P io tr B O R O W IE C K I. E lż b ie ta S ID O R O W IC Z U n iw e rsy tet Zielonogórski
E FEK TY W NO ŚĆ ALGORYTM ÓW D Y NAM ICZNEG O KOLORO
W ANIA G RAFÓ W - ZASTOSOW ANIA W SIECIACH O PTYCZ
N Y C H W D M
Streszczenie.
W p ra c y tej fo rm u łu jem y p ro b le m dynam iczn ego kolorow an ia grafów , an a liz u je m y efektyw ność alg o ry tm u zach łan n eg o F i r s t - F i t (w skrócie FF) oraz w skazujem y n a jego zastosow anie w p ro blem ie p rz y d ziału długości fali w sieciach o p ty czn y ch W D M . W szczególności p o d a je m y dolne i górne oszacow ania d o b ro c i a lg o ry tm u FF. W sk azu jem y istn ie n ie klas g ra fów G, d la k tó ry c h ró ż n ic a p o m ięd zy w a rto ścią ro zw iązan ia generow anego p rzez a lg o ry tm FF(G ) a w a rto ścią o p ty m a ln ą OPT(G) m oże być dow olnie d u ża. Z drugiej stro n y dow odzim y, że d la dow olnego g ra fu G używ anego przez n as w p ro b lem ie p rz y d z ia łu długości fali zaw sze zacho dzi FF(G ) < 20PT(G).
EFFEC TIV EN ESS OF D Y N A M IC G R A PH COLORING ALGO
RITHM S - A PPLIC A TIO N S TO W D M O PTICAL NETW O RK S Summary.
W ith in th is p a p e r we in tro d u c e a p ro b lem of d y n am ic g ra p h coloring a n d an aly ze effectiveness of g reed y a lg o rith m F i r s t - F i t (FF for sh o rt). W e p o in t o u t a n im p o rta n t ap p lic a tio n of a new m odel to w avelength a ssig n m en t p ro b lem in W D M netw orks. In p a rtic u la r, we give low er an d u p p e r b o u n d s on th e p e rfo rm an c e ra tio of FF. W e prove t h a t for som e classes of g ra p h s G, th e difference b etw een th e so lu tio n value FF(G) an d o p tim u m value OPT(G) m ay b e a r b itra rily large. O n th e o th e r h a n d , for all graph s, t h a t we u sed in th e w av elen g th assig n m en t p ro b le m FF(G ) < 20PT(G) holds.1. W prowadzenie
W p ra c y te j fo rm u łu jem y i an a lizu jem y now y p ro b lem - p rob lem d y n a m icznego kolorow ania grafów . R o zw ażan ia p row adzim y d la grafów p ro stych , czyli grafów nie zaw ierający ch p ę tli oraz w ielokrotnych kraw ędzi. D la grafu G = (V, E ) przez V (G ) ozn aczam y z b ió r w ierzchołków , n a to m ia s t E (G ) je s t zbiorem kraw ę
dzi. R zędem grafu G je s t liczb a ca łk o w ita n ró w na \ V (G')|. K olorow anie w ierzchoł
ków grafu w k lasycznym sform u ło w an iu po leg a n a p rz y p isa n iu każdem u w ierzchol-
136 P. B orow iecki, E. Sidorowicz
kowi v koloru c(v) ta k , ab y dow olne dw a sąsied n ie w ierzchołki m iały różn e kolory.
P okolorow anie g rafu p rz y u ży c iu k kolorów, nazyw ane jego k-pokolorow aniem , je s t p o d z ia łe m (Vj, 14 , • ■ •, 1 4 ) zb io ru w ierzchołków n a k po dzb io ró w niezależnych (klas kolorów ). P ro b le m k olorow ania w ierzchołków g ra fu je s t p ro b lem em w yzna
czenia tak ieg o p o d z ia łu , d la k tórego liczb a klas kolorów je s t n ajm n iejsza. Liczbę tę o znaczam y x (G ) i n az y w am y liczbą chrom atyczną grafu G.
W o d ró ż n ie n iu o d tra d y c y jn e g o try b u kolorow ania, w k tó ry m s tr u k tu r a g ra fu je s t d a n a z góry, a kolejność p rz y p isy w an ia kolorów je s t dow olna, w tr)'b ie d y n am icz n y m a lg o ry tm nie m a w pływ u n a tę kolejność, a p ew n e frag m en ty grafu m ogą być u jaw n ian e alg o ry tm o w i d o p iero w tra k c ie kolorow ania. P o d cza s ujaw n ia n ia nowego w ierzch o łk a Vi u jaw n ian y je s t rów nież p o d zb ió r kraw ędzi łączących V{ z n ie k tó ry m i sp o śró d za p rezen to w an y ch wcześniej w ierzchołków v \ , . . . P re z e n ta c ja s tr u k tu r y g ra fu p rz eb ieg a ja k p o d cz as kolorow ania w try b ie on-line, je d n a k o d y n am ice o p ró cz z m ia n w iedzy o grafie stan o w i rów nież n ietrw a ło ść ko
lorów. P o d o b n ie ja k w tr y b ie on-line alg o rjd m nie m a u p ra w n ień do zm ian y ra z p rz y p isan eg o koloru, m oże je d n a k s ta n ą ć w obec ż ą d a n ia ponow nego pokolorow a
n ia w ierzchołka, k tó ry z p ew n y ch pow odów u tra c ił kolor. D yn am iczn e kolorowa
nie g ra fu m o żn a in te rp re to w a ć jak o dw uosobow ą grę prezen tera i m alarza. R uchy graczy w ykonyw ane s ą n a p rz em ian . W k ażdym ru c h u p re z e n te r m oże w yw abić kolory dow olnych w ierzchołków , ujaw nić nowe w ierzchołki w raz z in cy d en tn y m i kraw ędziam i, a n a stę p n ie m usi z a żąd a ć od m a la rz a pokolorow ania w skazanego w ierzchołka. W odp o w ied zi m alarz n a d a je kolor « 'skazanem u w ierzchołkow i. Ce
lem m a la rz a je s t użycie ja k n ajm n iejszej liczby kolorów, p o d cz as gdy p re z e n te r s ta r a się, ab y b y ło ich ja k n ajw ięcej. O zakończeniu g ry dec}'duje p re zen ter. M a
larz w ygryw a, jeżeli u ży je n ie więcej niż y (G ) kolorowe
D la w ielu problem ów ' w y stęp u jąc y ch w' rzeczyw isty ch aplik acjach nie m o żn a p rzy jąć, że c a ła in s ta n c ja p ro b le m u d a n a je s t z góry, co w ięcej, p ra k ty c z n ą p rz y d atn o ść algorytm ów ' o g ra n ic z a rów nież założenie o trw a ło śc i ra z w ygenerow anego rozw iązania. P o trz e b a tw o rz e n ia dynam iczn y ch algo ry tm ó w je s t więc ca łk ie m n a
tu r a ln ą konsekw encją d y n a m ik i m odelow anych procesowe P rz y k ła d jed n eg o z b a r
dzo w ielu m ożliw ych za sto so w ań koloro w ania d ynam iczn ego p o d a je m y w o statn iej części tej pracy.
2. Problem dynam icznego kolorowania
N iech o = (<7i , . . . , o v ) b ęd zie ciągiem ruchów' p re z e n te ra , n a to m ia s t Gj g rafem ujaw n io n y m p o i ru c h a c h p re zen tera. K a ż d y ru c h Oj op isany je s t czw ńrką
( ' V °, V j , E i , Vi), gdzie V ° je s t zbiorem wierzchołków' do w yw abienia, Vj je s t zbiorem
now ych w ierzchołków , E j p o d z b io re m w szystkich kraw ędzi u v ta k ic h , że u E V j , v E K (G r,_ i) U Vj, n a to m ia s t Vj je st w ierzchołkiem , w yty p o w an y m do pokolorow a
nia. T ra k tu ją c ru c h y p re z e n te ra jak o żą d a n ia w'obec m alarza, k tó ry je o bsługuje, pro b lem dynam iczn eg o k olorow ania g rafu m ożem y zap isać n astęp u jąco :
P r o b l e m [ D y n a m i c z n e k o lo r o w a n ie g r a f u ]
Żądanie : a i — (V°, V{, Ei, vf), wywabić kolory wierzchołków V°
oraz pokolorować wierzchołek y .
Obsługa : wywabienie kolorów wierzchołków zbioru
V°oraz pokolorowanie y .
Cel : minimalizacja liczby użytych kolorów.
Należy zauważyć, że kolorowanie dynamiczne jest uogólnieniem kolorowania w trybie on-łine. Jeżeli w każdym ruchu
V°= 0 i = { y } , to kolorujemy w trybie on-line, a ciąg ruchów prezentera jest jednoznacznie opisany przez permutację zbioru wierzchołków. Dla podkreślenia różnic pomiędzy kolorowaniem w trybie on-line a kolorowaniem dynamicznym rozważmy przykład dotyczący ścieżek.
P r z y k ł a d
1. Niech dany będzie następujący ciąg ruchów prezentera:
a
= ((0, {u2}, 0,
v2),(0, {u3},
{vovs},v3), ({u2}, { y }, { y v2}, y ) , (0,0,0, w2)). Pod
czas kolorowania grafu przez malarza stosującego zasadę przypisywania możli
wie najmniejszego koloru wierzchołki otrz}unają kolejno:
c(v2) = 1, c(v3) =
2, c (y )
—1 oraz
c[v2)= 3. Zaprezentowany graf jest trójwierzchołkową ścieżką P3.
Kolorowanie tego grafu tym samym algorytmem lecz w trybie on-line zawsze pro
wadzi do optymalnego pokolorowania dwoma kolorami. Wiadomo jednak, że już dla ścieżki P
4każdy algorytm on-line można zmusić do użycia trzech kolorów. ■ W dalszej części pracy podajemy i analizujemy zachłanny algorytm kolo
rowania dynamicznego. Ze względu na ścisły związek obu kolorowań, w analizie kolorowania dynamicznego korzystamy również z oszacowań parametrów zdefinio
wanych dla trybu on-line. Najważniejszy z nich jest odpowiednik klasycznej liczby chromatycznej -
liczba on-line chromatyczna grafu G dla algorytmuA,którą ozna
czamy xa(ć?) i definiujemy jako największą liczbę kolorów użytych przez algorytm
Ado pokolorowania grafu
G.Bardziej formalnie, jeżeli
A(G, n)oznacza liczbę ko
lorów użytych przez algorytm on-line
Aprzetwarzający wierzchołki w kolejności zadanej przez permutację
7r,to
X k { G ) = m a x x A ( G ,7 t ) ,
przy czym maksimum dotyczy wszystkich możliwych permutacji
ir.Analogicznie definiujemy
dynamiczną liczbę chromatyczną grafu G dla algorytmuA,z tą różnicą, że maksimum brane jest po wszystkich możliwych ciągach ruchówr prezentera.
xt(G ) =
maxCT A(G,a).Ponieważ
tcopisuje szczególny ciąg ruchów
a,wuęc pomiędzy zdefiniowanymi licz
bami zachodzi następujący związek:
X(G) « |, ( G ) < X
a(G). (1) Mówimy, że algorytm kolorowania dynamicznego
Ajest
efektywnydla rodziny grafów
G,jeżeli istnieje funkcja
f ( x )taka, że dla każdego
G€
Gi dowolne
go ciągu ruchów prezentera liczba kolorów' użytych przez
Awynosi co najwyżej
138 P. Borow iecki, E. Sidorowicz
f ( x ( G ) ) . Jak ość rozw iązań generow anych przez a lg o ry tm y kolo ro w an ia o ceniam y m iędzy innym i n a p o d sta w ie w spółczynnika r ^ G ) — A (G )/y (G ) nazyw anego do
brocią algorym u A dla grafu G , p rz y czym w zależności od tr y b u kolorow ania A(G) = x t { G ) alb o A(G) = Xa(G) oraz n a p o d staw ie fim k c ji dobroci Pk(ti): N —»
R algorytm u A zdefiniow anej jak o Pk(n) = m ax r h (G ), gdzie m ak sim u m b ra n e je s t p o w szystk ich nieizom orficznych g rafach o n w ierzchołkach. Jeżeli te n sam a lg o ry tm je s t stosow any w obu try b a c h kolorow ania, to w celu w y ró ż n ien ia tr y b u d ynam icznego w oznaczeniach d o d a je m y indeks d, odpow iednio r f ( G ) i p i( n ) .
3. Algorytm zachłanny
Jed n y m z n a jb a rd z ie j zn anych algorytm ów kolorow ania je s t a lg o ry tm za
chłanny F i r s t - F i t , w skrócie FF. A lg o ry tm te n p o m im o liniowej funkcji dob ro ci zw ykle d obrze sp ra w d za się w p ra k ty c e zarów no w try b ie off-line ja k i on-line [1, 3]. S tanow i on rów nież p o d staw ę d z ia ła n ia w ielu innch algorytm ów . P o d a je m y tu w ersję p rz ezn a czo n ą do dynam icznego kolorow ania grafów.
ALGORYTM F i r s t - F i t ; BEGIN
V ( G ) <— 0; E { G ) <— 0; i <- 0;
REPEAT
i *— i + 1 ;
O d c z y ta n ie ( V ° , Ei , vt) ;
IF V ° 7^ 0 THEN W y w a b ie n ie _ k o lo ró w ( V ° ) ; V { G ) <— V ( G ) U V{;
E ( G ) * - E ( G ) U E i;
Vj.kolor <— N a jm n ie j s z y _ d o p u s z c z a ln y _ k o lo r ( v j ) ; UNTIL k o n ie c <j;
END.
3.1. O szacow anie liczby Xff d la dowolnych grafów
A lg o ry tm FF zastosow any do kolorow ania dynam iczneg o p o d leg a p o d o b nym ograniczeniom ja k p o d cz as kolorow ania w try b ie off-line oraz on-line. N a p rz y k ła d , d la dow olnego w ierzchołka v , kolor p rz y p isa n y m u p rzez alg o ry tm FF nigdy nie b ędzie w iększy niż d e g (t’) + 1. Im p lik u je to n a stę p u ją c e oszacowanie:
x U G ) < a + 1, (2)
gdzie A oznacza s to p ie ń grafu G. P o n a d to , bio rąc p o d uw agę ( 1), m ożem y zapisać n astę p u ją c e tw ierdzenie:
Twierdzenie 1.
Jeżeli G j e s t dow olnym grafem p r o sty m takim , żeX
ff(G)
= A + 1, to X f f ( G ) = X f f ( G ) .P rz y k ła d a m i grafów , o k tó ry ch m ow a w ty m tw ierd zen iu , są g rafy p e łn e K n , ścieżki P n o co n a jm n ie j czterech w ierzchołkach, cykle Cn , n ^ 4 oraz g rafy Jo h n so n a i zdefiniow ane w [2] d rzew a kanoniczne. D o kładn iejsze om ów ienie osza
cow ań liczby Xf f(ć? ) d la poszczególnych ro d z in grafów z n a jd u je się np. w p ra c a c h
[1, 2],
3.2. O szacow anie liczby Xff d la drzew
Szczególną ro lę w an a liz ie kolorow ania dynam iczn eg o z a jm u ją drzew a w y
m uszające, k tó ry c h k o n stru k c ja je s t zb liżo n a d o k o n stru k cji w spo m niany ch drzew kanonicznych. P ie rw szy m i trz e m a d rzew am i w y m u sza ją cy m i są odpo w ied nio g ra fy K \ , K2 i P3, p rz y czym korzeniem trzecieg o d rzew a je s t środkow y w ierzchołek.
K olejne drzew a T y , k > 3 o trzy m u jem y b iorąc dw ie w ierzchołkow o ro złączn e kopie d rzew T y - 1, n a z y w ając je odpow iednio p ra w ą i lew ą kopią, a n a stę p n ie łącząc ich korzenie kraw ędzią. Z a korzeń drzew a Ty p rz y jm u jem y k orzeń lewej kopii. S to su ją c o d p o w ied n ią s tra te g ię d la drzew a w y m u szająceg o T^, m o żn a zm usić a lg o ry tm
FF do użycia k kolorów . Mówi o ty m n a s tę p u ją c y lem at:
Lemat 1.
JeżeliT
'y j e s t drzew em w ym u sza ją cym , to X ff (<~'0 > k.Dowód. D la k = 1 ,2 u zasad n ien ie je s t łatw e. S tra te g ię d la k = 3 zn a jd u je m y w p rz y k ła d zie 1. P rz y założeniu, że le m a t je s t p raw d ziw y d la k — 1, p re z e n te r m a s tra te g ię z m u sz a ją c ą FF do p rz y p isa n ia korzeniow i d rzew a T y - \ koloru k — 1.
N iech x b ędzie korzeniem lewej kopii p o d d rz e w a T y - \ , a y korzeniem praw ej kopii.
S to su ją c w sp o m n ian ą s tra te g ię kolejno d la lewej a n a stę p n ie praw ej kopii o trz y m ujem y kolor k — l w w ierzchołku x oraz pon iew aż x i y są p o łączo n e k raw ędzią,
kolor k w w ierzcho łk u y. □
P oniew aż liczb a c h ro m a ty czn a każdego d rzew a w ynosi 2, więc ró ż n ic a X ff(T ) — x ( T ) m oże być dowolnie duża, a d o b ro ć a lg o ry tm u FF w ogólnym p rz y p a d k u nie m oże być o g ra n ic zo n a przez s t a łą (w p u n k cie 4., w k ontekście p rz y d z ia łu kan ałów w sieci W D M p o d a m y p rz y k ła d ro d z in y grafów , d la k tó rej d o b ro ć algo
ry tm u FF je s t o g ra n ic zo n a przez 2). Z p o d a n e j k o n stru k cji drzew w y m u sza ją cy ch w ynika rów nież, że lic z b a w ierzchołków d rzew a w ym uszającego Ty d la k > 3 je s t ró w n a 3 • 2fc~ 3. M o żn a więc zapisać n a s tę p u ją c e tw ierd zen ie:
Twierdzenie 2.
Dla każdego naturalnego n > 2 istn ie je takie drzew o T o n w ierzchołkach, że X ff(^p) ^ l°&2n + c ? gdzie c — 3 — log23.Pow yższe ro z w aża n ia p ro w ad zą do dolnego oszacow ania d la funkcji d o b ro ci alg o ry tm u FF. M ianow icie
A ( » ) > k | i + i ( 3 - l o g 2 3)
alb o krócej Ppp(n) = D (lo g n ).
140 P. B orow iecki, E. Sidorow icz
4 . P r z y d z i a ł d ł u g o ś c i f a li w s ie c i W D M
P o stę p w techn o lo g ii w y tw a rz a n ia laserów u m o żliw ił w y k o rz y stan ie jed n eg o w łó k n a św iatło w o d u do rów noczesnego p rz e sy ła n ia w ielu stru m ie n i d an ych tr a n s m itow anych n iezależnie n a różnych d łu g o ściach fal św ietln ych . Technika, t a n azy w a n a je s t zw ie lo kro tn ie n iem fa lo w y m , w skrócie W D M (ang. W avelength D ivisio n M ultiplexing). U proszczonym m od elem sieci ty p u W D M je s t g ra f sieci, k tó reg o w ierzchołki o d p o w ia d a ją w ęzłom sieci, a kraw ędzie rep rezen tu ją, dw ukierunkow e łącza. D o tra n sm isji d anych pom ięd zy dw om a w ęzłam i s i t w y ko rzysty w an e są łącz a o d p o w iad a ją ce kraw ędziom ścieżki p = (vs , . . . , v f ) w ytyczonej w grafie sieci p o m ięd zy w ierzchołkam i vs i vt p o d cz as inicjow ania sesji k om unikacyjnej. Z ak ła
dam y, że w ęzły sieci nie m a ją m ożliw ości konw ersji d ługości fali, z a te m łą c z a przy p o rząd k o w an e sesji m u szą j ą o bsłużyć k o rz y sta ją c z jed n ej długości fali. P ro blem p rz y d z ia łu długości fali poleg a n a p rz y p isa n iu każdej sesji jed n ej długości fali ta k , ab y sesje w konflikcie, tzn . w y k o rz y stu ją ce p rz y n a jm n ie j je d n o w spólne łącze, o trz y m a ły różne długości fal, p rz y czym liczb a w y k o rzy stan y ch długości fal p o w in n a być ja k n ajm n iejsza. G rafem kon fliktó w zbioru sesji n azy w am y graf, w k tó ry m każdem u w ierzchołkow i o d p o w ia d a je d n a sesja, n a to m ia s t dw a różne w ierzchołki s ą sąsied nie w te d y i ty lk o w tedy, gdy o d p o w ia d a ją c e im sesje s ą w konflikcie (jest to g ra f przecięć kraw ędzi ścieżek w ytyczo ny ch w grafie sieci G ).
W p rz y p a d k u g d y zbiór ścieżek zaw iera w szystkie m ożliw e ró ż n e ścieżki g ra fu sie
ci, to g ra f te n n a zy w a m y grafem ko n fliktó w dla sieci G (p a trz rys. 1). P ro b le m p rz y d z ia łu długości fali m ożna rozw iązać k olorując w ierzchołki g rafu konfliktów sesji. W ro zw ażany m przez n a s m od elu d y n am iczn y m w yw abianie kolorów pozw a
la n a sy m u lację zak o ńczenia sesji, p o d cz as g d y żą d an ie p okolorow ania kolejnego w ierzchołka inicjuje now ą sesję. P rez en to w an e t u re z u lta ty d o ty c z ą p rz y p a d k u , w k tó ry m w dowolnej chw ili p o m ięd zy p a r ą węzłów u sta n o w io n a jest, co n ajw yżej je d n a sesja k om unikacyjna.
Ul
S 6
S5 S2
S3 S4
Sl
R ys. 1. G ra f konfliktów i sesje d la sieci Pą
T w i e r d z e n i e 3 . Jeżeli Gy j e s t n -w ie rzc h o łk o w y m grafem ko n fliktó w dla sieci Py, k > 2, to X ff(C a:) = n ■
Dowód. Ze w zględu n a d u ż ą złożoność i o b jęto ść form alnego dow odu p rz e d sta w ia m y je d y n ie s tra te g ię p re z e n te ra d la n = 6 (ozn aczen ia zgodnie z rys. 1). U w ażny C z y te ln ik b ęd zie w s ta n ie rozszerzyć j ą n a p o z o sta łe p rz y p ad k i. R e la c ja p rzeb eg u g ry w y g ląd a n astęp u ją co : kolejno p re z e n tu j i koloruj w ierzchołki v \ ,V i, vq, V3, w y w ab kolor w ierzchołka V4 oraz zap rez en tu j i pokoloruj v$, pokoloruj ponow nie V4, w yw ab kolor w ierzch ołka tą oraz zap rez en tu j i pokoloruj V2, pokoloruj w ierzchołek Ul. W ierzchołkow i tą p rz y p isa n y z o s ta ł kolor 6 . □
O kazuje się je d n a k , że naw et w tedy, g d y alg o ry tm FF p rzy p isze każdej sesji różn y kolor, to liczb a u ży ty ch kolorów nie p rzek ro czy d w u k ro tn ej w a rto ści roz
w ią z a n ia o ptym alnego. Mówi o ty m kolejne tw ierdzenie.
Tw ierdzenie 4.
Jeżeli G y je s t grafem ko n fliktó w dla sieci Py, k > 2, toń i i P k ) = 2 - T E L 2
Dowód. Z tw ie rd z e n ia 3 w iadom o, że X ff(G y) ró w n a je s t liczbie różnych ście
żek w grafie Py, k tó ra w ynosi k ( k — l ) / 2 . P a m ię ta ją c , że ro zw ażan e t u g ra
fy konfliktów sieci są grafam i przecięć przedziałów , k tó ry ch liczb a chro m aty cz
n a ró w n a je s t liczbie klikowej, m o żn a zauw ażyć, ja k rozszerzenie grafu sieci z Pi. do Ph+ 1 w p ły w a n a ich liczbę ch ro m aty czn ą. O trz y m u je m y X ÍG2) — 1 i x { G k ) = x ( G k- 1) + \(k - l ) / 2] d la k > 2 . S tą d x {Gk ) = ¿ f =2 |fy - l ) / 2] . W a rto ść su m y ob liczam y niezależnie dla p arzy sty ch i n iep arzy sty ch w arto ści k, o trz y m u ją c odpow iednio k 2/ 4 i (k2 — l ) / 4 . D a je to r FF(G/c) = 2 ^ - , d la k p a rz y sty ch oraz rpF(Gfl) = 2 dl a niep arzy sty ch . S postrzeżenie, że obie w arto ści są rów ne d la n iep arzy steg o k i n astęp u ją ceg o p o nim p arzy steg o k + 1, prow adzi do
p o sta c i w y ra ż e n ia u ży tej w tezie tw ierd zen ia. □
W n i o s e k 1. A lg o ry tm kolorow ania dynam icznego FF je s t alg orytm em efektyw n y m dla grafów ko n fliktó w sieci o stru k tu rze ścieżki.
Z pow yższego tw ierd z en ia w ynika rów nież gó rn e oszacow aniem d la liczby Xf f w p o d ro d z im e grafów przedziałów , k tó rą tw o rz ą grafy konfliktów d la sieci o s tru k tu rz e ścieżki. N ajlep sze obecnie oszacow anie górne d la dow olnych grafów p rzed ziałó w p o d a n o w [4] i w ynosi ono Xf f( G ) < 10x(CO> je d n a k n a p o d staw ie tw ierd z en ia 4 i nierów ności 1 m o żn a stw ierdzić, że Xf f( G /t) < ^ x ( G y ) .
L IT E R A T U R A
1. B orow iecki P.: K olorow anie w try b ie on-line. W : M. K u b a le re d ., O p ty m a lizacja d y sk re tn a . M odele i m e to d y kolorow ania grafów, W N T , W arszaw a 2002, s. 53-71.
2 . G y á rfás A ., L ehel J.: F ir s t- F it a n d on-line ch ro m a tic n u m b er o f fam ilies of g rap h s. A rs C o m b in a to ria 2 9 C , 1990, p. 168-176.
142 P. Borowiecki, E. Sidorowicz
3. M cD iarm id C .J.H .: C oloring ra n d o m g ra p h s bad ly. W : R .J . W ilson red ., G ra p h T h e o ry an d C o m b in ato rics, P itm a n , 1979, p. 76-86.
4. P e m m a ra ju S.V ., R a m a n R ., V a ra d a ra ja n K .: B uffer m in im iza tio n using m ax-coloring, P ro c. 15th A C M -SIA M S ym posium on D iscrete A lg orithm s, 2004.
R ecenzen t: P rof. d r h ab. inz. M arek K u b ale
A b s t r a c t
D ynam ics is an in h e re n t fe a tu re of m an y real life sy stem s th u s i t ’s q u ite n a tu ra l to define th e ir th e o re tic a l m odels in a m a n n e r t h a t reflects it. In th is p a p e r we in v estig ate a d y n am ic ap p ro ach to a well know n p ro b lem of g ra p h coloring.
W e p o in t o u t an im p o rta n t a p p lic a tio n of a new m odel to w avelen gth assign m ent p rob lem in W D M o p tical netw orks, w here W D M s ta n d s for W aveleng th D ivision M ultiplexing. In d ynam ic g ra p h coloring th e g ra p h w e color is n o t given in adv ance an d new v ertic es to g e th e r w ith som e a d ja c e n t edges are p re se n te d to alg o rith m d u rin g th e coloring process. M oreover som e v ertices m ay lose th e ir colors i.e., a n alg o rith m m ay b e asked to color th e m again. W e form ally define d y n am ic g ra p h coloring p rob lem , d ynam ic ch ro m a tic n u m b e r an d an aly ze effectiveness of d y n am ic greed y alg o rith m F i r s t - F i t (FF for sh o rt). Lower a n d u p p e r b o u n d s on th e p e rfo rm a n c e ra tio of FF a re given an d we prove t h a t for som e classes of g ra p h s G, th e difference b etw een th e so lu tio n value FF(G ) a n d o p tim u m value OPT(G) m ay b e a rb itra rily large. O n th e o th e r h a n d , for all g ra p h s t h a t we u sed to stu d y th e w avelength assig n m en t p ro b lem we h a d FF(G ) < 20PT(G).
