Fizyka elementarna - materiały dla studentów. Cz˛e´s´c 5 i 6.

(1)

Fizyka elementarna - materiały dla studentów. Cz˛e´s´c 5 i 6.

Przygotowanie: Piotr Nie˙zurawski (07.10.2008)

Literatura

Jan Blinowski, Włodzimierz Zielicz „Fizyka i astronomia. Cz˛e´s´c 1”: Rozdział 3 (strony 97–130).

Definicje

Wersorem zwi ˛ azanym z wektorem ~ A (wektor ~ A ma długo´s´c | ~ A| = A) nazywamy wektor:

ˆ

e

_A

= ~ A/A Oczywiste zwi ˛ azki: |ˆ e

A

| = 1 oraz ~ A = Aˆ e

A

.

Wersory bazowe układu kartezja ´nskiego X, Y, Z:

ˆ e

X

=



 

1 0 0



  e ˆ

Y

=



 

0 1 0



  ˆ e

Z

=



 

0 0 1



 

Równowa˙zny zapis wektora:

~v =



 

v

_X

v

Y

v

_Z



  = v

X

e ˆ

X

+ v

Y

ˆ e

Y

+ v

Z

e ˆ

Z

Iloczyn wektorowy wektorów ~ A i ~ B to wektor ~ W :

W = ~ ~ A × ~ B = AB sin αˆ e

W

,

gdzie wersor ˆ e

_W

jest prostopadły do płaszczyzny rozpi˛etej przez wektory ~ A i ~ B, gdy zaczepimy je w tym samym punkcie; zwrot wersora wyznaczamy za pomoc ˛ a reguły ´sruby prawoskr˛etnej: ´srub˛e ustawiamy pro- stopadle do płaszczyzny rozpi˛etej przez wektory ~ A i ~ B, ´srub˛e obracamy po wybranym k ˛ acie α od wektora ~ A do wektora ~ B, powoduje to wkr˛ecanie w płaszczyzn˛e lub wykr˛ecanie ´sruby, zwrot wersora ˆ e

_W

jest zgodny z ruchem post˛epowym ´sruby.

¹

Z definicji wynika zwi ˛ azek: ~ A × ~ B = − ~ B × ~ A

W tzw. prawoskr˛etnym układzie kartezja´nskim: ˆ e

_Z

= ˆ e

_X

× ˆ e

_Y

Moment siły ~ M spowodowany przez sił˛e ~ F działaj ˛ ac ˛ a na ramieniu ~r:

M = ~r × ~ ~ F Poło˙zenie ´srodka masy ~ R

_CM

:

R ~

_CM

= (

X

N k=1

~r

_k

m

_k

)/(

X

N k=1

m

_k

) =

Z

~r dm /

Z

dm ,

gdzie indeks k wskazuje małe elementy, na które podzielono obiekt; masa elementu k jest równa m

_k

, a wektor

~r

_k

wskazuje poło˙zenie elementu k (rozmiary liniowe elementu s ˛ a na tyle małe, ˙ze nieistotne jest, który punkt elementu wskazuje wektor ~r

k

).

1

Je´sli ustalimy, ˙ze z dwóch k ˛ atów mi˛edzy wektorami wybieramy mniejszy (wtedy α ∈ [0, π]), to sin α ≥ 0 i zwrot iloczynu wektorowego jest zgodny ze zwrotem ˆ e

W

.

1

(2)

Pytania

1. Ksi ˛ a˙zka o masie 1 kg spoczywa na poziomym stole. Współczynnik tarcia statycznego ksi ˛ a˙zki o blat stołu wynosi µ = 0.5. Jaka jest warto´s´c siły tarcia działaj ˛ acej na ksi ˛ a˙zk˛e? Jak ˛ a sił ˛ a działa blat stołu na ksi ˛ a˙zk˛e?

2. Bardzo długi, jednorodny, prosty drut o stałym przekroju zawieszono za jeden z ko´nców. W którym miejscu drut najprawdopodobniej si˛e przerwie?

3. Dlaczego w pojazdach (np. w rowerze z przerzutk ˛ a) stosuje si˛e przekładnie biegów?

4. W jakich warunkach ´srodek ci˛e˙zko´sci pokrywa si˛e ze ´srodkiem masy dowolnego ciała? Podaj przykład układu, w którym s ˛ a to dwa ró˙zne punkty.

5. Do nieruchomego wagonu o masie m zbli˙za si˛e z pr˛edko´sci ˛ a v wagon o masie m. Z jak ˛ a pr˛edko´sci ˛ a porusza si˛e ´srodek masy tych dwóch wagonów?

Zadania do rozwi ˛ azania na ´cwiczeniach

Zadanie 1. Kulka o masie m została zawieszona za pomoc ˛ a niewa˙zkich, nierozci ˛ agliwych linek. Wyznacz siły – graficznie i algebraicznie – jakimi linki działaj ˛ a na sufit w punktach A i B w sytuacji przedstawionej na Rysunku 1. K ˛ aty α i β oraz przy´spieszenie ziemskie g s ˛ a dane.

Po uzyskaniu odpowiedzi zastanów si˛e, czy napr˛e˙zon ˛ a lin˛e rzeczywi´scie mo˙zna rozerwa´c za pomoc ˛ a niewiel- kiej, poprzecznej siły.

Rys. 1

g m

A α B

β

Zadanie 2. Cz˛e´sć q elastycznej liny zwisa ze stołu, którego blat jest nachylony pod k ˛ atem α wzgl˛edem poziomu (α ∈ [0, π/2], Rys. 2). Cz˛e´sć 1 − q liny le˙zy na blacie. Lina pozostaje w spoczynku. Co mo˙zna powiedzieć o współczynniku tarcia statycznego liny o stół? Uzyskaj równie˙z wynik liczbowy, je´sli q = 0, 4. Tu˙z przy brzegu blatu tarcie nie wyst˛epuje (tam, gdzie zagina si˛e lina).

Rys. 2 g

α

2

(3)

Zadanie 3. Na równi pochyłej o k ˛ acie nachylenia α postawiono równi˛e o masie M i k ˛ acie nachylenia β (Rys. 3). Na równi˛e o masie M poło˙zono odwa˙znik o masie m. Konstrukcja jest stabilna. Ile wynosz ˛ a współczynniki tarcia statycznego mi˛edzy poszczególnymi elementami? Uzyskaj równie˙z wyniki liczbowe dla α = 30

^◦

oraz β = 15

^◦

.

Rys. 3

g m

β α M

Zadanie 4. Na brył˛e sztywn ˛ a działaj ˛ a dwie równoległe siły ~ F

₁

oraz ~ F

₂

(Rys. 4). Skonstruuj geometrycznie sił˛e równowa˙z ˛ ac ˛ a ~ F

R

. Wyprowad´z zwi ˛ azek algebraiczny wi ˛ a˙z ˛ acy warto´sci sił ~ F

1

i ~ F

2

oraz odległo´sci mi˛edzy prostymi ich działania a prost ˛ a działania siły równowa˙z ˛ acej.

F ₁

F ₂

. .

Rys. 4

Zadanie 5. Wyprowad´z ogólny wzór na iloczyn wektorowy dwóch wektorów, posługuj ˛ ac si˛e składowymi tych wektorów w trójwymiarowym układzie kartezja´nskim i korzystaj ˛ ac z rozdzielno´sci iloczynu wzgl˛edem dodawania wektorów:

A × ~ ~ B = (A

_X

e ˆ

_X

+ A

_Y

e ˆ

_Y

+ A

_Z

e ˆ

_Z

) × (B

_X

ˆ e

_X

+ B

_Y

ˆ e

_Y

+ B

_Z

e ˆ

_Z

) = . . .

Wynik przedstaw w najprostszej postaci, obliczaj ˛ ac iloczyny wersorów, ˆ e

_i

× ˆ e

_j

, na podstawie geometrycznej definicji iloczynu wektorowego.

Oblicz moment siły, je´sli rami˛e siły w pewnym układzie kartezja´nskim jest równe ~r = [1, 4, 0] m, a siła jest równa ~ F = [−5, −2, 0] N.

Zadanie 6. Na bardzo lekkiej hu´stawce, tworz ˛ acej z pionem k ˛ at α (Rys. 5) siedzi dwoje dzieci. Dziecko o masie m

₁

siedzi w odległo´sci d

₁

od punktu podparcia hu´stawki, a dziecko o masie m

₂

w odległo´sci d

₂

.

a) Wyznacz sum˛e momentów sił działaj ˛ acych na hu´stawk˛e wzgl˛edem punktu jej podparcia.

b) Jaka powinna by´c warto´s´c m

₂

, aby hu´stawka si˛e nie poruszała, je´sli m

₁

= 30 kg, d

₁

= 2 m oraz d

₂

= 1.5 m?

d ₁ d ₂

Rys. 5

α g

3

(4)

Zadanie 7. ´Srodki trzech jednorodnych kul znajduj ˛ a si˛e na jednej prostej. ´Srodek kuli o masie m

_B

znajduje si˛e w odległo´sci d

_A

od ´srodka skrajnej kuli o masie m

_A

oraz w odległo´sci d

_C

od ´srodka skrajnej kuli o masie m

_C

. Oblicz odległo´s´c ´srodka masy tych trzech kul od ´srodka kuli o masie m

_A

. Uzyskaj równie˙z wynik liczbowy, je´sli m

_A

= 4 kg, m

_B

= 1 kg, m

_C

= 2 kg, d

_A

= 1 m oraz d

_C