Zestaw 3B

Zestaw 3B

Zad 1.

Narysować zbiór liczb zespolonych spełniających nierówność: ^z_z^_^{3 }₃^{i 2}

Zad 2.

Rozwiązać równanie ^{z4 (2i)8} czyli wyznaczyć pierwiastki ^{4 (2i)8} .

Wskazówka. Znaleźć jeden pierwiastek i następnie skorzystać z pierwiastków ⁴ 1^.

Zad 3 . Znaleźć macierz X spełniającą równanie

XA  2 A

^T

 A

^{2 gdzie}

 







 







 5 4 2

0 1 0

3 2 1 A

Wskazówka. Najpierw pomnożyć strony równania z prawej strony przez

A

^1 i dokonać przekształceń maksymalnie upraszczając. Następnie wyznaczyć

A

^1.

Zad 4. Obliczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu f( X) przez wielomian g( X) gdzie:

1 )

(X X⁵X³

f , ^{g(X)(X i)3} Zad 5. Czy zbiór

^{R *  R}   ^0\

z działaniem

a b b b a

a   jest grupą.

Zad 6. Wyznaczyć w grupie permutacji S8 wyznaczyć

X

spełniające równanie

  ^{2,7,5,3 )4,3,2,1(}

6 4 7 2 8 5 1 3

8 7 6 5 4 3 2

1  



 



 X

^.

Ad. Zad 1.

Zad 1.

Narysować zbiór liczb zespolonych spełniających nierówność: ^z_z^_^{3 }₃^{i 2}

Rozwiązanie

3 2 3 3 2

2 3 3

3     



 

 

 z i z

z i z z

i z

Jeżeli ^{z x yi x,yR} to































 i z x yi i x yi x y i x yi

z 3 2 3 3 2 3 ( 3) 2 3







































( 3)² 2 ( 3)^{2 2 2 2} 6 9 4 ² 24 36 4 ² 0 3( ² 8 ² 2 9)

2 y x y x y y x x y x x y y

x

0 2

0 2

2 2

2 8 16 16 2 1 8 8 ( 4) ( 1) 8 2 2

0x  x  y  y    x  y   zz   zz gdzie i

z₀  4  _.

Jest to zewnętrze okrągu o środku w punkcie ^z0 ^{ 4 i} i promieniu r 82 2.

Ad. Zad 2.

Zad 2.

Rozwiązać równanie z⁴ (2i)⁸ czyli wyznaczyć pierwiastki ^{4 (2}ⁱ⁾⁸ .

Wskazówka. Znaleźć jeden pierwiastek i następnie skorzystać z pierwiastków ⁴ 1^.

Rozwiązanie

 ⁱ  ^{z i i}

z i

z

⁴

 ( 2  )

⁸

  ( 2  )

^{8 14}

  ( 2  )

²

 3  4

będzie jednym z pierwiastków tego równania czyli jednym z pierwiastków ^{4 (2i)8 41(2i)8 4 1(34i)} ponieważ



^41(34i)

  

^{4  41 4}



^34i



^{4 1(2i)8 (2i)8} . Ponieważ ⁴ 1



1,i,1,i



to



i i i i i i

 

i i i i



i) 3 4, (3 4 ), (3 4), (3 4) 3 4,4 3, 3 4 , 4 3 2

(

4  8               .

Ad. Zad 3.

Zad 3 . Znaleźć macierz X spełniającą równanie

XA  2 A

^T

 A

^{2 gdzie}

 







 







 5 4 2

0 1 0

3 2 1 A

Wskazówka. Najpierw pomnożyć strony równania z prawej strony przez

A

^1 i dokonać przekształceń maksymalnie upraszczając. Następnie wyznaczyć

A

^1.

Rozwiązanie

16 5 5 4 2 0 1 0 3 2 1

det A  

Zatem

A

^1 istnieje.

A A A X AA

A A A XJ A

AA A

A AA

X A

A A A

XA) ^1(2 ^T  ²) ^1 ( ^1)2 ^{T 1}( ) ^1 ₃2 ^{T 1} ( ^1) 2 ^{T 1} (

 







 









 







 







 

 

 

 

 





 

 

 

 





 

 







 













1- 0 2 0 1 0 3 2- 5- 1 0 3- 0 1- 2 2- 0 5 1 1

1 0 2 1 0 0 - 3 1 0 1 3 2

4 2 - 2 1 5 2 3 1 5 4 - 3 2

4 2 1 0 5 2 - 0 0 5 4 0 1

1 1 5 4 2 0 1 0 3 2 1 ¹

1

T T

A

 







 









 







 









 







 









 







 









 







 







 







 









13 8- 8- 4 5- 4- 5 2- 1- 5 4 2 0 1 0 3 2 1 4 6- 5- 2 3- 2- 1 2- 1- 2 5 4 2 0 1 0 3 2 1 1- 0 2 0 1 0 3 2- 5- 5 0 3 4 1 2 2 0 1 2X

Ad. Zad 4.

Zad 4. Obliczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu f( X) przez wielomian g( X) gdzie:

1 )

(X X⁵X³

f , ^{g(X)(X i)3}

Rozwiązanie

i X iX X i X i X X i Xi i X X i X X

g( )(  )³  ³3 ² 3 ² ³  ³3 ² 3   ³3 ²3 

i X

X

i X iX

X

X iX X

X iX X iX

iX X iX

iX X iX X

i X iX X X

X iX X

11 1 30 25

11 33 33

11

1 3 8

11

3 9

9 3

1 2

3

3

3

3 3

: 1 5

11 3

2 2 3

2 3

2 3

4

2 3 4

2 3 4 5

2 3 3

5 2



























































i X

X X

g iX X

X

f( )( ² 3 11) ( )25 ²30 111

i X

X i

X iX

X X

X⁵  ³1( ² 3 11)(  )³25 ²30 111

Ad. Zad 5.

Zad 5. Czy zbiór

^{R *  R}   ^0\

z działaniem

a b b b a

a   jest grupą.

Rozwiązanie

2 1 1 2 2 2 ) 1 1 ( 2 ) 1 1

(          

10 2 29 10

25 4 2 5 5 2 2 1 5 1 2 2 1 1 ) 2 1 (

1       



 

 

  





Działanie nie jest łączne a więc ten zbiór z tym działaniem nie jest grupą.

Ad. Zad 6.

Zad 6. Wyznaczyć w grupie permutacji S8 wyznaczyć

X

spełniające równanie

  ^{2,7,5,3 )4,3,2,1(}

6 4 7 2 8 5 1 3

8 7 6 5 4 3 2

1  



 



 X

^.

Rozwiązanie

  ¹

1

2,7,5,3)4,3, 6 4 7 2 8 5 1 2,1(

3 8 7 6 5 4 3 2

1 ^ _

 

 



X 

 _



 



 



 



 

4 3 8 7 2 1 6 5 8 7 6 5 4 3 2 1 3,5,7,2)4,3,2,1(

4 6 8 3 7 1 5 2

8 7 6 5 4 3 2 1

X