R afa ł SZ K L A R C Z Y K P o litec h n ik a Śląska
M D M G V R P - N O W Y W A R IA N T PR O BLEM U M A RSZR U TY ZAC JI PO JAZDÓ W . CZĘŚĆ 1 - SFORMUŁOW ANIE PRO BLEM U
Streszczenie.
W a rty k u le k ró tk o sch a rak tery zo w an o p ro b lem m a rsz ru ty z a - cji p o jazd ó w (ang. V R P ), n a stę p n ie sform ułow ano now y w a ria n t problem u:p ro b lem m a rsz ru ty z a c ji p o jazd ó w z w ielom a m a g a z y n a m i i w ielom a a so rty m e n ta m i (M D M G V R P ). W iele o d m ian V R P sta n o w i szczególny p rz y p a d e k M D M G V R P . P u b lik a c ja n in iejsza zaw iera opis now ego w a ria n tu oraz m odel m atem aty czn y .
M D M G V R P - A N E W V A R IA N T OF VEHICLE R O UTING PROBLEM . PART 1 - DEFINITIO N
Summary.
T h e p a p e r p re se n ts a sh o rt in tro d u c tio n to V R P an d a defin itio n of M D M G V R P , a new' v a ria n t of V R P . A m a th e m a tic a l m od el of M D M G V R P is p re se n te d a n d discused. T h e p a p e r serves as in tro d u c tio n to th e p a p e r “M D M G V R P - a new v a ria n t of vehicle ro u tin g p roblem . P a r t 2 - th e C L P so lu tio n ” .
1. W stęp
O gólnie p ro b lem m a rsz ru ty z a c ji p o ja z d ó w (ang. V R P - vehicle routing p ro - blem ) p o leg a n a znalezien iu ja k n a jk ró ts z y c h dró g d la floty ciężarów ek o określonej ładow ności, m a ją c y c h odw iedzić z a d a n ą liczb ę m ia s t (lokalizacji klientów') w celu d o sta rc z e n ia lu b p o b ra n ia zad an ej liczb}' je d n o s te k to w a ru . O dległości p o m ięd zy m ia sta m i są d ane. Z ad an ie n ależ y rozw iązać ta k , a b y nie przek ro czy ć ładow ności po jazd ó w i zaspokoić z a p o trz e b o w a n ia klientów .
1.1. K lasyfikacja problem ów V R P
V R P w y stę p u je w w ielu w a rian tach . N azw y poszczególnych w ariantów ' V R P są tw orzone w w y n ik u dodaw 'ania do V R P przedrostków ', np. C V R P. M o żna t u w ym ienić ta k ie jak :
• C apcitated Vehicle R outing Problem (C V R P )
- hom ogeniczny w 'ariant V R P (z jed n ak o w y m i ciężarów kam i).96 R. S zklarczyk
•
M ultiple D epot VR P (M D V R P )
- d o staw y s ą dokonyw ane z w ielu m a gazynów.• V R P with Time W indows (V R P T W )
- do k lientów są p rzy pisy w ane“ok n a czasowe” (czas s ta r tu , czas zakończenia, czas ob słu gi). Z głoszenia m u
szą być obsłużone zgodnie z określonym i chw ilam i czasu.
• Stochastic V R P (SVR P)
- jeśli k tó ra ś ze składo w y ch pro b lem u zachow uje się stochastycznie.• Periodic V R P (P V R P )
- je ś h d o s t a w m u szą być dokonyw ane okresowo.•
Split Delivery V R P (SD V R P )
- je śli je d n o zgłoszenie m oże być o b służo ne przez kilka pojazdów .•
V R P with Backhauls (V R P B )
- jeśli p o ja z d y m u szą o d eb rać ła d u n e k po dok onaniu dostaw .•
V R P w ith Pick-Ups and D eliveries (V R P P D )
- jeśli p o ja z d y m uszą coś o d ebrać i dostarczyć do klientów .Pow yższą klasyfikację zap ro p o n o w n o w [1], D odatko w o w a rto zap o zn ać się z zap ropo no w aną bibliografią [2], O d sfom u ło w an ia V R P m inęło ju ż praw ie 50 la t [3]. O s ta tn ia dekada wskazuje n a szczególne zain tereso w an ie V R P . Z tego okresu pochodzi większość publikacji n a te m a t pro b lem u . C iekaw y p rzeg ląd p ro b lem u m ożem y znaleźć w [4].
2. Sformułowanie problemu M D M G V R P
K lasyfikacja obejm uje zn aczn e sp e k tru m problem ów . R zeczyw istość je s t zw ykle bardziej skom plikow ana niż m o d ele m a te m a ty c z n e , k tó re o d d a ją św iat w pew nym przybliżeniu.
R ozw ażm y sytuację, gdy d y sp o n u je m y p e w n ą liczb ą m agazynów . W ty ch m ag azy n ach przechow yw any je s t p ew ien za p as d ó b r należący ch do kilku ro d zajó w asortym entów . S ta n y poszczególnych m ag azy n ó w są o graniczon e i określone. D o
datkow o m am y do dyspozycji p e w n ą flotę ciężarów ek, k tó ry m i m ożem y d o starc zać aso rty m en ty do klientów.
K lienci i m agazyny z n a jd u ją się w m ia sta c h . O dległości p om ięd zy ty m i m iastam i są dane. W ielkości zam ów ień poszczególnych klientów są określone d la każdego aso rty m en tu .
O p isan a sy tu a c ja częściej o d p o w ia d a rzeczyw istości niż a b stra k c y jn y p ro blem V R P , określony dla jednego a s o rty m e n tu i n ieo graniczonych stan ó w m aga- zyńÓwych. D latego zdecydow ałem się w prow adzić kolejny w a ria n t V R P .
’’M D M G V R P” to ”
M ultiple D epots and M ultiple Goods Vehicle R o u tin g P roblem ” czyli :'problem m a rszru ty za c ji pojazdów z w ielom a m a g a zyn a m i i w ielom a a so rty m e n ta m i’’.
N iekiedy do rozw iązan ia M D M G V R P w y s ta rc z ą m odele m a te m e ty c z n e stw orzone d la innych w arian tó w V R P . W yo b raźm y sobie sy ta c ję k ied y m am y je d en m agazy n, w k tó ry m zap asy poszczególnych d ó b r są nieograniczone. W ta k im p rz y p a d k u rozw ażyć w y starczy zag ad n ien ie V R P d la sum y d o staw w szystkich asortym entów .
Jeżeli je d n a k po jaw i się więcej m agazynów lu b więcej m agazynów z o gran i
czeniem zapasów poszczególnych asorty m en tó w , do ro zw iązan ia koniecze s ta je się stw orzenie nowego m o d elu m atem aty czn eg o .
W iele d o ty ch czas spotykanych w a rian tó w V R P je s t w isto cie szczególnym prz y p ad k iem M D M G V R P . P o d o b n ie rzecz się m a do p ro b lem u kom iw ojażera.
3. M odel m atem atyczny
3.1. DefinicjeD a n a je s t p e w n a liczba m ia st M , p e w n a liczb a sam ochodów V oraz pew n a liczba aso rty m en tó w A . Z akładam y, że bez w zględu n a ro d z aj a so rty m e n ty konfekcjonow ane s ą w jednak o w y ch pojem n ik ach . S tą d w sp ó ln a je d n o s tk a m ia ry z a ła d u n k u i zam ów ień dla w szystk ich asorty m en tó w .
O dległości p o m ięd zy m ia sta m i określa m acierz O:
0 = {oi,j} i , j = (1)
gdzie i ozn acza m ia sto początkow e, j m ia sto końcowe.
W n iek tó ry c h m ia sta c h z n a jd u ją się magazyn}'. W m ag azy n ach przechow y
w an a je s t ok reślona liczb a pojem ników różnych asortym entów :
S — [Sa,jn] O, — 1, . . . , A] 771 = 1 , . . . , M , Sa,m€ N , ( 2 ) gdzie a o zn acza ro d z a j aso rty m e n tu , m m iasto , w k tó ry m je s t przechow yw any, V m ~ liczbę p ojem ników aso rty m e n tu a do stęp n y ch w m ag azy nie m . Jeżeli liczba s a,m je s t w iększa o d 0, oznacza to , że w m ieście m z n a jd u je się s ajn p o jem nikó w z aso rty m en te m a.
W n iek tó ry c h m ia sta c h z n a jd u ją się klienci, k tó ry c h zam ów ienia m u szą zo
sta ć zrealizow ane. Z am ów ienia oznaczone są m acie rzą D:
D = [ d a,m] a = l , m = l , da,m £ N , (3)
gdzie a ozn acza a so rty m e n t, m - m ia sto k lien ta, da^m - zam a w ian ą liczbę p o je m ników aso rty m e n tu a.
W d an y m m ieście nie m oże zn ajd o w ać się jed n o cześn ie m a g az y n i klient:
A A
Vrn 6 {1, . . . , M } : E Sa.m = 0 V E da,m = 0 (4)
a=l a= 1
Sam ochody, k tó ry m i d y sp o n u jem y w celu realizo w an ia zam ów ień, m a ją określone ładow ności lv w y rażone w liczbie pojem ników :
lv e N u = l , . . . , Y (5)
98 R. Szklarczyk
oraz charakteryzują się kosztem przejazdu jednostki odległości:
ą , € N v = l , . . . , V j (6) gdzie
cvoznacza koszt przejechania jednej jednostki odległości przez samochód
v.Samochody mają określone miasto startowe:
Pv v = l , . . . , V ; pv e { l , . . . , M } ,
(7) gdzie
pvoznacza miasto startowe samochodu
v.Dla zobrazowania rozważmy na
stępujące dane:
M
- 9 A ==
2 V =3;
h
== 9,¿2 = 15,
h =15, ci = 1, C2 == 1,
C3 =1,
P\= 4,
P2=- 4,
Pz =5,
'
0, 6, 10, 5, 9, 4,
8, 10, 13 6 , o, 4,
3, 5, 7, 9, 7, 9 10, 4,
0, 7, 3, 11, 12, 9, 7 5, 3, 7,
0, 4, 4, 5, 5, 7
= 9, 5, 3, 4,
0,
8,
8, 5, 4 4, 7, 11, 4,
8,
0, 4, 7, 11
8, 9, 12, 5,
8, 4,
0, 4, 9 10, 7, 9, 5,
Dy7, 4,
0, 4 13, 9, 7, 7, 4, U, 9, 4, 0
s
0,
0,
0, 10 3
0,
0, 0, 0
0, 0, 0, 5, 5
0,
0, 0, 0
D'1 , 2, 0 0,
0, 3, 1, 3, 3 '
.2 , 1 9 0,
0,
0, 1, 1, 3 .
Rjrsunek 1 obrazuje problem MDMGVRP dla powyższych danych.
3.2. Sformułowanie problemu
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
XV
= [•<!■!, m2]
V = 1 , . . . , V ; mi ,m2 = 1, . . . ,
M; < ni,m2 € {0,1}, (8) gdzie
X vjest macierzą trasy przejechanej przez samochód
v,zbudowaną w nastę
pujący sposób:
v _ j
1 jeżeli samochód
vjedzie z miasta
m \do
m2,Q,
| o w przypadku przeciwnym
m
_nyDB
m
m, n s
m.
3 1
S j
m.
Legenda:
Cl J - Miasto m( z zamówieniami
m5
- Miasto m5 z magazynem
VV . \ - Miasto startu samochodu v.
- Jednostka odległości
- Jednostka pojemnik z asortymentem
R ys. 1. D ane M D M G V R P
D a n y sam o ch ó d m oże odw iedzić d a n e m iasto co n ajw y żej ra z, co zapisu jem y w zo
rem :
M
E Vf G { 1 , . . . , V }, Vm.2 G { 1 , . . . , M } (10) mj =l
P o d o b n ie d an y sam o ch ó d m oże opuścić d a n e m ia sto co n ajw y żej raz, co za p isu jem y w zorem :
M
E < 1 W € { 1 ,..., V}, Vmi G {1, ■ ■ •, M} (11)
ni2=l
Jeżeli d a n y sam o ch ó d uczestnicz}7 w tra n s p o r ta c h , to w y ru sza ze sw ojej lokalizacji starto w e j. Jeżeli n a to m ia s t nie uczestn iczy w tr a n s p o r ta c h (nie w y ru sz a z lokalizacji sta rto w e j), to w szy stk ie elem enty jego tr a s y p rz y jm u ją w a rto ść 0.
M ożem y to zapisać w sposób n astęp u ją cy :
M M M
W 6 { 1 , . . . , V } : E = 0 =* E E < m 1,m2 = 0 (12)
7712 = 1 7771 = 1 7772 = 1
O znaczm y lite rą Z vm acierz załadunków :
Z = K m ) a = 1 , . . . , A; m = l , . . . , M ; z va m € N , (13) gdzie z va m o zn acza liczbę p o jem ników z a so rty m e n te m a załad o w an y ch do sam o chodu v w m ieście m.
S u m a za ład u n k ó w w szystkich sam ochodów w d a n y m m ieście nie m oże być w iększa niż s ta n m agazynu:
Vm £ { 1 , . . . , M } , Va £ 4 , m < s a,m (14)
V = 1
100 R. S zklarczyk
K ażd y z a ła d u n e k m usi być m niejszy lu b rów ny dopuszczalnej ładow ności ro z p a
try w an eg o sam ochodu:
Vm € { 1 , , M } , Va € { 1 , . . . , A}, W G { 1 , . . . , V } : < ls (15) P o d o b n ie m ożna zdefiniow ać m acierz rozładunków :
R = K , J v = l , . . . , V ] o = l , . . . , A; m = 1 , . . . . Ad; r va m G N , (16) gdzie r„ m ozn acza liczbę pojem ników z a so rty m e n te m a w yładow anych z sam o chodu v w m ieście m .
K ażde zam ów ienie m usi być zrealizow ane, co oznacza, że s u m a w yłado w a
nych towarów^ w d an y m m ieście m usi być ró w n a zam ów ieniu w ty m m ieście:
Vm € { 1 , . . . , M} , Vo 6 { 1 , . . . , A}: £ < m = d a ,m (17)
V — \
W niniejszym w arian cie V R P (w o d ró ż n ie n iu od S D V R P ) przyjm ujem y, że zam ó w ienia n a w szystkie to w a ry w d a n y m m ieście m u szą być za ła tw io n e p rzez je d e n tra n s p o rt:
Vm € { 1 , . . . , M } , 3 v G { 1 , . . . , V’}:
r a , m = d a,m V o e { l , . . . , A } (18)
Z akładam y, że w szy stk ie sam o ch o d y ła d u ją d o k ła d n ie ty le tow arów , ile później rozładowm ją. S u m a zała d u n k ó w każdego sam o ch o d u je s t ró w n a sum ie ro z ła d u n ków':
Vv € { 1 , . . . , V}, Va € { 1 , . . . , A ):
M M
Z
< m= Z
r a,m(19)
iii=l m= 1
S am ochody m u szą odw iedzić m ia sta , w k tó ry c h są ro z ła d u n k i lu b za ła d u n k i. M u
szą do nich d ojechać lu b m u szą z nich w yruszyć. D zieje się t a k w p rz y p a d k u , gdy ro z p a try w a n e je s t m iasto sta rto w e . W op isyw anym w arian cie zakładani}', że sam o ch o d y nie m u szą powTÓcić do m ia s ta starto w eg o , z k tó reg o wryruszyły. S tąd :
Vv G { l , . . . , K } , V m G { 1 , . . . , M } :
z a,m > 0 V r a,m > 0, O = 1, . . ., A =►
M M
Z <a,m2 = lV £ = 1 (20)
m2= l m\ —1
M ając zdefiniow ane z a ła d u n k i i ro z ła d u n k i n ależy p a m ię ta ć o ty m , że dop uszczal
n a ładow ność sam o ch o d u nie m oże być p rz ek ro c zo n a w k tórym k olw iek m iejscu trasy . To znaczy, że p rz y sp raw d zen iu , czy w d an y m m ieście sam o ch ó d nie zo stał
przeładow any, m usim y w ziąć p o d uw agę za ła d u n ek , w y ła d u n e k oraz ład u n ek , k tó ry w ynika z b ila n su za ład u n k ó w i ro zład u n k ó w p o p rzed n ieg o odw iedzonego m ia s ta , stąd :
W G { l , . . . , k } , V m e { 1 , . . . , M } : 0 < B ( y , m ) < lv, gdzie:
A
Z « ,
B ( v , m ) r a,m) + B{ v, mo)
fl=l
(21)
( 2 2 )
a \v m ieście sta rto w y m danego sam ocho du:
B ( s , p v) = E « Ps
0 = 1
) (23)
D odatkow o n ależy p a m ię ta ć , że ab y sam o ch ó d m ógł coś za ład o w ać lu b rozładow ać, to m usi odw iedzić d an e m iasto , stąd :
m o r2’0
a.ni o) ^ O VQ € { ! , . . . . y j . m o € { 1 , . . . , M } =»
A v~a.,7 a=l
( 3 m € { 1 , . . . . A/} : = 1 V 3 m € { 1 , . . . , A/} : x $ L 0 = 2) (24) K oszt tra n s p o rtó w zależny je s t od odległości p rz ejech a n y ch przez poszczególne sam ochody, s tą d fu n k c ja celu:
F ( X \ . . . , X r ) = Z Z Z * c, (25)
0=1 «¡1=1 072 = 1
R ozw iązanie p ro b lem u polega n a zn a lezien iu ta k ic h m acie rzy X v, Z v oraz R v, ab y w a rto ść funkcji celu F b y ła ja k n a jm n ie js z a i w szystkie pow yższe og ran iczen ia b y ły spełnion e.
P ro b le m nie z o sta ł sprow adzony do p o sta c i k ano niczn ej, gdyż m e to d y za
stosow ane do jeg o ro z w iązan ia w [5] teg o nie w y m ag a ją .
D la p rz y k ła d u z ro z d ziału po p rzed n ieg o ro zw iązan ie d op u szczaln e w y g ląd a n astęp u ją co :
Z i =
R i =
X =
o, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 0 ' 0, 0, 0, 3, 0, o. 0, 0, 0 1, 2, 0, 0, 0, 3, 0, 0; 0 '
9 1, o, 0, 0, 0, 0, 0, 0
0, 1, o. o, 0, 0, 0, 0, 0 ' 0, 0, 0. 1, 0, 0, o, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, o, 0, 0, 1, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, o, 0, 0, 0, 0 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, o, 0, 0, 0, 0, 0, 0
102 R . S zk larczy k
^2 =
R2
X 2
=
¿3 =
R z
X *
' 0, o, o, 4, o, o, o, o, 0 '
0, o, o, 2 o, o. o, o, 0
’ 0, o, o, 0, o, o, 1, 3, 0 '
o, o, o, o, o, o, 1, 1, 0
’ 0, o, o, o, o, o, 0, o, 0 '
o, o, o, o, o, o, o, o, 0
o, 0, o, o, 0, o, o, o, 0
o, o, o, o, o, o, 1, o, 0
o, o, 0, o, o, o, o, o, 0
o, o, o, o, o, o, o, 0, 0
o, o, o, o, o, o, o, 1, 0
o, o, o, 1, o, o, o, o, 0
o, o, o, 0, o, o, o, o, 0 _
’ 0, 0, o, o, 3, o, 0, o, 0 ■
0, o, o, o, 5, o, o, 0, 0
' 0, o, o, o, o, 3, o, o, 3 ■
0, o, 2, o, o, o, o, o, 3
’ o, o, o, o, o, o, o, o, 0 '
o, o, o, o, o, o, o, o, 0
o, o, o, o, o, o, o, 0, 1
o, o, o, o, o, o, o, o, 0
o, o, 1, o, o, o, o, o, 0
o, o, o, o, o, o, o, o, 0
o, o, 0, o, 0, o, o, o, 0
o, o, o, 0, o, o, o, o, 0
0, o, 0, o, 1, o, 0, o, 0
W celu zilustrowania rozwiązania MDMGYRP zamieszczono rys. 2.
LITERATURA
1. Gam W.: h ttp ://o sir is.tu w ie n .a c .a t/~ w g a r n / V ehicleR outing/vehicle_routing. html Publikacja internetowa, Wiedeń, 2002.
2. Garn W.: h ttp ://o sir is.tu w ie n .a c .a t/~ w g a r n /
V ehicleR outing/neo/biblio.htm l
Publikacja internetowa, Wiedeń, 2002.
Legenda:
s
iT ig - Miasto z T j zamówieniamiD 1
- Miasto mg z magazynem
- Miasto startu samochodu vt
- Jednostka odległości - Jednostka pojemnik z asortymentem
-Trasa samochodu
R ys. 2. R ozw iązanie M D M G V R P
3. D a n tz ig R ., R a m se r R .H .: T h e T ruck D isp atch in g P ro b lem . M an ag em en t Science, vol. 6, 1959.
4. T o th P., Vigo D.: T h e V ehicle R o u tin g P ro b lem . SIA M M o no graph s on D i
sc re te M a th e m a tic s a n d A p p licatio n s, P h ila d e lp h ia 2002.
5. S zklarczyk R .: M D M G V R P - now y w a ria n t p ro b lem u m a rsz ru ty z a c ji p o ja z dów. C zęść 2 - R ozw iązanie m e to d ą C LP. X V K ra jo w a K o n feren cja A u to m aty z a c ji P recesów D ysk retn y ch , Z akopane 2006.
P o d z i ę k o w a n ia
A u to r ch ciałb y podziękow ać P rof. A. N iederlińskiem u za po m oc p rz y o p ra cow aniu teg o a rty k u łu .
T h e V R P p ro b lem is one of su p p lin g a set of c u s to m e r s w ith a single com m odity, using a fleet of vehicles, u n d e r c o stra in ts on vehicles, ro u te s, an d cu sto m ers. E ach vehicle h a s a c e rta in c a p a c ity a n d each cu sto m er h as a c e rta in d e m an d . T h e re is also a se t of d e p o ts sto rin g a n u n lim ite d n u m b er of co m m o dities a n d th e d ista n c e m a trix for all relev an t d istan ces. T h e goal is to m inim ize th e to ta l d ista n c e trav e led or th e n u m b e r of vehicles re q u ire d to solve th e p ro b lem , so t h a t all d em an d s a re satisfied.
T h e p a p e r p re se n ts a new v a ria n t of V R P called M u ltip le D e p o ts an d M ul
tip le G oo ds V ehicle R o u tin g P ro b lem (M D M G V R P ). I t is ch a rac te rized by a d d i
R ecenzen t: P rof. d r h ab . inż. Z bigniew B an asz ak
A b s t r a c t
104 R. S zklarczyk
tio n a l co n stra in ts. T h e first c o n stra in t is t h a t th e re is a nurnger of d e p o ts sto rin g a lim ite d n u m b e r of different com m od ities. F or ex am p le a fa c to ry offers ap p le ju ic e an d b a n a n a juice. T h e second c o n stra in t is t h a t cu sto m ers m ay d e m a n d so
m e am o u n ts of diffrent com m odities. T h e goal is to m inim ize th e t o ta l d ista n c e trav e led w hile m eetin g all d em an d s an d re sp e c tin g all a p ro p ria te co n stra in ts.
A m a th e m a tic a l m odel for M D M G V R P h as b ee n fo rm u late d an d discused.
A C L P so lu tio n so lu tio n is p re se n te d in acco m p an in g p a p e r “M D M G V R P - a new v a ria n t of vehicle ro u tin g p roblem . P a r t 2 - th e C L P so lu tio n ” .
