n r . 13780508 S t a b i l i t e i t v a n s t o r t s t e n e n dammen b i j l a g e b e n e d e n w a t e r s t a n d en bij t w e e d i m e n s i o n a a l s t r o o m b e e l d D e e l 2 i r . W. Meermans c i . f e b r u a r i I 9 8 3
INHOUD I Voorwoord ^ I I S a m e n v a t t i n g 6 I I I C o n c l u s i e s 8 I V O v e r z i c h t v a n de g e b r u i k t e s y m b o l e n 9 1. I n l e i d i n g 1 2. Het w i s k u n d i g model 13 2 . 1 . P r o b a b i l i s t i s c h e b e n a d e r i n g 1^ 3. K a n s v e r d e l i n g e n v a n de v e r s c h i l l e n d e s t o c h a s t e n 17 3 . 1 . De k a n s v e r d e l i n g v a n de hoek v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g f 17 3 . 2 . De k a n s v e r d e l i n g v a n de s o o r t e l i j k e m a s s a v a n de s t e n e n ''^ 3 . 3 . De k a n s v e r d e l i n g v a n de kenmerkende afme-t i n g v a n de s afme-t e n e n d 19 3 . 4 . De k a n s v e r d e l i n g v a n de t a l u d h e l l i n g s h o e k o< 20 3 . 5 . De k a n s v e r d e l i n g v a n de u i t t r e e ( f i l t e r ) s n e l h e i d v ^ 20 3 . 6 . De k a n s v e r d e l i n g v a n de p o r o s i t e i t £ 2^1-3 . 7 . De k a n s v e r d e l i n g v a n de weerstandscoëffici-e n t c 25 w 3 . 8 . De k a n s v e r d e l i n g v a n de v o r m f a c t o r K 26 K. Monte C a r l o - s i m u l a t i e 29 S c h a t t i n g v a n h e t a a n t a l s i m u l a t i e s , n o d i g v o o r e e n b e p a a l d e b e t r o u w b a a r h e i d 30 h.Z. D i s c u s s i e v a n de r e s u l t a t e n van de Monte C a r l o - s i m u l a t i e 32 5. Mogelijke c o r r e l a t i e t u s s e n de b a s i s v a r i a b e l e n 36 5 . 1 . I n v l o e d v a n de p o r o s i t e i t £ en de v o r m f a c t o r K op de hoek v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g f 36 5 . 2 . De i n v l o e d v a n de hoek v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g j», de p o r o s i t e i t t e n de v o r m f a c t o r K op de t a l u d -h e l l i n g s -h o e k oc 38 5 . 3 . De i n v l o e d v a n de kenmerkende s t e e n a f m e t i n g d, de p o r o s i t e i t e, de v o r m f a c t o r K, de t a l u d -h e l l i n g s -h o e k 01 en de weerstandscoëff i c i e n t op de u i t t r e e f i l t e r s n e l h e i d v» 39 5.^+. De i n v l o e d v a n de t a l u d h e l l i n g s h o e k « , de f i l -t e r s n e l h e i d V;p en de v o r m f a c -t o r K op h e -t poriën-g e h a l t e e ^0 5 . 5 . De i n v l o e d v a n de kenmerkende s t e e n a f m e t i n g d, de p o r o s i t e i t £, de u i t t r e e f i l t e r s n e l h e i d v ^ en de v o r m f a c t o r K op de weerstandscoëfficiënt ko C w
é. W a a r d e b e p a l i n g v a n de g e k o z e n p r o b a b i l i s t i s c h e b e n a d e r i n g
7. V e r f i j n d e e e r s t e - o r d e - t w e e d e - m o m e n t b e n a d e r i n g met door normale v e r d e l i n g e n b e n a d e r d e k a n s v e r -d e l i n g s f u n c t i e s 7 . 1 . I n l e i d i n g 7 . 2 , U i t v o e r v a n de a p p r o x i m a t e f u l l d i s t r i b u t -i o n b e r e k e n -i n g 7 . 5 « De i n v l o e d v a n e l k e b a s i s v a r i a b e l e op de bezwijkkans 8, L i t e r a t u u r o v e r z i c h t B i j l a g e 1 B e p a l i n g s o o r t e l i j k g e w i c h t b a s a l t B i j l a g e 2 S c h e t s p r o e f o p s t e l l i n g B i j l a g e 3 M e e t r e s u l t a t e n B i j l a g e 4 A f l e i d i n g v a n de v e r o n d e r s t e l d e k a n s v e r d e l i n g v a n de weerstandscoëfficiënt G w B i j l a g e 5 A f l e i d i n g v a n de v e r o n d e r s t e l d e k a n s v e r d e l i n g v a n de v o r m f a c t o r v a n de s t e n e n K B i j l a g e 6 Programma STABMC B i j l a g e 7 Programma AFOSMS B i j l a g e 8 I n v e r s i e v a n de g e b r u i k t e k a n s v e r d e l i n g e n B i j l a g e 9 S o r t e r e n v a n reële g e t a l l e n i n k l a s s e n
Wereldwijd maakt h e t z.g. p r o b a b i l i s t i s c h o n t w e r p e n g r o t e opgang. Bij h e t o p s t e l l e n van o n t w e r p v o o r s c h r i f t e n v i n d t de k a n s r e k e n i n g s t e e d s meer t o e p a s s i n g . De "kans op f a l e n " o f " b e z w i j k e n " van c o n s t r u c t i e s ( o f o n d e r d e l e n d a a r v a n ) v o l g e n s d i v e r s e " m a n i e r e n v a n bezwijken" ( z . g . mechanismen) wordt o n d e r z o c h t en g e a n a l y -s e e r d , waarbij de " b e l a -s t i n g " en de " -s t e r k t e " van de c o n -s t r u c t i e a l s s t o c h a s t i s c h e g r o o t h e d e n worden beschouwd. De g r e n s t u s s e n " f a l e n " e n " n i e t - f a l e n " - de z.g. g r e n s t o e s t a n d v o o r h e t be-schouwde mechanisme - moet goed worden g e d e f i n i e e r d .
I n d i e n de mechanismen e l k a a r n i e t beïnvloeden (d.w.z. d a t de k a n s e n op f a l e n ( o f bezwijken) v o l g e n s de d i v e r s e mechanismen o n a f h a n k e l i j k zijn) i s de k a n s op f a l e n v o l g e n s t e n m i n s t e één v a n de i n h e t t o t a a l n mogelijke wijzen v a n f a l e n v o l g e n s de m e c h a n i s -men , ... ... M^: P r (M^ e n / o f e n / o f ... e n / o f e n / o f ... e n / o f = = P r ( Z M ) i=1 ^ o f w e l : de f a a l - o f bezwijkkans v a n e e n c o n s t r u c t i e ( o f o n d e r d e l e n d a a r v a n ) i s de k a n s op de sommatie v a n mogelijke wijzen van f a l e n of bezwijken.
I n de bouvrpraktijk ( z i e bv. h e t C I R I A - r e p o r t 63 [ l o ] * ) ) en meer r e c e n t i n de o f f s h o r e - t e c h n i e k [6) , de g e o t e c h n i e k [33l , [ 2 8 ] ,
[3^+], l 2 ] en de waterbouwkunde [ I 7 J , [32] , [29] wordt g e b r u i k gemaakt v a n s t a t i s t i s c h e methoden.
V e l e mechanismen en de bijbehorende g r e n s t o e s t a n d e n zijn bij
w a t e r b o u w k u n d i g e c o n s t r u c t i e s n i e t , o f n i e t v o l d o e n d e b e k e n d . Bij o n d e r z o e k op l a b o r a t o r i u m s c h a a l k a n e e n p r o b a b i l i s t i s c h e b e n a d e r i n g e e n k r a c h t i g h u l p m i d d e l zijn om s p r e i d i n g i n de m e e t r e -s u l t a t e n k w a n t i t a t i e f t e v e r k l a r e n . Bij h e t f y -s i -s c h modelonder-zoek w o r d t h i e r v a n e c h t e r nog w e i n i g g e b r u i k gemaakt. I n h e t
* ) Nummers t u s s e n v i e r k a n t e h a k e n v e r w i j z e n n a a r de bijgevoegde l i t e r a t u u r l i j s t
"5"
v o l g e n d e z a l o v e r h e t o n d e r z o e k v a n de s t a b i l i t e i t van s t o r t s t e n e n dammen bij t w e e d i m e n s i o n a a l s t r o o m b e e l d eh bij l a g e b e n e -d e n w a t e r s t a n -d e n en b o v e n w a t e r s t a n -d e n i n -de b u u r t v a n -de k r u i n worden g e r a p p o r t e e r d . H i e r b i j wordt z o w e l v a n f y s i s c h modelon-d e r z o e k a l s v a n p r o b a b i l i s t i s c h e methomodelon-den g e b r u i k gemaakt.
S t a b i l i t e i t s v e r l i e s a l s g e v o l g v a n s t r o m i n g s d r u k v a n u i t h e t b e n e d e n s t r o o m s e t a l u d t r e d e n d w a t e r i s g e k o z e n a l s bezwijkme-chanisrae v o o r s t o r t s t e n e n dammen a l s de b e n e d e n w a t e r s t a n d l a a g e n de b o v e n w a t e r s t a n d i n de b u u r t v a n de k r u i n l i g t . G e d e e l t e l i j k a r b i t r a i r , g e d e e l t e l i j k door m e t i n g e n en b e r e k e n i n g e n , zi.jn de k a n s v e r d e l i n g e n v a n de h e t probleem b e p a l e n -de p a r a m e t e r s ( b a s i s v a r i a b e l e n ) v a s t g e s t e l d . De b r e e d t e n v a n s t r o o m b a n e n v a n h e t u i t h e t b e n e d e n s t r o o m s e t a l u d t r e d e n d e w a t e r t e r p l a a t s e v a n de b e n e d e n w a t e r s t a n d w e r d e n b e p a a l d met b e h u l p v a n v i e r k a n t e n n e t t e n . Aan f y s i s c h e m o d e l l e n met b o v e n s t r o o m s e t a l u d h e l l i n g e n 1 : 3 e n b e n e d e n -s t r o o m -s e t a l u d h e l l i n g e n 1 : 2 w e r d e n de h i e r t o e b e n o d i g d e b o v e n w a t e r s t a n d e n en b e n e d e n w a t e r s t a n d e n a l s m e d e d e b i e t e n w a a r -bij bezwijken ( a f s c h u i v e n t . p . v . de b e n e d e n w a t e r s t a n d ) o p t r a d , o n t l e e n d . U i t de g r a f i s c h b e p a a l d e s t r o o m b a a n b r e e d t e n en de d e b i e t e n , waarbij bezwijken o p t r a d , k o n de s n e l h e i d v a n h e t u i t s t r o m e n d e w a t e r worden a f g e l e i d . Bij v e r o n d e r s t e l d e s t o c h a s t i s c h e o n a f h a n k e l i j k h e i d v a n de b a s i s -v a r i a b e l e n i s m.b.-v. e e n Monte G a r l o - s i m u l a t i e de f a a l k a n s -v a n de o n d e r z o c h t e dam b e r e k e n d op 76%. V o l g e n s de i n d e e l I v a n d i t r a p p o r t [20] genoemde f o r m u l e v a n Knaus ( l 8 ] , waarbij w o r d t u i t g e g a a n v a n e e n bezwijken a l s g e v o l g v a n o v e r h e t b e n e d e n s t r o o m -s e t a l u d a f -s t r o m e n d e w a t e r , wordt e e n d e b i e t waarbij bezwijken op-t r e e d op-t , b e r e k e n d , d a op-t g l o b a a l e v e n g r o o op-t i s a l s de d e b i e op-t e n waarbij de o n d e r z o c h t e f y s i s c h e m o d e l l e n i n d e r d a a d bezweken. Op
grond h i e r v a n k a n d u s geen u i t s l u i t s e l worden gegeven o m t r e n t h e t mechanisme v a n s t a b i l i t e i t s v e r l i e s . De i n d i t r a p p o r t b e r e -kende k a n s v a n bezwijken a l s g e v o l g v a n u i t t r e d e n d w a t e r v a n 1^% wordt v o l d o e n d e hoog g e a c h t om deze h y p o t h e s e a l s b a s i s t e nemen
v o o r v e r d e r e b e r e k e n i n g e n .
U i t g a a n d e v a n h e t gekozen mechanisme i s a a n de hand v a n b e n a d e -r i n g e n , waa-rbij de k a n s v e -r d e l i n g e n v a n de b a s i s v a -r i a b e l e n z i j n v e r v a n g e n door normale v e r d e l i n g e n , nagegaan w e l k e p a r a m e t e r s voornamelijk h e t bezwijken b e p a l e n . Nader o n d e r z o e k zoU' a l l e r e e r s t
7
-g e r i c h t d i e n e n t e zijn op deze p a r a m e t e r s . A l s v e r v o l -g o n d e r z o e k zou een v e r g e l i j k e n d e s t u d i e n a a r h e t mechanisme v a n b e z w i j k e n door a f s t r o m e n d w a t e r a a n b e v e l i n g v e r d i e n e n .
I I I , C o n c l u s i e s
1) 3ij de b e o o r d e l i n g van de s t a b i l i t e i t van dammen, opgebouwd u i t l o s g e s t o r t s t e e n a c h t i g m a t e r i a a l , bij l a g e b e n e d e n w a t e r s t a n d e n b o v e n w a t e r s t a n d e n i n de b u u r t v a n de k r u i n moet h e t mechanisme van a f -s c h u i v i n g a l -s g e v o l g v a n u i t h e t b e n e d e n -s t r o o m -s e t a l u d t r e d e n d e wa-t e r i n b e s c h o u w i n g worden genomen.
2) Bij c o n s t a n t e s o o r t e l i j k e massa van h e t s t e e n a c h t i g m a t e r i a a l s p e l e n bij d i t mechanisme de s p r e i d i n g e n i n - de hoek v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g van h e t m a t e r i a a l - de damgeometrie - de s n e l h e i d van h e t u i t t r e d e n d e w a t e r - de w e e r s t a n d s f a c t o r en - de vorm v a n de s t e e n a c h t i g e e l e m e n t e n e e n dominante r o l . De s p r e i d i n g e n i n - de s t e e n a f m e t i n g e n en - de p o r o s i t e i t zijn w a a r s c h i j n l i j k v a n o n d e r g e s c h i k t e r b e l a n g .
9 -I V . O v e r z i c h t van de g e b r u i k t e s y m b o l e n A. = a a n d e e l v a n de i d e b a s i s v a r i a b e l e i n de t o t a l e v a r i a n -1 t i e van de b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e b = s t r o o m b a a n b r e e d t e t . p . v . de b e n e d e n w a t e r s t a n d u ^ G = weerstandscoëfficiënt w d = kenmerkende s t e e n a f m e t i n g f ( . ) = k a n s d i c h t h e i d s f u n c t i e v a n de s t o c h a s t (.) f ^ ( . ) = s t a n d a a r d n o r m a l e k a n s d i c h t h e i d s f u n c t i e van de s t o c h a s t (.) F = k r a c h t , door h e t stromende w a t e r op de s t e e n u i t g e o e f e n d F ^ ( . ) = b e n a d e r e n d e normale v e r d e l i n g v o o r P (.) g = v e r s n e l l i n g t . g . v . de z w a a r t e k r a c h t G = s t e e n g e w i c h t I = h y d r a u l i s c h e gradiënt K = v o r m f a c t o r L = a a n t a l " s u c c e s s e n " i n een s i m u l a t i e p r o c e s N = k r a c h t door h e t t a l u d op de s t e e n u i t g e o e f e n d óf a a n t a l s i m u l a t i e s p = k a n s ( a l g e m e e n ) P ( . ) = k a n s v e r d e l i n g v a n de s t o c h a s t (.) P r ( . ) = k a n s op de g e b e u r t e n i s (.) q = t o t a a l d e b i e t
q = c r i t i e k d e b i e t * waarbij een d r e m p e l nog j u i s t i n e v e n w i c h t e n t . i s q^ = d e b i e t p e r s t r o o m b a a n T = door de s t e e n g e m o b i l i s e e r d e s c h u i f k r a c h t l a n g s h e t t a l u d v ^ = f i l t e r s n e l h e i d v a n h e t w a t e r f V = s t e e n v o l u m e V a r ( . ) = v a r i a n t i e v a n de s t o c h a s t (.) W = g e w i c h t v a n h e t door de s t e e n v e r p l a a t s t e w a t e r X = algemene a a n d u i d i n g van een s t o c h a s t
X* = a a n d u i d i n g v a n e e n b e p a a l d e waarde van de s t o c h a s t x z = b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e or = b e n e d e n s t r o o m s e t a l u d h e l l i n g s h o e k (X^ = r e l a t i e v e s t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n de i - d e b a s i s v a r i a b e l e i n de s t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n de b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e ft = b e t r o u w b a a r h e i d s i n d e x
p o r o s i t e i t v a n h e t d r e r a p e l m a t e r i a a l óf w i l l e k e u r i g k l e i n t e k i e z e n g e t a l 1 - b e t r o u w b a a r h e i d g e m i d d e l d e v a n de s t o c h a s t i s c h e g r o o t h e i d x k i n e m a t i s c h e v i s c o s i t e i t s o o r t e l i j k e massa v a n de s t e e n s o o r t e l i j k e massa v a n w a t e r s t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n de s t o c h a s t i s c h e g r o o t h e i d x hoek v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g v a n h e t d r e m p e l m a t e r i a a l g e m o b i l i s e e r d e schuifweerstandscoëfficiënt s t a n d a a r d n o r m a l e k a n s v e r d e l i n g v o o r de p a r a m e t e r w a a r d e (.
1. I n l e i d i n g
I n h e t n a v o l g e n d e z a l de s t a b i l i t e i t v a n s t o r t s t e n e n dammen bij l a g e b e n e d e n w a t e r s t a n d e n en b o v e n w a t e r s t a n d e n i n de b u u r t v a n de k r u i n worden o n d e r z o c h t a a n de hand v a n m o d e l p r o e v e n . De rao-d e l r e s u l t a t e n z u l l e n s t a t i s t i s c h worrao-den g e a n a l y s e e r rao-d .
A l s zogenaamde g r e n s t o e s t a n d ( d . i . d i e t o e s t a n d , waarbij de dam i n l a b i e l e v e n w i c h t i s ) i s d i e , b e h o r e n d e bij h e t mechanisme v a n a f s c h u i v i n g g e k o z e n . S t a b i l i t e i t s v e r l i e s ( a f s c h u i v i n g ) wordt gea c h t op t e t r e d e n gea l s g e v o l g v gea n l o o d r e c h t op h e t b e n e d e n s t r o o m se, t a l u d u i t t r e d e n d e w a t e r . Het s t r o o m b e e l d w o r d t t w e e d i m e n s i o -n a a l v e r o -n d e r s t e l d , ( z i e f i g . 1) f i g u u r 1; S c h e m a t i s c h s t r o o m b e e l d q = t o t a a l d e b i e t i n m^/s/m' q = d e b i e t p e r s t r o o m b a a n i n
m^/s/m'
s
» = b e n e d e n s t r o o m s e t a l u d h e l l i n g s h o e k i n r a d . b = s t r o o m b a a n b r e e d t e t . p . v . de b e n e d e n w a t e r s t a n d i n m u ^ e. = p o r o s i t e i t v a n h e t d r e m p e l m a t e r i a a l Het i d e e v a n s t a b i l i t e i t s v e r l i e s a l s g e v o l g v a n s t r o m i n g s d r u k i s n i e t nieuw ( z i e o . a . [22] en [ 2 3 ] ) . Over h e t f e i t o f s t a b i -l i t e i t s v e r -l i e s wordt v e r o o r z a a k t door h e t o v e r h e t beneden-s t r o o m beneden-s e t a l u d AFbeneden-stromende w a t e r (mechanibeneden-sme v a n a f beneden-s p o e l e n v a n de s t e n e n ) , d a n w e l door h e t t e r p l a a t s e v a n de b e n e d e n w a t e r -s t a n d U I T -s t r o m e n d e w a t e r (mechani-sme v a n a f -s c h u i v i n g ) , b e -s t a a t v e r s c h i l v a n mening. E e n s t e r k e s u g g e s t i e v o o r h e t e e r s t e wordt o.a. gegeven door B r e t h en K l u b e r [ ? ] , v o o r h e t tweede o . a .door P a r k i n [ 2 2 ] .
I n de v o l g e n d e h o o f d s t u k k e n wordt o n d e r z o c h t o f h e t mechanisme v a n a f s c h u i v i n g w a a r s c h i j n l i j k i s .
1 3 -Het w i s k u n d i g model De maximale s t r o m i n g s d r u k l o o d r e c h t op h e t t a l u d t r e e d t op t e r p l a a t s e v a n de b e n d e n w a t e r s t a n d ( z i e f i g . 1 ) . De k r a c h t e n d i e op d i e p l a a t s op een s t e e n w e r k e n zi.jn w e e r g e g e v e n i n f i g u u r 2. K r a c h t e n op een s t e e n t . p . v . b e n e d e n w a t e r s t a n d K r a c h t e n v e e l h o e k f i g u u r 2 G = s t e e n g e w i c h t V/ = g e w i c h t v a n h e t door de s t e e n v e r p l a a t s t e w a t e r F = k r a c h t , door h e t stromende w a t e r op de s t e e n u i t g e o e f e n d N = k r a c h t , door h e t t a l u d op de s t e e n u i t g e o e f e n d T = N « t g ^' = door de s t e e n g e m o b i l i s e e r d e s c h u i f k r a c h t l a n g s h e t t a l u d f = hoek v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g v a n h e t s t e e n a c h t i g m a t e r i a a l a = t a l u d h e l l i n g s h o e k U i t de k r a c h t e n v e e l h o e k v o l g t v o o r h e t e v e n w i c h t i n de r i c h -t i n g l o o d r e c h -t op h e -t -t a l u d : Z Kj_ = O : (G - W) c o s a - ( F + N) = 0 (1) en v o o r h e t e v e n w i c h t i n de r i c h t i n g l a n g s h e t t a l u d : 1 K^y = 0: (G - W) sino< - N « t g ^ ' = O (2) j)* o p g e l o s t u i t (1) en (2) l e v e r t : I 4. (G - W) s i n o<-r = (G - W) c o s oc - F E v e n w i c h t i s v e r z e k e r d a l s
9< ?
(3)Het i n h e t w i s k u n d i g model b e s c h r e v e n e v e n w i c h t ( v g l . ( k ) ) k a n ook worden g e f o r m u l e e r d i n termen van " b e l a s t i n g " en " s t e r k t e " v a n de dara. H i e r b i j moet dan de hoek 95' a l s " b e l a s t i n g " en de hoek 50 a l s de door de c o n s t r u c t i e g e l e v e r d e " s t e r k t e " worden beschouwd. I n d i e n de b e l a s t i n g g r o t e r i s dan de s t e r k t e , dan z a l de c o n s t r u c t i e bezwijken.
Het w i s k u n d i g model d a t de g r e n s t o e s t a n d b e s c h r i j f t , wordt de b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e z genoemd. De k a n s wordt o n d e r z o c h t d a t z een waarde k l e i n e r dan n u l aanneemt, m.a.w. d a t de "be-l a s t i n g " g r o t e r i s dan de " s t e r k t e " . I n h e t o n d e r h a v i g e g e v a "be-l w o r d t , n a a r a a n l e i d i n g v a n v g l ( 4 ) , de b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e g e s c h r e v e n a l s :
z = - = O ^^5)
De k a n s d a t z een waarde k l e i n e r dan o f g e l i j k a a n n u l aanneemt P r (z_ ^ O) i s dan de k a n s op bezwijken v a n h e t t a l u d v o l -gens h e t mechanisme v a n a f s c h u i v i n g .
De hoek v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g - f - van h e t s t e e n a c h t i g mater i a a l womaterdt b e p a a l d doomater de "materuwheid" v a n de a f z o n d e mater l i j k e s t e -nen. N i e t e l k e s t e e n z a l e e n z e l f d e r u w h e i d hebben. H i e r d o o r i s de hoek v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g een s t o c h a s t i s c h e g r o o t h e i d .
De " g e m o b i l i s e e r d e weerstandscoëfficiënt" - t g ^' , en dus f>' -wordt b e p a a l d door d i v e r s e g r o o t h e d e n , o.a. h e t g e w i c h t v a n de s t e e n , de w e e r s t a n d v a n de s t e e n i n s t r o m i n g , e t c , d i e e l k s t o c h a s t i s c h e g r o o t h e d e n z^jn. H i e r d o o r wordt ook ^' e e n s t o c h a s ¬ t i s c h e g r o o t h e i d .
Om een p r o b a b i l i s t i s c h e b e r e k e n i n g mogelijk t e maken, d i e n t de b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e t e worden u i t g e s c h r e v e n i n b a s i s v a r i a -b e l e n , w a a r v a n de k a n s v e r d e l i n g e n -bekend z i j n . De a n a l y s e w o r d t s t e r k v e r e e n v o u d i g d a l s de b a s i s v a r i a b e l e n b o v e n d i e n ONGECORRE» LEERD z i j n , a l b l i j f t de b e r e k e n i n g mogelijk m i t s de c o r r e l a t i e s bekend z i j n .
-15-S t e l : G = g K X d-^ ( d e f i n i t i e v a n s t e e n g e w i c h t ) (6) V/ = g H H d"^ (wet v a n A r c h i m e d e s ) (7) V 2 2 F = i ^ n {-^) K X K 3« d ( k r a c h t op een l i c h a a m (8) i n - t u r b u l e n t e - s t r o m i n g ) w a a r i n : g = v e r s n e l l i n g t . g . v . de z w a a r t e k r a c h t p = s o o r t e l i j k e massa v a n de s t e e n ' s d = s t e e n a f m e t i n g , g e d e f i n i e e r d a l s de d e r d e m a c h t s w o r t e l u i t h e t s t e e n v o l u r a e = s o o r t e l i j k e massa van w a t e r C = weerstandscoëfficiënt w v ^ = s n e l h e i d v a n h e t w a t e r , g e d e f i n i e e r d door h e t quotiënt v a n q en b ( z i e f i g , 1) s u K = v o r m f a c t o r , g e d e f i n i e e r d a l s h e t quotiënt v a n h e t op-p e r v l a k v a n de d w a r s d o o r s n e d e v a n de s t e e n l o o d r e c h t op de s t r o m i n g s r i c h t i n g , en h e t k w a d r a a t v a n de s t e e n -d i a m e t e r £ = volume h o l l e r u i m t e i n een e e n h e i d s v o l u r a e v a n h e t s t e e n -a c h t i g d r e m p e l m -a t e r i -a -a l V e r g e l i j k i n g e n ( 6 ) , (7) en (8) g e s u b s t i t u e e r d i n ik) en v e r v o l -gens i n (5) l e v e r e n : . g (P3 - PJ ^inoc z = f - a t a n ——2 g (^^ - ^ ^ ) d 5 cosu -ipj-f) G ^ K d2 I n d e z e b e t r o u w b a a r h e i d s f u n c t i e kunnen de v e r s n e l l i n g t . g . v . de z w a a r t e k r a c h t - g - en de s o o r t e l i j k e massa v a n w a t e r - ~ a l s d e t e r m i n i s t i s c h e g r o o t h e d e n worden beschouwd. Voor g i s de waarde 9,812 m/s^ en v o o r de waarde 1000 kg/m^ aangehouden. De o v e r i g e p a r a m e t e r s worden a l s s t o c h a s t i s c h e , o n g e c o r r e l e e r -de b a s i s v a r i a b e l e n beschouwd, w a a r v a n -de k a n s v e r d e l i n g e n u i t m e t i n g e n b e n a d e r d , of a n d e r s z i n s v a s t g e s t e l d moeten worden.
De v e r o n d e r s t e l l i n g v a n o n g e c o r r e l e e r d e b a s i s v a r i a b e l e n i s d i s -c u t a b e l . H i e r a a n wordt n a d e r e a a n d a -c h t b e s t e e d i n h e t h o o f d s t u k :
Mogeiyke c o r r e l a t i e s t u s s e n b a s i s v a r i a b e l e n .
De k a n s v e r d e l i n g van een b e p a a l d e s t o c h a s t k a n worden v e r o n d e r -s t e l d t e b e -s t a a n u i t twee componenten ([93)» t e w e t e n :
a . een k a n s v e r d e l i n g a l s g e v o l g v a n de " n a t u u r l y k e " s p r e i d i n g b. een k a n s v e r d e l i n g a l s g e v o l g van de " m e e t p r o c e d u r e "
waarmee de k a n s v e r d e l i n g a l s genoemd onder a . b e p a a l d i s . Deze k a n s v e r d e l i n g , d i e v o l l e d i g g e c o r r e l e e r d i s met d i e , genoemd onder a., i s op t e v a t t e n a l s een o n z e k e r h e i d i n de u i t e i n d e l i j k i n h e t w i s k u n d i g model i n t e v o e r e n k a n s v e r d e -l i n g . G e z i e n de g e r i n g e b e k e n d h e i d v a n de k a n s v e r d e l i n g e n a l s genoemd o n d e r b., i s v a n deze v e r f i j n i n g a f g e z i e n . De i n de b e r e k e n i n g e n i n g e v o e r d e k a n s v e r d e l i n g e n van de d i v e r s e s t o c h a s t e n z u l l e n h i e r n a worden b e s p r o k e n .
-17-3 . K a n s v e r d e l i n g e n v a n de v e r s c h i l l e n d e s t o c h a s t e n
NB. E e n o v e r z i c h t van de b e n a d e r i n g e n v a n de k a n s v e r d e l i n g e n en de a a n s l u i t i n g d a a r v a n bij meetpunten ( v o o r z o v e r deze zijn b e p a a l d ) i s gegeven i n f i g . 5 .
3 . 1 . De k a n s v e r d e l i n g van de hoek van i n w e n d i g e _ w r i j v i n g c£
V a n u i t een c e n t r a a l punt ( d o o r een b u i s ) i s i n s t i l s t a a n d w a t e r een b e r g v a n s t e n e n g e s t o r t . Deze b e r g i s i n twee o n d e r l i n g l o o d r e c h t e h o r i z o n t a l e r i c h t i n g e n g e f o t o g r a f e e r d . De c o n t o u r e n van de b e r g op b e i d e f o t o ' s zijn w e e r g e g e v e n i n f i g . 3.
f i g u u r 3: C o n t o u r e n v a n een u i t een c e n t r a a l punt i n s t i l s t a a n d w a t e r g e s t o r t e b e r g
Van opzij g e z i e n I n l a n g s r i c h t i n g van de goot g e z i e n
Op de " b u i t e n k a n t e n " van de c o n t o u r e n zijn p u n t e n gekozen, e v e n -a l s op de " b i n n e n k -a n t e n " v-an de c o n t o u r e n . V-an de gekozen punt e n w e r d e n de coördinapunten b e p a a l d i n een c a r punt h e s i a a n s a s s e n s punt e l -s e l . Door -s t e e d -s 9 o p e e n v o l g e n d e p u n t e n op de b u i t e n k a n t e n v a n de c o n t o u r e n werd met een k l e i n s t e k w a d r a t e n b e n a d e r i n g de gemid-d e l gemid-d e h e l l i n g o v e r gemid-d i e 9 p u n t e n b e p a a l d . A n a l o o g werd g e h a n d e l d met de p u n t e n op de b i n n e n k a n t v a n de c o n t o u r e n . A l d u s werden 130 gemiddelde h e l l i n g e n o v e r 9 p u n t e n b e p a a l d .
E l k v a n deze h e l l i n g e n k a n worden beschouwd a l s een "waarneming" v a n de hoek v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g . V e r w a c h t k a n worden, d a t de hoek v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g b e g r e n s d i s ( f j ^ i n ^ ^ ^ f max^ *
A l s b e n a d e r i n g v o o r de k a n s v e r d e l i n g v a n (p i s g e k o z e n : 2" ^ 0,056 ^ - 0,056 ^ w a a r i n ^ ( X ) de n o r m a l e v e r d e l i n g v o o r s t e l t v o o r de p a r a m e t e r -w a a r d e X, e n met g e m i d d e l d e n u l e n s t a n d a a r d a f -w i j k i n g 1. (10) s t e l t e e n t w e e z i j d i g a f g e k a p t e n o r m a l e v e r d e l i n g met g e m i d -d e l -d e 0,562 r a -d e n s t a n -d a a r -d a f w i j k i n g 0,056 r a -d v o o r , a a n -d e "on-d e r z i j "on-d e " a f g e k a p t b i j ® = O,'+6 r a d e n a a n de " b o v e n z i j d e " a f g e -k a p t b i j (j) = 0 , 6 3 r a d ! ^ 3 . 2 , De k a n s v e r d e l i n g v a n de s o o r t e l i j k e _ m a s s a _ v a n _ d e _ s t e n e n _ p ^ Van 20 s t e n e n w e r d h e t g e w i c h t a c h t e r e e n v o l g e n s b o v e n e n o n d e r w a t e r b e p a a l d met e e n w e e g t o e s t e l , n a u w k e u r i g t o t o p 0,05 g f -E l k e s t e e n w e r d h i e r t o e o p g e h a n g e n a a n e e n m e t a a l d r a a d l u s , w a a r v a n h e t g e w i c h t i n r e k e n i n g w e r d g e b r a c h t e n h e t v o l u m e v e r w a a r l o o s d . U i t d e z e m e t i n g e n k o n v o o r e l k e s t e e n h e t s o o r t e -l i j k g e w i c h t , e n d a a r u i t de s o o r t e -l i j k e massa w o r d e n b e p a a -l d ( z i e b i j l a g e 1 ) . A l s b e n a d e r i n g v o o r de k a n s v e r d e l i n g v a n de s o o r t e l i j k e massa v a n de s t e n e n i s a a n g e h o u d e n : -zcnn
. iÊ
^ZJ^)
. A (3000 - 3500
(^^) = P r (/0_^ . ƒ 3 ) =^(3120^-^3500) - ^ ( 3 0 0 0 ^ - ^ 3 5 0 0 ) (11) ) H e t i s n i e t m o g e l i j k o p t h e o r e t i s c h e g r o n d e n b e n a d e r i n g e n t e v i n d e n v o o r h e t g e m i d d e l d e e n de s t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n de " o n d e r l i g g e n d e " v e r d e l i n g ( z e l f s i n d i e n b e k e n d i s , d a t d i t e e n n o r m a l e v e r d e l i n g i s , e n d a t i s h i e r n i e t h e t g e v a l ) v a n e e n t w e e z i j d i g a f g e k a p t e n o r m a l e v e r d e l i n g ( f l ' + l ) . De k e u z e n v o o r h e t g e m i d d e l d e v a n f. / ' ^ = 0,562 r a d e n de s t a n d a a r d a f w i j k i n g v a n fx Ttp = 0,056 r a d w o r d t a l l e e n " g e r e c h t v a a r d i g d " d o o r de a a n s l u i t i n g v a n de kromme b i j d e m e e t p u n -t e n ( z i e f i g . 5)„ 1 9 -v o o r s t e l l e n d e e e n n o r m a l e -v e r d e l i n g met / i = 3500 kg/m"^ e n ' Ps ^ = 108 kg/m^, e n a f g e k a p t b i j P = 3000 kg/m^ e n b i j ^s m i n ^ = 3 1 2 0 kg/m-^ s max NB. Een v e r k l a r i n g v o o r h e t g e k n i k t e v e r l o o p v a n de m e e t p u n t e n i n f i g . 5 i s n i e t g e v o n d e n . 3 . 3 . De k a n s v e r d e l i n g v a n de k e n m e r k e n d e a f m e t i n g _ v a n _ d e _ s t e n e n _ d A l s k e n m e r k e n d e s t e e n a f m e t i n g i s de d e r d e m a c h t s w o r t e l u i t h e t s t e e n v o l u m e g e k o z e n : d = ^ ^ ^ » w a a r i n V h e t s t e e n v o l u m e i s . Van 200 s t e n e n i s h e t g e w i c h t b e p a a l d . D a a r h e t s o o r t e l i j k g e w i c h t v a n de s t e n e n w e i n i g v a r i e e r d e i s h i e r v o o r h e t r e k e n k u n d i g g e m i d d e l d e v a n de 20 b e p a a l d e s o o r t e l i j k e g e w i c h t e n a a n -Q g e h o u d e n . H e t s t e e n v o l u m e v o l g t d a n u i t : V = -r; , w a a r i n G J gem h e t s t e e n g e w i c h t i n k g f e n Ygera g e m i d d e l d e s o o r t e l i j k g e -w i c h t i n k g f / m ^ . V o o r y^^^ -w e r d g e v o n d e n : 3110 k g f / m ^ . De b e n a d e r i n g d o o r e e n t w e e z i j d i g a f g e k a p t e v e r d e l i n g w o r d t h i e r g e r e c h t v a a r d i g d d o o r h e t f e i t , d a t de g e b r u i k t e s t e n e n s l e c h t s e e n f r a c t i e z i j n v a n w a t i n e e n s t e e n g r o e v e w o r d t g e p r o d u c e e r d . G r o v e e n f i j n e f r a c t i e s w o r d e n u i t g e z e e f d o f a n d e r s z i n s v e r w i j d e r d . E r i s n i e t g e t r a c h t e e n r e c h t v a a r d i g i n g t e v i n -d e n v o o r -de " o n -d e r l i g g e n -d e " n o r m a l e v e r -d e l i n g . A l s b e n a d e r i n g v o o r de k e n m e r k e n d e s t e e n a f m e t i n g i s a a n g e h o u d e n : P ( d ) = P r ( r ( d - 3.6075 « 10~^) _ ^ ( ( 2 . 7 7 5 - 3.6075)^x 10~^ ^ 0,2515 » 10"^ 0.2515 « 10"^ (12) S ( ( ^ . 0 6 - 3.6075) « 10"^) _ ƒ ( ( 2 . 7 7 5 - 3 . 6 0 7 5 ^ « 10"^^ 0,2515 X 10"^ 0,2515 X 10" Z o a l s u i t f i g . 5 b l i j k t , s l u i t d e z e b e n a d e r i n g z e e r goed b i j d e m e e t p u n t e n a a n .
3.4. De k a n s v e r d e l i n g v a n de t a l u d h e l l i n g s h o e k _ o < . Bi,] de u i t v o e r i n g v a n de p r o e v e n i s g e t r a c h t zo goed m o g e l i j k e e n b e n e d e n s t r o o m s t a l u d op t e bouwen o n d e r e e n h o e k o< = a t a n C ? ) . L o c a l e " b u l t e n " w e r d e n weggenomen, " k u i l e n " o p g e v u l d . Aangenomen k a n d a a r o m w o r d e n , d a t de g e m i d d e l d e h e l l i n g s h o e k v a n h e t b e n e -d e n s t r o o m s t a l u -d i n -d e r -d a a -d a t a n (|) was. V o l g e n s de h y p o t h e s e v o o r h e t b e z w i j k m e c h a n i s m e i s e c h t e r n i e t de g e m i d d e l d e h e l l i n g s h o e k , d o c h d i e i n de b u u r t v a n de b e n e d e n -w a t e r s t a n d v a n b e l a n g . S t e l , d a t t . p . v . de b e n e d e n -w a t e r s t a n d de t a l u d h e l l i n g s h o e k s t e e d s g r o t e r d a n a t a n ( 1 / 5 ) e n s t e e d s k l e i n e r d a n a t a n ( 1 / 1 , 6 ) i s g e w e e s t . V e r o n d e r s t e l v e r d e r , d a t de t a l u d h e l l i n g s h o e k e e n " o n d e r l i g g e n d e " n o r m a l e v e r d e l i n g h e e f t met g e -m i d d e l d e / i ^ = 0,4636 r a d e n s t a n d a a r d a f w i j k i n g 'T'^ = 0,05 r a d , d a n k a n de v e r d e l i n g v a n de t a l u d h e l l i n g s h o e k w o r d e n g e s c h r e v e n a l s : ' j ' ( p(- 0 . 4 6 3 6 ) _ ^ ^ ( 0 . 1 9 7 4 - 0,4636^
P (oQ = P r ( o < / ^ ) = o.3°,è6-0.^636
^,0,^97&km. ^'^^
T ^ 0,05 " ^ 0,05 3.5. De k a n s v e r d e l i n g v a n de ^ii^£££i^iii££l2nelheid_Vf I n e e n f y s i s c h m o d e l v a n e e n d r e m p e l met e e n b o v e n s t r o o m s t a l u d met e e n h e l l i n g s h o e k v a n a r c t g ( 1 / 3 ) e n e e n b e n e d e n s t r o o m s t a -l u d met e e n h e -l -l i n g s h o e k v a n a r c t g ( 1 / 2 ) w e r d o n d e r z o c h t , b i j w e l k d e b i e t de d r e m p e l b e z w e e k , i n d i e n de b e n e d e n w a t e r s t a n d op een v a s t p e i l b l e e f g e h a n d h a a f d . De p r o e f o p s t e l l i n g i s b e s c h r e v e n i n d e e l I v a n d i t r a p p o r t e n s c h e t s m a t i g w e e r g e g e v e n i n b i j l a g e 2. De d r e m p e l w e r d g e a c h t t e z i j n b e z w e k e n i n d i e n e e n d u i d e -l i j k e , z i j h e t -l o c a -l e , a f s c h u i v i n g o p t r a d . De a f s c h u i v i n g b -l e e k s t e e d s op t e t r e d e n t . p . v . de b e n e d e n w a t e r s t a n d . Het d e b i e t w e r d s t e e d s s t a p s g e w i j s v e r h o o g d , t o t d a t b e z w i j k e n o p -t r a d . Na e l k e d e b i e -t v e r h o g i n g w e r d de b e n e d e n s -t r o o m s e w a -t e r s -t a n d op h e t v o o r a f b e p a a l d e p e i l g e b r a c h t . Om b o o g w e r k i n g i n de d r e m -p e l t e v o o r k o m e n ( z i e d e e l I v a n d i t r a -p -p o r t [ 2 0 ] ) w e r d na e l k e d e b i e t v e r h o g i n g op h e t b e n e d e n s t r o o m s t a l u d e e n s t o o t u i t g e -o e f e n d d -o -o r d a a r e n i g e s t e n e n -o p t e l a t e n v a l l e n .
2 1 -E r w e r d e n 4 p r o e v e n s e r i e s u i t g e v o e r d v a n e l k 5 p r o e v e n w a a r b i j p e r p r o e v e n s e r i e de b e n e d e n w a t e r s t a n d c o n s t a n t w e r d g e h o u d e n . Een o v e r z i c h t v a n de d i v e r s e m e t i n g e n i s g e g e v e n i n b i j l a g e 3 . E n i g e r e s u l t a t e n z i j n v e r m e l d i n t a b e l I . nummer p r o e v e n -s e r i e b e z w i j k -d e b i e t i n m^/s/m' b o v e n s t r o o m s e w a t e r s t a n d i n m b e n e d e n -s t r o o m -s e w a t e r s t a n d i n m k r u i n s -h o o g t e i n ra I 0,05895 0,0610 0,05915 0,0581 0,0615 0,5369 0,5419 0,5417 0,5363 0,5372 0,4216 0,4221 0,4215 0,4200 0,4217 0,515 0,51 0,52 0,50 0,505 gem. 0,539 gem. 0,422 gem. 0,51 I I 0,0606 0,05545 0,05715 0,0545 0,0544 0,5352 0,5286 0,5358 0,5286 0,5291 0,3425 0,3422 0,3418 0,3421 0,3418 0,51 0,515 0,53 0,515 0,515. gem. 0,532 gem. 0,342 gem. 0,517
I I I 0,0507 0,o457 0,0534 0,05155 0,0509 0,5092 0,5006 0,5262 0,5235 0,5193 0,2530 0,2522 0,2521 0,2518 0,2519 0,50 0,505 0,52 0,505 0,505 gem. 0,512 gem. 0,252 gem. 0,507 I V 0,0478 0,0394 0,04475 0,0575 o,o4o65 0,4995 0,4680 0,4937 0,4595 0,4757 0,1217 0,1219 0,1218 0,1221 0,1224 0,50 0,52 0 , 5 2 0,515 0,515 gem. 0,479 gem. 0,122 gem. 0 , 5 l 4
t a b e l I : O v e r z i c h t v a n e n i g e p r o e f r e s u l t a t e n U i t de l a a t s t e d r i e k o l o m m e n v a n t a b e l I k u n n e n s t r o o m b a a n p a t r o n e n i n de d r e m p e l w o r d e n a f g e l e i d ( z i e f i g . 4 ) . V o o r h e t b e r e k e n e n v a n de e q u i p o t e n t i a a l l i j n e n i s g e b r u i k gemaakt v a n h e t e i n d i ge e l e m e n t e n p r o g r a m m a SEEP v a n h e t L a b o r a t o r i u m v o o r G r o n d m e c h a -n i c a t e D e l f t . G e t r a c h t i s , de e q u i p o t e -n t i a a l l i j -n e -n e v e -n e e -n s t e b e r e k e n e n m.b.v. e e n HP-85 m i c r o c o m p u t e r . De ideeën v o o r d e z e p r o g r a m m a ' s w e r d e n o n t l e e n d a a n f30]l. P o g i n g e n i n d e z e r i c h t i n g
w a r e n t o t nu t o e n i e t s u c c e s v o l . H e t s t r o o m b a n e n p a t r o o n i s g r a f i s c h b e p a a l d o n d e r de v e r o n d e r -s t e l l i n g e n d a t : 1. de s n e l h e i d s h o o g t e v e r w a a r l o o s b a a r i s t . o . v . h e t piëzome-t r i s c h n i v e a u . ( E r i s e e n l a m i n a i r e s piëzome-t r o m i n g v e r o n d e r s piëzome-t e l d [1-1]) 2. de dam homogeen d o o r l a t e n d i s , w a a r d o o r e e n t w e e d i m e n s i o n a a l s t r o o m b e e l d o p t r e e d t . H e t s t r o o m b a n e n p a t r o o n i s n i e t e r g g e v o e l i g v o o r g e r i n g e v a r i a t i e s i n w a t e r s t a n d e n e n k r u i n s h o o g t e n . Daarom i s p e r p r o e v e n s e r i e één s t r o o m b a n e n p a t r o o n b e p a a l d v o o r de g e m i d d e l d e b o v e n -w a t e r s t a n d e n de g e m i d d e l d e k r u i n s h o o g t e . De s t r o o m b a a n p a t r o n e n w e r d e n g e t e k e n d op s c h a a l 1 : 2 e n z i j n w e e r g e g e v e n i n f i g . 4. De " u i t t r e e f i l t e r s n e l h e i d t e r p l a a t s e v a n de b e n e d e n w a t e r s t a n d " k a n n u w o r d e n b e p a a l d d o o r h e t d e b i e t , w a a r b i j b e z w i j k e n o p t r a d , p e r p r o e f t e d e l e n d o o r de " u i t t r e e b r e e d t e " b ^ p e r p r o e v e n s e r i e . Eén e n a n d e r i s w e e r g e g e v e n i n t a b e l I I .
nummer p r o e v e n -s e r i e b e z w i j k -d e b i e t i n m3/s/ra' a a n t a l s t r o o m -b a n e n u i t t r e e -b r e e d t e i n ra i n m/s I 0,05895 0,0610 0,05915 0,0581 0,0615 11 0,019 0,282 0,292 0,285 0,278 0,294 I I 0,0606 0,05545 0,05715 0,0545 0,0544 11 0,020 0,276 0,252 . 0,260 0,248 0,247 I I I 0,0507 0,0457 0,0534 0,05155 0,0509 7 0,054 0,213 0,192 0,224 0,217 0,214 I V 0,0478 0,0394 0,04475 0,0375 o,o4o65 7 0,027 0,253 0,209 0,234 0,198 0,215 t a b e l I I ; B e p a l i n g u i t t r e e f i l t e r s n e l h e d e n v ^ De w a a r d e n v a n v ^ i n de l a a t s t e k o l o m v a n t a b e l I I k u n n e n w o r -d e n b e s c h o u w -d a l s w a a r n e m i n g e n v a n -de f i l t e r s n e l h e i -d waarmee e e n s t e e n t . p . v . de b e n e d e n w a t e r s t a n d w o r d t a a n g e s t r o o m d . A l s b e n a d e r i n g v o o r de k a n s v e r d e l i n g v a n v ^ i s g e k o z e n v o o r : ^ ^ 0,077 ^" - ^ 0,077 ^ U i t f i g . 5 b l i j k t de a a n s l u i t i n g by de " w a a r n e m i n g e n " . 3 . 6 , De k a n s v e r d e l i n g v a n de p o r o s i t e i t £, V o o r de s t r o m i n g s d r u k i s n i e t de f i l t e r s n e l h e i d maar de " w a r e " s n e l h e i d v a n h e t a a n s t r o m e n d e w a t e r v a n b e l a n g . Om d e z e t e k u n n e n b e r e k e n e n moet de p o r o s i t e i t v a n de b u i t e n s t e s t e e n l a g e n v a n h e t b e n e d e n s t r o o m s e t a l u d t . p . v . de b e n e d e n w a t e r s t a n d b e
--25 k e n d z i j n . M e t i n g i n s i t u i s n i e t m o g e l i j k . B e k e n d i s e c h t e r , d a t de p o r o s i t e i t v a n s t o r t s t e n e n dammen v a r i e e r t t u s s e n g l o b a a l 40 e n 32%, a f h a n k e l i j k v a n de k o r r e l v e r d e l i n g , de v o r m v a n de k o r -r e l s e n de mate v a n v e -r d i c h t i n g ( o f wijze v a n a a n b -r e n g e n ) . A l s g l o b a l e i n d i c a t i e w e r d één m e t i n g v a n h e t p o r i e n g e h a l t e v e r r i c h t . E e n b a k v a n 1 m b r e e d , 75 cm l a n g e n 80 cm h o o g w e r d g e -v u l d met h e t m o d e l m a t e r i a a l e n gewogen. V e r -v o l g e n s w e r d e n de h o l l e r u i m t e n g e v u l d met w a t e r , w a a r n a de b a k o p n i e u w w e r d g e -wogen. U i t h e t v e r s c h i l v a n d e g e w i c h t e n w e r d h e t poriënvolume b e r e k e n d o p 51)59^« De s t e n e n w e r d e n l o s i n de b a k g e s t o r t . H e t b e n e d e n s t r o o m s e t a -l u d w e r d met de h a n d "geëga-liseerd". D i t z a -l v o o r de b u i t e n s t e s t e e n l a g e n v a n h e t b e n e d e n s t r o o m s e t a l u d w a a r s c h i j n l i j k h e b b e n ge r e s u l t e e r d i n e e n w a t k l e i n e r poriënvolume. A l s b e n a d e r i n g v o o r de k a n s v e r d e l i n g v a n de p o r o s i t e i t i s a a n g e h o u d e n : 0,025 ^ 0,025 ^ 3 . 7 . De k a n s v e r d e l i n g v a n de weerstandscoëfficiënt_C^ De weerstandscoëfficiënt C i s ( i n p r i n c i p e ) a f h a n k e l i j k v a n h e t w R e y n o l d s g e t a l , e n d u s v a n de w a t e r s n e l h e i d . O 18 V o o r de m i n i m a l e w a t e r s n e l h e i d (v /^max^ 0^52 " 0,35 m/s, m i n ' de m i n i m a l e s t e e n d i a m e t e r d = 0,02775 m e n e e n k i n e m a t i s c h e 6 2 v i s c o s i t e i t = 10~ m / s w o r d t h e t R e y n o l d s g e t a l c a . 9700, z o d a t de s t r o m i n g i n de b u u r t v a n d e b e n e d e n w a t e r s t a n d z e k e r t u r -* ) b u l e n t z a l z i j n . N.B, Deze c o n c l u s i e i s i n t e g e n s p r a a k met de v o o r de b e p a l i n g v a n de f i l t e r s n e l h e i d aangenomen l a m i n a i r e s t r o -m i n g . I n h e t h o o f d s t u k " D i s c u s s i e v a n de r e s u l t a t e n v a n de M o n t e C a r l o s i m u l a t i e " z a l o p d e z e c o n t r a d i c -t i e n a d e r w o r d e n i n g e g a a n .
V o o r k a n t i g m a t e r i a a l i n e e n o n e i n d i g e w a t e r m a s s a b i j e e n p a r i g e s t r o m i n g i s v o o r v o l d o e n d e g r o o t R e y n o l d s g e t a l c a . 1,1. V o o r e e n b o l o n d e r genoemde o m s t a n d i g h e d e n i s C x. 0 , 4 . w V o o r de k a n s v e r d e l i n g v a n G ( w a a r o p n a d e r w o r d t i n g e g a a n i n w b i j l a g e 4) i s g e k o z e n : v o o r G <r O, 4 W v o o r G^ ^ 1,1 (16) 3 . 8 , De k a n s v e r d e l i n g v a n _ d e _ v o r m f a c t o r _ v a n _ d e _ s t e n e n _ K De g r o o t t e v a n de k r a c h t d i e o p e e n l i c h a a m i n e e n s t r o m i n g w e r k t i s e v e n r e d i g met h e t o p p e r v l a k v a n de d w a r s d o o r s n e d e l o o d r e c h t op de s t r o m i n g s r i c h t i n g . De v o r m f a c t o r K w o r d t h i e r gedefiniëerd a l s h e t quotiënt v a n d e z e o p p e r v l a k t e e n h e t k w a d r a a t v a n e e n k e n m e r k e n d e a f m e t i n g v a n h e t l i c h a a m . B i j v o o r b e e l d v o o r e e n b o l met d i a m e t e r d i s h e t " a a n g e s t r o o m d e " 2 1 / 4 TT- d2 i : o p p e r v l a k s t e e d s 1/4 ^ d . De v o r m f a c t o r K i s d a n - ' — ^ = T^"-d V o o r e e n k u b u s met r i b b e a i s de m i n i m a l e a a n g e s t r o o m d e o p p e r -v l a k t e b;j s t r o m i n g l o o d r e c h t op e e n -v l a k g e l i j k a a n a , w a a r u i t een v o r m f a c t o r K = 1 v o l g t . I n d i e n de k u b u s w o r d t a a n g e s t r o o m d i n de r i c h t i n g v a n e e n l i c h a a m s d i a g o n a a l , i s h e t a a n g e s t r o o m d e o p p e r v l a k m a x i m a a l , t e w e t e n a^ De v o r m f a c t o r K w o r d t d a n 3. I n k l e i n e a f m e t i n g e n g e b r o k e n b a s a l t h e e f t e e n s c h e r f a c h t i g e v o r m . I n h e t o n d e r h a v i g e g e v a l i s de v o r m g e s c h e m a t i s e e r d t o t d r i e z i j d i g e a f g e k n o t t e p y r a m i d e n , omdat h e t m e r e n d e e l v a n de s t e n e n g l o b a a l d e z e v o r m h a d . A l s b a s i s v a n de p y r a m i d e i s e e n g e l i j k z i j d i g e d r i e h o e k met z i j d e 2 a g e k o z e n , a l s t o p e e n g e l i j k z i j d i -ge d r i e h o e k met zijde a. e n a l s h o o g t e i s a l s maat e e n l e n g t e v a n 4a a a n g e h o u d e n . I n b i j l a g e 5 i s op de k a n s v e r d e l i n g v a n de v o r m -•) f a c t o r n a d e r i n g e g a a n . H i e r z i j v e r m e l d d a t a l s k a n s v e r d e l i n g *) L i n f o r d e n S a u n d e r s f l O j v o n d e n e e n d u i d e l i j k v e r s c h i l i n b e -z w i j k d e b i e t e n i n d i e n de s t e n e n "op h u n p l a t " ( p l a c e d f l a t ) o f "op de k o p " ( p l a c e d o n e d g e ) w e r d e n a a n g e s t r o o m d . I n de p r o -b a -b i l i s t i s c h e -b e n a d e r i n g i s d i t t o t u i t d r u k k i n g g e -b r a c h t i n de v o r m f a c t o r .
2 7 -v o o r de -v o r m f a c t o r i s aangenomen: P ( K ) = P r ( K ^ K ) = ^0 v o o r K ^ 0,6827 , 0,353409377217 « - 0,482514553121 k K + 0,165632-69762 v o o r 0,6827 4 K <'2,3648 1 v o o r K ^ 2,3648
f i g u u r 5: B e n a d e r i n g v a n de k a n s v e r d e l i n g e n v a n de d i v e r s e s t o c h a s t e n
V e r t i c a a l : W a a r s c h i j n l i j k h e i d s s c h a a l v o l g e n s n o r m a l e v e r d e l i n g
2 9
-Monte C a r l o - s i m u l a t i e
Om de bezwijkkans van de drempel t e onderzoeken zouden v e l e proe-ven moeten worden gedaan (Wet van de grote a a n t a l l e n , z i e o.a.
[ 2 5 ] ) . Monte C a r l o - s i m u l a t i e ( z i e o.a. [151) i s een andere manier om i n f o r m a t i e te verkrijgen over de bezwijkkans mits de kansverdel i n g e n van de parameters d i e de bezwijkkans bepakansverdelen en de c o r r e kansverdel a -t i e s d a a r -t u s s e n , bekend zijn. Bij ongecorreleerde b a s i s v a r i a b e l e n b e s t a a t de methode u i t het s e l e c t e r e n van waarden van de parame-t e r s , r e k e n i n g houdend meparame-t hun k a n s v e r d e l i n g e n , en heparame-t berekenen van de waarde van de betrouwbaarheidsfunctie daarbij ( z i e o.a, [29] en [ 2 1 ] ) , Het percentage s i m u l a t i e s , waarbij de
betrouwbaarheids-f u n c t i e een waarde k l e i n e r dan O ( n u l ) aanneemt, i s dan de be-zwijkkans, mits het a a n t a l s i m u l a t i e s groot genoeg i s .
Schematisch kan een Monte C a r l o - s i m u l a t i e a l s volgt worden weer-gegeven ( z i e [15] ) :
Gegeven:
S t a t i s t i s c h e v e r d e l i n g e n van a l l e v a r i a b e l e n
K i e s w i l l e k e u r i g e waarden u i t e l k van deze v e r d e l i n g e n ^ Herhaal v e l e malen Bereken de betrouwbaarheidsfunctie z 9, 9,
Houd een t e l l i n g bij van het a a n t a l malen dat z < 0 wordt gesimuleerd
9,
R e s u l t a a t :
Het a a n t a l malen dat z < 0, a l s p e r c e n t a -ge van het t o t a a l a a n t a l s i m u l a t i e s , ofwel de BEZIJKKANS
Ben computerprogramma i n BASIC voor een Monte C a r l o - s i m u l a t i e van de d r e m p e l s t a b i l i t e i t i s opgenomen i n bijlage 6. Een stroom-diagram i s weergegeven i n f i g . 6.
Bi,j w i l l e k e u r i g e t r e k k i n g u i t de v e r d e l i n g e n i s h e t m o g e l i j k d a t e e n t a l u d h e l l i n g s h o e k « g e g e n e r e e r d w o r d t d i e g r o t e r i s d a n de g e g e n e r e e r d e h o e k v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g f. F y s i s c h i s d a t n i e t m o g e l i j k omdat d a n h e t t a l u d n i e t opgebouwd had k u n n e n w o r d e n . I n d i e n « )> ^ g e g e n e r e e r d w o r d t , g e n e r e e r t h e t p r o g r a m m a e e n n i e u w e w a a r d e v o o r cc. Het w i s k u n d i g m o d e l i s s l e c h t s g e l d i g v o o r oc { f ^ T/2 ( z i e f i g . 2 ) . Aan de v o o r w a a r d e <><.<. cp' w o r d t a u t o m a t i s c h v o l d a a n omd a t s t e e omd s e e n s t r o m i n g s k r a c h t F _> O w o r omd t g e g e n e r e e r omd . De n o r m a a l k r a c h t N d i e n t e e n d r u k k r a c h t t e z i j n . I n d i e n de s t r o m i n g s k r a c h t F > (G W) c o s CX , d a n z o u de n o r m a a l k r a c h t N e e n t r e k k r a c h t w o r d e n , h e t g e e n f y s i s c h n i e t reëel i s . I n d i e n N e e n t r e k -k r a c h t z o u z i j n , z o u cp'^ y^/Z r e s u l t e r e n . A l s h e t p r o g r a m m a e e n w a a r d e cp''y~^/2. g e n e r e e r t , w o r d t e e n g e h e e l n i e u w e v e r z a m e l i n g v a n b a s i s v a r i a b e l e n g e g e n e r e e r d . S c h a t t i n g v a n h e t a a n t a l s i m u l a t i e s , n o d i g v o o r e e n b e p a a l d e b e t r o u w b a a r h e i d De s c h a t t i n g v a n h e t b e n o d i g d e a a n t a l s i m u l a t i e s v o l g t u i t de G h e b y s h e r - o n g e l i j k h e i d ( z i e b . v . f 2 6 ] ) : w a a r i n : L = a a n t a l " s u c c e s s e n " ( h i e r : h e t a a n t a l m a l e n d a t z < O w o r d t g e s i m u l e e r d ) N = t o t a a l a a n t a l s i m u l a t i e s p = k a n s op b e z w i j k e n v a n de d r e m p e l = 1 - b e t r o u w b a a r h e i d ( V o o r e e n b e t r o u w b a a r h e i d v a n 95?^ i s t = ^ - 0,95 = 0,05) K w a d r a t e r e n v a n v g l . (18) l e v e r t : ( I 8 a ) De " r o l " v a n e n p i n d e z e f o r m u l e i s v e r w i s s e l b a a r , z o d a t e e n s c h a t t i n g v a n h e t b e n o d i g d e a a n t a l s i m u l a t i e s v o l g t u i t :
.31"
Se-.e
^efeken bij dtie ^(OM f/Xi)
lUr-Laa-i war oil* vor ioieief X;
yiaah Z in eer) kub^ramkkist
Tz'. fre-1
(.kltirssitjfjener^trdfxj
f j /.arftrtxnmdfanuUnk Ida4se^en4) S) Upper lmt>xJ(xlm¥Wtf lUtUifyrtn^J ()j /ertn-tuMtrskeyvl^cLCLO^n-^rOi -^n^U^ cUJ"^^»
•xU lU.[-l0a.2 fn
iryloje if
eet, hUh^ra*,,IUa4ie:
f i g u u r 6; S t r o o m d i a g r a m v o o r h e t programma STABMC ( S T A B i l i t e i t M o n t e C a r l o - s i m u l a t i e )
N > N ^ (19) S t e l , d a t h e t d e e l v a n de g e s i m u l e e r d e w a a r n e m i n g e n v a n z w a a r -v o o r z O n i e t meer d a n 3% mag a f w i j k e n -v a n de k a n s d a t z < O, d a n i s I - p = 0,05 w a a r u i t v o l g t (| - p ) = 0 , 0 0 2 5 . S t e l C = 0,05 (959^ b e t r o u w b a a r h e i d i n de u i t s p r a a k d a t de w e r k e -l i j k e b e z w i j k k a n s n i e t meer a f w i j k t d a n 3% v a n de b e r e k e n d e ) . B i j 10 s i m u l a t i e s w e r d g e v o n d e n : ^ = 0 , 5 , w a a r u i t v o l g t : N > O i 3 (1 - 0 , 5 ) ^ 2000 ^ ^ 0 , 0 5 K 0,0025 ~ Bij 100 s i m u l a t i e s w e r d g e v o n d e n : ~ = 0,82, w a a r u i t v o l g t : N ^ 0 , 8 2 (1 - 0,82) ^ ^ 0,05 K 0,0025 G e k o z e n i s v o o r 2500 s i m u l a t i e s . M e t e e n b e t r o u w b a a r h e i d v a n 95/^ k a n w o r d e n g e s t e l d d a t de k a n s o p b e z w i j k e n v a n de m o d e l d r e m p e l l i g t t u s s e n de 72,69 e n 80,27%. 4 . 2 . D i s c u s s i e v a n d e r e s u l t a t e n v a n _ d e _ M o n t e _ C a r l o - s i r a u l a t i e De b e l a n g r i j k s t e r e s u l t a t e n v a n e e n b e r e k e n i n g v a n 2500 s i m u l t a -t i e s z i j n w e e r g e g e v e n i n f i g . 7. 7.<0= 76.43 muZ=-.13B1996227S4 sigmaZ= .195717850976 Zmi n=-1.00388904203 Zma;<= .262300999521 Lower b o u n d = , - l . 0224 Upper b D u n d = .2628 DAGEN 4 SECONDEN 1763.265
I
•1 if(J-p-T J0O--• 4SO üf -ioo • . ff-. SO -• Jf •• I I I I I • • I • I r • I I I I I • I I I • T I I I • I I I ' éis f i g u u r 7 l R e s u l t a t e n v a n e e n M o n t e C a r l o - s i m u l a t i eBy 1912 v a n de 2500 s i m u l a t i e s v a n z w e r d e e n w a a r d e z <^ O b e r e -k e n d , o f w e l i n 76,48% v a n de s i m u l a t i e s w e r d b e r e k e n d d a t d e d r e m p e l z o u b e z w y k e n . Daar v o o r h e t b e r e k e n e n v a n de u i t t r e e f i l t e r s n e l h e i d w e r d u i t g e g a a n v a n i n p r o e v e n w a a r g e n o m e n d e b i e -t e n , w a a r b y de d r e m p e l i n d e r d a a d b e z w e e k , l y k -t e e n f a a l k a n s v a n 76,48% ( m e t 95% b e t r o u w b a a r h e i d l i g t de f a a l k a n s t u s s e n 72,69% en 80,27%) a a n de l a g e k a n t . De w e r k e i y k e f a a l k a n s z a l h o g e r z y n . H i e r v o o r z y n de v o l g e n d e a r -g u m e n t e n a a n t e v o e r e n : 1. E r i s u i t g e g a a n v a n e e n t w e e d i m e n s i o n a a l s t r o o m b e e l d . P e r s i m u l a t i e i s d e d r e m p e l d u s homogeen v e r o n d e r s t e l d . I n h e t f y s i s c h m o d e l z a l de d o o r l a t e n d h e i d v a n p l a a t s t o t p l a a t s v e r -s c h i l l e n d z y n g e w e e -s t ( a n d e r e p a k k i n g v a n de -s t e n e n , a n d e r e v o r m v a n de s t e n e n , e t c . z y n h i e r v a n d e o o r z a a k ) . H i e r d o o r z a l l o c a a l de u i t t r e e s n e l h e i d h o g e r z y n g e w e e s t d a n de g e m i d d e l d e u i t t r e e s n e l h e i d . 2. H o m o g e n i t e i t v a n de d r e m p e l i m p l i c e e r t p e r s i m u l a t i e e e n c o n -s t a n t e -s t e e n a f m e t i n g , v o r m e n w e e r -s t a n d -s f a c t o r v a n de -s t e n e n . I n h e t f y s i s c h m o d e l w a r e n e c h t e r " a l l e " s t e n e n a a n w e z i g , d u s w i s s e l d e h e t d r e m p e l m a t e r i a a l v a n p l a a t s t o t p l a a t s . Op g r o n d v a n 1. e n 2, mag w o r d e n v e r w a c h t , d a t e e n d r e m p e l n i e t o v e r d e v o l l e l e n g t e b e z w y k t . By de 20 u i t g e v o e r d e p r o e v e n kwam h e t s l e c h t s e e n m a a l v o o r , d a t a f s c h u i v i n g o p t r a d o v e r c a . 80% v a n d e g o o t b r e e d t e ( d r e m p e l l e n g t e ) . By de o v e r i g e p r o e v e n v a r i -e -e r d -e d-e l -e n g t -e v a n d-e a f s c h u i v i n g t u s s -e n d-e 20% -e n 50% v a n d-e g o o t b r e e d t e . S t e e d s e c h t e r t r a d a f s c h u i v i n g o p t e r p l a a t s e v a n de b e n e d e n w a t e r s t a n d . N.B. E r i s u i t g e g a a n v a n e e n l a m i n a i r e s t r o m i n g b y de b e p a l i n g v a n d e u i t t r e e f i l t e r s n e l h e i d . By de b e p a l i n g v a n de k a n s v e r d e -l i n g v a n de weerstandscoëfficiënt C i s e r r e e d s op gewezen, d a t t e r p l a a t s e v a n de b e n d e n w a t e r s t a n d , de s t r o m i n g z e k e r t u r b u l e n t z a l z y n . f 2 2 ] , [12] e n v e l e a n d e r e n g a v e n b e r e k e n i n g e n v o o r t u r b u l e n t e t w e e d i m e n s i o n a l e s t r o m i n g . Een u i t g e b r e i d l i t e r a t u u r o v e r -z i c h t h i e r v a n w e r d g e g e v e n d o o r H a n n o u r a e n B a r e n d s [15] •
Een v e r o n d e r s t e l l i n g v a n e e n v o l l e d i g t u r b u l e n t e s t r o m i n g d o o r e e n d r e m p e l i s e v e n o n j u i s t a l s d i e v a n e e n v o l l e d i g l a m i n a i r e s t r o m i n g . U i t f i g . 4 v a l t d i r e c t t e z i e n , d a t i n d e b u u r t v a n de bodem a a n de b o v e n s t r o o m s e zijde v a n de d r e m p e l de s t r o m i n g w a a r -s c h i j n l i j k l a m i n a i r z a l z y n . Sy de p r o e v e n -s e r i e -s I e n I I ( g e g e v e n -s v a n t a b e l I ) w e r d a a n de b e n e d e n s t r o o r a s e z y d e v a n d e d r e m p e l e e n boderaneer w a a r g e n o m e n . D i t d u i d t e r o p , d a t b i j de bodera a a n de u i t s t r o o m z i j d e de s n e l h e d e n i n d e z e g e v a l l e n e v e n e e n s k l e i n w o r -d e n . Een j u i s t e p r o c e d u r e w o r d t g e v o l g d i n d i e n v a n e e n d r e r a p e l m a t e r i -a -a l d o o r m e t i n g h e t v e r b -a n d t u s s e n h e t v e r h -a n g e n h e t d e b i e t d o o r h e t m a t e r i a a l w o r d t b e p a a l d . F i g . 8, o v e r g e n o m e n u i t f j ] g e e f t e e n m o g e l i j k v e r b a n d t u s s e n v e r h a n g e n f i l t e r s n e l h e i d . D i t v e r b a n d t u s s e n de f i l t e r s n e l h e i d e n h e t v e r h a n g z o u i n e e n s t r o o r a b a a n b e r e k e n i n g m o e t e n w o r d e n v e r w e r k t . Omdat de wijze v a n v e r w e r k i n g o n d u i d e l i j k i s ( e r i s d o o r h e t L a b o -r a t o -r i u m v o o -r G -r o n d m e c h a n i c a D e l f t e e n p o g i n g t o e g e d a a n i . v . -r a . m o s s e l a a n g r o e i i n de d r e m p e l v a n de O o s t e r s c h e l d e k e r i n g ) w e r d i n h e t k a d e r v a n d i t o n d e r z o e k h i e r v a n a f g e z i e n . I n f i g . 7 i s de r e k e n t y d , n o d i g v o o r 2500 s i m u l a t i e s v e r m e l d : 4 d a g e n e n c a . I76O s e c o n d e n . O p g e m e r k t moet w o r d e n , d a t v o o r d e z e b e r e k e n i n g e e n HP 85 m i c r o c o m p u t e r , g e p r o g r a m m e e r d i n BASIG w e r d g e b r u i k t . G r o t e r e c o m p u t e r s , a l s i n g e b r u i k b y h e t r e k e n -c e n t r u m v a n de TH D e l f t maken g e b r u i k v a n -c o m p i l e r s e n e e n a n d e r e c h i p - t e c h n i e k , w a a r d o o r ze- e e n f a c t o r 2000 s n e l l e r z y n . Op e e n d e r g e i y k r e k e n t u i g z o u de b e r e k e n i n g v a n 2500 s i m u l a t i e s i n de o r d e v a n v y f m i n u t e n r e k e n t y d v e r g e n . f i g u u r 8 I d e a l i z e d p o r o u s f l o w l a w .
55U i t h e t h i s t o g r a m en de e r d o o r h e e n g e t e k e n d e n o r m a l e k a n s d i c h t -h e i d s f u n c t i e b i y k t , d a t de v e r d e l i n g v a n z w a a r s c -h i j n l i j k " s c -h e e f n a a r r e c h t s " e n meer " g e p i e k t " i s d a n de n o r m a l e v e r d e l i n g . U i t de b e r e k e n d e h = - O, I 5 8 ... e n cr = 0,1957 ... ( z i e t a b e l l i n k s i n f i g . 7) v o l g t , i n d i e n e e n n o r m a l e . v e r d e l i n g v a n z w o r d t a a n g e h o u d e n , e e n f a a l k a n s ^ ( ^ ^ - ^ | | y ^ ) % 77,6%, h e t g e e n i e t s h o g e r i s d a n de u i t de s i m u l a t i e v o l g e n d e 76,48%.
MoReliike c o r r e l a t i e s t u s s e n de b a s i s v a r i a b e l e n
I n d i t r a p p o r t zijn i n de u i t w e r k i n g e n de b a s i s v a r i a b e l e n onge-c o r r e l e e r d v e r o n d e r s t e l d . Mogelijke onge-c o r r e l a t i e s zijn w e e r g e g e v e n i n t a b e l I I I w a a r i n met + i s a a n g e g e v e n a l s een v a r i a b e l e i n de l i n k e r k o l o m mogelijk wordt beïnvloed door de v a r i a b e l e i n de b o v e n s t e r i j . (N.B. E e n - w i l n i e t zeggen d a t een beïnvloeding ONmogelijk i s ) . 9 1^3 d £ G w K X
-
-
-
-
+ — + ^ s-
X-
-
-
-
-d-
-
X-
-
-
-
-oc +-
-
X-
+-
+-
-
+ + X + + + 6-
-
-
+ + X-
+ C w-
-
+-
+ + X + K-
-
-
— •
—
—
X t a b e l I I I : Mogelijke i n v l o e d e n v a n b a s i s v a r i a b e l e n op a n d e r e v a r i a b e l e n I n de v o l g e n d e p a r a g r a f e n wordt n a d e r i n g e g a a n op de c o r r e l a t i e s . I n v l o e d v a n de p o r o s i t e i t é en de v o r m f a c t o r K op de hoek v a n i n w e i j d i g e wrijv,ing .I n h e t w i s k u n d i g model wordt u i t g e g a a n v a n een b l o k d a t op e e n v l a k e e n z e k e r e w r i j v i n g s w e e r s t a n d o n d e r v i n d t ( z i e f i g . 2 ) . De s t a p e l i n g v a n de e l e m e n t e n ( e n dus de p o r o s i t e i t ) z a l i n v l o e d hebben op de g r o o t t e van h e t i n r e k e n i n g t e b r e n g e n c o n t a c t v l a k w a a r i n de s c h u i f s p a n n i n g wordt o v e r g e b r a c h t . D i t k a n d u i d e -l i j k worden gemaakt a -l s een -l o s s e b o -l s t a p e -l i n g wordt v e r g e -l e k e n met e e n d i c h t e b o l s t a p e l i n g ( z i e f i g . 9 ) . S c h u i f s p a n n i n g k a n worden o v e r g e d r a g e n door o n e f f e n h e d e n op de b o l o p p e r v l a k k e n
"37-t . p . v , r a a k p u n "37-t e n . f i g u u r 9; B o l s t a p e l i n g e n By de l o s s e b o l s t a p e l i n g r u s t een b o l i n e e n v l a k s l e c h t s i n één punt op e e n b o l i n h e t e r o n d e r g e l e g e n v l a k . S c h u i f s p a n " n i n g k a n s l e c h t s i n d i t r a a k p u n t worden o v e r g e b r a c h t . B i j e e n d i c h t e b o l s t a p e l i n g h e e f t e e n hoger g e l e g e n b o l (met m i d d e l -punt T ) c o n t a c t met d r i e e r o n d e r g e l e g e n b o l l e n ( n l . i n de pun-t e n A, B en G ) . I n p r i n c i p e k a n dan i n d i e d r i e r a a k p u n pun-t e n s c h u i f s p a n n i n g worden o v e r g e b r a c h t .
De r u w h e i d v a n de e l e m e n t e n ( o n e f f e n h e d e n op h e t o p p e r v l a k ) i s n i e t i n de p r o b a b i l i s t i s c h e b e n a d e r i n g opgenomen.
Ook de vorm v a n de e l e m e n t e n i s v a n i n v l o e d op de hoek v a n i n -wendige w r i j v i n g . Bij e l e m e n t e n met een a n d e r e v o r m f a c t o r K k a n de s c h u i f s p a n n i n g op e e n a n d e r e m a n i e r worden o v e r g e b r a c h t . Bij k u b u s s e n k a n s c h u i f s p a n n i n g worden o v e r g e b r a c h t i n een " p u n t o p -l e g g i n g " ( a -l s bij b o -l -l e n ) , v i a een " -l i j n o p -l e g g i n g " ( c o n t a c t -l a n g s een r i b b e ) o f v i a e e n o p p e r v l a k ( d e l e n v a n v l a k k e n v a n k u -b u s s e n ) ( z i e f i g . 1 0 ) ,
p u n t c o n t a c t I j j n c o n t a c t v l a k c o n t a c t f i g u u r 10: Mogelijke o v e r d r a c h t v a n s c h u i f s p a n n i n g bij k u b u s s e n
Voor e e n b e p a a l d m a t e r i a a l met e e n b e p a a l d e r u w h e i d en e e n b e p a a l de s t a p e l i n g k a n dus e e n hoek v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g worden b e -p a a l d . D a a r a l de b e -p a l e n d e f a c t o r e n s t o c h a s t i s c h e g r o o t h e d e n zijn w a a r v a n de i n v l o e d op de hoek v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g n i e t bekend i s , k a n f w e l worden beschouwd a l s e e n s t o c h a s t i s c h e g r o o t h e i d , maar de c o r r e l a t i e met de v o r m f a c t o r K en de s t a p e l i n g ( w a a r v a n de p o r o s i t e i t t e e n a f g e l e i d e g r o o t h e i d i s ) k a n n i e t t o t u i t d r u k -k i n g worden g e b r a c h t . 5.2. De i n v l o e d v a n de hoek v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g ^ , de p o r o s i t e i t £ en de v o r m f a c t o r K op d e _ t a l u d h e l l i n g s h o e k _ ( X De t a l u d h e l l i n g s h o e k ot w o r d t b e g r e n s d door de hoek v a n i n w e n d i g e w r i j v i n g f, I n de Monte C a r l o - s i m u l a t i e i s d i t t o t u i t d r u k k i n g g e b r a c h t door g e s i m u l e e r d e w a a r d e n v a n c'<>9f n i e t i n b e s c h o u w i n g t e nemen. V o o r z o v e r de p o r o s i t e i t £ en de v o r m f a c t o r K mede de hoek v a n i n -wendige w r i j v i n g b e p a l e n , z u l l e n z e ook v a n i n v l o e d zijn op de
t a l u d h e l l i n g s h o e k oc. Deze i n v l o e d i s i n de b e r e k e n i n g n i e t v e r -w e r k t .
