1. Zbadaj różnowartościowość funkcji g : R × R + → R 2 , g(x, y) = (2x 2 + x − 2 + 3y 3 , √

Seria nr 6. Termin oddania — 06-11-2007.

Osoby o parzystych numerach indeksu rozwiązują i oddają na kartkach zadanie 2, te o nieparzystych

— 1. Kolejne zadania są dodatkowe. Ze względu na skrajne uproszczenia (i dość przypadkowy dobór funkcji) zadanie 5 nie ma związku z rzeczywistością - ale i tak warto je zrobić.

1. Zbadaj różnowartościowość funkcji g : R × R ⁺ → R ² , g(x, y) = (2x ² + x − 2 + 3y ³ , √

y + 1).

Zbadaj w jakich punktach funkcja jest lokalnie odwracalna. Podaj możliwie duży obszar, na którym jest globalnie odwracalna. Wyznacz wzór odwzorowania odwrotnego. Oblicz pochodną odwzorowania odwrotnego g ⁻¹ w punkcie (4, 2) na dwa sposoby: jako pochodną wyznaczonego odwzorowania odwrotnego oraz z twierdzenia o funkcji odwrotnej.

2. Zbadaj różnowartościowość funkcji g : R ⁺ × R → R ² , g(x, y) = ( √

x + 3, y ² − 2y + 1 − 2x ³ ).

Zbadaj w jakich punktach funkcja jest lokalnie odwracalna. Podaj możliwie duży obszar, na którym jest globalnie odwracalna. Wyznacz wzór odwzorowania odwrotnego. Oblicz pochodną odwzorowania odwrotnego g ⁻¹ w punkcie (4, −1) na dwa sposoby: jako pochodną wyznaczonego odwzorowania odwrotnego oraz z twierdzenia o funkcji odwrotnej.

3. Zbadaj w jakich punktach odwzorowanie H : (R \ {0}) × R → R ² dane wzorem H(x, y) = (x ² y, ^y _x

) jest lokalnie odwracalne. Znajdź możliwie duży zbiór po obcięciu do którego H jest globalnie odwracalne. Znajdź pochodną odwzorowania odwrotnego w punkcie w = (4, ¹ ₂ ). Wy- znacz wzór odwzorowania odwrotnego.

4. Dane są odwzorowania: u(x, y) = 2xy − 3x + y, v(x, y) = x ⁴ + y ³ , f (u, v) = u ³ ln v. Znajdź pochodne cząstkowe (zupełne) _dx ^df i ^df _dy . Zakładając dodatkowo, że x i y są funkcjami zmiennej t danymi wzorami x(t) = 2t, y(t) = 1 − 2t ² wyznacz wartość pochodnej ^df _dt (1).

5. Zakład ubezpieczeń oferuje swoim klientom ubezpieczenie na życie z wybraną przez klienta wysokością sumy ubezpieczenia. Zgodnie z obowiązującym prawem (i ze zdrowym rozsądkiem ekonomicznym) musi część pieniędzy „zamrozić”, tworząc tzw. rezerwę matematyczną u. Do określenia wysokości tej rezerwy stosuje wzór:

u(x, y, v) =

√ yx(x + 2)

v ,

gdzie x – ilość klientów (np. w milionach), y – łączna wysokość sum ubezpieczenia, v – pewien czynnik zależny od inflacji. (x > 0, y > 0, v ∈  ₁

10 , 1) Zakład przynosi tym większy zysk, im mniejszy jest stosunek rezerwy do łącznej wysokości sum ubezpieczenia. Czyli zakład chce minimalizować funkcję

h(x, y, v) =

√ yx(x + 2)

vy = x(x + 2)

√ yv .

a) Dział analiz zakładu zaobserwował, że łączna wysokość sum ubezpieczenia jest funkcją ilości klientów daną wzorem y(x) = ^x _x+1

^+2x . W chwili obecnej zakład ma x = 3 klientów. Zbadaj, czy warto jest reklamować produkt (koszt reklamy pomijamy), tzn. jak zwiększenie ilości klientów x wpłynie na wartość funkcji h. (Zakładamy, że v jest stałe).

b) Polska Izba Ubezpieczeń ogłosiła wyniki badań, z których wynika, że liczba ubezpieczonych (klientów zakładu) jest zależna od wielkości v przez zależność x(v) = 3v ² . Przy zależności y(x) jak w poprzednim podpunkcie oraz obecnej wysokości v = 0,9 odpowiedz na pytanie:

Co ucieszy akcjonariuszy zakładu: obniżenie czy podniesienie współczynnika v?