Enige beschouwingen over het transformeren van binaire codetekens

^tmi^Km^^^

1

liiiilli

>fi> I I ^liii ,i!i i l lil * l i l

iiiiiiiiftim umwiw I • """«I'luiiii

o» o

ro o

-o

BIBLIOTHEEK TU Delft P 1256 5139

ENIGE BESCHOUWINGEN OVER HET TRANSFORMEREN

VAN BINAIRE CODETEKENS

ENIGE BESCHOUWINGEN OVER HET TRANSFORMEREN

VAN BINAIRE CODETEKENS

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR IN DE TECHNISCHE WETENSCHAPPEN AAN DE TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT, OP GEZAG VAN DE RECTOR MAGNIFICUS DR. IR. C.J.D.M. VERHAGEN,

HOOGLERAAR IN DE AFDELING DER TECHNISCHE NATUURKUNDE, VOOR EEN COMMISSIE UIT DE SENAAT TE VERDEDIGEN OP

WOENSDAG 2fe MEI 1969 TE 16 UUR

DOOR

JACOB CHRISTOFFEL JOOSTEN

NATUURKUNDIG INGENIEUR GEBOREN TE S-GRAVENHAGE

DIT PROEFSCHRIFT IS GOEDGEKEURD DOOR DE PROMOTOR: PROF. DR. IR. C.J.D.M. VERHAGEN

ERRATA

pag.

regel

voor

lees

XVIII

XX

XX

-149

174

189

189

191

197

201

201

204

206

208

209

5

5

2

1

8

9

8

1

9

3

1

9

1

5

8

0 0 0

b

b

0 0

o

0

0 0 0 0

b

b

fouten corrigerende

bewerking

voor de genoemde

be-werking

uit te kiezen

n.,

n^t

•••» ïij^

in sectie 8.1.2. voo

G(P') zijn aangegeve

*h.-.i

eerste

tweede

graph

\

bewerking

GOLOM

foutenherstellende

monadische bewerking

waarmee de genoemde

bewerking is te

reali-seren,

te kiezen

[n^, n^, ..., n^^]

G(P')

(zie sectie 8.1,2.),

eerstgenoemde

laatstgenoemde

graph uit (9-29)

monadische bewerking

GOLOIvIB

209

210

210

210

211

211

215

i S

2 o

3 h

7 o

6 o

4 b

7/6 o

1 o

1 b

samengesteld uit

fouten-corrigerende

voor kommavrije codes

de samenstelling weer

te geven als

bewerking

de hoekpunten van G.

tot label hebben

C^(a,

weer te geven met

be-hulp vsin

foutenherstellende

een kommavrije code*

een deelverzameling

van

monadische bewerking

als label in G,

voort-komen

«2("l0)

(vergelijk (8-6) en

(9-7))

Tabel 7-3 De

U-aggre-gaten

van

u voor n=4»

t-3

5 o t 3 regel van onderen

INHOUD

INHOUD V INDEX OP DE STELLINGEN EN DE LEMMAS XIV

LIJST MET BIJZONDERE SYMBOLEN XVI

INLEIDING XVIII 1. CODETEKENS, TRANSFORMATIES EN KLASSENINDELINGEN 1

1.1. Codetekens 2 1.1.1. De verzameling codetekens K ^ m ] 2

1.1.2. De hammingafstand tussen twee codetekens J 1.1.3. Het decimale equivalent van een codeteken 3

1.1.4. De inhoud van een codeteken 4

1.2. Transformaties 4 1.2.1. De verzameling transformaties [T] 5 1.2.2. De verzameling transformaties [ Q] 6 1.2.3. De verzameling transformaties [P] 7 1.2.4. De transformaties C, O, X en I 8 1.2.4.1. De cyclische transformatie O 8 1.2.4.2. De omkeertransformatie O 9 1.2.4.3. De sprongtransformatie X 9 1.2.4.4. De inversietransformatie I 10 1.3. Klassenindelingen 11 1.5-1. Een klassenindeling van A [m] 11

1.3.2. Een klassenindeling van R |G 1} 1.3.3, Een klassenindeling van B |G 14 1.3.4, Overzicht van de klassenindelingen van 15

}^[m],

R"|G en B"| G

1.3.5. De berekening van -b"| G, b"| G en b'^lJG,!) 15 Appendix 1-1 De berekening van —b | G en b |{G,Ij 18

met de Stelling van de Bruijn

2. RINGEN, RINGENCOMPLEXEN EN DEELRINGENCOMPLEXEN 20

2.1. De verzameling binaire codetekens K^ 20 2.1.1. Enige eigenschappen van de verzameling binaire 20

codetekens K^

2.1.2. Enige eigenschappen van binaire codetekens 21

2.2. Enige deelverzamelingen van K^ 22 2.2.1. De verzameling ® K " 22 2.2.2. De ring R " { o } 25

n

2.3. Enige eigenschappen van de ring R {c j 26 n

2.3.1. De lengte van de ring R {c.j 26 2.3.2. Het gewicht van de codetekens in de ring R {c.) 28

J

2.3.3. De decimale equivalenten van de codetekens in 28 de ring R {c.j

J n 2.4. Enige deelverzamelingen van het ringencomplex R 29

2.4.1. Het deelringencomplex R 30 * e n 2.4.2. Het deelringencomplex R 51 e n 2.4.3. Het deelringencomplex R 33 n

2.5. iiiige deelverzamelingen van de basis B 36 2.5.1. De deelverzameling B van de basis B 57

2.5.2. De standaardbasis B'^ voor K'^ j>8 2.5.3. De samenstelling van B en B 39 Appendix 2-1 De berekening van m en m 40

3, AUTO-RETROGRESSIE, AUTO-INVERSIE EN AUTO-RETRO-INVERSIE 42

3.1. De codetekens c, c, c en c 42 3.1.1. De omkeertransformatie O en de inversie- 42

transformatie I

3.1.2. De aan een codeteken toegevoegde codetekens 43 3.1.3. Auto-retrograde en auto-retro-inverse codetekens 44

3.2. De ringen R{oj, R{^j, R{cj en B.{^] 45

3.2.1, De aan een ring toegevoegde ringen 45 3.2.2, Auto-retrograde, auto-inverse en auto-retro-inverse 4 6

ringen

3,5» Enige deelverzamelingen van R waarbij de soort 49 betrokken is

3.3.1. Het deelringencomplex H 49 3.3.2, De deelringenoomplexen R , H en R 50

8—j( s — B—l

3.4, Multiplioiteiten van deelringenoomplexen waarbij de 51 soort betrokken is

3.4.1, Enige betrekkingen voor de multiplioiteiten 52 e n e n n n _{m , m , m en m}

^ ' ^ ^ J « ^ e n n

3.4.2, Het aantal auto-retrograde ringen in R en R 55 3,4,5» De multiplioiteiten m (i onsven), m en 54

n ^ •* ° m (n oneven)

3.4*4, Het aantal auto-inverse ringen in R en R 54 3.4.5, Het aantal auto-retro-inverse ringen in R en R 55

3.4.6, De multiplioiteiten m'^ en m 56 u # u

* n n

3.4.7, De multiplioiteiten m en m voor even / en n 57

e n

3.4.8, De multiplioiteiten m voor even n 58 5.4.9, Overzicht van de formules voor m , m en m 59

s s « s n

5.5, Enigs deelverzamelingen van de basis B waarbij de soort 61 betrokken is

5,5«1» De deelverzamelingen B en B van de basis B 61

5.5.2, De samenstelling van B^ en B 62 Appendix 5-1 Berekening van m + 5 ^m 65

*^ r n u

Appendix 5-2 De berekening van 2 m + m 64 n n *

Appendix 5-5 De berekening van a en m 66 A-AGGHBGATEN, A-AGGREGATENCOMPLEXEN EN DEEL-A-AGGREGATEN- 70

COMPLEXEN

4.1. Het A-aggregaat A {o.} 70 J

4.1.1. De definities van aggregaat en A-a^gregaat 70 4.1.2. Het A-aggregaat A {o.} als element van 7I

#|{C,0,I)

4.2, Enige eigenschappen van het A-aggregaat A''{C j 72 n

4.2.1, Het aantal codetekens in het A-aggregaat A {o j 72

4.2.2, Het gewicht van de codetekens in het 75 A-aggregaat A {c.j

4.5» D e m u l t i p l i o i t e i t e n r a n d a ( d e e l - ) A-a«rgregaten- 7)9 , e . n ,n e.n .n

oomplexen A , A , i en A s—' s^ —• —

4.3.1, De multipliciteit *p'^ van het deel-A-aggregaten- 75 complex A

"~ n

4,3»2. De multipliciteit p van het deel-A-aggregaten- J6

complex A

^ e n

4*5,5, De multipliciteit p van het deel-A-aggregaten- 77 e.n

complex A

4»5*4* De multipliciteit p van het A-aggregatencomplex 78

4.4* Enige deelverzamelingen van de standaardbasis 79 BI^KC.O.I j

4*4,1, De verzamelingen B^|{c,0,lj, ® B " | { O , 0 , I J , 79

^B;J|{C,0,IJ en ^B^|{c,0,l}

4.4.2. De samenstelling van BJJ|{C,0,I}, ®BJJ| { C , 0 , I } , 80 ^B;J|{C,0,I) en ^B^jKc.O,!}

DE SAMENSTELLING VAN RINGEN EN DE STRUCTUUR VAN DE CODETEKENS 82 IN RINGEN

5.1, De samenstelling van ringen van gegeven soort 82 5.1.1, De sajnenstelling van auto-retrograde ringen 82 5.1.2, De samenstelling van auto-inverse ringen 86 5,1,5, De samenstelling van auto-retro-inverse ringen 87

5,1,4, De samenstelling van ringen van soort u 88 5.1,5* De minimumindex van een codeteken in een ring 92

5.2, De structuur van de codetekens in ringen van gegeven 95 soort

5.2.1, De structuur van de codetekens in een ring van 95 gegeven lengte

5.2.2, De structuur van de codetekens in een auto- 96

retrograde ring

5.2.3, De structuur van de codetekens in een auto- 98 inverse ring

5,2.4* De structuur van de codetekens in een auto- 99 retro-inverse ring

5*2.5* De structuur van de codetekens in een ring van 100 soort u

Appendix 5-1 Het verband tussen <? (C c) en <p (c) 102

Appendix 5-2 De pariteit van qp j(z) 102 Appendix 5-5 Het verband tussen <f (z), (p. (z) en (f .(z) 10}

voor een ring van soort u

6. AFSTANDEN, APSTANDSVECTOREN EN APSTANDSMATRICES 104 6.1. De verzameling afstandsvectoren I][n+l] 105

6.1.1, De afstandsvector d(z, R{ cj) 105 6.1.2, Enige eigenschappen van de afstandsvector d(z,E{cj) 106

6,1.5, De deelverzameling D [n+l] van D[n+l] 108 V r 1

6.1.4. Het verband tussen een afstandsvector uit D [n+1J 109 en de afstandsveotoren uit D [v+1J

Vr ~1

6.1.5, Het verband tussen een afstandsvector uit D [n+IJ 110 V r ~l

en de b i n a i r e codetekens u i t K [2j

V r *1 b.1.6. Het transformeren van afstandsvectoren uit D [n+1J 111

6.2. Enige deelverzamelingen van D [n+l] 113

6.2.1. De ring R{dj 114 6.2.2. Het A-aggregaat A{dj 1l6

6.2.3. De verzameling afstandsvectoren 117 (d(Cp,R{c^j), Cp € A{z|, c^ € A { C } )

6,5. Enige eigenschappen van de ring R{d(z, R{cj)} 119 6.3.1, De lengte van de ring R{d(z, R{oj)j 120 6.5.2, De soort van de ring R{d(z, R{cj)j 123 6,4, De structuur van de afstandsvectoren in de ring 124

H{d(z, R{cj)j

6.4.1. De structuur van de afstandsvectoren in een ring 125 van gegeven lengte

6.4.2. De structuur van de afstandsvectoren in een ring 126 van gegeven soort

6.4.2.1. De structuur van de afstandsvectoren in 126 een auto-retrograde ring

6.4.2.2, De structuur vaji de afstandsvectoren in 127 een auto-inverse ring

6.4.2.5. De structuur van de afstandsvectoren in 128 een auto-retro-inverse ring

6.4.2.4, De structuur van de afstandsvectoren in 129 een ring van soort u

6 . 5 * Enige e i g e n s c h a p p e n van a f s t a n d s m a t r i c e s 132 6 . 5 . 1 , De a f s t a n d s m a t r i x A ( R { z ) . H { c j ) 152 6 . 5 . 2 . De a f s t a n d s m a t r i x A Ul_zj , A{ cj ) 155 1 2 2 ' Appendix 6-1 De b e r e k e n i n g van E ' i ^'® Appendix 6 - 2 De a f s t a n d s v e c t o r ^" d C D[n+l] a l s 139 l i n e a i r e c o m b i n a t i e van b i n a i r e codetekene Appendix 6 - 5 De d e f i n i t i e van ^ ^ A ( A { Z ) , A { C J ) 140

7. U-AGGREGATEN, U-AGGREGATENCOMPLEXEN EN DEEL-U-AGGREGATEN- 141

COMPLEXEN

7 . 1 . De v e r z a m e l i n g e n t r a n s f o r m a t i e s [X] en [ H ] 141 7 . 1 . 1 , De v e r z a m e l i n g t r a n s f o r m a t i e s [X] 142 7 . 1 . 2 , De orde (i)(t) van de t r a n s f o r m a t i e s u i t [X] 143

7*1*3. De v e r z a m e l i n g t r a n s f o r m a t i e s { X . j 146 7 . 1 . 4 . De v e r z a m e l i n g t r a n s f o r m a t i e s [ H ] 147

7 . 2 . Het U-aggregaat u " { o . } 148 7 . 2 . 1 . Het u - a g g r e g a a t ü { o j a l s v e r e n i g i n g van 146

A-aggregaten u i t A

7 * 2 . 2 . Het U-aggregaat U°{c j a l s element vanR'^|[H]'* 149 n f

7.2.3. Enige eigenschappen van het U-aggregaat U {o.J 151 7.2.4. De samenstelling van het U-aggregaat U^{c . j 152 7,5. De multiplioiteiten van de (deel-) U-aggregatencomplsxen 152

V en U"

e n

7 . 5 . 1 . De m u l t i p l i c i t e i t z van h e t deel-D-aggregaJben- 1 5 3 complex U^

7.5.2, De multipliciteit z van het U-aggregatencomplex U^ 154

7,4* De verzameling afstandsvectoren 154 {d(Op. R{Cqj)« °p € TJ{zi, c^ € U{cj)

7*4*1* Het U - a g g r e g a a t U{d} 155 7 . 4 . 2 . De v e r z a m e l i n g / d ( c ,H{o j ) : c € U { z j , o CUfojJ I56

a l s v e r e n i g i n g van U-aggregaten u i t U 7 . 4 . 3 , De a f s t a n d s m a t r i x A ( D { Z J , U { o j ) 157 7 , 5 , Enige d e e l v e r z a m e l i n g e n van de s t a n d a a r d b a s i s B ^ | [ H } ' * 159^ 7 , 5 , 1 , De v e r z a m e l i n g e n B ^ | [ H ] " , * B ^ | [ H ] ' ^ , ^ [ H ] ° 159 7 . 5 * 2 , De . s a m e n s t e l l i n g van B ^ | [ H ] ' * , X l t ^ ] ' ' , B ^ K H ] " I 6 0

en 3X1

[H]"

Appendix 7-1 De v e r z a m e l i n g [ X ] ° I 6 I Appendix 7 - 2 Het verband t u s s e n d ( x . z , R { X o j ) en d ( a , R { o J ) l 6 5

8 , AGGREGATEN, AGGREGATENCOMPLEXEN EN DEELAGGREGATEN- I 6 9 COMPLEXEN GEÏNDUCEERD DOOR P-TRANSFORMATIES

8 . 1 . De v e r z a m e l i n g e n [ P ] " en [ P ' ] " I 6 9 8 . 1 . 1 , Het t r a n s f o r m a t i e v o o r s c h r i f t P ' van een 169

P - t r a n s f o r m a t i e 8 . 1 . 2 , Het t y p e x 'v^n een t r a n s f o r m a t i e ( v o o r s c h r i f t ) 170 8 . 1 . 5 , De o p e r a t i e C ' ( a ) 171 '^ n^ p ' 8 . 1 . 4 , De v e r z e u n e l i n g e n {pj en {P' j 174 6 . 2 . De v e r z a m e l i n g e n R ' ^ I C | { p ) J , R'^liPJ en B ' ^ K P J 174 8 . 2 . 1 . De b e g r i p p e n R { c . | { P J } , R " | { P ) en B ^ K P J 175 8 . 2 . 2 . Het v e r b a n d t u s s e n de a g g r e g a t e n van R | { P J 176 en de a g g r e g a t e n van R |{C *C * . . * C j Tï. n p n , 8 . 2 . 5 . De S £ u n e n s t e l l i n g van h e t a g g r e g a a t 177 R ' ^ I C . U C *C • . . . • C j j i j ' n n n 8 . 2 . 4 . De s a m e n s t e l l i n g van d^ b a s i s B ' ^ U C *C * . . 177 ' ^ n n ..* C 1 ^ ^ n, '

8.2.5. De multiplioiteiten van de (deel) aggre- 179 gatencomplexen ^R'^lfPJ, ^}{^ \ , ^S*^ I {l"! en

8.3. De afstandsvector d(z, R'^{C|{P}J) 181

8.5.1. De definitie van de afstandsvector 181

d ( z , R ' J I C K P } ! )

8 . 5 . 2 , Enige e i g e n s c h a p p e n van de a f s t a n d s v e c t o r 182

d ( z , R " {C | { C * C » . . . * C j l )

9 . AGGREGATEN, AGGREGATENCOMPLEXEN EN DEELAGGREGATEN- 188 COMPLEXEN GEÏNDUCEERD DOOR Q-TRANSFORMATIES

9 . 1 . De verzamelingen [qj^ en [ Q ' J"^ 188 9 . 1 . 1 . Het t r a n s f o r m a t i e v o o r s c h r i f t Q' van een 188

Q - t r a n s f o r m a t i e

9 . 1 . 2 . De g e d a a n t e G ( Q ' ) van Q' 189 9 . 1 . 5 . Het t y p e X ( Q ' ) van Q' en X ( Q ) van Q 190

9 . 1 . 4 . De o p e r a t i e L ' ( a , a ) 192

9 . 2 . De verzamelingen R**! c | < Q> J, R " | < Q > en B " | < Q > 195 9 . 2 . 1 . De r e l a t i e " e q u i v a l e n t met b e t r e k k i n g t o t 195

<Q> "

9 . 2 . 2 . De begrippen R " { C |<Q>J, R'^|<Q> en B'^|<Q> 196 J

9 . 5 . Enige eigenschappen van het aggregaat I97 R"{°JI<Q>}

9 . 5 . 1 . P e r i o d i e k e en h - p e r i o d i e k e codetekens van 197

R''{°JI<Q>}

9 . 3 . 2 . Generatoren en n i e t - g e n e r a t o r e n van 197

H"{°JI<Q>}

9 . 5 . 5 , Het a a n t a l elementen van h e t aggregaat 198

9.5.4. De graph G ( R ^ { C |<Q>)) 199 9.3.5. De structuur vtin de periodieke codetekens 200

van R {c.|<L *,,,»L •C •,..»C >!

t} jl^ V v^ n n.^'

9.5.6. Het verband tussen door P-transformaties 201 en door Q-transformaties geïnduceerde

aggregaten

9.4. Het verband tussen de graphen van aggregaten ge- 202 induceerd door Q-transformaties van verschillend

type

9.4.1, De operatoren S en V 203 9.4.2. De operator S ° 204 9.4.3, De operator V ° 205 9.4.4. Het verband tussen G ( R { C |<Q >}) en 2O6

DISCUSSIE 208

TABELLEN

n i ^ . . ^ . . T v . i i . i _ t j i . _ L e n e n n n .

Tabel 2-1 De multiplioiteiten m , m , m en m voor a'

n - 2(1)16, e - 0(l)[|f

Tabel 2-2 De multiplioiteiten m en m , alsmede A en L 6'

voor n - 17(1)32

Tabel 3-^ De multiplioiteiten m , m , m en m voor e'

n . 5(2)15, e - 0 ( 1 ) ^

Tabel 5-5b De multipliciteiten ®m , m , m en m voor i; *

n - 2(2)16, e = 0 ( l ) |

Tabel 4-1 De multipliciteiten p en p voor n = 2(1 )l6, i'

e = 0(1)[|] n n

Tabel 4-2 De multipliciteiten

^v^

en ^p*^ voor n - 2(2)l6 i'

Tabel 6-1 De afstandsvectoren d(z,R{cj) waarbij ia'

z e V en c e ^ B ^ voor n . 4(l)6, e - 0(l)[|]

Tabel 7-1 De verzamelingen v en V. voor n = 2(l)22 L Y '

Tabel 7-2 De multipliciteiten

^z^

en

z^

voor n - 2(l)l6, 16'

8 - 0(1)[|] n a

Tabel 7-5 De multipliciteiten ^ z " en ^ z " voor n = 2(2)l6 16'

Tabel 7-4 De cykelindex van de groep {C'j[X'] voor I E '

n = 2(1)16

Tabel 7-5 De U-aggregaten van U voor n - 4(1)14 i£'

APPENDIX A Relaties en klassenindelingen uS'

APPENDIX B Afbeeldingen, transformaties en permutaties JIT) '

APPENDIX C Groepen jiG"

APPENDIX D De Stellingen van de Bruijn en Pölya va'

APPENDIX E De Stelling van MBbius v6«

APPENDIX F Graphen ve'

LITERATUUR vn'

SAMENYATTI1I6 ; •

INDEX OP DE STELLINGEN EN LEMMAS mma II II II e l l i n g II II n (1 n e l l i n g II II II II II II II II e l l i n g II II II e l l i n g II •I II II II H t l t l 1-1 1-2 1-5 1-4 2-1 2-2 2-5 2-4 2-5 2-6 5-1 5-2 5-5 5-4 5-5 5-6 5-7 5-8 5-9 4-1 4 - 2 a 4-2b 4 - 5 5-1 5 - 2 5-5 5-4 5-5 5-6 5-7 5-8 5-9 1 . 5 . 5 . 1 . 3 . 5 . 1 . 5 . 5 , 1 . 5 . 5 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 5 . 1 . 2 . 4 . 1 . 2 . 4 . 2 . 2 . 4 . 5 . 5 , 4 , 2 , 5 . 4 . 2 . 5 . 4 . 5 . 5 . 4 . 4 . 5 . 4 . 4 . 3 . 4 . 5 , 3 . 4 . 5 , 3 . 4 . 6 . 3 . 4 . 6 . 4 . 1 . 2 . 4 . 3 . 5 . 4 . 3 . 3 . 4 . 5 . 4 . 5 . 1 . 1 . 5 - 1 . 5 . 5 . 1 . 4 . 5 . 2 . 1 . 5 . 2 . 2 . 5 . 2 . 5 . 5 . 2 . 4 . 5 . 2 . 5 , 5 . 2 . 5 . 15 17 17 17 25 25 27 51 55 56 55 55 54 55 55 55 55 56 56 72 77 78 78 85 87 89 95 97 99 99 100 101 s t e l l i n g II II II M tl II II It It It It II It It It It It It II II Lemma ti It ti ti It S t e l l i n g tl It II It Lemma 6-1 6-2 6 - 3 6-4 6-5 6-6 6-7 6-8 6-9a 6-9b 6-9c 6-10 6-11 6-12 6-1 5a 6-1 5b 6-14 6-15a 6-15b 6-16 6-17 6-1 6-2 6-5 6-4 6-5 6-6 7-1 7-2 7-5 7-4 7-5 7-1 6 . 1 . 2 . 6 . 1 . 2 . 6 . 1 . 4 . 6 . 1 . 5 . 6 . 2 . 5 . 6 . 2 , 5 . 6 . 5 . 1 . 6 . 3 . 1 . 6 . 3 . 2 . 6 . 5 . 2 . 6 . 5 . 2 . 6 . 4 . 1 . 6 . 4 . 1 . 6 . 4 . 2 . 1 . 6 . 4 . 2 . 2 . 6 . 4 . 2 . 2 . 6 . 4 . 2 . 5 . 6 . 4 . 2 . 4 . 6 . 4 . 2 . 4 . 6 . 4 . 2 . 5 . 6 . 5 . 1 . 6 . 1 . 6 . 6 . 1 . 6 . 6 . 1 . 6 . 6 . 1 . 6 . 6 . 1 . 6 . 6 . 1 . 6 . 7 . 2 . 1 . 7 . 2 . 2 . 7 . 4 . 2 . 7 . 4 . 2 . 7 . 4 . 2 . 7 . 4 . 2 . 107 107 109 110 117 119 120 120 123 125 125 125 125 126 127 128 128 129 129 151 134 112 113 113 113 113 115 149 150 156 157 157 156 XIV

INDEX OP DE STELLINGEN EN LEMIJIAS ( v e r v o l g ) Lemma 8-1 8 . 1 . 5 . 175 Stelling 8-1 8.2.1. 175 " 8-2 8.2.2. 176 " 8-5 8.2.5. 177 " 8-4 8.2.4. 178 » 8-5 8.5.2. 182 Lemma 9-1 9.4.1. 205 Stelling n II n II II

9-1

9-2 9-5

9-4

9-5

9-6

9.2.2. 9.3.3. 9.5.3. 9.3.5. 9.5.6, 9.4.4.

196

198

199 200 202 206

LIJST MET BIJZONDERE SYMBOLEN (a., a„, ..., a, ) verzameling elementen

(a,b) grootste gemene deler van a en bj verzameling met elementen a en b

[a,b] het kleinste gemene veelvoud van a en b

(

a. \ Symbolische notatie voor een trans-a, I formatievoorschrift (zie sectie 1.2.2.) I I binominaalco'éf f ici'ént

{g.,»g2 »••» Sjj.' groep gegenereerd door g^, g^, ..., g^^ [gl groep met één generator

[ Q ] verzameling transformaties

[a] entier van a, i.e. het grootste gehele getal ^ a

Ic.l , Ie Ie I bijzondere notaties voor codetekens I jl ' I pi ql

(zie par, 5,2,)

|v| aantal elementen van verzameling V a compacte schrijfwijze voor een geordend

x-tal, b.v, e = e , e., ..., e

— o 1 m-1 A verzameling bestaande uit verzamelingen

codetekens

a het getal uit (0,'i ,2,... ,n-1) dat

con-g r u e n t modulo n irot a i s ; a = a - T—In

—n '^n -'

a het (m-1)-complement van a

c inverse oodeteken van c (zie sectie 1.2.4.4.) •o retrograde oodeteken van c (zie sectie

1.2.4.2.)

o retro-inverse codeteken van c (zie sectie 5.1.2.)

(c) , c minimumgenerator van ring R{cj (zie sectie 2.5.3. )

Q' transformatievoorschrift van transfor-matie Q

<pi K—^h V c w ,

V u w , V n w

(a« a € V, E . , , E 2 , . . , E j ^ | i / n , t/n a H b , a ^ b mod n (f{n) •i(n) i = a ( k ) b n n n

U . 1 .TT

i = 1 i=1 i=1

U . 1 .TT

i i i

U . Z . TT

v o o r w , voorw, voorw, Uin(a,b), Max(a,b) Min(a ) , Max(a ) i i ^

afbeelding o,q, transformatie van verzameling K in (op) verzameling L de lege verzameling

a is element (geen element) van verzameling V

V is deelverzameling van W vereniging (doorsnede) van de ver-zamelingen V en W

verzameling der tot V behorende elementen die tevens de door E^, Ep, .... E, aangeduide eigenschappen bezitten

/ is deler (geen deler) van n a is congruent (niet congruent) met b modulo n; d.w.z. n is wel (geen) deler van a - b

indicator van Euler) i.e. het aantal natuurlijke getallen ^ n en onder-ling ondeelbaar met n (n natuurlijk getal)

mBbiusfunctie (zie Appendix E) voor i gelijk aan a, a+k, a+2k,...,b vereniging (som. gedurig produkt) voor i lopende van 1 tot en met n vereniging (som, gedurig produkt) voor de toegelaten waarden van i vereniging (som, gedurig produkt) voor die waarden van de variabele, welke in overeenstemming zijn met de vermelde voorwaarde(n) (voorw,)j

b,v, Z

i/n

minimum (maximum) van a en b minimum (maximum) van a., a , ,...

INLEIDING

In hoofdstuk 1 wordt uiteengezet op welke wijze in de verzame-ling van alle codetekens met een vast aantal digits klassenindelin-gen kunnen worden geïnduceerd, die berusten op de eiklassenindelin-genschappen van de codetekens met betrekking tot een verzameling transformaties. De in beschouwing genomen transformaties hebben de eigenschap, dat de digits van het getransformeerde codeteken zijn af te leiden van de digits van het te transformeren codeteken met behulp van een zoge-naamd transformatievoorsohrift. Is dit transformatievoorschrift te beschrijven als een afbeelding van de verzameling der digits in of op zichzelf, dan wordt respectievelijk gesproken van een Q-trans-formatie en een P-transQ-trans-formatie, De verzameling transQ-trans-formaties waarmee de klassenindeling wordt geïnduceerd, is een groep (P-trans-fpmaties) of een halfgroep (Q-transformaties), De klassen, de quotiëntenverzameling en het volledige representantens^steem zijn voor diverse klassenindelingen van het bovengenoemde type bestudeerd,

Een centrale plaats bij de beschouwingen neemt de klasseninde-ling in die wordt geïnduceerd door de groep met de cyclische trans-formatie als generator. Deze cyclische transtrans-formatie is een P-trans-formatie waarvan de werking op een codeteken bestaat in een cyclische verwisseling van de digits van dit codeteken. In dit geval worden de klassen, da quotiSntenverzameling en het volledige representantensy-steem reap, ringen, ringencomplex en basis genoemd. Een ring is dus een verzameling codetekens, die bestaat uit een codeteken te zamen met alle codetekens die met behulp van de cyclische transformatie van dit codeteken zijn af te leiden. Deze ringen worden voor het binaire geval geïntroduceerd in hoofdstuk 2.

Diverse in de literatuur vermelde codes zijn te beschouwen als de vereniging van één of meer van deze ringen. Voorbeelden zijn de cyclische codes (PETERSON [1]) en de cyclic permutation codes

(NEUM.ANN [2,5J)» beide fouten oorrigwr^fHre codes (zie ook Discussie), Daarnsiast zijn er codes bekend met de eigenschap, dat ten hoogste één codeteken van iedere ring in de code voorkomt. Deze codes zijn

dus deelverzamelingen van de eerder genoemde basis. Als voorbeel-den van dit type code kunnen worvoorbeel-den genoemd de zgn kommavrije codes met zelfsynchroniserende eigenschappen (GOLOMB E.A.[4]) en de cyclically permutable codes (NEUMANN [5]) (zie Discussie).

Van de eigenschappen van de ringen komen in hoofdstuk 2 onder meer ter sprake het aantal codetekens in een ring en het gewicht van de codetekens in een ring,

De discussie wordt in hoofdstuk 5 voortgezet met een beschou-wing over de eigenschappen van de codetekens in een ring ten

aan-zien van de inversietransformatie en de omkeertransformatie. Het effect van de laatstgenoemde transformatie op een codeteken bestaat in een omkering van de volgorde van de digits van het codeteken. De inversietransformatie vervangt iedere digit van een codeteken door het complement,

In hoofdstuk 5 wordt nagegaan op welke wijze de codetekens in een ring samenhangen. Verder wordt in dit hoofdstuk onderzocht hoe de codetekens in een ring met behulp van een zgn combinatieoperatie zijn opgebouwd uit codetekens met een geringer aantal digits. In dit verband wordt van de structuur van een codeteken gesproken.

De afstandseigenschappen van de codetekens in een ring zijn het onderwerp van hoofdstuk 6. Deze eigenschappen zijn weer te geven met behulp van een afstandsvector. Door ringen, bestaande uit af-standsvectoren, te introduceren kan bij dit onderzoek gebruik worden gemaakt van een aantal resultaten die voor ringen met binaire code-tekens zijn verkregen.

Behalve de tot nu toe genoemde klassenindeling, die berust op de eigenschappen van de codetekens met betrekking tot de door de cyclische transformatie voortgebrachte groep, worden ook de klassen-indelingen in beschouwing genomen, geïnduceerd door meer gecompli-ceerde groepen. In hoofdstuk 4 wordt een klassenindeling geïnduceerd door de groep, die de cyclische transformatie, de omkeertransforma-tie en de inversietransformaomkeertransforma-tie als generatoren heeft. De klassen hiervan heten A-aggregaten. De in hoofdstuk 7 besproken U-aggregaten zijn de klassen van de klassenindeling die wordt geïnduceerd door

de groep, waarvan de bovengenoemde drie transformaties en de verza-meling der zgn sprongtransformaties de generatoren zijn. Zowel A-aggregaten als ü-aggregaten zijn te beschouwen als de vereniging van een aantal ringen,

Enige gegevens van ringen. A-aggregaten en U-aggregaten zijn in Tabel 7-5. op systematische wijze gerangschikt, weergegeven,

De eigenschappen der klassen van de klassenindeling die wordt geïnduceerd door de groep met een willekeurige P-transformatie als generator, zijn onderwerp van bespreking in hoofdstuk 8, Het blijkt. dat de codetekens in een dergelijke klasse, aggregaat genoemd, zijn te verkrijgen door de codetekens uit een aantal geschikt gekozen ringen met behulp van de combinatie-operatie te combineren. De in hoofdstuk 9 geïntroduceerde aggregaten, die geïnduceerd worden met behulp van een halfgroep Q-transformaties, zijn weer in verband te brengen met de aggregaten die in hoofdstuk 8 ter sprake kwamen,

In de op hoofdstuk 9 volgende discuBSi» worden de «lomenten rr\o <scic\i&cVie

van een verzameling waarvoor een^^ewerking is gedefinieerd, geco-deerd m,b,v, de codetekens van een aantal door een Q-transformatie geïnduceerde aggregaten. De consequenties voor de constructie van een schakeling voor de genoemde bewerking worden met behulp van een voorbeeld toegelicht,

HOOFDSTUK 1

CODETEKENS, TRANSFORMATIES EN KLASSENINDELINGEN Inleiding

In het eerste deel van dit hoofdstuk worden een aantal op codetekens betrekking hebbende begrippen geïntroduceerd. Onder meer komen ter sprakej het aantal digits van een codeteken, de waarden die deze digits kunnen hebben, het decimale equivalent en de inhoud. Verder worden enige eigenschappen van de hamming-afstand tussen twee codetekens vermeld. Evenals in het overige gedeelte van dit hoofdstuk, zijn genoemde begrippen geformu-leerd voor meerwaardige codetekens,

Het transformeren van codetekens is onderwerp van bespre-king in het tweede deel van dit hoofdstuk, In het bijzonder wordt aandacht besteed aan de transformaties waarbij de digits van het getransformeerde codeteken zijn af te leiden van de digits van het te transformeren oodeteken met behulp van een zogenaamd transformatievoorschrift. Van enige in de volgende hoofdstukken veel gebruikte transformaties van dit type, t,w, de cyclische transformatie, de omkeertransformatie, de sprong-transformatie en de inversiesprong-transformatie, zijn de belangrijJcste eigenschappen weergegeven,

In het derde deel van dit hoofdstuk wordt besproken op welke wijze in een verzameling codetekens een klassenindeling is aan te brengen die berust op de eigenschappen van de code-tekens met betrekking tot een groep transformaties, In de aldus verkregen quoti'èntenvej. zameling en het bijbehorende volledige representantensysteem wordt eveneens een klassenindeling aan-gebracht die in dit geval berust op de eigenschappen van de elementen vem deze verzamelingen. Nagegaan wordt welk verband er bestaat tussen de verzamelingen die bij de drie genoemde klassenindelingen zijn betrokken. Tenslotte zijn enige regels gegeven voor de bepaling van het aantal klassen van een

klassen-1,1, Codetekens

In sectie 1,1,1, wordt een definitie gegeven van een m-waar-dig, n-digit codeteken, In de verzameling van alle m-waardige, n-digit codetekens is een afstandsbegrip te introduceren. Sectie 1.1,2, bevat de bespreking van het geval, dat hiervoor de hamming-af stand wordt genomen. Een eenduidige compacte beschrijving van een codeteken is het decimale equivalent. Dit komt in sectie 1.1.5» ter sprake. Een grovere, niet eenduidige typering van een codeteken is de inhoud. Enige eigenschappen hiervEin zijn in sectie 1.1.4. gegeven.

1,1,1, De verzameling codetekens K^fml

Onder een m-waardig, n-digit oodeteken c zal worden verstaan een geordend n-tal, a a.a„ ... a. ... a , , waarvan de

componen-° ' o 1 2 1 n-1

ten, digits genoemd, waarden hebben die tot M = (O, 1, 2,.,,,m-l) behoren»

c = a a..ap ... a. ... a _. , a. C M , i = 0(l)n-1 (l-l)

M - (O, 1, 2, , m-1) (1-2) De verzameling van alle m-waardige, n-digit codetekens, te

noteren als K^[m], is te schrijven als het cartesisohe produkt van n factoren M:

K"[m] - M X M X X M (n factoren) (l-5) Het aantal codetekens in K [m] bedraagt (m) .

De codetekens c = a a., ... a, ... a . en c' = a'a! ... o'. o 1 1 n-1 o 1 i .... a' ., beide behorende tot K^[m] , zijn gelijk dan en alleen dan, indien a.=a! voor i - 0(l)n-1,

K [m] is te interpreteren als een tweezijdige M-moduul over M, indien M wordt beschouwd als de restklassenring modulo m. waarvoor op de gebruikelijke manier een optelling en een vermenig-vuldiging zijn gedefiniSerd. Daartoe dienen in K^[m] een optelling en een vermenigvuldiging te worden ingevoerd volgens

c + c' = a^ + a' a., + a' o ., + a' . (l-4)

o o i 1 n-1 n-1 '

re - ra ro ra . . r € M (l-5) o 1 n-1 ' \ ^/

1,1,2, De hammingafstand tussen twee codetekens

In de verzeuneling codetekens K^[m] is een afstandsbegrip in te voeren. Hiervoor zal de hammingafstand worden genomen. De hammingafstand d(c,c') tussen de codetekens c € K^Ci"] en c' € K^[m] is het getal dat aangeeft hoeveel overeenkomstige digits van c' en c'een verschillende waarde hebbent

n-1

d(c,c') . ^E^ 6(a^,ap

c - a^a^ ... a^ ... a^_., , c' - a^a' ... a' ... a^ ., (1-6) waarin

O , a. - a'

«-(«i.ap

c - . -i -i

l ^ , a^ / a| , i - 0(l)n-1 (1-7) De aldus gedefinieerde hammingafstand voldoet aan de aan een afstand te stellen eisen. Het is een reSel getal, waarvoor geldtI

d(c,c') - O dan en alleen dan, indien e .> c • (l-öa)

d(c,c') - d(c',c) (l-8b) d(o,c') g d(o,c") + d(c",c') (l-8c)

De vergelijkingen (l-8a) t/m (l-8c) gelden voor alle o, c' en c" behorende tot K^[m],

1.1.5. Het decimale equivalent vtm een codeteken

Het decimale equivalent van het codeteken c € K^ [m ] volgt uit

j -

l}^ a^i^f-^-'

(1-9)

Het voldoet aan de betrekking

O ^ j S (m)*" - 1 (1-10) De index j in c geeft het decimale equivalent aan van het

betrokken codeteken. Met deze notatie is voor K° [m ] te schrij-ven

K^L"»]- (°o»°i'°2' •••• °j' •••' °N-1 ) ' N-("')"' (1-11)

1.1.4, De inhoud van een codeteken

De inhoud e van een codeteken c. € K^[in] is het geordende J

m - t a l

S. " ® n ' ^ 1 ' • • • » ^ - ï * • • • » ® m - 1 V1 - 1 ^ /

H i e r i n s t e l t e. het a a n t a l d i g i t s van c . voor d i e de waarde i € M hebben.De componenten van _e voldoen aan

O S e. ^ n , i - 0(l)m-1 (1-13)

m-1

, S ^ e . - n <1-14) In het b i n a i r e g e v a l , waarvoor m - 2 ( z i e sectie 2.1.), wordt de

component e. h e t gewicht van het codeteken genoemd. Volgens (1-6^ en ( 1 - 7 ) i s het gewicht, e, van c . € K^[ni] uit t e drukken

u in de hammingafstand tussen e. en c i

e = d(c.,o^) . c. e K " [ 2 ] , e^ € K^[2] (I-15)

1.2, Transformaties

Voor een bespreking van enige met transformaties verband houdende begrippen zij verwezen naar Appendix B; de definities van halfgroep en groep zijn in Appendix C opgenomen.

In sectie 1.2.1. wordt een aantal eigenschappen besproken van transformaties die de verzameling codetekens K^[ni] in of op zichzelf afbeelden,

Een dergelijke transformatie is te definiëren door opgave, bijv. in een tabel, van het getransformeerde codeteken van ieder der (m) codetekens van K [m]. In sectie 1.2.2. komen

transforma-ties ter sprake waarbij de digits van het getransformeerde code-teken zijn af te leiden van de digits van het te transformeren codeteken met behulp van een zgn. transformatievoorschrift. Dit transformatievoorschrift is in het betrokken geval een afbeel-ding van de verzameling der digits in zichzelf, In sectie 1.2.5, wordt het geval beschouwd, dat het transformatievoorschrift een een-eenduidige afbeelding is,

Sectie 1.2.4. bevat de definities en belangrijkste

schappen van vier in de volgende hoofdstukken veel gebruikte transformaties.

1.2.1, De verzameling transformaties T T ]

[ T ] zij de verzameling van alle transformaties die de ver-zameling codetekens K^[ni] in zichzelf afbeelden. Een transfor-matie T C [T] is weer te geven als

T I K"[m] — ^ K"[m] of T : c . — ^ Te. (I-I6) Het produkt T„T. van de transformaties T £ [T] en

Tp C [T] wordt verkregen door eerst T. en vervolgens Tp uit te voerenj

T2T., : c. -*- T2(T^e^) (I-I7)

De verzameling transformaties [ T ] is gesloten onder deze vermenigvuldiging. D.w.z.

TpT e [T]'' voor iedere T € [T]'' en T. £ [T]"^ (I-I8) Verder voldoet de vermenigvuldiging aan de associatieve wet: T,(T2T ) = (T-T ) T . voor iedere T € [ T ] " , 1 (. [ T ] " en

T^ C [T]*^ (1-19) Voor de eenheidstransformatie E is te schrijven

E ; e. —.- c. (1-20) 3 3 ^ ^

E is een element van de verzameling [ T ] I

E € [T]'' (l-2i) Op grond van (i-B), (1-19) en (1-21) vormt de verzameling

transformaties [ T ] met betrekking tot de in (l-17) gedefini-eerde vermenigvuldiging een halfgroep met eenheidselement.

Als T € [ T ] een 1-1-transformatie is, wordt K^[m] door T op zichzelf afgebeeld. Bij een dergelijke transformatie is een inverse T met

T""* : Tc. — ^ c. (1-22)

J w

aan te geven, waarvoor

Het aantal transformaties in [ T ] bedraagt

N^ , N - (m)'' (1-24)

De verzameling [ T ] bevat (m)

i

1-1-transformaties. De

verzame-ling van deze 1-1-transformaties is met betrekking tot de

ver-menigvuldiging van (1-17) een groep,

1,2.2. De verzameling transformaties [QI

Q C [ T ] zij een transformatie waarvsm het voorschrift dat

aan iedere c.

(.

K^[m] het beeld Qc. toevoegt, kan worden

weerge-3

n n n

geven als een afbeelding Q' j A —»- A van A , de verzameling

der digits, in zichzelf. Hierbij is

A'' - (a^, a^, ag a^_^ ) (l-25)

Q', het transformatievoorsohrift van Q, is te noteren als

I

a a. a a . \ / a. \

° 1 ^

"-M of Q'

- M

«k

V

"k. ''k J V

o 1 1 n-1/ \

±1

met

k^ € (0,1 , n-1) , i = 0(l)n-1 (l-26)

De verzameling van alle tot [ T ] behorende transformaties

waarvan de transformatievoorschriften de in (l-26) aangegeven

gedaante hebben, wordt genoteerd als [Q]^. Het aantal elementen

van [ Q ] bedraagt n ,

De verzameling der met de transformaties van [Qj

corres-ponderende transformatievoorsehriften zij [Q'] . Voor de

ver-menigvuldiging van de elementen van [ Q '

y

gelden soortgelijke

regels als voor de elementen van [Qj (zie (l-17))«

^ 2 S ' "i ~ ^ a2('*l"i) ^^"^•^^

Het blijkt, dat

[Q,j

en [Q'

j

met betrekking tot de resp.

in (1-17) en (1-27) gedefinieerde vermenigvuldigingen

halfgroe-pen met eenheidselement zijn. Deze halfgroehalfgroe-pen zijn anti-isomorf.

Dit betekent , dat QlQp het transformatievoorschrift van Q Q

is, als Q' en Q' de transformatievoorschriften zijn van resp,

Q^ en Qg* ^ ^

Voorbeeld

De transformaties Q.| : K ^ [ 2 ] — ^ K ^ [ 2 ] en Q^ i K ' [ 2 ] — ^ K ' [ 2 ] zijn in Tabel 1-1 gedefinieerd. Tevens is in deze tabel het pro-dukt QpQ. weergegeven.

Tabel 1-1 Het produkt van 2 transformaties uit [ Q ]

'*o'»l"2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

°j

c 0 "=1

°2

°5

°4

°5

"=6

^=7

' ^ l ^ j e 0 0 0

%

°4

°3

°5

•=7

°7

^2'=j 0 0

^=4

°2

°6

°1

°5

°5

°7

'^2^1° j 0 e 0

°1

°1

^=6

°6

°7

"7

De tot [ Q ' ] behorende transformatievoorschriften van Q. en Qp zijn ^\ %''l'^2 a.a a 1 o o ƒ en Qi %'^l"2 " 2 « 1 % /

Volgens (1-27) en (l-28) wordt het transformatievoorschrift van Q_Q- berekend volgens («2^1)' " Q^Q^ - «o*1«2 V l * 2 l a . a a la„a.a 1 o o ƒ l 2 1 o %"l'*2\ a a a. I o o 1 1 , 2 , 5 . De verzameling t r a n s f o r m a t i e s F P I "

dingen van A , de verzameling der digits, op zichzelf. D.w.z,

dat P' € [P'] de elementen van A permuteert en bijgevolg een

permutatie van graad n is,

De verzameling van de met [P'] corresponderende

transfor-maties zij [p] . [p] is een deelverzameling van de

verzame-ling der tot [ T ] behorende 1-1-transformaties. Het effect van

een transformatie P € [P] is dus een permutatie der codetekens

van K^[m]. De elementen van [P] worden daarom

permutatietrans-formaties of P-trails permutatietrans-formaties genoemd.

Het is eenvoudig na te gaan,dat [P] en [P'] groepen zijn

met betrekking tot de resp. in (l-17) en (1-27) gedefinieerde

vermenigvuldigingen. Deze groepen blijken anti-isomorf te zijn,

Voor de in deze paragraaf besproken verzamelingen gelden

de volgende betrekkingen

[ P f C [ Q f C [ T f (1-29)

[ P ' f c [Q.f (1-50)

1.2,4. De transformaties C, O, X. en I

1,2,4,1, De cyclische transformatie C

Het bij de cyclische transformatie C € [Pj^ behorende

trans-formatievoorsohrift C' € [P'

T

luidt

/ a a. a. a ^ a .•!

"•j \

n,

° 1 i n-2 n-1 / i '

C' - of C' =

\*l"2 "^i+l ••••"n-1 ^ / ri±1^

(1-31)

De orde van de transformatie C € [p] is n, D.w.z,

C" = E , c'' / E, 0 < k < n (l-52)

{cj, de door C € [P] gegenereerde cyclische groep, bevat

dus n permutatietransformatiesi

{Cj . (E, c, c^, , c'^-'') (1-55)

Deze groep i s een ondergroep van [P] t

{ C j c [ p f (1.54)

Voor het transformatievoorschrift van C kan worden geschreven

(c'^)' - (C)'^-

(1-55)

'i+k_ 1,2.4*2, De omkeertransformatie O

De omkeertransformatie O voegt aan het codeteken c het re-trograde codeteken van e toe. Oc wordt ook wel genoteerd als 'e. Het transformatievoorschrift O' € [P']" van O i [p]'' is gedefini-eerd volgens fa a^ o 1 «n-l *n-2 "n-2 "n-1 n-i-1 •••• '^1 of *n-i-1 (1-56)

De "transformatie O € [P] voldoet aan de betrekkingen

2 O - E

oc^ - c'^-^o

(1-3V) (1-58) Volgens (1-27), (l-28) en (1-55) geldt voor het transforma-tievoorschrift van OC

(oc'')' - (C')^O' - I 1 (1-59)

"k-i-l

1.2.4.5. De sprongtransformatie X

Het transformatievoorschrift X' £ [ Q ' ] van de sprongtrans-formatie X € [ Q ] " is

"o "1 "2

"o "t "2t 'it

"n-1

of

X

"^ ' (1-40)

"ti

t

De digits van X.c worden verkregen door de digits van c om de t te selecteren volgens het in (I-40) gegeven voorschrift.

Indien n en t onderling ondeelbaar zijn, is X. een permuta-tietransformatie:

\ € [ P f . (n.t) - 1 (1-41)

Voor de bespreking van de eigenschappen van sprongtransformaties waarvoor (I-41) van toepassing is, zij verwezen naar hoofdstuk 7.

1,2.4*4, De inversietransformatie I

De inversietransformatie I C [T] voegt aan het codeteken o € K^ [m] het inverse codeteken van c toe. Dit inverse codeteken Ie - c wordt verkregen door de waarde van iedere digit van e te vervang^en door het (m-1)-complement hiervan. Dit kan symbolisch worden voorgesteld door

I

a a. .., a. ,., a . \ / a \

"o "1 ••• "i ••• "n-1 1 \ " i /

Hierin geeft het symbool aan, dat (m-1)-complementering van de waarde van do betrokken digit plaats vindt. I' heet het trans-formatievoorschrift van I,

De transformatie I £ [ T ] voldoet aan de betrekkingen

I^ - E (1-45) IQ - QI , Q C [ Q f (1-44)

In het bijzonder geldt

IC - Cl » 1 0 - 0 1 . ix^ - x^i (1-45) Het effect vein de transformatie IQ C [T J'^ op de digits van

een codeteken komt tot uitdrukking in

(1-46) ( I Q ) ' zal het transformatievoorschrift van IQ worden genoemd,

1.5, Klassenindelingen

In deze paragraaf komen enige klassenindelingen ter sprake die in de volgende hoofdstukken een rol spelen. De belangrijkste met klassenindelingen verband houdende begrippen worden in Appen-dix A besproken. De definitie en enige eigenschappen van groepen

zijn in Appendix C gegeven,

In sectie 1.5.1. wordt in K^[m], de verzameling der m-waar-dige. n-digit codetekens. een klassenindeling aangebracht die berust op de eigenschappen van de codetekens ten aanzien van een groep transformaties,

De hierbij verkregen quotLSntenwrfsameling is in sectie 1.5.2., een bijbehorend volledig representantensysteem in sectie 1.5,5* uitgamgspunt voor een volgende klassenindeling. Deze klasseninde-lingen berusten op eigenschappen der elementen van de genoemde quotiëntenverzameling c.q. het volledige representantensysteem In sectie 1.5*4. is een overzicht opgenomen van de bij de drie klassenindelingen betrokken verzeunelingen,

Sectie 1.5.5. bevat enige opmerkingen over de berekening van het aantal klassen van een klassenindeling.

1.5.1, Een klassenindeling van K^fal

In de verzameling codetekens K^[m] wordt met een relatie die berust op de eigenschappen van de codetekens met betrekking tot een groep transformaties, een klassenindeling aangebracht, G c [T] zij een verzameling transformaties die aan de groeps-axioffla's voldoen,

De codetekens c £ K^[iii] en c € K^[m] zijn "equivalent met be-trekking tot de groep G" dan en alleen dan, indien er een trans-formatie T bestaat waarvoor geldt

Met behulp van de groepseigenschappen van G is te bewijzen,

dat deze relatie reflexief, symmetrisch en transitief is. Als

equivalentierelatie induceert de relatie dus een klassenindeling

in K^[m].

De klasse waarvan c . € K^Fni] een element is, zal warden genoteerd

als

R''{C.|G}

of als

R{C.|G1.

Voor deze klasse is te schrijven

R'^IC.IGJ

= (Cj • °x ^ ^[""l ' °x = '^°j ' ^ ^ ^ )

(

^

•

'

^

^

)

Het codeteken e. is een genererend element of generator van

R

{C.|GJ.

Ieder codeteken behorende tot deze klasse kan als

ge-3

nerator hiervan worden beschouwd,

R |G zij de quoti'éntenverzEimeling van K [m] met betrekking

tot de relatie "equivalent m.b.t. G", of korter, de

quotiënten-verzameling van K^[m] met betrekking tot G. R |G is weer te

ge-ven als

R " | G = ( R ' ' { C .

|GJ ,

R'^IC | G ! R'^IC

| G j ^ (1-49)

\ ^^ •'2 -^k /

waarin de verzameling codetekens

(c , o , o

)

(1-5^)

V ^1 ''2 •'k /

een volledig representantensysteem voor K^[m] met betrekking tot

de genoemde relatie is,

B |G wordt een basis voor K^[m] met betrekking tot G

ge-noemd. De elementen van B |G heten basiscodetekens voor K^[ni]

met betrekking tot G. Het aantal elementen van B |G zij

aange-duid met b |G. In (l-49) en (I-50) moet k dus gelijk aan b |G

zijn. Gebruikmakend van (1-50) kan R |G ook worden genoteerd als

R'^IG

=(R''{e.|G} : c. £

B ^ | G ) ( 1 - 5 1 )

Voor de tot R |G behorende verzamelingen codetekens geldt

op grond van de eigenschappen van een klassenindeling

U R'^fc |G! - K^[m] (1-52)

CJ£B''|G ^ B'^IG

R'^fc^lGJ n R''{cjGJ = 0 . c^ £ B'^IG . c^ £ B"|G , C ^ / C ^

(1-55)

12

Dit betekent, dat de tot R |G behorende verzamelingen codetekens paarsgewijs disjunct zijn, terwijl de vereniging van deze verza-melingen K^[m] oplevert,

1.5.2, Een klassenindeling van R |G

In R'*|G, de quotiSntenverzameling van K^[iii] met betrekking tot O (zie sectie 1.5.1*)» wordt een klassenindeling aangebracht met behulp van de relatie "equivalent met betrekking tot de parame-ters t. . ^o » ••*» ^ " . I n deze relatie zijn t. t/m t,

para-1 z meters die eigenschappen karakteriseren van de tot R {G behoren-de verzamelingen cobehoren-detekens. Deze parameters kunnen eventueel in de notatie worden opgenomen in de vorm van indices, aoals b.v. bij ^' * ' " " ""a^ic |GJ, Ter afkorting is voor t. , t.^ , . .

V

,, ^ ook het symbool ^ te gebruiken, z

De verzamelingen

^P ^q R " { C ^ | G J £ R'^IG en R'^IC^ |G } € R " |G zijn "equivalent m.b.t. ^ " dan en alleen dan. indien

L'-l''

of

^ ? - ^? ' ^2 • ^2 ' •••' ^z • ^z (^-54) De aldus gedefiniSerde relatie blijkt in R |G een

equiva-lentierelatie te zijn. waarmee in deze verzameling een klassen-indeling is te induceren,

• % JG zij de notatie voor de klasse waarvan de verzame-ling codetekens ^R'^IC |Gj/een element is. Hiervoor geldt

J

^H'^IG

-(^'R''{e^|GJ , Cj£

B ^ I G

, i' - i ) (l-55)

Het aantal elementen in -^R |G wordt aangeduid met •^b'*|G, Voor de quotiëntenverzameling van R*^ |G met betrekking tot de relatie "equivalent m.b.t. |^ " is te schrijven

(

^VlG , ^V|G , (1-56)

De elementen van deze quotiëntenverzaneling voldoen aan de

betrekkingen

U V | G - H'^IG (1-57)

L

en

^'R'^IG

n-^V|a-0 , i' / i " (1-58)

Verder geldt ^ V | G - b'^lG (1-59) De vereniging in (l-57) en de sommatie in (I-59) dienen plaats

te vinden over alle toegelaten waardencombinaties van de para-meters ^^ , ^2 . .... 1.^.

1.5,3, Een klassenindeling van B |G

In B |G, een basis voor K^[m] met betrekking tot G (zie sectie 1.3.1.). wordt met behulp van de relatie "equivalent met betrekking tot de parameters T ) , T ) , . . . , T ) ",

afge-1 ^ z kort "equivalent m.b.t, TI_" , een klassenindeling aangebracht, Hierin zijn T). , !)„ , ..., T) parameters die eigenschappen van

1 ^ z

de tot B IG behorende codetekens karakteriseren. Twee code-tekens van B |G zijn "equivalent m.b.t. T]_" dan en alleen dan, indien de parameter T). voor beide codetekens dezelfde waarde heeft, waarbij i = l(l)z,

De quotiëntenverzameling van B |G met betrekking tot de equivalentierelatie "equivalent m.b.t. T^" wordt genoteerd als

(

a^S'^lG , a^'B°|G , ) (1-60)

Voor de elementen van de quotiëntenverzameling uit (I-60) geldt

U

^B'^IG

=

B"|G

(1-61)

a

en , „ ^B^^lG n^B'^JG = )Ü , a' / 3" (1-62) 14

De vereniging in (I-6I) vindt plaats over de toegelaten waar-dencombinaties van de parameters T). . T)p , .... T) ,

1,5.4, Overzicht van de klassenindelingen van K^[m]. R |G en

In het schema op pag.16 is een overzicht gegeven van de samenhang tussen de verzamelingen die betrekking hebben op de in secties 1.5.1., 1.5.2. en 1.5.5* beschouwde klassenin-delingen van K^[m], R |G en B |G,

1.5.5* De berekening van —b |G , b |G «a b |{G,IJ

Als de groep G uit permutatietransformaties bestaat (zie sectie 1.2,5.). heeft -^R {c.|GJ de eigenschap, dat alle codetekens in deze verzameling dezelfde inhoud _e (zie sectie 1.1.4.) hebben. Dit betekent, dat de componenten van e kunnen worden opgenomen in ^ (zie sectie 1.5.2.). Voor ^ = £ is —b |G , het aantal elementen van —R |G , volgens de Stelling van de Bruijn (zie Appendix D) te berekenen uit de cykelin-dex van de groep G' c [P'] . Hierbij is G' de groep der met de transformaties van G corresponderende transformatievoor-schriften. Voor deze berekening zij verwezen naar Appendix 1-1. Het resultaat luidt

Lemma 1-1 e _m-1 V- / e, n 1 \ o 1 m-> —b G X X. X ^ ^ \ I / O 1 m-1

h'

m-1 m-1 m-1

.2 X. , . 2 x . ,...., .2 X.

1=0 1 ' 1=0 i ' 1=0 i G e [Pf , G' c [P'f

In dit Lemma stelt Z_ , (f., ,f „,... ,f ) de cykelindex voor van de groep transformatievoorschriften G' c [P' J^ (zie Appendix D)*

Overzicht van de k l a s s e n i n d e l i n g e n van K^[a] » R |G en B | G

K^C™] -

(CQ» C.,,

e^ °N-1^

verzameling m-waardige, n-digit codetekens| bevat N •> (m) elementen.

relatie "equivalent m.b.t. G"

H'^IG

-

(R'^{C^^ |GJ,

R'^icj |Gl, )

B'^IG

. (c^ , o. ', )

quotiëntenverzameling van K^[IB] met betrekking volledig representantensysteem of basis voor K^ [m] tot Gj bevat b |G elementen.

relatie "equivalent m.b.t. ],"

quotiëntenverzameling van R | G met betrekking tot de relatie "equivalent m.b.t. ^" ,

met betrekking tot G; bevat b |G elementen. relatie "equivalent

m.b.t, j "

n^Kn

B G n^ B°|G

quotiëntenverzameling van B |G met betrekking tot de relatie "equivalent m,b.t. r^" ,

Lemga 1-2

^G'

b'^JG - Z^_,(m, m, , m)

n

G c [P]*^ , G' c [pi]

In Appendix 1-1 wordt tevens een uitdrukking afgeleid

voor b'^|{G,Ij , het aantal elementen in H |{G,IJ.

Hierbij is

{G,lj de groep die de elementen van G c [p] en de

inversie-transformatie I £ [T] (zie subsectie 1.2.4.4.) als

generato-ren heeft. Het resultaat is

Lemma 1-3

b'^KG.I j - |Zg,(m, m, , m) +

—Z (O, m, O, m, ....) , m = 0 mod 2

—Z ,(l, m, 1,m, ....) , m H l mod 2

G c [pf , G' c [p.f , I € [T]"

Een gevolg van Lemma 1-3 isi

Lemma 1-4

Het a a n t a l v e r z a m e l i n g e n R {e . | G j met de e i g e n s c h a p d a t , v o o r i e d e r e z £ R { C . ( G J ook I z £ R { e . J G J , b e d r a a g t J J Z „ , ( 0 , m, O, m, ) , m s O mod 2 Z „ , ( l , m, 1 , m, ) , m = 1 mod 2 G C [ p f , G' c [ p . ] « , I £ [ T ] °

Appendix 1-1 De berekening VELU —b | G en b |{G.I1 met de Stel-ling van de Bruijn

e Hl De berekening van —b | G

Als G een ondergroep van [P] is, kan een genererende funo e ni

tie voor —b | G worden gevonden met behulp van de Stelling van de Bruijn (zie Appendix D, geval l ) ,

Een afbeelding (f : A —*-M met A » (a„, a. , ..., o . ) ,

I I a 0 1 n—I

M = Y M. , M. = (i) waarbij e. beelden in M. terechtkomen, i - 0(l)m-1, wordt geïnterpreteerd als een m-waardig, n-digit codeteken met inhoud £. Daar de groep H het direct produkt is van groepen die ieder slechts een eenheidselement bevatten, is de relatie R in $ te interpreteren als de relatie "equiva-lent m.b.t. G" in K ^ m ] , indien voor G' de bij G behorende groep transformatievoorsehriften uit [P'] wordt genomen. Dit betekent, dat de quotiëntenverzameling R{ R met klassen

R{ (p I Rj , overeenkomt met de quotiëntenverzameling R JG met a

klassen R {c.lGJ. De coëfficiënt b(e , e^, ..., e ^) uit ' j' ' ^ o 1 ' m-1'

vergelijking (4) van Appendix D correspondeert dus met —b | G, Door T) . " 1 te stellen voor i = 0(l)m-1 volgt uit de

ge-e ni noemde vergelijking als genererende functie voor —b |Gi

L

I 1 e e., e ^

e, ni „ o 1 m-1 b G x X. ,....x -' / o 1 m-1

(

m-1 m-1 2 m-1 \

i^o *i ' i-o \ i^.o \ ] (^) De berekening van b U G . I I

Is G een ondergroep van [P] en l de inversietransforma-tie behorende tot [ T] , dan is met de Stelling van de Bruijn (zie Appendix D, geval II) een formule voor b |{G,IJ af te leiden,

Een afbeelding <i> j A — ^ M met A = (a , a , ..,., a _-) e n M ^ M . « (O, 1, ..., m-l) wordt geïnterpreteerd als een m-waardig, n-digit oodeteken, H - H., zij de door de transforma-tie h I M — ^ M gegenereerde groep {hj , waarbij h de transfor-matie is, die ieder element van M vervangt door het (m-l)-complement. De relatie R in $ is dan te interpreteren als de relatie "equivalent m.b.t. {G,lj " in K"[m], indien voor G'

de bij G behorend e groep transformatievoorschriften uit [P'] wordt genomen. De quotiëntenverzameling R|R correspondeert in dat geval met de

dat het in geval eenkomt met b | { geven als

m

! '2'

m-1

De cykelindex van

i

Zjj(f^,f^..

j

quotiëntenverzameling R*^! { G , i j . Dit betekent, II van Appendix D voorkomende aantal b over-G,lj. De eykelstruetuur van h is weer te

, m = 0 mod 2

, m = 1 mod 2 (2) de door h gegenereerde groep {hj is dus

"V

-/

- \

l(f^ + ^2^ j ' - =° '"°'^ 2

/

m-n (5)

2^T ^ ^1^2 ^ j' "• =•• '°°'i 2

Uitwerking van het in geval II van Appendix D gegeven reken-voorschrift resulteert in

b'^KG.Ij - •|Zg,(m, m ) +

2Zg,(0, m, O, m, ) , m = O -pZ„, (1, m, 1, m, ... ) , m = 1 mod 2 mod 2

(4)

HOOFDSTUK 2

RINGEN, RINGENCOMPLEXEN EN DEELRINGENCOMPLEXEN Inleiding

Op grond van de eigenschappen van binaire codetekens met betrekking tot de cyclische transformatie worden de begrippen ring, ringencomplex en basis ingevoerd. Dit geschiedt volgens de in hoofdstuk 1 besproken methode der klassenindelingen. De lengte, i.e, het aantal codetekens in een ring, en het gevicht van de codetekens in een ring worden als parameters van een ring beschouwd. Met behulp van deze parsuneters worden deelver-zamelingen afgeleid van het bovengenoemde ringencomplex. Enige eigenschappen van deze deelringencomplexen komen ter sprake. Onder meer zijn de multipliciteiten van de deelringenoomplexen bepaald als functie van de relevante parameters. Verder worden in dit hoofdstuk enige deelverzamelingen van verschillende bases besproken,

2.1, De verzameling binaire codetekens K^

De in paragraaf 1.1. van hoofdstuk 1 geïntroduceerde be-grippen betreffende m-waardige, n-digit codetekens zijn in de secties 2,1.1. en 2.1.2. geformuleerd voor het binaire geval, De parameter m heeft dan de waarde 2.

2.1,1, Enige eigenschappen van de verzameling binaire code-tekens K^

In dit hoofdstuk en in de volgende hoofdstukken zal voor K^[2], de verzameling dor 2-waardige of binaire, n-bit code-tekens, ter afkorting de notatie K^ worden gebruikt:

K " = K^[2] (2-1) Het aantal codetekens behorende tot de verzameling K^

be-draagt 2 . Volgens (l-1l) is voor K^ te schrijven

^ -I °«» °1» °9» •••» °-i» •••» ° n \ (2-2)

_{( %' °1' °2' •••' °j' •••' °2n_^]}

Hierbij stelt de index j het decimale equivalent van het binaire codeteken c. voor (zie (2-5)).

Voorbeeld of

K'^ - K\2] - (0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101,

0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101,

1110, 1111)

K^ - ( c ^ , c ^ , C g , c ^ , 0 ^ , c ^ , c ^ , C^, Cg, C g , CjQ,

c.,1, c^2' ° 1 5 ' ° 1 4 ' =15)

Opgemerkt zij. dat voor de elementen van K^ op zodanige wijze een optelling, een vermenigvuldiging en een complemen-tering zijn te definiëren, dat K^ kan worden geïnterpreteerd als een boole-algebra,

2,1,2. Enige eigenschappen van binaire codetekens

De in sectie 1,1. voor het algemene geval van m-waardige, n-digit codetekens besproken definities en eigenschappen zijn voor het binaire geval(m » 2) in betrekkingen (2-5) t/m (2-1l) vermeld,

Een binair, n-bit codeteken c £ K^ wordt genoteerd als o - "o«i"2 ••• "i *•• "n-1 • "i ^ **» i-0(l)n-1 (2-5) waarbij

M - (0,1) (2-4) Het decimale equivalent van een codeteken c. £ K^ is te

bepalen volgene n-1

Er xjrdt voldaan aan de betrekking

O S j S 2''-1 (2-6) Voor de inhoud e van het codeteken c. £ K^ is te

schrij-" ^ £. - e„. e^ (2-7)

H i e r i n i s e r e s p , e . h e t a a n t a l b i t s van c . d i e de waarde 0

0 1 j

r e s p , 1 hebben. De componenten van e v o l d o e n aan

e + e . - n , O s e S n , O g e s n ( 2 - 8 ) Het g e w i c h t e van h e t c o d e t e k e n c £ K" i s per d e f i n i t i e

e . e^ ( 2 - 9 )

Voor het gewicht e uit (2-9) geldt

O § e S n (2-10) Volgens (I-I5) bestaat er verband tussen het gewicht van een

binair codeteken c. en de hammingafstand van c. tot o 1 J J ^

e = d(c.,c ) (2-11) Voor het in (2-11) voorkomende begrip hammingafstcind zij

verwezen naar sectie 1.1.2,

2,2, Enige deelverzamelingen van K^

In deze paragraaf wordt de in paragraaf 1,5, beschreven methodiek der klassenindelingen toegepast op de verzameling binaire codetekens K^,

In sectie 2.2,1, is K^ uitgangspunt voor een klasseninde-ling die verband houdt met het gewicht van de codetekens,

In sectie 2.2.2, komt een klassenindeling ter sprake die berust op de eigenschappen van de codetekens t.a.v, de

door de cyclische transformatie gegenereerde groep. De op deze wijze geconstrueerde deelverzamelingen van K^ worden ringen genoemd.

2,2,1, De verzameling ° K "

De codetekens c £ K^ en c £ K^ zijn "equivalent met be-trekking tot het gewicht" dan en alleen dan, indien d(c ,c ) • d(c ,0 ) , Deze equivalentierelatie induceert in K^ een klas-senindeling* K^ zij de klasse waarvan het codeteken c. met d(o.,o ) m e een element is

V - ( 0 ^ , c^ £ K^ , d(c^,cj - e^ (2-12)

1

Deze klasse bestaat uit alle n-bit codetekens met gewicht e, Het aantal elementen in K^ is dus ( ) ,

Ds quotiëntenverzameling

(V , V V , ..., '^K^) (2-15)

bevat n+1 klassen, waarvoor

n

U V - K" (2-14)

e=o en

^ V n ^ V - ^ , e' / e" (2-15)

Voorbeeld

K^ . (J V - (c , c , Cg, ..., c )

e»o °K^ - (0000) - (c ) ^K'^ - (0001, 0010, 0100, 1000) - (c^, Cg. c ,, Cg) ^K^ (0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100) -- («5' "5' °6' °9' °10' °12)

V - (0111, 1011, 1101, 1110) - (c.^, c^^, c ^ j , c^^)

V . (1111) . (0^5)

2 , 2 , 2 , De ring R"{ c^j

In de verzameling binaire cpdetekens K^ wordt de relatie "equivalent met betrekking tot de groep { CJ " (zie sectie 1.5.1.) geïntroduceerd. Hierbij is C € [ P] de in subsectie 1.2.4.1. gedefinieerde cyclische transformatie, waarvan het transformatievoorschrift C' £ [P']"^ volgens (l-3l) is weer te geven als

{cj is de door C gegene|reerde cyclische groep (aie (l-5|3))t

{cj - ( E , C, C^, C''"'') (2-17) De codetekens c £ K"^ en c C K'^ zijn "equivalent m,b.t, {cj"

dan en alleen dan. indien er een transformatie F £ {cj bestaat waarvoor c - Pc ,

q P „ Deze equivalentierelatie induceert in K^ een

klassenin-deling. R {c.|{cjj, de klasse waarlran o. een element is, wordt ter

n f 1 "

afkorting genoteerd als R (c . }t

H''{cjj-H'^{cJ{c}j (2-18) De verzameling codetekens R {c j zal met de naam ring worden

J

aangeduid. Het codeteken c. is een genererend element of een generator van de ring R {c.j. Volgens (I-48) geldt

^""^"j } - ( »x ' ''x ^ ^ • °x * ^°j» P ^ ie} ) (2-19) De quotiëntenverzameling van E^ met betrekking tot de onderhavige relatie, te noteren als R , krijgt de naam ringen-complex .

R°-R''t{cj (2-20) Volgens (1-51) is hienroor te schrijven

R»^- (R'^{CJJ , Cj £ B ° ) (2-21)

In (2-21) is de verzameling B een basis voor K^ met betrekking tot {C j of, korter, een basis voor K " (zie (1-50)).

B " - B'' I {C j (2-22) Het aantal basiscodetekens voor ET heet de multipliciteit van

het ringencomplex R , Dit aantal zij genoteerd als m . Dus

m''-b''|{CJ (2-25) Een echte deelverzameling van het ringencomplex R wordt

een deelringencomplex genoemd. Het aantal ringen in een deel-ringencomplex is de multipliciteit van dit deeldeel-ringencomplex,

Ten aanzien van de notatie gelden de volgende afspraken

V|{C1 - % " (2-24)

V|{CJ - V

(2-25)

Op grond van (I-52) en (1-55) hebben de tot het ringencomplex

R behorende ringen de volgende eigenschappen!

Stelling 2-1

U R"{c.j-K^

^^^'^

R'^{cjn

R'^{CJ

- 0 , c^ €

B'^

, c^ £

B''

, c^ / c^

Een uitdrukking voor de multipliciteit m als functie van

n is met behulp van Lemma 1-2 uit de cykelindex van de groep

{c j c [P']*^ af te leiden (zie Appendix 2-l). Het resultaat

luidt

Stelling 2-2

n

m'^ - i I <p(i)2^

i/n

In Tabel 2-1 en Tabel 2-2 zijn onderscheidenlijk voor n-2(l)l6

en n»17(l)52 de numerieke waarden van m opgenomen,

Voorbeeld

R4 - ( R 4 { C J

,

H4{C,J, R4{CJJ, R4{C^J,

R4{e^j,

R 4 { C ^ ^ J )

.4

R4{C^ R4{C^

R^{05

°o' °1' °5' °5' °7 "=15)

. (c^) . (0000)

(o^ , Cg, c , Cg) . (0001, 0010, 0100, 1000)

• ^°5» °6' °12' °9^ " (°011, 0110, 1100, 1001)

• (05. C^Q) . (0101. 1010)

•(Oy. «=14»

o^y

«11) - (0111, 1110. 1101, 1011)

H^{c.,5J- (c.,5) - (1111)

U . R 4 { C . J - R 4 { C J U R 4 { C . jUR^{c J U R ^ { C J U R 4 { C J U R ^ { C J - K 4 o € B ^ O o I ? p ( 17

J

2.5, Enige eigenschappen van de ring R {c.j

In deze paragraaf worden twee parameters voor een ring in-gevoerd, In sectie 2.5,1. komt de parameter i, het aantal code-tekens in een ring, ter sprake. De parameter e, het gewicht van de codetekens in een ring, is onderwerp van bespreking in sectie 2.5,2.

Sectie 2.5.5* besteedt aandacht aan de decimale equivalen-ten van de codetekens in een ring, alsmede aan het begrip minimumgenerator van een ring,

Enige betrekkingen tussen de parameters n, jt en e van een ring en de decimale equivalenten van de codetekens in de be-trokken ring zijn in de diverse secties gegeven,

2.5.1, De lengte van de ring R {c.j

Het aantal codetekens in een ring wordt de lengte l van de ring genoemd. Desgewenst is de lengte l in de notatie op te nemen zoals in R {c.j. Voor R {c.j is te schrijven

t 3 t j

R'JiCjj - (cj , Cc_. , C^Cj , ..., C^-''cJ (2-26) Op grond van de definities van de cyclische transformatie

C £ [P] (zie subsectie 1.2.4.1.) en het decimale equivalent van een binair codeteken c. £ K^ (zie (2-5)) is C te noteren

J als

C , c. - ^ c , o ^ j < 2^-1 (2-27a) ' 2'^-1

° ' °j " * °j ' ^ ' ^'^''^ (2-27b) Voor j / 2 -1 kan (2-26) dus worden vervangen door

'^'^'i' -b • °ii,.r^^; •••• °2'-hJ •'• '^

(2-28) Tussen de parameters n en j( van de ring R {c.j en het

de-l j

cimale equivalent van het codeteken c. bestaat het volgende verbsmd

(2* - l)j = O mod (2*^-1) (2-29a) (2^ - l)j ^ O mod (2*^-1) , O < i < i (2-29b)

Hieruit volgt, dat t een deler van n moet zijn en verder dat bij iedere deler van n een ring

met de betreffende lengte. Dus:

bij iedere deler van n een ring behorende tot R is te vinden

Stelling 2-5

l is dan en alleen dan de lengte van een ring behorende tot het ringencomplex R , indien A/n.

A . het aantal verschillende waarden die de parameter t

bij een gegeven waarde van n kan hebben, komt overeen met het aantal delers van n en bedraagt derhalve

'^ - TT (\, -f 1) . n - TT p / i=1 ^ i=1 ^ verschillende priemgetallen

, p. voor i = 1(l )z (2-50) Tabel 2-2 geeft de waarden van A voor n - 17(1)52,