Mechanika nieba 2012.
Zagadnienia egzaminacyjne.
1. Na czym polega metoda uzmienniania staªych dla zaburzonego ukªadu ze znanymi caªkami ruchu ?
2. Co to s¡ elementy oskulacyjne orbity ?
3. Wyprowadzi¢ równanie Gaussa dla zmian póªosi wielkiej orbity elip- tycznej przy ogólnej postaci zaburzenia P .
4. Omówi¢ trzy podstawowe bazy stosowane do rozkªadu siªy zaburzaj¡cej P.
5. Wymieni¢ ograniczenia w stosowaniu równa« Gaussa, wyja±ni¢ pocho- dzenie osobliwo±ci i sposób ich usuwania.
6. Wypisa¢ równania Gaussa (26) gdy P jest siª¡ tarcia styczn¡ do orbity i P = −γ2v. Jakie wnioski na temat ruchu w tym zagadnieniu mo»na wysnu¢ bez rozwi¡zywania równa« ?
7. Manewr zmiany nachylenia w ±wietle równa« Gaussa.
8. Kiedy jedna ze zmiennych kanonicznych jest caªk¡ ruchu i kiedy ha- miltonian jest caªk¡ ruchu ? (udowodni¢)
9. Na jakiej podstawie mo»na ruch jednego ciaªa opisa¢ u»ywaj¡c p¦du i energii na jednostk¦ masy ?
10. Macierze symplektyczne de nicja, wªa±ciwo±ci i ich rola w formali- zmie kanonicznym.
11. Co to jest transformacja kanoniczna ? Poda¢ przykªad.
12. Kanoniczne nawiasy Poissona de nicja, wªa±ciwo±ci i zastosowania.
13. Rozszerzenie kanoniczne transformacji punktowej. Zilustrowa¢ dowol- nie wybranym przykªadem.
14. Poda¢ de nicje zmiennych Hilla-Whittakera i Delaunaya. Wypisa¢
równania ruchu zagadnienia wzgl¦dnego dwóch ciaª w obu zestawach zmiennych.
15. Transformacja do ukªadu jednostajnie obracaj¡cego si¦ jako transfor- macja punktowa. Jak interpretujemy p¦dy w ukªadzie obracaj¡cym si¦ ?
1
16. Poda¢ funkcj¦ Hamiltona peªnego zagadnienia dwóch ciaª w ukªadzie barycentrycznym i przeprowadzi¢ redukcj¦ do zagadnienia wzgl¦dnego.
17. Czym ró»ni si¦ klasyczna funkcja tworz¡ca transformacji kanonicznej od funkcji tworz¡cej typu Liego ? Porównaj opis transformacji to»sa- mo±ciowej przy u»yciu obu rodzajów funkcji.
18. Wyprowad¹ dwa dowolnie wybrane spo±ród równa« planetarnych La- grange'a dla zaburzaj¡cego potencjaªu V1(a, e, I, M, ω, Ω).
19. Zagadnienie N ciaª: de nicja i funkcja Hamiltona.
20. Wymieni¢ caªki ruchu zagadnienia N ciaª.
21. Udowodni¢ zachowanie momentu p¦du w zagadnieniu N ciaª.
22. Co to znaczy, »e zagadnienie N ciaª jest niecaªkowalne ?
23. Jak de niujemy kanoniczne zmienne heliocentryczne Poincarégo ? Poda¢ równania ruchu wynikaj¡ce z hamiltonianu
K = 1
2
N∑−1
i=1
m0+ mi
m0mi U2i + 1 m0
N∑−1
i=1 N∑−1
j=i+1
Ui· Uj−
−
N∑−1
i=1
k2m0mi
ui −
N∑−1
i=1 N∑−1
j=i+1
k2mimj
∆i,j
.
24. Twierdzenie o wiriale i wnioski z niego wypªywaj¡ce.
25. Omówi¢ rozwi¡zania homogra czne w zagadnieniu trzech ciaª.
26. Zde niowa¢ ograniczone koªowe zagadnienie 3 ciaª i poda¢ równania ruchu dla jego funkcji Hamiltona
H = 1 2
(
X2+ Y2+ Z2 )
+ Ω (y X− x Y ) − k2m1
r1 −k2m2
r2 . (1) 27. Co to jest kryterium Tisseranda ? Wyprowadzi¢ w oparciu o równanie
(1).
28. Wyprowadzi¢ równanie powierzchni zerowej pr¦dko±ci wynikaj¡ce z caªki H = −C/2 i równania (1) w jednostkach bezwymiarowych.
29. Zwi¡zek z punktów Lagrange'a z powierzchniami zerowej pr¦dko±ci.
2
30. Punkty Lagrange'a jako poªo»enia równowagi stabilnej lub niestabilnej.
31. Kiedy poªo»enie równowagi ukªadu kanonicznego jest liniowo stabilne ? 32. Co to jest transformacja bliska identyczno±ci ? Poda¢ przykªad.
33. Eliminacja perturbacji okresowych pierwszego rz¦du przy u»yciu me- tody Poincarégo.
34. Zasady u±redniania funkcji okresowych w ruchu eliptycznym.
35. Wªasno±ci ruchu zaburzonego oporem o±rodka wynikaj¡ce z rozwi¡za- nia pierwszego rz¦du.
36. Typy perturbacji w zaburzonym ruchu keplerowskim.
Dodatek: Równania Gaussa
˙a = 2 a2
µ P· v = 2 n√
1− e2 [
R e sin f + T p r ]
= 2 v
n2aS, (2)
˙e = 1 µ a e
[
(r· v) r + (a p − r2) v ]· P
=
√1− e2
n a [R sin f + T (cos f + cos E)]
= 1
v [
S 2 p
r cos E + N√1− e2 sin E ]
, (3)
I˙ = r cos (f + ω)
µ p (r× v)· P = r cos (f + ω)
õ p B, (4)
˙
ω = − r
µ p e
[õ p
r (cos E + e) r− (p + r) sin f v ]
· P − c ˙Ω
= 1
e
√p µ
[
−R cos f + T (
1 +r p
) sin f
]
− c ˙Ω
= 1
e v [2 S sin f− N (e + cos E)] − c ˙Ω, (5) Ω˙ = r sin (f + ω)
s µ p (r× v)· P = r sin (f + ω)
sõ p B, (6)
M˙ = n− 1 n a2
[
2 P· r +√ µp
(
˙ ω + c ˙Ω
)]
= n− 1
n a2e [ R (2 r e− p cos f) + T (r + p) sin f ] 3
= n−
√1− e2 v e
[
N (cos f− e) − S (
1 +2 r e2 p
) sin f
]
. (7) gdzie s = sin I, c = cos I, p = a (1 − e2), n =√µ a−3.
4
