Matematyka wybrane zagadnienia: ćwiczenia 7

1

Matematyka – wybrane zagadnienia: ćwiczenia 7 Zadanie 5/L4.

a) Niech (𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) oraz (𝑦₁, 𝑦₂, … , 𝑦_𝑛) będą dwoma elementami

przestrzeni 𝑅^𝑛. Udowodnić następującą nierówność zwaną nierównością Cauchy’ego:

(∑ 𝑥_𝑘𝑦_𝑘

𝑛

𝑘=1

)

2

≤ (∑ 𝑥_𝑘²

𝑛

𝑘=1

) (∑ 𝑦_𝑘²

𝑛

𝑘=1

)

Powyższą własność wykażemy analogicznie jak nierówność Schwarza w zapisie całkowym.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej 𝜆:

∑(𝑥_𝑘 + 𝜆𝑦_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

≥ 0

∑(𝑥_𝑘 + 𝜆𝑦_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

= ∑(𝑥_𝑘²+ 2𝜆𝑥_𝑘𝑦_𝑘 + 𝜆²𝑦_𝑘²)

𝑛

𝑘=1

=

∑(𝑥_𝑘²)

𝑛

𝑘=1

+ ∑(2𝜆𝑥_𝑘𝑦_𝑘)

𝑛

𝑘=1

+ ∑(𝜆²𝑦_𝑘²)

𝑛

𝑘=1

=

𝜆²∑(𝑦_𝑘²) +

𝑛

𝑘=1

2𝜆 ∑(𝑥_𝑘𝑦_𝑘)

𝑛

𝑘=1

+ ∑(𝑥_𝑘²)

𝑛

𝑘=1

≥ 0

∆≤ 0

[2 ∑(𝑥_𝑘𝑦_𝑘)

𝑛

𝑘=1

]

2

− 4𝜆²∑(𝑦_𝑘²)

𝑛

𝑘=1

∑(𝑥_𝑘²)

𝑛

𝑘=1

≤ 0 Po podzieleniu przez 4 otrzymujemy nierówność Cauchy’ego:

2

[∑(𝑥_𝑘𝑦_𝑘)

𝑛

𝑘=1

]

2

≤ (∑(𝑦_𝑘²)

𝑛

𝑘=1

) (∑(𝑥_𝑘²)

𝑛

𝑘=1

) b) Korzystając z nierówności Cauchy’ego wykazać, że funkcja

𝜌((𝑥₁, … , 𝑥_𝑛), (𝑦₁, … , 𝑦_𝑛)) = √∑(𝑦_𝑘 − 𝑥_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

jest metryką w 𝑅^𝑛.

Ad.1.

𝜌((𝑥₁, … , 𝑥_𝑛), (𝑦₁, … , 𝑦_𝑛)) = 0 ⟹ √∑(𝑦_𝑘 − 𝑥_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

= 0 ⟺ 𝑦_𝑘 − 𝑥_𝑘 = 0

⟺ 𝑦_𝑘 = 𝑥_𝑘

𝑦_𝑘 = 𝑥_𝑘 ⟹ √∑(𝑥_𝑘 − 𝑥_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

= √∑(0)²

𝑛

𝑘=1

= 0

Ad. 2.

𝜌((𝑥₁, … , 𝑥_𝑛), (𝑦₁, … , 𝑦_𝑛)) = √∑(𝑦_𝑘 − 𝑥_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

= √∑(−1(𝑥_𝑘 − 𝑦_𝑘))²

𝑛

𝑘=1

= √∑(𝑥_𝑘 − 𝑦_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

= 𝜌((𝑦₁, … , 𝑦_𝑛), (𝑥₁, … , 𝑥_𝑛))

Ad. 3.

3

𝜌((𝑥₁, … , 𝑥_𝑛), (𝑦₁, … , 𝑦_𝑛)) = √∑(𝑦_𝑘 − 𝑥_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

= √∑((𝑦_𝑘 − 𝑧_𝑘) + (𝑧_𝑘 − 𝑥_𝑘))²

𝑛

𝑘=1

=

√∑((𝑦_𝑘 − 𝑧_𝑘)²+ 2(𝑦_𝑘 − 𝑧_𝑘)(𝑧_𝑘− 𝑥_𝑘) + (𝑧_𝑘 − 𝑥_𝑘)²)

𝑛

𝑘=1

[𝜌((𝑥₁, … , 𝑥_𝑛), (𝑦₁, … , 𝑦_𝑛))]²

= ∑((𝑦_𝑘 − 𝑧_𝑘)²+ 2(𝑦_𝑘 − 𝑧_𝑘)(𝑧_𝑘 − 𝑥_𝑘) + (𝑧_𝑘− 𝑥_𝑘)²)

𝑛

𝑘=1

=

∑(𝑦_𝑘 − 𝑧_𝑘)²+ 2 ∑(𝑦_𝑘 − 𝑧_𝑘)(𝑧_𝑘− 𝑥_𝑘)

𝑛

𝑘=1

+ ∑(𝑧_𝑘 − 𝑥_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

≤

𝑛

𝑘=1

∑(𝑦_𝑘 − 𝑧_𝑘)²+ 2 (√∑(𝑦_𝑘 − 𝑧_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

) (√∑(𝑧_𝑘 − 𝑥_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

) + ∑(𝑧_𝑘 − 𝑥_𝑘)²

𝑛

𝑘=1 𝑛

𝑘=1

=

(ze wzoru skróconego mnożenia)

= [

√∑(𝑦_𝑘 − 𝑧_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

+ √∑(𝑧_𝑘 − 𝑥_𝑘)²

𝑛

𝑘=1 ]

2

Po wyciągnięciu pierwiastka:

𝜌((𝑥₁, … , 𝑥_𝑛), (𝑦₁, … , 𝑦_𝑛)) ≤ √∑(𝑦_𝑘 − 𝑧_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

+ √∑(𝑧_𝑘 − 𝑥_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

= 𝜌((𝑧₁, … , 𝑧_𝑛), (𝑦₁, … , 𝑦_𝑛)) + 𝜌((𝑧₁, … , 𝑧_𝑛), (𝑥₁, … , 𝑥_𝑛)) Co należało wykazać.

4

Zadanie 6/ L4.

Niech (𝑋, ‖∙‖) będzie przestrzenią unormowaną. Wykazać, że funkcja 𝜌(𝑥, 𝑦) = ‖𝑥 − 𝑦‖

Jest metryką w 𝑋.

Aby pokazać powyższą własność musimy odnieść się do definicji metryki.

Ad. 1.

⋁ 𝝆(𝒙, 𝒚) = 𝟎 ⇔ 𝒙 = 𝒚

𝒙,𝒚∈𝑿

𝝆(𝒙, 𝒚) = 𝟎 ⟹ ‖𝑥 − 𝑦‖ = 0 ⟺ 𝑥 − 𝑦 = 0 ⟺ 𝒙 = 𝒚 𝒙 = 𝒚 ⟹ ‖𝑥 − 𝑥‖ = 0 ⟺ 𝝆(𝒙, 𝒙) = 𝟎

Ad. 2.

⋁ 𝝆(𝒙, 𝒚) =

𝒙,𝒚∈𝑿

𝝆(𝒚, 𝒙)

𝝆(𝒙, 𝒚) = ‖𝑥 − 𝑦‖ = ‖−1(𝑦 − 𝑥)‖ = |−1|‖𝑦 − 𝑥‖ = ‖𝑦 − 𝑥‖ = 𝝆(𝒚, 𝒙)

Ad. 3.

⋁ 𝝆(𝒙, 𝒚) ≤

𝒙,𝒚,𝒛∈𝑿

𝝆(𝒙, 𝒛) + 𝝆(𝒛, 𝒚)

𝝆(𝒙, 𝒚) = ‖𝑥 − 𝑦‖ = ‖𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦‖ ≤ ‖𝑥 − 𝑧‖ + ‖𝑧 − 𝑦‖

= 𝝆(𝒙, 𝒛) + 𝝆(𝒛, 𝒚) Wykazaliśmy, że norma generuje metrykę.

5

Zadanie 7/L4.

Niech (𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) będzie elementami przestrzeni 𝑅^𝑛. Wykazać, że

‖(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) ‖ = √𝑥₁²+ 𝑥₂²+ ⋯ + 𝑥_𝑛² jest normą w 𝑅^𝑛.

Ad.1.

‖(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) ‖ = 0 ⟹ √𝑥₁²+ 𝑥₂²+ ⋯ + 𝑥_𝑛² = 0 ⟺ 𝑥₁² + 𝑥₂²+ ⋯ + 𝑥_𝑛² = 0

⟺ 𝑥₁² = 0 𝑖 … 𝑥_𝑛² = 0

𝑥₁² = 0 𝑖 … 𝑥_𝑛² = 0 ⟹ √0 + 0 + ⋯ + 0 = 0 Ad. 2.

‖𝛼(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) ‖ = √𝛼²(𝑥₁²+ 𝑥₂²+ ⋯ + 𝑥_𝑛²) = |𝛼|√𝑥₁²+ 𝑥₂²+ ⋯ + 𝑥_𝑛²

= |𝛼|‖(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) ‖ Ad. 3.

‖(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) + (𝑦₁, 𝑦₂, … , 𝑦_𝑛) ‖ = √(𝑥₁+ 𝑦₁)²+ ⋯ + (𝑥_𝑛 + 𝑦_𝑛)²

‖(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) + (𝑦₁, 𝑦₂, … , 𝑦_𝑛) ‖² = (𝑥₁+ 𝑦₁)²+ ⋯ + (𝑥_𝑛 + 𝑦_𝑛)² = 𝑥₁²+ 2𝑥₁𝑦₁ + 𝑦₁² + ⋯ + 𝑥_𝑛²+ 2𝑥_𝑛𝑦_𝑛+ 𝑦_𝑛² =

∑(𝑥_𝑘)²+ 2 ∑ 𝑥_𝑘𝑦_𝑘

𝑛

𝑘=1

+ ∑(𝑦_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

≤

𝑛

𝑘=1

∑(𝑥_𝑘)² + 2 (√∑(𝑥_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

) (√∑(𝑦_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

) + ∑(𝑦_𝑘)²

𝑛

𝑘=1 𝑛

𝑘=1

=

(ze wzoru skróconego mnożenia)

6

= [

√∑(𝑥_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

+ √∑(𝑦_𝑘)²

𝑛

𝑘=1 ]

2

Po wyciągnięciu pierwiastka:

‖(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) + (𝑦₁, 𝑦₂, … , 𝑦_𝑛) ‖ ≤ √∑(𝑥_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

+ √∑(𝑦_𝑘)²

𝑛

𝑘=1

= ‖(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) ‖ + ‖(𝑦₁, 𝑦₂, … , 𝑦_𝑛) ‖ Co należało wykazać.

Zadanie 1. L5.

Niech 𝑋 = 𝑊([0,1]) oznacza przestrzeń wielomianów na odcinku [0,1].

a) Udowodnić, ze funkcja 𝜌: 𝑋 × 𝑋 → [0, +∞)

𝜌(𝑤₁, 𝑤₂) = max|𝑤₁(𝑡) − 𝑤₂(𝑡)|

jest metryką w X.

Ad. 1.

𝜌(𝑤₁, 𝑤₂) = 0 ⟹ max|𝑤₁(𝑡) − 𝑤₂(𝑡)| = 0 ⟺ 𝑤₁(𝑡) − 𝑤₂(𝑡) = 0 ⟺ 𝑤₁(𝑡)

= 𝑤₂(𝑡)

𝑤₁(𝑡) = 𝑤₂(𝑡) ⟹ max|𝑤₁(𝑡) − 𝑤₁(𝑡)| = max|0| = 0 Ad. 2.

𝜌(𝑤₁, 𝑤₂) = max|𝑤₁(𝑡) − 𝑤₂(𝑡)| = max|−1(𝑤₂(𝑡) − 𝑤₁(𝑡))|

= max|𝑤₂(𝑡) − 𝑤₁(𝑡)| = 𝜌(𝑤₂, 𝑤₁) Ad. 3.

𝜌(𝑤₁, 𝑤₂) = max|𝑤₁(𝑡) − 𝑤₂(𝑡)| = max|𝑤₁(𝑡) − 𝑤₃(𝑡) + 𝑤₃(𝑡) − 𝑤₂(𝑡)| ≤

7

max|𝑤₁(𝑡) − 𝑤₃(𝑡)| + max|𝑤₃(𝑡) − 𝑤₂(𝑡)| = 𝜌(𝑤₁, 𝑤₃) + 𝜌(𝑤₃, 𝑤₂) Zatem wskazana funkcja jest metryką na zbiorze 𝑋.

Zadanie 2a)/L5 – do samodzielnego rozwiązania.

Zadanie 5/L5.

Niech 𝑋 będzie zespoloną przestrzenią unitarną. Udowodnić następujące własności iloczynu skalarnego:

a)

⋁ ⋁(𝒙, 𝜶𝒚)

𝜶∈𝑪

=

𝒙,𝒚∈𝑿

𝜶̅(𝒙, 𝒚)

Korzystamy wyłącznie z własności iloczynu skalarnego, które są podane w powyższej definicji oraz poniżej:

1. (𝒙, 𝒚) = (𝒚, 𝒙)̅̅̅̅̅̅̅

2. (𝜶𝒙, 𝒚) = 𝜶(𝒙, 𝒚)

3. (𝒙 + 𝒚, 𝒛) = (𝒙, 𝒛) + (𝒚, 𝒛) 4. (𝒙, 𝒙) = 𝟎 gdy 𝒙 = 𝟎

oraz (𝒙, 𝒙) > 𝟎 gdy 𝒙 ≠ 𝟎

Z których własności iloczynu skalarnego skorzystamy, żeby udowodnić wskazaną własność?

(𝒙, 𝜶𝒚) =^𝟏. (𝜶𝒚, 𝒙)̅̅̅̅̅̅̅̅̅ =^𝟐. 𝜶̅(𝒚, 𝒙)̅̅̅̅̅̅̅ = 𝜶̅(𝒙, 𝒚)̿̿̿̿̿̿̿ = 𝜶̅(𝒙, 𝒚) Co należało wykazać.

b)

8

⋁ (𝒙, 𝒚 + 𝒛) =

𝒙,𝒚,𝒛∈𝑿

(𝒙, 𝒚) + (𝒙, 𝒛)

Z których własności iloczynu skalarnego skorzystamy, żeby udowodnić wskazaną własność?

(𝒙, 𝒚 + 𝒛) =^𝟏. (𝒚 + 𝒛, 𝒙)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

(𝒚 + 𝒛, 𝒙)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ =^𝟑. (𝒚, 𝒙) + (𝒛, 𝒙)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝒚, 𝒙)̅̅̅̅̅̅̅ + (𝒛, 𝒙)̅̅̅̅̅̅̅

(𝒚, 𝒙)

̅̅̅̅̅̅̅ + (𝒛, 𝒙)̅̅̅̅̅̅̅ =^𝟏. (𝒙, 𝒚)̿̿̿̿̿̿̿ + (𝒙, 𝒛)̿̿̿̿̿̿̿ = (𝒙, 𝒚) + (𝒙, 𝒛) Co należało wykazać.

c)

⋁(𝟎, 𝒙) =

𝒙∈𝑿

𝟎

Podobnie jak przy metrykach także i tutaj skorzystamy z triku z odpowiednim zapisem zera:

(𝟎, 𝒙) = (𝒛 − 𝒛, 𝒙)

(𝒛 − 𝒛, 𝒙) =^𝟑. (𝒛, 𝒙) + (−𝒛, 𝒙)

(𝒛, 𝒙) + (−𝒛, 𝒙) =^𝟐. (𝒛, 𝒙) − 𝟏(𝒛, 𝒙) = 𝟎 Co należało wykazać.

d)

9

⋁ |(𝒙, 𝒚)| ≤

𝒙,𝒚∈𝑿

√(𝒙, 𝒙)√(𝒚, 𝒚)

Aby wykazać powyższą własność należy zastosować pewien trik – rozważmy następujący iloczyn skalarny dla 𝜆 ∈ 𝑅:

(𝒙 + 𝜆𝒚, 𝒙 + 𝜆𝒚) Jaki jest znak powyższego iloczynu skalarnego?

(𝒙 + 𝜆𝒚, 𝒙 + 𝜆𝒚) ≥ 𝟎

(𝑥 + 𝜆𝑦, 𝑥 + 𝜆𝑦) = (𝑥, 𝑥 + 𝜆𝑦) + (𝜆𝑦, 𝑥 + 𝜆𝑦) = (𝑥 + 𝜆𝑦, 𝑥)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + (𝑥 + 𝜆𝑦, 𝜆𝑦)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

= (𝑥, 𝑥)̅̅̅̅̅̅̅ + (𝜆𝑦, 𝑥)̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + (𝑥, 𝜆𝑦)̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + (𝜆𝑦, 𝜆𝑦)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ =

= (𝑥, 𝑥) + 𝜆(𝑥, 𝑦) + 𝜆(𝑦, 𝑥) + 𝜆²(𝑦, 𝑦) (jeśli rozpatrujemy przestrzeń wektorową rzeczywistą)

= 𝜆²(𝑦, 𝑦) + 2𝜆(𝑥, 𝑦) + (𝑥, 𝑥) Ostatecznie otrzymujemy:

𝜆²(𝑦, 𝑦) + 2𝜆(𝑥, 𝑦) + (𝑥, 𝑥) ≥ 0 Co możemy wywnioskować z powyższego równania?

∆≤ 0

4(𝑥, 𝑦)²− 4(𝑦, 𝑦)(𝑥, 𝑥) ≤ 0 (𝑥, 𝑦)² ≤ (𝑦, 𝑦)(𝑥, 𝑥) /√

|(𝑥, 𝑦)| ≤ √(𝒙, 𝒙)√(𝒚, 𝒚) Co należało wykazać.

10

e)

‖𝑥‖ = √(𝑥, 𝑥) Czy powyższe spełnia aksjomaty normy?

⋁‖𝒙‖ = 𝟎 ⇔ 𝒙 = 𝟎

𝒙∈𝑿

⋁‖𝜶𝒙‖ =

𝜶∈𝑿

|𝜶| ∙ ‖𝒙‖

⋁ ‖𝒙 + 𝒚‖ ≤

𝒙,𝒚∈𝑿

‖𝒙‖ + ‖𝒚‖

Ad. 1.

𝒙 = 𝟎 ⟹ √(0,0) = 0

‖𝒙‖ = 𝟎 ⟹ √(𝑥, 𝑥) = 0 ⟹ 𝒙 = 𝟎 Ad. 2.

‖𝜶𝒙‖ = √(𝜶𝒙, 𝜶𝒙) = √𝜶²(𝑥, 𝑥) = |𝜶|√(𝑥, 𝑥) = |𝜶| ∙ ‖𝒙‖

Ad. 3.

‖𝑥 + 𝑦‖ = √(𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦) = √(𝑥, 𝑥) + 2(𝑥, 𝑦) + (𝑦, 𝑦)

‖𝑥 + 𝑦‖² = (𝑥, 𝑥) + 2(𝑥, 𝑦) + (𝑦, 𝑦) ≤ (𝑥, 𝑥) + (𝑦, 𝑦) + 2√(𝑥, 𝑥)√(𝑦, 𝑦) Znak nierówności wprowadziliśmy poprzez skorzystanie z własności d).

Otrzymany rezultat możemy zapisać w kwadracie korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

(𝑥, 𝑥) + (𝑦, 𝑦) + 2√(𝑥, 𝑥)√(𝑦, 𝑦) = (√(𝑥, 𝑥) + √(𝑦, 𝑦))² Zatem:

11

‖𝑥 + 𝑦‖² ≤ (√(𝑥, 𝑥) + √(𝑦, 𝑦))² ⟺

‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ √(𝑥, 𝑥) + √(𝑦, 𝑦)

‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖

Co należało udowodnić.

Zad. 7 Lista 5.

Niech 𝑤₁, 𝑤₂ ∈ 𝐶¹[−2,3] (przestrzeń funkcji mających ciągłą pochodną), gdzie 𝑤₁(𝑥) = 3𝑥²− 4𝑥 + 4

𝑤₂(𝑥) = 2𝑥²− 2𝑥 + 7

Obliczyć odległość między funkcjami 𝑤₁, 𝑤₂ stosując do wyznaczenia tej odległości metrykę generowaną przez następującą normę:

a) ‖𝑤‖ = |𝑤(0)| + max_{−2≤𝑥≤3}|𝑤′(𝑥)|

Korzystamy z własności generowania metryki przez normę:

‖𝑤₁− 𝑤₂‖ = |𝑤₁(0) − 𝑤₂(0)| + max

−2≤𝑥≤3|(𝑤₁(𝑥) − 𝑤₂(𝑥))′|

W tym momencie pozostaje nam tylko obliczyć otrzymaną wartość.

𝑤₁(0) = 3 ∙ 0²− 4 ∙ 0 + 4 = 4 𝑤₂(0) = 2 ∙ 0²− 2 ∙ 0 + 7 = 7

𝑤₁(𝑥) − 𝑤₂(𝑥) = 3𝑥²− 4𝑥 + 4 − (2𝑥² − 2𝑥 + 7) = 𝑥²− 2𝑥 − 3 (𝑤₁(𝑥) − 𝑤₂(𝑥))^′ = (𝑥²− 2𝑥 − 3)^′ = 2𝑥 − 2

Zatem powyższe równanie możemy zapisać następująco:

‖𝑤₁ − 𝑤₂‖ = |4 − 7| + max

−2≤𝑥≤3|2𝑥 − 2|

Ile wynosi odległość pomiędzy wskazanymi funkcjami?

12

‖𝑤₁− 𝑤₂‖ = |4 − 7| + 6 = 9

Odległość między wskazanymi funkcjami w zadanej metryce wynosi 9.

b) ‖𝑤‖ = ∫ |𝑤(𝑥)|𝑑𝑥₋₂³

Korzystamy z własności generowania metryki przez normę:

‖𝑤₁− 𝑤₂‖ = ∫|𝑤₁(𝑥) − 𝑤₂(𝑥)|𝑑𝑥

3

−2

𝑤₁(𝑥) − 𝑤₂(𝑥) = 𝑥²− 2𝑥 − 3

13

‖𝑤₁ − 𝑤₂‖ = ∫|𝑥²− 2𝑥 − 3|𝑑𝑥

3

−2

Jak obliczyć powyższą całkę?

Musimy uważać na wartość bezwzględną!

∫|𝑥² − 2𝑥 − 3|𝑑𝑥

3

−2

= ∫ 𝑥² − 2𝑥 − 3

−1

−2

𝑑𝑥 − ∫ 𝑥²− 2𝑥 − 3

3

−1

𝑑𝑥

Równorzędnie powyższą całkę możemy zapisać następująco:

| ∫ 𝑥² − 2𝑥 − 3

−1

−2

𝑑𝑥| + | ∫ 𝑥²− 2𝑥 − 3

3

−1

𝑑𝑥|

Pozostaje nam obliczenie wskazanych całek oznaczonych:

14

∫ 𝑥²− 2𝑥 − 3

−1

−2

𝑑𝑥 = 𝑥³

3 − 𝑥²− 3𝑥|

−2

−1

=−1

3 − 1 + 3 − (−8

3 − 4 + 6) = 21 3

∫ 𝑥²− 2𝑥 − 3

3

−1

𝑑𝑥 = 𝑥³

3 − 𝑥²− 3𝑥|

−1 3

= 27

3 − 9 − 9 − (−1

3 − 1 + 3)

= −102 3

Ostatecznie:

‖𝑤₁− 𝑤₂‖ = |21

3| + |−102

3| = 13

Zatem odległość pomiędzy wskazanymi funkcjami w zadanej normą metryce wynosi 13.