ocen wariantów przy różnej ważności kryteriów

piotr Dworniczak

Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu

zAStOSOwAnie pArAMetryczneJ

iMpliKAcJi rOzMyteJ DO wyznAczAniA Ocen wAriAntów przy różneJ

wAżnOści Kryteriów

Streszczenie: W artykule przedstawiono zastosowanie pewnej klasy parametrycznych implikacji rozmytych do wspomagania decyzji przy wielu niejednakowo ważnych kryte- riach oceny. Podano przykład liczbowy ilustrujący metodę. Omówiono jej najważniejsze wady i zalety.

Słowa kluczowe: wspomaganie decyzji, parametryczne implikacje rozmyte.

1. wielokryterialność

W praktyce gospodarczej tylko w wyjątkowych wypadkach nie mamy do czynie- nia z wielokryterialnymi ocenami wariantów (określenie „wariant”, stosowane w tym artykule, bywa używane zamiennie z określeniami: „opcja”, „alternaty- wa”, „możliwość”, a nawet „decyzja”). Kryteria powinny umożliwić ocenę róż- nych wariantów, jednakże przy ich wielości może dochodzić do konfliktów, gdy warianty uznane za lepsze według jednego kryterium nie będą takie według inne- go. Ponadto, nawet jeśli konfliktu nie ma, porównanie wariantów nie jest łatwe ze względu na możliwy brak relacji porządkującej. Wyboru dokonuje się wówczas za pomocą pewnego pośredniego lub zagregowanego kryterium. Pojawiające się w takim wypadku problemy ujednolicenia miar, co w artykule będzie określane mianem kodowania i tworzenia owego agregatowego kryterium, zostały w naj- częściej występujących problemach dość dawno pokonane. Początek dała temu praca Hellwiga [1968], który zdefiniował też pojęcia stymulanty i destymulanty.

Kryterium jest stymulantą, gdy wyższa jego wartość powoduje lepszą ocenę wariantu, natomiast destymulantą, gdy wyższa jego wartość powoduje gorszą

ocenę wariantu. Trzecią kategorią kryteriów są nominanty, z którymi mamy do czynienia wtedy, gdy wartości kryteriów powinny należeć do określonego prze- działu lub przyjmować określoną wartość.

Standardowe przejście od problemu wielokryterialnego do jednokryterialnego wymaga na wstępie zastosowania procedury kodowania, której efektem jest prze- kształcenie wartości mianowanych na niemianowane.

Przyjmijmy, że mamy określony skończony zbiór wariantów dopuszczalnych W = {W₁, W₂, …, W_n} oraz skończony zbiór kryteriów K ={K₁, K₂, …, K_k}. Ma- cierz X = [x_ij], i = 1, …, n, j = 1, …, k, to macierz ocen analizowanych wariantów według poszczególnych kryteriów. Macierz X przekształcamy do macierzy kodo- wanej Y = [y_ij]. Jednym ze sposobów kodowania jest procedura nazywana kodowa- niem Neumana–Morgensterna [Roy 1990]. Dla stymulant należy dokonać prze- kształcenia wyjściowych danych x_ij na y_ij według formuły min

max min

= −

−

ij i ij

ij i ij i ij

x x

y x x ,

gdzie min _ij

i x i max _ij

i x oznaczają odpowiednio najmniejszą oraz największą war- tość cechy według j-tego kryterium. W przypadku destymulant odpowiedni wzór ma postać max

max min

= −

−

ij ij

ij i

ij i ij

i

x x

y x x . Kodowanie destymulant w podany sposób po- woduje, że wartości po kodowaniu zachowują się jak stymulanty, tzn. im wyż- sza wartość kryterium, tym lepszy wariant. Według Wójciaka [2007, s. 50] odpo- wiednie przekształcenie dla nominant punktowych wyraża się formułą:

0 0

0 0

min dla ,

min

max dla ,

max

 −

≤

 −

=  −

 − >



ij i ij

ij j

j i ij

ij ij i ij

ij j

j i ij

x x

x x

x x

y x x

x x

x x

gdzie x_{0 j} oznacza wzorcową wartość nominanty.

W przykładzie numerycznym zastosowano formułę

0 0

0 0

1 dla ,

1 dla ,

 −

− ≤

=  − − >



j ij

ij j

ij ij j

ij j

x x

x x y d

x x

x x d

gdzie x_{0 j} oznacza wzorcową wartość nominanty, natomiast

{

}

max max , min

= _ij− _{j j}− _ij

i

d i x x x x .

Formuła ta pozwala rozróżnić nierównomierne rozłożenie kodowanych warto- ści względem wartości wzorcowej, podczas gdy w podanej wcześniej jednakowo traktuje się wartości położone skrajnie z prawej oraz lewej strony wartości wzor- cowej.

Kodowana, niemianowana wartość y_ij ∈ [0, 1] określa ocenę i-tego wariantu według j-tego kryterium i może być interpretowana jako stopień prawdziwości zdania „wariant x_i jest według j-tego kryterium najlepszy” w logice wielowarto- ściowej.

Interpretacja taka oznacza, że wariant scharakteryzowaliśmy za pomocą pew- nej własności. Własności przypisywane wariantom możemy podzielić na dwie grupy: własności, które dany wariant albo w pełni ma, albo w pełni ich nie ma, oraz takie, które dany obiekt posiada (wykazuje) w pewnym stopniu, w zależno- ści od (często subiektywnej) oceny. Pierwsze to tzw. własności predykatywne, drugie – niepredykatywne. Własności predykatywne mogą być opisane za pomo- cą pewnej funkcji zdaniowej, której argumentem jest nazwa wariantu, a wartością są prawda albo fałsz określone jednoznacznie, drugie natomiast są własnościami

„miękkimi”, a wartości logiczne prawda (1) lub fałsz (0) nie wystarczają do ich oceny. Bierzemy wtedy pod uwagę również wartości logiczne pośrednie między prawdą a fałszem, stosując logikę wielowartościową. Wartość 1 oznacza całko- wite posiadanie (spełnianie) danej własności, natomiast 0 jej całkowity brak (nie- spełnianie).

2. Agregacja ocen ważonych

W wypadku wielu kryteriów ogólna ocena wariantu to liczba otrzymana z cząst- kowych ocen dzięki ich swego rodzaju zespoleniu, scaleniu, znanemu w literatu- rze przedmiotu pod nazwą agregacji.

Operatorem agregacji (k-argumentowym) nazywamy [zob. np. Deschrijver i Kerre 2005, s. 233] funkcję A: [0, 1]^k → [0, 1], k ∈ N, spełniającą warunki:

1) (∀r = 1, 2, …, k : a_r ≤ b_r) ⇒ A(a₁, a₂,…,a_k) ≤ A(b₁, b₂,…,b_k), 2) A(0, 0, …, 0) = 0 i A(1, 1, …, 1) = 1,

3) A(a) = a.

Liczbę A(a₁, a₂,…,a_k) nazywa się w skrócie agregacją liczb a₁, a₂,…,a_k.

Podstawowymi operatorami agregacji są normy trójkątne, operatory kom- pensujące, operatory uśredniające i operatory uporządkowanej średniej ważonej (OWA).

Kryteria w subiektywnej ocenie decydenta mogą mieć różną ważność, wpływającą istotnie na ostateczną ocenę wariantu. Z rachunkowego punk-

tu widzenia kryteriom mogą być wówczas przypisane pewne stopnie ważności w₁, w₂, …, w_k ∈ [0, ∞]. Wówczas agregacja, będąca ogólną oceną wariantu, po- winna uwzględniać nie tylko wartości ocen według poszczególnych kryteriów, ale też stopnie ważności tych kryteriów. Podstawowymi operatorami agregacji w takim wypadku są:

1) norma trójkątna t z wagami A(a₁, a₂,…,a_k) = a t a t₁a t a t^w1₁^w1 ₂^w2₂^w2, ,…, ,… t …t at a_k^wk_k^w,^k 2) średnie ważone:

– arytmetyczna _{1 2} ¹

1

( , , , ) ⁼

=

… =

∑

∑

k r r r

k k

r r

w a

A a a a

w ,

– geometryczna

1 1

1 2

1

( , , , )

∑=

=

 

… =  



∏

kwr r r

k w

k r

r

A a a a a ,

gdzie w_r ≥ 0 (przy czym

1

∑

w > 0 oraz jeżeli k = 1, to w₁ = 1).

Najczęściej przyjmuje się, że stopnie ważności kryteriów w₁, w₂, …, w_k są licz- bami z przedziału [0, 1] oraz

1

∑

w = 1 i nazywa się je wagami. W dalszej części artykułu zakładać będziemy, że stopnie ważności kryteriów spełniają jedynie wa- runek w₁, w₂, …, w_k ∈ [0, 1].

Podejmując próbę agregacji wielu ocen przy różnej ważności kryteriów, po- winniśmy sobie zadać pytanie, jak uwzględnić wartości ocen wariantów według poszczególnych kryteriów i stopnie ważności kryteriów w ocenie ogólnej. W roz- wiązaniu tego problemu wyróżnić można dwa etapy. Na pierwszym, na podsta- wie oceny wariantu i stopnia ważności kryterium, według którego ocena ta zo- stała dokonana, wyznaczamy ocenę ważoną. Na drugim etapie z ocen ważonych tworzy się jedną, liczbową, zagregowaną ocenę wariantu.

Wyznaczanie oceny ważonej nie jest określone jednoznacznie. Najogólniej, je- żeli kodowaną oceną i-tego wariantu według j-tego kryterium, o stopniu ważno- ści w_j, jest y_ij, to oceną ważoną jest z_ij = f (w_j , y_ij), gdzie f: [0, 1]² → ℜ jest pewną

funkcją rzeczywistą. Zakłada się, że funkcja f powinna być monotoniczna wzglę- dem każdego argumentu, przy czym niemalejąca ze względu na drugi argument.

Carlsson i Fullér [2002, s. 89] podają ponadto, że funkcja f powinna spełniać wa- runki f (0, y_ij) = id oraz f (1, y_ij) = y_ij, gdzie id to element jednostkowy agregacji, to znaczy taki, że dołożenie go do wartości agregowanych nie zmienia wyniku ope- racji. Warto w tym momencie zauważyć, że nie można rozpatrywać wyznaczania oceny ważonej w oderwaniu od sposobu agregacji.

Jak zauważyliśmy wcześniej, funkcja f nie jest określona jednoznacznie. Zgod- nie z podejściem zaproponowanym przez Carlsona i Fulléra [2002, s. 90], jej war- tości można również wyznaczyć jako wartość logiczną implikacji: „ Jeżeli kryte- rium jest ważne, to jest spełnione”.

Wartość logiczna implikacji, wyznaczona dla każdego kryterium K_j i każ- dego wariantu W_i, zależy oczywiście w pewien sposób od wartości logicznych poprzednika „j-te kryterium jest ważne” oraz następnika „j-te kryterium jest spełnione przez i-ty wariant”. Przy wprowadzonych wcześniej oznaczeniach wartości te są równe odpowiednio w_j oraz y_ij. Ze względu na zakresy zmienności w_j oraz y_ij oczywista jest konieczność stosowania implikacji z logiki nieklasycz- nej.

3. implikacja rozmyta

Implikacja jest jednym z funktorów zdaniotwórczych. Wartość logiczna zda- nia złożonego, otrzymanego przez użycie implikacji, zależy od wartości logicz- nych poprzednika p i następnika q. W logice klasycznej implikacja „jeżeli p, to q” jest zdaniem fałszywym tylko wówczas, gdy jej poprzednik p jest zda- niem prawdziwym, a następnik q – fałszywym. W wypadku ocen wartości lo- gicznych zdań składowych z przedziału [0, 1] używa się pewnego uogólnienia takiej implikacji.

Definicja

Implikacja rozmyta [Czogała i Łęski 2001; Baczyński i Jayaram 2008] jest funk- cją I : [0, 1]² → [0, 1] spełniającą dla dowolnych x₁, x₂, x, y₁, y₂, y ∈ [0, 1] nastę- pujące warunki:

(i1) jeżeli x₁ ≤ x₂, to I(x₁, y) ≥ I(x₂, y), (i2) jeżeli y₁ ≤ y₂, to I(x, y₁) ≤ I(x, y₂), (i3) I(0, y) = 1,

(i4) I(x, 1) = 1, (i5) I(1, 0) = 0.

W literaturze rozważa się między innymi klasę tzw. S-implikacji (lub (S, N)-implikacji) [Baczyński i Jayaram 2008, s. 57].

Definicja

S-implikacja to funkcja I_S : [0, 1]² → [0, 1] określona formułą

I_S (x, y) = S(N(x), y),

gdzie S jest dowolną s-normą, a N dowolną negacją.

Klasyczne założenia, które muszą spełniać s-normy i negacje, nie pozwalają jednak na jednoznaczne wyznaczenie ich funkcyjnej postaci.

Jedną z s-norm jest parametryczna s-norma Sugeno S_λ:[0, 1]² → [0, 1] okre- ślona formułą [Pap, Z. Bošnjak i J. Bošnjak 2000, s. 125; Łachwa 2001, s. 53]:

S_λ(x, y) = min {1, x + y + λxy},

natomiast negacją (negacją Sugeno) [Baczyński i Jayaram 2008, s. 15] jest para- metryczna funkcja N_λ : [0, 1] → [0, 1] postaci

( ) 1 1

= −

λ + x

N x λx.

Poprawność określenia s-normy i negacji wymaga, by parametr λ spełniał waru- nek λ > –1.

Korzystając z definicji S-implikacji, zdefiniujemy implikację, którą nazwiemy parametryczną implikacją Sugeno¹.

Definicja

Parametryczna implikacja Sugeno (PIS) to funkcja I_λ : [0, 1]² → [0, 1] postaci

 

 

 

1 (1 )

( , ) min 1, 1

− + +

= +

λ x λ y

I x y

λx

 

 

 

1 (1 )

( , ) min 1, 1

− + +

= +

λ x λ y

I x y

λx .

1 Implikacja taka i jej proponowana nazwa nie występują w znanej autorowi literaturze.

Powyżej określona funkcja spełnia warunki implikacji rozmytej (i1)–(i5), gdyż:

(i1) jeżeli x₁ ≤ x₂, to

 − + +₁   − ₂+ ₂+ + +₁   − ₂+ + + ₂ − ₁  − ₂+ + 

1 2

1 2 2 1 2 2 1 2

1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 )

( , ) min 1, min 1, min 1, min 1, ( , )

1 1 1 ( ) 1

λ x λ y x x x λ y x λ y x x x λ y λ

I x y I x y

λx λx λx λx λx λ x x λx

=  + =  + − + =  + − − ≥  + =

 − + +₁   − ₂+ ₂+ + +₁   − ₂+ + + ₂− ₁  − ₂+ + 

1 2

1 2 2 1 2 2 1 2

1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 )

( , ) min 1, min 1, min 1, min 1, ( , )

1 1 1 ( ) 1

λ x λ y x x x λ y x λ y x x x λ y λ

I x y I x y

λx λx λx λx λx λ x x λx

=  + =  + − + =  + − − ≥  + = ;

(i2) jeżeli y₁ ≤ y₂, to

− + + − + + + + − + − + +

 ₁  _{1 2 2}  ₂

1 1 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) 2

( , ) min 1, min 1, min 1, ( , )

1 1 1

λ x λ y x λ y λ y λ y x λ y λ

I x y I x y

λx λx λx

=  + =  + ≤  + =

− + + − + + + + − + − + +

 ₁  _{1 2 2}  ₂

1 1 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) 2

( , ) min 1, min 1, min 1, ( , )

1 1 1

λ x λ y x λ y λ y λ y x λ y λ

I x y I x y

λx λx λx

=  + =  + ≤  + =

− + + − + + + + − + − + +

 ₁  _{1 2 2}  ₂

1 1 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) 2

( , ) min 1, min 1, min 1, ( , )

1 1 1

λ x λ y x λ y λ y λ y x λ y λ

I x y I x y

λx λx λx

=  + =  + ≤  + = ;

(nierówność zachodzi, gdyż (1 + λ) y₁ – (1 + λ) y₂ = (1 + λ) (y₁ – y₂) ≤ 0);

(i3) I_λ(0, ) min 1,1 (1y =

{

}

 1 

− + +

λ x+ λ

I x λx

1 (1 ) ( ,1) min 1,=  =1

 1 

− + +

λ x+ λ

I x λx ;

(i5) I_λ(1, 0) min 1, 0=

{ }

W literaturze, zwłaszcza dotyczącej zastosowań wnioskowania rozmytego, rzadko spotyka się implikacje parametryczne. Powodem tego jest zapewne to, że w zadanym problemie, aby uzyskać użyteczny wynik, należy ustalić wszyst- kie parametry. Jeżeli jednak dokonuje się tego na późnym etapie, uzyskuje się możliwość dostosowania ogólniejszego sposobu rozważań do konkretnej sytuacji problemowej. Występowanie parametru powinno zatem zostać uznane raczej za zaletę metody niż za jej wadę. Ustalając wartość parametru, otrzymuje się szcze- gólne przypadki PIS, którymi są na przykład:

a) I_{λ = 0} (x, y) = min {1, 1 – x + y} (implikacja Łukasiewicza), oraz graniczne:

b) 1, gdy ,

( , ) min 1,

, gdy ,

→∞

 ≥



 

=    = <

λ

y y x

I x y x y y x

x

1, gdy , ( , ) min 1,

, gdy ,

→∞

 ≥



 

=    = <

λ

y y x

I x y x y y x

x

(implikacja Gainesa-Goguena),

c) ¹

{ }

min 1,1 , gdy 1, 1, gdy 1,

1 0 1

( , ) min 1,

, gdy 1.

1 ( 1) min 1, , gdy 1,

+

+

→− +

  −  ≠ ≠

 − +    −  

=  + −   =   = = =

λ

x x x

x y x

I x y

y x

x

{ }

1

min 1,1 , gdy 1, 1, gdy 1,

1 0 1

( , ) min 1,

, gdy 1.

1 ( 1) min 1, , gdy 1,

+

+

→− +

  −  ≠ ≠

 − +    −  

=  + −   =   = = =

λ

x x x

x y x

I x y

y x

x y x

1

{ }

min 1,1 , gdy 1, 1, gdy 1,

1 0 1

( , ) min 1,

, gdy 1.

1 ( 1) min 1, , gdy 1,

+

+

→− +

  −  ≠ ≠

 − +    −  

=  + −   =   = = =

λ

x x x

x y x

I x y

y x

x y x

Rozważając własności implikacji I_λ nietrudno stwierdzić, że

1, gdy ,

1 (1 )

( , ) min 1, 1 1 (1 ) , gdy ,

1

 ≥

− + + 

=  + = − + + <

 

  +

λ

x λ y y x

I x y λx x λ y y x

λx

co oznacza, że dla y ≥ x funkcja I_λ (x, y) jest stała, natomiast dla y < x funkcja I_λ (x, y) jest nierosnąca ze względu na λ, gdyż wówczas

( ) ( )

2 2

(1 ) 1 (1 ) (1 ) ( ) 0

(1 ) (1 )

⋅ + − − + + ⋅ − ⋅ −

= = ≤

+ +

d λ x y y λx x λ y x x y x

dλ λx λx

I ( , ) .

Ponieważ równość zachodzi wyłącznie dla x = 1, więc dla x ∈ (0, 1) monotonicz- ność jest ścisła. Z kolei przy ustalonym λ zachodzi własność, że w kierunku wek- tora [1, –1] funkcja I_λ jest nierosnąca, a dla y < x ściśle malejąca. Jest tak, gdyż wówczas

{ }

1 (1 ) 1 (1 )( )

min 1, min 1, min 1, ( )

1 1

− + + − + + −

   

=  + =  + =

λ x λ y x λ c x

I g x

λx λx

{ }

1 (1 ) 1 (1 )( )

min 1, min 1, min 1, ( )

1 1

− + + − + + −

   

=  + =  + =

λ x λ y x λ c x

I g x

λx λx

{ }

1 (1 ) 1 (1 )( )

min 1, min 1, min 1, ( )

1 1

− + + − + + −

   

=  + =  + =

λ x λ y x λ c x

I g x

λx λx

przy dowolnym c ∈ (0, 2), a funkcja g(x) jest dla x ∈ (0, 1) przy y < x male- jąca, ponieważ jej pochodna ( ) (1 )( 2₂ )

(1 ) + − −

′ = +

λ cλ

g x λx jest ujemna. Dla x ∈ (0, 1) przy y < x kształt wykresu funkcji wyznaczony na podstawie drugiej pochodnej

4

2 (1 )( 2 )(1 )

( ) (1 )

− + − − +

′′ =

+

λ λ cλ λx

g x λx zależy od znaku parametru λ w ten sposób, że gdy λ > 0, wówczas funkcja g(x) jest wypukła, natomiast gdy λ < 0, wówczas g(x) jest wklęsła. Gdy λ = 0, funkcja g(x) jest liniowa.

Wykresy PIS przy wybranych parametrach λ zostały przedstawione na rysun- kach 1–4.

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0,7 0,8 0,9 1 0 0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 1,0

0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

0 0,1 0,2 0,3

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

rysunek 1. implikacja łukasiewicza I₀(x, y) = min {1, 1 – x + y}

Źródło: Obliczenia własne; rysunek wykonano w programie Maxima

rysunek 2. implikacja piS przy λ = 1, I₁(x, y) = min 1,1 2 1

 − + 

 + 

 

x y

x

1 2

min 1, 1

 − + 

 + 

 

x y

Źródło: Obliczenia własne; rysunek wykonano w programie Maxima x

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 1,0

0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

0 0,1 0,2 0,3

0,4 0,5 0,6

0,7 0,8 0,9 1 0 0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 1,0

0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

0 0,1 0,2 0,3

0,4 0,5 0,6

0,7 0,8 0,9 1 0 0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

rysunek 3. implikacja piS przy λ = 10, I₁₀(x, y) = min 1,1 11 1 10

 − + 

 + 

 

x y

x

1 11

min 1, 1 10

 − + 

 + 

 

x y

Źródło: Obliczenia własne; rysunek wykonano w programie Maxima x

rysunek 4. implikacja Gainesa–Goguena I_λ→∞(x, y) = min 1, 

 

 

y min 1, x 

 

 

y

Źródło: Obliczenia własne; rysunek wykonano w programie Maxima x

4. przykład numeryczny

Podany prosty przykład pokazuje możliwości, ale i niebezpieczeństwa związane z doborem różnych implikacji i różnych stopni ważności kryteriów przy wyzna- czaniu oceny łącznej.

Rozważmy cztery warianty W₁, W₂, W₃, W₄ oceniane według pięciu kryteriów K₁, K₂, K₃, K₄, K₅, z których K₁ i K₂ są stymulantami, K₃ i K₄ – destymulantami, natomiast K₅ – nominantą punktową z wartością wzorcową x₀₅ = 9. Wartości ocen według wszystkich kryteriów podano w tabeli 1. Wartości kodowane, wyznaczo- ne zgodnie z formułami przedstawionymi w rozdziale 2, podano w tabeli 2.

tabela 1. wartości ocen wariantów według poszczególnych kryteriów

wariant Kryterium

K₁ K₂ K₃ K₄ K₅

W₁ 190 120 3 32 1

W₂ 120 170 7 40 4

W₃ 90 150 7 33 6

W₄ 80 160 9 30 10

Dane przykładowe.

tabela 2. Kodowane wartości y_ij ocen wariantów według poszczególnych kryteriów

wariant Kryterium

K₁ K₂ K₃ K₄ K₅

W₁ 1,000 0,000 1,000 0,800 0,000

W₂ 0,364 1,000 0,333 0,000 0,375

W₃ 0,091 0,600 0,333 0,700 0,625

W₄ 0,000 0,800 0,000 1,000 0,875

Źródło: Obliczenia własne.

Załóżmy, że kryteria nie są jednakowo ważne, a ich stopnie ważności wynoszą odpowiednio: w₁ = 0,8, w₂ = 1,0, w₃ = 0,7, w₄ = 0,6 i w₅ = 0,9. Dla pięciu wybra- nych implikacji wartości ocen, po uwzględnieniu stopni ważności kryteriów, zo- stały podane w tabelach 3–7.

Wartości te zostały obliczone na podstawie formuły

− + +

 

 

 

 

 

1 (1 )

( , ) min 1, 1

j ij

λ j ij

j

w λ y

I w y

= λw

+ ,

odpowiednio przy λ → –1⁺, λ = 0, λ = 1, λ = 10 i λ → ∞.

tabela 3. wartości ocen po uwzględnieniu ważności kryteriów dla piS przy λ → –1⁺

wariant Kryterium

K₁ K₂ K₃ K₄ K₅

W₁ 1,000 0,000 1,000 1,000 1,000

W₂ 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

W₃ 1,000 0,600 1,000 1,000 1,000

W₄ 1,000 0,800 1,000 1,000 1,000

Źródło: Obliczenia własne.

tabela 4. wartości ocen po uwzględnieniu ważności kryteriów dla implikacji łukasiewicza

wariant Kryterium

K₁ K₂ K₃ K₄ K₅

W₁ 1,000 0,000 1,000 1,000 0,100

W₂ 0,564 1,000 0,633 0,400 0,475

W₃ 0,291 0,600 0,633 1,000 0,725

W₄ 0,200 0,800 0,300 1,000 0,975

Źródło: Obliczenia własne.

tabela 5. wartości ocen po uwzględnieniu ważności kryteriów dla piS przy λ = 1

wariant Kryterium

K₁ K₂ K₃ K₄ K₅

W₁ 1,000 0,000 1,000 1,000 0,053

W₂ 0,515 1,000 0,569 0,250 0,447

W₃ 0,212 0,600 0,569 1,000 0,710

W₄ 0,111 0,800 0,176 1,000 0,974

Źródło: Obliczenia własne.

tabela 6. wartości ocen po uwzględnieniu ważności kryteriów dla piS przy λ = 10

wariant Kryterium

K₁ K₂ K₃ K₄ K₅

W₁ 1,000 1,000 0,037 0,057 0,230

W₂ 0,430 0,667 1,000 1,000 0,890

W₃ 0,022 0,000 0,496 0,057 0,670

W₄ 0,022 0,333 0,954 1,000 0,010

Źródło: Obliczenia własne.

tabela 7. wartości ocen po uwzględnieniu ważności kryteriów dla implikacji Gainesa–Goguena

wariant Kryterium

K₁ K₂ K₃ K₄ K₅

W₁ 1,000 0,000 1,000 1,000 0,000

W₂ 0,454 1,000 0,476 0,000 0,417

W₃ 0,114 0,600 0,476 1,000 0,694

W₄ 0,000 0,800 0,000 1,000 0,972

Źródło: Obliczenia własne.

Oceny zagregowane, wyznaczone dla poszczególnych wariantów zgodnie z agregacją w postaci średniej arytmetycznej ocen uwzględniających stopnie ważności kryteriów, zostały podane w tabeli 8.

tabela 8. zagregowane oceny wariantów przy wybranych typach implikacji

wariant

zagregowana ocena dla implika-

cji piS przy λ → –1⁺

dla implika- cji łukasie-

wicza

dla implika- cji piS przy

λ = 1

dla implika- cji piS przy

λ = 10

dla implika- cji Gainesa–

–Goguena

W₁ 0,800 0,620 0,610 0,465 0,600

W₂ 1,000 0,614 0,556 0,797 0,469

W₃ 0,920 0,650 0,618 0,249 0,577

W₄ 0,960 0,655 0,612 0,464 0,554

Źródło: Obliczenia własne.

Na podstawie tabeli 8 można podać uporządkowanie wariantów, pamiętając, że nie gorszy wariant ma nie mniejszą ocenę. Zapisując relację preferencji sym- bolem », otrzymujemy uporządkowanie podane w tabeli 9.

tabela 9. uporządkowanie wariantów przy wybranych typach implikacji

implikacja piS przy

λ → –1⁺ łukasiewicza piS przy

λ = 1 piS przy

λ = 10 Gainesa–

–Goguena preferencja W₂ »W₄ »W₃ »

»W₁ W₄ »W₃ »W₁»

»W₂ W₃ »W₄ »

»W₁»W₂ W₂ »W₁ »W₄ »

»W₃ W₁ »W₃ »W₄ »

»W₂ Opracowanie własne.

5. implikacja rozmyta a klasyczne ważenie kryteriów

Wspomaganie podejmowania decyzji z wykorzystaniem teorii zbiorów rozmytych jest często uzasadniane potrzebą stosowania procedur obliczeniowych odzwiercie- dlających, nie zawsze ścisły, sposób myślenia człowieka. Wiele tego typu technik sprawdza się w praktyce. Do ich użycia niezbędna jest jednak subiektywna wiedza ekspercka. Subiektywność ta bywa chyba najczęściej krytykowana przez przeciwni- ków metod rozmytych. Niestety, nie ma możliwości uniknięcia tego typu subiekty- wizmu. Analogicznej krytyce można poddać użycie parametru λ w przedstawionej implikacji Sugeno. Dzięki temu jednak, że λ może być zmieniane, lecz niekoniecz- nie w sposób dyskretny, uzyskuje się łagodniejsze przejścia między różnymi im- plikacjami, co pozwala na lepszy, bo swobodniejszy dobór właściwego dla danego problemu sposobu rozwiązania oraz możliwość większej ingerencji eksperta.

Podana metoda nie jest przeciwstawna w stosunku do klasycznego ważenia kryteriów. W wielu procedurach wielokryterialnej analizy decyzyjnej z powodze- niem używa się wag liczbowych do zaznaczenia niejednakowej ważności kry- teriów. W pracy zostało zaproponowane użycie stopni ważności. Oczywiście, mając podane stopnie ważności, można je przeskalować, uzyskując wagi (jedno- znaczna operacja odwrotna nie jest możliwa). Niesie to jednak ze sobą możliwość (przy dalszym przetwarzaniu za pomocą implikacji) braku równoważności wyni- ków uzyskanych z użyciem stopni ważności i wag. Łatwo można zrozumieć to na poniższym przykładzie.

Niech stopniami ważności trzech kryteriów będą w₁ = 0,5, w₂ = 0,6, w₃ = 0,9, natomiast kodowanymi ocenami wariantu x₁ i x₂ według wszystkich kryteriów będą odpowiednio 0,4 i 0,3. Przetwarzając stopnie ważności na wagi, otrzymuje- my wg₁ = 0,25, wg₂ = 0,3, wg₃ = 0,45. Posługując się implikacją Gainesa–Gogu- ena, otrzymujemy oceny podane w tabeli 10.

tabela 10. porównanie wartości implikacji Gainesa–Goguena dla stopni ważności i wag

Kryte- rium

Stopień ważno-

ści

Ocena warian- tu x₁

Ocena warian- tu x₂

wartość implika-

cji dla stopni ważno- ści, dla

x₁

wartość implika- cji dla stopni ważno- ści, dla

x₂

waga

wartość implika- cji dla wag, dla

x₁

wartość implika- cji dla wag, dla

x₂

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

K₁ 0,5 0,4 0,3 0,800 0,600 0,25 1 1

K₂ 0,6 0,4 0,3 0,667 0,500 0,3 1 1

K₃ 0,9 0,4 0,3 0,444 0,333 0,45 0,889 0,667

Źródło: Obliczenia własne.

Używając wartości z kolumn 5 i 6 bądź z kolumn 8 i 9, przy dalszym przetwa- rzaniu danych, wyznaczając preferencje wariantów, możemy uzyskać różne wy- niki (choćby dlatego, że ostateczne oceny wariantów dla K₁ i K₂ są różne w przy- padku stopni ważności, a równe w przypadku wag).

Należy zdawać sobie sprawę z użycia w tym przykładzie określonego typu implikacji. Przy wyznaczaniu oceny uwzględniającej ważność kryterium jako ilo- czynu kodowanej oceny i wagi (bądź stopnia ważności kryterium) i dalszej agre- gacji w postaci średniej ważonej, użycie stopni ważności kryteriów albo wag jest równoważne (w sensie uzyskanej preferencji wariantów).

Przedstawione w powyższym artykule zastosowanie parametrycznej impli- kacji rozmytej do wyznaczania porządku wariantów przy zróżnicowanych waż- nościach kryteriów jest propozycją, która może być wykorzystana w różnorod- nych problemach optymalizacyjnych. Wiele współczesnych metod wspomagania decyzji bazuje na interaktywnej formie współdziałania człowieka i maszyny go wspomagającej, a zaproponowana w artykule metoda może być również stosowa- na w ten sposób. Przykład ilustrujący działanie metody pozwala także zauważyć możliwości manipulacyjne poprawnego formalnie aparatu matematycznego. Ar- tykuł jest więc nie tylko przedstawieniem pewnej zalgorytmizowanej, łatwej do implementacji metody wspomagania decyzji, ale również przyczynkiem do dys- kusji na temat stosowalności różnych metod.

Bibliografia

Baczyński, M., Jayaram, B., 2008, Fuzzy Implications, Springer, Berlin.

Carlsson, C., Fullér, R., 2002, Fuzzy Reasoning in Decision Making and Optimization, Physica-Verlag, Heidelberg.

Czogała, E., Łęski, J., 2001, On Equivalence of Approximate Reasoning Results Using Different Interpretations of Fuzzy If-then Rules, Fuzzy Sets and Systems, vol. 117, s. 279–296.

Deschrijver, G., Kerre, E.E., 2005, Implicators Based on Binary Aggregation Operators in Interval-valued Fuzzy Set Theory, Fuzzy Sets and Systems, vol. 153, s. 229–248.

Hellwig, Z., 1968, Zastosowanie metody taksonomicznej do typologicznego podziału kra- jów ze względu na poziom ich rozwoju oraz zasoby i strukturę wykwalifikowanych kadr, Przegląd Statystyczny nr 4, s. 307–327.

Pap, E., Bošnjak, Z., Bošnjak, S., 2000, Application of Fuzzy Sets with Different t-norms in the Interpretation of Portfolio Matrices in Strategic Management, Fuzzy Sets and Systems, vol. 114, s. 123–131.

Roy, B., 1990, Wielokryterialne wspomaganie decyzji, tłum. R. Słowiński, WNT, War- szawa.

Szwabowski, J., Deszcz, J., 2001, Metody wielokryterialnej analizy porównawczej. Pod- stawy teoretyczne i przykłady zastosowań w budownictwie, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice.

Wójciak, M., 2007, Metody oceny ryzyka kredytowego, PWE, Warszawa.

ApplicAtiOn OF pArAMetric Fuzzy iMplicAtiOn tO DeterMine the rAtinG OF vAriAntS – the cASe OF DiFFerent criteriA vAliDity

Summary: The paper presents the use of a class of parametric fuzzy implications for decision support in case of differently important criteria. A numerical example illustrat- ing the method is given. Main advantages and disadvantages of the proposed method are discussed.