Rozwi¡zanie zadania 2

Zawody III stopnia

Rozwi¡zania zada« dla grupy mechaniczno-budowlanej Rozwi¡zanie zadania 1

ad 1.)

x

C =^a cos ^{; y}C =^b sin ^;

x

2

C

=^a2 cos2 ^{; y}2

C

=^b2 sin2 ^;

x

2

C

a2 = cos2  ; y

2

C

b2 = sin2 :

Po dodaniu stronami powy»szych równa« szukana elipsa opisana jest równaniem:

x

2

C

a2 +

y

2

C

b2 = cos2 + sin2  = 1^: ad 2.)

Nale»y wyznaczy¢ kolejno:

x

B =^d sin ^{!t ;} cos  = ^xB

l

= ^d

l

sin ^{!t ;} sin  =

s

l2 x

2

B

l

=

q

l2 d2 sin2 ^!t

l

:

Poªo»enie punktu ^C w funkcji czasu opisane jest zatem zale»no±ciami:

x

C =^a cos = ^ad

l

sin ^{!t ; y}C =^b sin = ^b

l q

l2 ^d2 sin2 ^!t:

Patronem honorowym OWT jest Minister Gospodarki.

Organizatorem OWT jest Federacja Stowarzysze« Naukowo-Technicznych NOT.

Olimpiada jest nansowana ze ±rodków MEN.

1

Pr¦dko±¢ punktu^B, jako pr¦dko±¢ w ruchu harmonicznym jest równa:

v

B =^vBx=^d! cos ^!t: Skªadowa ^vx pr¦dko±ci punktu ^C wynika z proporcji (Rys.3)

v

Bx

l

= ^vCx

a

) v

Cx = ^a

l v

Bx = ^a

l

d! cos ^!t: Pr¦dko±¢ punktu ^A: ^vA = ^vAy wyznacza si¦ korzysta- j¡c z faktu, »e rzuty pr¦dko±ci wszystkich punktów prostej sztywnej na t¦ prost¡ s¡ sobie równe:

v

Bx

cos = ^vAy sin  St¡d:

v

Ay = ^vBx

cos 

sin  = ^d! cos ^{!t d} sin ^!t

q

l2 d2 sin2 ^{!t :} Skªadowa ^vy pr¦dko±ci punktu ^C wynika z proporcji (Rys.4)

v

Ay

l

= ^vCy

b

v

Cy= ^b

l v

Ay = ^b

l

d! cos ^{!t d} sin ^!t

q

l2 d2 sin2 ^{!t :} Ostatecznie jest zatem:

v

C =

s

v

2

Cx

+^v2

Cy

= ^d

l

! cos ^!t

v

u

u

t

a2 + ^b2^d2 sin2 ^!t

l2 d2 sin2 ^!t =

= ^da

l

! cos ^!t

v

u

u

u

t1 + ^b2d2

a2 sin^{2 !t}

l2 d2 sin2 ^{!t :} 2

K¡t jaki tworzy pr¦dko±¢ ^vC z osi¡ ^x mo»na wyznaczy¢ z zale»no±ci:

cos  = ^vCx

v

C

= 1

v

u

u

t1 + ^b2d2

a2 sin^{2 !t}

l2 d2 sin2 ^!t

:

ad 3.)

v

A = ^d2! cos ^!t sin ^!t

q

l2 d2 sin2 ^!t =

= 0^;952
^
cos (0^;25
^)
sin(0^;25
^)

q

12 0^;952
sin2(0^;25
^) = 1^;91 m/s^;

v

B = ^d! cos ^!t= 0^;95
^
cos(0^;25
^) = 2^;11 m/s^;

v

C = ^da

l

! cos ^!t

v

u

u

u

t1 + ^b2d2

a2 sin^{2 !t}

l2 d2 sin2 ^!t =

= 0^;95
0^;6

1
^
cos(0^;25
^)

v

u

u

u

t1 + 0^;4
0^;95 0^;6

!2

sin2(0^;25
^)

12 0^;952
sin2(0^;25
^) =

= 1^;48 m/s^:

Rozwi¡zanie zadania 2

Opór cieplny ±ciany zewn¦trznej

R

z = 1

h

w

+2^gt



t

+ ^gb



b

+ ^gs



s

+ 1

h

z = 18 +2
0^;015

0^;82 +0^;25

1^;7 + 0^;1 0^;042 + 1

25 = 2^;73 m2 K/W^: (1) Opór cieplny ±ciany dziaªowej

R

d = 1

h

w

+2^gt



t

+ ^gc



c

+ 1

h

w = 18 + 2
0^;015

0^;82 + 0^;24 0^;62 + 1

8 = 0^;67 m2K/W^: (2) 3

Bilans cieplny wi¦kszego pomieszczenia

Q =

0

B

B

@ F

p1

R

st

+



F

z1 2^{Fok Fdr z}



R

z

+ 2^Fok k

ok +^Fdr z k

dr z z 1

C

C

A



T

w1 ^Tz



+

+

0

B

B

@



F

d F

dr z



R

d

+^Fdr z k

dr z w 1

C

C

A



T

w1 ^Tw2



: (3)

Bilans cieplny mniejszego pomieszczenia

0

B

B

@



F

d F

dr z



R

d

+^Fdr z k

dr z w 1

C

C

A



T

w1 ^Tw2



=

0

B

B

@



F

c F

p1



R

st

+^Fz2

R

z 1

C

C

A



T

w2 ^Tz



: (4)

Obliczenie wspóªczynników stoj¡cych przy ró»nicach temperatur w równaniu (3) i (4)

A = ^Fp1

R

st

+



F

z1 2^{Fok Fdr z}



R

z

+ 2^Fok k

ok +^Fdr z k

dr z z =

= 245 +48 2
1^;7 1^;8

2^;73 + 2
1^;7
1^;6 + 1^;8
1^;5 = 28^;96 W/K^;

B =

0

B

B

@



F

d F

dr z



R

d

+^Fdr z k

dr z w 1

C

C

A= 12 1^;8

0^;67 + 1^;8
2^;6 = 19^;9 W/K^;

C =

0

B

B

@



F

c F

p1



R

st

+ ^Fz2

R

z 1

C

C

A= 40 245 + 36

2^;73 = 16^;39 W/K^: Równania (3) i (4) w uproszczonym zapisie:

(^A+^B)^Tw1 ^{B Tw}2 =^Q+^ATz

; (5)

4

B T

w1 (^B+^C)^Tw2 = ^{CTz :} (6) Wyznaczaj¡c ^Tw2 z równania (6):

T

w2 =

B T

w1 +^CTz

B+^{C ;} (7)

podstawiaj¡c do równania (5) jest:

T

w1 =

Q+



A+ ^BC

B+^C



T

z

A+^{B B}2

B+^C

= 1300 +



28^;96 + 19^;9
16^;39 19^;9 + 16^;39



( 15) 28^;96 + 19^;9 19^;92

19^;9 + 16^;39

= 19^;3^C^; (8)

Temperatur¦^Tw2 mo»na obliczy¢ z zale»no±ci (7):

T

w2 =

B T

w1 +^CTz

B+^C = 19^;9
19^;3 + 16^;39
( 15)

19^;9 + 16^;39 = 3^;8^C^: (9) Odpowied¹:^Tw1 = 19^;3^C,^Tw2 = 3^;8^C.

Rozwi¡zanie zadania 3

Rys.2.

5

W celu wyznaczenia reakcji ^RA na podstawie rys.2 nale»y zapisa¢ warunek równowagi prz¦sªa belkowego wzgl¦dem podpory ^B.

R

A l P

1 (^{l x}) ^P2 (^{l x d}) = 0^; (1)

Z tego równania:

R

A =^P1 ^{l l x} +^P2 ^{l xl d :} (2) Momenty zginaj¡ce w miejscu dziaªania siª ^P1 i^P2 mo»na wyznaczy¢ za pomoc¡ równa«:

M1 =^RAx= ^x

l



P1 +^P2



(^{l x}) ^P2^d



; (3)

M2 =^RA(^x+^d) ^P1^d= ^x+^d

l



P1 +^P2



(^{l x}) ^P2^d



P1^d: (4) Poªo»enie siªy^P1, oznaczone^x1max, w którym moment zginaj¡cy^M1 osi¡gnie maksymaln¡

warto±¢^M1max mo»na wyznaczy¢ z warunku:

dM1

dx

= 0^: (5)

Przedstawiaj¡c wyra»enie (5) w nieco innej postaci, dogodniejszej do ró»niczkowania,

M1 =^xP1

x2P

1

l

+^P2^x

x2P

2

l

xP

2 ^{dl ;} (6)

ró»niczkuj¡c je wzgl¦dem ^x i przyrównuj¡c pochodn¡ zgodnie z (5) do 0, oblicza si¦ warto±¢

x=^x1max

dM1

dx

=^P1 2^x

l

P1 +^P2 2^x

l

P2 ^P2 ^dl = 0^; (7)

x=^x1max = 2^l

P2

P1 +^P2

d

2 ^: (8)

Post¦puj¡c analogicznie w odniesieniu do poªo»enia siªy ^P2, odpowiadaj¡cego takiemu jej poªo»eniu, które wywoªuje w prz¦±le belkowym maksymalny moment ^M2max, otrzymuje si¦

6

po zró»niczkowaniu wzgl¦dem ^x wyra»enia (4) i przyrównaniu pochodniej do 0 nast¦puj¡c¡

zale»no±¢:

x= ^l 2^d

P2

P1 +^P2

d

2 ^; (9)

x2max =^x+^d: (10)

Wstawiaj¡c do (8) i (10) dane liczbowe podane w tre±ci zadania, mo»na obliczy¢ warto±ci

x1max i^x2max

x1max = 20^;00

2 2^;00

1^;50 + 2^;00
3^;0

2 = 9^;14 m^;

x2max = 3^;00 + 20^;00 3^;00

2 2^;00

1^;50 + 2^;00
3^;0

2 = 10^;64 m^:

Odpowied¹: Poªo»enie osi o naciskach ^P1 i ^P2, w których wyst¡pi¡ maksymalne warto±ci mo- mentów zginaj¡cych s¡ równe odpowiednio ^x1max = 9^;14 m,^x2max = 10^;64 m.

7