F lo w s h o p s c h e d u li n g w it h l i m i ­ te d te m p o r a r y s t o r a g e , 0 . A s s o c . C om put. M a c h . 2 7 , 1 9 8 0 , sS-'', 533-549 [34^J P h i l l i p s S . , D e s s o u k y M . I . : S o l v i n g th e p r o j e c t t i m e / c o s t t r a d e o f f

p ro b lem u s in g th e m in im a l c u t c o n c e p t . M anagem ent S c i e n c e v o l . 2 4 , No 4 , 1 9 7 7 , s t i ' f 3 93 -40 0.

[35J P i e c h l e r 0 . E i n B e i t r a g zum R e ih e n f o l g e p r o b le m . U n te r n e h m e n s f o r s c h - ung 4 , 1 9 6 0 , s i * ', 1 38 -14 2.

[36] R e d d i S . S . , R am am oorth y C . V . : On th e flo w - s h o p s e q u e n c in g p ro b le m , w a it i n p r o c e s s . O p e r . R e s . Q u a r t . 2 3 , 1 9 7 2 , sS*'.. 323 -33 1.

S ł o w i ń s k i R . : A lg o r y t m y s t e r o w a n i a r o z d z ia łe m zaso b ó w ró ż n y c h k a t e ­ g o r i i w k o m p le k s ie o p e r a c j i . R o z p ra w y N r 1 1 4 , W y d . U c z e l . P o l i t . P o z n . Poznań^ 1980.

[38] T u r n e r S . , B o o th D . : C o m p a r is io n o f h e u r i s t i c s f o r f lo w shop s e q u e n ­ c in g . OMEGA The I n t . 01 p f Mgmt S c i . v o l . 1 5 , No 1 , 1 9 8 7 , s S . .7 5 - 8 5 . [39] T u z ik o v / A .W . : 0 d w u c h k r i t i e r i a l n o j z a d a c Z e t i e o r i i r o s p i s a n i j s u c io

tom i z m i e n i e n i j a d l i t i e l n o s t i e j o b s ł u ż i w a n i j a . Z u r n a ł w y c z i s l i t i e l - noj m a t i e m a t i k i i m a tie m a t ic z * r e s k o j f i z i k i , 2 4 , 1 9 8 4 , s i . , 1585-1590.

[40] Van W a s s e n h o v e L . N . , B a k e r K . R . : A b i c r i t e r i o n a p p ro a c h to t im e / c o s t t r a d e - o f f s i n s e q u e n c in g . E u r o p . 0 . O p e r .R e s . 1 ,1 9 8 2 , sS< ,.48-54.

[41] V ic k s o n R . G . : C h o o s in g th e j o b s e q u e n c e and p r o c e s s in g tim e t o m in i­

mize t o t a l p r o c e s s in g p l u s f lo w c o s t on a s i n g l e m a c h in e . O p e r. R e s , 2 8 , 1 9 8 0 , s t r . 1 15 5-1 16 7.

[42] W ę g la rz 0 . : M in im a ln o - c z a s o w e s t e r o w a n i e r o z d z ia łe m z a d ań i zasobów w k o m p le k s ie o p e r a c j i w w a ru n k a c h d e t e r m in is t y c z n y c h .R o z p r a w y N r 7 S , W yd. U c z e l . P o l i t . P o z n . , Po z n a ń 1976.

[43] W ę g la r z 0 . : S t e r o w a n i e w s y s te m a c h ty p u k o m p le k s o p e r a c j i , PWN, W arszaw a j 1981.

[44] W ę g la r z 0 . : P r o j e c t s c h e d u li n g w it h d i s c r e t e and c o n t in u o u s r e s o u r ­ c e s . I E E E T r a n s . SM C - 9 , 1 9 7 9 , sS *', 6 44 -55 0.

R e c e n z e n t : P r o f . d r h a b . i n ż . J . W ę g l a r z W p ły n ę ło d o R e d a k c j i do 19B8-04—3 0 .

138 A, Jania

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