© Piotr Chrząstowski-Wachtel
Wstęp do programowania
Drzewa – podstawowe techniki
Drzewa wyszukiwań
Drzewa często służą do przechowywania
informacji. Jeśli uda sie nam stworzyć drzewo o niewielkiej wysokości i strukturze pozwalającej w każdym węźle określić, czy iść w lewo czy w
prawo w poszukiwaniu jakiejś danej, to dostęp do niej będzie szybki.
Takie warunki spełniają drzewa binarnych wyszukiwań (BST: Binary Search Trees)
3
Drzewa binarnych wyszukiwań
W drzewach binarnych wyszukiwań przechowujemy dane ze zbioru liniowo uporządkowanego (A,<).
Przestrzegamy następujących zasad:
Każdą wartość reprezentujemy w drzewie co najwyżej raz,
Na lewo od każdego węzła są podwieszone wyłącznie wartości mniejsze od niego, a na prawo większe.
Drzewa binarnych wyszukiwań
Przy tak określonych zasadach wiemy, jak szukać danej wartości w drzewie:
° Albo drzewo jest puste i wtedy jej nie ma
° Albo drzewo jest niepuste i wtedy:
− albo wartość jest w korzeniu
− albo wartość jest mniejsza od tej w korzeniu, więc szukamy jej w lewym poddrzewie
− albo wartość jest większa od tej w korzeniu, więc szukamy jej w prawym poddrzewie
5
Wyszukiwanie wartości w drzewie zwykłym
function jest(x:typ; d:drzewo):Boolean;
begin
if d=nil then jest := false
else if d^.w=x then jest := true
else jest := jest(x,d^.lsyn) or jest(x,d^.psyn)
end;
{leniwie}
{Koszt O(n)}
Wyszukiwanie wartości w drzewie BST
function jest(x:typ; d:drzewo):Boolean;
begin
if d=nil then jest := false
else if d^.w=x then jest := true else if x<d^.w then
jest := jest(x,d^.lsyn) else jest := jest(x,d^.psyn) end;
7
Wstawianie wartości do drzewa BST
procedure wstaw(x:typ; var d:drzewo);
begin
if d=nil then begin new(d);
d^.w:=x;
d^.lsyn:=nil; d^.psyn:=nil;
end
else if x<d^.w then wstaw(x,d^.lsyn) else if x>d^.w then wstaw(x,d^.psyn) end; {Gdy x jest już w drzewie, to go
ignorujemy! Koszt całości O(h)}
Usuwanie wartości z drzewa BST
Usuwanie wartości z drzewa BST jest nieco trudniejsze.
Brak po danej wartości trzeba uzupełnić jednym z dwóch elementów: albo największym z lewego
poddrzewa albo najmnijeszym z prawego. Szczegóły na ASD.
Ciekawe jest pytanie o to, jaka będzie średnia głębokość węzła (albo średnia wysokość drzewa) przy budowaniu drzewa BST poprzez losowe wkładanie (i ewentualne wyjmowanie) kolejnych wartości.
9
Twierdzenie o infiksie w BST
Wartości drzewa BST wypisane w obiegu infiksowym sa posortowane rosnąco.
Dowód: indukcja ze wzgledu na liczbę węzłów drzewa:
dla drzewa pustego OK, bo pusty ciąg jest posortowany
dla drzewa niepustego mamy korzeń z podwieszonymi
dwoma poddrzewami o mniejszej liczbie węzłów – stosuje się więc do nich założenie indukcyjne. Zatem wartości
lewego poddrzewa, wypisywane są jako pierwsze – rosnąco na mocy założenia indukcyjnego – potem idzie wartość z korzenia – jeszcze większa (def. BST), a na końcu rosnące wartości z prawego poddrzewa. ¤
Techniki przydatne przy przetwarzaniu drzew
Pokażemy teraz na przykładzie obliczania wysokości drzewa dwie techniki specyficzne dla drzew.
Wysokość drzewa możemy zdefiniować rekurencyjnie tak:
h(nil) = -1
h(d) = max(h(d^.lsyn),h(d^.psyn)) + 1
Ta definicja przekłada się natychmiast na funkcję rekurencyjną:
11
Wysokość drzewa – wprost xz definicji
function h(d:drzewo):Integer;
begin
if d=nil then h := -1
else h:=max(h(d^.lsyn),h(d^.psyn))+1 end;
{Koszt O(n)}
Mamy tu oczywiście ukryty obieg postfiksowy: nie możemy poznac wysokości ojca, zanim nie poznamy wysokości jego synów.
Metoda spaceru
Jest to metoda, za pomocą której przechodzimy drzewo stosownym (dowolnym) obiegiem i zauważamy pewne fakty, które nas interesują zapamiętując ich efekty na zewnętrznej zmiennej.
W przypadku wysokości interesuje nas największa głębokość, więc przechodząc drzewo dowolnym
obiegiem po prostu za każdym razem, gdy wejdziemy do nowego węzła, aktualizujemy głębokośc, na której sie znajdujemy (aktg) i sprawdzamy, czy nie pobiliśmy
13
Wysokość drzewa spacerem - prefiksowo
function wysokośćSpacerowa(d:drzewo):Integer;
var aktg,maxg:Integer;
procedure spacer(d:drzewo);
begin if d<>nil then begin {spacer}
aktg:=aktg+1;
if aktg>maxg then maxg:=aktg;
spacer(d^.lsyn);
spacer(d^.psyn);
aktg:=aktg-1; {Bardzo ważne!!!}
end; {spacer}
begin {WysokośćSpacerowa}
aktg:=-1; maxg:=-1;
spacer(d);
WysokośćSpacerowa:=maxg end;
Wysokość drzewa spacerem - infiksowo
function wysokośćSpacerowa(d:drzewo):Integer;
var aktg,maxg:Integer;
procedure spacer(d:drzewo);
begin if d<>nil then begin {spacer}
aktg:=aktg+1;
spacer(d^.lsyn);
if aktg>maxg then maxg:=aktg; {“infiksowo”}
spacer(d^.psyn);
aktg:=aktg-1; {Bardzo ważne!!!}
end; {spacer}
begin {WysokośćSpacerowa}
aktg:=-1; maxg:=-1;
15
Wysokość drzewa spacerem - postfiksowo
function wysokośćSpacerowa(d:drzewo):Integer;
var aktg,maxg:Integer;
procedure spacer(d:drzewo);
begin if d<>nil then begin {spacer}
aktg:=aktg+1;
spacer(d^.lsyn);
spacer(d^.psyn);
if aktg>maxg then maxg:=aktg; {“postfiksowo”}
aktg:=aktg-1; {Bardzo ważne!!!}
end; {spacer}
begin {WysokośćSpacerowa}
aktg:=-1; maxg:=-1;
spacer(d);
WysokośćSpacerowa:=maxg end;
Przekazywanie parametrów w obiegu prefiksowym
procedure Nadsumuj(d:drzewo);
procedure DodajGore(d:drzewo; k:Integer);
{Dosumowuje wartość parametru k do węzła d i nową wartość przekazuje rekurencyjnie obu synom.}
begin
if d<> nil then begin
d^.w:=d^.w+k;
DodajGore(d^.lsyn,d^.w);
DodajGore(d^.psyn,d^.w);
end;
end;
17
Przekazywanie parametrów w obiegu postfiksowym
procedure Podsumuj(d:drzewo);
var dowol:Integer;
procedure DodajDół(d:drzewo; var k:Integer);
var zdolu:Integer;
begin
if d=nil then k:=0 {To przypisanie jest konieczne!}
else begin
DodajDol(d^.lsyn, zdolu);
d^.w:=d^.w+zdolu;
DodajDol(d^.psyn, zdolu);
d^.w:=d^.w+zdolu;
k:=d^.w end {else};
end; {DodajDół}
begin {Podsumuj}
DodajDol(d,dowol) {Można było uniknąć dowola wstawiając tu np.
d^.w, ale to by zaciemniło kod}
end;
Dobre rady dotyczące stylu programowania
Procedura udostępniana użytkownikowi powinna mieć tyle parametrów, ile jest to konieczne z punktu widzenia specyfikacji zadania. Wszelkie nadmiarowe parametry ułatwiające zaprogramowanie są wyrazem niechlujstwa.
Złą praktyką programistyczną jest nieumieszczanie istotnych parametrów w nagłówku i korzystanie ze zmiennych globalnych.
Rekurencja i iteracja niezbyt się lubią nawzajem.
Najczęściej dobrze jest zdecydować się na jedną z nich.
19
Dobre rady dotyczące stylu programowania
W procedurach rekurencyjnych dotyczących drzew
zawsze sprawdzamy na początku, czy argument nie jest nilem.
Przy przekazywaniu informacji od korzenia w dół używamy najczęściej porządku prefiksowego, a informację przekazujmy przez wartość
Przy przekazywaniu informacji z dołu drzewa do góry używamy najczęściej porządku postfiksowego i
przekazujemy ją albo przez parametry wołane przez zmienną albo za pomocą wywołania funkcji.
Podsumuj w obiegu postfiksowym z funkcją
procedure Podsumuj(d:drzewo);
var dowol:Integer;
function SumaPotomków(d:drzewo):Integer;
begin
if d=nil then SumaPotomków:=0 { koniecznie!}
else begin
d^.w := SumaPotomków(d^.lsyn)+SumaPotomków(d^.psyn) +d^.w;
SumaPotomków:=d^.w end {else};
end; {DodajDół}
21
Drzewa ogólne
Jeśli drzewoma stopień większy niz dwa, to możemy je implementować w następujący sposób: w kazdym węźle przechowujemy poza wartością w:typ dwa wskaźniki: do pierwszego syna z lewej oraz do listy braci.
Drzewa ogólne
type drzewoOg = ^węzeł;
węzeł = record
w : typ;
lsyn,brat : drzewoOg end;
var
5
d
23
Drzewa ogólne
Jeśli drzewo ma stopień większy niz dwa, to możemy je implementować w następujący sposób: w kazdym węźle przechowujemy poza wartością w:typ dwa wskaźniki: do pierwszego syna z lewej oraz do listy braci.
Drzewa ogólne
Widzimy, że różnica tak naprawdę polega na innej interpretacji takich samych danych.
W rzeczywistości ta interpretacja oznacza, że w korzeniu pole brat jest zawsze puste.
... chyba że nie jest puste i wtedy w naturalny sposób mamy reprezentację lasu – ważnego uogólnienia drzew (drzewo wtedy, to las z jednym elementem).
Procedury obiegu drzew ogólnych są analogiczne do takich procedur dla drzew binarnych
25
Drzewa ogólne - obiegi
Jeśli chodzi o obiegi prefiksowy i postfiksowy, to odpowiedniość jest jednoznaczna
Obiegów infiksowych można sobie wyobrazić więcej – tyle ile jest wynosi stopień drzewa minus 1. W zasadzie nie używa sie obiegów infiksowych w przypadku drzew ogólnych
Liczymy liczbę liści w drzewie ogólnym
function LiczbaLiści(d: drzewoOg): integer;
var lewo, prawo: integer;
begin
if d = nil then LiczbaLiści:=0
else if d^.lsyn=nil then LiczbaLiści:=1
else LiczbaLisci := LiczbaLiści(d^.lsyn) + Liczbaliści(d^.brat);
end end;
27
Liczymy liczbę liści w drzewie binarnym
function LiczbaLiści(d: drzewo ): integer;
var lewo, prawo: integer;
begin
if d = nil then LiczbaLiści:=0
else if d^.lsyn=d^.psyn then LiczbaLiści:=1
else LiczbaLiści := LiczbaLiści(d^.lsyn) + Liczbaliści(d^.psyn);
end end;
Przykład – liczenie wysokości drzewa ogólnego
function h(d:drzewoOg):Integer;
begin
if d=nil then h := -1
else h:=max(h(d^.lsyn)+1,h(d^.brat)) end;
29
Przykład – liczenie wysokości drzewa bin. - przypomnienie
function h(d:drzewo ):Integer;
begin
if d=nil then h := -1
else h:=max(h(d^.lsyn),h(d^.psyn))+1 end;
