Zadania do ćwiczeń z tematyki podstawowej opory cieplne, strumienie, obliczanie oporów wielowarstwowych ścian, etc. ĆWICZENIA zadania typu 1

Zadania do ćwiczeń z tematyki podstawowej

opory cieplne, strumienie, obliczanie oporów wielowarstwowych ścian, etc

ĆWICZENIA – zadania typu 1

zad 1

Wyznaczyć maksymalny promień warstwy cylindrycznej, dla której straty cieplne z powierzchni izolacji są najmniejsze. Dane są wielkości następujące:

współczynniki przejmowania ciepła z powierzchni zewnętrznej ściany z i w

przewodność cieplna właściwa  izolacji. Promień wewnętrzny ^rw .

Suma wszystkich oporów:

W_c=ln





2  r 1

_z2  r 1

_w2 r_w

aby wyznaczyć promień dla którego mamy minimalne straty cieplne, czyli W osiąga maksimum należy wyznaczyć:

dW_c dr =0

dW_c dr =

1 r_z⋅r_z

r

2 − 1

_z2  r²

= 0 czyli

1 r

2= 1

_z2 r²

r_max= 

_z

zad 2

Obliczyć straty cieplne rurociągu stalowego o średnicy zewnętrznej dz = 800 mm, grubości

_r = 20 mm i długości l = 15m, wymurowanego od wewnątrz warstwą szamotu o grubości

_sz = 60 mm, przy czym między cegłą a ścianą ułożono w połowie przekroju warstwy warstwę azbestu, a w drugiej połowie zasypkę z diatomitu. Grubość tej warstwy 2 = 5 mm. Temperatura gazów płynących wewnątrz rurociągu t_w=600^OC a temperatura otoczenia ^to = 20 ^oC . Współczynniki przejmowania ciepła z powierzchni zewnętrznej rurociągu z = 12 W

m² K , i

wewnątrz _w =25 W

m² K . Dane materiałowe:

r = 42 W m K sz = 0,7 W m K az = 0,16 W

m K di = 0,14 W m K

zad 3

w komorze zainstalowany jest grzejnik o mocy 600 kW. 95 % mocy doprowadzonej wykorzystuje się do suszenia, zaś pozostałą część stanowią straty do otoczenia przez ściany komory. ściany te o grubości  = 0,25 m i powierzchni 220 m² wykonane są z cegły o  = 0,29 W

m K . Temperatura zewnętrznej powierzchni ściany wynosi Tz = 313 K. Obliczyć Tw na wewnętrznej powierzchni.

P = 600000W

P_o = 5% z 600000 = 30 000 W W= 

F = 3,918 E-3

T = ^Po⋅W = 117,6 K

T_w = T + Tz = 430,6 K

zad 4

Ogniotrwała ściana płaska o 1 = 0,24 m wykonana jest z materiału o przewodności cieplnej właściwej 1 = 1,34 W

m K . Ściana izolowana jest warstwą o iz = 0,35 W

m K . W stanie cieplnie ustalonym straty cieplne izolowanej ściany nie powinny przekroczyć q = 1820 W

m² . Przy założeniu, że temperatura na powierzchni wewnętrznej ściany Tw = 1588 K, a temperatura na zewnątrz ^T_o = 263 K, obliczyć wymaganą grubość warstwy izolacyjnej. Współczynnik

przejmowania ciepła z powierzchni zewnętrznej ściany z = 10 W m² K .

rozwiązanie:

W₁ = ₁

₁ F = ^0,179 F

W_z = 1

_zF = 0,1

F

q=T W F =

T

₁

₁ _x

_iz1

_z

T q =₁

₁ _x

_iz1

_z stąd _x

_iz=0,449 czyli x = 0,157 m

zad 5

Ściana pieca elektrycznego złożona jest z następujących warstw:

1. wykładzina szamotowa o grubości 1 = 0,1 m i 1 = 0,7 W m K 2. ułożone na przemian obok siebie cegły o 2c = 0,4 W

m K i izolacja cieplna o 2i = 0,15 W

m K . grubość tych warstw w kierunku przewodzenia ciepła są sobie równe i wynoszą 2 = 0,15 m, a szerokości b2i=b_2c = 0,1 m

3. warstwa blachy stalowej o grubości ₃ = 3 mm i ₃ = 40 W m K

temperatura wewnątrz pieca jest równa t1 = 780 ^oC , a w otoczeniu ^t2 = 40 ^oC .Współczynniki przejmowania ciepła z powierzchni zewnętrznej ściany z = 5 W

m² K , i wewnątrz pieca w = 40 W

m² K . Obliczyć gęstość strumienia cieplnego przenikającego przez ścianę w stanie cieplnie ustalonym.

określamy opór jednostkowy warstw(tzn na 1 m² ) czyli K m² W k₁ = 0,143

k₃ = 0,000075 k₂ = k_2ik_2c

k_2ik_2c = 0,273 k_z = 0,2

k_w = 0,025

∑

q=T

k = 1154,4 W m²

zad 6

Obliczyć równoważną przewodność cieplną właściwą pakietu blach transformatorowych,

złożonego z n =100 arkuszy blach o grubości _b = 0,5 mm, odizolowanych papierem o grubości

_p = 0,05 mm. _p = 0,116 W

m K , _b = 63 W m K

W_p=99 _p

_pF W_b=100 _b

_bF W_z=100 _b99 _p

_zF Wz=W_pW_b

_z = 1,28 W m K

zad 7

obliczyć równoważną przewodność cieplną właściwą pakietu blach transformatorowych, z danymi jak w zadaniu poprzednim, przy założeniu, że uwzględniamy opory cieplne, dla przepływu ciepła w kierunku równoległym do blach.

czyli wzory są zupełnie inne, wzór dla oporu stawianego przez jedną warstwę blachy:

W_b= b

_ba _b W_p= b

_pa _p

W_z= b

_za 100_b99 _p

1 W_z=99

W_p100 W_b czyli

1 W_z=99

W_p100 W_b

_za100_b99 _p

b =100_ba _b

b 99 _pa _p b

_z100_b99 _p=100 _b_b99 _p_p

_z=100 _b_b99 _p_p

100_b99 _p = 57,35 W/mK

Zad 8

Przez aluminiową żyłę kabla o średnicy ^d1 = 1 cm płynie prąd o natężeniu I=400 A. Obliczyć temperaturę na styku izolacji i żyły, jeżeli temperatura na powierzchni ^to = 0^oC ,

_iz = 0,15 _{m K}^W , D = 2 cm, ^Al = 5⋅10⁻⁶ m .

opór izolacji:

W = ln D d₁ 2  l

= ^0,735_l

P = t

W i P = R_Al⋅I² = ^{4 All}

d₁²⋅I² czyli t = ^{4 All}

d₁²⋅I²W ponieważ t = t – 0 to t = ^{4 All}

d₁² ⋅I²0,735

l = ^{4 Al}

d₁²⋅I²0,735 =74,867

ZAD 9

obliczyć współczynnik przejmowania ciepła we wnętrzu cylindrycznego pieca długości l =1 m, o następującym kształcie:

dane :

średnica zewnętrzna: D = 500 mm

stal: grubość ^Fe = 5 mm, ^Fe = 40 _{m K}^W cegła czerwona: 2 = 30 mm, Fe = 0,7 _{m K}^W diatomit: ^2 = 30 mm, ^d = 0,13 _{m K}^W szamot: sz = 20 mm, sz = 0,9 _{m K}^W temperatura zewnętrzna: tzew = 20^oC temperatura wewnętrzna: ^twew = 527^oC

_zew = 5 ^W m²K obliczenia:

promień zewnętrzny (stali):

rfe = 0,250 m

promień warstwy drugiej rcz = 0,245 m

promień warstwy szamotu r_sz = 0,215 m

promień wnętrza cylindra r_w = 0,195 m

Stal

Cegła czerwona

diatomit szamot

wnętrze

Zmierzona temperatura między warstwą stali a warstwą drugą ts = 22ºC

opory:

W_Fe= ln r_fe

r_cz 2 _Fel

= 8,04⋅10⁻⁵

W_cz= lnr_cz

r_sz

_czl

= 0,059

W_d= lnr_cz

rsz

_dl

=0,320 W₂ = 0,05 K/W

W_sz= lnr_sz

r_w 2 _szl

= 0,017

W_z= 1

_z⋅2 l r_fe = 0,127 Ww = ?

W_c=W_zW _feW₂W_szW_w = Ww + 0,195

Obliczam wartość mocy cieplnej przenikającej przez piec, korzystając z temperatury styku i temperatury zewnętrznej:

P=t_s−t_zew

W_zW_fe = 15,700 W

Teraz można wyznaczyć opór cieplny warstwy wewnętrznej:

P= t_wew−t_zew

W_zW_feW₂W_szW_w = W_w=t_wew−t_zew

P −W_zW_feW₂W_sz Ww = 32,1 K/W

obliczam współczynnik przejmowania ciepła z powierzchni wewnętrznej:

W_w= 1

_w⋅2 l r_w => _w= 1

W_w⋅2 l r_w = 0,025 W/m²K

zad 10

Wyznaczyć opór cieplny warstwy cylindrycznej, jak na rysunku:

wychodzimy z równania Fouriera:

q=−⋅ d t

d r => P=−⋅ d t

d r⋅F => P=−⋅ d t

d r⋅2⋅⋅r⋅l => P1

rd r =−⋅ d t⋅2⋅⋅l po scałkowaniu obydwu stron (lewej po promieniu a prawej po temperaturze), otrzymujemy:

P ln r_z−ln r_w=−⋅t_z−t_w⋅2⋅⋅l ponieważ zakładamy, że tz < tw , zamieniamy miejscami temperatury w nawiasie – likwidujemy minus:

P⋅ln r_z

r_w=⋅t_w−t_z⋅2⋅⋅l =>

W =t_w−t_z P

=>

t_w−t_z

P =

ln r_z r_w 2⋅⋅l

zad11

Element grzejny żelazka w temperaturze ^tg = 400 ^oC o wymiarach 5 cm x 10 cm jest zaprasowany w szamocie o grubości

_sz = 10 mm, w połowie warstwy. Spód żelazka jest wykonany ze stali o grubości fe = 10 mm. Temperatura na spodzie żelazka ^t3 = 200 ^oC . Określić temperaturę t2 na styku stali i szamotu, moc żelazka, przy założeniu że 50 % mocy jest oddawane w kierunku spodu. sz = 0.8

W

m K _fe = 45 W m K

r_z

r_w λ

stal Element

grzejny

opory:

W_fe = _fe

_feF = 0.04444 W_sz = 0.5⋅_sz

_szF = 1.25 opor w kierunku spodu

W_d = 1.29 P_d = t_g−t₃

W_d = 155 W P = 310 W

spadek temperatury na szamocie ^Pd⋅W_sz = 193.75 tzn temperatura na styku stali i szamotu 206.25

zad12

Obliczyć temperaturę otoczenia w jakiej umieszczona jest sfera, jeżeli wewnętrzna jej temperatura wynosi 973K, a temperatura między warstwą szamotu a drugą warstwą 773 K. z = 15

W

m² K , w = 25 W m² K .

dw = 30 mm.

Sfera składa się z następujących warstw, patrząc od strony wewnętrznej:

1. szamotowa cegła - grubość _sz = 30 mm, _sz = 0.8 W m K

2. dwie warstwy różnych cegieł, położone na przemian, tak że w całości tworzą dwie połówki kuli ₂ = 50 mm , ₂₁ = 0.15 W

m K , ₂₂ = 0.3 W m K . Fe

2

sz d_w

t₁

3. blacha - grubości fe = 10 mm, fe = 50 W m K .

najpierw wyznaczamy promienie kolejnych warstw r_w = 0.015 m

r_sz = rw_sz = 0.045 m r₂ = 0.095 m r_fe = 0.105 m

W_sz = 1 4  _sz



−1

r_sz



W₂₁ = 2 4  ₂₁



−1

r₂



W₂₂ = 2 4  ₂₂



−1

r₂



W₂ = W₂₁ ⋅W₂₂

W₂₁ W₂₂ = 4.13 K W W_fe = 1

4  _fe



−1

r_fe



_w4  r_w² = 14,147 K W W_z = = 1

_z4 rfe2 = 0,481 K W

W = ^Wz + ^Ww + Wfe + ^W2 + Wsz = 23.187 K W P = 973−T_o

W czyli To = 973 – P ·W

aby policzyć strumień cieplny korzystamy z danych wartości temperatur na oporach wewnętrznym i szamotu:

P= 973−773

W_szW_w = 10.77 W T_o =723,24 K

zadanie 13

Przewód miedziany o średnicy D = 6 mm, umieszczony jest w temperaturze otoczenia ^to = 10 ^oC , z = 10 W

m² K . Grubość izolacji przewodu iz = 2 mm,

_iz = 0.6 W

m K , rezystywność aluminium - ^AL = 3 ⋅10 ⁻⁸ m . Obliczyć prąd płynący

przewodem, jeżeli znamy temperaturę na styku izolacji poliwinitowej i aluminium ^ts = 50 ^oC .

najpierw wyznaczamy średnice kolejnych warstw D = 0.006 m, R = 0.003 m

d_iz = 0.01 m opór izolacji

W_iz = ln





2  l _iz

= 0.136 ¹ l

K W

W_z = 1

_zd_izl = 3.183 W=3.319

P = 40

W_iz = 12.052⋅l W

R=_AL l

R² - l się skraca P=_AL4 l

D²I² I = 106.577 A

Zadanie 14

Przez przewód energetyczny przepływa prąd o natężeniu I = 100 A. Średnica żyły kabla energetycznego wynosi 25 mm². Grubość izolacji przewodu wynosi δ = 1 mm, λ = 1,3 W/mK.

Sprawdzić temperaturę na styku metalu i izolacji, jeżeli przewód został umieszczony w powietrzu o temperaturze 15ºC (αz = 20 W/m²K). Rezystywność miedzi ρ = 3·10^-8 Ωm.

r_kab=



W_iz= lnr_zew

r_kab 2 _izl

= 0,037/l K/W

W_zew= 1

_zew⋅2  l r_zew = 2,083/l K/W obliczam moc która wydziela się w żyle kabla

R=_al⋅l

S = 0.0012 l P=R⋅I² = 12 · l W

spadek temperatury na oporach cieplnych izolacji i powietrza zewnętrznego:

t_s−t_o=P⋅W_zewW_iz = 25,437 ts = 40,44ºC

Zadanie 15

W kulistym pojemniku o promieniach wewnętrznym ^rw = 10 cm, zewnętrznym R = 100 cm, wydziela się moc objętościowa pv = 5 kW

m³ . Sfera umieszczona jest w ^to = 20 ^oC ,

_z = 15 W

m² K , ^w = 7 W

m² K . Określić temperaturę wewnątrz kuli? λ = 10 W/mK

W₁ = 1 4  



−1

R



W_w = 1

_w4  r_w² = 1.137 W_z = 1

_w4  R² = 0.0053 W = ^W1 W_wW_z = 2.609 _W^K P = pv

4

3 ⋅r₁³ = 20.94 W t_w=P⋅Wt_o = 45,42 ^oC