Tematy zagadnie« egzaminacyjnych z przedmiotu Wst¦p do Równa« Ró»niczkowych (I) w roku akademickim 2006/2007

Tematy zagadnie« egzaminacyjnych z przedmiotu Wst¦p do Równa« Ró»niczkowych (I)

w roku akademickim 2006/2007

1. Denicja równania ró»niczkowego n−tego rz¦du (denicja 1), denicja rozwi¡zania rów- nania ró»niczkowego (denicja 2), przykªady równa« ró»niczkowych (przykªady 46).

2. Interpretacja geometryczna i zyczna równania ró»niczkowego pierwszego rz¦du

• pole kierunków,

• portret fazowy.

3. Przykªady problemów prowadz¡cych do równa« ró»niczkowych:

• ruch ciaªa pod wpªywem staªej siªy,

• rozwój populacji,

• problem drapie»nik - oara.

4. Równania o rozdzielonych zmiennych

• denicja równania o rozdzielonych zmiennych (denicja 4), denicja przedªu»enia rozwi¡zania (denicja 5), denicja rozwi¡zania wysyconego (denicja 6),

• metoda rozdzielania zmiennych (twierdzenie 1 z dowodem),

• twierdzenie o jednoznaczo±ci rozwi¡zania zagadnienia Cauchy'ego z równaniem o rozdzielonych zmiennych (twierdzenie 2),

• przedªu»anie rozwi¡za« (twierdzenie 3).

5. Równania jednorodne

• denicja równania jednorodnego (denicja 7),

• metoda sprowadzania równania jednorodnego do równania o rozdzielonych zmie- nnych (twierdzenie 4 z dowodem).

6. Skalarne równania liniowe jednorodne pierwszego rz¦du

• denicja skalarnego równania liniowego pierwszego rz¦du (denicja 8),

• wzór na wszystkie rozwi¡zania równania liniowego pierwszego rz¦du (twierdzenie 5 z dowodem),

• wzór na wszystkie rozwi¡zania równania liniowego jednorodnego pierwszego rz¦du (wniosek 1).

7. Równania zupeªne

• warunki zupeªno±ci równania (denicja 9, twierdzenie 7),

• metoda rozwi¡zywania równania zupeªnego (twierdzenie 6),

• metoda czynnika caªkuj¡cego (denicja 11, twierdzenie 8).

1

8. Autonomiczne równania liniowe w Rⁿ

• denicja autonomicznego równania liniowego w Rⁿ (denicja 12),

• równowa»no±¢ równania liniowego w Rⁿ z odpowiednim ukªadem równa« skalarnych pierwszego rz¦du (uwaga 4),

• denicja macierzy eksponencjalnej e^A (denicja 13),

• zwi¡zek ogóªu rozwi¡za« równania niejednorodnego i jednorodnego (twierdzenie 9 z dowodem),

• posta¢ zbioru wszystkich rozwi¡za« równania postaci x⁰ = Ax (twierdzenie 12),

• struktura liniowa zbioru rozwi¡za« równania x⁰ = Ax (twierdzenie 13),

• wzór na rozwi¡zanie zagadnienia Cauchy'ego z równaniem liniowym jednorodnym (twierdzenie 14),

• posta¢ zbioru rozwi¡za« równania x⁰ = Ax + b(twierdzenie 15),

• wzór na rozwi¡zanie zagadnienia Cauchy'ego z równaniem liniowym niejednorodnym (twierdzenie 16),

• posta¢ macierzy e^tA gdy A jest macierz¡ diagonaln¡ (przykªad 8),

• posta¢ macierzy e^tA dla macierzy z przykªadu 10,

• poj¦cie wektora wªasnego i warto±ci wªasnej macierzy A i ich zwi¡zek z równaniem charakterystycznym macierzy A,

• przedstawienie Jordana macierzy A w przypadku, gdy A posiada jednokrotne, rze- czywiste warto±ci wªasne (uwaga 12) oraz gdy macierz A ∈ R^2×2i posiada zespolone warto±ci wªasne (uwaga 13); ich zwi¡zek z rozwi¡zywaniem równa« liniowych,

• twierdzenie Jordana (twierdzenie 17) oraz posta¢ macierzy e^tAw ogólnym przypadku (twierdzenie 18).

9. Skalarne równania linowe n−tego rz¦du o staªych wspóªczynnikach

• denicja i metoda zamieniania w/w równania na równanie linowe w Rⁿ ,

• struktura liniowa rozwi¡za« oraz wzór na ogóª rozwi¡za« (twierdzenie 20),

• posta¢ wielomianu charakterystycznego (twierdzenie 21),

• twierdzenie o ukªadzie fundamentalnym rozwi¡za« (twierdzenie 22).

10. Twierdzenia podstawowe

• twierdzenie Peano (twierdzenie 23),

• idea metody ªamanych Eulera,

• przykªad problemu Cauchy'ego nieposiadaj¡cego rozwi¡zania oraz posiadaj¡cego nie- jednoznaczne rozwi¡zanie (przykªad 11),

• twierdzenie Picarda (twierdzenie 24),

• twierdzenie o ci¡gªej zale»no±ci rozwi¡zania problemu Cauchy'ego od parametrów i warunku pocz¡tkowego (twierdzenie 25).

11. Metody numeryczne

• metoda Eulera.

2

12. Stabilno±¢ rozwi¡za«

• zyczna interpretacja poj¦cia stabilno±ci i asymptotycznej stabilno±ci (przykªad 12),

• denicja stabilno±ci i asymptotycznej stabilno±ci rozwi¡zania (denicja 14),

• przykªady rozwi¡za« stabilnych, asymptotycznie stabilnych i niestabilnych (przy- kªady 1314),

• zwi¡zek stabilno±ci rozwi¡zania równania liniowego ze stabilno±ci¡ rozwi¡zania ze- rowego równania liniowego jednorodnego (twierdzenie 26),

• charakteryzacja stabilno±ci równania liniowego (twierdzenia 27, 28),

• okre±lenie pochodnej funkcji wzdªu» rozwi¡zania,

• denicja funkcji Lapunowa w przypadku ogólnym (denicja 15) oraz w przypadku równania autonomicznego (uwaga 18),

• twierdzenie Lapunowa o stabilno±ci (twierdzenie 29),

• twierdzenie Lapunowa o asymptotycznej stabilno±ci w przypadku ogólnym (twier- dzenie 30),

• twierdzenia Lapunowa o stabilno±ci w przypadku przypadku równania autonomicz- nego (uwaga 19),

• twierdzenie Lapunowa o niestabilno±ci (twierdzenie 31).

Uwaga. Je»eli nie zaznaczono inaczej wymienione twierdzenia obowi¡zuj¡ bez dowodów.

Marek Majewski,

Šód¹, 09 stycznia 2007 roku.

3