Tematy zagadnie« egzaminacyjnych z przedmiotu Wst¦p do Równa« Ró»niczkowych (I)
w roku akademickim 2006/2007
1. Denicja równania ró»niczkowego n−tego rz¦du (denicja 1), denicja rozwi¡zania rów- nania ró»niczkowego (denicja 2), przykªady równa« ró»niczkowych (przykªady 46).
2. Interpretacja geometryczna i zyczna równania ró»niczkowego pierwszego rz¦du
• pole kierunków,
• portret fazowy.
3. Przykªady problemów prowadz¡cych do równa« ró»niczkowych:
• ruch ciaªa pod wpªywem staªej siªy,
• rozwój populacji,
• problem drapie»nik - oara.
4. Równania o rozdzielonych zmiennych
• denicja równania o rozdzielonych zmiennych (denicja 4), denicja przedªu»enia rozwi¡zania (denicja 5), denicja rozwi¡zania wysyconego (denicja 6),
• metoda rozdzielania zmiennych (twierdzenie 1 z dowodem),
• twierdzenie o jednoznaczo±ci rozwi¡zania zagadnienia Cauchy'ego z równaniem o rozdzielonych zmiennych (twierdzenie 2),
• przedªu»anie rozwi¡za« (twierdzenie 3).
5. Równania jednorodne
• denicja równania jednorodnego (denicja 7),
• metoda sprowadzania równania jednorodnego do równania o rozdzielonych zmie- nnych (twierdzenie 4 z dowodem).
6. Skalarne równania liniowe jednorodne pierwszego rz¦du
• denicja skalarnego równania liniowego pierwszego rz¦du (denicja 8),
• wzór na wszystkie rozwi¡zania równania liniowego pierwszego rz¦du (twierdzenie 5 z dowodem),
• wzór na wszystkie rozwi¡zania równania liniowego jednorodnego pierwszego rz¦du (wniosek 1).
7. Równania zupeªne
• warunki zupeªno±ci równania (denicja 9, twierdzenie 7),
• metoda rozwi¡zywania równania zupeªnego (twierdzenie 6),
• metoda czynnika caªkuj¡cego (denicja 11, twierdzenie 8).
1
8. Autonomiczne równania liniowe w Rn
• denicja autonomicznego równania liniowego w Rn (denicja 12),
• równowa»no±¢ równania liniowego w Rn z odpowiednim ukªadem równa« skalarnych pierwszego rz¦du (uwaga 4),
• denicja macierzy eksponencjalnej eA (denicja 13),
• zwi¡zek ogóªu rozwi¡za« równania niejednorodnego i jednorodnego (twierdzenie 9 z dowodem),
• posta¢ zbioru wszystkich rozwi¡za« równania postaci x0 = Ax (twierdzenie 12),
• struktura liniowa zbioru rozwi¡za« równania x0 = Ax (twierdzenie 13),
• wzór na rozwi¡zanie zagadnienia Cauchy'ego z równaniem liniowym jednorodnym (twierdzenie 14),
• posta¢ zbioru rozwi¡za« równania x0 = Ax + b(twierdzenie 15),
• wzór na rozwi¡zanie zagadnienia Cauchy'ego z równaniem liniowym niejednorodnym (twierdzenie 16),
• posta¢ macierzy etA gdy A jest macierz¡ diagonaln¡ (przykªad 8),
• posta¢ macierzy etA dla macierzy z przykªadu 10,
• poj¦cie wektora wªasnego i warto±ci wªasnej macierzy A i ich zwi¡zek z równaniem charakterystycznym macierzy A,
• przedstawienie Jordana macierzy A w przypadku, gdy A posiada jednokrotne, rze- czywiste warto±ci wªasne (uwaga 12) oraz gdy macierz A ∈ R2×2i posiada zespolone warto±ci wªasne (uwaga 13); ich zwi¡zek z rozwi¡zywaniem równa« liniowych,
• twierdzenie Jordana (twierdzenie 17) oraz posta¢ macierzy etAw ogólnym przypadku (twierdzenie 18).
9. Skalarne równania linowe n−tego rz¦du o staªych wspóªczynnikach
• denicja i metoda zamieniania w/w równania na równanie linowe w Rn ,
• struktura liniowa rozwi¡za« oraz wzór na ogóª rozwi¡za« (twierdzenie 20),
• posta¢ wielomianu charakterystycznego (twierdzenie 21),
• twierdzenie o ukªadzie fundamentalnym rozwi¡za« (twierdzenie 22).
10. Twierdzenia podstawowe
• twierdzenie Peano (twierdzenie 23),
• idea metody ªamanych Eulera,
• przykªad problemu Cauchy'ego nieposiadaj¡cego rozwi¡zania oraz posiadaj¡cego nie- jednoznaczne rozwi¡zanie (przykªad 11),
• twierdzenie Picarda (twierdzenie 24),
• twierdzenie o ci¡gªej zale»no±ci rozwi¡zania problemu Cauchy'ego od parametrów i warunku pocz¡tkowego (twierdzenie 25).
11. Metody numeryczne
• metoda Eulera.
2
12. Stabilno±¢ rozwi¡za«
• zyczna interpretacja poj¦cia stabilno±ci i asymptotycznej stabilno±ci (przykªad 12),
• denicja stabilno±ci i asymptotycznej stabilno±ci rozwi¡zania (denicja 14),
• przykªady rozwi¡za« stabilnych, asymptotycznie stabilnych i niestabilnych (przy- kªady 1314),
• zwi¡zek stabilno±ci rozwi¡zania równania liniowego ze stabilno±ci¡ rozwi¡zania ze- rowego równania liniowego jednorodnego (twierdzenie 26),
• charakteryzacja stabilno±ci równania liniowego (twierdzenia 27, 28),
• okre±lenie pochodnej funkcji wzdªu» rozwi¡zania,
• denicja funkcji Lapunowa w przypadku ogólnym (denicja 15) oraz w przypadku równania autonomicznego (uwaga 18),
• twierdzenie Lapunowa o stabilno±ci (twierdzenie 29),
• twierdzenie Lapunowa o asymptotycznej stabilno±ci w przypadku ogólnym (twier- dzenie 30),
• twierdzenia Lapunowa o stabilno±ci w przypadku przypadku równania autonomicz- nego (uwaga 19),
• twierdzenie Lapunowa o niestabilno±ci (twierdzenie 31).
Uwaga. Je»eli nie zaznaczono inaczej wymienione twierdzenia obowi¡zuj¡ bez dowodów.
Marek Majewski,
ód¹, 09 stycznia 2007 roku.
3