K O M I T E T W Y D A W N I C Z Y P O D R Ę C Z N I K Ó W A K A D E M I C K I C H
P R Z Y M I N I S T E R S T W I E W Y Z N A Ń R E L I G I J N Y C H I O Ś W I E C E N I A P U B L I C Z N E G O
P r o f . Ii. W E I G E L
GEODEZJA
( M I E R N I C T W O )
1 9 3 8
NA KŁA D EM K O M IT E T U W Y D A W N IC Z E G O P O D R Ę C Z N IK Ó W AKADEM ICKICH S K Ł A D G Ł Ó W N Y W K A S I E I M. M I A N O W S K I E G O
W A R S Z A W A — P AŁ AC ST A SZ IC A
I EI
g e o d e z j a
( M I E R N I C T W O )
ÄiRäii
m m m
' » # o > ■,
n S (p
S . O B
i
i ó b > 5 S
D R U K A R N I A K A S Y I M . - M I A N O W S K I E G O , W A R S Z A W A - P A Ł A C S T A S Z I C A .
P R Z E D M O W A AUTORA
O d d a ją c do u ż y tk u p u b l ic z n e g o książl<Q pt. G eodezja (M iernictw o), u w a ż a m za p o t r z e b n e p o d z i e l e n ie się z cz y te ln ik a m i kilku u w a g a m i, d o ty c z ą c y m i je j t y t u ł u i tre śc i.
J a k w iad o m o , g e o d e z j ę d z ie lim y na w y ż sz ą i niższą, z w a n ą tak że p rz e z n i e k t ó r y c h n i e z b y t s z c z ę ś liw ie , m ie r n i c t w e m .
Z a d a n ie g e o d e z j i w y ż sz ej p o leg a na w y z n a c z e n iu c a ł o k s z t a ł t u ziemi o ra z na r o z m i e r z a n i u k r a jó w (państw ). G e o d e z ja n iższa n a t o m ia s t z a jm u j e s ię p o m ia ra m i i o b lic z e n ia m i, na p o d s ta w i e k tó ry c h s p o r z ą d z a m y p lany z n a c z n ie m n i e j s z y c h o b sz a ró w , t a k n iew ielk ich , że dla p r z e d s t a w ie n i a ich s y t u a c j i p o z io m e j w y s t a r c z a z r e g u ł y p r z y ję c i e ziem i j a k o p łasz c z y z n y .
W k sią ż c e Swej o m a w i a m nie tylko z a g a d n ie n ia g e o d e z ji n iższe j, lecz p o r u s z a m tak że w k ró tk o ś c i p e w n e z a g a d n ie n ia , o d n o s z ą c e się do r o z m ie r z a n i a k r a ju , a z a te m ż d z ie d z in y g e o d e z ji w y ż sz e j. C zynię to dla w y p e łn i e n i a luki, j a k a i s t n i e j e m ię d z y d z ie ła m i, t r a k t u j ą c y m i z a g a d n i e nia t e o r e t y c z n e g e o d e z j i w y ż s j ę j a .‘p o d rę c z n ik a m i g e o d e z j i n iższe j.
W y p e ł n i e n i e ow ej luki m a s z c z e g ó l n e z n a c z e n ie dla c z y te ln ik ó w , k tó rz y nie m ieli s p o s o b n o ś c i s t u d io w a ć g e o d e z j i w y ż sz e j i m o g lib y w o b e c te g o p r z e p r o w a d z a ć w s p o s ó b n i e w ł a ś c i w y p e w n e p o m iary , z n a jd u j ą c e się na p o g r a n ic z u o b u u m i e ję t n o ś c i .
Z ty ch w z g lę d ó w d a ł e m k sią ż c e t y t u ł » G eodezja«, u m i e s z c z a j ą c w n a w ia sie , dla u n i k n i ę c i a n ie p o r o z u m ie ń » M iern ictw o « ; d o d a t e k t e n o b j a ś n ia c z y te ln ik a w y ra ź n ie , że t r e ś ć k s ią ż k i nie od n o si s ię w y łą c z n ie do g e o d ez ji w y ż s z e j.
R o zd zia ł II książki z a w ie ra k ró tk i z a ry s r a c h u n k u w y r ó w n a w c z e g o , k tó r e g o w z o r y są w y p r o w a d z o n e z z a ło ż e ń G a u s s a , p o d a n y c h w je g o d ziele » T h e o r ia c o m b i n a t i o n is o b s e r v a t i o n u m e r r o r i b u s m i n im i s obnoxiae«, z a te m in a c z e j, niż w o g ł o s z o n y m p r z e z e m n ie w r. 1923 » R a c h u n k u w y
r ó w n a w c z y m w e d le m e t o d y n a j m n i e j s z y c h k w a d rató w « .
R o zd zia ł III j e s t pośwdęcony o p ty c e g e o m e t r y c z n e j i n ie k tó ry m sz c z e g ó ł o m o p ty k i fizycznej. J e s t o n p o tr z e b n y dla z r o z u m ie n ia d z ia ła n ia n o w e z y c h p rz y r z ą d ó w g e o d e z y j n y c h (teodolitów^ odległow-nic i p r z y r z ą d ó w n iw e la c y jn y c h ). P o n ie w a ż z a u w a ż a ł e m , że d o w e d y o d n o s z ą c e się do te o rii l u n e t y z s o c z e w k ą o g n i s k u j ą c ą są w p o d rę c z n ik a c h n o w e z y c h b a r dzo d ł u g i e i n i e p r z e j r z y s t e , p r z e t o p o d a łe m d o w ó d w ł a s n y , s t o s u n k o w e k ró tk i a z a r a z e m ścisły .
U w a ż n y c z y te ln ik s p o s t r z e ż e z a p e w n e , że n i e k t ó r e r o z d z i a ły k sią ż k i s ą tr a k t o w a n e o b s z e r n i e j . O d n o s i się to s z c z e g ó l n i e do tri a n g u la c ji , po- l ig o n o n ie lr i i i tycze nia t r a s . B a rd z ie j s z c z e g ó ło w e o p r a c o w a n i e tych działów' tł u m a c z y się ich w a ż n o ś c ią dla p ra k ty k i.
W p o lig o n o m e tr ii om ów dłem ś c is ł e w y r ó w n a n i e p o lig o n ó w , p o d a ją c s p e c ja l n e k r y t e r iu m , o d n o s z ą c e się do o b i o r u a p rio ri ś r e d n i c h błędów' (wäg) s p o s t r z e ż e ń n ie j e d n o r o d n y c h .
Ze w z g l ę d u na r o z p o w s z e c h n i e n i e m a s z y n do r a c h o w a n i a ( a r y t m o m e trów') p o d a ję w'zory, o d n o s z ą c e się do t r i a n g u l a c j i i p o l i g o n o m e tr i i nie ty l
k o — j a k d a w n i e j — w form ie, p r z y d a t n e j do r a c h u n k u l o g a r y t m a m i , lecz t a k ż e i do r a c h u n k u m a s z y n o w e g o . Z tych s a m y c h pow edów ’ z n a jd z i e czy
te l n i k w' m e j k sią ż c e z a s to s o w a n i e w z o ró w k ra k o w ia n o w y c h . P o n ie w a ż a u t o r ich, prof. T. Banachiewdcz, p o d a ł j e w o s t a t e c z n e j fo rm ie (przy
d a tn e j do r a c h u n k u w y r ó w n a w e z e g o ) p o d c z a s d r u k u k siążk i, o m ó w i łe m m e t o d ę tę k r ó t k o w s p e c ja l n y m d o d a tk u .
U w a ż a ł e m ró w n ie ż za p o ż ą d a n e o m ó w ie n ie , s z c z e g ó ł o w e m e t o d y ty c zenia t r a s , t r a k t o w a n e zazw y c zaj w p o d r ę c z n i k a c h z b y t o g ó ln ik o w e.
W p a r a g r a f i e k o ń c o w y m te g o r o z d z i a łu (XVI) p o d a ł e m m e t o d ę N a le n z - H ófera (b a d an ie i s t n ie ją c y c h i p r o j e k t o w a n i e w ich m ie jsc e , w ł a ś c iw y c h łuków' kolejow ych), k tó ra o b e c n ie m a s z e r o k i e z a s to s o w a n i e w p ra k ty c e (sz c z e g ó ln ie w N iem cz ech).
R o zdział XV, f o t o g r a m e t r i ę , o p r a c o w a ł inż. dr. E. W il c z k ie w i c z , p r o fe s o r P o li t e c h n ik i Lw., w y b i t n y s p e c j a l i s t a w tej d z ie d z in ie , p rz e z co ułatw dł m i w w y s o k im s t o p n i u s p e ł n i e n i e p o s ta w i o n e g o s o b ie z a d an ia.
T e k s t i d o w o d y s t a r a ł e m się p o d a ć w fo r m ie p r z y s t ę p n e j , o ile na to ś c i s ł o ś ć d o w o d u p o z w a la ła .
M am n a d z ie ję , że o p r a c o w a n a p r z e z e m n ie k siążk a s p e ł n i sw-e z a d a n ie w'obee t r z e c h k a t e g o r i i c z y te ln ik ó w . U z u p e ł n i o n a w ia d o m o ś c i s t a r s z y c h in ż y n i e r ó w w d z ie d z in ie n o w y c h p rz y rzą d ó w ' i m e t o d , da s t u d e n t o m p o l i te c h n ik n a le ż y tą p o d s t a w ę do ro z w ią z y w a n ia t e o r e t y c z n y c h i p r a k t y czn y c h z a g a d n i e ń g e o d e z y j n y c h , a wweszcie m o ż e b y ć p o m o c n ą u c z n io m t e c h n ic z n y c h s z k ó ł z a w o d o w y c h .
R y s u n k i w t e k ś c i e o p ra c o w a li P p. W ł a d y s ł a w B iały, E n g e l b e r t Ży- d e k i R o m a n G ü r t l e r , k o r e k t ę zaś p rz e p ro w a d z ili inż. L e o p o ld G rz y b i inż. J ó z e f K o ż u c h o w s k i; za p r z e p r o w a d z e n i e t y c h n i e w d z ię c z n y c h p ra c d z i ę k u ję im s e r d e c z n ie .
Za p o d ję c ie się w y d a n ia m e j k s ią ż k i w c z a s a c h dla w y d a w n i c t w n ie zb y t k o r z y s tn y c h s k ł a d a m K o m i t e t o w i W y d a w n i c z e m u P o d r ę c z n i k ó w A k a d e m ic k ic h p r z y Min. W . R. i O. P. g o r ą c e p o d z ię k o w a n ie .
O s o b n e p o d z ię k o w a n ie s k ł a d a m K a sie im. M ia n o w s k ie g o za s t a r a n n e w y d a n ie książki.
, -c ‘ K. W e ige l
■ L w ow , w lip c u 193b.
S P I S R Z E C Z Y
R OZ D ZI A Ł I U W A G I W S T Ę P N E
Par. ^ St r.
1. K rótki ry s h isto r y c zn y prac g e o d e zy jn y c h ... 1
2. M iary d łu g o ści, p o w ie rzch n i i k ą t a ... ... ... 3
3. Dw a za sad n icze r o d za je p om iarów ... 6
R OZ D Z IA Ł II Z A R Y S R A C H U N K U W Y R Ó W N A W C Z E G O 1. R od zaje b łę d ó w sp o str z e ż e ń . 7
2. P raw o p r z en o sz en ia sic b łę d ó w . B łę d y śr e d n ie i w agi sp o str ze że ń . . . . 8
3. R od zaje rachunk u w y ró w n a w czeg o . R ów n ania b ł ę d ó w ... 10
4. O góln a zasad a w yrów nania: b łę d y śr e d n ic n iew ia d o m y ch mają być n ajm n iejsze 11 5. Jed n o stk o w y błąd śr e d n i , u tw o r z o n y z b łę d ó w p o zo rn y ch R ów nania n o rm a ln e, w y n ik a ją ce z w arunku p02 = m in ... 17
6. B łę d y śr e d n ie funkcyj w ie lk o śc i w y r ó w n a n y c h ... 19
7. R o zw ią za n ie rów nań n o r m a ln y ch i rów nań w ag (H ansena) sp o so b em G aussa . 20 8. W y r ó w n a n ie sp o str z e ż e ń b e z p o śr e d n ic h (jako s z c z e g ó ln e g o p rzyp ad k u sp o str ze ż eń p o śred n ich ). P ary s p o s t r z e ż e ń 21 9. P rzyk ład w yrów n an ia sp o str ze że ń p o śred n ich . — B ad an ie k lin a m ier n icz e g o . 23 10. W y r ó w n a n ie sp o str ze że ń z a w a r u n k o w a n y c h ... 28
R O ZD ZI A Ł III O P T Y K A 1. Praw a od b icia i załam an ia się p r o m ien i ś w i e t l n y c h ... 31
2. P rz ejście p ro m ien i św ietln y ch p rzez pryzm aty, u żyw an e w g e o d e zji . . . . 32
3. D a lsze rozw ażan ia nad b ieg iem p rom ien i w pryzm atach ... 34
4. P r z e s u n ię c ie p r o m ien i p rzy p rz ejśc iu p r z ez r ó w n o leg le p ły tk i szk la n e . . . 36
5. P rz ejście p ro m ien i św ie tln y ch p rzez so czew k i ( d i o p t r y k a ) ... 38
6. S k ła d a n ie so czew ek . S o c z ew k i w yp ad k ow e ( r ó w n o w a ż n e ) ... 40
7. A p la n a ty czn o ść i a ch ro m a ty c zn o ść . : ... 41
8. O ko l u d z k i e ... 43
9. A k om od acja oka. S z k ła o c zn e ( b i n o k l e ) ... 45
10. L u p a ... 46
11. L u n eta g e o d e z y j n a ..., 48
12. L u n ety n o w sz eg o ty p u (W ild a , w z g lęd n ie Z e i s a ) ... 56
13. O ś celow a lu n e ty . 59
14. M i k r o s k o p y ... 66
N A JP R O S T SZ E PR Z Y R ZĄ D Y I C Z Y N N O ŚC I M IERNICZE.
ZDJĘCIE MAŁYCH O B S Z A R Ó W
Pap. Str.
1. L i b e l a ... 69
2. N o n iu s z ... 74
3. Z a zn a czen ie pu nk tów w t e r e n i e ... 75
4. T y c ze n ie lin ii prostej (bez u ż y cia l u n e t y ) ... 76
5. P om iar d łu g o śc i ... 78
6. P om iar m ałych o b s z a r ó w ... . ... 85
7. Z djęcia s t o l i k o w e ... 88
R OZ D Z IA Ł V O BLIC Z A N IE PO W IE R Z C H N I. PLANIM ETR Y. PO D Z IA Ł I ZAMIANA G R U N T Ó W 1. O b licza n ie p o w ierzch n i z w ym iarów na g r u n c i e ... 95
2. O b liczen ie p o w ie r zc h n i z w ym ia ró w na p l a n i e ... 99
3. T eo ria p la n im etró w w o d z i k o w y c h ... 99
4. P lan im etry b ieg u n o w o w pierw otn ej i u le p sz o n e j p o s t a c i ... 101
5. W y z n a c ze n ie sta ły ch p lan im etru b i e g u n o w e g o ...105
6. Inne ty p y p lan im etrów w o d zik o w y ch ... 107
7. P lan im etr h a rfo w y ... 114
8. D o k ła d n o ść p l a n i m e t r ó w ...114
9. U w zg lęd n ie n ie sk u rczu p a p i e r u ... , ... 115
10. P o d zia ł i zam iana g r u n t ó w ...116
R O ZD ZI A Ł VI N IW E L A C JA G EO M ETR Y C ZN A 1. P o jęcia w stęp n e. G eoida. R o d za je w zn iesień i sp o so b y ich w yzn aczan ia . . 123
2. N iw elacja geo m etry czn a dla celów te c h n icz n y c h , c z y li z w y c z a j n a ... 124
3. Instrum ent n i w e l a c y j n y ...125
4. Łaty n iw ela cy jn e ... 128
5. S p ra w d zen ie i rek tyfik acja in stru m en tu n i w e l a c y j n e g o ... 129
6. C iąg n i w e l a c y j n y ... 135
7. Znaki w y so k o śc i, r e p e r y ... 138
8. P ro fil p o d łu ż n y . 139 9. N iw elacja p o w ie r z c h n io w a ... . 141
10. R o zw ią zy w a n ie n ie k tó ry ch zagad n ień in ż y n ier sk ic h za p om o cą n iw e la cji . . . 144
11. B łę d y w y stęp u ją ce p o d cza s n i w e l a c j i ... 145
12. Z astosow anie rach unk u w yrów n aw czego do n i w e l a c j i ... 150
13. N iw elacja śc isła , c z y li p r e c y z y j n a ... 157
R OZ D Z IA Ł VII T E O D O L IT . IN ST R U M E N T U N IW E R S A L N Y 1. U w agi w stęp n e. O pis p r z y r z ą d u ... . 161
2. B łę d y in stru m en taln e te o d o litu i ich w p ły w na p o m ia r kątów p o z io m y ch . . 163
3. M etod y pom iaru kątów p o zio m y ch ...176
IX
Par. $ t r .
4. U ż y c ie teorlolitu w p o l u ... . . . 182
5. M ik ro sk o p y te o d o lito w e ... 184
ROZ D Z I A Ł VIII T R I A N G U L A C J A c z ę ś ć p i e r w s z a N I E C O O R O Z M I E I I Z A N I U K R A J U 1. U w agi w s t ę p n e ... 189
2. S ie c i p a ń s t w o w e ...190
CZĘŚĆ DRUGA Z A G Ę S Z C Z E N I E P A N S T A V O A V E J S I E C I T R I A N G U L A C Y J N E J 3. U k ła d y w s p ó ł r z ę d n y c h ...192
4. Z asad y rach unk u w s p ó ł r z ę d n y c h ... 192
5. W c in a n ie w p r z ó d ...196
6. D o k ła d n o ść w cin an ia w- p r z ó d ...200
7. W c in a n ie wrs t e c z ...201
8. D o k ła d n o ść w cin an ia w s t e c z ... 207
9. Z a g a d n ien ie lla n sen a ... 209
10. O d szu k iw an ie pu nktów tr ia n g u la c y jn y c h ... 210
11. Z a g ę sz cz en ie s ie c i trian gu lacyjn ej państw ow ej w celu oparcia na niej sie c i p o lig o n o w ej ... 211
12. U trw alen ie (stab ilizacją) i o z n a c ze n ie (sygn alizacja) p u nk tów trian gu lacyjn ych 215 13. R edu kcja p om iarów m im o śro d k o w y ch (e k s c e n tr y c z n y c h )...219
CZĘŚĆ TR Z E C IA T R I A N G U L A C J A L O K A L N A N I E Z A L E Ż N A (tJ . N I E N A W I Ą Z A N A D O S I E C I P A Ń S T W O W E J ) 14. U w agi w stęp n e. N a jczęściej sp otyk an e ty p y sie c i lo k a ln y c h ... 224
15. O b iór p od staw y i sia tk i p o d s t a w o w e j ... 227
16. P om iar d łu g o ści p o d s t a w y ... 229
17. O b serw acje kątow e w siatkacli lo k a ln y ch i ich w y r ó w n a n ie ... 231
18. Z o rien to w a n ie n ieza le żn ej sie c i lo k a ln ej. W y z n a c z e n ie a z y m u t u ...233
19. S ie c i lo k a ln e op arte na pu nk tach Iriangulacji p a ń s t w o w e j ... 235
R OZ D Z I A Ł IX P O L 1 G O N Ó M E T R J A 1. Z adan ie i rod zaje cię g ó w p o lig o n o w y c h ... 240
2. Z a ło że n ie i u trw alanie p u nk tów p o l i g o n o w y c h ... 241
3. P om iar i w yrów n an ie ciągu p o l i g o n o w e g o ... 242
P u n k ty w ę z ło w e ...252
4. S p o so b y n aw iązania ciągów p o lig o n o w y ch ... 254
5. S ie ci p o lig o n o w e . 255
6. W y k ry w a n ie gru b y ch b łę d ó w w p o lig o n a ch ...256
Par.
7. L in ie pom iarow e. P un k ty p o siłk o w e (łączne). Zdjącia sz c ze g ó łó w . S zk ic p o ło w y 257
8. O b liczen ie w sp ó łrz ę d n y c h p u nk tów p o s iłk o w y c h ... ... . . . 258
9. P o lig o n y m i e j s k i e ... 262
10. K o lejn o ść c zy n n o śc i p rzy w y k on yw an iu zd jąć m etod ą p o l i g o n o w ą ...264
11. ‘ D o k ła d n o ść ciągów p o l i g o n o w y c h ... 265
12. C iągi b u so lo w e ... 269
13. D o k ła d n o ś ć cią g u h u s o l o w e g o ... - • - 271
14. Ś c is łe w y ró w n a n ie p o l i g o n u ... 273
R O Z D Z IA Ł X T A C II I M E T R I A 1. O gólna zasada o d le g ło w n ic o p ty c zn y ch (d a lm ierzy ) . . . 279
2. O d leg ło w n ic e g e o d e z y j n e ... 281
3. T e o ria o p ty k i tach im etrów z w y c z a j n y c h ... 282
4. W y z n a c ze n ie sta ły c h o d le g ło w n ic y ... 288
5. U o g ó ln ie n ie w zo ró w na o d l e g ł o ś ć ... 293
6. O b lic z en ie D i l i ... 295
7. D o k ła d n o ść zd jąć t a c h i m e t r y c z n y c h ... 299
8. T ach im etry r e d u k c y j n e ... 303
9. T ach im etria p re cy zy jn a T ic h y ’e g o ... 307
10. W y k o n a n ie zd jąć t a c h i m e t r y c z n y c h ... 309
11. O p ty czn y pom iar o d le g ło ś c i przy zm ien n y m k ącie p a r a la k ty c z n y m ...314
R O Z D Z IA Ł X I ZDJĘC IA M E T O D Ą B IE G U N O W Ą Z Z A S T O S O W A N IE M O D L E G Ł O W N IC (DA LM IERZY) PREC Y ZY JN Y C H 1. P o ró w n a n ie m e to d y b ieg u n o w ej z m etod ą rzą d n y ch i o d c i ą t y c h ... 321
2. O d leg ło w n ic e p r e c y z y j n e ... 322
3. D o k ła d n o ść o d le g ło w n ic p r e c y z y j n y c h ... 3 2 / 4. U w agi, d o ty c zą ce w y k o n a n ia zd ją ć m etod ą b i e g u n o w ą ... 328
R O Z D Z IA Ł XII N A N O SZ E N IE ZD JĘĆ (K A R T O W A N IE ) 1. N a n o szen ie zd jąć m ałych o b sza ró w ... 329
2. N a n o sz en ie zd jąć w ię k szy ch o b s z a r ó w ... 330
3. Pantograf. C y rk ie l r e d u k c y j n y ... 332
R O Z D Z IA Ł X III TR Y G O N O M E T R Y C Z N Y POM IA R W Y S O K O Ś C I 1. U w agi w stęp n e ... 334
2. P om iar kątów zen ita ln y ch , w zgl. w y s o k o ś c i o w y c h ...334
3. O b lic z en ie kątów w y so k o śc io w y c h i z e n it a l n y c h ... 336
4. P om iar i o b licz e n ie kątów p io n o w y ch z u w zg lę d n ie n iem k o rek cji lib e li . . , 340
5. P rzy b liżo n a teo ria try g o n o m etr y c zn eg o p om iaru w y s o k o ś c i... . 340
XI
Par- Str.
6. U w agi, d o ty czą ce w yk onan ia pom iaru w praktyce ...344
7. D o k ła d n o ś ć tr y g o n o m etr y c zn eg o p om iaru w y s o k o ś c i ... 345
8. S ie c i w y so k o śc io w e i icli w y r ó w n a n ie ... 347
9. Z a stosow an ie do nau tyki. G łę b o k o ść i o d le g ło ś ć h o r y zo n tu . . . . . . . . 350
RO ZD ZI A Ł X IV B A R O M ETR Y C ZN Y POM IAR W Y S O K O Ś C I 1. W y p r o w a d ze n ie śc isłej form u ły b a r o m e tr y c z n e j ... 352
2. S p o so b y o b licz e n ia form u łą ś c i s ł ą ... 356
3. U p ro s zc zo n e fo rm u ły b arom elryczn e ... 357
4. P rzy rzą d y do b a ro m etry czn eg o pom iaru w y s o k o ś c i ...361
. 5. W y k o n a n ie p om iaru b a r o m e tr y c zn e g o ... . . 369
6. D o k ła d n o ś ć p o m ia ró w b a r o m e lr y c z n y c h ... 372
ROZDZ IAŁ XV F O T O G R A M E T R I A 1. K rótki rys h i s t o r y c z n y ...375
2. W y p o s a ż e n ie fo to g ra m etry czn e p o l o w e ...375
3. O rientacja w ew n ętrzn a i z e w n ę t r z n a ... 3 7 9 4. W y z n a c z e n ie w s p ó łr z ę d n y c h p u n k t ó w ...380
5. P rzy rzą d y do op racow ania zdjęć f o t o g r a m e t r y c z n y c h ... 384
6. P r z e t w o r n ik i ...391
7. P race p o lo w e i b i u r o w e ...392
8. T rian gu lacja f o t o g r a m e t r y c z n a ... 3 9 7 RO ZD ZI A Ł XV I T Y C Z E N I E T R A S 1. U sy tu o w a n ie trasy w te re n ie . . . . 3 9 9 2. T y c z e n ie p ro sty ch ... 400
3. T y c ze n ie łu k ó w k o ło w y ch . U w agi w s t ę p n e ...407
4. T y c ze n ie g łó w n y c h p u nktów l u k u ...407
5. T y c ze n ie pu nk tów p o śred n ich ł u k u ... ... . 411
6. T y c z e n ie łu k ó w w tun elach ... 420
7. N ie k tó r e sp o so b y ty c z e n ia łu k ów u żyw an e w b u d ow n ictw ie w od nym . . . . 421
8. Ł uki k o szo w e . 423
9. T y c z e n ie krzyw ych p r zejścio w y ch (k o lejo w y ch ) ... 426
10. B ad an ie k rzy w izn y toru istn ie ją c e g o . N ow e sp o so b y ty czen ia łu k ów z k rzy w ym i p r z e j ś c i o w y m i ...4 3 1 D O D A T E K P rzyk ład sz c z e g ó ło w y ró w n o c z e sn eg o w yzn aczen ia w s p ó łrzęd n y ch dwu p u nk tów 445 L it e r a t u r a ...463
Str. 14, w iersz 2 od g ó r y , zam iast: p r ma b y ć: p.
„ 43, na rys. 18, zam iast: 0 ma b y ć : 0 , 0 ,, 252, w ie rsz 1 od g ó ry , sk re ślić § 3.
,. 305, na rys. 2 3 9 b, h ma się g a ć do d o łu ,. 403, w iersz 2 od g óry, zam iast: o d p o w ied n o ma
x
b yć: o d p o w ied n io
Ro z d z i a ł I
U W A G I W S T Ę P N E
§ 1. Krótki r y s h isto ry czn y prac g e o d e z y jn y c h
P ierw szy znany nam pom iar całokształtu ziemi (przyjętej jako kula) prze
prow adził około r. 220 przed Chr. uczony aleksandryjski E ra tosthe nes na p r z e strze n i Aleksandria-Assuan (dziś Syene), otrzymując na k w adrant wielkiego koła (równika) około 1 1 560 km. Następny pom iar Posidoniusa dokonany mię
dzy Aleksandrią a wyspą Rodos (135-51 przed Chr.) dał wynik nieco dokład
niejszy (1 1 1 0 0 km). Znacznie później, bo około r. 827 po Chr., przeprowadzili podobny pom iar Arabowie koło Bagdadu, uzyskując około 11 000 km na wspom nianą wielkość.
Dopiero w XVII stuleciu wyłania się myśl przyjęcia dla kształtu ziemi spłaszczonej elipsoidy obrotow ej, a to pod wpływem teoretycznych rozważań takich umysłów, jak Kopernik, Galileusz, Kepler, Huygens i Newton. Z po
m iarów astronom iczno-geodezyjnych, przeprow adzonych w latach 1 6 6 2 -1 7 2 0 przez francuskiego astronom a Picarda, podczas których zastosowano poraź pierwszy na wielką skalę m etodę triangulacji, wynikało jed n ak (z powodu zbyt mało dokładnych obserwacyj), że kształt ziemi jest wydłużony ku biegunom .
Pom iar stopni południka w P eru i w Laponii (1 7 3 5 -1 7 4 3 ) rozstrzygnął jednak spraw ę na korzyść teoretyków wykazując, że ziemia jest zbliżona do spłaszczonej elipsoidy obrotow ej. Do podobnych wyników doszedł także i La- place, posługując się nietylko pom iarami astronom iczno-geodezyjnym i, lecz także i obserwacjami przyspieszenia ziemskiego, przy pomocy których to ostat
nich m ożna— jak wykazał Clairaut (1743) — wyznaczyć w ie lk o śćp spłaszczenia ziemi na biegunach, przy czym związek p z półosiami elipsoidy obrotowej jest
następujący:
a — o P = ---
a
gdzie a je s t wielką, zaś b małą półosią elipsoidy.
W r. 1841 wyznaczył Bessel z różnych pomiarów stopni południków w y
miary elipsoidy; niektóre p aństw a przyjęły ją jako elipsoidę odniesienia przy rozmierzaniu kraju. W późniejszych czasach pow stały na podstaw ie podobnych pomiarów elipsoidy Clarke’a, W albecka i inne.
K- W e i g e l . G eo de zja . 1
(1927 roku) uchwaliła, że przy rozmierzaniu kraju należy przyjąć jako po- 1 . w ierzchnią odniesienia elipsoidę 'Hayforda {a — 6 378 288 m, p — TJjjy /•
Jako właściwą pow ierzchnię ziemi należy uważać pow ierzchnię mórz w spo
czynku (z pominięciem przypływ ów, odpływów, działania prądów itp. zakłóceń).
Pow ierzchnia ta, zwana geoidą, posiada tę własność, że przecina p rostopadle kierunki pionów we wszystkich jej punktach.
Jak się je d n a k okazało, pow ierzchni tej nie można wyznaczyć opierając się wyłącznie na pom iarach astronom iczno-geodezyjnych, gdyż między położeniem środka ciężkości ziemi a kierunkam i pionów istnieje tylko zw iązek dynamiczny, a nie geometryczny. Trzeba było zatem posłużyć się pom iarami p rz y sp ie sze
nia ziemskiego (grawimetrycznymi) w p unktach rozmieszczonych gęsto na p o w ierzchni ziemi.
Dzięki skonstruow anem u w ostatnich czasach aparatow i w ahadłow em u Inż.
Vening-M einesza można dziś mierzyć przyspieszenie ziemskie także i na mo
rzu w odpowiednio zanurzonych łodziach podwodnych. Pomiary te pozwolą nam (w oparciu o tw ierdz enie Stokesa) w niedalekiej przyszłości wyznaczyć, w połączeniu z pom iarami astro n o m icz n o -g co d e zy jn em i, właściwy kształt geoidy (ziemi).
Przechodząc do om awiania prac pomiarowych, wykonywanych dla celów praktycznych należy zaznaczyć, że tak w z o ro w e — jak na owe czasy— budowle w od n e pra sta rej Mezopotamii, jak 1 o d tw arzanie często p rz ez Nil niszczonych granic własności w starym Egipcie, wymagało przeprow adzania dokładnych pom iarów geom etrycznych. W Rzymie wykonywali pomiary agrim ensori czyli gromatici. Niektórzy z nich pozostawili po sobie pisma dotyczące pomiarów.
Najstarszym byl Sextus Julius F ro n tin u s w pierw szym wieku po Chr. (praetor, konsul i wódz w Brytanii).
Zdarzeniem o wielkim znaczeniu było w ynalezienie na początku XVII stu lecia przez P rae toriusa stolika m ierniczego, oraz nieco później przez Nuneza noniusza, urządzenia, przy pomocy k tórego dokonujem y jeszcze po dzień dzi
siejszy odczyty na przyrządach pomiarowych.
W XIX stuleciu rozwinęły się metody pom iarowe bardzo znacznie, dzięki p rzeprow adzanym podówczas pom iarom dla celów podatkowych. Z wzrostem cen g ru n tó w stół mierniczy ustąpił ostatecznie miejsca dokładniejszej metodzie poligonowej, a zw iększające się z dniem każdym p otrze by techniczne wpły
nęły dodatnio na rozwój różnych działów m iernictwa ja k niwelacji, tachimetrii, a n astę p n ie i fotogrametrii. Silnemu rozw ojow i optyki w czasach ostatnich zaw dzięczamy pow stanie odleglownic precyzyjnych i związanej z nimi nowej b iegunow ej metody pom iarowej.
Najdawniejsze znane nam dzieło o m iernictwie a u to ra polskiego je s t *>Vo- citati G eom etriae P racticae seu Artis m ensurationum Tractatus« napisane około roku 1450 przez Marcina z Zórawicy (zwanego także Martinus Polonus). O daw nych pom iarach geom etrycznych w Polsce pisał Czapski w sposób następujący:
»Za Zygm unta Augysta niętylko doskonały stosunek ekonomiki politycznej i gospodarczej z pomiarem ziemnym czyniono, ale w liście P rzerębskiego pod
kanclerzego z 19 lipca 1554 r. czytamy wyznanie, że uczyć się trzeba tej nauki mierniczej nie od naszych przodków, ale z ksiąg Rzymian: że król posiał Pio
trowi Gallandowi i Adrianowi Turnekow i za w ydanie dzieł granicznych pisa- rzów, że przysłanie tych ksiąg królowi obiecuje pożytki i światło w naszych spraw ach granicznych; na koniec, że zaczęta nauka o granicach przez Ocicc- kiego kanclerza będzie w ydrukow aną«. Niestety dzieło to, którego autorem miał być Kanclerz Jan Oeiecki z O cieszyna— o ile można sprawdzić — nie uka
zało się wcale. N atom iast w r. 1566 ukazała się książka Stanisława G rzep- skiego pt. G eom etria tj. Micrnicka Nauka po Polsku krótko napisana z Graec- kich y Łacińskich ksiąg (wybijał Łazarz Andrychowie, Kraków). W dedykacji narzeka autor na nieznajomość u nas m iernictwa pisząc: »że w Polsce był tylko miernik na Podgórzu, ale już był umarł. Przeto, kiedy na Litwie chciano mierzać imienia słano do Mazowsza po miernika«.
Z późniejszych autorów należy wymienić prof. Daniela S chw entera (1664), Cieciszowskiego Jana Colonnę (1786), Ignacego Zaborowskiego (1820), A. Sza- china (1829), W rześniow skiego (1841), II. Muklanowicza (1852) i St. Jarmuda.
W nowszych czasach ukazały się następujące dzieła (polskie) traktujące o m iernictwie:
1. Gu s t a w i c z Biu, R achunek wyrów nania błędów spostrzeżeń na podstaw ie m etody najmniejszych kwadratów. Kraków 1896.
2. Laska W. i WidtS., Miernictwo, cz. I i II. L w ów 1903.
3. Eh r e n f e o c h t W., Miernictwo. W arszaw a 1922.
4. W b i g e l K., R achunek wyrównawczy wedle metody najmniejszych kwa
dratów , oraz jego zastosow anie przy rozm ierzaniu kraju. Lw ów -W arszaw a 1923.’
5. Wahchałowski E., R achunek w yrów nania w e d łu g metody najmniejszych k w adratów . W a rsz a w a 1923.
6 . W a rch a ło w sk i E., Niwelacja geom etryczna. W a rsza w a 1926.
7. Dz i a k i e w i c z Wł., Miernictwo. W arszaw a-K raków 1927.
8 . Ki.u ź n i a k S t., G eodezja niższa. W arszaw a 1928.
* 9. W i l c z k i k w i c z E., Zasady zdjęć fotogrametrycznych. Lwów 1930.
10. Br y ł a, P odręcznik Inżynierski, 4 tomy. Lw ów -W arszaw a 1 9 2 7 -1 9 3 6 : a) W o j t a n W l . , Miernictwo, cz. I (tom I),
b) W b i g e l K., Miernictwo, cz. II i R achunek wyrów nawczy (tom I),
c) W e i g e l K., F oto g ram etria lotnicza czyli aerofotogram etria (tom IV), d) Wo j t a s W l ., Zdjęcia m iast (tom IV).
§ 2. M iary d łu g o ści, p o w ierzch n i i k ąta
Przez pom iar pew nej długości rozum iem y wyznaczenie jej stosunku do wielkości tego samego rodzaju, uważanej za jednostkę. Jednostkę tę nazywamy m iarą.
W miernictwie p osługujem y się miarą długości, powierzchni i kąta.
nie tej miary zawdzięczamy Francji, której Zgrom adzenie N arodowe uchwaliło w r. 1791 uważać za miarę długości 1 metr, rów ny ‘/iooooooo ćwiartki południka (w przekonaniu, że ziemia je s t ściśle elipsoidą obrotową). W ten sposób chciano uzyskać absolutną m iarę długości. Obowiązującą dziś długość i m etra w yzna
czono na podstawie pomiaru części południka paryskiego, wykonanego przez Méchaina i D elam bre’a w latach 1 7 9 2 - 1 7 9 8 ; długość jego wynosi 443,296 linij paryskich (dawna miara używana we Francji). Jako wzorzec przyjętej miary sporządzono tzw. m etr archiwalny. Jest to p rostokątna sztaba platynow a 0 przekroju 4 X 2 5 mm; długość je d n e g o m etra określa odstęp między obu końcami m etra archiwalnego przy tem peraturze 0° C. Na podstaw ie uchwały g eneralnej konferencji M iędzynarodowego Komitetu Miar i W a g w r. 1889 sporządzono specjalny prototyp metra, który uznano jako m iędzynarodow ą m iarę długości. P ro totyp ten, przechowyw any w Bureau des Poids et Mesures
w Sèvres koło Paryża, j e s t spo
rządzony ze stopu platyny (90$) i irydium (10£). Przekrój jego ma kształt specjalny, zbliżony do litery H (rys. 1), a długość 1 m etra je s t zaw arta między dwiem a kreskami umieszczo-
R y s. 1. nymi w osi obojętnej p rz e
k r o j u 1). Zarazem sporządzono z tego samego stopu 30 kopij, które porów nano jak najdokładniej z p rototy
pem sewrskim. Kopie te rozdzielono między poszczególne państw a. Służą one do sporządzania m etró w norm alnych o przekroju 1 0 X 10 mm, którym i znowu kontrolujem y kom paratory.
Późniejsze pomiary południka ziemskiego wykazały różnicę w długości usta
lonej ćwiartki południka dochodzącą do 2 0 0 0 metrów. Metr jednak pozostał w dalszym ciągu miarą długości.
W m iernictw ie używane są n astępujące części, w zględnie wielokrotności metra:
1 dm (decymetr) = 0,1 m, 1 cm (centymetr) — 0,01 m, 1 mm (milimetr) = 0,001 m,
L p. (mikron) = 0,001 mm, i km (kilometr) = 1000 m.
Stosunek dawnych miar, używanych w Polsce, do prz y ję teg o m etra je s t następujący:
*) P on iew aż p r o to ty p ten naw et o tak k orzystn ym p rzek roju i sto p ie m o że z b iegiem lat u le c drobn ej zm ia n ie, p r zeto w r. 1892 M ich elso n p o m ie rz y ł, jeg o d łu g o ść m etod ą in terferen cy jn ą , p rzy czym sk on statow ał, że 1 m etr rów na s ię 1 55 3 1 6 3 ,5 X d łu g o ś c i fali c ze rw o n e g o św iatła k ad m ow ego przy 15° C i 760 mm c iśn ien ia p o w ietrza . P ó źn ie jsz e p o m iary (rok 1907) w yk azały drobną ró ż n ic ę, dając w tych sam ych w arun kach w yn ik : 1 m = 1 553 164,13 X, W ten sp o só b u s ta lo n o d efin ity w n ą d łu g o ść m etra.
1 sążeń = 3 łokciom = 6 stopom = 12 ćwierciom = 72 calom = 864 liniom = 1,728 m.
1 m = 0 , 5 7 8 7 s ą ż n i = l , 7 3 6 1 ł o k c i = 3 , 4 7 2 2 stóp = 6 ,94445 ćw ierci= 4 1 , 6 6 6 7 cali = 500,0003 linij.
Z innych miar (obcych) należy wymienić:
1 sążeń w iedeński = 1,896484 m, 1 stopa pruska = 0 , 3 1 3 8 5 3 5 m,
1 stopa rosyjska = 1 stopie angielskiej = 0,3048 m.
M I A R Y P O W I E R Z C H N I
Zasadniczą miarą powierzchni jest 1 m etr kwadratowy = 1 m2.
1 m2 = 100 d m 2 = 10000 cm2 = 1 0 0 0 0 0 0 mm2, 1 a (ar) = 100 ni2,
1 lia (hektar) = 100 a = 10000 m2, I kin2 = 100 ha = 1000 000 m2.
•Miary pow ierzchni n o w o -p o ls k ie : p r ę t kw. = 18,6624 m 2,
m órg = 300 prętom kw. = 55 a 98,72 m2, w łóka = 30 morgom = 16 ha 79 a 61,6 m2.
Dawne miary austrjackie:
sążeń kw. = 3,596652 m2 , ( i m 2 = 0,278036 sążni kw.).
Miary powierzchni p ruskie:
1 mórg = 25 a 53,224 m2, Miary powierzchni rosyjskie:
1 sążeń kw. = 4,552249 m2,
1 dziesięcina = 2400 sążni kw. = i ha 9 a 25,40 m2.
M I A R Y K Ą T O W E
Matematyka określa kąt jako stosunek łuku l do promienia r:
r
Miarę przy tych założeniach stanow i kąt zw any radianem , którego luk rów na się promieniowi (zatem a = l).
W m iernictw ie pom iar kątów uskuteczniamy w innych jednostkach, tzw.
miarach stopniowych, których rozróżniamy dwa rodzaje:
a) System sześćdziesiątkowy (seksagesimalny). Miarą je s t tu stopień (°) odpow iadający 1/3B0 części kąta pełnego. Stopień dzielimy na 60' (minut), a m inutę na 60" (sekund). Kąt w stopniach oznaczamy a°.
b) System setkowy (centigradowy). Miarą je s t tu stopień (d) odpow iada
jący ^ o o części kąta pełnego. Stopień dzielimy na 100' (minut setk.), a mi
nutę setk. na 100" (sekund setk.). Kąt w stopniach setk. oznaczamy ad . Między kątem a° w mierze stopniowej a kątem a w mierze radianow ej za
chodzi następujący związek: <X° : a = 360°: 2 z ,
1800 o
zatein cr = — —— a = pua ,
, . . , 1 8 0 .6 0 '
analogicznie a = —--- a = p a 71
180 . 60 . 60"
i a ' = a =
W a rto ści kąta p w stopniach, m inutach i sekundach są:
a) p° = 57°, 295 779 51 b) a'1 = 63'', 661 977 24 P' = 3 437', 746 770 78 pV== 6 3 6 6 ', 197 723 68 p" = 206 264", 806 247 10 p" = 636 619", 772 367 5 8 .
§ 3. D w a z a s a d n ic z e ro d za je p om iarów
Pomiary geodezyjne przeprow adzam y na powierzchni ziemi, przy czym wykonujem y albo zdjęcie rzutu prostokątnego pew n eg o obszaru na obraną powierzchnię odniesienia, albo wyznaczamy różnicę wysokości jeg o punktów lub też ich wysokości nad poziom morza. Rozróżniamy zatem pomiary w sensie poziomym, krótko poziome i pom iary w sensie pionowym czyli p io nowe lub wysokościowe.
Omówimy naprzód spraw ę zdjęć poziomych.
Dla w ykonania rozm ierzenia pew nego p ań stw a należy przyjąć dla pom ia
rów poziomych spłaszczoną elipsoidę obrotow ą (p. § 1 str. 1 i 2) jako po
wierzchnię odniesienia. Gdy obszar zdjęcia wynosi około 15000 km 2— wystarczy przyjęcie kuli o krzywiźnie odpowiadającej średniej krzywiźnie zdejm owanego obszaru. Jeżeli zaś obszar zdjęcia nie przekracza 50 km 2, można pomiary po
ziome przeprow adzać tak, jakgdyby stanowił on płaszczyznę. Osobną g ru p ę tworzą zdjęcia naw et bardzo długich, lecz stosunkow o bardzo wąskich pasów (zdjęcia dla celów inżynierskich), które mogą być rów nież przep ro w a d zan e i obliczane j a k na płaszczyźnie.
Inaczej natom iast p rzedstaw ia się sp ra w a pom iarów wysokościowych. 1 lak, jeżeli poprowadzim y w pew nym punkcie A na pow ierzchni ziemi płaszczyznę styczną, to w odległości zaledwie 1 km odległość między powierzchnią ziemi (przyjętą jako kula) a w spom nianą płaszczyzną styczną wyniesie już 8 cm.
Pomiary wysokościowe należy zatem p rz ep ro w a d zać w edle innych kryteriów , mając głównie na uwadze ich dokładność.
Poniew aż spostrzeżenia wszelkie są obarczone zawsze nieuniknionymi b łę dami, przeto w następnym rozdziale omówimy zasady rachunku w yrów naw -
Ro z d z i a ł II
Z A R Y S RACHUNKU W Y R Ó W N A W C Z E G O
§ t. R odzaje b łęd ó w sp o str z e ż e ń
Choćbyśmy jak najstaranniej obserwowali wielkości fizyczne, nie potrafimy uzyskać ich w artości prawdziwych, czyli bezbłędnych, musimy sie zatem po
godzić z faktem, że nasze spostrzeżenia są obarczone pewnymi błędami.
W praktyce geodezyjnej w ykonujem y z reguły spostrzeżenia z odpow iednią kontrolą, tj. w większej ilości, niż to j e s t koniecznie potrzebne. Aby je z sobą odpowiednio uzgodnić, stosujem y do nich rachunek wyrównawczy.
S postrzeżenia, k tóre mają być w yrów nyw ane, muszą być jednak wolne od błędów g ru b y c h , czyli przeoczeń i błędów syste m a ty c z n y c h , tj. błędów, zwią
zanych ściśle z okolicznościami, towarzyszącymi pomiarom; natom iast jedyne błędy, jakim i spostrzeżenia te mogą być obarczone, to błędy, których przy
czyny zależą od okoliczności zmieniających się w czasie między spostrzeże
niami, tak zwane błędy p rzy p a d k o w e .
Rozróżniam y błędy przypadkowe praw dziw e e i pozorne ). czyli poprawki spostrzeżeń L.
Zazwyczaj przyjm uje się, że błędy praw dziw e e spostrzeżeń L podlegają p raw u Gaussa, tzn. żc P e , praw dopodobieństw o pojawienia się ich w szeregu spostrzeżeń, je st określone związkiem:
P, = A e-w *ds = 9 (s) d e , (1)
V~
przy czym pa ra m e tr h je s t m iarą dokładności spostrzeżeń, zaś 9 (5) nazywamy funkcją p ra w dopodobieństw a pojawienia się błędów, która — jak widać — je st parzystą, tj. 9 (+ s) = 9 (— s).
P a ra m e tr h , w zględnie h2, charakteryzujący nam dany szereg błędów, m ożna wyznaczyć ze związku
h 2 = ——— (ściśle dla « = 0 0 ), (2)
2 [es] , '
przy czym n oznacza ilość spostrzeżeń, zaś [es] sum ę k w a dratów ich błędów (którą w te n sposób piszemy za Gaussem w miejsce Se2).
w ro tn ie proporcjonalnych do h , a mianowicie błędu średniego a , p rze c ię t
nego & i prawdopodobnego p, z których w praktyce używamy tylko błędu średniego p , określonego wzorem
u- — i ^ / ( ś c i ś l e dla n = oo). (3)
Błąd te n w ybrano z pomiędzy innych dlatego, że w yznaczenie go ze s koń
czonej ilości n jest stosunkowo najdokładniejsze. W praktyce wyznacza się zatem bezpośrednio tylko błąd p., obliczając w razie potrzeby 9' i p przy po mocy z w ią z k ó w :
& = 0,7978846 p,, p = 0,6744898 p,. (4)
§ 2. P ra w o p r z en o szen ia s ię b łę d ó w . B łęd y śred n ie i w a g i s p o s tr z e ż e ń Niech L \ , L '2, L ’n będą praw dziw ym i wartościam i pew nych wielkości, zaś L i t L 2, .Z,,, w artościam i ich uzyskanymi ze spostrzeżeń. Jeżeli do pew nej funkcji wielkości U , rozwijalnej w sz e re g Taylora, w staw im y w ich miejsce w artości obserw ow ane L , nie uzyskamy praw dziw ej wartości owej funkcji, lecz w artość jej obarczoną pewnym błędem sf.
Aby zdać sobie spraw ę z w pływ u błędów- s poszczególnych spostrze żeń L na błąd funkcji s/-, postąpim y następująco. P oniew aż L 'i = L ~ \ - ii , przeto ową funkcję możemy przedstawńć w formie :
f ( L i + , L 2 + e 2, . --- L r + sr) , (5) podczas gdy funkcja ta, po w staw ieniu w miejsce L\ spostrzeżeń L , b ędz ie :
f \ L u L 2 L r) . (6)
Rozwijając związek (5) w sze reg Taylora, z opuszczeniem wwrązów rzędów wyższych niż pierwszy, otrzym amy:
f ( L x , L 2 , L r) + / j s t + ...+ / > n (7) przy czym f p , f 2 , oznaczają pochodne cząstkowe funkcji w zględem p o szczególnych L , a więc ogólnie
Ą
Odejm ując zw iązek (6) od (7) uzyskujem y błąd funkcji:
Sf = f l h + / a £2 + + f r * r ■ (9)
P onieważ prawdziwe w artości spostrzeżeń, a tym samyin i ich b łęd y p ra w dziwe nie są znane, przeto związek (9) zastąpim y innym związkiem, w którym nie będzie błędów' e, lecz błędy średnie a .
d f
dLi (8)
W tym celu wyobraźmy sobie, że w ielkości L nie były raz ale n razy spostrzegane, przy czym ilość n dąży do c o .
Podnosząc związek (9) do kwadratu otrzymamy:
~-fi \ 2 + f 2 % 2+ f ł h 2 + ... + / W + (10) S■r.2 .
+ 2/2/3 S2£3 + •••• + Z f i f r ^ r +
+ 2 /'r- i / ‘,.er_ 1£r .
Prawdopodobieństwo pojawienia się błędów przypadkowych jest jednak określone funkcją parzystą (tzn. że w szeregu spostrzeżeń pojawia się pewien błąd z tym sam ym .prawdopodobieństwem jako dodatni i ujemny), oraz maleje dla rosnącego błędu s.
Jeżeli tedy utworzymy dla « = 0o sumę wszystkich możliwych zp i podzie
limy ją przez ich ilość, która wynosi n , otrzymamy, ze względu na poprzednią uwagę, po prawej stronie równania tylko same wyrazy kwadratowe, zaś w szystkie podwójne iloczyny będą dążyły do zera:
[E/~s/’l j' 2 [Sl Sl3 ls2£2] _j_ - j ' 2 [gf£r]
n n “ n n
Ponieważ kwadrat błędu średniego równa się sumie kwadratów błędów- 3 podzielonej przez ich ilość, p rze to :
IV2 = f i W + f i \ H 2 + • • • + f r W = i f f w i • (12) Związek (12), o bardzo wielkim znaczeniu, może jednak być zastosowany tylko do spostrzeżeń L od siebie n iezależnych.
W ścisłym związku z błędami średnimi spostrzeżeń są w agi p spostrzeżeń.
Są to liczby dodatnie, odwrotnie proporcjonalne do kwadratów błędów śred
nich, zatem 1 ,i
Pi : Pi — T : " 7 ’ ( 13)
Pi I V
przyczyni jednak mogą być brane w rachubę tylko błędy średnie jed n o ro d n ych w ielkości.
Przyjmując w agę spostrzeżenia, dokonanego w pewnych szczególnych okolicznościach, równą jedności, oznaczamy błąd średni takiego spostrzeżenia przez |i0 (przy czym jest zupełnie obojętne, czy rzeczywiście ono znajduje się w- omawdanym szeregu spostrzeżeń, czy też nie). Błąd średni [A0 nazywamy jed n o stk o w y m błędem średnim.
Biorąc to pod uw agę, możemy związek (13) zmienić na
p , = K - <14)
K
Zatem w-aga dowrolnego spostrzeżenia równa się Stosunkowi kw-adratu jed nostkowego błędu średniego do kwadratu błędu średniego tego spostrzeżenia.
w ten sposób, że przyjm ujem y a priori (przed wyrównaniem ) b łędy średnie z w zorów empirycznych (urobionych na podstaw ie licznych doświadczeń).
1 tak przyjm ujem y np., że średni błąd ciągu niwelacyjnego o długości d km, je s t proporcjonalny do pierw iastka z ilości d kilometrów:
H = u-o V d , (15)
przy czym błąd jed n o stk o w y p0 je s t zależny od jakości przyrządu i m etody pom iaru; u0 je s t zatem średnim błędem niwelacji na 1 km, a w aga jego p = 1.
W obec tego w aga ciągu niwelacyjnego o długości 2 km będzie p 2 — ~ , zaś
i . ' '1 2 •
o długości 4 km p Ą = — , ogólnie p = •..
4 d
§ 3. R odzaje rachunku w y r ó w n a w c z e g o . R ów nania b łęd ó w .
a) N ajprostszy problem w yrów nania ma miejsce, gdy p e w n ą wielkość, któ
rej w artość chcemy wyznaczyć, możemy obserw ow ać bezpośrednio. W y r ó w nanie tego rodzaju spostrzeżeń nazywamy w yrów naniem spo strzeżeń bezpo
średnich.
Niech x oznacza w artość (na razie nieznaną) uzyskaną w yrów naniem , zaś L poszczególne bezpośrednie spostrzeżenia, wówczas dla n spostrzeżeń istnieje n związków:
\ = x - L , (16)
X2 = x — Ł 2 X„ — x L n ,
przy czym poszczególne X są po p ra w ka m i sp o strze żeń ; nazywamy je także błędam i p o zo rn ym i tych spostrzeżeń. Błędy pozorne X są w tym przypadku wyrów nania różnicami między wielkością w yró w n an ą x a spostrzeżeniam i L .
b) Nie zawsze istnieje możność b e z p o śred n ieg o obserw o w an ia pew nej wiel
kości, poza tym w większej ilości przypadków wyznacza się równocześnie kilka
niezależnych od siebie wielkości x , ;/, z , . . . (w ogólnej ilości k). W tym przy
padku mamy do czynienia z w yrów naniem sp ostrzeżeń p o średn ich, a związki między spostrzeżeniam i i niewiadomymi p rzybierają ogólną postać:
Lj + Xj — f ! (:r, y , z , ...), (17) L, + X2 = / ' , (.r, y, z , ...) ,
L a+ l „ = f n ( x , y , z , ),
przy czym ilość n musi być większa- od ilości niewiadomych k , o ile ma zaist
nieć problem wyrównania.
Równaniom tym odpow iadają rów n a n ia błędów w formie ogólnej:
Xi = f i ( x , y , z , ... ) — L t (18) X2 = f j (x , y, z , ... ) U
bn —— f n ( ^ j ]Jy ...) L n •
c) Istnieje w reszcie jeszcze inny problem wyrównawczy, mianowicie gdy poszczególne spostrzeżenia L, odnoszące się do różnych wielkości, mają speł
niać pew ne w arunki. Zadanie w yrów nania polega na uzupełnieniu spostrzeżeń takimi popraw kam i X, aby owe w arunki zostały spełnione.
Ogólny k ształt w a ru n k ó w p rz ed staw ia się następująco:
f y (L: + \ , % + X2, . .... . , L„ + X„) = J 0 , (19) f , {Lx + Xj, L 2 + X2 ... .. L n + X„) = 0 ,
f r (L , + X, , L 2 + X2, ... , L n + L ) . = 0 ,
przy czym ilość w aru n k ó w r musi być niniejsza od ilości spostrzeżeń n , o ile ma pow stać problem wyrów nania. W staw ie n ie do powyższych w arunków spo
strzeżeń niepopraw ionych spraw i niespraw dzenie się ich do zera, w obec czego pow stanie r rów nań odchyłek kształtu:
f ^ L , , L 2 , . . . . . L n) = « l f (20) /2 (^1 > ^2 >...Zz/j) C02 ,
f r , Z*2 , ...kjn] —- ,
k tó re po w yrów naniu, to jest uzupełnieniu poszczególnych L poprawkam i X, przem ienią się na związki (19).
Istnieją w praw dzie jeszcze dwa problem y w yrów nania spostrzeżeń: p o śre d nich z w arunkam i i zaw arunkow anych z niewiadomymi, których je d n a k om ó
wienie pomijamy, odsyłając czytelnika do dziel specjalnych. Zaznaczyć przy tym należy, że w yró w n an ie dow olnego rodzaju spostrzeżeń da się sprowadzić do w yró w n an ia spostrzeżeń pośrednich.
W e wszystkich przypadkach w yrów nania spostrzeżenia mogą być rów no- lub ró żnodokladne; w tym ostatnim przypadku należy każdemu spostrzeżeniu nada ć odpow iednią w agę, i to albo wedle końcowych uwag § 2 , albo, jeśli spo
strzeżenie L przedstaw ia średnią arytm etyczną z m s p o s t r z e ż e ń — w agę rów ną liczbie m .
§ 4. O g ó ln a z a sa d a w y ró w n a n ia : b łę d y śred n ie n iew ia d o m y ch m ają b y ć najm niejsze R ów nania błędów, w zględnie odchyłek, użyte do w yrów nania muszą mieć formę liniową, aby wyniki były jednoznaczne. Nadajemy im tę formę, r o z wijając je w szereg Taylora, z pominięciem w yrazów rzędów wyższych niż pierwszy.
i = x — ar0 , 7) = y — y 0 , C ==z — z 0 , ..., otrzymamy biorąc pod uwagę rów nanie błędów (18) § 3-gO:
h = f i (x > !J > 3 >... ) — Ót.= f f (-ro > i o > 3o > ) +
+ M + | ^ + f l c + ...- £ t f i 1 )
da’0 <fy0 0zo
lub == a; £;gp bi 7] + Cj ę - p + J,, (22)
p r z y c z y n i it 'ż= ft.(x0 , y 0 , z0.>...) — ■ ( ^ ) Analogicznie otrzymamy, biorąc pod uw agę praw dziw e w artości niew iado
mych X , Y, Z , ...
Si F—f i (A j 1 > 2 / , ... ) t y ~ f i (‘z o > ?/o ’ 3o.>...) d~
+ | ^ 4 ' + | ^ V + - f i ę ' - t - ...- ¿ i (24)
^ 2 0
lub Si = ai £' + b i t f -p ci C' - p + ¿i, (25)
przy czym 4' = X — ;r0 , t\' = Y — y 0 , C' = Z — z0 . (26) Przedstaw m y związki (21), (24) i (23) w zm ienionych nieco formach:
f i ( x , y , 3 > ) = L < + Xi, _ (27) f i ( X , Y, Z , ) = (Li -p s.) == L / (wartość praw dziw a spostrzeżenia), (28) f i (*„, i/0 , z0 , ) = (Li + L) (związek bezbłędny). (29) W artości ?/, z , uzyskane rachunkiem wyrównawczym ze sp o strze
żeń L , obarczonych błędam i X, mogą być tylko funkcjami poszczególnych L , z a t e m ' ,t0 + £ = # = <?* ( L j , L 2 , L 3 , ... L „ ) , (30)
J/o d~ ^ = ~ J/ == C^i > 2^2 > ¿ j , ... 7-h) , z 0 ~P i. = z = cp- ( L j , L 2 , L3 , ... L n) !
Ponieważ związki te są ważne dla dowolnych błędów X, przeto i dla ?--- 0, co ma miejsce w związkach (28) i (2 9 ); wobec tego będzie
a-’0 + £' = Ar = (p* (Lj d~ s t , L 2 + s2 , ... L„ -p s„) = (31)
= cp* {L1, L 2 , L„) -p aj Sj -p a 2 ex + ...-p a„ s„ , lJ 0 + Ti' = l r= Ty (Li + Sj , L 2 + s2 , ... Ln + Sn) =
— 9y (2^i > L 2 , L„) -p -i- ¡3, s2 d~...d- p« s„ , z 0 + l,' — Z — cp- (Lj + e3 , L 2 + s2 , ...L„ + s„) =
= ?S ( L i, L 2, L„) + .Tj sŁ + t 2 s2+ ...-p y„ s„ ,
,r0 == <px (L ł -p Zj, L , + J2 , ... L„ + ln) = (32)
! ?*■ (T-i, L 2 , L„) -p aj Zj + a , ¿2 - p ...+ a„ L , J/o ?y (7j i ~P L , L 2 d~ L , ... L n d~ Li) -—
: ?y ( L i1 L 2 , L„) -h pi f 4- p27 2 d- ... -p p« Lt, 3o (Lj d- L , L 2 -p Ą , ... L n d- J«)==
: (L t , .L j ,... L„) -p-fj L d - y , l 2 + ...d- Tn ln ,
13
d'?x q d<fy d ę -
przy czym - T- , Pi = ^ f , Yi = - 7 •
a Li o Li o Li
Odejm ując związki (30) od (32) otrzym amy:
— i = ;r0 — X = [ a . i ] , (33)
— • ' ¡ = y n — =
— C z = [ T i ] ,
a związki (31) od (32):
— £' = ;r0 - - Y = M — [ a s ] , (34) //o — r = E P ¿] — [ p s ],
_ C ' = ś 0: _ Z = [t;2] - [ y > ] , zaś związki (30) od (31):
£ ' - £ = [aeJ, (35)
rl' — ri — [p s], C '— { = $ 6] ,
R ugując w związkach (34) poszczególne s przy pomocy związku (25), otrzy
mamy po uporządkow aniu i obustronnej zmianie z n a k ó w :
5' = [ a a ] £ ' + [ćaJr/ + [ c a K ' 4 : ... (36)
7 i ' = [ a ^ ' + [ ó p ] v i ' + [ c M C ' + ...
V = [ a - i] i ' + [ b ’( ] r l' + [c- (]V + ...
P o n ie w a ż — ja k poprzednio za z n a c z o n o — niewiadome, a zatem i ich po
prawki są od siebie niezależne, przeto rów nania (36) mogą istnieć tylko w przypadku, gdy:
[ a a ] = L , [¿a] = 0 , [ca] = 0 , ... (37)
[fl.p ] = 0 , [ ó p ] = l , [ c p ] = 0 , ...
[a.Y] = 0 , [¿7] = 0, {c t ] = 1 , ...
Są to bardzo ważne w arunki odnoszące się do pochodnych (współczynni
ków) a , p , 7 , ...
N atom iast praw o przenoszenia się błędów zastosow ane do związków (33), dostarcza nam k w a dratów średnich b łęd ó w niewiadomych:
[kr2 — a j 2 [1.J2 + a , 2 a 2- + ... + a ;i2 ¡V2, (38)
0 . / = = ^ ^ + ^ ; ^ + ...+ P„3 !k(2 ,
= Ti2 u-!2 + Y2 2 ^2" -t~... + Y«2 l2-«2 j
(przy czym założono, że spostrzeżenia i są o różnej dokładności, czyli o róż
nych błędach średnich, a tym samym o różnych wagach p).
Na podstawie w zoru (14) § 2-go można położyć
u, 2 = ^ > (39)
Pi
