KUMULACJA USZKODZEŃ W WARUNKACH ZŁOŻONYCH OBCIĄŻEŃ NISKOCYKLOWYCH cz.II. MODEL OBLICZENIOWY

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 38, s. 221-228, Gliwice 2009

KUMULACJA USZKODZEŃ W WARUNKACH ZŁOŻONYCH OBCIĄŻEŃ NISKOCYKLOWYCH cz.II. MODEL OBLICZENIOWY

J^AROSŁAW S^ZUSTA, A^NDRZEJ S^EWERYN

Katedra Mechaniki i Informatyki Stosowanej, Wydział Mechaniczny, Politechnika Białostocka e-mail:szusta@pb.edu.pl, a.seweryn@ pb.edu.pl

Streszczenie. W II części niniejszej pracy przedstawiono oryginalny model kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych, umożliwiający wyznaczanie trwałości zmęczeniowej elementów konstrukcyjnych (wyrażonej liczbą cykli lub czasem działania obciążenia zmęczeniowego, do momentu inicjacji szczeliny) poddanych działaniu złożonych obciążeń cyklicznych (proporcjonalnych i nieproporcjonalnych) w zakresie małej liczby cykli. W modelu tym bardzo ważne było odpowiednie sformułowanie prawa kumulacji uszkodzeń oraz prawidłowy dobór kryterium pękania i zależności konstytutywnych, biorąc pod uwagę to, że konstrukcja może pracować w warunkach nieproporcjonalnych obciążeń o złożonej trajektorii oraz w zakresie sprężysto-plastycznym.

1. WSTĘP

Kryteria zmęczeniowe w przypadku obciążeń wieloosiowych często opierają się na określeniu takiej wielkości równoważnej, która umożliwia porównanie tego obciążenia z obciążeniem jednoosiowym. Zakłada się wówczas, że kumulacja uszkodzeń zmęczeniowych będzie taka sama dla wieloosiowego i jednoosiowego obciążenia, jeżeli wielkości równoważne dla obu tych obciążeń będą jednakowe. Jako wielkości porównawcze przyjmuje się zwykle maksymalne odkształcenie postaciowe [1], [2], maksymalne naprężenie główne [3], maksymalne naprężenie styczne [4] lub energię dyssypowaną w materiale [5].

W wielu modelach kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych w złożonych stanach obciążenia nie zwraca się uwagi na zmianę właściwości mechanicznych uszkodzonego materiału, niezmienne zatem pozostają równania konstytutywne. Modele te wykorzystują jedynie wielkości makroskopowe, takie jak np. amplitudy, wielkości średnie oraz maksymalne naprężeń i odkształceń, bez uwzględniania ich zmiany na różnych płaszczyznach fizycznych.

Przykładem tego jest kryterium Mansona oraz Coffina, zmodyfikowane później przez Morrowa [6]. Kryterium to ma szerokie praktyczne zastosowanie w analizie kumulacji uszkodzeń w warunkach niskocyklowych obciążeń zmęczeniowych. Stanowi ono podstawę do formułowania modeli kumulacji uszkodzeń w złożonych stanach obciążenia. Zapisane z użyciem zakresu równoważnego (w sensie Hubera – von Misesa) odkształcenia Deeq, ma postać (rys.1):

( ) ( )

eq f

f f f

2 2

2

b c

N N

E

e s e

D = + , (1)

gdzie: _eq ^{2 1/ 2}

3e e^{ij ij}

e æ ö

= çè ÷ø , eij – składowe dewiatora odkształcenia, Nf - liczba cykli do zniszczenia, E - moduł Younga, sf, b – odpowiednio współczynnik (naprężenie krytyczne podczas rozciągania) i wykładnik krzywej wytrzymałości zmęczeniowej, ef, c – współczynnik (odkształcenie krytyczne) i wykładnik krzywej zmęczeniowej odkształceń plastycznych.

Rys. 1. Krzywa Mansona-Coffina; osie w układzie logarytmicznym

Pomimo dużej liczby kryteriów kumulacji uszkodzeń w złożonych stanach obciążeń w zakresie małej liczby cykli, żadne z nich nie uzyskało ogólnej akceptacji. Posługiwanie się tymi kryteriami wymaga dużej ostrożności i powinno być ograniczone do udokumentowanych doświadczalnie przypadków szczególnych. Istnieje więc uzasadniona potrzeba stworzenia modelu kumulacji uszkodzeń, za pomocą którego możliwe byłoby prognozowanie trwałości zmęczeniowej szerszej grupy przypadków obciążeń w zakresie małej liczby cykli.

2. MODEL WZMOCNIENIA MATERIAŁU

Przedstawiony w niniejszej pracy model składa się z dwóch bloków obliczeniowych.

Pierwszy, wiążący historię obciążenia z historią stanu naprężenia i odkształcenia, zawiera związki konstytutywne (m.in. prawo kinematycznego wzmocnienia materiału, wykorzystujące model wielopowierzchniowy Mroza [7] z uwzględnieniem modyfikacji Garuda [8]. Umożliwił on wyznaczenie stanu naprężenia przy zadanym, złożonym stanie odkształcenia (i na odwrót).

Drugi blok algorytmu przeznaczony jest do obliczania przyrostu zmiennej stanu uszkodzenia, stąd też zawiera prawo kumulacji uszkodzeń oraz kryterium pękania materiału. Te dwa moduły obliczeniowe łączy historia stanu naprężenia i odkształcenia materiału, która wynika z obliczeń wykonanych w pierwszym bloku i stanowi podstawowy zbiór danych wejściowych niezbędny do oceny trwałości obliczonej w drugim bloku.

Niezbędnym warunkiem przeprowadzenia prawidłowych obliczeń jest znajomość pól naprężeń i odkształceń oraz ich zmienności. W prezentowanym modelu wartości naprężeń i odkształceń wyznacza się w pierwszym bloku obliczeniowym z wykorzystaniem przyrostowych związków fizycznych (uogólnionego prawa Hooke’a oraz gradientowego prawa płynięcia stowarzyszonego z powierzchnią plastyczności):

d _ij 1 d _ij d _{kk ij} d

ij

f

E E

n n

e s s d l

s

+ ¶

= - +

¶ , (2)

gdzie: deij, dsij – przyrost składowych tensora odkształcenia i naprężenia, dl - współczynnik proporcjonalności, E - moduł Younga, n - współczynnik Poissona, dij – delta Kroneckera.

Powierzchnie plastyczności określono warunkiem Hubera-von Misesa:

( )( )

3 0

2 ^{ij ij ij ij}

f = s -a s -a -R = , (3)

gdzie: sij - składowe dewiatora naprężenia; aij - składowe tensora określającego translację powierzchni plastyczności; R – rozmiar powierzchni plastyczności.

Wartości składowych tensorów naprężenia i odkształcenia wyznaczono na podstawie prawa kinematycznego wzmocnienia, wykorzystującego model wielopowierzchniowy Mroza [7] z uwzględnieniem modyfikacji Garuda [8].

a) b)

Rys. 2. Postulaty Mroza: a) Pierwszy postulat i odpowiadająca mu wieloliniowa reprezentacja krzywej rozciągania oraz ślady przecięcia powierzchni plastyczności płaszczyzną s3 = 0;

b) Prawo translacji powierzchni plastyczności (drugi postulat Mroza zmodyfikowany przez Garuda)

Mróz sformułował dwa postulaty. Pierwszy postulat (rys. 2a) dotyczy podziału przestrzeni naprężeń na obszary związane ze stałymi modułami plastycznymi. Są one ograniczone sąsiednimi powierzchniami plastyczności.

Drugi postulat (rys. 2b) wiąże się z kinematycznym wzmocnieniem materiału i dotyczy prawa translacji powierzchni plastyczności, traktowanych jako sztywne obiekty geometryczne.

Zmodyfikowany sposób wyznaczania wektora translacji powierzchni plastyczności f⁽ⁱ⁾ = 0 zaproponował Garud [8]. Przyjął on, że punkt opisujący aktualny stan naprężenia s^a, leżący na powierzchni plastyczności f⁽ⁱ⁾ = 0, oraz punkt s^f, opisujący fikcyjny stan naprężenia na powierzchni f⁽ⁱ⁺¹⁾ = 0 są związane kierunkiem przyrostu stanu naprężenia Ds (rys. 2b). Wektor translacji powierzchni plastyczności f⁽ⁱ⁾ = 0 wyznacza się z warunku styczności powierzchni f⁽ⁱ⁾ = 0 oraz f⁽ⁱ⁺¹⁾ = 0 w punkcie s^f. Powyższe założenie tożsamościowo spełnia warunek zgodności i jest wystarczające do wyznaczenia kierunku i modułu wektora hipotetycznego przemieszczenia powierzchni.

Przyrost wektora translacji aktywnej powierzchni plastyczności daij wyznaczono na podstawie zależności:

( )

da_ij =dm s_ij-a_ij (4)

gdzie: dm jest współczynnikiem proporcjonalności.

Szczegółowy opis wyznaczania składowych tensorów naprężenia i odkształcenia w prezentowanym przypadku znaleźć można np. w pracy [9].

3. MODEL KUMULACJI USZKODZEŃ ZMĘCZENIOWYCH

Większość badaczy za miejsce powstawania defektów w elementach konstrukcyjnych poddanych działaniu obciążeń niskocyklowych przyjmuje trwałe pasma poślizgów [8], a inicjacja pęknięcia jest wynikiem kumulacji tych uszkodzeń. Linie poślizgów i składające się z nich pasma poślizgów są wizualną oznaką odkształceń plastycznych. Pojawiają się one początkowo w ziarnach najdogodniej zorientowanych względem działającego układu naprężeń.

Wniosek taki wysnuto na podstawie licznych badań, w trakcie których zaobserwowano, że pod wpływem cyklicznych zmian naprężenia, nawet o wartości mniejszej od trwałej wytrzymałości zmęczeniowej, na wypolerowanych powierzchniach próbek (wykonanych z metali mono- i poliktystalicznych) tworzą się najpierw linie poślizgów, przekształcające się ze wzrostem liczby cykli obciążenia w zmęczeniowe pasma poślizgów (liczne równoległe uskoki) [10].

W proponowanym modelu przyjęto, że za kumulację uszkodzeń oraz inkubację i rozwój mikropęknieć w warunkach obciążeń niskocyklowych w materiałach polikrystalicznych odpowiedzialne są poślizgi w ziarnach, a pośrednio – plastyczne odkształcenia postaciowe.

W związku z tym prawo kumulacji uszkodzeń sformułowano przyrostowo. Przyrost zmiennej stanu uszkodzenia dwn spowodowanym rozwojem odkształceń plastycznych uzależniono od naprężeniowej funkcji kumulacji uszkodzeń Yp (sn, wn) oraz przyrostu plastycznych odkształceń postaciowych dg na danej płaszczyźnie fizycznej, a mianowicie: _n^p

p

p p

dw_n =A Ψ ( ,s w_{n n}) dg_n , (5)

gdzie sn jest naprężeniem normalnym, Ap jest zmienną materiałową opisującą ewolucję właściwości plastycznych materiału w zależności od aktualnego stanu naprężenia. Można ją utożsamiać z modułem plastycznym dla kolejnych odcinków krzywej umocnienia (rys. 2a), a mianowicie:

( ) ( )

( ) ( )

1

p ( ) ( ) 1

p

1 3 1 3 1

2 2

i i

i i i i

A C E E

e e

s s

+ +

é - ù

= = = ê - ú

ë - û. (6)

Mechanizm kumulacji uszkodzeń opisywany tym prawem przedstawiono na rys. 3.

Rys. 3. Generowanie defektów na płaszczyźnie fizycznej przez pasma poślizgów

Duży wpływ na proces kumulacji uszkodzeń, wywołanych poślizgami na płaszczyźnie fizycznej, ma składowa normalna wektora naprężenia na tej płaszczyźnie. W przypadku, gdy na płaszczyźnie fizycznej występuje naprężenie rozciągające, następuje ułatwione generowanie nowych uszkodzeń i szybszy rozwój już istniejących. Naprężenie ściskające natomiast spowalnia proces kumulacji uszkodzeń.

Fakt ten uwzględniono przy definiowaniu funkcji kumulacji uszkodzeń Yp. Jej wartość uzależniono od wartości naprężeń normalnych sn oraz zmiennej stanu uszkodzenia wn na płaszczyźnie fizycznej. Funkcję tę zaproponowano w następującej postaci:

( ) ( )

p σ

, 1 1 ,

3

c

n n R n n

Y s w s w

æ ö-

= -ç ÷

è ø , (7)

gdzie Rs jest naprężeniową funkcją pękania daną warunkiem maksymalnych naprężeń normalnych: _σ

c

R =sn

s , c jest wykładnikiem krzywej zmęczeniowej odkształceń plastycznych.

Funkcja kumulacji uszkodzeń została dobrana empirycznie, na podstawie badań w jednoosiowym stanie obciążenia, analogicznie do modelu energetycznego przedstawionego w pracy Seweryna i innych [9]. Przyjmuje ona w charakterystycznych punktach następujące wartości: Yp(sn = 0) = 1 oraz Yp(sn →3sc(wp)) → ∞.

Zaprezentowane powyżej prawo kumulacji uszkodzeń jest bezpośrednio powiązane zarówno z krzywą wzmocnienia, jak i krzywą wytrzymałości zmęczeniowej Mansona-Coffina.

W przedstawionym modelu założono, że inicjacja szczeliny nastąpi, gdy zostanie spełniony jeden z dwóch warunków pękania. W pierwszym przyjęto, że inicjacja pęknięcia wystąpi wówczas, gdy naprężeniowy współczynnik pękania na dowolnej płaszczyźnie fizycznej osiągnie wartość krytyczną, a mianowicie:

( )

( )

fσ σ

c

max _n, _n max ⁿ 1

R R s

s w s

æ ö

= = ç ÷=

è ø

n n , (8)

gdzie Rfs jest naprężeniowym współczynnikiem pękania, sc jest aktualną wartością normalnych naprężeń niszczących dla materiału, zależną od zmiennej stanu uszkodzenia: sc=sc0(1-wn), gdzie sc0 jest naprężeniem niszczącym dla materiału bez uszkodzeń podczas rozciągania.

W drugim warunku pękania zakłada się, że inicjacja szczeliny nastąpi wówczas, gdy zmienna stanu uszkodzenia wywołana odkształceniami plastycznymi na dowolnej płaszczyźnie fizycznej osiągnie wartość krytyczną, a mianowicie:

max( ) w_n =1

n . (9)

4. WERYFIKACJA MODELU KUMULACJI USZKODZEŃ NA PODSTAWIE WYNIKÓW WŁASNYCH BADAŃ DOŚWIADCZALNYCH

Zaproponowany model kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych zweryfikowano doświadczalnie. Wykorzystano do tego m.in. wyniki własnych badań doświadczalnych przeprowadzonych na technicznym stopie aluminium EN AW-2007 w stanie wyżarzonym.

Wartości parametrów materiałowych dla tego stopu aluminium zamieszczono w I części niniejszej pracy.

ea Nf

(eksp.) Nf (obl.) 0,0025 7480 7162 0,0035 2066 1986 0,005 699 741 0,008 290 275 0,01 173 213 0,02 75 89

1x10¹ 1x10² 1x10³ 1x10⁴

Nf (eksperyment) 1x10¹

1x10² 1x10³ 1x10⁴

Nf (obliczenia)

Rys. 4. Porównanie wyników obliczeń numerycznych z danymi eksperymentalnymi dla symetrycznego rozciągania-ściskania próbek ze stopu aluminium EN AW-2007

ga Nf

(eksp.) Nf (obl.) 0,0035 9679 11182 0,0045 5232 6143

0,006 2964 3325 0,0075 1905 1938 0,009 1253 1462 0,0135 455 621

0,02 168 207 0,029 63 86

1x10¹ 1x10² 1x10³ 1x10⁴ 1x10⁵ Nf (eksperyment)

1x10¹ 1x10² 1x10³ 1x10⁴ 1x10⁵

Nf (obliczenia)

Rys. 5. Porównanie wyników obliczeń numerycznych (odkształceniowy model kumulacji uszkodzeń) z danymi eksperymentalnymi dla symetrycznego skręcania próbek ze stopu

aluminium EN AW-2007

Obliczenia numeryczne wykonano dla dwóch podstawowych typów obciążeń jednoosiowych (symetryczne rozciąganie-ściskanie oraz symetryczne skręcanie), posługując się zaproponowanym odkształceniowym modelem kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych W obu przypadkach obciążenie zadawano (zarówno w badaniach doświadczalnych, jak i w obliczeniach) za pomocą przyrostów składowych tensora odkształcenia.

Parametry cyklicznej krzywej wzmocnienia stopu aluminium EN AW-2007 przedstawiono w I części pracy.

Na rysunkach 4 oraz 5 przedstawiono w sposób graficzny wyniki analizy numerycznej oraz badań doświadczalnych dla dwóch podstawowych typów obciążenia (rozciągania-ściskania i skręcania).

Kolejne obliczenia wykonano dla przypadku obciążeń złożonych. Wykorzystano w tym celu wyniki własnych badań doświadczalnych stopu aluminium EN AW-2007 w stanie wyżarzonym. Próbki poddano działaniu cyklicznego obciążenia momentem skręcającym i siłą rozciągającą lub ściskającą. We wszystkich przypadkach historie obciążenia tworzyły ukierunkowane wieloodcinkowe pętle. Ich konfiguracje i parametry zamieszczono w I części pracy. Zestawienie wyników badań doświadczalnych i obliczeń numerycznych zamieszczono na rys. 6.

1x10² 1x10³ 1x10⁴ 1x10⁵

N_f (eksperyment) 1x10²

1x10³ 1x10⁴ 1x10⁵

Nf (obliczenia)

stop EN AW-2007 RS0 R_S RS45 RS90 RSB R1S2 R2S1 R4S1 R2S3 R3S2 RSK RST1 RST3

Rys. 6. Porównanie wyników obliczeń numerycznych z danymi eksperymentalnymi dla stopu aluminium EN AW-2007 dla złożonych historii obciążeń

5. PODSUMOWANIE

W pracy przedstawiono model kumulacji uszkodzeń, za pomocą którego możliwe jest obliczanie trwałości zmęczeniowej elementów konstrukcyjnych pracujących w warunkach złożonych (proporcjonalnych i nieproporcjonalnych) obciążeń niskocyklowych. Proponowany model, dzięki odpowiednim równaniom konstytutywnym w tym modelowi umocnienia

materiału, umożliwiał obliczanie zmienności pól naprężeń i odkształceń dla dowolnej historii obciążenia. Stałe materiałowe występujące w opracowywanym modelu wyznaczane są w jednoosiowych testach zmęczeniowych. Przeprowadzona weryfikacja doświadczalna modelu na przykładzie stopu aluminium EN AW-2007 wykazała dobrą zgodność obliczeń trwałości zmęczeniowej z danymi eksperymentalnymi i to zarówno w zakresie jednoosiowych (rozciąganie-ściskanie oraz skręcanie), jak też złożonych obciążeń.

LITERATURA

1. Wang Y., Yao W.: A multiaxial fatigue criterion for various metallic materials under proportional and nonproportional loading. “Int Jnl of Fatigue” 2006; (28), p. 401–408.

2. Kim K. S., Park J. C.: Shear strain based multiaxial fatigue parameters applied to variable amplitude loading. “Int Jnl of Fatigue” 1999; (21), p. 475-483.

3. Fatemi A., Socie D.F.: A critical plane approach to multiaxial fatigue including out-of- phase loading. “Fatigue Fract Eng Mater Struct.” 1988; (11), p. 144-165.

4. Harik V.M., Klinger J.R., Bogetti T.A.: Low-cycle fatigue of unidirectional composites:

Bi-linear S–N curves. “Int Jnl of Fatigue” 2002; (24), p. 455–462.

5. Glinka G., Shen G., Plumtree A.: A multiaxial fatigue strain energy density parameter related to the critical plane. “Fatigue Fract Eng Mater Struc.”t 1995; (18), p. 37-46.

6. Morrow J. D.:, Cyclic plastic stain energy and fatigue of metals, In: Internal Friction, Damping and Cyclic Plasticity, ASTM STP 1965; 378, Philadelfia, p. 45-84.

7. Mróz Z. An attempt to describe the behaviour of metals under cyclic loads using a more general workhardening model. “Acta Mech.” 1967; (7), p. 199-212.

8. Garud Y. S.: A new approach to the evaluation of fatigue under multiaxial loadings.

“Trans. ASME, Jnl. Eng. Mater. Technol.” 1981; (103), p. 118-125.

9. Seweryn A., Buczyński A., Szusta J.: Damage accumulation model for low cycle fatigue.

Int Jnl of Fatigue 2008; (30), s. 756-765.

10. Han C., Chen X., Kim S., Eva1uation of multiaxial fatigue criteria under irregular loading.

“Int Jnl of Fatigue” 2002; (24), p. 913-922.

DAMAGE ACCUMULATION UNDER COMPLEX LOWCYCLE FATIGUE Part II. ANALYTICAL MODEL

Summary. In the second part of this paper, the original model of damage accumulation was presented. It enables to define the number of cycles or the time for a safe application of complex low cycle fatigue (proportional and non- proportional) to machine components with arbitrary shape. Formulation of the damage accumulation law, crack initiation condition and constitutive relations introduce a very important contribution to the accuracy of the life predictions estimated in this model, especially, that the construction can work under non- proportional loadings in the elastic-plastic range.

Praca naukowa finansowana ze środków Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego, jako projekt badawczy nr W/WM/1/08