siłą normalną i momentem zginającym 6
Wprowadzenie
W ogólnym przypadku belka może być obciążona siłami normalnymi i momentami zginającymi w sposób pokazany na rys. 6.1.
Rys. 6.1.
Do określania dodatnich wartości sił normalnych i momentów zginających zastosujemy następującą konwencję
siły normalne N – dodatnie w przypadku rozciągania (rys. 6.2)
Rys. 6.2.
momenty gnące M (płaszczyzna z Π ) – dodatnie w przypadku wyginania belki xy wypukłością ku dołowi (rys. 6.3)
Rys. 6.3.
momenty gnące M (płaszczyzna y Π ) – dodatnie w przypadku wyginania belki xz
wypukłością ku dołowi (rys. 6.4)
Rys. 6.4.
Zgodnie z przyjętą konwencją zależność na naprężenia normalne zapiszemy w spo- sób następujący
I y z M I M A σ N
z z y
n = − y −
Wprowadzamy pojęcie wskaźnika wytrzymałości przekroju na zginanie
zmax
Wy = Iy
ymax
Wz = Iz
Zależność na maksymalne naprężenia normalne ma postać
z z y
n y W
M W
M A
σ |N| | | | |
max = + +
Równanie osi obojętnej (σn =0) wyprowadzamy z poniższej zależności
=0
−
− y
I z M I M A N
z z y
y
Zadanie 6.1.
Belka o długości l2 jest obciążona w sposób przedstawiony na rys. 6.5. Belka ma przekrój dwuteowy. Wyznaczyć maksymalne naprężenia normalne wywołane momen- tem zginającym oraz narysować bryłę naprężeń normalnych. Dane: P =2kN; l =1m.
Rys. 6.5.
Rozwiązanie
Obliczamy siły wewnętrzne w belce (rys. 6.6).
Zgodnie z przyjętą konwencją zapisujemy
• przedział CB: 0≤x ≤l x P Pl x
My( )=− +3 l P My(0)=−
l P l My( =) 2
• przedział BA: l ≤x ≤2l ) ( 2 3
)
(x Pl Px P x l
My =− + − −
l P l My( =) 2
l P l My(2 )=3
Rys. 6.6.
Maksymalne naprężenia normalne wywołane momentem gnącym wystąpią w utwier- dzeniu (punkt A), gdzie wartość momentu jest równa
m N 000 6 m kN 6
3 = ⋅ = ⋅
= Pl My
Moment bezwładności Iy wyliczony został na ćwiczeniach 5 (str. 5-6) i jest równy
4 6 4 19,2 10 m cm
1920 = ⋅ −
y = I
Maksymalne naprężenia normalne wywołane momentem gnącym możemy zapisać jako MPa
m 25 10 N 25 08 , 10 0 2 , 19
| 6000
|
2 6 max 6
max ⋅ = ⋅ =
= ⋅
= − z −
I σ M
y n y
Naprężenia w poszczególnych punktach przekroju (rys. 6.7) będą natomiast równe
• punkty D i E: zD = zE =0,08m
MPa 25 08 , 10 0 2 , 19
6000
6 E
D ⋅ =−
− ⋅
=
−
=
= z −
I σ M σ
y n y
n (ściskanie)
• punkty F i G: zF = zG =−0,08m
MPa 25 ) 08 , 0 10 ( 2 , 19
6000
6 G
F ⋅ − =
− ⋅
=
−
=
= z −
I σ M σ
y n y
n (rozciąganie)
Bryłę naprężeń przedstawiono na rys. 6.7.
Rys. 6.7.
Zadanie 6.2.
Belka o długości l obciążona w sposób przedstawiony na rys. 6.8, ma przekrój pro- stokątny o wymiarach a 2× a. Wyznaczyć wymiary przekroju poprzecznego, jeżeli wiadomo, że dopuszczalne naprężenia na zginanie są równe kg =80MPa. Dla wyzna- czonych wymiarów przekroju obliczyć naprężenia w punktach D, E, F i G oraz nary- sować bryłę naprężeń. Dane: P =3kN; M =4kN⋅m; l =1m.
Rys. 6.8.
Rozwiązanie
Zgodnie z przyjętą konwencją, sporządzamy wykresy sił wewnętrznych (rys. 6.9).
Rys. 6.9.
Wartości momentu gnącego w punkcie A są równe m kN 3 ⋅
−
=
−
= Pl My
m kN 4 ⋅
−
=
−
= M Mz
Zależność na naprężenia normalne przyjmie postać
z g z y
y
n y k
I z M
I
σ −M + − ≤
= max max
max | | | |
gdzie: zmax =a oraz ymax =a/2. Momenty bezwładności przekroju są równe
3 4
3 2 12
) 2
( a a
Iy =a⋅ =
3 4
6 1 12
2a a Iz =a ⋅ = Ostatecznie możemy zapisać
6 4
3
4 3
10 2 80
6 1
| 10 4
| 3
2
| 10 3
|− ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅a ≤ ⋅ a
a a
3 3
10 80
5 , 16
≥ ⋅ a
m 10 1 , 59 ⋅ −3 a ≥
Przyjmujemy a =0,06m. Momenty bezwładności przekroju są równe
4 3 6
m 10 64 , 12 8
12 , 0 06 ,
0 ⋅ = ⋅ −
y = I
4 3 6
m 10 16 , 12 2
12 , 0 06 ,
0 ⋅ = ⋅ −
z = I
Naprężenia w poszczególnych punktach przekroju będą równe
• punkt D: yD =0,03m; mzD =0,06
MPa 39 , 76 03 , 10 0 16 , 2
10 06 4
, 10 0 64 , 8
10 3
6 3 6
3 D
D D ⋅ =
⋅
⋅
− −
⋅ ⋅
⋅
− −
=
−
−
= I z MI y − −
σ M
z z y
n y
• punkt E: yE =−0,03m; mzE =0,06
MPa 72 , 34 ) 03 , 0 10 (
16 , 2
10 06 4
, 10 0 64 , 8
10 3
6 3 6
3 E
E E ⋅ − =−
⋅
⋅
− −
⋅ ⋅
⋅
− −
=
−
−
= y − −
I z M I σ M
z z y
n y
• punkt F: yF =−0,03m; mzF =−0,06
MPa 39 , 76 ) 03 , 0 10 ( 16 , 2
10 ) 4
06 , 0 10 (
64 , 8
10 3
6 3 6
3 F
F F ⋅ − =−
⋅
⋅
− −
−
⋅ ⋅
⋅
− −
=
−
−
= y − −
I z M I σ M
z z y
n y
• punkt G: yG =0,03m; mzG =−0,06
MPa 72 , 34 03 , 10 0 16 , 2
10 ) 4
06 , 0 10 (
64 , 8
10 3
6 3 6
3 G
G G ⋅ =
⋅
⋅
− −
−
⋅ ⋅
⋅
− −
=
−
−
= I z MI y − −
σ M
z z y
y n
Równanie osi obojętnej ma postać
=0
−
− y
I z M I M
z z y
y
y y
I y I M y M z
z y y z
3 16 16
, 2
64 , 8 3 ) 4
( =− =− ⋅ =−
Bryłę naprężeń przedstawiono na rys. 6.10.
Rys. 6.10.
Zadanie 6.3.
Rama o przekroju prostokątnym obciążona jest siłami NP1 =2400 oraz P2 =600N (rys. 6.11). Wymiary przekroju poprzecznego są następujące: mb =0,06 i h =0,1m. Wyznaczyć naprężenia normalne wywołane siłą normalną oraz momentami zginają- cymi w przekroju najbardziej obciążonym – utwierdzenie. Narysować bryłę naprężeń (określić naprężenia w punktach D, E, F i G) i wyznaczyć równanie osi obojętnej.
Rys. 6.11.
Rozwiązanie
Zgodnie z przyjętą konwencją, sporządzamy wykresy sił wewnętrznych (rys. 6.12).
W miejscu utwierdzenia występują następujące rodzaje obciążeń
• siła normalna N =2400N
• moment zginający mMy =−1800 ⋅N
• moment zginający mMz =2400 ⋅N
Rys. 6.12.
Zależność na naprężenia normalne ma postać I y z M I M A σ N
z z y
y
n = − −
Momenty bezwładności przekroju są równe
4 3 6
3 5 10 m
12 1 , 0 06 , 0
12 = ⋅ = ⋅
= bh Iy
4 3 6
3 1,8 10 m
12 1 , 0 06 , 0
12 = ⋅ = ⋅ −
= b h Iz
a pole powierzchni
2 3m 10 6 1 , 0 06 ,
0 ⋅ = ⋅ −
=
= hb A
Rozpatrywane punkty przekroju poprzecznego mają współrzędne m
03 ,
D =0
y yE =−0,03m yF =−0,03m yG =0,03m m
05 ,
D =0
z zE =0,05m zF =−0,05m zG =−0,05m
Naprężenia w poszczególnych punktach są równe
• punkt D:
MPa 6 , 21 03 , 10 0 8 , 1 05 2400 , 10 0 5
1800 10
6 2400
6 6
D 3
D D ⋅ =−
− ⋅
⋅ ⋅
− −
= ⋅
−
−
= I z MI y − − −
M A σ N
z z y
n y
• punkt E:
MPa 4 , 58 ) 03 , 0 10 ( 8 , 1 05 2400 , 10 0 5
1800 10
6 2400
6 6
E 3
E E ⋅ − =
− ⋅
⋅ ⋅
− −
= ⋅
−
−
= y − − −
I z M I M A σ N
z z y
n y
• punkt F:
MPa 4 , 22 ) 03 , 0 10 (
8 , 1 ) 2400 05 , 0 10 ( 5
1800 10
6 2400
6 6
F 3
F F ⋅ − =
− ⋅
−
⋅ ⋅
− −
= ⋅
−
−
= I z MI y − − −
M A σ N
z z y
n y
• punkt G:
MPa 6 , 57 03 , 10 0 8 , 1 ) 2400 05 , 0 10 ( 5
1800 10
6 2400
6 6
G 3
G G ⋅ =−
− ⋅
−
⋅ ⋅
−−
= ⋅
−
−
= y − − −
I z M I M A σ N
z z y
n y
Równanie osi obojętnej ma postać
=0
−
− y
I z M I M A N
z z y
y
10 0 8 , 1
2400 10
5 1800 10
6 2400
6 6
3 =
− ⋅
⋅
− −
⋅ − − z − y
9001 100 −27
= y
z
Bryła naprężeń dla rozpatrywanego przekroju została przedstawiona na rys. 6.13
Rys. 6.13.
