Zawody III stopnia
Rozwi¡zania zada« dla grupy mechaniczno-budowlanej Rozwi¡zanie zadania 1
Ilo±¢ energii dostarczanej przez piec:
_Q = _mWu = 0;53600 251060;5 = 1736;1 W.
Strumie« tej energii przenoszony jest przez ±cian¦ i przez okna:
_Q =
0
@F Fok
Rs +Fok uok
1
A
Tw Tz
; (1)
gdzieRs jest oporem ±ciany:
Rs = F Fok
Tw Tz Fok uok_Q
= 40 9
1736;1
20 ( 15) 91;2 = 0;799 (m2 K)/W :
Wprowadzenie dodatkowo oporu styropianu Rst do równania (1) i zmniejszenie x krotne strumienia ciepªa prowadzi do:
x =_Q
0
@F Fok
Rs +Rst +Fok uok
1
A
Tw Tz
; (2)
a st¡d dla uªatwienia przeksztaªce«:
x =_Q
A + Fok uok
Tw Tz
;
Patronem honorowym OWT jest Minister Gospodarki.
Organizatorem OWT jest Federacja Stowarzysze« Naukowo-Technicznych NOT.
Olimpiada jest nansowana ze ±rodków MEN.
1
A = _Q x
Tw Tz
Fok uok = 1736;1
2(20 + 15) 91;2 = 14;0 ; Rst = F Fok
A Rs = 40 9
14;0 0;799 = 1;415 (m2 K)/M;
poniewa»: Rst = gst
st ,
wi¦c:gst = Rstst = 1;4150;042 = 0;059 m 6 cm.
Caªkowity koszt poªo»enia styropianu:
K =
F Fok
kst = (40 9)150 = 4650 zª.
Zysk zwi¡zany z oszcz¦dno±ci¡ w¦gla Z = _m 1 1x
!
kw = 0;5 1 12
!
1000 = 0;15 zª/h.600
Z porównania warto±ci kosztu poªo»enia styropianu K i warto±ci godzinowego zysku Z wida¢, »e inwestycja ta zwróci si¦ po bardzo wielu latach. Przyjmuj¡c caªkowicie abstrakcyjne zaªo»enie, »e podane w zadaniu temperatury b¦d¡ si¦ utrzymywaªy bez przerwy inwestycja zwróci si¦ po:
Z24K365 = 4650
0;1524365 = 3;5 latach.
Jest to tzw. prosty czas zwrotu nie uwzgl¦dniaj¡cy szeregu czynników zwi¡zanych z upªywem czasu.
Rozwi¡zanie zadania 2
Poniewa» pr¦t jest obustronnie utwierdzony i nie ma w zwi¡zku z tym swobody odksztaªce«
poosiowych (wzdªu»nych), to w wyniku wzrostu temperatury zt1 do t2 w pr¦cie tympowstanie siªa ±ciskaj¡caPt. Mo»na j¡ wyznaczy¢ w sposób pokazany na rys.2, uwalniaj¡c my±lowo jeden z ko«ców pr¦ta.
Pod wpªywem wzrostu temperatury pr¦t wydªu»y si¦ o odcinek lt równy:
lt = t l t: (1)
Poniewa» wskutek obustronnego utwierdzenia dªugo±¢ pr¦ta l musi pozosta¢ niezmieniona, to do jego swobodnego (uwolnionego my±lowo) ko«ca nale»y przyªo»y¢ tak¡ siª¦ ±ciskaj¡c¡, aby
2
wywoªane ni¡ skrócenie l byªo równe lt. Mamy wi¦c:
l = Pt l
E A : (2)
Rys.2.
Poniewa» musi by¢ speªniony warunek:
l = lt ; (3)
to z przyrównania (1) i (2), otrzymujemy:
Pt = t E At: (4)
Pami¦taj¡c, »e
A = d2
4 ; (5)
i wstawiaj¡c do (4) i (5) dane liczbowe, mamy:
Pt = 1210 630210109 d2
4 = 59376;10103d2 : (6) Wzór na siª¦ krytyczn¡Pkr, powoduj¡ca wyboczenie pr¦ta, który znale¹¢ mo»na w ka»dym poradniku ma posta¢:
Pkr = 2 E J
lw
2 : (7)
3
We wzorze (7),J jest momentembezwªadno±ci przekroju pr¦ta, za± lw jego dªugo±ci¡ wybo- czeniow¡. W ka»dym poradniku mo»na znale¹¢, »e w przypadku koªowego przekroju poprzecz- nego pr¦ta
J = d4
64 ; (8)
oraz, »e dªugo±¢ wyboczeniowa pr¦ta
lw = l; (9)
przy czym jest tzw. wspóªczynnikiem wyboczeniowym, który w przypadku pr¦ta obustronnie utwierdzonego jest równy 0;5.
Z (7), (8) i (9) mamy wi¦c po wstawieniu danych liczbowych:
Pkr = 2210109d4
(0;55)264 = 16;278109d4 : (10) Z porównania (6) i (10) otrzymujemy:
59376;10103d2 = 16;278109d4 ; (11) Sk¡d:
d = 0;06039 m = 6;04 cm. (12)
Jest to minimalna ±rednica pr¦ta, przy której mo»e nast¡pi¢ wyboczenia. Rzeczywista ±red- nica powinna by¢ zatem wi¦ksza tak, aby uchroni¢ pr¦t przed wyboczeniem wskutek wzrostu temperatury otoczenia do 35C (czyli o 30C wy»szej od temperatury monta»u 5C).
Rozwi¡zanie zadania 3
Rys.2 4
Rys.2 pokazuje rozkªad siª w ukªadzie, gdzie:
x0 { wydªu»enie spr¦»yn po ich obci¡»eniu w stanie spoczynku ukªadu, x { chwilowe wychylenie podczas ruchu ukªadu.
Ad.a)
Warunek poziomego poªo»enia belki wymaga równych dªugo±ci obu spr¦»yn i równo±ci mo- mentów siª wzgl¦dem punku A.
F1 l1 = F2 l2 ; (1)
a poniewa»:
F1 = k1
x + x0
i F2 = k2
x + x0
; (2)
z równa« (1) i (2) wynika, »e:
F1F2 = l2 l1 = k1
x + x0
k2
x + x0
; i st¡d:
l2l1 = k1
k2 = 40003500 = 1;14 : Ad.b)
Ruch masym jest wynikiem dziaªania trzech siª: m g, F1 i F2. W stanie spoczynku siªy te równowa»¡ si¦ i st¡d
m g =
k1 +k2
x0 ; (3)
podczas ruchu z przyspieszeniema:
m a = m g
F1 +F2
; m a = m g
x0 +x
k1 +k2
: (4)
Wykorzystuj¡c równanie (3) mo»na powy»sze upro±ci¢ do postaci:
a +k1 +k2
m x = 0 : (5)
5
Otrzymano typowe równanie ruchu dla ukªadu drgaj¡cego harmonicznie, dla którego pr¦d- ko±¢ koªowa drga« wynosi:
! =
sk1 +k2
m ; (6)
a okres drga«:
T = 2 ! = 2
v
u
u
t
k1 +k2m ; (7)
T = 23;14
s 200
4000 + 3500 = 1;03 s.
Ad.c)
Posta¢ równania (7) sugeruje, »e przedstawiony ukªad spr¦»yn mo»na zast¡pi¢ jedn¡ o wspóª- czynniku sztywno±ci:
k = k1 +k2 = 4000 +3500 = 7500 N/m.
Przykªadowe rozwi¡zanie problemu technicznego
Problemy, które nale»y rozwi¡za¢ w rozwa»anym przypadku:
1. Sposób przemieszczenia. Ze wzgl¦du na mas¦ budynku nie powinno si¦ bra¢ pod uwag¦
przemieszcze« ze skªadow¡ pionow¡, inaczej mówi¡c transport nie powinien obejmowa¢
fazy jego podnoszenia. Przesuni¦cie budynku wymaga zrobienia wykopu mi¦dzy aktualn¡
i przyszª¡ lokalizacj¡. Wykop musi by¢ odpowiednio wzmocniony tak, aby uªo»one w nim ÿtorowisko" wytrzymaªo nacisk budowli.
2. Poniewa» budynek jest wykonany z cegªy nale»y go wzmocni¢ na poziomie fundamentu wykonuj¡c dodatkowy solidny, betonowy fundament, który przejmie caªy ci¦»ar budynku i jednocze±nie stworzy platform¦ opieraj¡c¡ si¦ na elementach jezdnych. Budowa tego fun- damentu stanowi istotny problem caªego projektu. Musi by¢ on wykonywany stopniowo, maªymi fragmentami { wielko±¢ (dªugo±¢) tych fragmentów nale»y okre±li¢ na podstawie wst¦pnych bada« stanu fundamentów budynku, jak równie» stanu gruntu pod i wokóª budynku.
3. Fundament opisany powy»ej mo»na wykona¢ w taki sposób, »e zast¡pi on cz¦±ciowo stary fundament z cegªy { przez jego wyci¦cie poni»ej poziomu terenu. Kolejne elementy funda- mentu/platformy jezdnej mo»na w trakcie wykonywania opiera¢ na elementach jezdnych.
Przed rozpocz¦ciem tych prac na podstawie informacji o masie budynku nale»y oszaco- wa¢ liczb¦ wózków, a tak»e parametry ÿtorowiska", takie jak: liczba torów i wytrzymaªo±¢
belek stalowych.
6
4. Nap¦d u»ywany do przesuwania konstrukcji. Najwygodniejsze s¡ siªowniki hydrauliczne.
Projektuj¡c fundament/platform¦ nale»y uwzgl¦dni¢ elementy, do których b¦d¡ mocowa- ne siªowniki. Zale»y tak»e zaprojektowa¢ elementy mocowane do torowiska, które b¦d¡
przeciwwag¡ dla siªowników (elementy te musz¡ by¢ przesuwne).
5. W zale»no±ci od stanu technicznego budynku nale»y tak»e rozwa»y¢ ewentualn¡ koniecz- no±¢ jego wzmocnienia na caªej wysoko±ci { wykonania stalowych opasek, które usztywni¡
caª¡ konstrukcj¦.
7
