S e r ia : A U T O M A T Y K A z. 136 N r k o l. 15 5 6
P i o t r B O R O W I E C K I U n i w e r s y t e t Z ie lo n o g ó rs k i
EFEKTYWNOŚĆ ALGORYTMÓW KOLOROWANIA GRAFÓW W TRYBIE ON-LINE (II)
S t r e s z c z e n i e . Z p r a k ty c z n e g o p u n k t u w id z e n ia a n a l i z a n a jg o r s z e g o p r z y p a d k u o k a z u je s ię c z ę s to z b y t p e s y m is ty c z n a , n a t o m i a s t z a c h o w a n ie a lg o r y t m u d l a s p o t y k a n y c h w rz e c z y w is to ś c i d a n y c h j e s t n a jc z ę ś c ie j d u ż o le p s z e n iż d l a s to s u n k o w o n ie lic z n y c h i n s t a n c j i, d e c y d u ją c y c h o z le j e f e k ty w n o ś c i w n a jg o r s z y m p r z y p a d k u . W ś r ó d p a r a m e t r ó w p o z w a la ją c y c h n a o c e n ę o c z e k iw a n e g o z a c h o w a n ia a lg o r y t m u k o lo r o w a n ia w t r y b i e o n - lin e k o n c e n tr u je m y się n a p o d a tn o ś c i g r a f u . D e f in iu je m y o p e r a c ję z a c h o w u ją c ą p o d a t n o ś ć d l a a lg o r y t m u F i r s t - F i t . D l a t e g o s a m e g o a lg o r y t m u r o z s t r z y g a m y r ó w n ie ż p r o b l e m i s t n i e n i a g r a fó w o d o w o ln ie m a łe j p o d a tn o ś c i . D l a z n a n e j z w ie lu z a s to s o w a ń r o d z in y g r a fó w p r z e d z ia łó w p r e z e n to w a n e s ą w n io s k i p ł y n ą c e z e k s p e r y m e n ta l n e g o p o r ó w n a n i a e fe k ty w n o ś c i d w ó c h z n a n y c h a lg o r y t m ó w k o lo r o w a n ia o n - lin e .
EFFECTIVENESS OF ON-LINE GRAPH COLORING ALGORITHMS (II)
S u m m a r y . I t u s u a l ly h a p p e n s t h a t w o r s t c a s e a n a ly s is le a d s t o t h e r e s u l t s w h ic h a r e t o o p e s s i m is ti c ’ t o b e v a lu a b le in r e a l liv e a p p li c a t io n s . I n t h i s p a p e r w e in v e s t i g a t e a n e x p e c te d e ffe c tiv e n e s s o f o n - lin e g r a p h c o lo r in g a lg o r i t h m s , in p a r t i c u l a r t h e s u s c e p t i b i l i t y o f g r a p h s t o a lg o r i t h m F i r s t - F i t is a n a ly z e d . T h e o p e r a t i o n p r e s e r v i n g s u s c e p t ib i l ty is d e f in e d a n d a n e x is te n c e o f g r a p h s h a v in g a r b i t r a r i l y lo w s u s c e p t i b i l i t y t o F i r s t - F i t , is p ro v e d . F o r w e ll k n o w n a n d w id e ly a p p li c a b l e f a m ily o f i n te r v a l g r a p h s , t h e r e s u l ts o f c o m p a r a t i v e e x p e r i m e n t a l s t u d y o f e x p e c te d b e h a v i o r fo r tw o o n - lin e c o lo r in g a lg o r i t h m s a r e g iv e n .
1. Wprowadzenie
P r a c a t a j e s t k o n t y n u a c j ą p r o b l e m a t y k i p o r u s z o n e j w [2, 3] i d o ty c z y e f e k ty w n o ś c i a lg o r y t m ó w k o lo r o w a n ia w ie r z c h o łk ó w g ra fó w w t r y b i e o n -Iin e . W o b u p r a c a c h z a p r e z e n to w a n o w y n ik i d o ty c z ą c e z a r ó w n o o c e n y e fe k ty w n o ś c i p e s y m is ty c z n e j, j a k i o c z e k iw a n e j.
W n in ie js z e j p r a c y k o n c e n t r u je m y s ię g łó w n ie n a w p r o w a d z o n e j w [3] p o d a t n o ś c i g r a f u
12 P. Borowiecki
o r a z e k s p e r y m e n ta l n y m p o r ó w n a n i u e f e k ty w n o ś c i d w ó c h z n a n y c h a lg o r y tm ó w k o lo ro w a n i a o n - lin e , F i r s t - F i t i S c a t t e r e d C o l o r i n g . R o z w a ż a n e w te j p r a c y g r a f y s ą s k o ń c z o n e i n ie z a w i e r a j ą p ę tl i a n i w ie lo k r o tn y c h k r a w ę d z i. D l a d a n e g o g r a f u G = { V , E ) p r z e z V { G ) o z n a c z a m y z b ió r w ie rz c h o łk ó w , n a t o m i a s t E ( G ) o z n a c z a z b ió r k r a w ę d z i g r a f u G , p r z y c z y m r z ę d e m g r a fu G n a z y w a m y lic z b ę n r ó w n ą |K ( G ) |. Z łą c z e n ie m G \ + G2 g r a fó w G i i G 2 j e s t g r a f H = (V , E ) t a k i , ż e V ( H ) = V { G { ) U V ( G 2), E ( H ) = E ( Gi ) U E { G 2) U {u v : u G V ( G i ) , v e V ( G 2) } . P r o b l e m k o lo r o w a n ia w ie rz c h o łk ó w g r a f u p o le g a n a p r z y p is a n i u k a ż d e m u w ie rz c h o łk o w i v 6 V ( G ) ta k ie g o k o lo r u c ( u ) , a b y d o w o ln e d w a s ą s ie d n ie w ie r z c h o łk i m ia ły ró ż n e k o lo ry , a lic z b a u ż y ty c h k o lo ró w b y ł a j a k n a jm n i e j s z a . P o k o lo r o w a n ie w ie r z c h o łk ó w g r a f u p r z y u ż y c iu k k o lo ró w n a z y w a m y je g o k -p o k o lo r o w a n ie m , a n a j m n i e j s z ą lic z b ę k , d l a k tó r e j is t n ie j e ¿ - p o k o lo r o w a n ie g r a f u G , n a z y w a m y lic z b ą c h r o m a t y c z n ą i o z n a c z a m y x ( G ) .
W o d r ó ż n ie n iu o d s z e ro k o o p is y w a n e g o w l it e r a t u r z e k o lo r o w a n ia o ff-lin e ( p a t r z n p . [5, 7 j) p o d c z a s k o lo r o w a n ia w t r y b i e o n -lin e s t r u k t u r a k o lo ro w a n e g o g r a f u n ie j e s t z n a n a z g ó ry , a k o le jn e w ie rz c h o łk i g r a f u p r e z e n to w a n e s ą n a w e jś c iu a lg o r y t m u k o lo r u ją c e g o w n ie z a le ż n y m o d a lg o r y t m u p o r z ą d k u 7r = {v\,v2,,.. ,vn). W m o m e n c ie p r e z e n ta c ji w ie r z c h o łk a V{ u j a w n ia n y j e s t t a k ż e z b ió r k r a w ę d z i E { C E ( G ) , łą c z ą c y c h V{ z w y b r a n y m i s p o ś r ó d z a p r e z e n to w a n y c h w c z e ś n ie j w ie r z c h o łk ó w ( l ą , . . . , P r z e z h fy fy i) o z n a c z a m y z b ió r w ie rz c h o łk ó w , k t ó r e s ą s ą s i a d a m i w ie r z c h o łk a Vi i p o p r z e d z a j ą go w 7T, n a t o m i a s t C w(u j) j e s t z b io r e m r ó ż n y c h k o lo ró w p r z y p is a n y c h w ie r z c h o łk o m z e z b io r u N „ ( u j) . W r a m a c h t e j p r a c y p r z y jm u je m y , ż e p r a w d o p o d o b ie ń s tw o w y s tą p i e n i a k a ż d e j p e r m u t a c j i z b io r u V ( G ) j e s t je d n a k o w e . K o lo r o w a n ie g r a fu G w t r y b i e o n - lin e m o ż n a i n t e r p r e to w a ć j a k o g r ę d w ó c h p r z e c iw n ik ó w n a z y w a n y c h p r e z e n t e r e m i m a la r z e m . P r e z e n t e r o d s ł a n ia k o le jn o w ie rz c h o łk i g r a f u w r a z ż o d p o w ie d n im i k r a w ę d z ia m i. M a l a r z n a d a j e k o lo r y p r e z e n to w a n y m p r z e z p r e z e n t e r a w ie rz c h o łk o m . C e le m m a l a r z a j e s t u ż y c ie j a k n a j m n ie js z e j lic z b y k o lo ró w , n a t o m i a s t p r e z e n te r , p r z e c iw s t a w ia j ą c s ię t e m u , s z u k a ta k ie g o u p o r z ą d k o w a n i a w ie rz c h o łk ó w , k t ó r e z m u s i m a l a r z a d o u ż y c ia j a k n a jw ię k s z e j lic z b y k o lo ró w . M a l a r z w y g r y w a g rę , je ż e li d o p o k o lo r o w a n ia c a łe g o g r a f u u ż y je x ( G ) k o lo ró w . J e ż e li u ż y je ic h w ię c e j, p r z e g r y w a . J e d n y m z n a jb a r d z i e j z n a n y c h a lg o r y t m ó w k o lo ro w a n i a o n - l in e j e s t z a c h ła n n y a lg o r y t m F i r s t - F i t (w s k r ó c ie F F ), k t ó r y r e a liz u je s t r a t e g i ę z a c h ła n n ą , p r z y p o r z ą d k o w u j ą c k a ż d e m u w ie rz c h o łk o w i m o ż liw ie n a jm n i e j s z y k o lo r.
L ic z b ę k o lo ró w u ż y ty c h p r z e z A d o p o k o lo r o w a n ia g r a f u G p r z y z a d a n e j p e r m u t a c j i 7r o z n a c z a m y p r z e z A (G ,7 r). N a jw ię k s z ą lic z b ę k o lo ró w u ż y ty c h p r z e z a lg o r y t m A d o p o k o lo r o w a n ia g r a f u G , w ś r ó d w s z y s tk ic h m o ż liw y c h p e r m u t a c j i R ( G ) , o z n a c z a m y X a ( G ) i n a z y w a m y lic z b ą o n - li n e c h r o m a t y c z n ą g r a fu G d la a lg o r y t m u A. B a r d z ie j f o r m a ln ie :
Xa( G ) = m a x „ A ( G , 7 r )
L ic z b a X a ( G ) m ó w i o z a c h o w a n iu a lg o r y t m u A w n a jg o r s z y m p r z y p a d k u . P r z y z a ło ż e n iu , ż e w y s tą p i e n i e k a ż d e j p r e z e n ta c ji o n - lin e g r a f u G j e s t j e d n a k o w o p r a w d o p o d o b n e , m i a r ą o c z e k iw a n e g o z a c h o w a n ia a lg o r y t m u A j e s t p r z e c ię t n a lic z b a c h r o m a t y c z n a g r a fu G d la a lg o r y t m u A ( a n g . m e a n c h r o m a ti c n u m b e r ) , k t ó r a z d e f in io w a n a j e s t ja k o :
xK G ) = ^ £ a(G,7t),
g d z ie s u m o w a n ie o d b y w a s ię p o w s z y s tk ic h p e r m u t a c j a c h z b io r u V { G ) . N ie c h n s ( G , A) o z n a c z a lic z b ę p e r m u t a c j i z b io r u V ( G ) , k t ó r e p o w o d u ją , ż e a lg o r y t m A d a j e o p t y m a l n e p o k o lo r o w a n ie g r a f u G , t z n . A ( G ,7r) = x ( G ) - P r z e z n j ( G , A) = n ! — n s ( G , A) o z n a c z a m y lic z b ę p e r m u t a c j i p r o w a d z ą c y c h d o p o k o lo r o w a ń n ie o p ty m a ln y c h . W s p ó łc z y n n ik p A( G ) n a z y w a m y p o d a t n o ś c ią g r a fu G d la a lg o r y t m u A i d e f in iu je m y n a s t ę p u j ą c o :
i n f { G , A) n s (G , A) Pa( G ) = 1 - 7 = “ j---
71! 71!
2 .
Eksperymentalne porównanie efektywności algorytmów see
i FFZ p r a k ty c z n e g o p u n k t u w id z e n ia p e s y m is ty c z n a o c e n a a lg o r y t m u j e s t z w y k le n i e w y s t a r c z a j ą c a . Z n a n e s ą p r z y k ła d y a lg o r y tm ó w ś w ie tn ie s p is u ją c y c h się w p r a k ty c e p o m im o ’’n e g a t y w n e j ” o c e n y p e s y m is ty c z n e j. P o d o b n i e d l a a lg o r y tm ó w k o lo r o w a n ia o n lin e r o d z i się n a t u r a l n e p y t a n i e o ic h r z e c z y w is tą ( o b s e r w o w a ln ą w p r a k ty c e ) e f e k ty w n o ś ć . D la te g o o c e n ie e k s p e r y m e n ta l n e j , p r z e p r o w a d z o n e j d l a z n a n e j z s z e ro k ic h z a s to s o w a ń r o d z in y g r a f ó w p r z e d z ia łó w ( a n g . i n te r v a l g r a p h s ) , p o d d a n e z o s t a ł y d w a n a jp o p u l a r n i e js z e a lg o r y t m y k o lo r o w a n ia o n - lin e - a lg o r y t m FF i d e d y k o w a n y d l a g r a fó w p r z e d z ia łó w a l
g o r y t m SCC ( a n g . S c a t t e r e d C o lo r in g ) [8]. R o d z i n a g r a fó w p r z e d z ia łó w t o g r a f y G = (V, E) o te j w ła s n o ś c i, ż e d l a k a ż d e g o z n ic h i s tn ie je z b ió r J = { /(w ) : v € R ( G ) }
14 P. Borowiecki
p r z e d z ia łó w n a o s i r z e c z y w is te j ta k ic h , ż e d l a d w ó c h r ó ż n y c h p r z e d z ia łó w I ( v j ) z a c h o d z i I ( v i ) C \ I ( v j )7^ 0 V{Vj € E ( G ) . Z b ió r J n a z y w a m y r e p r e z e n t a c ją p r z e d z ia ło w ą g r a f u G . A lg o r y t m SCC g w a r a n t u j e u z y s k a n ie r o z w ią z a ń , d l a k t ó r y c h
X scc(G ) < 3 y ( G ) — 2 (1)
P o n ie w a ż w p r a c y [6] u d o w o d n io n o , ż e o g r a n ic z e n ia (1 ) n ie m o ż n a j u ż p o p r a w ić , w ię c w s e n s ie n a jg o r s z e g o p r z y p a d k u a lg o r y t m t e n j e s t n a jl e p s z y w ś r ó d w s z y s tk ic h a lg o r y tm ó w k o lo r o w a n ia g r a fó w p r z e d z ia łó w w t r y b i e o n - lin e . P r z y p o m n ijm y , ż e d l a a lg o r y t m u F F w [9] p o d a n o n a s t ę p u j ą c e d o ln e o s z a c o w a n ie :
X f f ( G ) > 4 . 4 5 * ( G ) (2)
2 .1 . A l g o r t m SCC
A l g o r y t m SCC p r z y p o r z ą d k o w u je k a ż d y w ie r z c h o łe k Vi d o p e w n e g o p o d z b io r u W SC V ( G ) n a z y w a n e g o g ru p ą . W e w n ą tr z g r u p y W s w ie r z c h o łe k p r z y p is y w a n y j e s t d o j e d n e g o z p o z io m ó w P p ę W 5. P r z y d z ia ł d o p o z io m u o d b y w a się z g o d n ie z a lg o r y t m e m FF, n a t o m i a s t o p r z y d z ia le d o g r u p y W s d e c y d u je lic z b a k lik o w a w p o d g r a f u in d u k o w a n e g o p r z e z U j= o W jU {u,-}. K o lo r p r z y p is a n y k a ż d e m u w ie rz c h o łk o w i j e s t w ię c p a r ą ( s , p ) .
A l g o r y t m [ SCC - S c a t t e r e d C o l o r i n g ] BEGIN
IN IT IA L IZ E (W j := 0, V { G ) := 0, E { G ) := 0);
REPEAT READ ( v i , E i ) ; V ( G ) := V (G )U { « i} ; E [ G ) := E { G ) \ J E n s := 0;
WHILE w (G [(U |= o lK j)U {vi}]) > s + 1 DO s := s + 1;
U i.g ru p a := s;
V i.p o z io m := F i r s t - F i t ( G [ W s],U i);
W s := W s U{vi};
UNTIL koniec c ią g u w ierzchołków ; END.
W p r a c y [8] a lg o r y t m SCC z a p is a n o d l a d a n y c h w e jś c io w y c h b ę d ą c y c h c ią g ie m p r z e d z ia łó w . W e r s j a p r e z e n to w a n a w te j p r a c y s f o r m u ło w a n a j e s t d l a g r a f u p r z e d z ia łó w , p r z y c z y m w a r t o z a u w a ż y ć , ż e lic z b ę k lik o w ą uj g r a f u p r z e d z ia łó w m o ż n a w y z n a c z y ć w c z a s ie lin io w y m .
2 .2 . W y n i k i e k s p e r y m e n t u
N a p o d s t a w i e w y n ik ó w e k s p e r y m e n tu m o ż n a s tw ie r d z ić , ż e p o m im o p r z e z n a c z e n ia a lg o r y t m u SCC d l a g r a fó w p r z e d z ia łó w w p r a k t y c e s p is u je się o n d l a n ic h g o rz e j n iż d z i a ł a j ą c y d l a w s z y s tk ic h g r a fó w a lg o r y t m FF. B a d a n i a p r z e p r o w a d z o n o d l a d w ó c h ty p ó w in s t a n c j i. W p ie r w s z y m e k s p e r y m e n c ie k a ż d y w y g e n e r o w a n y lo so w o g r a f p r z e d z ia łó w p o k o lo r o w a n y z o s t a ł a lg o r y t m a m i FF i SCC, d l a w s z y s tk ic h m o ż liw y c h p e r m u t a c j i w ie r z c h o łk ó w . P o z w o liło t o n a d o k ła d n e w y z n a c z e n ie p r z e c ię tn e j lic z b y c h r o m a ty c z n e j i p o d a t n o ś c i k a ż e g o z b a d a n y c h g ra fó w . Z e w z g lę d u n a d u ż ą lic z b ę p e r m u t a c j i w ie r z c h o łk ó w e k s p e r y m e n t m o ż n a b y ło p r z e p r o w a d z ić j e d y n i e d l a g r a fó w o n is k im rz ę d z ie . W ś r ó d p r z e b a d a n y c h w e k s p e r y m e n c ie lo s o w y c h p r ó b , p o 4 0 g r a fó w o n = 5,6 , . . . , 10 w ie r z c h o łk a c h , n ie n a p o t k a n o ta k i c h , d l a k t ó r y c h p r z e c ię t n a lic z b a c h r o m a ty c z n a d l a a lg o r y t m u SCC b y ł a b y m n ie j s z a n iż d l a FF. W d r u g i m e k s p e r y m e n c ie a lg o r y t m y p o r ó w n a n o w w a r u n k a c h b a r d z ie j z b liż o n y c h d o rz e c z y w is ty c h a p lik a c ji. K a ż d y w y g e n e r o w a n y lo so w o g r a f p o k o lo r o w a n o ty lk o d l a je d n e g o , lo so w e g o u p o r z ą d k o w a n i a w ie rz c h o łk ó w . D z ię k i t a k w y g e n e r o w a n y m i n s t a n c j o m m o ż n a b y ło z a o b s e rw o w a ć ró ż n ic e w d z ia ł a n i u o b u a lg o r y t m ó w ró w n ie ż d l a g r a fó w o w ię k s z e j lic z b ie w ie rz c h o łk ó w . P r z e b a d a n o i n s t a n c j e , d l a k t ó r y c h g r a f y m ia ły n — 1 0 , 2 0 , . . . , 1 0 0 w ie r z c h o łk ó w ( p o 2 0 t y s d l a k a ż e g o n ) . D la n = 10 a lg o r y t m FF z w y c ię ż y ł (u ż y ł m n ie j k o lo ró w n iż SCC) d l a o k . 9 % i n s t a n c j i i t y le s a m o k o lo ró w c o SCC d l a p o z o s ta ły c h 9 1 % . J e d n a k d l a n = 2 0 , z a n o to w a n o j u ż o k . 3 6 % z w y c ię s tw FF i o k . 6 4 % r e m is ó w . D l a n — 4 0 a lg o r y t m FF w y g r y w a d l a o k . 8 8 % i n s t a n c j i , r e m is u je d l a o k .1 2 % i p r z e g r y w a w j e d n y m p r z y p a d k u . P r z y n — 100 z w y c ię s tw a FF s t a j ą s ię n ie m a l r e g u łą - p o n a d 9 9 % . P e w n y m w y tłu m a c z e n ie m p r z e w a g i a l g o r y t m u FF j e s t f a k t, ż e g r a f y s k o n s tr u o w a n e w c e lu w y k a z a n ia d o ln e g o o g r a n ic z e n ia (2 ) s ą g r a f a m i o w y s o k im r z ę d z ie i m a j ą b a r d z o s p e c y fic z n ą s t r u k t u r ę . B io r ą c p o d u w a g ę f a k t, ż e u ż y c ie m a k s y m a ln e j lic z b y k o lo ró w b ę d z ie n ie z b ę d n e ty lk o d l a n ie w ie lk ie j lic z b y p e r m u t a c j i z b io r u w ie r z c h o łk ó w w id a ć , ż e p r a w d o p o d o b ie ń s tw o lo so w e g o w y g e n e r o w a
16 P. Borowiecki
n i a t a k i e j i n s t a n c j i j e s t b a r d z o n ie w ie lk ie . D o b r a p r z e c ię t n a e f e k ty w n o ś ć FF z n a j d u j e p o tw i e r d z e n i e w w y n ik a c h z a p r e z e n to w a n y c h w [3]. R e z u l t a t y t e s t a n o w i ą z p e w n o ś c ią i s t o t n ą m o ty w a c ję d o p o s z u k iw a n ia k o le jn y c h a lg o r y tm ó w d l a g ra fó w p r z e d z ia łó w o r a z d o d a ls z e g o b a d a n i a w ła s n o ś c i a lg o r y tm u FF.
3. Podatność grafów
N ie c h G n , k — ( G : |R ( G ) | = n , x { G ) = k} i n ie c h b ę d z ie g r a f e m r e a liz u ją c y m n a jm n i e j s z ą p o d a t n o ś ć d l a FF w r o d z in ie Gn,k■ W p r a c y [3], w k tó r e j w p r o w a d z o n o p o ję c ie p o d a tn o ś c i , p o d a n e z o s ta ły o g ó ln e d o ln e o s z a c o w a n ia te g o p a r a m e t r u o r a z g r a f y o n a j m n ie js z y c h p o d a tn o ś c i a c h d l a a lg o r y t m u FF ( n a jm n ie js z y c h w ś ró d g ra fó w o o k r e ś lo n e j lic z b ie w ie r z c h o łk ó w ) . B y ły to g r a fy G e,3>G7.3, G s ,4i £9,3- W t a b l i c y 3 p r e z e n tu j e m y p o s z e r z o n e z e s ta w ie n ie w a r to ś c i n a jm n ie js z y c h p o d a tn o ś c i d l a a lg o r y t m u FF, o s ią g a n y c h d l a w s z y s tk ic h g r a fó w z r o d z in G „ :k , n = 6 , . . . , 9. D a ls z e r o z s z e r z e n ie z e s ta w ie n ia p o d a n e g o w t a b l i c y 3 w y m a g a w y g e n e r o w a n ia d l a p e w n e g o n k a ta lo g u w s z y s tk ic h g ra fó w n ie iz o m o r - fic z n y c h i p o k o lo r o w a n ia k a ż d e g o z n ic h d l a w s z y s tk ic h n ! p e r m u t a c j i z b io r u w ie rz c h o łk ó w . P r z y k ła d o w o , d l a g ra fó w 1 0 -w ie rz c h o łk o w y c h n a le ż a ło b y w y k o n a ć o k . 4 .2 5 -1 0 13 k o lo r o w a ń .
T a b l i c a 1 N a jm n ie js z e p o d a tn o ś c i g ra fó w d l a a lg o r y t m u FF
X (G ) n = 6 n = 7 71 = 8 71 — 9
2 0 .5 0 0 0 0 .4 2 5 0 0 .3 1 7 7 0 .2 6 6 3
3 0 .4 0 8 3 0 .3 0 9 9 0 .2 0 3 1 0 .1 0 9 2
4 0 .7 5 0 0 0 .4 0 8 3 0 .2 0 1 7 0 .1 2 9 8
5 1.0000 0 .7 5 0 0 0 .4 0 8 3 0 .2 0 1 7 6 1.0000 1.0000 0 .7 5 0 0 0 .4 0 8 3
7 - 1.0000 1.0000 0 .7 5 0 0
8 - - 1.0000 1.0000
9 - - - 1.0000
N a s z c z e g ó ln ą u w a g ę z a s łu g u je w y r ó ż n i a j ą c a się p o d a t n o ś ć g r a fó w 2 - c h r o m a ty c z n y c h o r a z r o d z in y g r a fó w o je d n a k o w y c h p o d a tn o ś c i a c h , n p . P — { G g ^ , G j ^ , G 8,5, G 9ig}.
D o k ł a d n a a n a l i z a s t r u k t u r y g r a fó w z r o d z in y P p o z w a la z a u w a ż y ć , ż e G g $ = G a,5 + K \ , G8,5 = G7,4 + K i i G7,4 = G6,3 + K \ . O b s e r w a c ja t a s k ł a n ia d o p o s t a w i e n i a h ip o te z y , że o p e r a c j a z łą c z e n ia g r a f u G z g r a f e m p e łn y m K n d a j e w w y n ik u g r a f o p o d a tn o ś c i ró w n e j P f f ( G ) ( z a u w a ż m y , ż e w s p o m n i a n a w c z e śn ie j r o d z in a g ra fó w p r z e d z ia łó w j e s t d o m k n ię t a z e w z g lę d u n a o p e r a c ję z łą c z e n ia z g r a fe m p e łn y m ) . A b y r o z s tr z y g n ą ć t ę h ip o te z ę u d o w o d n im y n a s t ę p u j ą c y l e m a t.
L e m a t 1 . J e ż e l i G j e s t d o w o ln y m g r a fe m i H j e s t g r a fe m o t r z y m a n y m p r z e z z łą c z e n ie G z K \ , to p h( H ) = ppF( G ).
D o w ó d . N ie c h V { G ) = { tą , v2, . . . , u „ } i V { K i ) — {z:} o r a z n ie c h c * (u ) o z n a c z a k o lo r p r z y p is a n y w ie rz c h o łk o w i v p r z e z a lg o r y t m FF w p e r m u t a c j i 7r. U d o w o d n im y , że n s ( H , FF ) = (n + 1) • n s ( G ,F F ) . D la k a ż d e j p e r m u t a c j i n = ( t ą , t ą , . . •, v „ ) z b io r u w ie r z c h o łk ó w g r a f u G p r z e a n a l i z u j e m y w s z y s tk ie o t r z y m a n e z n ie j p e r m u t a c j e 7r; = ( v i , v2, . . . , V i , x , V i + i , . . . , v „ ) z b io r u V ( H ) . N a le ż y z a u w a ż y ć , że w s z y s tk ie p e r m u t a c j e z b io r u ( n + l ) - e le m e n to w e g o m o ż n a o t r z y m a ć z p e r m u t a c j i z b io r u n - e le m e n to w e g o w p o w y ż s z y s p o s ó b . J e ż e li w p e r m u t a c j i 7r g r a f G p o k o lo r o w a n y z o s t a ł k k o lo r a m i, to k o lo r u ją c g r a f H w p e r m u t a c j i 7r0 = ( x , t ą , t ą , . . . , v „ ), a lg o r y t m FF u ż y je k + 1 k o lo ró w , p r z y p is u ją c w ie rz c h o łk o w i x k o lo r 1, a w s z y s tk im p o z o s ta ły m w ie rz c h o łk o m , z e w z g lę d u n a s ą s ie d z tw o z x, k o lo ry c * (u ;) + 1. Z a u w a ż m y r ó w n ie ż , ż e d l a k a ż d e j p e r m u t a c j i 7Tj = ( t ą , u2, . . . , t ą, x , t ą + i , . . . , v n), 0 < i < n , w ie rz c h o łk i c ią g u D ni = { v i , . . . , tą } o t r z y m a j ą t e s a m e k o lo r y c o p o d c z a s k o lo r o w a n ia g r a f u G w p e r m u t a c j i tr, n a t o m i a s t w ie r z c h o łe k x o t r z y m a k o lo r t + 1, g d z ie t — m a K j ^ c ^ t J j ) } . P o z o s t a je p r z e a n a liz o w a n ie k o lo r o w a n ia w ie r z c h o łk ó w t ą +1 , . . . , v n . N ie c h B „ b ę d ą c ią g a m i z d e fin io w a n y m i n a s t ę p u j ą c o :
K = (tą : c v (t>j) < t , j > i + 1 ), B n = ( v j : c * ( tą ) > t , j > i + 1)
P r z y p a d e k 1. N ie c h tą+1 € A „ . P o n ie w a ż w ie rz c h o łe k tą+1 o t r z y m a ł w 7r k o lo r s , to w ie m y , ż e s ^ C ,r(t;;+ i ) , a p o n ie w a ż N ^ t ą + i ) = N^(v,-+ i) U { x } i x o t r z y m a ł k o lo r t + 1, w ię c o c z y w iś c ie w z b io r z e N ff(tti+ i) d a le j b r a k u je w ie r z c h o łk a w k o lo rz e s i a lg o r y t m FF p r z y p is z e tą + i t e n s a m k o lo r. W e ź m y t e r a z d o w o ln y w ie rz c h o łe k v ' z c ią g u A w i z a łó ż m y , że w s z y s tk im w ie r z c h o łk o m z c ią g u p o p r z e d z a j ą c y m v ', a lg o r y t m FF n a d a l w 7ą te
P. Borowiecki
s a m e k o lo r y c o w tt. B ę d z ie m y m o g li i n d u k c y jn ie s tw ie r d z ić , ż e v ' o t r z y m a t e n s a m k o lo r w o b u p e r m u t a c j a c h , je ż e li w y k a ż e m y , ż e k a ż d y w ie rz c h o łe k u 6 B - , p o p r z e d z a j ą c y v ', o t r z y m a ł w 7r; k o lo r c*£( k ) = c * ( u ) + 1.
N ie c h z a t e m Vj b ę d z ie p ie r w s z y m w ie r z c h o łk ie m c ią g u B „ . W ia d o m o , ż e C n {v j) = i + 1.
P o n ie w a ż k o lo r y w ie rz c h o łk ó w V i , . . . , V i , i n a p o d s t a w i e p o c z y n io n e g o w y ż e j z a ło ż e n ia w s z y s tk ic h p o p r z e d z a j ą c y c h V j z e z b io r u A w n ie u le g ły w 7rt- z m ia n ie , w ię c { c : 1 < c <
i} C C P o n a d t o x m a k o lo r t + 1 i j e s t s ą s ia d e m V j, z a t e m FF p r z y p is z e V j k o lo r t + 2. W e ź m y z a t e m w ie r z c h o łe k v " £ B,r o k o lo rz e c T(t>") = r b e z p o ś r e d n io p o p r z e d z a j ą c y v ' i z a łó ż m y , ż e w s z y s tk ie w ie rz c h o łk i c ią g u B „ , p o p r z e d z a j ą c e v " , o t r z y m a ł y w 7T; k o lo r o je d e n w ię k s z y n iż w 7r. W id z im y , ż e C T£ (v" ) z a w ie r a w s z y s tk ie k o lo r y t + 2 , . . . , r . P o n a d t o z p o p r z e d n ie g o z a ło ż e n ia ( d la A „ ) i p o k o lo r o w a n ia w ie rz c h o łk ó w z b io r u D lri w y n ik a , że C ^ ( u " ) z a w ie r a t a k ż e k o lo r y 1 , c o w p o łą c z e n iu z k o lo r e m t + 1 p r z y p is a n y m w ie rz c h o łk o w i x d a j e k o lo r y 1 , . . . , r . S t ą d i n d u k c y jn ie w n io s k u je m y , ż e a lg o r y t m FF w p e r m u t a c j i 7r* p r z y p is z e w ie rz c h o łk o w i v " k o lo r r + 1 .
P r z y p a d e k 2 . J e ż e li «¿+1 € B x , t o d o w ó d p r z e b ie g a a n a lo g ic z n ie d o p r z y p a d k u 1.
Z a t e m , je ż e li g r a f G w p e r m u t a c j i tt p o k o lo r o w a n y z o s ta ł k k o lo r a m i, t o d o p o k o lo r o w a n ia g r a f u H w k a ż d e j p e r m u t a c j i 7Tj, o tr z y m a n e j z 7r, n ie z b ę d n e j e s t k + 1 k o lo ró w . O s t a t e c z n ie , p o n ie w a ż x { H ) = x { G ) + 1, w ię c k a ż d a p e r m u t a c j a n i s p o ś r ó d n + 1 p e r m u t a c j i o tr z y m a n y c h z p e r m u t a c j i 7r p r o w a d z i d o o p ty m a ln e g o p o k o lo r o w a n ia H w t e d y i ty lk o w te d y , g d y 7r p r o w a d z i d o o p ty m a ln e g o p o k o lo r o w a n ia g r a fu G . ■
P o w y ż s z y l e m a t p o z w a la n a u d o w o d n ie n ie n a s tę p u j ą c e g o tw ie r d z e n ia .
T w i e r d z e n i e 1 . D la k a ż d e g o g r a fu G i n > 1 z a c h o d z i Pt t( G + K n ) = p ^ { G ) .
D o w ó d . J e ż e li n = 1, t o tw ie r d z e n ie j e s t p r a w d z iw e n a p o d s t a w i e l e m a tu 1. Z a łó ż m y , ż e p n { G + K n-1) = P f f ( G ) - P o n ie w a ż K n - K n- i + K u w ię c k o r z y s t a j ą c z l e m a t u 1 i z a ło ż e n ia i n d u k c y jn e g o o t r z y m u j e m y P t f { G + K n ) = p FF( ( G + K n- i ) + K \ ) = P f f ( G +
K n- i ) — P ? ? { G ) . ■
W n i o s e k 1 . D la k a ż d e g o g r a fu G is t n ie je n ie s k o ń c z e n ie w ie le g r a fó w G i , i = 1 , 2 , . . . ta k ic h , ż e P n { G i ) = p r7 ( G ) .
M o ż n a w s k a z a ć z w ią z e k p o m ię d z y p o d a t n o ś c i ą g r a f u G d l a a lg o r y t m u k o lo r o w a n ia o n - lin e A o r a z lic z b a m i x { { G ) , X a ( G ) i x ( G ) . Z a le ż n o ś ć
X 1 ( G ) < X* (G ) - P * ( G ) ( X* (G ) - x ( G ) ) (3)
o t r z y m u j e m y w y c h o d z ą c z d e fin ic ji p r z e c ię tn e j lic z b y c h r o m a ty c z n e j.
D z ię k i p o w y ż s z e j n ie r ó w n o ś c i o r a z t w ie r d z e n iu p o d a n e m u w p r a c y [1], m o ż n a r o z s t r z y g n ą ć p r o b le m i s t n i e n i a g ra fó w o d o w o ln ie m a łe j p o d a tn o ś c i d l a a lg o r y t m u FF.
M ó w i o t y m n a s t ę p u j ą c e tw ie r d z e n ie .
T w i e r d z e n i e 2 . D la k a ż d e g o e > 0 is t n ie je g r a f G ta k i, ż e j> ff(G ) < e.
D o w ó d . N ie c h C2* b ę d z ie c y k le m o p a r z y s t e j d łu g o ś c i n = 2 k , k — 1 , 2 , P o n ie w a ż x ( C a ) = 2 i X f f( C 2k) = 3, w ię c z (3 ) m a m y
P r r {C 2 k ) < 3 — X ff(G 2k)
Z [1] w ie m y , ż e p r z y k d ą ż ą c y m d o n ie s k o ń c z o n o ś c i 3 — X f f ( G2a) ~ 2 / a 2k, g d z ie a j e s t d o d a t n i m r z e c z y w is ty m r o z w ią z a n ie m r ó w n a n i a coshz; = z s in h a : i w p r z y b liż e n iu w y n o s i 1 .9 9 6 8 . D l a k a ż d e g o e > 0 i s tn ie je k t a k i e , ż e 2 / a 2k < e. •
S t o s u j ą c r e k u r e n c y jn i e o p e r a c ję z łą c z e n ia g r a f u G z g r a fe m K1, o t r z y m u je m y ( ( . . . ( G +
K\)+I<i)+.. ■JrKx),
c z y li k o le jn e g r a fy o te j s a m e j p o d a tn o ś c i d l a FF, lec z o c o r a z w ię k sz e j g ę s to ś c i d ( G ) , g d z ie d ( G) = | £ ( C ? ) | / ^ V^ ) . W y n ik a s t ą d n a s t ę p u j ą c y w n io s e k .W n i o s e k 2 . D la k a ż d e g o e > 0 i r 6 ( 0 ,1 ) i s t n ie je g r a f G ta k i, ż e p ^ ( G ) < e i d { G ) > r .
P o d a n e t w i e r d z e n i a p o z w a l a ją n a w y c ią g n ię c ie i s t o tn y c h w n io s k ó w d o ty c z ą c y c h p r o j e k t o w a n i a a lg o r y t m ó w p r z y d z ia łu z a s o b ó w , w y k o r z y s tu ją c y c h k o lo ro w a n ie w ie rz c h o łk ó w g r a fu k o n f lik tó w a lg o r y t m e m FF. J e ż e li g r a f G j e s t tw o r z o n y m n a b ie ż ą c o g r a fe m k o n f lik tó w z a s o b o w y c h , k o lo r o w a n y m w t r y b i e o n - lin e , to d l a a lg o r y t m u FF p r a w d o p o d o b i e ń s tw o o t r z y m a n i a o p ty m a ln e g o r o z w ią z a n ia m o ż e b y ć b a r d z o m a łe , n a w e t w t e d y , g d y g ę s to ś ć g r a f u k o n f lik tó w j e s t z b liż o n a d o g ę s to ś c i g r a fu p e łn e g o ( p r z y p o m n ijm y , że P n ( K n ) = 1 )- Z d r u g ie j s tr o n y , p o t r a f i m y p o d a ć g r a f y o m a łe j g ę s to ś c i ( n p . c y k le ) i d o w o l
n ie m a łe j p o d a tn o ś c i . S t ą d w n io s e k , że m e t o d y w s tę p n e g o p r z e t w a r z a n ia ż ą d a ń p r z y d z i a ł u
2Q. P. Borowiecki
z a s o b ó w w t r y b i e o n - lin e ( n p . o d r z u c a n ie w y b r a n y c h ż ą d a ń , r e p lik a c ja p e w n y c h z a s o b ó w ) , w k t ó r y c h j e d y n y m k r y t e r i u m j e s t m in i m a l i z a c j a lic z b y w y s tę p u ją c y c h k o n f lik tó w (lic z b y k r a w ę d z i) , m o g ą b y ć n ie e fe k ty w n e .
L I T E R A T U R A
1. A n t h o n y M ., B ig g s N .: T h e m e a n c h r o m a ti c n u m b e r o f p a t h s a n d c y c le s , D is c r e te M a t h . 1 2 0 (1 9 9 3 ) s. 2 2 7 -2 3 1 .
2 . B o ro w ie c k i P .: K o lo r o w a n ie g ra fó w w t r y b i e o n - lin e , Z e s z y ty N a u k o w e P o l i t. S I., s e r. A u t o m a t y k a , z. 123, G liw ic e , 1 9 9 8 , s. 6 5 - 7 5 .
3. B o ro w ie c k i P .: E f e k ty w n o ś ć a lg o r y tm ó w k o lo r o w a n ia g ra fó w w t r y b i e o n - lin e , Z e s z y ty N a u k o w e P o l i t. Ś l., s e r. A u t o m a t y k a , z. 1 3 1 , G liw ic e 2 0 0 0 , s. 1 2 -2 3 . 4. D ie s te l R .: G r a p h T h e o r y , S p r in g e r - V e rla g , 1997.
5. J e n s e n T .R . , T o f t B .: G r a p h C o lo r in g P r o b le m s , W ile y - I n te r s c ie n c e S e r ie s in D is c r e t e M a t h e m a t i c s a n d O p t i m i z a t i o n , W ile y , 1995.
6. K i e r s t e a d H .A ., T r o t t e r W .T .: A n e x tr e m a l p r o b l e m in r e c u r s iv e c o m b in a to r ic s , C o n g r e s s u s N u m e r a n t iu m 3 3 (1 9 8 1 ) s. 1 4 3 -1 5 3 .
7. K u b a l e M .: P r o b l e m k o lo r o w a n ia w ie rz c h o łk ó w g ra fó w . P r z e g lą d a lg o r y t m ó w i z a s to s o w a ń , Z e s z y ty N a u k o w e P o l i t. Ś l., s e r. A u t o m a t y k a , z. 1 1 4 , G liw ic e 1 9 9 4 , s. 1 8 7 -1 9 8 .
8. Ś lu s a r e k M .: A c o lo r in g a lg o r i t h m fo r i n te r v a l g r a p h s , M a t h e m a t i c a l F o u n d a t io n s o f C o m p u t e r S c ie n c e ’89 , L N C S 3 7 9 , S p r in g e r , 1 9 8 9 , s. 4 7 1 - 4 8 0 .
9. Ś lu s a r e k M .: A L o w e r B o u n d fo r t h e F i r s t - F i t C o lo r in g o f I n t e r v a l G r a p h s , Z e s z y ty N a u k o w e U n i w e r s y t e t u J a g ie llo ń s k ie g o , P r a c e I n f o r m a ty c z n e z. 5, K r a k ó w 1 9 9 3 , s. 2 5 - 3 2 .
R e c e n z e n t: P r o f . d r h a b : in z . J e r z y K l a m k a
Abstract
A n o n - lin e a lg o r i t h m r e c e iv e s a s e q u e n c e o f r e q u e s t s a n d i m m e d ia t e l y s e r v ic e s e a c h r e q u e s t b e f o r e t h e n e x t o n e is c o n s id e r e d . I t is a s s u m e d t h a t t h e s e q u e n c e is n o t k n o w n in a d v a n c e . W o r s t c a s e a n a ly s is o f o n - lin e g r a p h c o lo r in g a lg o r i t h m s is u s u a lly b a s e d o n
” b a d ” s e q u e n c e s . H o w e v e r, in m a n y r e a l- lif e a p p li c a t io n s , w o r s t c a s e a n a ly s is le a d s t o t h e r e s u l ts w h ic h a r e t o o p e s s i m is ti c t o b e v a lu a b le . I n t h i s p a p e r w e i n v e s ti g a te a n e x p e c te d b e h a v i o r o f g r a p h c o lo r in g a lg o r i t h m s u n d e r a s s u m p t io n t h a t e a c h s e q u e n c e is e q u a lly lik ely . I n p a r t i c u l a r , t h e s u s c e p t ib i l it y o f g r a p h s t o a lg o r i t h m F i r s t - F i t is a n a ly z e d . W e d e fin e t h e o p e r a t i o n p r e s e r v i n g s u s c e p t ib i l ty a n d p r o v e t h e e x is te n c e o f g r a p h s h a v in g a r b i t r a r i l y lo w s u s c e p t ib i l it y t o a lg o r i t h m F i r s t - F i t . T h e e x p e r i m e n t a l c o m p a r a t i v e s t u d y r e s u l t s o f e x p e c te d b e h a v i o r o f a lg o r i t m s F i r s t - F i t a n d S c a t t e r e d C o l o r i n g fo r in te r v a l g r a p h s a r e g iv e n , to o .
