DOI 10.21008/j.1897-0737.2018.93.0007
__________________________________________
* Politechnika Opolska
Marcin KULIK
*, Bernard BARON
*, Mariusz JAGIEŁA
*ZASTOSOWANIE METODY INTERIOR POINT W OPTYMALIZACJI DODATKOWYCH CEWEK ELEKTROMAGNETYCZNEGO UKŁADU POZYSKIWANIA
ENERGII Z DRGAŃ
W artykule przedstawiono zastosowanie algorytmu interior point, na przykładzie optymalizacji elektromagnetycznego układu do pozyskiwania energii z drgań mecha- nicznych. Układ ten składa się z płaskiej sprężyny, na której zamocowano dwa jarzma z magnesami trwałymi. Pomiędzy jarzmami umieszczono cewkę, w której pod wpływem drgań, a co za tym idzie przemieszczeń sprężyny, indukuje się siła elektromotoryczna.
Na podstawie obliczeń polowych stwierdzono, że zwiększenie indukowanego napięcia możliwe jest przez wykorzystanie strumienia po zewnętrznych stronach jarzm. W niniej- szej pracy optymalizowano wymiary oraz rozmieszczenie dodatkowych cewek tak, aby uzyskać jak największą amplitudę tego napięcia.
SŁOWA KLUCZOWE: optymalizacja, interior point, drgania, pozyskiwanie energii.
1.WSTĘP
Zasada działania elektromagnetycznych przetworników energii drgań me- chanicznych w energię elektryczną (ang. Electromagnetic Energy Harvesters) wykorzystujących element inercyjny, opiera się na względnym przemieszczaniu magnesów trwałych i cewki, pod wpływem zewnętrznych wibracji [1, 2].
W wyniku tego, zgodnie z prawem Faraday’a, indukowane jest napięcie elek- tryczne. Największe amplitudy przemieszczenia uzyskuje się, gdy częstotliwość siły zewnętrznej pokrywa się z częstotliwością rezonansową układu (w układach nieliniowych zależącą również od siły zewnętrznej). Przetworniki te mogą być stosowane do zasilania bezprzewodowych czujników, konwencjonalnie korzy- stających z baterii, co zwiększa niezawodność oraz znacząco obniża koszty eks- ploatacji [1, 3].
W pracy analizowany jest elektromagnetyczny minigenerator z nieliniowym rezonansem elektromechanicznym, szerzej opisany w pracy [4]. Na podstawie analizy rozkładu strumienia magnetycznego (rys.1), stwierdzono, że możliwe
90
jest wyko jarzm do umieszczo rozważon Ze wzglę rysunku je a)
Rys. 1. Elek
Dwuw pomocą p
gdzie A je natomiast czonym m jest na po W pracy o jarzm z ma
gdzie x = przeczneg Ponieważ cji, pocho zyczny sen
Ma
orzystanie str pozyskania onej pomięd no dodanie dw
ędu na wyst est zredukow
ktromagnetyczn niow
wymiarowe p prawa Ampèr
est wektorowy JM jest zastę metodą powłok
odstawie ana optymalizowa agnesami trw
= [x1, x2, x3] t o dodatkowej większość al dna strumien ns zmiennych
arcin Kulik, B
rumienia roz dodatkowej dzy poruszaj wóch cewek tępowanie sy wany do poło
ny układ pozysk wy, b) rozkład s
pole magnety re’a w postac
ym potencjałe ępczym prąde
k prądowych alitycznego ro ano pochodną wałymi, co pro ( ) f x to wektor zm j cewki, jak n lgorytmów op nia skojarzone h x1, x2, x3, zas
ernard Baron,
proszonego j energii ele jącymi się j po ich zewn ymetrii w u owy układu.
kiwania energii strumienia magn
yczne w tym ci różniczkow
2 0
JM
A
em magnetyc em pochodząc h [4, 5]. Strum
ozwiązania ró ą strumienia w owadzi do fun
( , )
x miennych dec
na rys. 1), nat ptymalizacji j ego jest pom stosowano fun
, Mariusz Jagi
po zewnętrz ektrycznej. O
jarzmami z nętrznej stron
kładzie, obs
b)
i z drgań mecha netycznego dla
m przetworn wej
cznym, ν0 jest cym od magn mień skojarzon ównania (1), w punkcie zer nkcji celu post
0
cyzyjnych (w tomiast ζ to p jest tworzona mnożona przez
nkcję ogranic ieła
znej stronie r Oprócz głów magnesami nie, jak na ry szar przedsta
anicznych a) mo ζ = 0
niku można
t reluktywnoś nesów trwały ny z cewką w , metodą Fou rowego przem
taci
wymiarów prz przemieszcze a do minimali z -1. Aby za czeń w formie
ruchomych wnej cewki trwałymi, ysunku 1a).
awiony na
odel oblicze-
opisać za
(1) ścią próżni, ych wyzna- wyznaczany
urier’a [4].
mieszczenia
(2) zekroju po- enie jarzm.
izacji funk- achować fi- e
6( ) g x przy czym czynnikie Wykresy wartości t
R
R
1( ) g x
4( g x 4k(x1x
m xc = 18,39 em zapełnien zmienności trzeciej zmie
Rys. 2. Wykres z
Rys. 3. Wykres z
1 xc
x ; g2 ) q x 2x x
c 3 2
x )( )
Nπ x x mm, p = 75 nia cewki zw
funkcji celu ennej) przeds
zmienności fun
zmienności fun
( ) 0 g x ( )x x21;
3 1
x ; g x5( )
0,2; g x7( 5 mm, q = 75 wojami, N = w zależnośc stawiono na r
nkcji celu w zale
nkcji celu w zale
3( ) 3
g x x ) p x1 x
) 0,4 4 x
5 mm (rys. 1
= 1000 jest ci od dwóch z
rysunkach 2,
eżności od zmie
eżności od zmie
2 1
x ; xc , 1
1 c 3
k( x )(
Nπ
x x
1a), k = 0,8 j liczbą zwojó zmiennych ( , 3 oraz 4.
ennych x1 oraz
ennych x1 oraz
(3)
3x2) est współ- ów cewki.
(przy stałej
x2
x3
92
R
Jak mo granicy pr rysunku 4 wypłaszcz mają tylk równościo We ws cji. Metod z przesuw i gradientu dowane b nych krok (1-2). Kol interior p poprawno metodę in nienie wa
Zakład ujemnych
Ma
Rys. 4. Wykres z
ożna zauważ rzedziału dop 4 widać loka
zenie funkcj o charakter p owych (3).
stępnym etap dy bezgradie wanymi funk
u sprzężoneg było to „wyc
kach oblicze lejnymi testo oint [7, 8]. Z ość uzyskany
nterior point arunków (3) w
2 dając ograni h elementach
arcin Kulik, B
zmienności fun
żyć, na rysun puszczalnej alne minimu i dla wyższy poglądowy, pie badań te entowe, taki kcjami kary, go [6], nie d chodzeniem”
eniowych, co owanymi alg
Ze względu ych wyników z logarytmi w każdej iter 2. METOD czenia nieró h, otrzymujem
ernard Baron,
nkcji celu w zale
nku 2 i 3 min zmienności z um w okolica ych wartości
z uwagi na n estowano róż
ie jak metod jak również dawały satys
” tych algory o generowało gorytmami by na szerszą w dla badane
iczną funkcj racji [6, 7, 8 DA INTERI ównościowe my [6]
, Mariusz Jagi
eżności od zmie
nimum funkcj zmiennych x ach punktu [ zmiennych.
nieliniową fu żne algorytm da Powell’a ż metody gra sfakcjonujący ytmów poza
o błędy w ro yły metoda i
ścieżkę zbie ego problemu
ą barierową, , 9, 10].
IOR POINT oraz wektor
ieła
ennych x2 oraz
ji celu jest o x2 oraz x3, na [15 mm, 15 . Jednakże, w unkcję ogran my minimaliz oraz Hook’
adientowe ty ych wyników
ograniczeni ozwiązywan nterior point eżności, szyb
u, zdecydow , która zapew
T
r zmiennych
x3
siągane na atomiast na mm] oraz wykresy te niczeń nie- zacji funk- a-Jeeves’a ypy BGFS w. Spowo-
a w kolej- niu równań
t oraz non- bkość oraz wano się na wnia speł-
h x o nie-
min ( )f
x x (4) ( ) 0
g x
(5) 0, 1,2,...,
i x
x i n
,
gi( ),x i1,2,...,nggdzie x, f, g(x), nx, ng to odpowiednio wektor zmiennych, optymalizowana funk- cja celu, wektor ograniczeń nierównościowych, liczba zmiennych oraz liczba ograniczeń nierównościowych. Wprowadzając wektor nieujemnych zmiennych dopełniających z oraz stosując logarytmiczną funkcję barierową, problem (4) można zastąpić zadaniem
1
min ( ) gln( )
n
k i
i
f z
x x (6) ( ) 0
g x z
,
z0(7) gdzie μk jest parametrem barierowym, sprowadzanym do zera w kolejnych itera- cjach. W wyniku tego, kolejne przybliżenia problemu (6) dążą do rozwiązania zadania (4). Minimum lokalne funkcji (6), uwzględniając zależności (7), jest osiągane wtedy, gdy gradient funkcji Lagrange’a jest równy zero
T 1
( , ) ( ) gln( ) ( ( ) )
n
k k k i
i
L f z
y x π g x z (8)
( ) ( ( ))T
( , ) ( )
( )
k k k
f
L diag
x x
y
x g x π
y z π e 0
g x z
(9)
gdzie yk = [xT, zT, πT]T, π jest wektorem mnożników Lagrange’a ograniczeń nierów- nościowych, natomiast e jest wektorem jednostkowym. Otrzymany układ równań nieliniowych (9) rozwiązywany jest za pomocą metody Newtona-Raphsona
(y2L( ,yk k))yk yL( ,yk k) (10) co można zapisać jako
2 ( ) 2( T ( )) ( )T ( ) ( ( ))T
( ) ( ) ( )
( ) ( )
k
f f
diag diag diag
x x x x x
x
x π g x 0 g x x x g x π
0 π z z z π e
g x 1 0 π g x z
(11)
gdzie Δy = yk+1 - yk, 1 jest macierzą jednostkową. Wartości poszczególnych zmien- nych w kolejnych krokach algorytmu, obliczane są z następujących zależności
1 p
k k k k
x x α x (12)
1 p
k k k k
z z α z (13)
1 d
k k k k
π π α π (14)
94
przy czym
są odpowi wierającym czeństwa r znaczany j
gdzie σk je nienia war rostów zm Algory równościo
Rys. 5. S
Ma
m
α
α iednio długoś mi się w przed równym 0,99 jest ze wzoru
est parametre runków komp miennych prym
ytm metody i owymi przeds
Schemat metody
arcin Kulik, B
min 1,
p k
α
min 1,
dk α
ściami kroków dziale wartoś 9995. Paramet
k
em skalującym plementarnośc malnych poni
interior point stawia rysunek
y interior point
ernard Baron,
min i
i
z
z
min i
i
w zmiennych ści (0,1], natom
tr barierowy
T
1 2
k k k
ng
z π m. Obliczenia
ci oraz uzysk żej zadanego
dla zadania k 5.
w optymalizac
, Mariusz Jagi
i 0
z
i 0 i
h prymalnych miast γ jest w w kolejnych
a wykonywan kania wartości błędu dopusz optymalizacj
cji z ograniczen ieła
h oraz dualny współczynniki
krokach algo
ne są do mom
i normy z we zczalnego rów ji z ogranicze
niami nierównoś
(15)
(16) ych [7], za-
iem bezpie- orytmu wy-
(17) mentu speł- ektora przy- wnego 10-7. eniami nie-
ściowymi
Program realizujący powyższy schemat został napisany w środowisku Visual C#, korzystając z biblioteki metod optymalizacji, opracowanej w Instytucie Sys- temów Napędowych i Robotyki Politechniki Opolskiej [6].
3. WYNIKI OPTYMALIZACJI
Obliczenia minimum funkcji celu (6) przeprowadzono dla punktów starto- wych losowanych z obszaru ograniczonego zależnościami (3). Wyniki optymali- zacji dla trzech różnych punktów początkowych zestawiono w tabeli 1. W tabeli 2 przedstawiono wartości wektora ograniczeń nierównościowych dla punktów startowych oraz punktu optymalnego.
Tabela 1. Wyniki optymalizacji dla trzech różnych punktów startowych.
Punkt startowy x0 f(x0) Liczba iteracji Czas obliczeń Rozwiązanie xopt f(x) [20,97 4,03 30,05]T -0,77 14 2,83 s [22,51 10,22 19,75]T -1,20 [22,39 7,82 23,40]T -1,00 13 2,70 s [22,51 10,22 19,75]T -1,20 [28,43 11,04 15,86]T -0,90 13 2,67 s [22,51 10,22 19,75]T -1,20
Tabela 2. Wartości funkcji g(x) dla wektora warunków początkowych x0 i wektora roz- wiązań xopt.
Punkt startowy x0 Punkt startowy x0 Punkt startowy x0 Rozwiązanie xopt
x0 =[20,97 4,03 30,05]
x0 =[22,39 7,82 23,40]
x0 =[28,43 11,04 15,86]
xopt =[22,51 10,22 19,75]
0
2,58 3,04 25,01 ( ) 34,92 29,64 0,06 0,14
g x 0
4,00 6,82 14,58 ( ) 37,78 28,22 0,05 0,15
g x 0
10,04 10,04 3,81 ( ) 42,10
22,18 0,02 0,18
g x
4,12 9,22 8,53
( ) 39,02
28,11 0,00
0,2
opt
g x
Jak można zauważyć, algorytm interior point znalazł rozwiązanie optymalne (spełniające ograniczenia nierównościowe) w tym samym punkcie, niezależnie od wylosowanego punktu startowego. Wartość funkcji celu wyniosła -1,20 Vs/m. Czas obliczeń dla każdego przypadku nie przekroczył 3 sekund. Rysunek 6 przedstawia przebieg normy wektora przyrostu zmiennych prymalnych, normy przyrostu wartości funkcji celu w kolejnych krokach oraz normy gradientu funk- cji Lagrange’a dla przykładowego punktu startowego.
96
Rys. 6. Pr
Rys
Ma
rzebieg norm w
s. 7. Zależność p
arcin Kulik, B
wektorów Δx, Δf x0 =
pochodnej strum
ernard Baron,
f oraz L w kol [20,97 4,03 30
mienia skojarzo
, Mariusz Jagi
lejnych iteracja 0,05]
onego z cewką ieła
ach dla punktu s
od przemieszcz
startowego
zenia
Rysunek 7 przedstawia zależność pochodnej strumienia skojarzonego z cew- ką od przemieszczenia jarzm dla czterech różnych wektorów x. Linią ciągłą oznaczono przebieg dla rozwiązania optymalnego, natomiast pozostałe krzywe wyznaczono dla punktów startowych, jak w tabeli 1. Biorąc pod uwagę symetrię układu, przebieg pochodnej strumienia jest taki sam dla drugiej cewki.
4. WNIOSKI
W pracy zoptymalizowano wymiary dodatkowych cewek elektromagnetycz- nego układu pozyskującego energię z drgań mechanicznych, co znacząco po- większa sprawność minigeneratora. Obliczenia przeprowadzono metodą interior point, która poradziła sobie z nieliniowymi ograniczeniami nierównościowymi, zapewniając przy tym ich spełnienie w każdej iteracji. Aktualnie prowadzone są prace związane ze skonstruowaniem zoptymalizowanego układu, których wyniki zostaną wkrótce przedstawione.
Praca została zrealizowana w ramach projektu nr 2016/23/N/ST7/03808 finansowanego przez Narodowe Centrum Nauki
LITERATURA
[1] Mitcheson P. D., Yeatman E. M., Rao G. K., Holmes A. S., Green T. C., Energy Harvesting From Human and Machine Motion for Wireless Electronic Devices, Proceedings of the IEEE, vol. 96, no. 9, pp. 1457-1486, 2008.
[2] Kulik M., Jagieła M., Harvesting mechanical vibrations energy using nonlinear electromagnetic minigenerators – a survey of concepts and problems, Poznan Uni- versity of Technology Academic Journals, Electrical Engineering, No 90, pp. 347- 358, 2017.
[3] Saha C. R., O’Donnell T., Loder H., Beeby S., Tudor J., Optimization of an Elec- tromagnetic Energy Harvesting Device, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 42, no. 10, pp. 3509-3511, 2006.
[4] Jagieła M., Kulik M., Torsion and axial moment in a new nonlinear cantilever-type vibration energy harvester, International Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics, ukaże się w roku 2018.
[5] Lee H., Noh M. D., Park Y. W., Optimal Design of Electromagnetic Energy Har- vester Using Analytic Equations, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 53, no. 11, pp. 1-5, 2017.
[6] Baron B., Połomski M., Kolańska Pluska J., Programowanie nieliniowe w języku C#, Wydawnictwo Politechniki Opolskiej, 2018 (w druku).
[7] Połomski M., Baron B., Optimal Power Flow by Interior Point and Non Interior Point Modern Optimization Algorithms, Acta Energetica, 1/14, pp. 132-139, 2013.
[8] Patra S., Goswami S.K., Optimum power flow solution using a non-interior point method, Electrical Power and Energy Systems, 29, pp. 138–146, 2007.
98 Marcin Kulik, Bernard Baron, Mariusz Jagieła
[9] Klintberg E., Gros S., An inexact interior point method for optimization of differ- ential algebraic systems, Computers and Chemical Engineering, 92, pp. 163-171, 2016.
[10] Qiu S., Chen Z., An interior point method for nonlinear optimization with a quasi- tangential subproblem, Journal of Computational and Applied Mathematics, 334, pp. 77-96, 2018.
APPLICATION OF THE INTERIOR POINT METHOD IN OPTIMISATION OF ADDITIONAL COILS OF A NONLINEAR ELECTROMAGNETIC
VIBRATION ENERGY HARVESTER
The paper presents application of the interior point algorithm, developed in the Insti- tute of Drive Systems and Robotics, at the Opole University of Technology, to design optimization of the electromagnetic energy harvester. The system consists of a beam spring with the two attached yokes with permanent magnets. A coil is placed between the yokes, in which the electromotive force is induced due externally applied vibrations.
On the basis of field calculations, it was found that it is possible to use the leakage flux existing on both exterior sides of the yokes. In this work the dimensions and placement of additional coils, to obtain the highest amplitude of the flux linkage derivative, are optimized providing significant rise of the induced voltage with respect to basic configu- ration.
(Received: 30.01.2018, revised: 05.03.2018)
