Funkcje, wielomiany
Informacje pomocnicze
Przydatne wzory:
(a + b)2 = a2+ 2ab + b2 (a − b)2 = a2− 2ab + b2
(a + b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2 + b3 (a − b)3 = a3− 3a2b + 3ab2− b3 a2 − b2 = (a + b)(a − b) a3+ b3 = (a + b)(a2− ab + b2)
a3 − b3 = (a − b)(a2+ ab + b2) (a + b + c)2 = a2+ b2+ c2+ 2ab + 2ac + 2bc an− bn = (a − b)(an−1+ an−2b + . . . + an−kbk−1+ . . . + abn−2+ bn−1)
Funkcja liniowa De nicja 1. Funkcj¦ dan¡ wzorem:
f (x) = ax + b, gdzie a, b ∈ R (1)
nazywamy funkcj¡ liniow¡. Ponadto:
• a nazywamy wspóªczynnikiem kierunkowym prostej
• b nazywamy wyrazem wolnym, jest to równie» punkt punktem przeci¦cia z osi¡ Oy.
Dzedzin¡ funkcji liniowej (1) jest Df = R. Natomiast Wf = (
R, je»eli a 6= 0 b, je»eli a = 0.
Je»eli:
• a > 0 to funcja liniowa (1) jest monotonicznie rosn¡ca;
• a < 0 to funcja liniowa (1) jest monotonicznie malej¡ca;
• a = 0 to funcja liniowa (1) jest monotonicznie staªa;
Funkcja kwadratowa De nicja 2. Funkcj¦ dan¡ wzorem:
f (x) = ax2+ bx + c, gdzie a, b, c ∈ R, a 6= 0 (2) nazywamy funkcj¡ kwadratow¡ w postaci ogólnej.
Posta¢ kanoniczna funkcji kwadratowej:
f (x) = a(x − p)2+ q, gdzie p = −2ab , q = −4a∆ oraz ∆ = b2− 4ac.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchoªkach w pukcie (p, q) i ramionach skie- rowanych:
• do góry, je»eli a > 0;
• do doªu, je»eli a < 0.
Posta¢ iloczynowa funkcji kwadratowej:
∆ < 0 ∆ = 0 ∆ > 0
brak postaci iloczynowej f(x) = a(x − x0)2 f (x) = a(x − x1)(x − x2)
gdzie x0 = −2ab oraz x1 = −b+
√∆
2a , x2 = −b−
√∆ 2a . Wzory Viete'a
Niech x1, x2 b¦d¡ pierwiastkami równania ax2 + bx + c = 0, gdzie a 6= 0 oraz ∆ ≥ 0. Wówczas zachodz¡ zale»no±ci zwane worami Viete'a:
• x1+ x2 = −ab;
• x1· x2 = ca.
Twierdzenia o pierwiastkach równania kwadratowego
Twierdzenie 1. Równanie W (x) = ax2+ bx + c = 0 posiada dwa pierwiastki mniejsze od warto±ci M, wtedy i tylko wtedy, gdy:
∆ ≥ 0, x0 < M, aW (M ) > 0.
Twierdzenie 2. Równanie W (x) = ax2+ bx + c = 0 posiada dwa pierwiastki wi¦ksze od warto±ci M, wtedy i tylko wtedy, gdy:
∆ ≥ 0, x0 > M, aW (M ) > 0.
Twierdzenie 3. Liczba M znajduje si¦ pomi¦dzy pierwiastkami równania W (x) = ax2+ bx + c = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy:
aW (M ) < 0.
Twierdzenie 4. Dwa pierwiastki równania W (x) = ax2+ bx + c = 0 nale»¡ do przedziaªu (K, M) wtedy i tylko wtedy gdy:
∆ ≥ 0,
K < x0 < M, aW (M ) > 0, aW (K) > 0.
Wielomiany
De nicja 3. Wielomianem stopnia n (funkcj¡ wielomianow¡) jednej zmiennej rzeczywistej x na- zywamy funkcj¦ W (x) postaci:
W (x) = anxn+ an−1xn−1+ . . . + a1x + a0,
gdzie n ∈ N, a0, a1, . . . , an ∈ R oraz an 6= 0. Ponadto liczby a0, a1, . . . , an nazywa wspóªczynnikami wielomiany,a dodatkowo a0 nazywamy wyrazem wolnym wielomianu.
De nicja 4. Dwa wielomiany nazywamy równymi (dla ka»dego x ∈ R), je»eli zachodzi równo±¢
ich stopni i odpowiednich wspóªczynników.
De nicja 5. Liczb¦ a tak¡, »e W (a) = 0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x).
Uwaga 1. Wielomian stopnia n mo»e mie¢ co najwy»ej n pierwiastków.
Uwaga 2. Wielomian stopnia nieparzystego posiada przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
Twierdzenie 5. (twierdzenie Bezoute'a)
Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x − a.
Twierdzenie 6. (twierdzenie o pierwiastku caªkowitym)
Je»eli liczba a jest pierwiastkiem caªkowitym wielomianu W (x), to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego a0.
Uwaga 3. Z powy»szego twierdzenia wynika, »e pierwiastków caªkowitych wielomianu W (x) nale»y szuka¢ wyª¡cznie w±ród dzielników wyrazu wolnego.
Twierdzenie 7. (twierdzenie o pierwiastku wymiernym)
Je»eli liczba pq jest pierwiastkiem wymiernym wielomianu W (x), to p dzielnikiem wyrazu wolnego a0 natomiast q jest dzielnikiem wyrazu an.
Niech b¦d¡ dane wielomiany W (x) oraz P (x). Je»eli na wskutek dzielenia wielomianu W (x) przez P (x) otrzymamy wielomian Q(x) oraz reszt¦ R(x) b¦d¡ca wielomianem stopnia mniejszego od stopnia wielomianu P (x), to wówczas zachodzi równanie:
W (x) = P (x) · Q(x) + R(x). (3)
Z równo±ci (3) otrzymujemy nast¦puj¡ce uwagi.
Uwaga 4. Zatem, je»eli wielomian W (x) jest podzielny przez wielomian P (x), to istnieje taki
Uwaga 5. Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x − a jest równa W (a).
Zadania
1. Rozwi¡» równania z warto±ci¡ bezwzgl¦dn¡:
a) |x + 5| = 3, b) |2x + 1| = 4,
c) ||9x − 1| − 7| = 3, d) ||x| − 3| = x − 1, e)p(2x − 4)2+ |x + 3| = 14, f ) |2x| + 3x − 5 = |x − 1|.
2. Rozwi¡» nierówno±ci z warto±ci¡ bezwzgl¦dn¡:
a) |x − 3| ≤ 2, b) | − 3x − 2| > 1,
c) 2|x + 1| > x + 4, d)p(x + 3)2+ |x − 1| < 5.
3. W zale»no±ci od parametru m rozwi¡» równanie:
a) mx − m2 = 2x − 4, b) m2x − 3 = 9x + m.
4. Dla jakiej warto±ci parametru m funkcja f(x) = (m2− 1)x + 3 jest malej¡ca?
5. Dla jakiej warto±ci parametru m wykresy funkcji f(x) i g(x) s¡ równolegªe? Je»eli:
a) f (x) = 3x − 4, g(x) = (m + 1)x + 2, b) f (x) = x + π, g(x) = (m2− 3)x + 12.
6. Dla jakiej warto±ci parametru m wykresy funkcji f(x) i g(x) s¡ prostopadªe? Je»eli:
a) f (x) = 2x − 5, g(x) = (m − 4)x + 2, b) f (x) = −mx + π, g(x) = mx + 12.
7. Dla jakich warto±ci parametru m zbiorem rozwi¡za« nierówno±ci jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych? Je»eli:
a) x2− 2(m + 1)x + 2m2+ 3m − 1 > 0, b) (5 − m)x2− 2(1 − m)x + 2(1 − m) < 0.
8. Dla jakich warto±ci parametru m wykresy funkcji f(x) = mx2+ 5x + m oraz g(x) = 5x + 1 nie maj¡ punktów wspólnych?
9. Dla jakich warto±ci parametru m rozwi¡zania równania x2 + 2(m + 1)x + 9m − 5 = 0 s¡
liczbami ujemnymi?
10. Dla jakich warto±ci parametru m równanie (m + 1)x2 + 2x + 1 = 0 ma dwa pierwiastki przeciwnych znaków?
11. Dla jakich warto±ci parametru m równanie x2+ mx + m = 0posiada dwa pierwiastki, których suma kwadratów jest mniejsza od 15?
12. Dla jakich warto±ci parametru m równanie x2 − (2m − 1)x + m2 − 4 = 0posiada dwa ró»ne pierwiastki mniejsze od 4?
13. Dla jakich warto±ci parametru m suma odwrotno±ci kwadratów dwóch ró»nych pierwiastków równania x2− (2m − 1)x + m2− 4 = 0 jest równa 3?
14. Dla jakich warto±ci parametru m równanie 2mx2 − (m + 2)x + 1 = 0 ma dwa pierwiastki, których suma jest liczb¡ z przedziaªu [−1, 1]?
15. Rozªó» wielomiany na czynniki (stosuj¡c metody grupowania, wyª¡czania przed nawias, ob- ni»ania stopnia wielomianu, wzory skróconego mno»enia):
a) x2− 9, b) x4− 16,
c) x3 + 64, d) x3+ 27,
e) x6− 1, f ) x2+ 4x + 3,
g) x2+ 10x + 25, h) x4− 6x2+ 9,
i) 2x3+ 3x2+ 4x + 6, j) 10x3+ 25x2− 8x − 20, k) − 6x5+ 15x4+ 24x3− 60x2, l) x3− 13x + 12,
m) x4+ 9, n) x7+ 2x6− 6x4− 12x3 + 9x + 18.
16. Dla jakich warto±ci parametrów a, b, c wielomiany W (x) oraz Q(x) s¡ równe? Je»eli:
a) W (x) = 2x3− 3x2+ 5x + b + c, Q(x) = (b − 3)x3− 3x2+ (2a + c)x + 4, b) W (x) = x3+ (a − 2b)x2+ (b + 4)x + c2, Q(x) = (x − 1)2(x + 2).
17. Wykonaj dzielenie wielomianów:
a) (−21x3 + 22x2− 20x) : (3x − 1), b) (−10x5+ 8x4 − 2x3+ 20x2) : (2x3− 4).
18. Stosuj¡c schemat Hornera wykonaj dzielenie wielomianów:
a) (x3− 4x2− 3x − 5) : (x − 5), b) (3x5− 4x3+ x + 66) : (x + 2).
19. Wska» liczby caªkowite mog¡ce by¢ pierwiastkami równa«:
a) x3− 7x2− 3x + 21 = 0, b) x4+ 3x3− 14x2− 12x + 40 = 0.
20. Wska» liczby wymierne mog¡ce by¢ pierwiastkami równa«:
a) 9x4− 4x3+ 18x2− 8 = 0, b) 3x3− 14x2+ 13y + 6 = 0.
21. Sprawd¹ czy równanie 2x4+ 5x3+ 2x2− 3 = 0 posiada rozwi¡zania wymierne.
22. Dla jakich warto±ci parametru m wielomian W (x) = x3 − (2m + 1)x2 + 3, 5x + m2− 4 jest podzielny przez dwumian x − 2.
23. Rozwi¡» równania wielomianowe:
a) x3− 5x2− x + 5 = 0, b) x4− 3x3+ 4x2− 6x + 4 = 0, c) x3 − 13x + 12 = 0, d) 3x4− 10x3+ 10x − 3 = 0, e) x3− 4x2+ 9 = 0, f ) 9x3+ 27x2+ 14x − 8 = 0, g) x4− 4x2− 12x − 9 = 0, h) − 3x4− 8x3− 6x2+ 3x = 0, i) − 125x3+ 15x + 2 = 0.
24. Rozwi¡» nierówno±ci wielomianowe
a) (x − 1)(2x − 3)(x + 5) ≤ 0, b) (x + 4)2(x + 1)5(x − 6) > 0, c) − 2x(6 − 4x)3(x + 25)9 ≥ 0, d) (x2+ 2x)8(x2− x − 6)3 < 0, e) x3+ 3x2− 4x − 12 ≥ 0, f ) x3− 3x2+ 3x − 2 ≤ 0, e) x4+ 2x3− x − 2 < 0, f ) x6+ 2x5− 4x4− 8x3 > 0.
