Grzegorz Plebanek
Kombinatoryka (R)
Co tu się będzie działo?
1
Zasada szufladkowa
Przykład 1. Wśród 101 liczb ze zbioru {1, 2, . . . 200}
istnieją dwie różne a, b, takie że a dzieli b.
Każdą liczbę naturalną x można zapisać jako x = 2k·y, gdzie y jest nieparzyste. Jeśli 1 � x � 200 to y = 2m−1, gdzie 1 � m � 100. I. . . koniec.
2
Zasada szufladkowa
Przykład 2. Dla każdego ciągu a1, . . . , an liczb cał- kowitych istnieje blok ai + . . . + aj podzielny przez n.
Jest n bloków postaci a1+ . . . + ai; jeśli blok takiej po- staci dzieli sie przez n to koniec. Inaczej są dwa różne początkowe bloki dające taką sama resztę z dzielenia przez n i. . . odejmujemy.
3
Zasada szufladkowa ogólna
Jeżeli n(r − 1) + 1 przedmiotów umieścimy w n szu- fladach to pewna szuflada zawiera � r przedmiotów.
Twierdzenie (Erd˝os- Szekeres). Każdy ciąg a1, . . . an2+1 różnych liczb rzeczywistych zawiera pod- ciąg monotoniczny długości n + 1.
Przypuśćmy, że nie istnieje podciąg rosnący długości n+ 1. Niech mk będzie maksymalną długością podcią- gu rosnącego, zaczynającego się od ak. Wtedy mk � n więc (!) istnieją k1 < k2 < . . . kn+1 dające tę samą war- tość mki = m.
Teraz wystarczy sprawdzić, że ak1 > . . . > akn+1.
4
Podstawowe reguły zliczania
• Addytywność: jeżeli A∩B = ∅ to |A∪B| = |A|+|B|.
• Multyplikatywność: |A × B| = |A| · |B|.
• Komplementarność: Dla A ⊆ X zachodzi wzór
|A| = |X| − |X \ A|.
5
Permutacje
n różnych przedmiotów można ustawić w ciąg na n! = 1 · 2 · . . . · n sposobów.
6
Wariacje
Jeżeli |A| = n to istnieje n!
(n − k)! = n(n − 1) . . . (n − k + 1)
k-wyrazowych ciągów różnych wyrazów tego zbioru.
7
Kombinacje
Symbol Newtona �nk� definiujemy jako liczbę k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego.
Dla 0 � k < n mamy
n k
=
n n− k
n k
+
n k + 1
=
n + 1 k + 1
n k
= n!
k!(n − k)!
8
Współczynniki dwumianowe
(a + b)n = �n
k=0
n k
akbn−k
�n k=0
n k
= 2n
�n k=1k ·
n k
= n · 2n
�n k=0
n k
2
=
2n n
9
Uogólnione symbole Newtona
Dla x ∈ R i naturalnej liczby k � 1 definiujemy
x k
= x(x − 1) . . . (x − k + 1) k!
Dodatkowo
x 0
= 1
x k
= 0
dla k < 0
Dla |x| < 1 i α ∈ R zachodzi wzór (1 + x)α = �∞
k=0
α k
xk.
10
