g*mBe frtrą&r#Br*.$*;ę*ti

131

ffi ffieCInmetyfim gx&m*,kre

',,

*ffi

"*p

g*mBe frtrą&r#Br*.$*;ę*ti

.;+.J. Po|e pierścienia Wyznaczone8o przez okrąg wpisany w kwadrat i okrqg opisany

na tym kwadracie jest równe rr dm2. obIicz ^po|e kwadratu.

:li",Ż. WkwadratABCDwpisanokwadratA1B1C1D1wtakisposób,żedokażdegoboku kwadratu ABCD na|ezy jeden wierzchołek kwadratu A1BlCIDI. Wyznacz stosunek ^pó|

tych kwadratów, jeś|i boki kwadratu A1B{1D1tworzq z bokaml kwadratu ABCD:

a) kqt 45.

b) kqty odpowiednio 30o i 60o'

lli. .

ob|icz długości boków dwóch kwadratów, wiedzqc, że są one Iiczbami natu- raInymi oraz Że róznica pó| tych kwadratów jest równa:

a) s b) 2t

;i..1i' Przekqtne prostokqta dzielq go na CZtery trójkqty' Oblicz poIe prostokqta, jeś|i poIe jednego z trójkqtów rozwartokqtnych ^jest:

a) równe 1

b) o 9 mniejsze od poIa prostokqta.

.i.,!'l" obIicz poIe prostokqta, którego przekqtne długości 10 cm przecinajq się pod kqtem

a) 60" b) 45'

c)

30"

.i.l3" Po|e prostokąta jest _równe 9 Cmz, a śreclnica okręgu opisanego na tym prosto-

kqcie ma dtugość 6 cm. Ob|icz miarę kqta ostrego między przekqtnymiprostokqta.

.i.,l. Wprostokqcie ABCDpoprawadzono przekQtnQ,4C. OdcinekDEjestwysokościq

trójkqta ACD, a punkt Fdzie|i przekqtnq prostokqta na odcinki dtugości 3 cm i ].2 cm.

Oblicz:

a) pole prostokqta ABCD b) obwód trójkqta ACD.

132

Matematyka. Zbiór zadań' Klasa 2

Z kawatka kartonu w kształeie de|toi- du wycięto kwadrat

o

po|u t,4Ą m., któ-

rego

wierzchołkami

sq środki

boków de|toidu. Wiedzqc,

że

pun|<t przecięcia przekqtnych deltoidu Ieżał

w

odIegtości 20 cm od punktu przecięcia się przekątnych kwadratu (rysunek obok), obiicz:

a)

^poIe powierzchni pozostałych skrawkow kartonu

b) obwód deltoidu; wynik poda1 z cjoktad- nościq do 0,01 ^m.

Dwa sqsiednie boki prostokqta ABCD ^majq dtugość: ^D

AB|:7

^{cm, lBC|}

:

3 cm. Z punktu D poprowadzono ^prostą, która przecięta bok A8 w ^{punkrie E',} a następnie ^prostq prostopadtq do prostej DE,ktara przechodzi przez punkt

E

4

i

przecina bok 8C

w

^punkcie

^F

(zobacz rysunek obok)' Wiedzqc, ^że |DE| :3]EF], _oŁr|icz pn|e czwciro|<qta DEFC"

W prostokqcie ABCD punki 5 jest śr.odkiem boku

AB,

^D

|AB|>z|BC|. Poprowadzono ^{tuk okręgu o środku w}

punkcie /

5 i promieniu AS], który przeciąt bok DC w punkcle E

(zo- l

bacz rysunek obok). Wykaż, że kwadrat o boku AD ma

ta-

_o|

kie samo ^poIe jak prostokąt, którego boki majq ^długość iDE i IECI.

C .F

c

Boki prostokąta ABCD ma!q dtugość: _iAB|

-

^{10 cm,}

1ADI: 4 cm. Punkt 5 jest środkienn odcinka DC' okrqg o środ- ku w punkcie5i promieniu ^{5 przeeina} bok,4Bw ^punktach Fi F (zobacz rysunek obok). oblicz prIe czworokqta ^EFCD.

Boki równolegtoboku ^mają dtugość ^].2 cm i 9 cm, a jedna z wysokości ma dtugość ^{4 crn.} Oblicz długość ^rJrugiej wysokości równoIegtoboku. Rozwaz dwa ^przy.

padki.

4. Geometria ^{płaska _} pole czworokQta

4.t3.WrównolegtobokuABCDkrotszaprzekqtnaDBmadługość20cm.WYsokość trójkqta ACD

poprow.J,on.

^z wierzchotka ^D

izie|i

odcinek AC ^na odcinki ^majqce długość ⁹ cm ⁱ 25 cm. ob|icz:

a) obwód równo|egłoboku b) ^po|e równolegtoboku.

4.t4.

W równoległoboku AB1D,l<ADcl ^> 9o", poprowadzono wysokośc ^{DE ma-}

jqcqdługość6cmiwysokośćDFmajqcqdługośćz,[ztcm(FeBC\.PrzekqtnaDB

iównoległoboku ^{ma dt.ugość ].O} cm' ^ob|icz:

a)obwódipoleczworokqtaEBFD*b)obwódipolerówno|egtobokuABCD.

4.15.obwódrÓwno|egłobokujestrówny35cm,aod|egtośćpunktuprzecięcia

przekqtnych oo a*o.r'Jasiednic.h boków równoIegłoboku jest odpowiednio ^równa

3 cm ⁱ 4 cm. ob|icz pole równo|egtoboku.

4.L6. ^W

równo|egłoboku ABCD poprołvadzono przekqtnq DB oraz odcinek AM, gdzieMjestśrodkiembokuDC.ProsteDBiAMprzecinajqsięwpunkcieP.ob|icz, jakq część ^poIa równoIegłoboku ABCD stanowi ^poIe czworokqta ABCP'

4.t7.

Rozpatrujemy równo|egłoboki, ^których obwód jest równy ^{16 cm, a kqt} ostry

r'ilil:::oiueos.l

boków równoIegłoboku, którego ^{poIe jest} równe a^{z,*,.

b)Wyznaczdtugościbokówrówno|egłoboku,którymanajwiększepole'ob|iczto największe po|e'

4.18. Punkt o jest środkiem przekqtnej AC równo-

r.Jonotu

^{ABcb' Punkt E} należy do boku AD, punkt F"należy do boku DC

oraz|<AEo|:

l<oFcl

:90"

(zobacz rysunek obok). Wiedzqc,

ie

|Fo|.: 3 ^cm, irol

:

_ą,s

.'

oraz|4EoF|:60", ob|icz pole

równo-

_A

legtoboku ABCD.

na zY-

4.19.

Przekqtne równo|egłoboku majqce dtugość

f4

^{cm i 10 cm sq} jednocześnie dwusiecznymi jego kqtów'-outl.' pole ⁱ obwód równoIegtoboku.

4.20.

^{Po|e rombu, któ.rego kqt rozwarty ma miarę trzy razy większq od} miary kqta ostrego, wynosi ^{16 cm2.} ob|icz długość boku rombu.

4.fL.Przekqtnerombumajqdługość10cmif4cm'obliczsinuskqtaostregotego

rombu ^{i na} tej podstawie uiti|,

.,y

^kqt ostry rombu ma miarę większq czy mniejszq od 45o.

134

Matematvko. Ż]biór zadań' Klasa 2

W rombie o ^po|u 4,80 dm2 ł]opr'Wadzono odcinek ^{majQCy długość f} ,4 ^dm, który tqczy środki sQsiednich bokow rombU prZY kącie rozwartvrri. Oblicz:

a) długość przekQtnyĆh rombu b) obwód rombu

c)

wysokość rombu

d) ^po|e trójkqta Wyciętego Z rornbu ^preez dany odcinek'

ob|icz po|e rombu, którego bok ma długość 6 cm, a ^srrma dtugości prze.

kqtnych jest równa ^{16 cm.}

]

Pole rombu jest równe ¹⁵⁶ cm2. Wyso|<ość rombu ma dtugośc 1-7 cm. ob|icz sumę dtugości jego przekqtnych'

Kqt ostry rornbu ma miarę _łt}o, ^{a Sun-]a} dtugości jego przekqtnvch jest równa 20 cm. Wiedzqc, że tg 15. _ ₇ - _"l3. ^{ob|icz po|e tego rombu.}

.

_{ob|icz poIe trapezu, majqc} clłne dtugości padstaw c' ^{b i} otugości ran.lion c, d.

a) a=15cm, b=9cm,

c=d=5crn

b) o ₌ 44 cm, b = 1'6cm, c= I7 cm,d - 25 cnl

c)

^o = 11 cm, b ₌ 6 cm, c = 1'2 cm,d= ^{1"3 cm} d) ^o = 28 cm, b =7 ^{cm, c} =

!7

crn,d = 10 cm

Po|e trapezu jest równe 54 cnł2 podstaw trapezu, wiedzqc, ze jedna z

a) trzy razy dłuższa od drugiej b) o 5 cm krótsza od drugiej

c\

o25% dtuższa od drugiej.

, a wysol<ość ma dłLlgość ^{9 r:m.} ilb|itz dtugości rłich jest:

W trapezie, którego podstć}wil nnajq cJtugość 10 cm i 4 cm, rnlary kqtow przy dtuższej podstawie WynoszQ 45o

i

^30o. ob|icz ^po|e tego trapezu'

KrÓtsza podstawa trapezu ma dtugośc

lG

^{cm. Kqty pr iy |ej podstawie majq}

miary ^1-35. i60o, a dtuższe ramię ^nna długość 18 cm. ob|icz ^polr': tegn trapezu' W trapezie ^{ABCD dłuŻsza} podstawa AB ^nna dtugcsc 4r''!, irTl, a ramię AD ma dtugość 4 cm' od|egtość wierzchotka ^C od przekqtnej DB jest rcl\Mna 3 cm. Wiedzqc,

ze ^4ADB

= 90o, oblicz:

a)

^poie trapezu b) wvsokość trapezu

c)

długość krótszej podstawy.

4' Geometrią płaska - pole czworokqta

135

4.31.

^{Drużyna harcerska} miała do dyspozycji ka.

Watek materiału

w

kształcie trapezu prostokqt.

nego. Materiał ten przeznaczono na chorqgiewkę.

W tym ce|u złożono materiał wzdłuż |inii tqczqcej środki ramion trapezu; ^miała ona długość 0,9 ^m.

Potem odcięto

^skrawek

w

ksztatcie ^trójkqta

równoramiennego, Wyznaczony przez złoŻenie ^materiału Trójkqtny ścinek miał ^po|e 600 cm., a jego podstawa miała a) obwód chorqgiewki ^z dokładnościq ^{do 0,01 m}

b) ^pole chorqgiewki'

4.32.

W trapezie ABCD, AB _|| CD, przekqtne przecinajq się po|a trójkqtów APD ^{i BPC sq równe.}

(jak na rysunku obok)' długość o,4 ^m. oblicz:

w punkcie P' ^{Wykaż, że}

4.33.

WtrapezieABCD(AB\|DC)przekqtneprzecinajqsięwpunkcieE.Poletrójkqta AED jest równe ^{15 cm2, a po|e} trójkqta DEC wynosi ^].0 cm.. ob|icz:

a) _lEcl ^: _lAEl b) pole trapezu ABCD.

4.34.

^{Przekqtne trapezu} podzieIiły trapez ^na cztery trójkqty. Niech ^{P1, Pz, Pz, P4 oznaczajq po|a} tych trójkqtów. obIicz ^po|e trapezu, ^{wiedzqc, że:}

a\

Pt: !4, P2:35

^{b) Ps}

^:

^{7 ,}

^Pa:3

4.35.

W trapezie równoramiennym wysokość poprowadzona ^z wierzchotka ^kqta rozwartego podzie|ita dtuższq podstawę na odcinki, z których dłuższy ma ⁸ cm dtu- gości. Wiedzqc, że wysokość ^{ma 7} cm, ob|icz pole tego trapezu.

4.35.

przekqtna trapezu równoramiennego ma długość ¹⁰ cm i tworzy ^{z d|uzszq} podstawa kqt o mierze 45.. ob|icz ^po|e tego trapezu.

4.37.

obwód trapezu równoramiennego jest równy 38 cm, a ramię ma ^długość

5 cm' Wysokość poprowadzona ^z wierzchotka ^kqta rozwartego dzie|i dłuższq pod- stawę na odcinki, z których jeden jest o ^].O cm krótszy od drugiego. oblicz:

a) długości podstaw trapezu b) ^{pole trapezu.}

4.38. W trapezie równoramie ^nnym ABCD wysokość ^{DE ma} takq samq dtugość jak krótsza podstawa DC i dzie|i dtuższq podstawę AB na odcinki ^w stosunku

t

:2.

a) ob|icz miary kqtów trapezu.

b) Wiedzqc, że pole trapezu jest równe ^{162 cmz,} ob|icz _{|,łB l} i _IDc] ^.

4.39. ^W trapezie równoramiennym, którego ramię ma dtugość

tf

^{cm, kqt ostry ma}

miarę dwa razy mniejszq od kqta rozwartego trapezu. Wiedzqc, że ^przekqtna jest prostopadła do ramienia, ob|icz ^po|e trapezu.

136

Ivlatenlatyka' Zbiór zadań, Klasa 2.

W trapezie równoramiennym jedna ^z podstaw jest dwa razy dtjŻsza od dru- giej, a jego przekqtna

Eielikqt

^{przy dtuższej podstawie na} połowy' Wiedzqc, ^{ze poIe} trapezu jest równe 3J3 cm,, obIicz dtugości boków tego trapezu.

W trapezie równoramiennym ^dtuzsza podstawa ma dtugość 15 cm, a WySo- kość 9 cm' odcinek ^łqczqcy środki przekqtnych trapezu ^{ma 4 cm} dtugości' ob|icz ^po|e tego trapezu.

Rozpatrujemy trapezy równoramienne, ^W których jedna ^z podstaw jest 3 razy dtuższa od drugiej oraZ suma długości podstaw

i

wysokości ^trapeZU jest równa

24

cm.

)

a) Wyznacz dtugości boków ^trapeZU, wiedzqc, że jego po|e jest równe ^{64 cm..}

b) Wyznacz ^dtugości boków trapeZU, który ma największe ^po|e. ob|icz to pole.

'

^{..:.,. Dłuższa podstawa trapeZU} jest średnicq okręgu opisanego ^na tym trapezie' Przekqtna trapezu ma dtugość 61 cm, a ramię 5 cm. ob|icz:

a) dtugość wysokości trapezu b) dtugość promienia okręgu

c)

^{pole trapezu.}

.. ]: Trapez wpisano ^{w okrqg o} promieniu dtugości 5 cm. środek okręgu na|eży do trapezu i znajduje się w od|egtości ⁴ cm od krótszej podstawy oraz3 cm od dtuższej podstawy. obIicz obwód ^{l poIe} tego trapezu.

Trapez, na któryrn mozna opisać okrqg ^{i w} który mozna wpisać okrqg, ^ma pod- stawy dtugości ¹² cm i 3 cm. ob|icz pole tego trapezu.

.,.Naokręgu,które.godtugośćpromieniawynosi2cm,opisanotrapeZrowno-

ramienny o polu 20 _{cm, '} ob|icz długości boków trapezu.

,, _{Po|e trapeZU} równoramiennego jest równe ^{1.56, a} jego ramię ma długość ^13.

W trapez wpisano koto. Oblicz ^po|e tego koła.

Naokręguopromieniudługości5cmopisanotrapezprostokqtny,którego najkrótszy bok ma długość ⁷ ,5 ^crn. ob|icz pole tego trapezu.

Na okręgu opisano trapez prostokqtny. odIegtości środka okręgu od końców dtuższego ramienia WynoSZq 3 cm i 7 cm. ob|icz ^po|e trapezu.

Na okręgu opisano trapez, ktÓrego ^poIe jest równe 100 cm2. Ramiona trapezu tworzq

z

dłuzszq podstawq kqty

o

^{miarach 30"}

^i45o.

ob|icz dtugość promienia okręgu _'

4. Geometria ptaska - pole czworokqta

137

Pole czworokata - ^{zadania różwe}

4.sl.obwód

czworokqta jest równy ^{54 cm.} W czworokqt ten wpisano koło o pro- rnieniu 4 cm. oblicz pole danego czworokqta.

4.52. Po|e trapezu jest równe 72 ^cmf , zaś pole koła wpisanego W ten trapez wynosi 16n cm. ob|icz długość ramion trapezu w przypadku, gdy trapez jest:

a)

równoramienny b) prostokqtny.

4.53.

oane sq dtugości

dLi

dfprzekqtnych czworokqta ^wypuktego oraz miara kqta między tymi przekqtnymi' obIicz pole czworokqta, ^jeś|i:

a)

dt:LO, d2:6,a:30"

c\ dt:

^21-,

^d2:

^{6'-, u} ')

:

_!20"

3

4.54. W czworokqcie wypukłym ^{przekqtne majq} dtugoś ć 12 cm oraz 1'5 cm i tworzq

z jednym z boków ^kqty miary odpowiedni ^o ai B.oblicz ^poIe tego czworokqta, jeśli:

a)

5v:7Oo,B:gg"

^b)

a:35",p:25"

4.55.

oane sq długości

dti

dzprzekqtnych czworokqta wypuktego ^oraz jego pole P.

obIicz miarę ^kqta przecięcia przekqtnych, ^jeś|i:

a)

P:20cmz d1:8cm,d2:10cm

^b)

P:3mr'd7:Gm' ^{d':^[8m}

c) p:

_5^{z

d-', dt: dz:

^{2",8 dm d) P}

:

_{60 cm',} d1

:

_{1 dm, d2-- O,I2} m

4.56. w czworokqcie wypuktym suma dtugości przekqtnych jest równa ^{20 cm, a} kqt ostry między przekqtnymi ma miarę ^45o. Wyznacz długości przekqtnych, ^dIa których poIe tego czworokqta jest największe ^z możliwych.

4.57.

Rozpatrujemy czworokqty, których przekqtne przecinajq się pod kqtem 60o.

Suma długości przekqtnych ^każdego czworokqta jest równa 52 cm. ^Ile jest równe największe pole ^ta kiego czworokqta?

4.58. onticz stosunek pól Pr : P2 figur, na które od- ĄC cinek AB dzieli ^danY:

a) prostokqt, ^jeś|i punkty A, Cwyznaczajq ^na jednym boku trzy równe odcinki, ^{a punkt B jest} środkiem przeciwIegłego boku

b) równo|egłobok, ^jeś|i A jest środkiem ^krótsze- go boku, ^a punkty B, C, D wyznaczajq ^{na dtuż-} szym boku cztery równe odcinki.

b)

dr:8"{5,dr:4,a:60"

d)

dr:

^12, d2:5^lz,

a:

^135o

io

:ej

,d-

r5.

)go

OW

aTtl rnia

p'2 '7D

B

138

Matematyka. Zbiór zadań' Kląsa 2

4

1..:i W czworokqcie potqczono kolejno środki boków. ^{Wykaż, że} powstały W ten sposób równo|egtobok ma ^po|e dwa razy mniejsze od ^po|a danego czworokQta.

.ł.ii{'i _oblicZ poIe czworokata, WledZqc, że środki koIejnych boków tego czworokqta tWorzq:

a)

prostokQt o obwodzie 20 cm, którego jeden z boków jest o ³ cm dtuższy od dru- giego

b) romb, którego krótsza przekQtna ma dtugość 17 cm, a Wysokość ma długość 8 cm

c)

równo|egtobok, którego boki ^majq dtugość 12 cm i 7 cm, a kqt rozwarty ma miarę

4 r^o

I)U

l'łi.ii]i', Na czworokqcie ABCD opisano okrqg. Prosta ^DC przecina prostq AB w punkcie P ^(zobacz rysunek obok), przY clym|AB ^_IBP|

-

8 cm. Viliedzqc,

ze {ABC :90"

oraz|BC|:6 cm, ob|icz po|e czworokqta ABCD.

.+.Ł.,lł. Podstawy trapeZU równoramiennego ABCD majq dtugośc:

AB

^{_ 8 cm,} ]DC] .- 4 e m. Na tym trape- zie opisano okrqg' Styczna do okręgu

w

punkcie C przecina prostq

AB w

^punkcie

E

^{(z'obacz rysunek}

obok)' Wiadomo, że _ICE| _

6{5

^Cm oraz poIe trapezr.,l

ABCD ^jest o 6 cm2 większe od ^pola trójkqta BEC' Wy- znacz promień okręgu opisanego na trapezie ABCD.

F-

.1',i]-:.. Na rysunku ponizej przedstawiony jest czworokqt ABCD.FJrtez'wierzchotek ^C poprowadzono prostq równoIegłq do prostej DB,ktara przecięta prostq AB w punk.

cie E. Wykaż, ze ^po|e czworokqta ABCD ^jest równe po|u trójkqta AED.

.. |..,li Na rysunku poniżej przedstawiony jest pięciokqt ABCDE. Wykot.zystujqc po.

przednie zadanie, zbuduj Czworokqt, którego po|e

jest

równe po|u pięciokqta

ABCDE.

_rl

4, Geometria płaska ^_ ysole czworakqta

{.}CI$:*l

tip;nnir

p'll.r:!.'lł inni,flC hl

l:ł,il5" obrazem figury F w podobieństwie o skaIi 0,2 jest figura F1' Wiedzqc, ze po|e figury Fl jest _{o 72 cm2} mniejsze od pola figury F, oblicz pola figur F1i F.

,il.ijlil. Figura F1jest podobna do figury F w skaIi ].,5. obIicz pola tych figur, wiedzqc, że różnica tych ^pó| wynosi 85 cm,.

,l.ti

l.

p;'u'a F1jest podobna do figury F w ska|i k. Obiicz k, jeś|i:

a) pole figury F1 stanowi 1.44% pola figury F

b) pole figury F1 jest o 2I% większe od poIa figury F

c)

^pole figury Fl jest _{o 36% mniejsze} od pola figury F

d) pole figury F stanowi 56,25% pola figury F1.

,:}';:.g1. p;'ur.y F1i F sq podobne. O i|e procent po|e figury F1jest mniejsze od ^po|a figury F,

jeś|i:

a) obwód figury F1stanowi

j

) _{obwodu figury F}

b) obwód figury F1 iest o ^20% mniejszy od obwodu figury F

c)

obwód figury F stanowi

i

obwodu figury F1

d) obwód figury F jest o 4a% większy od obwodu figury F1.

139

)-

1

,l iil;]

Do zdjęcia o wymiarach ]-5 cm na 10 cm za- kupiono antyramę

o

powierzchni większej niż ^po- wierzchnia zdjęcia. Zdjęcie i brzeg ramy wyznaczajq dwa prostokqty,

z

których jeden jest podobny do drugiego

w

skaIi 1-,4. Zdjęcie umieszczono W cen- traInym miejscu antyramy, a jego _boki sq równoIegłe do krawędzi antyramy. obIicz:

a) odIegtość

xi

^y zdjęcia od krawędzi antyramy

b) jaki procent po|a zdjęcia stanowi po|e widocznego ^+,ĄLtd.

:1i''l.i.l. yy równo|egtoboku ABCD nierówno|egłe boki majq długość 7 cm i 8 cm.

obrazem równolegtoboku ABCD W pewnym podobieństwie jest równo|egtobok AIBICID1. Wiedzqc, ze poIe równoIegłobaku

A${1D1

jest równe 336 cm', a jego _kqt rozwarty ma miarę 150., ob|icz:

a) ska|ę tego podobieństwa b) obwód równo|egtoboku A1B{1Dy

il.. .i ^]"., W trapezie ABCD odcinki AB i DC sq podstawami' Na ramieniu AD zaznaczono punkt E, a na ramieniu BC

-

^{punkt F} w taki sposób, że trapez EFCD jest podobny do trapezu ABFE. Wiedzqc, ze AB|_ 12 cm

i

DC

-

^{3 cm, obIicz stosunek:}

a) wysokości trapezów EFCD i

ABFE

b) ^pó| trópezów EFCD i ABFE.

140

Matematgka. Zbiór zadań' K|aso 2

,

W traoezie ABCD zaznaczono punkt E na ramieniu AD oraz punkt F na ramie- niu BC i otrzymano trapezy CDEF oraz ABFE, ktore sq do siebie podobne. Wiedzqc, że stosunek pól trapezów podobnych wynosi 4 : 9, a długość odcinka EF jest _równa

1.8 cm, ob|icz długość podstaw trapezu ABCD.

,

^].' Długość Wisty wynosi ].047 km. oblicz, ^jakq długość ^(w centymetrach) ma nie.

bieska Iinia obrazujqca Wistę na mapie, która zostata wykonana w skali 1 : 3 000 000.

Droga z Rzeszowa do Radomia, zarnaczona na mapie wykonanej w skali 1':25o 000, ma długość 80 cm' ob|icz, i|e ki|ometróW ma ta trasa W rzeczywistości.

Ob|icz ska|ę, w jakiej zostat wykonany ^{pIan, jeś|i:}

a)

¹ cm na mapie odpowiada 4 m w rzeczywistości b) ^1. cm2 na mapie odpowiada 4 m2 w rzeczywistości.

I

_{Budynek o} powierzchni uzytkowej 150 m2 zaznaczono na planie zagospo- darowania terenu jako prostokqt o wymiarach 20 cm na 30 cm.

a) ob|icz ska|ę tego ^p|anu

b) wyznacz wymiary prostokqta przedstawiajqcego dany budynek na mapie w ska|i 1 : 500.

, .

oobierz odpowiedniq ska|ę

i

narysuj w zeszycie p|an swojego mieszkania.

Oblicz pole narysowanej figury.

Działka ma kształt prostokqta o wymiarach 50 m na 40 m. lle cm2 będzie zajmować obszar tej działki na planie sporzqdzonym w skali 1 : 2000?

Prostokqtna działka na pIanie, sporzqdzonym w skaIi ]- : 10O0, ma wymiary 15 cm na 20 cm. ||e hektarów ma ta działka W rzeczvwistości?

,l-i

Puszcza So|ska zajmuje na mapie w skali 1-:2 000 000 powierzchnię równq 3,1 cm2. lle wynosi rzeczywista powierzchnia tej ^{puszczy (w} km2)?

zajmuje to jezioro _{na mapie} wykonanej w skali ^{1 :} 400 000.

4' Geometria płosko ^_ pole czworokqto

741

1. Przekqtna kwadratu ^{ma długość 6 cm. Pole} tego kwadratu jest ^rÓwne:

C.24

cmz

^{D. 36 cm2.}

1'2 cm i 8 cm, a dłuzszy bok ma ^długość A.12 ^{cmz B. 18 cmz}

2.

Wysokości równoległoboku sq równe 15 cm' Krótszy bok ma ^dtugość:

A.6 ^cm B.9 cm ^{C. 10} cm ^D. 11cm.

3. onwód kwadratu ^{K jest o 40%} większy od obwodu kwadratu ^{K1. Po|e} kwadratu K iest Większe od pola kwadratu ^{K1 o:}

Test sprawdzającv do rozdziałua 4.

A.1.6% B.2O%

^c.4o%

4.

Sqsiednie boki równoległoboku majq długość 4 cm ⁱ rokqta nie może być równe:

A.2i. cmz

^{B. 1zE}

cmz

^c. o"uĘ cm2

5.

pole trapezu jest równe

40

^cmf , a odcinek ^łqczqcy dtugość 5 cm. Wysokość tego trapezu jest równa:

ci.

D.96%.

5 cm. Pole takiego ^czwo-

o.

łrE

^cmz.

środki ramion trapezu ^ma

D.4 ^cm.

A16cm ^{B. 12 cm}

6.

Przeciwprostokqtna jednego trójkqta prostokqt- nego jest jednocześnie przyprostokqtnq ^drugiego tróJkqta prostokqtnego. Na bokach tych ^trójkqtóW zbudowano cztery kwadraty, których pola ^sq odpo- wiednio równe P,, Pz,

Ą,

^{Pa (zobacz rysunek obok).}

Prawdziwa jest zaIeżność:

A. P1 + Pz-- P3 + P4 B. Pr

-

^P2:

Ął

^Pa

C. Pr+ P3: ^{P1+ Pa} D. Pą- P3:

P1-

^P2.

7. Punkty K, L, M, N sq środkami boków prostokqta ABCD. ^Po|e czworokata KLMN wvnosi 6' Zatem pole prostokqta ABCD jest równe:

C.8cm

:ali

il4.

ary lzie

Mnq

lnię A.8 B.9 c.12 ^{D. 15.}

142

Matematvka' Zbiór zodań' Klcsa 2

-:| odpowiednie przekqtne rombu i de|toidu majq równe dtu- gości (zobacz rysunek obok). Niech ^P1 aznacza po|e rombU, a P2

-

^po|e de|toidu. Wówczas:

A.

Pl> P2

B.

P1:

P2

c.

^{Pr< P2}

D" jest za mało danych, aby porównać po|a

Pli

^P2,

.

W trapezie równoramiennyrn ^wysclkość poprowadzona z wierzchołka kqta roz.

wartego podzie|iła dtuższq podsta\ffę ^na odcinki majqce dtugość 7 cm i 1"5 cm. Wy- sokość tego trapezu jest _{równa 8} cm' Zatem ^po|e trapezu jest _równe;

A. 120 cm2 B. 60 cm2 C. 88 cm2 u. 5b cm²

... PoIe pewnego czworokqta wypu|<tego wynosi 35, a jego przekqtne majq dtugość 10 i 14. Miara kqta przecięcia pnzelrątrlych jest _równa:

A.90' 8.60'

^c"

45'

^D.30'

Na rysunku obok kqt ostry trai.:ezł'l pr"rlstokqtnego

ma o

_{. )} ^- miarę 60". Prosta k jest prostopaelła do podstaw

trapezu, i,

zaś prosta / jest równo|egta do dłuzszego ramienia.

Ponadto

^P

|AB]:1CD1. Niech F1 i P2aznaczają po|a figun odciętych z

tra-

..

pezu przez te proste' Wówczas:

A. P1< P2 s.

Pr-

_',f

2P,

C. P1: P2 D" Pr

-

V3Pz.

.

^. W trapezie równoramiennym/ którego ^poIe jest równe ta"[z cmz, przekqtne przecinajq się pod kqtem 45.. Przekqtne w tym trapezie majq dfugoś;:

A' 4

cm

B' 4J2

cm

^{c' 8}

cm

^{D' 8r/T cm'}

Stosunek dtugości przekqtnych dwóch prostokqtów

--

)

.

_{Stosunek pól} tych prostokątów wynosi:

\l z ^..r_

a. ^{zb,łĘ +}

t)

^B.

4

^{c. ą(.lĘ + t)}

B. 40 cnrZ

W trapezie ABCD,

AB

] CD' wysokość jest równa 5 cm oraz _{1AB =.L2} cm. Stosu- nek pola trójkqta ABD da poIa trójkqta BCD jest _{równy 3 : ]-.} PoIe trapezU ABCD jest więc równe:

A. 37,5 cmz

podobnych _.jest równy

D.4(2",]Ę

+,.

Ll" 55 cm-)

L. 45 Cm2

4, Geometrio płaska ^_ pole czworokqta

143

15. W trapezie ^{ABCD o po|u róWnym 180 cmz} podstawy ABi cD majq odpowiednio długość: 20 cm i ]-0 cm. Wysokość trapezu jest równa ¹² cm. Punkt przecięcia ^się przekqtnych trapezu ABCD dzie|ijego wysokość na odcinki majqce długość:

A.4cmi8cm B.3cmi9cm C.2,4cmi9,6cm D'2cmi10cm' 16.

^rua rysunku obok prosta k ^dzie|i jeden dłuższy bok ^pro-

stokqta na odcinki, których długości pozostajq W ^stosunku

1 : 5, a drugi dłuższy bok dzieli na potowy. Stosunek ^po| P1 P2

powstałych w ten sposób trapezów wynosi:

A.

t:2

C.3 :7

17. W kwadrat ^{ABCD o boku 6} wpisano kwadrat A1B1C1Dviak na rysunku obok' Wierzchołki ^A1, Bt, Cl, ^{D1 dzie|q} boki kwa- dratu ABCD

w

stosunku l- : 2. Pole kwadratu ^{A1B1C1D1 jest} równe:

B.2:5 D.5:9.

A. 16

c.20

B. 18 D.24.

18. trla rysunku obok dane sq dwie figury:

jedna jest równo|egtobokiem o ^podsta- wach majqcych długość |CD], zawartych w prostych równo|egłych ^{k, /;} druga fi.

gura jest zbudowana z trzech równo- Iegłoboków

o

podstawach majqcych długość _|AB|. Podstawa pierwszego rów- nolegtoboku lezy na prostej /, trzeciego

-

na prostej k. ^Po|a równo|egłoboków

sq równe odpowiednio ^{P1, P2, Pz, Pą.}

Jeś|i |AB|

:2

_{. |CD|, to:}

A. P1 + P2*

Ps:

^Pa

C' PI+ ^P2+

P3:3

^{. Pą}

B. P1+ P2+

P3:2.

^Pą

D. P1 + P2+

P3:4'

^Pą'

19. W równo|egłoboku ABCD poprowadzono ^przekqt- nqBD i w trójkqt ABD wpisano okrqg o promieniu 6 cm.

Jeśli obwód trójkqta ABD jest równy 80 cm, to po|e rów- noIegłoboku ABCD wynosi:

A. 240

cm2

^{B. 320}

cm2

^A

C.400 ^cm2 D.480 cmz

144

Motemotyka' Zbiór zadań' Klasa 2

.' . - Przekqtne trapezu podzieIity trapez na cztery trójkqty. Niech ^P1, Pz, Pz, P4 oznaczajq poIa tych trójkqtów (rysunek obok). Wiadomo, Ze stosunek długości podstaw trapezu jest równy 3 ^{: 1'} Wów- czas:

B. P3: 3P1 D. P3

-

^6P1.

A' Pz_ Pą C.

Ą:4P1

Różnica ^pó| dwóch kwadratów jest rowna ^{]"3 cm2.} obIicz długości boków tych kwadratów, ^{wiedzqc, ze} wyrazajq się one Iiczbami naturaInymi.

Krótsza wysokość ^DE równoIegłoboku jest równa 4 cm.

a) oblicz ^dtuższq wysokość DFtego równo|egłoboku.

b) Wyznacz obwód ^{i po|e} czworokqta ^BFDE.

W równoległoboku ABCD przekqtne przecinajq się w ^punkcie

o.

Punkt

M

na|eży do boku AB i odcinek

oM

jestrówno|egty do boku AD. Wiedzqc, ^Że lAM]: ^{8 cm,} ]AC|:26

cmi|oM|:7

^{cm, ob|icz po|e} równo|egtoboku ABCD.

Przez wierzchołek A ^kqta ostrego rombu ABCD i dwa wierzchotki B ⁱ D kqtów rozwartych przechodzi okrqg. Dzie|i on dtuŻszq przekqtnq na takie odcinkiAE

ą

_c|

_{: s1.}

_{oo|icz po|e rombu oraz}

i EC, Że |AE|: 18._ i |E

'

₄

wysokość rombu.

W romb, którego bok ma dtugość 5 cm, a kqt ostry ma miarę 60", wpisano okrqg, ob|icz ^po|e czworokqta otrzymanego przez potqczenie ko|ejnych punktów stycznościtego ^{okręgu z} bokami rombu'

ob|icz miarę ^kqta przecięcia przekqtnych:

a) w czworokqcie, którego ^po|e jest równe 35, a przekqtne majq długość to i 1'4

bj

w prostokqcie, którego ^po|e jest równe 1'6^J1, ajeden bok ma długość 4

c)

w równo|egłoboku, którego ^dtuższy bok ma dtugość 5J5, wysokość poprowa- dzona na ten bok ma długość f^l5,adługości przekqtnych Wynoszq 1'ot!2oraz10 d) w trapezie prostokqtnym, którego podstawy ^majq dtugość 6 cm i 15 cm, a krótsze

ramię ^{ma dtugość 8.}

4' Geometria płaska - pole ^czworokqto

145

4.88.

^{Dane sq} długości przekqtnych czworokqta wypukłego: ¹² cm i 5 cm' oblicz, jakie największe ^poIe może mieć ten czworokqt. odpowiedź ^uzasadnij.

4.89.

W trapezie kqty ostre przy dtuższej podstawie majq miary 45o i 60o' Krótsza podstawa ma długośJ 3 cm, a dtugość krótszego ramienia wynosi ą".6 cm. ob|icz po|e tego trapezu. Wynik ^podaj

w

przyb|iżeniu dziesiętnym

z

dokładnościq do 0,1cm'.

4.90.

^Pole trapezu równoramiennego ^jest równe.E

d'',

^a suma długości podstaw wynosi 1. dm' ob|icz dtugość przekqtnej trapezu.

4.91. W trapezie równoramiennym ABCD ^(AB || DC) |inia łqczqca środki ramion ^ma długość ^1,1. dm' od^cinek DE jest wysokościq trapezu,

|AE|:

^{O,5 dm. Pole trapezu}

jest równe 7,32 dm.' oblicz:

a) wysokość

trapezu

b) obwód trapezu'

4.92.

po|etrapezu _ABCD jestrówne 1OO cmz, a krótsza podstawa DCtego trapezu ma 2 cm długości. ^Kqty ostre trapezu przy dłuższej podstawie AB oznaczmY przez a ⁱ

B

^Qobacz rysunek poniżej). Wiedzqc, ^{że sin} a

:

I,,, ^{u: 9,}

^ob|icz:

a) obwód trapezu

b) długość przekqtnych tego trapezu.

4.93. W trapezie ^{ABCD (AB} || DC, _|AB| ^> _|Dcl) punkt E przecięcia przekqtnych dzie|i przekqtnq AC na odcinki, których długości pozostajq w stosunku 3 : 10. Wiedzqc, że po|e trójkqta CDE jest równe 18 cm,, ob|icz ^po|e trapezu ABCD'

4.94.

poIe trapezu wynosi 169 ^cm2. Punkt przecięcia przekqtnych dzieli ^każdq przekqtnq na dwa odcinki, których długości pozostajq w stosunku 5 : 8' ob|icz ^po|a trójkqtów, na jakie przekqtne podzieliły trapez'

4.95. ^{lrta rysunku obok} znajduje się ^p|an czworokqtnej działki, wykonany w ska|i 1 : 3000. Wiedzqc, że na p|anie droga AB ma dtugość 2 cm, a powierzchnia czworokqta wynosi 7 cm', oblicz:

a) rzeczywistq długość drogi (w m)

b) rzeczywistq powierzchnię działki (*rn').

146

Matematyka, Zbiór zadań. Klasa 2

r$.96" w trapezie prostokQtnym wysokość ma długość 4 cm, a krótsza podstawa ma dtugość 3 cm' Przekqtna poprowadzona z wierzchołka kqta rozwartego trapezu dzie- Iitrapez na dwa trójkqty podobne. ob|icz obwód i pole trapezu.

dil"97' obwody trzech figur podobnych pozostajq w stosunku 2 ; 3 : 4. Suma pó| tych figur wynosi 58 cm2. ob|icz po|e każdej z tych figur.

d}.$łj" _Dany jest równo|egłobokABCD, którego kqt ostry ma miarę 45"' Skonstruuj równoległobok do niego podobny, którego poIe będzie:

a) 4 razy większe

c)

² razy mniejsze

b) 9 razy mniejsze d) 3 razy większe od ^po|a równo|egtoboku ABCD.

.4'.ss. _Na trójkqcie równobocznym

Ę

^{opisano okrqg o1' Następnie w} trójkqt równo- boczny 12 o boku dwa razy krÓtszym od boku trójkqta

Ę

^wpisano okrqgo2, ob|icz:

a) ska|ę podobieństwa, w któnym obrazem okręgu o1jest okrqgo2

b) ^i|e razy po|e koła Wyznaczonego przez okrqg oi jest większe od ^po|a koła wyzna- czonego prZeZ oKrqg 02.

4..1(}f'}. Punkty A, B, C, D naIezq do okręgu o środku w punkcie o, jak na rysunku poniżej' odcinek AC jest średnicq o|<ręgu i ma długość 10 cm, natomiast cięci- wa BD ma dtugość 6 cm. Wiedzqc,

ie _|4AoB -

^80.

oraz ^4..DCA

:70.,

_{oblicz po|e} czworokqta ABCD,

a$.[tij].' Na czworokqcie ABCD można opisać okrqg. Cięciwy AB i AD tego okręgu majq odpowiednio dtugość 7 i8,zas kqt BAD jest równy 120.. Wiedzqc,ze|DC|: BC\, obIicz po|e czworokqta ABCD.

's'3ffi2. W okrqg o promieniu dtugości 5 cm wpisano trapez, którego podstawa jest średnicq okręgu, Przekqtna trapeZU ma długość 8 cm. ob|icz ^po|e tego trapezu.

4.3{}:*" W trapezie równoramiennym dane sq: długość ramienia 5 cm, długość przekqtnej 1'2 cm i długośĆ wysokości trapezu

ł |

cm. ob|icz:

13 .\ ń^|^ +,.^^r'l

o./ PvrE LroPE.u

b) pole kota opisanego na tym trapezie.

4. Geometria ^ptaska - pole czworokqto

147

lt"3"04.Danyjestkawałekmateriałuwksztatcieczworokqta,któregosumadługości dwóch przeciw|egłych Loków ^{jest róWna f ,7 m.Z tego kawałka Wycinamy koło o śred-} nicy ^{1. m,} styczne do wszystkich boków czworokqta. oblicz, jaki procent ^{catego ma-} teriatu stanowiq ni"*yko,'y,tane ^{skrawki. Wynik} zaokrqglij do 0,1 procenta.

lŁ.105.Wczworok'qtAB1Dmożnawpisaćokrqg.Ponadtobokitegoczworokqta spetniajqwarunek:pła1-1co1:IB9l-|AD|.Wiedzqc,żeprzekqtneczworokqtamajq jtugość _{5 cm i 8 cm,} obIicz jego pole.

4.3.06.Wtrapezrownoramiennywpisanokoto'Krótszapodstawatrapezuma4cm dtugości, ^a ramię 20 cm dtugości. ob|icz:

a)

^{pole kota wPisanego w ten traPez} b) pole tego traPezu'

4'tfi7.Wtrapezprostokqtnywpisanokoto'Punktstycznościkotazdłuższvmra-

mieniem dzielito ^ramię naojcinki ^{długości 8 cm i ]'8 cm. oblicz:}

a) ^{pole kota}

b) dtugości podstaw trapezu

c)

Pole traPezu.

4..t08. ^{Na okręgu o promieniu 3 cm} opisano trapez, którego kqty przy dtuższej pod.

stawie majq miary 30. i 60o. ob|icz ^{po|e trapezu.}

4.109. ^W romb ABcD,którego ^kqt ostry ma miarę a, wpisano ^{okrqg o środku} w punk- cie

o.

Zpunktu o poprowadzono promienie do punktów styczności E, F, G, H okręgu z rombem. ^{Wykaż, że:}

a) czworokqty DH)G ^{i BF)E sq} przystajqce

b)czworokqtDH}GjestobrazemczworokqtaAEoHwpodobieństwie,któregoSka-

|a jest równa tg

9.

148

Motematyka. Zbiór zadoń. Klasa 2

4.1"to. Ztrapezu prostokqtnego ABCD odcięto półkole

o

^po|u

8n

^dm2, Wyznaczone przez okrQg

o

^środku

w

punkcie O, styczny do obu ^podstaw trapezu

i

do dtuższego ramienia trapezu odpowiednio w ^punktach A, B i E. Wiedzqc, ze ^po|e czworokqta AOED jest cztery razy większe od ^pola czworokqta BCE), wyznacz ^po|e trapezu ABCD.

4.LLL.

W trapezie podstawy majq dtugoś ć a i b (a > b). Każde ramię trapezu ^podzie- lono na trzy równe odcinki, następnie ^potqczono punktyA

iBtego

^{podziału, zazna-}

Czone na rysunku' ob|icz stosunek ^pó| otrzymanych czworokqtów.

Ą.LLf.

Dany jest okrqg

o

środku

w

^punkcie

o

i średnicy AB. Punkt P naIezy do prostej AB i |ezy w odIegtości 7 od środka okręgu, ^poza punktem A' Przez punkt

P

poprowadzono siecznq okręgu, która przecięta okrqg w punktach C i D, jak na ry- sunku obok. Wiedzqc, ^Że

|PCl:

^{3"{2 i |CD| _ "{f ,}

oblicz:

a)

miarę kĄta aPC

b) ^pole czworokqta )BDC.