evenwichtstoedelingsmodel voor
meerdere voertuigtypen
Juni 1987 Ir. J.W. Houtman/ir. M. van der Vlist
.y".
L
\ \
Z
:...
\ \•Ik.
••r
/ / /ƒ
/ R a p p CT VK 8 7 - 0 6T U Delft
Technische Universiteit Delft
Faculteit der Civiele Techniek Vakgroep Verkeer
VK 3102.201
6. ISSN-nuraraer 0920-0592
2. Titel rapport
Ontwikkeling van een evenwichtstoedelings-model voor meerdere voertuigtypen
7. Thema
Verkeersmodeltechniek
3. Schrijver(s)/redacteur(s) ir.J.W. Houtman
ir. M. van der Vlist
8. Onderzoekproject
Routekeuze in overbelaste netwerken
4. uitvoerend instituut
Laboratorium voor Verkeerskunde TU Delft Nederlands Vervoerswetenschappelijk Instituu
9. Categorie rapport Wetenschappelijke publicatie 5. Opdrachtgever(s) Rijkswaterstaat 10. DatuB publlkatie Juni 1987 11. Samenvatting
Doelstelling van het onderzoek is het ontwikkelen van een algoritme voor de simultane toedeling van meerdere scheepstypen aan een vaarwegennet, rekening houdend met verschillen in bevaarbaarheid, onderlinge interacties en congestie.
Traditionele toedelingsmodellen voor het autoverkeer schieten hiervoor tekort, omdat de scheepvaart zich op een aantal wezenlijke punten van dit autoverkeer onderscheidt. Het belangrijkste verschil wordt gevormd door het feit dat niet alle vaarwegen bevaarbaar zijn voor alle schepen als gevolg van beladingsgraad en afmetingen.
Vanwege de aanwezigheid van congestie in het netwerk is ervoor gekozen een evenwichtstoedeling te gebruiken. Na bestudering van de literatuur op het gebied van multi user class assignment is een algoritme ontwikkeld, die op een aantal testnetwerkjes is uitgetest. Als belangrijkste toetsingscrite-ria zijn daarbij gehanteerd de mate waarin het Wardrop-evenwicht bereikt wordt en het verloop en de snelheid van het convergentieproces.
De belangrijkste conclusies zijn:
- het is mogelijk met het ontwikkelde algoritme een simultane evnwichts-toedeling van meerdere gebruikersklassen (scheepstypen) aan een netwerk (vaarwegennet) te berekenen;
- de door Rijkswaterstaat ontwikkelde weerstandsfuncties voor sluizen en bruggen voldoen niet aan de eisen voor een convergerend proces;
- gebruik van normaalschipequivalentiecijfers welke verschillen per ge-bruikersklasse èn per linktype staan de convergentie eveneens in de weg.
12. Begeleidingscommissie 14. Bijbehorende rapporten
13. Praktijkcontacten 15. Aantal blz.
54
16. Prijs
11,-Vakgroep VERKEER
ONTWIKKELING VAN EEN EVENWICUTSTOEDELINGSMODEL VOOR MEERDERE VOERTUIGTYPEN
Ir.J.W.Houtman Ir.M. van der Vlist
1. Inleiding 1 1.1 Probleemstelling en doelstelling 1
1.2 Onderzoeksopzet 2
2. Toedeling van verkeer aan netwerken 3 2.1 De toedeling als onderdeel van het prognosemodel 3
2.2 Toedelingstechnieken 3 2.3 Multi user class assignment 5
3. Literatuuronderzoek 7 3.1 Algemeen 7 3.2 Eisen bij één gebruikersklasse 7
3.3 Eisen bij meerdere gebruikersklassen 7 3.4 Toegepaste technieken voor multi user class
assignment 8 3.4.1 Key-methode 8 3.4.2 Kwadratische model 9 3.4.3 Van Vliet c.s. 10 3.4.4 Variationele ongelijkheden 12 3.5 Conclusies 13
4. Het nieuwe algoritme 14 4.1 Uitgangspunten 14 4.2 De weerstandsfuncties 15 4.3 Verbeteringsrichting 21 4.4 Stapgroottebepaling 22 4.5 Doelstellingsfunctiewaarde 25 4.6 Normaalschipequivalentiecijfers 26 5. Resultaten 27 5.1 Algemeen 27 5.2 Eerste testnetwerk 28 5.3 Tweede testnetwerk 32 6. Conclusies 34 Literatuur 35
1.1 Probleemstelling en doelstelling
De hoofdafdeling scheepvaart van Rijkswaterstaat heeft het Nederlands Vervoerswetenschappelijk Instituut opdracht gegeven een model te ont-wikkelen voor de toedeling van scheepvaartbewegingen aan het (binnen-landse) vaarwegennet.
De bestaande toedelingsmodellen voor het autoverkeer schieten hier-voor tekort omdat de scheepvaart zich op een aantal wezenlijke punten van het autoverkeer onderscheidt. Het meest belangrijke onderscheid betreft de toegankelijkheid van het netwerk voor de diverse scheeps-typen. Niet alle vaarwegen zijn bevaarbaar door alle schepen: afme-tingen en beladingsgraad leggen beperkingen op aan de beschikbare vaarwegen.
De grote verschillen in afmetingen, snelheid en wendbaarheid tussen de diverse scheepstypen in combinatie met de beperkte bevaarbaarheid van een aantal vaarwegen maken het onderscheiden van meerdere gebrui-kersklassen noodzakelijk. De meeste van deze aspecten zijn door het NVI in een model geïncorporeerd. Om echter het aspect van de onder-linge interacties tussen de gebruikersklassen te kunnen verwerken, is een simultane toedeling van deze gebruikersklassen aan een netwerk noodzakelijk.
Omdat bij de vakgroep Verkeer van de Technische Universiteit Delft eveneens onderzoek naar deze problematiek gaande was, is besloten de mogelijkheden van simultane toedelingen gezamenlijk te onderzoeken.
De doelstelling van het onderzoek luidt als volgt:
Doelstelling van dit onderzoek is het onderzoeken van de mogelijkhe-den en het ontwikkelen van een algoritme voor de simultane toedeling van meerdere scheepstypen aan een vaarwegennet, rekening houdend met verschillen in bevaarbaarheid, onderlinge interacties en congestie.
1.2 Onderzoeksopzet
Het onderzoek is op de volgende wijze gestruktureerd.
In de eerste plaats is een keuze gemaakt voor wat betreft de te ge-bruiken toedelingstechniek. De argumenten die aan deze keuze ten grondslag liggen vindt U in hoofdstuk 2.
Vervolgens is een literatuurstudie uitgevoerd naar resultaten van andere onderzoeken, waarbij de mogelijkheden tot toepassing van een toedeling met meerdere gebruikersklassen zijn onderzocht. De belang-rijkste resultaten hiervan vindt U in hoofdstuk 3.
Op grond van deze resultaten wordt in hoofdstuk 4 beschreven welke keuzen zijn gemaakt voor het te ontwikkelen algoritme .
In hoofdstuk 5 worden de resultaten gegeven van testruns met gebruik making van kleine testnetwerkjes.
TOEDELING VAN VERKEER AAN NETWERKEN
De toedeling als onderdeel van het prognosemodel
Programmapakketten voor prognosedoeleinden zijn vaak modulair opge-bouwd en bestaan uit modellen voor:
- produktie en attraktie van verplaatsingen per gebied - distributie van de verplaatsingen over de gebieden - vervoerwijzekeuze
toedeling van verplaatsingen per vervoerwijze aan een netwerk. De berekeningen worden voor een studiegebied uitgevoerd (geschemati-seerd in een netwerk met een gebiedsindeling) op basis van socio-economische gegevens.
De stappen produktie/attraktie en distributie geschieden voor de diverse vervoerwijzen tezamen, toedeling geschiedt per vervoerwijze. De HB-matrix en de daarop volgende toedeling hebben betrekking op één vervoerwijze. Wil men een prognose doen voor auto, fiets èn openbaar vervoer, dan zijn drie afzonderlijke HB-matrices nodig en zullen drie toedelingen worden uitgevoerd. Bij deze toedelingen wordt géén reke-ning gehouden met eventuele interacties tussen de vervoerwijzen. Dat is ook niet nodig omdat deze vervoerwijzen niet altijd van dezelfde infrastruktuur gebruik maken (denk aan treinen, vrijliggende bus- en trambanen en vrijliggende fietspaden). In bepaalde omstandigheden is dit echter wel het geval. De afzonderlijke toedelingen zijn dan nog wel te verdedigen door de beperktheid van de interactie tussen auto en openbaar vervoer gezien b.v. het geringe aantal bussen t.o.v. de auto's.
Daarbij komt dat de resultaten van dergelijke studies vaak in verge-lijkende zin worden gebruikt, b.v. om effekten van bepaalde maatre-gelen op de modal split te bepalen. Voor die toepassingen zijn de af-zonderlijke toedelingen nauwkeurig genoeg.
Toedelingstechnieken
De oudste en meest gebruikte toedelingstechniek is de alles of niets toedeling. Voor elke relatie wordt de kortste route berekend op basis van de freeflow reistijden (onbelast). Aan de gevonden kortste routes wordt vervolgens alle verkeer toegedeeld.
Deze wijze van toedelen is met name niet realistisch bij kleine ver-schillen in reistijd tussen alternatieve routes, in welk geval de alles of niets toedeling dus minder reële resultaten oplevert. Daar-naast wordt geen rekening gehouden met perceptieverschillen tussen reizigers.
Om aan deze bezwaren tegemoet te komen is de stochastische toedeling ontwikkeld. Bij deze methode wordt ter simulering van de beoorde-lingsverschillen tussen reizigers steeds voor een (vooraf te bepalen) toe te delen fractie van het totaal aantal reizigers de weerstand van een schakel geloot. De waarden waaruit kan worden geloot worden ge-vormd door de freeflow tijden met een zekere spreiding naar beide zijden. Vervolgens wordt op basis van gelote reistijden (weerstanden) de kortste route berekend en de fractie toegedeeld.
Zodra echter sprake is van congestie in het netwerk schiet ook de stochastische toedeling tekort. Er wordt immers geen rekening gehou-den met een toename in reistijd als gevolg van een hoge intensiteit op een schakel.
Voor dergelijke situaties is de evenwichtstoedeling ontwikkeld. Met de evenwichtstoedeling kan een gebruikersoptimale of een systeemopti-male situatie worden berekend. Het meest toegepast is de gebruikers-optimale toedeling, deze gaat uit van het eerste principe van Wardrop
[1] dat luidt:
alle gebruikte routes op een relatie zijn even lang, en korter dan de niet gebruikte routes (uitgedrukt in reistijd).
Er wordt dan dus rekening gehouden met het feit dat de aanwezigheid van een bepaalde hoeveelheid verkeer op een route voor een gebruiker reden kan zijn een andere route te kiezen. Deze gebruiker zal in de meeste gevallen een automobilist zijn, omdat vooral bij het autover-keer de beperkte capaciteit een (belangrijke) rol speelt. Dit in tegenstelling tot fietsverkeer of openbaar vervoer. Bij deze laatste categorie is de capaciteit een discrete grootheid die naar behoefte is uit te breiden (aanbod wordt afgestemd op de vraag).
Ook de evenwichtstoedeling kent evenwel zijn beperkingen. Wanneer niet al het toe te delen verkeer dezelfde reisweerstandskarakteris-tieken heeft, resp. wanneer een deel van het verkeer slechts van een beperkt aantal routes gebruik mag maken, schiet ook de traditionele evenwichtstoedeling tekort: al het verkeer wordt immers op dezelfde wijze behandeld.
2.3 Multi user class assignment
Indien bij de toedeling rekening wordt gehouden met meerdere gebrui-kersklassen, dan wordt daarvoor in de internationale literatuur de term Multi User Class Assignment gebruikt.
In de vorige paragraaf is al even aangestipt in welke gevallen het gewenst kan zijn om meerdere gebruikersklassen te onderscheiden. Meer algemeen kan het onderscheiden van diverse voertuigtypen c.q. gebruikersklassen om de volgende redenen wenselijk zijn:
1. teneinde voertuigen volgens hun eigen reisweerstandskarakteristie-ken toe te kunnen delen;
2. indien niet alle soorten voertuigen van alle schakels gebruik kun-nen maken;
3. teneinde op kruisingen rekening te kunnen houden met de invloed van kruisend verkeer en andere verkeerssoorten, hetgeen een endo-gene berekening van de knooppuntsweerstand mogelijk maakt. Ook de beïnvloeding van verkeer op een wegvak door b.v. tegenliggend ver-keer kan zo worden verdisconteerd.
Meer concreet kan bijvoorbeeld gedacht worden aan autoverkeer waarbij vrachtverkeer het personenautoverkeer beïnvloedt en vrachtwagens met gevaarlijke stoffen slechts van een beperkt aantal routes gebruik mag maken. Maar ook in de scheepvaart doen zich vergelijkbare situaties voor. Diverse scheepscategorieen die vanwege hun diepgang slechts van een beperkt aantal vaarwegen gebruik kunnen maken en die elkaar
tevens op gezamenlijke vaarwegen wederzijds beïnvloeden.
De laatste situatie die is geschetst (invloed van kruisend verkeer) valt buiten het bestek van dit onderzoek, maar is genoemd om een in-druk te geven van de ruime toepasbaarheid van multi user class
assignment modellen. Wel dient vermeld te worden dat zich daarbij een complicatie voordoet in de vorm van een onvoorspelbare en wisselende grootte van de totale verkeersstromen die de kruisingen passeren.
Wanneer wordt gekozen voor multi user class assignment, is daarmee nog geen keuze gemaakt voor een bepaalde toedelingstechniek.
Evenals bij de toedeling voor één gebruikersklasse kunnen in principe ook nu meerdere toedelingstechnieken worden toegepast. In principe, want een nadere beschouwing leert dat een zinvolle toedeling van
meerdere gebruikersklassen alleen mogelijk is indien gebruik gemaakt wordt van de evenwichtstoedeling.
Het toedelen van verschillende soorten voertuigen volgens hun eigen reisweerstandskarakteristieken is namelijk niet mogelijk bij een alles-of-niets toedeling of een stochastische toedeling, omdat de weerstanden bij deze methoden in onbelaste toestand worden berekend. Als gevolg daarvan kan niet met onderlinge wisselwerkingen rekening worden gehouden. Voorts mag worden verwacht dat de sluizen en bruggen congestieverschijnselen zullen veroorzaken. De effecten daarvan zijn met de alles-of-niets - resp. de stochastische toedeling evenmin te berekenen.
De interesse gaat dus uit naar een evenwichtstoedelingsmodel voor meerdere gebruikersklassen, dat afzonderlijke UB-matrices simultaan toedeelt aan een netwerk en rekening houdt met onderlinge interac-ties.
Van belang daarbij is, dat zowel binnen één klasse als tussen de klassen nog steeds aan het eerste resp. tweede principe van Wardrop moet worden voldaan (voor de bepaling van resp. een gebruikersoptimum en een systeemoptimum).
Een systeemoptimum komt overeen met een evenwichtssituatie die uit maatschappelijk oogpunt het meest wenselijk is, doch welke niet zon-der ingrijpen (sturing) van bovenaf zal worden bereikt. Dit optimum is voor de onderhavige studie niet van belang.
Het gebruikersoptimum komt overeen met de evenwichtssituatie die de gebruikers kiezen omdat de reisweerstand in dat geval voor iedereen minimaal is: de gebruikte routes op een bepaalde relatie zijn allen even lang, en korter dan de niet gebruikte routes (eerste principe van Wardrop). Dit principe zal een centrale rol spelen bij de beoor-deling van het te ontwikkelen algoritme.
Tot slot volgt een korte opsomming van de aanpassingen in het toede-lingsalgoritme, inclusief de invoer, die benodigd zijn t.b.v. een toedeling van meerdere gebruikersklassen:
voor elke klasse is een aparte HB-matrix nodig,
voor elke klasse dient een weerstandsfunctie te worden bepaald, - de evenwichtsvoorwaarden dienen te worden geherformuleerd, - de beperkingen t.a.v. het netwerkgebruik dienen voor elke klasse
3 . LITERATUURONDERZOEK
3.1 Algemeen
In het verleden zijn reeds diverse pogingen ondernomen om multi user class assignment algoritmen te ontwikkelen [2]. De belangrijkste resultaten van die pogingen zijn in dit hoofdstuk samengevat. Achtereenvolgens zullen aan de orde komen de eisen die gelden voor toepassing van een evenwichtsalgoritme bij één gebruikersklasse, de extra eisen die worden gesteld in geval van meerdere gebruikersklas-sen, en de methoden die zijn ontwikkeld t.b.v. toedeling van meerdere gebruikersklassen. De eisen hebben alle betrekking op de te gebruiken weerstandsfuncties.
3.2 Eisen bij één gebruikersklasse
De eisen die bij toedeling van één gebruikersklasse aan het verloop van de weerstandsfuncties gesteld dienen te worden zijn convexiteit om de existentie van een oplossing te kunnen garanderen en strikte convexiteit om de oplossing uniek te laten zijn. Tevens dienen de functies continu, monotoon stijgend en positief te zijn. De stabili-teit van een oplossing zal toenemen naarmate het functieverloop stei-ler is.
Deze eisen leveren in het algemeen vanuit verkeerskundig oogpunt wei-nig problemen op.
Het wordt evenwel anders wanneer we het probleem gaan uitbreiden tot meerdere voertuigtypen.
3.3 Eisen bij meerdere gebruikersklassen
Existentie
Netter [3] heeft m.b.v. het fixed-point theorema van Brouwer aange-toond dat de existentie van een evenwicht ook bij meerdere gebrui-kersklassen gewaarborgd is, indien de diverse weerstandsfuncties con-tinu, positief en strict stijgend zijn.
Zoals reeds vermeld zal dit veelal geen problemen opleveren, ook niet voor de afwijkende weerstandsfuncties die gelden voor bruggen en sluizen.
Uniciteit
Voorwaarde om tot een unieke gebruikersoptimale oplossing te kunnen komen (m.b.v. de formulering van een equivalent minimaliseringspro-bleem) is volgens Dafermos [4] een symmetrische Jacobiaan (de matrix met partiële afgeleiden dT/dF van weerstandsfunctie naar intensi-teit). Bovendien dient deze matrix positief definiet te zijn. Als de Jacobiaan matrix niet symmetrisch is, kunnen de evenwichts-voorwaarden niet worden afgeleid van een optimalisatieprobleem en kunnen de gebruikelijke oplossingstechnieken m.b.v. convexe program-mering niet worden toegepast.
Vertaald naar een concrete situatie betekent de eis van een symmetri-sche Jacobiaan, dat de invloed van b.v. een licht voertuig op de weerstand van een zwaar voertuig even groot dient te zijn als de in-vloed van het zware voertuig op het lichte. Wanneer de matrix dT/dF positief definiet moet zijn, wil dat zeggen dat de weerstand van elk voertuigtype het sterkst afhankelijk dient te zijn van dat voertuig-type zelf. In formule:
Indien t^ = «^1*^2 + *12*^2 * *13 tj = a2i*fi * a j / f ^ * «23
dan moet gelden: a.. > a.» en a.» > a», en a.- = a»,.
Beide eisen zijn nogal restrictief, en in de praktijk zullen talrijke gevallen zijn aan te wijzen waarin niet aan deze eisen wordt voldaan.
3.4 Toegepaste technieken voor multi-userclass assignment
3.4.1 Key-methode
Dafermos definieert in haar 'key-methode' evenveel netwerken, HB-tabellen en weerstandsfuncties als er gebruikersklassen zijn. De kos-tenfuncties zijn dan mede afhankelijk van het gebruik door andere voertuigcategorieën en/of de belasting op andere schakels.
Elke gebruikersklasse beschikt dus over een eigen netwerk. Het pro-bleem is hiermee uiteraard niet gereduceerd tot een model voor één gebruikersklasse, omdat de weerstand op een schakel niet alleen
af-hangt van de belasting door één klasse in één net, maar ook van de belasting op 'copieën van deze schakel in de andere netwerken. De aanpak maakt de problematiek evenwel doorzichtiger en maakt het bo-vendien mogelijk de beperkte toegankelijkheid van bepaalde schakels voor een aantal gebruikersklassen eenvoudig te definiëren.
Berekeningen van kortste routes en toedeling kan zo parallel en onaf-hankelijk geschieden, slechts voor de berekening van de totale belas-ting op elke schakel en de daarmee samenhangende weerstand is een simultane verwerking noodzakelijk.
De eisen t.a.v. positief definiet zijn en symmetrie van de Jacobiaan matrix voor de berekening van het gebruikersoptimum blijven bij deze aanpak onverminderd van kracht.
Dafermos heeft bewezen dat het systeemoptimale evenwichtsprobleem wel altijd eenduidig opgelost kan worden, ongeacht de symmetrievoorwaar-den. De convergentie kan eventueel nog wel een probleem vormen.
Opgemerkt zij wel dat de werkwijze van Dafermos bijzonder veel geheu-genruimte vergt, doordat routebelastingen in de berekening worden ge-bruikt (i.p.v. schakelbelastingen) waardoor vooraf alle mogelijke routes gespecificeerd en opgeslagen dienen te worden. Het is n.l. een simplex-achtige techniek t.b.v. het vinden van de oplossingsrichting. Brynooghe et al [5] stellen evenwel dat het vooraf specificeren van routes omzeild kan worden door het gebruik van minimum path procedu-res.
2 Kwadratische model
Een van de weinige functies die wel aan de gestelde eisen voldoet is het zgn. kwadratische model. De weerstandsfuncties voor de totale en de gemiddelde reistijd luiden dan:
ta'^^a fa") = " « a ' K K ^ * \ W
j=l
t '(f \..., f ")
a ^ a > ••' f '•a ' i
a
waarin: i,j = gebruikersklasse (l,...,m)
f^^ = belasting van schakel a door klasse i t '^ - totale reistijd op schakel a voor klasse i
t^*^ = gemiddelde reistijd op schakel a voor klasse i
Voorwaarde is wel dat de matrix G symmetrisch is en positief defi-niet. Dan volgt voor de reistijd in de evenwichtssituatie:
ta' = ^a' -
^8a''<V^'-Deze gedaante komt echter niet overeen met tijdverliesfuncties uit de verkeerskunde.
Ook binnen onze probleemstelling is dit kwadratische model niet toe-pasbaar, zodat het weinig zinvol lijkt hier verder in te gaan op de eigenlijke oplossingstechniek.
3 Van Vliet c.s.
Van Vliet,Bergman en Scheltes [6,7] stellen dat aan de symmetrie-eis voor de Jacobiaan wordt voldaan voor alle functies met onderstaande gedaante, omdat alleen de reistijd belasting-afhankelijk is:
«a' = " ë " o ' * «^a^fa) * ^ (coëffj^i * varj^^^) k=l
t (f ) = t (l f ) t„ is gelijk voor alle m klassen! a a a i a a " - "
(m.a.w. gelijke snelheden)
var. o ~ ^^ vaste weerstandscomponent van link a, b.v. de afstand. w = totale weerstand
i = gebruikersklasse (l,...,m) a = schakelnummer
f = totale belasting op schakel a k = weerstandscomponent (l,...,n)
De symmetrie treedt ook hier echter alleen op, indien de wederzijdse beïnvloeding van voertuigtypen even groot is. De suggestie wordt ten onrechte gewekt dat dit altijd het geval zal zijn. De methode is na-melijk slechts onder twee voorwaarden toepasbaar:
1. bij gebruik van pcu-factoren welke niet expliciet als coëfficiën-ten het model zitcoëfficiën-ten, maar welke zijn verdisconteerd in de HB-tabellen;
2. indien voor alle klassen een gelijke reistijd t^ op een schakel geldt.
Gegeven die twee voorwaarden wordt bewezen dat de Jacobiaan matrix altijd symmetrisch is:
B i s : Bewijs - . ' . " . ' df a _ 1 dt a 1. on d w ^ a df 2 a dt - « df a idat f _ * d w 2 a df 1 a df a df 2 a f . . . dt a df a . . f ™ 2 dw dt analoog r = df df a a -TT = 1, omdat f-,f- ,...,f„ zijn uitgedrukt in pcu, zodat
df a a a 2 m
a geen multiplicatoren nodig zijn: f.~f» +f- *'"*^a •
Op het eerste gezicht wekt dit bewijs de indruk dat een 'truc' wordt uitgehaald en de bewijsvoering ergens een zwakke plek moet vertonen. Een nadere beschouwing leert, dat de berekening van de partiële afge-leiden hier geheel correct plaatsvindt en juist in veel andere lite-ratuur onjuist geschiedt. Dit kan het eenvoudigst aan de hand van een voorbeeldje worden geïllustreerd.
Stel: Van een schakel tussen A en B maken 100 voertuigen van klasse 1 gebruik (f = 100 vtg.) en 100 voertuigen van klasse 2
(f2= 100 vtg.).
1 voertuig van klasse 1 = 1 standaardvoertuig 1 voertuig van klasse 2 = 1,5 standaardvoertuig
Dan: Indien de berekening op de gebruikelijke manier plaatsvindt, geldt:
f = f + l,5*f2 = 250 pcu (f = 100 vtg., f^ = 100 vtg.) zodat — r = 1 , 5
df
De fout die hierbij wordt gemaakt, is dat f wordt uitgedrukt in 2 . • . .
pcu en f in voertuigen, hetgeen onjuist is.
De correcte berekening (op de hier voorgestelde wijze) luidt:
f = f + f2 = 250 pcu (f = 100 pcu, f22 ^ ^JQ p^^,j
^ . df , zodat — r = 1
df
De mogelijkheid van verschillende snelheden kan worden ingebracht door t te definiëren als de verliestijd (t-t ) . De free flow tijd t kan dan wisselen per klasse en als vaste component in de weerstands-functie zijn opgenomen. Een gevolg van deze verfijning lijkt evenwel dat de routeweerstanden niet meer voor alle klassen gelijk zijn, en Wardrop dus nog slechts per klasse afzonderlijk geldt.
3.4.4 Variationele ongelijkheden
Omdat dé eis van een symmetrische Jacobiaan matrix (dT/dF) als onrea-listisch werd ervaren komt Dafermos in 1980 met een andere invalshoek op de problematiek, namelijk door gebruik te maken van variationele ongeli jkheden [8].
Ze maakt gebruik van de formulering zoals voorgesteld door Smith [9]: een belastingpatroon F , uitgedrukt in routebelastingen, is gebrui-kersoptimaal volgens Wardrop dan en alleen dan als
T(F)*F > T(P)*P V F
T(P)*(F-P) > O V F
waarbij F - een verzameling routestromen p s de verzameling evenwichtsstromen
Dit wil zeggen: wanneer de routeweerstanden in de evenwichtssituatie T(F) als vast worden beschouwd kan geen vermindering van de totale weerstanden worden bereikt door het kiezen van een ander patroon van routebelastingen dan het evenwichtspatroon.
In het standaardprobleem (één gebruikersklasse) komen deze ongelijk-heden overeen met de Kuhn-Tucker voorwaarden voor convexe niet-lineaire problemen.
In verband met de existentie en convergentie dienen de weerstands-functies t(f) strikt monotoon te zijn.
Een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor de stricte monotoon-heid is het positief definiet zijn van de Jacobiaan matrix dT/dF, wat
dt dt
neerkomt op -rr— » -77— > O, V bj'a. Indien hieraan niet wordt vol-a b
daan is de kans op meerdere evenwichten aanwezig.
Smith stelt dat een unieke oplossing wordt verkregen indien de functie t(f) continu differentieerbaar is en voldoet aan een rede-lijke eis van monotoonheid: [t(f)-t(g)]*[f-g] > O V f,g. Deze rand-voorwaarde heeft dus de vorm van een variationele ongelijkheid. Vervolgens is een algoritme voorgesteld waarbij gebruik wordt gemaakt van convexe kwadratische programmeringstechnieken.
Op deze techniek bestaan nog een aantal varianten welke een sneller convergentieproces beogen.
Het inzicht in de convergentie-eigenschappen is echter nog niet vol-doende, ook niet wanneer aan die eisen wel is voldaan (vaak globale convergentie).
In 1984 bestond voor asymmetrische problemen hoe dan ook geen stan-daard techniek welke een oplossing kon garanderen.
Conclusies
Problemen waar men bij het bestuderen van de literatuur op stuit zijn:
- de eisen die aan de weerstandsfuncties worden gesteld zijn te res-trictief;
- de algoritmen convergeren niet naar behoren;
- de algoritmen leiden niet tot een eenduidig optimum.
Enerzijds dient hierbij bedacht te worden dat vooral gezocht werd naar wiskundig en theoretisch perfekte oplossingen. Het is evenwel niet uitgesloten dat methoden die onbevredigend zijn op theoretische gronden wellicht praktisch toch toepasbaar zijn, resp. aanknopings-punten bieden.
Anderzijds hebben van Vliet, Bergman en Scheltes aangetoond dat de interpretatie van met name de symmetrie-eis voor de Jacobiaan in be-paalde gevallen niet zo restrictief is als elders was verondersteld. Hun aanpak biedt daarom een goed uitgangspunt voor het te ontwikkelen algoritme.
Tenslotte nog een algemene opmerking betreffende de eisen die betrek-king hebben op de uniciteit van de oplossing. Wanneer hieraan niet wordt voldaan, zal het rekenproces niet leiden tot een eenduidig op-timum maar tot één van de mogelijke en toelaatbare oplossingen, d.w.z. een lokaal i.p.v. een globaal optimum. Dit hoeft echter geen bezwaar te zijn, zolang de convergentie en stabiliteit niet in het geding zijn. Imners, indien de weerstandsfuncties in het model een goede afspiegeling zijn van de reisweerstanden in de realiteit,
zullen in de realiteit ook meerdere evenwichtssituaties mogelijk zijn waarvan er uiteindelijk één zal optreden.
HET NIEUWE ALGORITME
Uitgangspunten
Bij het ontwerp van het nieuwe algoritme is ervoor gekozen een aantal principes uit het voorgaande hoofdstuk te combineren. In de eerste plaats het principe dat voor elke gebruikersklasse een eigen netwerk wordt gedefinieerd. Deze aanpak maakt het immers mogelijk op zeer eenvoudige wijze steeds opnieuw de kortste routes voor elke klasse afzonderlijk te bepalen. Aan het eind van elke iteratiestap worden de schakelbelastingen van de schakels die in meerdere netwerken voorko-men gesommeerd waarna de nieuwe weerstanden kunnen worden berekend. In feite vindt dus een aantal toedelingen voor één gebruikersklasse parallel plaats, waarna de resultaten worden samengevoegd voor de be-paling van de uiteindelijke weerstanden.
De stapgroottefaktor kan zowel voor alle klassen tezamen worden be-paald als per klasse gevolgd door een weging van deze afzonderlijke waarden tot een eindwaarde. Beide methoden zullen nader worden beke-ken.
Het tweede principe dat hier wordt overgenomen is afkomstig van Van Vliet, Bergman en Scheltes.
Na een grondige beschouwing kan niet anders worden geconcludeerd dan dat de partiële afgeleiden doorgaans niet juist worden berekend. Een gevolg daarvan is, dat de eisen die gesteld moeten worden aan de weerstandsfuncties helemaal niet zo restrictief zijn als op het eerste gezicht het geval lijkt. Voorwaarde is alleen dat de belas-tingafhankelijke weerstandscomponent voor alle klassen even groot is. Wanneer dit niet het geval zou zijn, kan de uniciteit van de oplos-sing niet meer worden gegarandeerd.
Dit hoeft echter geen bezwaar te zijn, zolang de convergentie en sta-biliteit niet in het geding zijn. Immers, indien de weerstandsfunc-ties een goede afspiegeling zijn van de realiteit, zullen ook in de praktijk meerdere evenwichtssituaties mogelijk zijn waarvan er uit' eindelijk één zal optreden. Het zal van de verdere functie-eigen-schappen en de startoplossing afhangen welk evenwicht het model zal berekenen en hoe het proces convergeert.
Een schematisch overzicht van het algoritme is weergegeven in bijlage 1.
4.2 De weerstandsfuncties
Gelet op de grote invloed die de weerstandsfuncties reeds hebben op een goed verloop van de evenwichtstoedeling van één gebruikersklasse, ligt het voor de hand daar ook nu eerst aandacht aan te schenken. Het vaarwegennet is opgebouwd uit schakels en knopen. De schakels ko-men overeen met vaarwegvakken, bruggen of sluizen.
Bij het wegverkeer kunnen congestieproblemen op de wegvakken c.q. schakels zowel het gevolg zijn van een capaciteitsoverschrijding op dat wegvak zelf als van een bottleneck stroomopwaarts (b.v. een krui-sing). In berekeningen wordt op grond van praktische overwegingen echter zelden met knooppuntsweerstanden gerekend, maar alleen met weerstandsfuncties voor de schakels.
Bij het scheepvaartverkeer daarentegen concentreren congestieproble-men zich juist bij sluizen en bruggen en nauwelijks op de vaarwegvak-ken daartussen. De capaciteiten van sluizen en bruggen zijn maatge-vend en mogen niet in de berekeningen worden weggelaten.
De weerstandsfuncties voor deze kustwerken hebben een andere gedaante dan de gebruikelijke functies voor het autoverkeer.
Rijkswaterstaat heeft tijdverliesfuncties ontwikkeld (of in oorspron-kelijke bewoordingen: passeertijdkrommen) voor de bruggen en sluizen.
De functie voor spoorbruggen ziet er als volgt uit: f/c + 1.0
t = a * *(a„ + a,*f/c • a.) met t = a *(a_+ a, ) 1 - f/c
De coëfficiënt a^ hangt af van scheepstype en type brug, de coëfficiënten a2 t/m a. uitsluitend van het type brug.
De functie voor schutsluizen ziet er als volgt uit. S j * 1.28 * f/c t = • a. voor f/c < 0.4 Sj - a^* 1.28 * f/c a *[l-1.36*(l-f/c)2] 4.495 *(f/c-0.4) , .-, = _i + «(b + b *f/c)^-*"'+ a. a2-a3*[l-1.36*(l-f/c)^] (1 - f/c) ° ^ ^ voor f/c S 0.4
De coëfficiënten a^ t/m a^ zijn uitsluitend afhankelijk van het type sluis, b en b^ zijn afhankelijk van de bedieningstijd van de sluis. De passeertijd in onbelaste toestand (t^) is gelijk aan de
coëfficiënt a^.
De variabele in de tijdverliesfuncties is de f/c ratio. De functies bevatten voorts een groot aantal coëfficiënten en zijn vrij complex van karakter, waardoor weinig inzicht wordt verkregen in het waarde-bereik als functie van f/c.
Daarom is voor één bepaalde combinatie van coëfficiënten het functie-verloop voor een spoorbrugfunctie bepaald en weergegeven in figuur 1. Omdat het eerste gedeelte bij de gekozen tijdas zeer vlak verloopt is dit in figuur 2 nog een keer vergroot weergegeven. Daaruit blijkt dat de functie wel degelijk continu stijgend is.
Ook voor de schutsluis is een functieverloop berekend. Een complica-tie hierbij is dat de weerstand afhankelijk is van de verhouding van de intensiteit in heen- en in terugrichting. Uitgaande van een even-wichtige verdeling van de totale stroom over de beide richtingen (50/50) is in figuur 3 een functieverloop weergegeven.
Zowel de weerstandsfuncties voor spoorbruggen als die voor schut-sluizen blijken aanvankelijk vrijwel vlak te verlopen en bij een f/c ratio van bijna één zeer sterk te gaan stijgen. Beide functies dien-den vanwege die zeer sterke stijging te wordien-den afgekapt bij een waar-de van 100 uur. Aan waar-de gekozen vorm kleven twee bezwaren:
1. Allereerst zorgt het afkappen ervoor dat in de functieverlopen een knik optreedt (discontinuiteit in de afgeleide), waardoor het strikt convexe verloop van de functies wordt verstoord, en deze deels concaaf worden.
2. In de tweede plaats zijn de functieverlopen voor f/c > 1 constant i.p.v. monotoon stijgend hetgeen convergentieproblemen kan veroor-zaken .
Beide factoren hebben tot gevolg dat de gekozen functies reeds in het standaardgeval van één gebruikersklasse niet aan de eisen m.b.t. uni-citeit van de oplossing voldoen, zodat bij meerdere voertuigklassen de kans op problemen alleen maar kan toenemen.
Figuur 1. tijdverliesfunctie spoorbrug lOB t=e I/C=l t^ = 0.0405 t(f/c=I,3) = IOC t=B
Figuur 2. tijdverliesfunctie spoorbrug
I/C=l ai= .15 a2= .2 a3= .4 a4= .87 al= .15 a2= .2 a3= .4 a4= .07 t^ = 0.0405 o t(f/c=0,95) = 3,4
lee
t=8
Figuur 3. tijdverliesfunctie schutsluis
e.4
1/0=1 al= 1.22 a2= 9.47 a3:: 3.8 a4= .315 b8= .356 bl= 8 t = 0,315 o t(f/c=l,3) = 100Om het effect op het rekenproces van zowel de gebruikte weerstands-functies als het ontworpen algoritme te kunnen vaststellen zullen de testberekeningen ook nog met twee andere soorten functies worden uit-gevoerd. Achtereenvolgens zijn dat:
1. BPR-polynoom 2. wachttijdfunctie
Op elk van deze beide functies zal hieronder vervolgens kort worden ingegaan.
De BPR-functie
Deze functie mag algemeen bekend worden verondersteld. De exacte ge-daante van de hier gebruikte functie is:
t(f) = t„ * (1 + 1,4 * (f/c)*]
be-treft de berekening van een uniek optimum. Het is een functie die na overschrijding van de capaciteit snel stijgt. Bij f/c = 2 geldt t = 23*tQ, bij f/c = 3 is dit opgelopen tot 114*tjj.
Het verband voor 2 verschillende waarden van t^, op te vatten als de reistijdfuncties voor 2 verschillende klassen op eenzelfde schakel, is weergegeven in figuur 4.
De wachttijdfunctie
Deze functie wordt b.v. gebruikt voor de berekening van wachttijden op auto(snel)wegen. Een belangrijk principe dat hieraan ten grondslag ligt (zie ook [10]) is dat de reistijd in congestie-omstandigheden gelijk wordt voor alle verkeersdeelnemers op die schakel.
De functie verloopt tot f/c =+ 0,75 vrijwel constant, stijgt vervol-gens, en nadert in de limiet tot een lineair verband. Dit lineaire verband is voor elke gebruikersklasse gelijk. Aldus ontstaan minder extreme waarden voor de reistijden dan bij het BPR-polynoom.
Een paar functievoorschriften die aan bovenstaande eisen voldoen zijn:
- t = log(2f/^-l>*l° + 2^°) I log 2
- t = log(10^f/'="^^*l° + lo''^) / log 10
De eeste functie is, voor 2 verschillende waarden van t , weergegeven in figuur 5 en levert voor i/c-2 een waarde van t = 10*t en voor f/c=3 geldt t = 20*tQ.
Deze functievoorschriften ogen op het eerste gezicht wat vreemd en ongebruikelijk maar de verlopen blijken goed overeen te stemmen met hetgeen verwacht mag worden. Ook wordt voldaan aan de eisen van een' continu, monotoon stijgend en convex verloop.
Een gevolg van deze gedaante bij gebruik van meerdere gebruikersklas-sen, is dat aan de algemeen in de literatuur gestelde eis van een symmetrische wederzijdse beïnvloeding der klassen over een groot deel van de functie is voldaan. Immers in het vlakke linker deel (A, zie figuur 5) van de functie is het verloop constant voor alle klassen zodat al over een groot deel van de functie aan de symmetrie-eis is voldaan. Dit deel wijkt overigens nauwelijks af van de BPR-functie.
t - 8 BPR-polynoom / / y t - 2 O ,^ ^•r / O I / C = l
Figuur 4. BPR-functie voor t «1 en t " 2 . * o o / t - 2 o t =1 o
t=a
i/c=i
Figuur 5. Logaritmische wachttijdfunctie voor t -1 en t =2. o o
Voorts naderen de verschillende functies in het rechter gedeelte (C) van de grafieken alle tot dezelfde lijn zodat ook daar een symmetri-sche beïnvloeding geldt.
Slechts in het (relatief kleine) tussenliggende gebied B zijn de di-verse verlopen verschillend, resulterend in niet-synnetrische beïn-vloeding. Verwacht mag dan ook worden dat gebruik van deze functies het beste resultaat oplevert indien het netwerk als geheel een matige bezettingsgraad kent (dit betekent niet dat geen congestie optreedt). Tijdens het iteratieproces deelt men dan voornamelijk in de gebieden A of C toe.
Het zal interessant zijn om met deze functie te toetsen of de symme-trie-eis wel van belang is, of dat zij verkeerd geïnterpreteerd wordt (van Vliet, Bergman, Scheltes). Zoals reeds in paragraaf 3.4.3 is op-gemerkt, lijkt het laatste het geval te zijn. Een indruk van de juistheid kan verkregen worden door de (convergentie)resultaten bij gebruik van het BPR-polynoom en van de wachttijdfunctie in een matig belast netwerk te vergelijken. Optredende verschillen zullen met name het gevolg zijn van het verloop in het rechter gedeelte (C) van de grafiek.
3 Verbeteringsrichting
Wanneer een alles-of-niets toedeling heeft plaatsgevonden, de weer-standen op basis hiervan opnieuw zijn berekend en het evenwicht nog niet is bereikt, dient een verbeteringsrichting te worden bepaald voor deze iteratiestap.
Hiervoor bestaan verschillende methoden, waarvan de lineaire benade-ring van de doelstellingsfunctie m.b.v. de nieuw berekende weerstan-den (feasible direction-method van Zoutendijk, [11]) het meest een-voudig is. Deze benadering is ook hier toegepast.
De oplossing van het aldus ontstane minimaliserings-subprobleem komt weer overeen met een alles-of-niets toedeling. Deze berekeningswijze staat bekend als het Frank-Wolfe algoritme [12]. Een Simplex-achtige benadering is eveneens mogelijk, maar is veel gecompliceerder.
De voor deze iteratiestap meest optimale oplossing ligt vervolgens ergens tussen het oude en het nieuwe belastingpatroon. Voor de pre-cieze ligging dient de stapgroottefactor te worden bepaald.
4.4 Stapgroottebepaling
Het bepalen van de stapgrootte X komt neer op het oplossen van een niet-lineair optimaliseringsprobleem roet X als enige variabele:
(1-X)*f ""•^+ X*f " a a min r ƒ [t (x)dx]
a , n-1 a
In de praktijk worden in principe drie manieren gebruikt om het pro-bleem te vereenvoudigen:
1. De lineaire interpolatie
Deze kan over het gehele interval, maar ook stapsgewijs over sub-intervallen worden uitgevoerd. Interpolatie over het hele interval leidt tot grotere fouten naarmate de weerstandsfunctie over het betreffende interval sterker stijgt, stapsgewijze interpolatie le-vert echter een forse stijging van de rekentijd.
In het algoritme is een keuzemogelijkheid voor het aantal stappen ingebouwd, teneinde een optimaal aantal te kunnen bepalen.
Als variant op de eerste methode, welke gebruik maakt van de koorde tussen 2 punten op de kromme, is het ook nog mogelijk de afgeleide in één van de beide punten te gebruiken om zo het opper-vlak onder de kromme te benaderen.
De fouten die hiermee worden gemaakt zijn evenwel altijd groter dan bij een koordebepaling en nemen verder toe naarmate de weer-standsfunctie over het interval sterker stijgt.
2. De golden section methode
Bij deze door Nguyen toegepaste methode wordt niet direkt een stapgroottefactor berekend, maar wordt het interval waarbinnen de oplossing ligt steeds verder gehalveerd totdat een voorgeschreven nauwkeurigheid is behaald. De methode heeft als nadeel dat de weerstandsfuncties voor iedere iteratie opnieuw moeten worden geïntegreerd.
3. Geen endogene berekening van lambda tijdens het itereren maar vooraf specificeren van een (aflopende) reeks herverdelingspercen-tages. In feite is de evenwichtstechniek dan teruggebracht tot een
heuristische capacity restraint techniek. Deze levert echter geen enkele garantie voor convergentie.
Normaal gesproken leidt deze methode ook in het geval van één ge-bruikersklasse niet noodzakelijkerwijs tot een evenwicht. Jansen [13] meldt echter dat bewezen is dat het Wardrop evenwicht bereikt kan worden in het geval van exogene vaste stapgrootte X , mits:
1. O < Xjj < 1, Vn. 2. r X = » , n n=l 3. E X < «• n=l
Indien X = l/n (dus 1/2, 1/3, 1/4, ...) dan wordt hieraan vol-daan.
Deze berekeningswijze is echter duidelijk trager dan bij bereke-ning van lambda in elke stap, reden waarom hierop niet verder zal worden ingegaan. Niettemin is een testrun uitgevoerd met deze vas-te stapgrootvas-tefactoren (zie hoofdstuk 5 ) .
Voor het onderhavige algoritme is gekozen voor de methode van (staps-gewijze) lineaire interpolatie. Vervolgens kan nog een keuze worden gemaakt tussen de berekening van één X voor alle klassen tezamen, of een aparte X voor elke klasse i.
Berekening per klasse gaat als volgt:
f ^'"*^ = (l-x''")*f ''" + X''"*y i." (i = !,...,„) a a A
X wordt zodanig bepaald dat Z(f.^) minimaal is. a
y„^*" = hulpoplossing (AON) voor klasse i in iteratiestap n a
Indien men besluit één lambda voor alle klassen tezamen te berekenen is het niet meer nodig om per klasse i de berekening uit te voeren en daartoe alle belastingen om te rekenen in schepen van die klasse i en in te vullen in de weerstandsfunctie van klasse i, hetgeen de reken-tijd belangrijk reduceert.
Maar, wat veel belangrijker is, door slechts één lambda te berekenen vindt in feite een simultane berekening plaats i.p.v. een sequen-tiële.
be-lastingen van andere klassen constant worden gehouden, maar dit hoeft niet te leiden tot een minimale waarde van de doelstellingsfunctie aan het eind van de iteratie. Men vindt in feite een opeenstapeling van lokale minima. Gevolg zal zijn dat het proces hierdoor minder snel convergeert, of dat het proces steeds heen en weer blijft schom-melen tussen twee belastingpatronen. Op dit aspect zal in hoofdstuk 5 worden teruggekomen, waar de resultaten van beide berekeningswijzen zullen worden vergeleken.
Tot slot verdient de berekeningsmethode van lambda ook nog enige aan-dacht. In de berekeningen wordt gebruik gemaakt van de afleiding door E.R. Ruiter [14] (zie figuur 6) van dit niet-lineaire optimalise-ringsprobleem:
XAf
Af
Figuur 6. Grafische weergave van de grootheden die voorkomen in het iteratieproces.
AZ(X) = I (X * Af * t ^ • X * Af * m ^) a a a a a . . . At -~ = r (Af * t W Af * m M = r (Af * t ^ + Af * 77- ) dX a a a a a a a a a Af a A Kl
De doelstellingsfunctie is minimaal als geldt —rr = 0 . De bijbehorende waarde van X wordt hieruit afgeleid:
t ^* Af a a X = E
* At * Af a a
Goed beschouwd is deze berekeningswijze niet geheel correct, omdat de dm
1. a
afgeleide van m naar X ( ) gelijk aan 1 wordt gesteld hoewel . * dX
de helling m ^ zelf ook een functie van X is.
De hiermee gemaakte fout is afhankelijk van het aantal gekozen sub-intervallen en zal bij toename van dit aantal sub-intervallen al snel vrij bescheiden worden.
En bovendien wordt bij correcte berekening de bepaling van lambda dermate gecompliceerd dat dit toch geen redelijk alternatief vormt. Niettemin zal een dergelijke verwaarlozing het iteratieproces naar alle waarschijnlijkheid wel vertragen.
4.5 Doelstellingsfunctiewaarde
Wanneer we de diverse iteratieresultaten bezien, valt het op dat de waarde van doelstellingsfunctie ook bij gestaag convergerende bereke-ningen soms niet in elke iteratiestap verder afneemt, doch af en toe licht stijgt. Ook hier is waarschijnlijk sprake van een onnauwkeurig-heid in de berekening.
Immers bij de bepaling van een gebruikersoptimum wordt de doelstel-lingsfunctie gevormd door de oppervlakte onder de reistijdfunctie, gesommeerd over alle schakels (gearceerde oppervlak in figuur 6 ) . Ruiter echter (en dat gebeurt ook in het onderhavige algoritme) bere-kent de doelstellingsfunctie uit het produkt van intensiteit en bij-behorende reistijd gesommeerd over alle schakels, zijnde de doelstel-lingsfunctie bij een systeem optimum, hetgeen een nogal afwijkende waarde kan opleveren. Een stijgende waarde van de doelstellingsfunc-tie in de berekeningsresultaten duidt dus niet noodzakelijkerwijze op een niet-convergerend proces.
4.6 Mormaalschipequivalentiecijfers
Elk scheepstype wordt in de modelberekeningen gelijk gesteld aan een aantal normaal schepen op basis van equivalentiecijfers zoals door Rijkswaterstaat verstrekt (vergelijk pae-waarden voor het wegver-keer).
Van VIiet,Bergman en Scheltes [6,7] bewezen dat de Jacobiaan matrix altijd symmetrisch is mits de pcu-factoren, in het geval van het scheepvaartmodel dus de per vaartuigklasse verschillende normaal-schipequivalentieci jfers, reeds in de HB-tabellen zijn verdiscon-teerd. De in deze rapportage uitgewerkte voorbeelden zijn ook tot stand gekomen uitgaande van deze veronderstelling.
Uit de door Rijkswaterstaat bepaalde coëfficiënten voor de weer-standsfunctie blijkt echter dat de gehanteerde equivalentiecijfers niet alleen afhankelijk zijn van het type vaartuig (20 klassen, 10 beladen en 10 onbeladen), doch ook van het linktype (vaarweg, brug of sluis, totaal 30 typen).
Uitgangspunt is geweest dat vormgevingsaspekten van een sluis of brug tot gevolg kunnen hebben dat de onderlinge verschillen tussen twee typen schepen bij de ene sluis/brug veel meer tot uitdrukking komen dan bij de andere sluis/brug.
De waarden die de equivalentiecijfers van één klasse daarbij voor de onderscheiden linktypen kunnen aannemen verschillen soms aanzienlijk: voor klasse 1 variëren de waarden b.v. tussen 0.08 en 1.25.
Dit uitgangspunt heeft tot gevolg dat de vervoervraag per klasse (uitgedrukt in normaalschepen) niet constant is, maar aan (al dan niet) flinke schoimnelingen onderhevig is.
Dit is een bijzonder groot probleem voor het onderhavige iteratieve optimaliseringsproces. Er mag dan ook verwacht worden, dat deze equi-valentiecijfers het convergentieproces in hoge mate negatief zullen beïnvloeden. Om deze hypothese te kunnen toetsen dienen de resultaten van een berekening met deze voorgeschreven equivalentiecijfers te worden vergeleken met die van een berekening waarin equivalentiecij-fers zijn gebruikt die alleen van de gebruikersklasse afhangen. Dit
RESULTATEN
Algemeen
In dit hoofdstuk zullen de resultaten worden beschreven van diverse testruns die m.b.v. het nieuwe algoritme zijn uitgevoerd voor eenvou-dige netwerkjes en een combinatie van twee gebruikersklassen. Naar een aantal van deze testruns is in hoofdstuk 4 al verwezen op grond van aldaar gesignaleerde vragen, problemen of hypothesen.
De bruikbaarheid van de resultaten, en dus van het (betreffende va-riant van het) algoritme, zal enerzijds worden afgeleid uit de mate waarin aan het eerste principe van Wardrop wordt voldaan (hoeveel wijken de weerstanden van gebruikte alternatieven af?) en anderzijds uit het aantal iteraties dat nodig is om tot een aanvaardbaar klein verschil tussen de routetijden van gebruikte alternatieven te komen. Ook zal het convergentieproces zelf beoordeeld worden (gelijkmatig-heid en snel(gelijkmatig-heid).
Overeenkomstig hetgeen in hoofdstuk 4 reeds is beschreven, is gebruik gemaakt van normaalschip-equivalentiecijfers. De vervoervraag èn de resultaten zijn steeds per gebruikersklasse vermeld, uitgedrukt in
normaalschepen. ' '-'
In de bijlagen met resultaten zijn telkens de volgende kentallen ver-meld:
- het aantal subintervallen dat gebruikt is bij de berekening van de stapgroottefactor lambda;
- het aantal iteraties;
- de schakelbelastingen na de laatste iteratie; - de routetijden in die situatie.
Opgemerkt dient te worden dat de aanwezige bijlagen dienen als illus-tratie van waargenomen verschijnselen. Conclusies zijn evenwel ge-trokken op basis van omvangrijker testmateriaal, dat hier omwille van de duidelijkheid achterwege is gelaten.
Eerste testnetwerk
De eerste testberekeningen zijn uitgevoerd op een klein netwerkje met 7 knopen en 10 schakels voor twee gebruikersklassen.
Een schematisering van het netwerk met de free flow tijden is weer-gegeven in bijlage 2; daarin is tevens de gekozen HB-tabel vermeld. De vervoervraag omvat 1700 normaalschepen voor klasse 1 en 2300 nor-maalschepen voor klasse 2, beide op de relatie van 1 naar 3.
De beide netwerken hebben één gemeenschappelijke route n.l. 1-2-3. De capaciteit van alle schakels is gesteld op 1000 normaalschepen. Aangezien de totale capaciteit van de drie routes (1-2-3, 1-4-5-3 en 1-6-7-3) 4800 bedraagt, is er geen sprake van structurele overbelas-ting. ,
Invloed van de verschillende reistijdfuncties
De resultaten van de BPR-functie zijn weergegeven in de bijlagen 3 t/m 6. Bijlage 3 toont de resultaten na 5 en 10 iteraties en bereke-ning met één interval. Bijlagen 4, 5 en 6 tonen het resultaat van 5 iteraties en het onderscheiden van resp. 2, 5 en 10 subintervallen. De berekening van lambda is bij de overige varianten niet voortgezet, omdat uit bijlage 3 en vergelijkbare uitkomsten is gebleken dat de berekening hierdoor te onnauwkeurig wordt en het rekenproces niet convergeert.
De resultaten bij gebruik van de wachttijdfunctie zijn opgenomen in de bijlagen 7 t/m 9. Zij zijn rechtstreeks te vergelijken met de bij-lagen 4, 5 en 6. Berekeningen met de weerstandsfuncties voor sluizen en spoorbruggen zijn voor een ander netwerk uitgevoerd (zie paragraaf 5.3). Opgemerkt zij dat de absolute waarden van de doelstellingsfunc-tie niet vergelijkbaar is met de waarden uit de bijlagen 4 t/m 6 door het gebruik van de verschillende functies.
Conclusie: De verwachte voordelen van de wachttijdfunctie boven het BPR-polynoom blijken, in ieder geval voor dit voorbeeld, niet tot uiting te komen.
Invloed van de stapgroottefactor bepaling
Hiervoor kan eveneens worden verwezen naar de bijlagen 4 t/m 6 en 7 t/m 9. Ongeacht de gebruikte weerstandsfunctie geldt dat vergroten van het aantal subintervallen (tot groter dan twee) niet leidt tot een snellere convergentie.
Dit is niet zo verwonderlijk omdat de fout die wordt gemaakt door een koorde te nemen over het hele interval erg groot is. De aldus bere-kende waarde van het oppervlak onder de koorde wijkt te zeer af van het oppervlak onder de kromme waardoor telkens in de volgende itera-tie weer bijstelling nodig is.
Te zien is dat het Wardrop evenwicht het snelst bereikt wordt als 2 subintervallen worden onderscheiden en het langzaamst bij 20. Wel is in het laatste geval het iteratieproces fraaier: zowel lambda als de waarde van de doelstellingsfunctie nemen hier na elke iteratie verder «f •
Ook het op zichzelf nogal tegenstrijdig lijkende feit dat een groter aantal subintervallen, en dus een nauwkeuriger berekening, de conver-gentie vertraagt, lijkt verklaarbaar. Minder intervallen resulteert namelijk in steilere koorden en in het algemeen convergeert een func-tie sneller wanneer deze sterker stijgt. Normaal gesproken mag
verwacht worden dat de stapgroottefactor lambda elke iteratie in grootte afneemt omdat de eindoplossing steeds dichter benaderd wordt en een volgende alles-of-niets oplossing steeds verder van de eindop-lossing af zal liggen. Het beeld dat ontstaat bij toepassing van 2 of 5 subintervallen, nl. sterk schommelende waarden van lambda, leidt echter zowel in het onderhavige voorbeeld als in andere testnetwerken toch tot een duidelijk evenwicht waarbij aan Wardrop wordt voldaan.
Een nog duister punt blijft, dat toepassing van een groot aantal sub-intervallen wel erg veel iteraties nodig maakt om tot het uiteinde-lijke evenwicht te komen. Bij de bespreking van de invloed van een simultane berekening van lambda zal hierop nader worden ingegaan.
Tenslotte is nog een testrun uitgevoerd met een vooraf bepaalde reeks waarden voor lambda, met X = l/n (zie paragraaf 4.4). Enige resul-taten hiervan zijn opgenomen in bijlage 10. Het proces blijkt te con-vergeren, hetgeen de stelling bevestigt, dit gebeurt evenwel zeer
traag. :•;: - •; .
Invloed van de beginoplossing
Ook is bekeken of de beginoplossing van het iteratieproces invloed heeft op het uiteindelijke evenwicht. Dit zou immers het geval kunnen zijn indien het gevonden evenwicht slechts een lokaal optimum
verte-genwoordigt. De gekozen startoplossing en het gevonden evenwicht zijn weergegeven in bijlage 11.
Het gevonden evenwicht blijkt niet af te wijken van het voorafgaande. Dit wil echter nog niets zeggen over de mogelijkheid om een lokaal optimum te vinden. In de eerste plaats blijft het gekozen voorbeeld erg eenvoudig, in de tweede plaats zouden zeer vele startoplossingen uitgetest dienen te worden om een enigermate betrouwbaar antwoord te kunnen geven.
Vanwege dit probleem en de betrekkelijke bezwaarlijkheid van lokale optima is hieraan geen verdere aandacht besteed.
Invloed van de verzadigingsgraad van het netwerk
De bovengenoemde resultaten hebben betrekking op netwerken zonder congestie. Ter vergelijking is eveneens een berekening uitgevoerd voor een situatie waarin het netwerk als geheel overbelast is: de vervoervraag is verhoogd tot 2000 normaalschepen voor klasse 1 en 3000 voor klasse 2, beide op de relatie 1-3. Van één der berekeningen (met een onderverdeling in 5 subintervallen) zijn de resultaten opge-nomen in bijlage 12. Het proces convergeerde ook nu naar behoren, echter zeer langzaam.
Na 5, 10, 15 en 20 iteraties bedroeg het grootste weerstandsverschil tussen de gebruikte routes nog resp. 34, 15, 8 en 6 tijdseenheden. Conclusie: overbelasting van het gehele netwerk heeft een lagere
con-vergentiesnelheid tot gevolg.
Invloed van een simultane berekening van lambda
Onderzocht is ook of berekening van een lambda per klasse, gevolgd door een weging, in deze overbelaste situatie mogelijk sneller zou convergeren. Daarbij spelen bepaalde overwegingen een rol, die aan de hand van het volgende voorbeeld zullen worden geïllustreerd.
We beschouwen de berekening van het netwerk uit bijlage 2, in de 2e iteratie bij toepassing van 5 subintervallen. Links in figuur 7 staat het belastingpatroon uit de eerste iteratie weergegeven, rechts het patroon van de tweede iteratie (lambda = 0.1208).
We zien dat de alles-of-niets toedeling ervoor zorgt dat de route 1-2-3 in het bovenste netwerk (klasse 2) wordt belast en in het on-derste netwerk (klasse 1) wordt ontlast. De voor alle netwerken te-zamen berekende waarden van lambda zorgt voor een toename op de route
1697
Figuur 7. Herverdeling van stromen in één iteratiestap.
1-2-3 van 1069 naar 1303 voor klasse 1 en een afname van 712 naar 627 voor klasse 2. Per saldo neemt de totale belasting van deze route in deze iteratiestap echter toe van 1781 naar 1930. Twee elkaar tegen-werkende processen kunnen er aldus voor zorgen dat het proces wel convergeert doch niet zo snel.
De hypothese luidt dat dit laatste effect is mogelijk geringer is in-dien per klasse k een eigen lambda wordt berekend. De resulterende waarde van lambda wordt in dat geval berekend door weging van de af-zonderlijke waarden van lambda naar rato van de vervoervraag per klasse. Consequentie van een dergelijke sequentiële berekening is echter wel dat de convergentie van het geheel dan niet gegarandeerd is (zie paragraaf 4.4).
De hypothese bleek inderdaad juist, zoals voor een deel is te zien in bijlage 13. De grootste verschillen tussen de gebruikte routes be-droegen na 5, 10, 15 en 20 iteraties resp. 38, 11, 6.5 en 1.9 tijds-eenheden. Het proces convergeerde hier wel, maar daar mogen geen al-gemene conclusies aan worden verbonden.
Conclusie: berekening van aparte waarden voor lambda per klasse ge-volgd door een weging kan t.o.v. een simultane berekening de convergentiesnelheid vergroten. Het is evenwel ook mogelijk dat als gevolg van de sequentiële berekening ge-heel geen convergentie meer optreedt.
TWeede testnetwerk '
In de vorige paragraaf zijn uitsluitend testresultaten van de BPR-functie en de wachttijdBPR-functie vermeld. Voor het testen van de sluis-functie in combinatie met het BPR-polynoom is een ander netwerk ge-bruikt, zijnde een schematisering van de Maas en de Waal tussen Nijmegen en Dordrecht. Dit deel van het vaarwegennet kan als repre-sentatieve testcase worden gezien vanwege de hoge belastinggraad die hier optreedt, de aanwezigheid van een aantal parallelle routes en een beperkte bevaarbaarheid van deze routes voor één van de klassen. Ook hier zijn twee gebruikersklassen met elk een eigen netwerk onder-scheiden; uit de gegevens bleek n.l. dat de schakels hetzij voor de scheepstypen l t/m 8 bevaarbaar waren, hetzij voor de typen 1 t/m 9. Dit maakt een tweedeling zinvol en voldoende nauwkeurig.
De netwerken met bijbehorende (test) HB-matrices zijn weergegeven in bijlage 14.
De totale capaciteit der sluizen bedraagt 10560 normaalschepen bij een totale vraag op die trajekten van 9500 normaalschepen.
Invloed van de weerstandsfuncties
Gezien de zeer geringe verschillen in resultaten bij gebruik van de BPR-functie en de wachttijdfunctie zijn voor dit tweede testnetwerk geen berekeningen meer uitgevoerd met de wachttijdfunctie.
In de bijlagen 15 t/m 18 kunnen de resultaten worden vergeleken van enerzijds testruns waarin overal de BPR-functie is gebruikt en ander-zijds testruns waarin voor de vaarwegvakken de BPR-functie is toege-past (met een hoge capaciteit) en voor de kunstwerken (in dit geval uitsluitend sluizen) de speciaal daarvoor afgeleide
weerstandsfunc-ties. •-.•••' i.- '. ^ • \;.--'
-Daarbij is t.b.v. de testruns een vereenvoudiging aangebracht voor wat betreft de verdeling van de totale intensiteit die de sluis pas-seert over de beide richtingen. Voor de testruns is een gelijkmatige verdeling over de beide richtingen verondersteld. Het betreft hier een vereenvoudiging van het rekenproces, welke het iteratieproces als zodanig niet beïnvloedt. Bovendien zullen in het voorbeeld als gevolg van de gekozen HB-matrix geen schommelingen in de intensiteitsverde-ling optreden tussen de verschillende iteratiestappen.
Bijlage 15 toont het belastingpatroon na 10 iteraties (2 subinterval-len), bij gebruik van de BPR-functie voor alle schakels. Bijlage 16
bevat de bijbehorende plot met stromen.
Bijlage 17 toont de belastingen na eveneens 10 iteraties (2 subinter-vallen), nu evenwel met gebruik van de speciale 'sluisfunctie' voor de aanwezige sluizen. Ook van dit belastingspatroon is een plot opge-nomen (bijlage 18).
Evenals in het voorafgaande dient te worden opgemerkt dat de waarden van de doelstellingsfunctie niet onderling te vergelijken zijn door de afwijkende functies.
Wanneer we de resultaten vergelijken, dan constateren we bij gecom-bineerd gebruik van sluis- en BPR-functies dat het rekenproces vanaf de 6^ iteratie niet meer convergeert: de waarden van lambda, de maxi-male stroom en de waarde van de doelstellingsfunctie blijven steeds tussen twee waarden heen en weer schommelen.
Dit verschijnsel treedt niet op indien overal de BPR-functie wordt gebruikt. Weliswaar is er geen sprake van een geleidelijk verlopend en gestaag verbeterend iteratieproces, maar toch blijkt dat het
grootste verschil tussen de reistijden van de gebruikte routes steeds verder afneemt (niet opgenomen in de bijlagen).
Het Wardrop evenwicht wordt dus wel degelijk steeds dichter benaderd. Het probleem van langzame convergentie blijft echter onverminderd gelden.
CONCLUSIES
Uit het voorafgaande kunnen een aantal interessante en relevante con-clusies worden getrokken.
Het algoritme maakt het mogelijk een evenwichtstoedeling voor meer-dere gebruikersklassen (scheepstypen) simultaan uit te voeren. De voorwaarden waaraan moet worden voldaan teneinde een convergerend proces te verkrijgen zijn daarbij minder restrictief dan in de lite-ratuur wordt gesteld. Het proces convergeert bij de onderzochte net-werken bij gebruik van zowel een BPR-functie als een wachttijdfunc-tie, in combinatie met een simultane bepaling van de stapgroottefac-tor, zelfs indien het netwerk als geheel overbelast is.
Gebruik van de ontwikkelde weerstandsfuncties voor sluizen en spoor-bruggen leidt tot een niet convergerend proces. Ongeacht de bereke-ningswijze van lambda en bij gebruik van normaalschipequivalentiecij-fers die uitsluitend afhangen van de gebruikersklasse ontstaat na een aantal iteraties een situatie waarin de waarden van lambda, de scha-kelbelastingen en de doelstellingsfunctie tussen twee sets van waar-den heen en weer blijven schommelen. Gezien de onder 1. gemelde resultaten zijn de weerstandsfuncties hiervan de oorzaak.
De verwerking van de normaalschip-equivalentiecijfers die niet alleen van de gebruikersklasse afhangen maar ook van het linktype, leidt tot een vervoervraag welke per iteratiestap kan verschillen. Dit vormt een bijzonder wankel uitgangspunt voor de toepassing van een even-wichtsalgoritme. Geadviseerd wordt hiervoor naar een andere oplossing te zoeken.
Gebleken dat bij berekening van lambda over slechts één (sub)interval een niet-convergerend proces ontstaat. Gebruik van twee subinterval-len blijkt echter tot goede resultaten te leiden.
Een verdere verhoging van het aantal subintervallen bij de bepaling van de stapgroottefactor leidt niet tot snellere convergentie.
- •'T j
De convergentiesnelheid van het toedelingsproces is aan de lage kant. Dit aspect verdient nog nadere aandacht.
LITERATUUR
[1] Wardrop, J.G.: "Some Theoretical Aspects of Road Traffic Research". Proc. of Inst, of Civil Engineers, Part II, volume 1, 1952,
pp. 325-378.
[2] Ramaswamy, R. and A.Daly: "A review of methodology and applications of multi-class user equilibrium assignment techniques". Cambridge Systematics Europe, 1984.
[3] Netter, M.: "Equilibrium and Marginal Cost Pricing on a Road Network with several Travel Flow Types". Proc. of the 5th Int.Symposium on the Theory of Traffic Flow and Transportation, pp. 155-163, Berkeley, 1971.
[4] Dafermos, S.C.: "The Traffic Assignment Problem for Multiclass-User Transportation Networks". Transportation Science 1972 (6) nr.l, Baltimore.
[5] Bruynooghe, M., A. Gibert, M. Sakarovitch: "Une methode d'affectation du traffic". Proc. of Fourth Symposium on the Theory of Traffic Flow, Bonn, 1969. ,. ; '
[6] Vliet, D.van, T.Bergman, W.H.Scheltes: "Equilibrium traffic
assignment with multiple user class". Paper for PTRC Summer Annual Meeting 1986, Brighton, U.K.
[7] Bergman, T., W.H.Scheltes, D. van Vliet: "Multiple User Class Assignment". Paper for TRF 1986, Seattle, USA.
[8] Dafermos, S.C.: "Traffic Equilibrium and Variational Inequalities". 1980 (14) nr. 1, Baltimore.
[9] Smith, M.J.: "The existence, uniqueness and stability of traffic equilibria". Transportation Research Vol. 13B (1979), pp.295-304.
[10] Toorenburg, J.A.C. van en L. Offeringa: "Tijdverlies wegens overbelasting". Bijdrage aan het Colloquium Vervoersplanologisch Speurwerk 1986, pp. 793-816.
[II] Zoutendijk, G.: "Methods of feasible directions", Elsevier, 1980.
[12] Florian, M., S. Nguyen: "A new look at some old problems in
transportation planning", Proc of PTRC Summer Annual Meeting 1974, London, pp. 53-114. ^
[13] Jansen, G.R.M.: "Evenwichtstoedelingen, een discussiepaper n.a.v. de bijdrage van Wijlens". Discussiebijdrage aan het Colloquium
Vervoersplanologisch Speurwerk 1985.
[14] Ruiter, E.R.: "implementation of operational network equilibrium procedures". TRR 491, pp. 40-51.
SCHEMATISCH OVERZICHT VAN DE WERKING VAN HET ALGORITME
Invoer: - te gebruiken weerstandsfunctie - aantal gebruikersklassen (1-25) - te gebruiken netwerken
- aantal subintervallen t.b.v. lineaire interpolatie (1-20) - te gebruiken HB-matrices
- aantal iteraties
- stopcriterium (aantal iteraties of tolerantie doelstellings-functie)
Rekenproces
Startopl.
berekening free flow tijden route zoeken per klasse
AON-toedeling per klasse op basis van de free flow tijden stapgroottefactor lambda = 1
sommering schakelbelastingen over alle klassen weerstandsberekening
berekening doelstellingsfunctie
Ie iteratie
route zoeken per klasse AON-toedeling per klasse
sommering schakelbelastingen over alle klassen weerstandsberekening
berekening stapgroottefactor
berekening schakelbelasting per klasse
sommering schakelbelastingen over alle klassen weerstandsberekening
berekening doelstellingsfunctie
2e iteratie
route zoeken per klasse AON-toedeling per klasse
e 'j Q 0
