Spis tre±ci
1. Wprowadzenie 1
2. Liczby zespolone: de nicje 2
3. Liczby zespolone: posta¢ trygonometryczna 3
4. Liczby zespolone: pierwiastki zespolone 5
5. Wielomiany zespolone 6
6. Ci¡gªo±¢ 7
7. Zasadnicze twierdzenie algebry 9
8. Wzory Viète'y 10
9. Krzywe 11
10. Twierdzenie AbelaRu niego 12
11. Permutacje 14
12. Rozkªad na cykle 15
13. Znak permutacji 17
14. Podgrupy normalne 18
15. Grupy rozwi¡zalne 21
1. Wprowadzenie
Rozwi¡zywanie równa« wielomianowych ma dªug¡ histori¦. Znane s¡ wzory na rozwi¡- zania równa«:
• ax + b = 0 wzór ma posta¢ x = −b a ;
• ax2+ bx + c = 0 wzór ma posta¢ x = −b ±√
b2− 4ac
2a (o ile b2− 4ac ≥ 0);
• ax3+ bx2+ cx + d = 0;
• ax4+ bx3+ cx2+ dx + e = 0.
Ostatnie dwa wzory, zbyt skomplikowane, by je tu przytacza¢, maj¡ fascynuj¡c¡ histo- ri¦. Scipione del Ferro (14651526) zapewne jako pierwszy umiaª rozwi¡za¢ równania x3 = cx + d. St¡d bardzo ªatwo ju» przej±¢ do ogólnych równa«, ale w owych czasach nie stosowano jeszcze liczb ujemnych! Ucze« del Ferro, Antonio Fiore (14??1557), poznaª t¦
metod¦ w sekrecie, pod koniec »ycia del Ferro. Niezale»nie ogóln¡ metod¦ rozwi¡zywania równa« stopnia trzeciego odkryª Niccoló Fontana Tartaglia (1499/15001557), który wy- graª pojedynek na zadania z del Fiore. Informacj¦ o swoim odkryciu przekazaª w sekrecie Gerolamo Cardano (150176), który badaª je wraz ze swoim uczniem, Lodovico Ferrari (1522-65). Cardano i Ferrari dowiedzieli si¦ jednak o wcze±niejszym odkryciu del Ferro i w ksi¡»ce Ars Magna Cardano zamie±ciª opis (wierszem!) metody rozwi¡zywania równa«
trzeciego stopnia (przypisuj¡c autorstwo del Ferro), a tak»e równa« stopnia czwartego (które odkryª Ferrari). Wywoªaªo to dªugotrwaªy spór mi¦dzy Cardanem i Tartagli¡.
Spór ten doprowadziª do kolejnego pojedynku na zadania mi¦dzy Tartagli¡ i Ferrarim, wygranym przez tego drugiego. Niezale»nie powy»sze wzory otrzymaª równie» François Viète (15401603). Swoje doªo»yª pó¹niej Kartezjusz.
Powy»sze wzory wymagaªy wyci¡gania pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych!
Zwróciª na to uwag¦ ju» Cardano, ale dopiero Rafael Bombelli (152672) zaj¡ª si¦ tym tematem dokªadniej. Dlatego czasem to jemu przypisuje si¦ odkrycie liczb zespolonych.
1
Ogóln¡ teori¦ równa« wielomianowych opracowaª dopiero Évariste Galois (181132), matematyk, który straciª »ycie w pojedynku (niematematycznym). Równolegle problem badaª Niels Henrik Abel (180229). Obaj udowodnili, »e wzory na rozwi¡zania równa«
pi¡tego i wy»szych stopni. . . nie istniej¡! Bª¦dny dowód tego twierdzenia podaª wcze±niej Paolo Ru ni (17651822). Z kolei dowód Galois zostaª opublikowany dopiero po jego
±mierci z powodów, które nie s¡ do ko«ca jasne.
Twierdzenie 1.1 (AbelaRu niego, nieformalnie). Nie istnieje wzór, który wyra»a pierwiastki ogólnego wielomianu stopnia co najmniej 5 przy pomocy wspóªczynników, staªych liczbowych, czterech operacji arytmetycznych i symboli pierwiastka.
Znane s¡ inne wzory, wykorzystuj¡ce granice (np. metoda Newtona) czy funkcje spe- cjalne (np. funkcj¦ hipergeometryczn¡ dla równa« stopnia 5).
Niniejszy kurs zawiera (prawie caªkiem formalny) dowód zasadniczego twierdzenia al- gebry i twierdzenia AbelaRu niego: wprowadzenie do liczb zespolonych i wielomianów zespolonych, dowód twierdze« oraz dalsze informacje o permutacjach i grupach.
2. Liczby zespolone: de nicje Rozwa»my wpierw Q(√
2) = {a + b√
2 : a, b ∈Q} (gdzie Q to zbiór liczb wymiernych).
Zbiór ten ma nast¦puj¡ce dwie wªasno±ci.
• Je±li a + b√
2 = c + d√
2, to a = c i b = d, bowiem w przeciwnym razie √
2 byªby liczb¡ wymiern¡: je±li b = d, to a = c, za± je±li b 6= d, to√
2 = (a − c)/(b − d).
• Zbiór Q(√
2)jest zamkni¦ty na cztery operacje arytmetyczne, na przykªad a + b√
2 c + d√
2 = ac − 2bd
c2 − 2d2 +−ad + bc c2− 2d2
√ 2.
Analogiczne wªasno±ci ma Q(r) dla dowolnego r ∈ R (R to zbiór liczb rzeczywistych) takiego, »e r /∈ Q, ala r2 ∈Q.
Formalnie mo»na analogicznie zde niowa¢ Q(√
−1), czyli Q(i), gdzie i jest (nierzeczy- wist¡) liczb¡ tak¡, »e i2 = −1. Dziaªania w tym zbiorze s¡ ªatwe:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + di), (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i, (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − di), a + bi
c + di = ac + bd
c2 + d2 + −ad + bc c2+ d2 i.
Co wi¦cej, jednoznaczno±¢: a + bi = c + di wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d, zachodzi nie tylko dla a, b, c, d ∈ Q, lecz a, b, c, d ∈ R. W istocie, niech a + bi = c + di.
Je±li b = d, to a = c, gdyby za± b 6= d, to i = (a − c)/(b − d) byªoby liczb¡ rzeczywist¡.
De nicja 2.1. Symbol i oznacza jednostk¦ urojon¡, czyli obiekt (na pewno nie liczb¦
rzeczywist¡) o wªasno±ci i2 = −1. Liczb¡ zespolon¡ nazywany jest dowolny obiekt postaci a + bi, gdzie a, b s¡ liczbami rzeczywistymi. Posta¢ tak¡ nazywa si¦ posta- ci¡ algebraiczn¡, liczb¦ a cz¦±ci¡ rzeczywist¡ liczby a + bi, za± liczb¦ b cz¦±ci¡
urojon¡ liczby a + bi; oznaczenia: a = Re(a + bi), b = Im(a + bi). Zbiór liczb zespo- lonych oznaczany b¦dzie przez C. Operacje arytmetyczne na liczbach zespolonych zde niowane s¡ powy»szymi wzorami, przy czym dzielenie jest poprawnie okre±lone, o ile dzielnik nie jest liczb¡ zerow¡, czyli 0 + 0i.
Liczb¦ rzeczywist¡ a uto»samia si¦ z liczb¡ zespolon¡ a + 0i. Jest to dopuszczalne, bowiem de nicje dziaªa« na liczbach zespolonych zgadzaj¡ si¦ z de nicjami na liczbach rzeczywistych. Liczby zespolone oznacza¢ b¦dziemy zwykle literami z, w.
Twierdzenie 2.2. Liczby zespolone tworz¡ ciaªo liczbowe dla wszystkich liczb ze- spolonych x, y, z:
x + y = y + x, (x + y) + z = x + (y + z), 0 + x = x,
xy = yx, (xy)z = x(yz), 1 · x = x,
x(y + z) = xy + xz;
ponadto dla ka»dej liczby zespolonej x istnieje liczba y taka, »e x + y = 0 (oznaczana
−x) oraz, je±li x 6= 0, liczba zespolona z taka, »e xz = 1 (oznaczana x−1).
Dowód. Jest do do±¢ »mudne, ale w sumie proste ¢wiczenie. Warto doda¢, »e −(a + bi) = (−a) + (−b)i oraz (a + bi)−1 = a
a2+ b2 + −b a2+ b2i. 3. Liczby zespolone: posta¢ trygonometryczna
Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych z = a + bi oraz w = c + di odpowiada do- dawaniu i odejmowaniu wektorów [a, b] oraz [c, d] (w tym rozdziale a, b, c, d, ϕ, ψ to liczby rzeczywiste, za± r, s to nieujemne liczby rzeczywiste). Mo»na zaobserwowa¢ nast¦puj¡c¡
interpretacj¦ mno»enia liczb zespolonych z i w: trójk¡ty o wierzchoªach 0, 1, z oraz 0, w, zw s¡ do siebie podobne. [[rysunek]]
Aby powy»sz¡ wªasno±¢ uzasadni¢ formalnie, mo»na wykorzysta¢ wªasno±ci podobie«- stwa trójk¡tów i de nicj¦. Lepiej jednak wprowadzi¢ now¡ posta¢ liczb zespolonych, odpowiadaj¡c¡ wspóªrz¦dnym biegunowym.
De nicja 3.1. Cosinus i sinus k¡ta ϕ to wspóªrz¦dne wektora [1, 0] obróconego o k¡t ϕ w lewo (lub o k¡t −ϕ w prawo). Je±li r ≥ 0 oraz z = r(cos ϕ + i sin ϕ), to r nazywane jest moduªem liczby zespolonej z (oznaczenie: |z|), za± ϕ argumentem liczby zespolonej z, a omawiane przedstawienie to posta¢ trygonometryczna liczby zespolonej z. [[rysunek]]
Twierdzenie 3.2. Ka»da liczba zespolona ma posta¢ trygonometryczn¡. Ponadto moduª liczby zespolonej jest wyznaczony jednoznacznie: |a + bi| = √
a2+ b2, za±
dla niezerowych liczb zespolonych argument jest wyznaczony z dokªadno±ci¡ do wie- lokrotno±ci 2π: liczba ϕ jest argumentem liczby a + bi 6= 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ + 2nπ jest argumentem liczby a + bi dla dowolnego n ∈ Z (Z to zbiór liczb caªkowitych). [[rysunek]]
Dowód. Najpro±ciej udowodni¢ to twiedzenie geometrycznie: je±li r to dªugo±¢ wek- tora [a, b], za± ϕ to k¡t mi¦dzy wektorami [1, 0] i [a, b], mierzony w kierunku przeciw- nym do ruchu wskazówek zegara, to z de nicji funkcji cosinus i sinus oraz podobie«- stwa odpowiednich gur zachodzi a = r cos ϕ, b = r sin ϕ. [[rysunek]] Wobec tego a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Wzór r = √
a2+ b2 to twierdzenie Pitagorasa wzór na
dªugo±¢ wektora. Ponadto je±li a + bi 6= 0, to k¡t ϕ ∈ [0, 2π) jest wyznaczony jednoznacz- nie i oczywi±cie mo»na do niego doda¢ dowoln¡ wielokrotno±¢ 2π. Twierdzenie 3.3. Zachodzi (cos ϕ+i sin ϕ)(cos ψ+i sin ψ) = cos(ϕ+ψ)+i sin(ϕ+ψ).
Dowód. Wystarczy dowie±¢, »e zachodz¡ wzory cos(ϕ + ψ) = cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ oraz sin(ϕ + ψ) = cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ. W tym celu zauwa»my, »e zachodzi [cos ψ, sin ψ] = cos ψ · [1, 0] + sin ψ · [0, 1]. Wspóªrz¦dne tego wektora obróconego dodatkowo o k¡t ϕ to wobec tego z jednej strony [cos(ϕ + ψ), sin(ϕ + ψ)] (obrót [1, 0] o ψ, a nast¦pnie o ϕ, to obrót o ϕ + ψ), a z drugiej strony cos ψ · [cos ϕ, sin ϕ] + sin ψ · [− sin ϕ, cos ϕ]
(obrót wektorów jest operacj¡ liniow¡ to wymaga uzasadnienia! za± obrót o π2
odwzorowuje [x, y] w [−y, x]).
Twierdzenie 3.4. Zachodzi:
r(cos ϕ + i sin ϕ) · s(cos ψ + i sin ψ) = rs(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)), a je±li s > 0, to równie»
r(cos ϕ + i sin ϕ) s(cos ψ + i sin ψ) = r
s(cos(ϕ − ψ) + i sin(ϕ − ψ)).
Innymi sªowy przy mno»eniu/dzieleniu liczb zespolonych ich moduªy si¦
mno»¡/dziel¡, za± argumenty dodaj¡/odejmuj¡.
Dowód. Pierwszy wzór to bezpo±redni wniosek z poprzedniego twierdzenia. Drugi wynika ªatwo z pierwszego i nast¦puj¡cej de nicji dzielenia: z/w to jedyna taka liczba zespolone,
»e (z/w)·w = z. (Wªasno±¢ t¦ mo»na udowodni¢ nast¦puj¡co: je±li x·w = z oraz y·w = z, to (x − y) · w = x · w − y · w = z − z = 0, zatem x − y = (x − y) · w · w−1 = 0 · w−1 = 0,
sk¡d x = y).
Wniosek 3.5 (wzór de Moivre'a). Dla n ∈ Z, n 6= 0, zachodzi:
(r(cos ϕ + i sin ϕ))n= rn(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
a je±li s > 0, to równie»
r(cos ϕ + i sin ϕ) s(cos ψ + i sin ψ) = r
s(cos(ϕ − ψ) + i sin(ϕ − ψ)).
Innymi sªowy przy mno»eniu/dzieleniu liczb zespolonych ich moduªy si¦
mno»¡/dziel¡, za± argumenty dodaj¡/odejmuj¡.
Dowód. Dla n ≥ 1 dowód polega na n-krotnym zastosowaniu twierdzenia o iloczynie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Gdy n ≤ −1, nale»y zapisa¢ zn = 1/z−n, zastosowa¢ wzór de Moivre'a dla −n i twierdzenie o ilorazie liczb zespolonych w postaci
trygonometrycznej.
Na zako«czenie bardzo u»yteczna de nicja, która jednak nie b¦dzie tu potrzebna.
De nicja 3.6. Sprz¦»eniem liczby zespolonej z = a + bi nazywa si¦ liczb¦ zespolon¡
¯
z = a − bi.
Warto odnotowa¢, »e |z|2 = a2 + b2 = z ¯z. Ponadto je±li z = r(cos ϕ + i sin ϕ), to
¯
z = r(cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)), za± 1/z = (1/r)(cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)).
4. Liczby zespolone: pierwiastki zespolone
Oprócz czterech dziaªa« arytmetycznych na liczbach zespolonych do formalnego sfor- muªowania twierdzenia AbelaRu niego potrzebne jest poj¦cie pierwiastków zespolo- nych.
De nicja 4.1. Pierwiastkiem zespolonym liczby zespolonej w stopnia n ∈ N (N to zbiór dodatnich liczb caªkowitych) nazywa si¦ dowoln¡ liczb¦ zespolon¡ z tak¡, »e zn = w.
Twierdzenie 4.2. Je±li w 6= 0, to w ma dokªadnie n pierwiastków zespolonych stopnia n ∈ N. Je±li w = r(cos ϕ + i sin ϕ), gdzie r > 0, to pierwiastki zespolone stopnia n s¡ dane wzorami
zj = √n r
cosϕ + 2jπ
n + i sinϕ + 2jπ n
,
gdzie j ∈ Z, przy czym wszystkich n pierwiastków mo»na uzyska¢, wybieraj¡c do- wolnych n kolejnych warto±ci j, na przykªad j = 0, 1, . . . , n − 1.
Dowód. Sprawdzenie, »e (zj)n = w sprowadza si¦ do zastosowania wzoru de Moivre'a.
Ponadto zj = zk wtedy i tylko wtedy, gdy argumenty tych liczb ró»ni¡ si¦ o wielokrotno±¢
2π, czyli gdy (k − j)/n jest liczb¡ caªkowit¡. St¡d ªatwo wynika druga cz¦±¢ twierdzenia.
W twierdzeniu √n
r oznacza pierwiastek arytmetyczny, czyli jedyn¡ nieujemn¡ liczb¦
rzeczywist¡, której n-ta pot¦ga wynosi r. Ten sam symbol √n
z b¦dzie te» cz¦sto oznaczaª dowolny pierwiastek zespolony liczby z.
Twierdzenie 4.3. Pierwiastki kwadratowe liczby zespolonej danej w postaci alge- braicznej a + bi s¡ dane wzorami:
q
1 2(√
a2+ b2+ a) + q
1 2(√
a2+ b2− a) i,
− q
1 2(√
a2+ b2+ a) − q
1 2(√
a2+ b2− a) i gdy b ≥ 0 oraz wzorami
q
1 2(√
a2+ b2+ a) − q
1 2(√
a2+ b2− a) i,
− q
1 2(√
a2+ b2+ a) + q
1 2(√
a2+ b2− a) i gdy b < 0.
Dowód. Równanie (x + yi)2 = a + bi mo»na przedstawi¢ równowa»nie w postaci ukªadu równa« x2 − y2 = a, 2xy = b. St¡d x4− 14b2 = ax2, czyli (x2 − a2)2 = 14(a2 + b2). Skoro x2 > 0, zachodzi x2 = 12(√
a2+ b2 + a). St¡d ªatwo y2 = x2 − a = 12(√
a2 + b2 − a).
Ostatecznie otrzymujemy cztery mo»liwo±ci, które po sprawdzeniu daj¡ dwie odpowiedzi
podane w tre±ci twierdzenia.
Pierwiastki zespolone stopnia 2 mo»na zatem wyrazi¢ przy pomocy pierwiastków aryt- metycznych stopnia 2. Analogiczne stwierdzenie nie jest jednak prawdziwe dla pierwiast- ków zespolonych stopnia 3 nie istnieje na przykªad reprezentacja »adnej z trzech liczb
√3
2 + i (pierwiastków zespolonych stopnia trzy z 2 + i) przy pomocy staªych liczbowych, operacji arytmetycznych i pierwiastków arytmetycznych! Dowód tego faktu jest jednak skomplikowany twierdzenie to nazywane jest casus irreducibilis.
5. Wielomiany zespolone
Wielomiany zespolone to wielomiany zmiennej zespolonej, o wspóªczynnikach zespolo- nych.
De nicja 5.1. Wielomian zespolony to funkcja P zmiennej zespolonej dana wzorem P (z) = anzn+ an−1zn−1+ . . . + a2z2+ a1z + a0
dla pewnego n ∈ N0 (N0 to zbiór nieujemnych liczb caªkowitych) i pewnych liczb zespolonych a0, a1, . . . , an, nazywanych wspóªczynnikami wielomianu P . Je±li an 6=
0, to n nazywane jest stopniem wielomianu P . Wielomian stale równy zero nie ma stopnia. Pierwiastek (zespolony) wielomianu P to liczba zespolona z0 taka, »e P (z0) = 0.
Twierdzenie 5.2. Je±li P jest wielomianem stopnia n, to dla dowolnej ustalonej liczby zespolonej z0 funkcja Q(z) = P (z + z0) te» jest wielomianem stopnia n.
Dowód. Wystarczy zauwa»y¢, »e funkcja (z +z0)kjest wielomianem stopnia k dla ka»dego
k ∈N0.
Twierdzenie 5.3 (Bézouta). Je±li z0 jest pierwiastkiem wielomianu P stopnia n ∈ N0, to istnieje wielomian ˜P stopnia n − 1 taki, »e P (z) = (z − z0) ˜P (z).
Dowód. Niech Q(z) = P (z + z0) i niech Q(z) = bnzn+ bn−1zn−1+ . . . + b2z2+ b1z + b0. Skoro b0 = Q(0) = P (z0) = 0, zachodzi Q(z) = z ˜Q(z) dla wielomianu ˜Q(z) = bnzn−1+ bn−1zn−2+ . . . + b2z + b1 stopnia n − 1. St¡d P (z) = Q(z − z0) = (z − z0) ˜Q(z − z0). Wniosek 5.4. Wielomian zespolony stopnia n ∈ N0 ma co najwy»ej n pierwiastków.
Dowód. Je±li n = 0, twierdzenie jest prawdziwe. Ponadto je±li z0 jest pierwiastkiem wielomianu stopnia n ≥ 1, to P (z) = (z − z0) ˜P (z) dla pewnego wielomianu ˜P stopnia n − 1. Zatem liczba pierwiastków P nie przekracza liczby pierwiastków ˜P powi¦kszonej
o 1. Wystarczy n-krotnie powtórzy¢ to rozumowanie.
Wniosek 5.5. Je±li P jest wielomianem stopnia n o wspóªczynniku przy najwy»szej pot¦dze zmiennej an oraz o pierwiastkach z1, z2, . . . , zn, to P (z) = an(z − z1)(z − z2) . . . (z − zn).
Dowód. Je±li n = 0, twierdzenie jest prawdziwe. Ponadto je±li zn jest pierwiastkiem wielomianu stopnia n ≥ 1, to P (z) = (z − zn) ˜P (z) dla pewnego wielomianu ˜P stopnia
n − 1. Wystarczy n-krotnie powtórzy¢ to rozumowanie.
6. Ci¡gªo±¢
Ci¡gªo±¢ to skomplikowane poj¦cie, niezwykle wa»ne w dowodzie twierdzenia Abela
Ru niego. W niniejszych notatkach temat ten traktowany jest w nieco uproszczony sposób.
De nicja 6.1. Funkcja f, okre±lona na pewnym zbiorze liczb rzeczywistych lub ze- spolonych, jest ci¡gªa w punkcie x0, je±li dla dowolnie zadanej liczby ε > 0 istnieje odpowiednio maªa liczba δ > 0 taka, »e z warunku |x − x0| < δ wynika warunek
|f (x) − f (x0)| < ε. Funkcja jest ci¡gªa je±li jest ci¡gªa w ka»dym punkcie swojej dziedziny.
Oczywi±cie funkcje f(z) = a (funkcja staªa) oraz f(z) = z s¡ ci¡gªe.
Twierdzenie 6.2. Dla dowolnych liczb zespolonych z, w zachodzi |z +w| ≤ |z|+|w|.
Dowód. Najprostszy jest dowód geometryczny: jest to po prostu nierówno±¢ trójk¡ta.
Analitycznie nierówno±¢ sprowadza si¦ do postaci:
p(a + c)2+ (b + d)2 ≤√
a2+ b2+√
c2+ d2,
która po podniesieniu obu stron nierówno±ci do kwadratu i redukcji wyrazów podobnych przyjmuje równowa»n¡ posta¢
ac + bd ≤√
a2+ b2·√
c2 + d2.
Ponowne podniesienie do kwadratu i redukcja wyrazów podobnych prowadzi do mocniej- szej nierówno±ci
2abcd ≤ a2d2+ b2c2,
równowa»nej prawdziwej nierówno±ci (ad − bc)2 ≥ 0.
Wniosek 6.3. Dla dowolnych liczb zespolonych z, w zachodzi ||z| − |w|| ≤ |z − w| ≤
|z| + |w|.
Dowód. Zachodzi |z − w| ≤ |z| + | − w|, |z| ≤ |z − w| + |w| oraz |w| ≤ |w − z| + |z|. Z nierówno±ci ||z| − |w|| ≤ |z − w| natychmiast wynika ci¡gªo±¢ funkcji f(z) = |z|.
Twierdzenie 6.4. Suma funkcji ci¡gªych jest ci¡gªa.
Dowód. Je±li ε > 0, |f(x) − f(x0)| < 12ε gdy |x − x0| < δ1 oraz |g(x) − g(x0)| < 12ε gdy
|x − x0| < δ2, to |(f + g)(x) − (f + g)(x0)| ≤ |f (x) − f (x0)| + |g(x) − g(x0)| < ε gdy
|x − x0| < min(δ1, δ2).
Twierdzenie 6.5. Iloczyn funkcji ci¡gªych jest ci¡gªy. Iloraz funkcji ci¡gªych jest ci¡gªy (tam, gdzie jest okre±lony, czyli gdzie mianownik si¦ nie zeruje).
Dowód. Je±li η > 0, |f(x) − f(x0)| < η gdy |x − x0| < δ1 oraz |g(x) − g(x0)| < η gdy
|x − x0| < δ2, to
|(f · g)(x) − (f · g)(x0)|
= |(f (x) − f (x0))(g(x) − g(x0)) + f (x0)(g(x) − g(x0)) + (f (x) − f (x0))g(x0)|
≤ |f (x) − f (x0)||g(x) − g(x0)| + |f (x0)||g(x) − g(x0)| + |f (x) − f (x0)||g(x0)|
< η2+ |f (x0)|η + η|g(x0)| = η(η + |f (x0)| + |g(x0)|)
gdy |x − x0| < min(δ1, δ2). Nale»y na pocz¡tku obra¢ η = min(1, ε/(1 + |f(x0)| + |g(x0)|)) dla pewnego ε > 0: wtedy |(f · g)(x) − (f · g)(x0)| < ε gdy |x − x0| < min(δ1, δ2), co oznacza ci¡gªo±¢ f · g w x0.
Analogicznie je±li g(x0) 6= 0, η > 0 oraz |g(x) − g(x0)| < η gdy |x − x0| < δ, to
|g(x)| = |g(x0) − (g(x0) − g(x))| ≥ |g(x0)| − |g(x0) − g(x)| > |g(x0)| − η, zatem je±li η < |g(x0)|, to
1
g(x)− 1 g(x0)
= |g(x0) − g(x)|
|g(x)| |g(x0)| ≤ η
(|g(x0)| − η)|g(x0)|.
Je±li wi¦c na pocz¡tku obra¢ η = min(12|g(x0)|,12ε|g(x0)|2), to |1/g(x) − 1/g(x0)| < εgdy
|x − x0| < δ. Oznacza to ci¡gªo±¢ 1/g w x0. Ostatecznie f/g = f · (1/g) jest ci¡gªa w
x0.
Twierdzenie 6.6. Wielomiany s¡ ci¡gªe.
Dowód. Wystarczy zastosowa¢ odpowiednio wiele razy poprzednie twierdzenia i wªasno±ci
funkcji staªych oraz f(z) = z.
Twierdzenie 6.7. Zªo»enie funkcji ci¡gªych jest ci¡gªe.
Dowód. Niech y0 = g(x0). Je±li |f(y) − f(y0)| < εgdy |y − y0| < η oraz |g(x) − g(x0)| < η gdy |x − x0| < δ, to |f(g(x)) − f(g(x0))| < ε gdy |x − x0| < δ. Funkcja f jest ograniczona z góry, je±li dla pewnej liczby rzeczywistej M zachodzi f (z) ≤ M dla wszystkich z z dziedziny funkcji f. Liczb¦ tak¡ nazywa si¦ ograniczeniem z góry. Analogicznie okre±la si¦ ograniczenia z doªu.
Twierdzenie 6.8 (BolzanoWeierstrassa). Funkcja o warto±ciach rzeczywistych, okre±lona na ograniczonym zbiorze liczb zespolonych z brzegiem (np. w kole z brze- giem) i ci¡gªa w tym zbiorze, osi¡ga warto±¢ najwi¦ksz¡ i warto±¢ najmniejsz¡.
Szkic dowodu. Wystarczy udowodni¢, »e rozwa»ana funkcja f osi¡ga warto±¢ najwi¦ksz¡
dowód drugiej cz¦±ci jest analogiczny.
Wpierw dowodzi si¦, »e f jest ograniczona z góry. Gdyby tak nie byªo, mo»liwa byªaby konstrukcja liczby a + bi o nast¦puj¡cej wªasno±ci: dla dowolnego n ∈ N funkcja f jest nieograniczona z góry na kwadracie o boku 10−n, zªo»onym z liczb zespolonych w = c+di takich, »e c i a oraz d i b maj¡ jednakowe cyfry do n-tego miejsca po przecinku (w ka»dym kroku taki kwadrat dzielony jest na sto mniejszych kwadratów w co najmniej jednym z nich funkcja musi by¢ nieograniczona z góry!). Istnienie takiej liczby z przeczy jednak de nicji ci¡gªo±ci f w z.
Zbiór liczb, które s¡ ograniczeniami z góry f, jest przedziaªem. Niech M b¦dzie jego lewym ko«cem. Gdyby f(z) < M dla wszystkich z, powy»sze rozumowanie mo»na by przeprowadzi¢ dla (ci¡gªej!) funkcji g(z) = 1/(M − f(z)). Funkcja ta byªaby wi¦c ograniczona z góry przez pewn¡ liczb¦ K (i oczywi±cie K > 0), co by z kolei oznaczaªo, »e f (z) < M −1/K dla wszystkich z. Ale liczby mniejsze od M nie s¡ ograniczeniami z góry, bowiem M jest lewym ko«cem przedziaªu zªo»onego z tych liczb! Uzyskana sprzeczno±¢
ko«czy dowód.
7. Zasadnicze twierdzenie algebry
Poni»ej przedstawiony jest (niemal formalny) dowód najwa»niejszego twierdzenia w algebrze.
Twierdzenie 7.1 (zasadnicze twierdzenie algebry). Ka»dy wielomian zespolony stopnia n ∈ N ma pierwiastek.
Dowód wykorzystuje kilka pomocniczych twierdze«.
Lemat 7.2. Je±li P jest wielomianem stopnia n ∈ N oraz P (z0) 6= 0, to |P (z1)| <
|P (z0)| dla pewnej liczby zespolonej z1. [[dowód na przykªadzie]]
Dowód. Bez utraty ogólno±ci mo»na przyj¡¢, »e z0 = 0 (rozwa»aj¡c w razie potrzeby wielomian P (z0 + z)). Niech P (z) = anzn+ an−1zn−1 + . . . + a2z2 + a1z + a0, gdzie a0 = P (0) 6= 0. Bez utraty ogólno±ci mo»na przyj¡¢, »e a0 = 1 (rozwa»aj¡c w razie potrzeby wielomian P (z)/a0). Niech k ∈ N b¦dzie tak¡ liczb¡, »e a1 = a2 = . . . ak−1 = 0, lecz ak 6= 0. Niech ponadto Q(z) = anzn−k−1+ an−1zn−k−2+ . . . + ak+2z + ak+1 i niech w b¦dzie pierwiastkiem zespolonym stopnia k z −1/ak. Wówczas dla t ∈ (0, 1) zachodzi:
|P (tw)| = |1 + ak(tw)k+ (tw)k+1Q(tw)|
= |1 − tk+ (tw)k+1Q(tw)| ≤ 1 − tk+ tk+1|wk+1Q(tw)|.
Funkcja |Q(tw)|, okre±lona dla t ∈ [0, 1] (liczba w jest ustalona), jest ograniczona z góry przez M = (|an| + |an−1| + . . . + |ak+1|)(1 + |w|)n−k−1, bowiem
|Q(tw)| ≤ |an|tn−k−1|w|n−k−1+ |an−1|tn−k−2|w|n−k−2+ . . . + |ak+2|t|w| + |ak+1|
≤ (|an| + |an−1| + . . . + |ak+2| + |ak+1|)(1 + |w|)n−k−1. Niech t ∈ (0, 1) speªnia warunek |wk+1|M t < 12. Wtedy
|P (tw)| ≤ 1 − tk+12tk< 1 = |P (0)|.
Lemat 7.3. Je±li P jest wielomianem stopnia n ∈ N to dla ka»dej liczby M istnieje liczba K taka, »e |P (z)| > M gdy |z| > K.
Dowód. Niech P (z) = anzn+ an−1zn−1+ . . . + a1z + a0 i niech Q(w) = a0wn+ a1wn−1+ . . . + an−1w + a0. Wówczas dla z 6= 0 zachodzi P (z) = znQ(1/z).
Funkcja f(w) = |Q(w)| jest ci¡gªa w punkcie 0 (zªo»enie wielomianu i moduªu, funkcji ci¡gªych), zatem dla ε = 12|an| istnieje δ > 0 taka, »e je±li |w| < δ, to |f(w) − f(0)| < ε.
Skoro f(0) = an, zachodzi
|f (w)| = |f (0) − (f (0) − f (w))| ≥ |f (0)| − |f (w) − f (0)| > |f (0)| − ε = 12|an|.
Wobec tego gdy |z| > 1/δ, zachodzi
|P (z)| = |z|nf (1/z) > 12|an||z|n.
Je±li przy tym |z| > p2M/|an n|, to |P (z)| > M. Teza lematu zatem zachodzi, je±li
K = max(1/δ,p2M/|an n|).
Dowód zasadniczego twierdzenia algebry. Niech M = |P (0)|. Na mocy drugiego lematu istnieje liczba K taka, »e je±li |z| > K, to |P (z)| > M. Ponadto funkcja f(z) = |P (z)|, okre±lona w kole |z| ≤ K, jest ci¡gªa, a wi¦c przyjmuje warto±¢ najmniejsz¡. Niech z0
b¦dzie punktem, w którym f osi¡ga warto±¢ njamniejsz¡. Wówczas |P (z0)| ≤ |P (z)| dla wszystkich z: gdy |z| ≤ K, wynika to z de nicji z0, gdy za± |z| > K jest to konsekwencj¡
nierówno±ci |P (z)| > |P (0)| ≥ P (z0). Z pierwszego lematu wynika, »e |P (z0)| = 0, czyli
wielomian P ma pierwiastek.
8. Wzory Viète'y
Z zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézouta natychmiast wynika, »e ka»dy wielomian zespolony jest postaci
P (z) = an(z − z1)(z − z2) . . . (z − zn), (8.1)
gdzie z1, z2, . . . , zn to pierwiastki P , powtórzone odpowiedni¡ liczb¦ razy. W wi¦kszo±ci przypadków mo»na przyj¡¢, »e an = 1 takie wielomiany nazywa si¦ monicznymi.
Twierdzenie 8.1. Wspóªczynniki wielomianu s¡ ci¡gªymi funkcjami pierwiastków, da- nymi wzorami:
an−1 = −(z1+ z2+ . . . + zn), an−2 = z1z2+ z1z3+ . . . + zn−1zn,
an−3 = −(z1z2z3+ z1z2z4+ . . . + zn−2zn−1zn), ...
a1 = (−1)n−1(z1z2. . . zn−1+ z1z2. . . zn−2zn+ . . . + z2z3. . . zn), a0 = (−1)nz1z2. . . zn.
Dowód. Wystarczy otworzy¢ nawiasy we wzorze (8.1). Ci¡gªo±¢ oznacza nast¦puj¡c¡
wªasno±¢: je±li z1, z2, . . . , zn zale»¡ w sposób ci¡gªy od parametru t, to równie» a0, a1, . . . , an−1 zale»¡ w sposób ci¡gªy od t wynika to z twierdze« o iloczynie i sumie funkcji
ci¡gªych.
Zale»no±¢ wspóªczynników od pierwiastków jest symetryczna: dowolna zamiana kolej- no±ci pierwiastków nie zmienia warto±ci wspóªczynników.
9. Krzywe
W dowodzie twierdzenia AbelaRu niego kluczow¡ rol¦ odgrywaj¡ krzywe.
De nicja 9.1. Krzywa na pªaszczy¹nie zespolonej to ci¡gªa funkcja Z o warto±ciach zespolonych, okre±lona na pewnym przedziale [a, b]. P¦tla lub krzywa zamkni¦ta to krzywa o tym samym pocz¡tku i ko«cu, czyli speªniaj¡ca równanie Z(a) = Z(b).
Krzywa przeciwna, oznaczana symbolem ˆZ, to krzywa z odwóconym czasem: ˆZ(t) = Z(−t) dla t ∈ [−b, −a].
Przykªadem krzywej jest odcinek: Z(t) = z0+ t(z1− z0) (gdzie t ∈ [0, 1]), przykªadem p¦tli okr¡g: Z(t) = z0+ r(cos t + i sin t) (gdzie t ∈ [0, 2π]).
Uto»samiamy krzywe, które ró»ni¡ si¦ wyª¡cznie parametryzacj¡: ka»da krzywa Z okre±lona na [a, b] jest wi¦c równowa»na krzywej okre±lonej na [0, 1], danej wzorem Z(a+
t(b − a)).
Twierdzenie 9.2. Je±li Z jest krzyw¡ nieprzecinaj¡c¡ zera, to istniej¡ ci¡gªe funkcje R i Φ takie, »e R(t) = |Z(t)| i Φ(t) jest argumentem Z(t), czyli
Z(t) = R(t)(cos Φ(t) + i sin Φ(t)) (9.1)
dla t ∈ [a, b]. Co wi¦cej, funkcja Φ jest wyznaczona jednoznacznie, z dokªadno±ci¡ do wielokrotno±ci 2π, za± ka»da para ci¡gªych funkcji R i Φ odpowiada pewnej krzywej, danej wzorem (9.1).
Szkic dowodu. Funkcja R(t) = |Z(t)| jest ci¡gªa, bo jest zªo»eniem funkcji ci¡gªych. Po- nadto dla dowolnego t0 ∈ [a, b] istnieje δ > 0 o nast¦puj¡cej wªasno±ci: je±li |t − t0| < δ (i oczywi±cie t ∈ [a, b]), to |Z(t) − Z(t0)| < |Z(t0)|, czyli |Z(t)/Z(t0) − 1| < 1, a co za tym idzie, Re(Z(t)/Z(t0)) > 0. Wobec tego w przedziale (t0 − δ, t0 + δ) funkcja ϕ(t) = arctg(Im(Z(t)/Z(t0))/ Re(Z(t)/Z(t0))) jest poprawnie okre±lona i ci¡gªa. Niech I b¦dzie maksymalnym przedziaªem, na którym mo»na okre±li¢ ci¡gª¡ funkcj¡ Φ(t) o omawianych wªasno±ciach (dlaczego taki maksymalny przedziaª istnieje?) i niech t0
b¦dzie ko«cem I. Niech ponadto t1 b¦dzie wspólnym punktem przedziaªów I oraz (t0− δ, t0+ δ). Wtedy Φ(t) − Φ(t1) = ϕ(t) − ϕ(t1) dla wszystkich t ∈ I ∩ (t0− δ, t0+ δ) (dlaczego?), co pozwala rozszerzy¢ de nicj¦ Φ do funkcji ci¡gªej na sumie przedziaªów I oraz (t0− δ, t0+ δ) ∩ [a, b]. St¡d ªatwo wynika, »e I = [a, b]. Twierdzenie 9.3. Je±li Z jest krzyw¡ nieprzecinaj¡c¡ zera dan¡ wzorem (9.1) oraz n ∈ N, j ∈ Z, to krzywe
Wj(t) =pj R(t)
cosΦ(t) + 2jπ
n + i sinΦ(t) + 2jπ n
(9.2)
(nazywane ci¡gªymi pierwiastkami zespolonymi krzywej Z) speªniaj¡ warunek (Wj(t))n = Z(t). Rodzina ta skªada si¦ z dokªadnie n ró»nych krzywych.
Je±li Z jest p¦tl¡, to Wj nie musz¡ by¢ p¦tlami istnieje jednak liczba ω ∈ Z (nazywana liczb¡ obrotu Z) taka, »e Φ(b) = Φ(a) + 2πω, i w zwi¡zku z tym Wj(b) = Wj+ω(a).
Dowód. Wystarczy zastosowa¢ poprzednie twierdzenie.
De nicja 9.4. Zª¡czeniem dwóch krzywych Z1 i Z2 nazywa si¦ krzyw¡ W = Z1⊕ Z2, która najpierw przebiega Z1, a nast¦pnie Z2, przy czym zakªada si¦, »e koniec Z1 jest równy pocz¡tkowi Z2. Bez utraty ogólno±ci mo»na przyj¡¢, »e Z1 i Z2 s¡ okre±lone na [0, 1]; wtedy W (t) = Z1(2t) dla t ∈ [0,12] oraz W (t) = Z2(2t − 1) dla t ∈ [12, 1] (przy czym Z1(1) = Z2(0)). Komutatorem dwóch krzywych Z1 i Z2 nazywa si¦ krzyw¡
Z1 ⊕ Z2 ⊕ ˆZ1⊕ ˆZ2.
Twierdzenie 9.5 (o pierwiastkowaniu komutatora). Je±li Z i Z0 s¡ p¦tlami nie- przecinaj¡cymi zera, o tym samym pocz¡tku (i ko«cu), to zª¡czenia odpowiednich ci¡gªych pierwiastków zespolonych stopnia n ∈ N z Z, Z0, ˆZ i ˆZ0 s¡ p¦tlami. ci±lej, je±li ω i ω0 to liczby obrotu Z i Z0 oraz Wj i Wj0 s¡ dane wzorami takimi, jak (9.1), to Wj⊕Wj+ω0 ⊕ ˆWj+ω+ω0⊕ ˆWj+ω0 0jest p¦tl¡, której n-ta pot¦ga zespolona to Z⊕Z0⊕ ˆZ⊕ ˆZ0. Dowód. Wystarczy zastosowa¢ poprzednie twierdzenie (i sprawdzi¢, »e odpowiednie po-
cz¡tki i ko«ce kolejnych krzywych s¡ zgodne).
10. Twierdzenie AbelaRu niego
Formalne sformuªowanie twierdzenia AbelaRu niego wykorzystuje nast¦puj¡c¡ de - nicj¦.
De nicja 10.1. Niech a0, a1, . . . , an−1b¦d¡ wspóªczynnikami wielomianu monicznego.
Wyra»enie rz¦du 0 to dowolna funkcja f(a0, a1, . . . , an−1), która dana jest wzorem, wykorzystuj¡cym wyª¡cznie staªe liczbowe, wspóªczynniki a0, a1, . . . , an−1 i operacje arytmetyczne. Wyra»enie rz¦du 1 to wielko±¢ dana wzorem, w którym dodatkowo mog¡ si¦ pojawi¢ pierwiastki zespolone (dowolnego stopnia) wyra»e« rz¦du 0. Wyra-
»enie rz¦du r ∈ N jest dane w analogiczny sposób, ale mo»e uwzgl¦dnia¢ pierwiastki zespolone wyra»e« rz¦du mniejszego ni» r.
Wyra»enie rz¦du r ∈ N mo»e mie¢ wiele warto±ci: przy ka»dym pierwiastku zespolo- nym stopnia k jest k mo»liwo±ci wyboru, a pierwiastki zespolone mog¡ dodatkowo si¦
zagnie»d»a¢. Bez utraty ogólno±ci b¦dziemy pomija¢ w wyra»eniach czªony stale równe zero.
Przykªad. Wyra»enie rz¦du 0: −a0 opisuje pierwiastek wielomianu z + a0.
Przykªad. Wyra»enie rz¦du 1: 12(−a1 +pa21− 4a0) opisuje oba pierwiastki wielomianu z2+ a1z + a0.
De nicja 10.2. Operacja na pierwiastkach z1, z2, . . . , zn wielomianu stopnia n ∈ N to do- wolny ukªad krzywych Z1, Z2, . . . , Zn okre±lonych na tym samym przedziale dla usta- lenia uwagi [0, 1] o nast¦puj¡cych wªasno±ciach: ukªad liczb (Z1(1), Z2(1), . . . , Zn(1)) jest przestawieniem ukªadu liczb (Z1(0), Z2(0), . . . , Zn(0)). Operacja przeciwna to opera- cja skªadaj¡ca si¦ z przeciwnych krzywych. Zª¡czenie operacji to zª¡czenie odpowiednich krzywych (tak, aby koniec pierwszej byª równy pocz¡tkowi drugiej). Komutator dwóch operacji to ukªad komutatorów odpowiednich krzywych. Dowoln¡ operacj¦ nazywa si¦
0-krotnym komutatorem. Komutator operacji, które same s¡ (n − 1)-krotnymi komutato- rami, nazywa n-krotnym komutatorem.
Twierdzenie 10.3. Je±li pierwiastki wielomianu poddawane s¡ operacji, to odpowia- daj¡ce im wspóªczynniki wielomianu zataczaj¡ p¦tle. Zª¡czenie operacji odpowiada zª¡czeniu p¦tli zataczanych przez wspóªczynniki.
Dowód. Wspóªczynniki A0(t), A1(t), . . . , An−1(t) wielomianu Pt o pierwiastkach Z1(t), Z2(t), . . . , Zn(t)dane s¡ wzorami Viète'y, s¡ wi¦c ci¡gªymi funkcjami t czyli krzywymi.
Ponadto wielomiany P0 i P1 maj¡ te same pierwiastki (uporz¡dkowane by¢ mo»e w innej
kolejno±ci), zatem wspóªczynniki zataczaj¡ p¦tle.
[[przykªady, rysunki, animacje]]
Plan dowodu twierdzenia AbelaRu niego jest nast¦puj¡cy: wykonana b¦dzie odpo- wiednia operacja na pierwiastkach wielomianu, opisana przez krzywe Z1, Z2, . . . , Zn. Wspóªczynniki wielomianu zakre±l¡ p¦tle A0, A1, . . . , An−1. Wszystkie warto±ci ustalo- nego wyra»enia zatocz¡ zatem pewne krzywe. Operacja b¦dzie tak dobrana, by na ko«cu warto±ci wyra»enia powróciªy do punktu wyj±cia (czyli zatoczyªy p¦tle), natomiast pier- wiastki nie.
Twierdzenie 10.4. Dla dowolnego wyra»enia istnieje ukªad parami ró»nych pierwiastków (z1, z2, . . . , zn) o nast¦puj¡cej wªasno±ci: dla dowolnego ukªadu (˜z1, ˜z2, . . . , ˜zn), który jest przestawieniem ukªadu (z1, z2, . . . , zn), istnieje operacja speªniaj¡ca warunki Zj(0) = zj, Zj(1) = ˜zj i taka, »e przy obliczaniu dowolnej warto-
±ci zadanego wyra»enia nie wyst¦puje dzielenie przez zero ani pierwiastkowanie zera oraz wszystkie pierwiastki w ka»dej chwili s¡ parami ró»ne.
Sªowo o dowodzie. Dowód tego twierdzenia wymaga wiedzy o miejscach zerowych funk- cji zespolonych wielu zmiennych i zdecydowanie przekracza zakres tego kursu. Idea jest nast¦puj¡ca: rozwa»my dowolny ukªad parami ró»nych pierwiastków (z1, z2, . . . , zn), dla którego obliczanie rozwa»anego wyra»enia nie wi¡»e si¦ z dzieleniem przez zero czy pier- wiastkowaniem zera. Rozwa»my dowolne przestawienie tego ukªadu (˜z1, ˜z2, . . . , ˜zn)i ope- racj¦ Zj(0) = (1 − t)zj+ t˜zj. Je±li dla pewnego t0 obliczenie której± z warto±ci zadanego wyra»enia wi¡»e si¦ z dzieleniem przez zero czy pierwiastkowaniem zera lub te» pewne dwa pierwiastki s¡ sobie równe, nale»y odpowiednio zmody kowa¢ operacj¦ w pewnym otoczeniu t0. Dzi¦ki wªasno±ciom funkcji zespolonych wiadomo, »e takich punktów t0 b¦- dzie sko«czenie wiele, za± dla ka»dego z nich odpowiednia mody kacja jest mo»liwa. Twierdzenie 10.5. Dla dowolnego r ∈ N0, warto±ci dowolnego wyra»enia rz¦du r zataczaj¡ p¦tle je±li pierwiastki wielomianu s¡ poddane r-krotnemu komutatorowi operacji (takich, przy których w wyra»eniu nie wyst¦puje pierwiastkowanie zera).
Dowód. Teza jest oczywi±cie prawdziwa dla r = 0: je±li pierwiastki poddane s¡ operacji, to wspóªczynniki zataczaj¡ p¦tle, a wi¦c i wyra»enia rz¦du 0 (ci¡gªe funkcje wspóªczyn- ników) zataczaj¡ p¦tle.
Przypu±¢my, »e wszystkie wyra»enia ustalonego rz¦du r zataczaj¡ p¦tle gdy pierwiastki wielomianu poddawane s¡ r-krotnym komutatorom operacji. Na mocy twierdzenia o pierwiastkowaniu komutatora pierwiastki zespolone z wyra»e« rz¦du r zataczaj¡ p¦tle gdy pierwiastki wielomianu poddawane s¡ (r + 1)-krotnym komutatorom operacji. Oznacza to, »e p¦tle zataczaj¡ te» wyra»enia rz¦du r + 1.
Teza twierdzenia wynika z zastosowania powy»szego rozumowania odpowiedni¡ liczb¦
razy.
Twierdzenie 10.6 (AbelaRu niego). Nie istnieje wyra»enie rz¦du r ∈ N, które opisuje pierwiastki zespolone dowolnego wielomianu monicznego przy pomocy jego wspóªczynników.
Dowód. Przypu±¢my, »e takie wyra»enie istnieje. Dobierzmy pierwiastki wielomianu zgodnie z twierdzeniem 10.4. Zgodnie z twierdzeniem 10.5, pierwiastki wielomianu pod- dane r-krotnemu komutatorowi operacji (takich, jak w twierdzeniu 10.4) musz¡ wróci¢ do punktu wyj±cia (s¡ bowiem stale opisane przez warto±ci wyra»enia). Je±li jednak n ≥ 5, to istnieje r-krotny komutator operacji, który istotnie zamienia pierwiastki mówi o
tym kolejny wynik.
Lemat 10.7. Je±li pierwsza operacja zamienia cyklicznie pierwiastki z1, z2 i z4, za±
druga z5, z3 i z2, to ich komutator zamienia cyklicznie pierwiastki z1, z2, z3. Je±li zatem n ≥ 5, to istnieje r-krotny komutator operacji (zgodnych z twierdzeniem 10.4), który zamienia cyklicznie pierwiastki z1, z2 i z3.
Dowód. Wystarczy sprawdzi¢, »e z1 przejdzie kolejno na: z2, z5, z5 i z2; z2 na z4, z4, z2, z3; z3 na z3, z2, z1, z1; z4 na z1, z1, z4, z4; wreszcie z5 na z5, z3, z3, z5.
11. Permutacje
W dowodzie twierdzenia AbelaRu niego, podobnie jak i w teorii Galois istnienia wzorów na pierwiastki wielomianów, wa»n¡ rol¦ odgrywaj¡ permutacje pierwiastków.
Poj¦cie permutacji jest doskonaªym wprowadzeniem do teorii grup.
De nicja 11.1. Permutacja zbioru sko«czonego A to wzajemnie jednoznaczna funkcja σ okre±lona na A i o warto±ciach w A. Najcz¦±ciej zakªada si¦, »e A = {1, 2, 3, . . . , n}
dla pewnej liczby naturalnej n. W tej sytuacji permutacje zapisuje si¦ w postaci:
σ =
1 2 3 · · · n
σ(1) σ(2) σ(3) · · · σ(n)
;
aby odnale¹¢ warto±¢ permutacji σ(j) dla zadanego argumentu j, nale»y odnale¹¢
j w górnym rz¦dzie i odczyta¢ odpowiadaj¡c¡ mu warto±¢ σ(j) w dolnym rz¦dzie
(wyrazy w górnym rz¦dzie nie musz¡ by¢ uporz¡dkowane, ale zwykle wygodniej jest pisa¢ wªa±nie w ten sposób).
Permutacje mo»na mno»y¢.
De nicja 11.2. Iloczynem (lub zªo»eniem) permutacji σ i τ nazywa si¦ permutacj¦
σ · τ (lub στ) okre±lon¡ wzorem (σ ·τ)(j) = τ(σ(j)). (Stosowana jest cz¦sto odwrotna konwencja, w której tak okre±lona permutacja jest oznaczana τ · σ).
Permutacj¡ jednostkow¡ (lub permutacj¡ staª¡, permutacj¡ identyczno±ciow¡) na- zywa si¦ permutacj¦ I dan¡ wzorem I(j) = j. Permutacja odwrotna do permutacji σ to permutacja ˆσ (oznaczana te» σ−1) taka, »e ˆσ(j) = k wtedy i tylko wtedy, gdy σ(k) = j.
Twierdzenie 11.3. Permutacja odwrotna jest poprawnie okre±lona oraz σ · ˆσ = I = ˆ
σ · σ. Ponadto ka»da z tych równo±ci charakteryzuje permutacj¦ odwrotn¡ do σ.
Mno»enie permutacji jest ª¡czne: σ · (τ · π) = (σ · τ) · π. Zachodzi I · σ = σ = σ · I.
Ponadto permutacj¡ odwrotn¡ do σ · τ jest ˆτ · ˆσ.
Dowód. Dla dowolnego j istnieje jedyne k takie, »e σ(k) = j, zatem ˆσ jest poprawnie okre±lon¡ funkcj¡. Jest te» wzajemnie jednoznaczna, bowiem ró»nym warto±ciom j od- powiadaj¡ oczywi±cie ró»ne warto±ci k.
Je±li σ(j) = k, to ˆσ(σ(j)) = ˆσ(k) = j oraz σ(ˆσ(k)) = σ(j) = k, zatem σ · ˆσ = I oraz ˆ
σ · σ = I. Ponadto je±li σ · τ = I, to z warunku σ(j) = k wynika, »e τ(k) = j, czyli τ = ˆσ.
Analogicznie je±li τ · σ = I, to z warunku σ(j) = k wynika, »e τ(k) = j, czyli τ = ˆσ.
Zachodzi ((σ · τ) · π)(j) = π((σ · τ)(j)) = π(τ(σ(j))) = (τ · π)(σ(j)) = (σ · (τ · π))(j), sk¡d wynika ª¡czno±¢ mno»enia permutacji.
Skoro I(σ(j)) = σ(j) = σ(I(j)), zachodzi σ · I = σ = I · σ. Ponadto (σ · τ) · (ˆτ · ˆσ) =
σ · (τ · ˆτ ) · ˆσ = σ · I · ˆσ = σ · ˆσ = I.
Zbiór wszystkich permutacji jest wi¦c grup¡: zbiorem z ª¡cznym dziaªaniem, w którym istnieje element neutralny (I) oraz do ka»dego elementu istnieje element odwrotny (ˆσ) jest to tzw. grupa symetryczna Sn.
Przykªad. Zachodzi 1 2 3 4 2 3 1 4
·1 2 3 4 2 4 1 3
= 1 2 3 4 4 1 2 3
oraz 1 2 3 4 2 4 1 3
·
1 2 3 4 2 3 1 4
=1 2 3 4 3 4 2 1
, zatem mno»enie permutacji nie jest przemienne.
Przykªad. Je±li σ =1 2 3 4 2 3 1 4
, to ˆσ = 2 3 1 4 1 2 3 4
=1 2 3 4 3 1 2 4
.
12. Rozkªad na cykle
Wyró»nie si¦ kilka wa»nych klas permutacji; najwa»niejsze to cykle, czyli permutacje, które cyklicznie zamieniaj¡ wybrane elementy. Poni»ej rozwa»ane s¡ permutacje zbioru {1, 2, 3, . . . , n} dla ustalonej warto±ci n.
De nicja 12.1. Cyklem o dªugo±ci r i wyrazach j1, j2, . . . , jrnazywana jest permutacja σ dana wzorami σ(jm) = jm+1 dla m = 1, 2, . . . , r − 1; σ(jr) = j1, oraz σ(k) = k je±li k ∈ {1, 2, . . . , n} \ {j1, j2, . . . , jr}, przy czym zakªada si¦, »e liczby j1, j2, . . . , jr s¡ parami ró»ne. Taki cykl oznacza si¦ σ = (j1, j2, . . . , jr). Cykl dªugo±ci 2 nazywany jest transpozycj¡; cykl dªugo±ci 1 to permutacja jednostkowa.
Z zapisu (j1, j2, . . . , jr)nie wynika warto±¢ n; na szcz¦±cie niemal zawsze jest ona znana z kontekstu lub nie ma znaczenia.
Przykªad. Dla n = 5 zachodzi (1, 2, 3, 4, 5) = (2, 3, 4, 5, 1) = (4, 5, 1, 2, 3) =1 2 3 4 5 2 3 4 5 1
, (1, 2) =1 2 3 4 5
2 1 3 4 5
, (3, 1, 5) =1 2 3 4 5 5 2 1 4 3
.
Ka»dy cykl dªugo±ci r ≥ 2 mo»na zapisa¢ w postaci (j1, j2, . . . , jr) na dokªadnie r sposobów ten sam cykl opisany jest wzorami (j2, j3, . . . , jr, j1), (j3, j4, . . . , jr, j1, j2)itd.
Permutacj¡ odwrotn¡ do cyklu (j1, j2, . . . , jr) jest cykl (jr, jr−1, . . . , j1). Transpozycje s¡
permutacjami odwrotnymi do samych siebie.
Przykªad. Zachodzi (1, 2, 3) · (2, 4) = (1, 4, 2, 3) oraz (2, 4) · (1, 2, 3) = (1, 2, 4, 3), zatem mno»enie cykli nie jest przemienne. Ponadto (1, 2, 3) · (2, 3, 4) = 1 2 3 4
3 4 1 2
= (1, 3) · (2, 4) = (2, 4) · (1, 3), a wi¦c iloczyn cykli nie musi by¢ cyklem. Warto zauwa»y¢, »e zaªo»ono tu, »e n = 4, ale równo±ci (1, 2, 3) · (2, 3, 4) = (1, 3) · (2, 4) = (2, 4) · (1, 3) zachodz¡ dla dowolnego n ≥ 4.
De nicja 12.2. Dwa cykle s¡ rozª¡czne, je±li ich wyrazy s¡ parami ró»ne.
Twierdzenie 12.3. Mno»enie cykli rozª¡cznych jest przemienne.
Dowód. Iloczyn (j1, j2, . . . , jr) · (i1, i2, . . . , is) przeksztaªca jk w jk+1 (k = 1, 2, . . . , r − 1), jr w j1, ik w ik+1 (k = 1, 2, . . . , s−1), is w i1 oraz pozostawia pozostaªe liczby bez zmian.
Iloczyn (i1, i2, . . . , is) · (j1, j2, . . . , jr) okre±la t¦ sam¡ permutacj¦. Twierdzenie 12.4. Ka»da permutacja (ró»na od permutacji jednostkowej) jest ilo- czynem pewnej liczby rozª¡cznych cykli dªugo±ci wi¦kszej od jeden. Rozkªad na cykle rozª¡czne jest jednoznaczny (je±li wykluczy¢ cykle dªugo±ci jeden).
Dowód. Niech σ 6= I i niech j1 b¦dzie najmniejsz¡ liczb¡ speªniaj¡c¡ warunek σ(j1) 6= j1. Niech j2 = σ(j1), j3 = σ(j2) itd. Niech wreszcie r b¦dzie najmniejsz¡ liczb¡ tak¡, »e jr+1 ∈ {j1, j2, . . . , jr}. Gdyby jr+1 6= j1, to jr+1 = jk dla pewnego k ∈ {2, 3, . . . , r}, sk¡d jr = ˆσ(jr+1) = ˆσ(jk) = jk−1, co przeczyªoby de nicji r. Zatem jr+1 = j1. Niech τ1 = (j1, j2, . . . , jr). Wówczas σ zmienia ka»d¡ z wielko±ci j1, j2, . . . , jr, za± ˆτ1 · σ tych warto±ci nie zmienia.
Je±li ˆτ1 · σ 6= I, niech τ2 b¦dzie skonstruowane jak wy»ej, ale dla permutacji ˆτ1 · σ. Analogicznie konstruuje si¦ kolejne permutacje τ3, . . . , τp, a» uzyska si¦ ˆτp · ˆτp−1· . . . ·
ˆ
τ1· σ = I (w ka»dym kroku liczba elementów zmianianych przez omawian¡ permutacj¦
si¦ zmniejsza, zatem liczba kroków z pewno±ci¡ jest sko«czona). Oznacza to, »e σ = τ1· τ2· . . . · τp. Ponadto τ1, τ2, . . . , τp s¡ cyklami, z konstrukcji wiadomo za±, »e s¡ to cykle rozª¡czne. Jednoznaczno±¢ równie» wynika z konstrukcji: je±li σ(j) = k oraz k 6= j, to j musi pojawi¢ si¦ w pewnym cyklu oraz po j w tym samym cyklu musi nast¡pi¢ k (cykle s¡ bowiem rozª¡czne); je±li za± σ(j) = j, to z tego samego powodu j nie mo»e pojawi¢
si¦ w »adnym cyklu.
Twierdzenie 12.5. Cykl dªugo±ci r jest iloczynem r − 1 transpozycji:
(j1, j2, . . . , jr) = (j1, j2) · (j1, j3) · . . . · (j1, jr).
Dowód. Wystarczy sprawdzi¢, »e w omawianym iloczynie j1 przejdzie na j2; j2 wpierw na j1, a potem na j3; j3 wpierw na j1, a potem na j4 itd.; jr−1 wpierw na j1, a
potem na jr; wreszcie jr na j1.
Wniosek 12.6. Ka»da permutacja jest iloczynem pewnej liczby transpozycji.
13. Znak permutacji
Poni»sza de nicja jest najprostsz¡ z mo»liwych, cho¢ niekoniecznie najwygodniejsz¡.
De nicja 13.1. Permutacja σ jest parzysta, je±li jest iloczynem parzystej liczby trans- pozycji, za± nieparzysta je±li jest iloczynem nieparzystej liczby transpozycji.
Ka»da permutacja jest iloczynem pewnej liczby transpozycji, jest wi¦c parzysta lub nie- parzysta. Okazuje si¦, »e »adna permutacja nie jest jednocze±nie parzysta i nieparzysta.
Aby to udowodni¢, wygodnie zastosowa¢ inn¡, równowa»n¡ de nicj¦ parzysto±ci.
De nicja 13.2. Dla permutacji σ zbioru {1, 2, 3, . . . , n} niech Nσ oznacza liczb¦ in- wersji, czyli takich par liczb j, k, »e j < k, lecz σ(j) > σ(k). Niech ponadto sign(σ) = (−1)Nσ; wielko±¢ ta nazywana jest znakiem permutacji σ.
Twierdzenie 13.3. Zachodzi sign(σ · τ) = sign(σ) sign(τ).
Dowód. Niech P oznacza iloczyn wszystkich czynników postaci (xj − xk), gdzie 1 ≤ j <
k ≤ n. Niech Pσ oznacza analogiczny iloczyn czynników (xσ(j) − xσ(k)). Dla dowolnych j i k takich, »e 1 ≤ j < k ≤ n w iloczynie P wyst¦puje czynnik (xσ(j) − xσ(k)) (je±li σ(j) < σ(k)) lub (xσ(k)− xσ(j)) (je±li σ(j) > σ(k)), zatem P = sign(σ)Pσ. Równowa»nie:
Pσ = sign(σ)P. Analogicznie okre±lone Pτ i Pσ·τ speªniaj¡ podobne równania Pτ = sign(τ )Pσ·τ = sign(σ · τ )P.
Iloczyn Pσ·τ mo»na uzyska¢ z iloczynu P zamieniaj¡c wpierw ka»dy czynnik (xj − xk) na czynnik (xσ(j)−xσ(τ ))(co z wielomianu P czyni wielomian Pσ = sign(σ)P), a nast¦pnie ka»dy czynnik (xJ− xK) na czynnik (xτ (J )− xτ (K))(co z wielomianu P czyni wielomian Pτ = sign(τ )P). Oznacza to, »e Pσ·τ = sign(σ) sign(τ )P.
Inny dowód. Wystarczy obliczy¢ liczb¦ inwersji σ · τ. Niech M oznacza liczb¦ par j, k takich, »e j < k, σ(j) > σ(k) oraz τ(σ(j)) < τ(σ(k)). Równowa»nie: M jest liczb¡
par j, k takich, »e j > k, σ(j) < σ(k) oraz τ(σ(j)) > τ(σ(k)). Podzielmy inwersje (czyli pary j, k takie, »e j < k, τ(σ(j)) > τ(σ(k))) na dwa typy, w zale»no±ci od tego, czy σ(j) > σ(k), czy σ(j) < σ(k). Liczba inwersji pierwszego typu powi¦kszona o M daje Nσ, liczb¦ inwersji permutacji σ. Liczba inwersji drugiego typu powi¦kszona o M daje liczb¦ par j, k takich, »e σ(j) > σ(k) oraz τ(σ(j)) < τ(σ(k)), czyli liczb¦ par J, K takich, »e J > K oraz τ(J) < τ(K), czyli Nτ, liczb¦ inwersji permutacji τ. St¡d Nσ·τ + 2M = Nσ+ Nτ. St¡d ªatwo sign(σ · τ) = sign(σ) sign(τ).
Twierdzenie 13.4. Zachodzi sign(σ) = sign(ˆσ).
Dowód. W istocie, sign(σ) sign(ˆσ) = sign(σ · ˆσ) = sign(I) = 1. Twierdzenie 13.5. Je±li σ jest transpozycj¡, to sign(σ) = −1.
Dowód. Je±li σ = (a, b), gdzie a < b, to Nσ = 1 + 2(b − a − 1), sk¡d sign(σ) = −1. Twierdzenie 13.6. Znak permutacji okre±la jej parzysto±¢: permutacja σ jest pa- rzysta wtedy i tylko wtedy, gdy sign(σ) = 1, σ jest za± nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy sign(σ) = −1.
Dowód. Je±li σ jest iloczynem m transpozycji, to sign(σ) = (−1)m. Twierdzenie 13.7. Je±li σ jest cyklem dªugo±ci r, to sign(σ) = (−1)r−1. Je±li σ jest iloczynem m rozª¡cznych cykli o ª¡cznej dªugo±ci M, to sign(σ) = (−1)M −m.
Dowód. Cykl dªugo±ci r jest iloczynem r − 1 transpozycji. Zbiór permutacji parzystych An, nazywany grup¡ alternuj¡c¡, jest zamkni¦ty ze wzgl¦du na mno»enie permutacji i odwracanie permutacji jest podgrup¡ grupy symetrycznej Sn.
Twierdzenie 13.8. Ka»da (ró»na od permutacji jednostkowej) permutacja parzysta jest iloczynem cykli dªugo±ci 3.
Dowód. Ka»da taka permutacja jest iloczynem parzystej liczby transpozycji, za± ka»dy iloczyn transpozycji jest albo permutacj¡ jednostkow¡: (j, k) · (j, k) = I, albo iloczynem dwóch cykli dªugo±ci 3: (j, k) · (J, K) = (j, k, J) · (j, K, J) gdy j, k, J, K s¡ parami ró»ne, za wyj¡tkiem by¢ mo»e k = K (i analogicznie w pozostaªych przypadkach).
14. Podgrupy normalne
Rz¡d grupy permutacji G, oznaczany |G|, to liczba elementów tej grupy.
Przykªad. Zachodzi |Sn| = n! i na mocy ¢wiczenia |An| = 12n! dla n ≥ 2.
Je±li G i H s¡ grupami permutacji i H jest podzbiorem G, to mówi si¦, »e H jest podgrup¡ G. Czasem zapisuje si¦ ten fakt w postaci H < G.
Przykªad. Je±li k ≤ n, to permutacje zbioru {1, 2, . . . , k} mo»na uto»sami¢ z permutacjami wi¦kszego zbioru {1, 2, . . . , n}, które nie zmieniaj¡ liczb k + 1, k + 2, . . . , n. W tym sensie Sk <Sn.
Przykªad. Niech a = (1, 2) · (3, 4), b = (1, 3) · (2, 4), c = (1, 4) · (2, 3). Niech po- nadto p1 = (2, 3, 4), p2 = (3, 4, 1), p3 = (4, 1, 2) i p4 = (1, 2, 3). Niech G = A4 = {I, a, b, c, p1, p2, p3, p4, ˆp1, ˆp2, ˆp3, ˆp4}oraz H = {I, a, b, c}. Poniewa» a · a = b · b = c · c = I, a · b = c, a · c = b, b · c = a, wi¦c H jest podgrup¡ G.
De nicja 14.1. Je±li H < G, to zbiór σ · H = {σ · h : h ∈ H} nazywany jest warstw¡
lewostronn¡ permutacji σ wzgl¦dem podgrupy H. Analogicznie H·σ = {h·σ : h ∈ H}
to warstwa prawostronna.
Przykªad. W rozwa»anym wcze±niej przykªadzie s¡ trzy warstwy: H, p1·H = {p1, ˆp2, p3, ˆp4} oraz ˆp1 · H = {ˆp1, p2, ˆp3, p4} ªatwo sprawdzi¢, »e warstwy pozostaªych elementów s¡
takie same. Co wi¦cej, p1· H = H · p1 oraz ˆp1· H = H · ˆp1, zatem warstwy lewostronne i prawostronne s¡ sobie równe.
Przykªad. W S3podgrupa S2ma trzy warstwy: S2 = {I, (1, 2)}, (1, 3)·S2 = {(1, 3), (3, 2, 1)}
oraz (2, 3) · S2 = {(2, 3), (1, 2, 3)} ponownie warstwy pozostaªych elementów S3 s¡ ta- kie same. Skoro S2· (1, 3) = {(1, 3), (1, 2, 3)}, warstwy lewostronne i prawostronne nie s¡
jednakowe.
Twierdzenie 14.2. Je±li σ ∈ H, to σ ·H = H. Ka»da warstwa σ ·H jest równoliczna z H. Ka»de dwie warstwy σ · H i π · H s¡ albo rozª¡czne, albo równe.
Dowód. Je±li σ ∈ H, to σ · h ∈ H dla h ∈ H, wi¦c σ · H ⊆ H. Ponadto dla h ∈ H zachodzi ˆσ · h ∈ H oraz σ · (ˆσ · h) = h, zatem w istocie σ · H = H.
Dla dowolnych h1, h2 ∈ H z równo±ci σ·h1 = σ ·h2 wynika h1 = ˆσ ·(σ ·h1) = ˆσ ·(σ ·h2) = h2. Zatem σ · H ma tyle elementów, co H.
Je±li σ · h1 = π · h2, to σ · h = (σ · h1) · (ˆh1· h) = (π · h2) · (ˆh1· h) ∈ π · H, zatem σ · H jest podzbiorem π · H. Analogicznie π · H jest podzbiorem σ · H, co dowodzi równo±ci
tych warstw.
Analogiczne twierdzenie zachodzi oczywi±cie dla warstw prawostronnych. Skoro ka»dy element nale»y do swojej warstwy, tj. σ ∈ σ·H, grupa G rozpada si¦ na parami rozª¡czne, równoliczne warstwy. Liczb¦ warstw grupy H w grupie G nazywa si¦ indeksem grupy H w grupie G i oznacza G : H lub (G : H).
Wniosek 14.3. Je±li H < G, to |H| jest dzielnikiem |G| oraz |G| = |H|·(G : H). Zatem π · H = σ · H mo»na zapisa¢ równowa»nie na ró»ne sposoby: π ∈ σ · H, π = σ · h dla pewnego h ∈ H, π · h1 = σ · h2 dla pewnych h1, h2 ∈ H itp.
De nicja 14.4. Je±li H < G i warstwy lewostronne oraz prawostronne H w G s¡
jednakowe (tj. σ · H = H · σ dla wszystkich σ ∈ G), to grupa H nazywana jest podgrup¡ normaln¡ (inaczej: dzielnikiem normalnym) grupy G. Fakt ten zapisywany jest w postaci H C G, a warstwy oznaczane s¡ symbolem [σ] = σ · H = H · σ.
Przykªad. W rozwa»anym wcze±niej przykªadzie H jest podgrup¡ normaln¡ G = A4. Z drugiej strony S2 nie jest podgrup¡ normaln¡ S3.
De nicja 14.5. Grupa G nazywana jest grup¡ prost¡, je±li jedynymi jej podgrupami normalnymi s¡ {I} oraz G.
Twierdzenie 14.6. Grupy An dla n ≥ 5 s¡ proste.
Dowód powy»szego twierdzenia zostaª rozpisany na ¢wiczenia na li±cie zada«. Wcze-
±niejszy przykªad dowodzi, »e A4 nie jest grup¡ prost¡.
Twierdzenie 14.7. Je±li H C G oraz [σ1] = [σ2], [π1] = [π2], to [σ1· π1] = [σ2· π2].
Dowód. Skoro σ2 = σ1· h1, π2 = π1· h2 oraz h1· π1 = π1· h3 dla pewnych h1, h2, h3 ∈ H (ostatnia równo±¢ to konsekwencja równo±ci H · π1 = π1· H), zachodzi σ2· π2 = σ1 · h1·
π1· h2 = σ1· π1· h3· h2, sk¡d wynika teza.
Wniosek 14.8. Je±li H C G, to wzór [σ] · [π] = [σ · π] poprawnie okre±la mno»enie
warstw grupy H w grupie G.
Warto zauwa»y¢, »e powy»sza de nicja zgadza si¦ z inn¡, bardziej naturaln¡: [σ]·[π] = {g · h : g ∈ [σ], h ∈ [π]} na mocy twierdzenia [g · h] = [σ · π], czyli g · h ∈ [σ · π].
Twierdzenie 14.9. Je±li H C G, to zde niowane wy»ej mno»enie jest operacj¡
grupow¡: jest ª¡czne, ma element neutralny [I] = H oraz ka»da warstwa [σ] ma warstw¦ odwrotn¡ [ˆσ].
Dowód. Sprawdzenie ª¡czno±ci jest elementarne:
([σ1] · [σ2]) · [σ3] = [σ1 · σ2] · [σ3] = [(σ1· σ2) · σ3]
= [σ1 · (σ2· σ3)] = [σ1] · [σ2 · σ3] = [σ1] · ([σ2] · [σ3]).
Podobnie [σ] · [I] = [σ · I] = [σ] oraz [I] · [σ] = [I · σ] = [σ], a tak»e [σ] · [ˆσ] = [σ · ˆσ] = [I]
oraz [ˆσ] · [σ] = [ˆσ · σ] = [I].
De nicja 14.10. Je±li H C G, to zbiór warstw, wraz ze zde niowanym wy»ej mno»e- niem, nazywany jest grup¡ ilorazow¡ i oznaczany G/H.
Dziaªanie w grupie o stosunkowo maªej liczbie elementów mo»na przedstawi¢ przy po- mocy tabliczki mno»enia, w której numer wiersza mno»ony jest przez numer kolumny.
Przydaje si¦ to do oblicze«.
Przykªad. Tabliczka mno»enia w grupie S3 to:
