PŁYTY FUNDAMENTOWE (w zarysie)

PŁYTY FUNDAMENTOWE (w zarysie)

do Wykładu 3

1. Uwagi wstępne

Poszukiwane jest rozwiązanie poziomej płyty sprężystej posadowionej na podłożu sprężystym, tj. jej osiadania w(x,y), ale przede wszystkim siły wewnętrzne do wymiarowania.

W większości sytuacji projektowych występują złożone przypadki wymagające użycia metod numerycznych, najczęściej metody elementów skończonych lub metody różnic skończonych – zarówno w modelowaniu samego fundamentu, jak i podłoża (czasem też konstrukcji posadowionej na fundamencie).

Do takich sytuacji na pewno należy zaliczyć:

• płyty o złożonym kształcie i zróżnicowanych obciążeniach (skomplikowana bryła budynku i jej rzut w poziomie posadowienia), zmienny poziom posadowienia,

• płyty o zmiennej grubości (pogrubienie pod słupami – jak odwrócony strop grzybkowy), płyty z otworami lub ruszty fundamentowe,

• skomplikowaną budowę geologiczną podłoża (lokalne soczewki gruntów słabszych, ukośne warstwy, uskoki itp.),

• fundamenty płytowo-palowe FPP, w których część obciążeń przenoszą pale, ale znaczącą część przenosi też oczep (płyta o dużej sztywności),

• płyty fundamentowe na terenach górniczych, gruntach zapadowych itp.

W typowych sytuacjach projektowych nie ma natomiast zazwyczaj potrzeby uwzględniania zaawansowanych modeli nieliniowości (plastyczności) zachowania się podłoża gruntowego, ponieważ obciążenia podłoża przez rozległą płytę mają stosunkowo małe wartości q [kPa] a ich nierównomierności są w dużym stopniu

wyrównywane przez płytę.

Standardem jest obliczanie płyt fundamentowych jako posadowionych na najprostszym podłożu liniowo sprężystym - podłożu Winklera. Brak doniesień, aby to uproszczenie prowadziło do realnych zagrożeń, było przyczyną nieprawidłowej oceny sił wewnętrznych skutkującej katastrofą budowlaną; dużą rolę odgrywa oczywiście odpowiedni dobór współczynnika podłoża C [MN/m³] i stosowane współczynniki bezpieczeństwa.

Od strony fizycznej, model półprzestrzeni sprężystej, czy warstw sprężystych o dużej miąższości, ma liczne przewagi nad modelem Winklera; dwie najważniejsze, to możliwość uwzględniania lokalnej, nieciągłej budowy niejednorodnego podłoża gruntowego oraz osiadania terenu obok obciążonego miejsca („wpływ sąsiada”).

Z drugiej jednak strony, model półprzestrzeni sprężystej zawyża wpływy głęboko występujących warstw, w dodatku z reguły słabiej rozpoznanych; wynika to zapewne m.in. z niedocenienia wpływu korzystnego wzrostu sztywności podłoża wraz z głębokością, czyli wpływu naprężeń pierwotnych, a także ortotropowych cech podłoża (zazwyczaj generowanych przez kierunek pionowy i poziome).

Jeśli nałożyć na to subiektywny model budowy podłoża wyinterpretowany przez geologa lub geotechnika, tj.

uznaniowe wydzielenie obliczeniowych warstw geotechnicznych uważanych za jednorodne – to model półprzestrzeni sprężystej traci część swoich zalet.

2. Metody numeryczne

Projektant ma do dyspozycji dużą liczbę programów komercyjnych w zakresie obliczania płyt fundamentowych - na pewno bardziej uniwersalnych, dobrze wytestowanych, niezawodnych i bardziej przyjaznych użytkownikowi niż programy własnej „produkcji”.

Niektóre komercyjne programy komputerowe dużo piszą o półprzestrzeni sprężystej, ale jak się temu dokładnie przyjrzeć, to stosują jednak prosty model Winklera z odpowiednio dobranym „zastępczym” współczynnikiem podłoża kz [kN/m³], czyli C [kN/m³] – por. np. uzupełnienie do ćwiczeń projektowych w odrębnej zakładce na WWW.

Zagadnienia numeryczne nie wchodzą w zakres programowy kursu GHB003321/CEB007361.

3. Metody bardzo przybliżone

Można je zastosować tylko wstępnie, jako pierwsze przybliżenie.

3.1. Dla sztywnych fundamentów:

a) dla obciążenia bez mimośrodu rozkład reakcji podłoża Winklera jest stały, ponieważ równomierne osiadanie wzbudza równe reakcje w „sprężynach”;

należy jednak dokładnie przeanalizować, czy model Winklera jest w danej sytuacji odpowiedni !

b) dla obciążenia bez mimośrodu reakcja półprzestrzeni sprężystej pod ławą o szerokości B wykazuje koncentracje w okolicach krawędzi fundamentu, por.

Przykład 4 na Wykładzie 1.

Orientacyjnie, można przyjmować redystrybucję średnich oddziaływań podłoża na poziomie ±25% na wydzielonych 4 ćwiartkach szerokości ławy B.

Analogicznie, reakcja półprzestrzeni sprężystej pod centralnie obciążoną kwadratową stopą wykazuje koncentracje w okolicach naroży fundamentu;

orientacyjnie, można przyjmować redystrybucję średnich oddziaływań podłoża na poziomie ±50% na 8 z 16 wydzielonych segmentów obliczeniowych stopy, por Przykład 4 na Wykładzie 1..

Rzeczywista sytuacja może się znajdować pomiędzy tymi dwoma przypadkami a) oraz b), a więc obwiednia wyznaczonych sił wewnętrznych może się okazać bezpieczną i ekonomiczna oceną wytężenia fundamentu.

3.2. Dla regularnych siatek słupów o podobnych obciążeniach:

Rozdziela się kierunki x oraz y.

W tym celu płytę rzutuje się na dwa kierunki, a następnie rozwiązuje się dwie niezależne „belki” o sztywnościach:

• EI = ELh³/12 . . . daje „reakcję podłoża” rB(x) [kN/m]

• EI = EBh³/12 . . . daje „reakcję podłoża” rL(y) [kN/m].

Obciążenia Pij są sumowane wzdłuż odpowiednich osi:

• w kierunku podłużnym P^Bi = Σ P^ij (sumować po j)

• w kierunku poprzecznym PLj = Σ Pij (sumować po i).

Do oceny sił wewnętrznych przyjmuje się reakcję podłoża r(x.y) w kPa

, = ∙

∑ ∑

Dla prostokątnych płyt i regularnej siatki słupów metoda ta daje stosunkowo dobre wyniki.

Ćwiczenie:

ta procedura rozdzielania kierunków zastosowana na górnej powierzchni prostokątnego fundamentu (gdzie siły są znane i łatwo je porównać) daje tutaj następujące odchylenia:

1100x1650/3520 = 516 ≈ 500, 1120x1650/3520 = 525 ≈ 550, 1300x1650/3520 = 609 ≈ 600, 1100x1870/3520 = 584 ≈ 600, 1120x1870/3520 = 595 ≈ 570, 1300x1870/3520 = 691 ≈ 700.

q = qśr

q = qśr (1±0,25)

1,5 1,0 1,0 1,5 1,0 0,50 0,50 1,0 1,0 0,50 0,50 1,0 1,5 1,0 1,0 1,5

500 550 600

600 570 700

1100 1120 1300

1650

1870

x y

4. Metody analityczne

Sytuacja jest znacznie prostsza w przypadku płyt cienkich, zakładając uogólnioną hipotezę płaskich przekrojów, niż płyt grubych; płyty fundamentowe zresztą są stosunkowo cienkie.

Stosując model półprzestrzeni sprężystej, w zasadzie tylko jeden przypadek można rozwiązać analitycznie w miarę prosto - centralnie obciążoną płytę kołową, a zwłaszcza nieskończoną (symetria walcowa). Nieuniknione jest stosowanie metod numerycznych.

Prosty model Winklera daje oczywiście większe możliwości¹.

Pozioma płyta spoczywa na podłożu Winklera,

grubość płyty h jest stała, sztywność płytowa wynosi:

=

_ν

∙

^[kNm2/m] = [kNm]

i jest odpowiednikiem EI dla belki, x,y – poziome współrzędne w środku płyty.

Dla podłoża Winklera

, = ∙ ,

^[kPa].

Uogólnieniem teorii Eulera-Bernoulliego jest teoria Kirchhoffa, prowadząca do równania różniczkowego cząstkowego dla osiadania płyty:

⋅ _{+ 2 ∙ + ! + ∙ , = "}

_#

_,

(1) gdzie qo jest pionowym obciążeniem zewnętrznym przyłożonym na wierzchu płyty (równanie niejednorodne).

Na powierzchniach pionowych płyty – brzegowych i wewnętrznych – analizuje się 3 momenty M i 2 siły styczne Q, siły osiowej N nie uwzględnia się (podobnie jak w belce Eulera-Bernoulliego). W szczególności, na brzegu płyty prostokątnej LxB o osiach zgodnych z x,y lub płyty o brzegu złożonym z takich płaszczyzn zachodzą następujące związki, będące uogólnieniem warunku Eulera-Bernoulliego.

Moment zginający Mx (na jednostkę długości) względem osi y w przekroju prostopadłym do x:

$ = %

^{) /}_/

& ∙ ' (& = − ∙ + ν _{∙ !}

Moment zginający My (na jednostkę długości) względem osi x w przekroju prostopadłym do y:

$ = %

^{) /}_/

& ∙ ' (& = − ∙ + ν _{∙ !}

Moment skręcający Mxy = Myx (na jednostkę długości) w przekroju prostopadłym do x lub y:

$

_-

= %

^{) /}_/

& ∙ . (& = − 1 − ν _{∙ ∙}

Siła poprzeczna w przekroju x (na jednostkę długości w kierunku równoległym do y):

0 =

¹²

+

¹³

= − ∙ + !

Siła poprzeczna w przekroju y (na jednostkę długości w kierunku równoległym do x):

0 =

¹⁴

+

¹³

= − ∙ + !

Jako utrwalenie materiału i nawiązanie do metody Bleicha dla belek z Wykładu 2 warto podać (w zarysie) możliwy sposób postępowania z płytami, bo jest on prawie taki sam jak z belkami.

1. Istotą metody Bleicha dla belek jest skorzystanie z rozwiązania fundamentalnego pierwszego rodzaju, czyli dla siły skupionej P na belce nieskończenie długiej.

Obecnie płytę - a nie belkę - powiększamy do płyty nieskończonej w obu kierunkach x,y i przykładamy siłę pionową P w punkcie (0,0). W tym przypadku rozwiązanie fundamentalne pierwszego rodzaju w(x,y) dla pojedynczej siły skupionej nazywa się w teorii równań różniczkowych liniowych funkcją Greena – to bardzo

1 Istnieje bardzo obszerna i łatwo dostępna literatura na ten temat; warto z niej korzystać testując np. własne autorskie programy komputerowe (benchmark).

(0,0) y

qo(x,y) x

P

istotne pojęcie w wszystkich teoriach zakładających słuszność zasady superpozycji (rozwiązanie Boussinesqa też jest funkcją Greena).

2. Rozwiązanie to jest oczywiście osiowo symetryczne, a zatem zamiast (1) należy zastosować odpowiednik tego równania w układzie współrz. walcowych (ρ,ϕ); jednak rozwiązanie nie zależy od współrzędnej kąto- wej, czyli w(ρ,ϕ) = w(ρ) = const(ϕ) i dla qo =0, czyli poza punktem (0,0) ma ono postać równania

jednorodnego:

⋅ ₅

₆₇⁶

₊

₇

_∙

₆₇⁶

₈ 9 + ∙ 9 = 0 (2)

Ta zamiana ∂ na d stanowi ogromną różnicę, bo rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych jest znacznie prostsze niż cząstkowych. Nie znaczy to, że jest proste, bo nie jest to równanie o stałych współczynnikach. Stosuje się metodę rozpisania poszukiwanego rozwiązania w szereg potęgowy;

w(ρ)=Σci⋅ρⁱ podstawia się do (2) i to pozwala na wyznaczenie stałych ci w zbieżnym szeregu wielomianowym, co było już krótko omówione w Przykładzie 3 do Wykładu 2.

3. Jak i poprzednio dla belek, wprowadza się współrzędna bezwymiarową ξ = ρ/LW ,

gdzie tym razem ;<= =^>_? [m]. Rozwiązaniem (2) jest tzw. funkcja Kelvina Kei(ξ) dana w postaci szeregu nieskończonego (tablice funkcji specjalnych), w sumie o wykresie bardzo podobnym do znanego

rozwiązania dla belki e^-ξ⋅(cosξ+sinξ).

Wracając do układu kartezjańskiego:

. = _B∙?∙^A

C∙ DEF ξ = _B∙?∙^A

C∙ DEF G^{H I} _C^{) I} J (3) gdy siła P jest przyłożona w dowolnym punkcie (xo,yo), niekoniecznie w (0,0).

4. Przez całkowanie funkcji Greena (3) mamy rozwiązanie dla dowolnego obciążenie pionowego, biorąc jak zwykle dP = qo(xo,yo)⋅dxodyo itd.

Jest to jednak cały czas rozwiązanie dla płyty nieograniczonej we wszystkich kierunkach.

5. Niech B będzie pewnym brzegiem swobodnym rzeczywistej płyty skończonej, dla ułatwienia złożonym z odcinków równoległych odpowiednio do x,y; obciążenie stanowi qo lub siły skupione Pi.

6. Metoda kolokacji brzegowej.

Ograniczamy się do spełnienia warunków brzegowych tylko w skończonej (dużej) liczbie punktów Ai, i=1,2,…,n.

Sił fikcyjnych będzie zatem 5n i ułożyć należy układ równań 5n x 5n, podobnie jak 4x4 w metodzie Bleicha dla belki. Oczywiście, pomiędzy punktami Ai warunki brzegowe nie będą spełnione, jednak funkcja typu (3) jest bardzo regularna i błędy nie będą duże, o ile punktów Ai jest „dostatecznie” dużo i są one odpowiednio rozmieszczone.

Gdyby np. obciążenie stanowiło nie ciągłe qo, lecz 4x6=24 sił Pi na płycie (ze słupów), a na brzegu

wyodrębniono 30 punktów kolokacyjnych Aj, to należy wykonać superpozycję 24+5x30 = 174 wpływów od sił skupionych.

Wniosek: takie rozwiązanie jest tylko przybliżone – równanie różniczkowe jest spełnione dokładnie, ale warunki brzegowe tylko w wytypowanych punktach.

Konkluzja końcowa:

W każdym punkcie A brzegu (swobodnego) muszą być wyzerowane 2 siły Q oraz 3 momenty M opisane powyżej;

do tego trzeba wprowadzić 5 sił fikcyjnych Ti, jak zwykle usytuowanych na fikcyjnym przedłużeniu fundamentu do nieskończonego; dla każdej z nich stosuje się rozwiązanie typu (3).

Takich punktów A jest jednak nieskończenie wiele, a nawet nieskończenie gęsto. Zerujące siły TAi musiałyby więc też być rozłożone nieskończenie gęsto, czyli na pewnych 5 liniach wokół obwodu płyty. A zatem należałoby znaleźć de facto 5 funkcyjnych obciążeń wirtualnych. To jest dosyć skompliko- wane zadanie i w praktyce należy sprawę uprościć.

A TA1

TA3

TA5

TA4

TA2

qo(x,y)

x y

B

podstawowa różnica tej metody Bleicha ma przyczyny wyłącznie topologiczne – brzegiem belki skończonej są tylko dwa punkty, brzegiem płyty jest ciągła linia o nieskończenie wielu punktach;

czyli 1D a 2D to jakościowo wielka różnica.