3. GENEZOWANIE STANU

…celem książek jest zmusić umysł, żeby myślał po swojemu…

3. GENEZOWANIE STANU

3.1. ROZPOZNAWANIE STANU MASZYNY

W metodologii procesu rozpoznawania stanu maszyny wyróżnia się następujące formach działania diagnostycznego (rys. 3.1) [4,9,16,20,21,35,50,65]:

a) diagnozowanie - jako proces określania stanu maszyny w chwili  b ; b) prognozowanie - jako proces określania przyszłych stanów maszyny  d ; c) genezowanie - jako proces odtwarzania historii stanów maszyny;

Rys. 3.1. Schemat realizacji rozpoznawania stanu maszyn w systemie obsługiwania

co następnie umożliwia:

a) określenie stanu technicznego maszyny w czasie bieżącym na podstawie wyników badań diagnostycznych. Umożliwia to kontrolę stanu i lokalizację uszkodzeń w przypadku stanu niezdatności maszyny.

b) przewidywanie stanu maszyny w czasie przyszłym na podstawie niepełnej historii wyników badań diagnostycznych. Umożliwia to oszacowanie czasu niezawodnego użytkowania maszyny lub wartości wykonanej przez nią w przyszłości pracy.

c) określenie stanu maszyny w czasie przeszłym na podstawie niepełnej historii wyników badań diagnostycznych, co umożliwia oszacowanie stanu maszyny w przeszłości.

Stan maszyny S( n ) w chwili  n można scharakteryzować za pomocą zbioru wartości

parametrów diagnostycznych {y j (); j=1,...,m}. Maszyna w chwili  b (ocena stanu maszyny)

S( n ) = S ⁰   (j=1,...,m) [{y j,d }  {y j ( b )}  {y j,g }] (3.1)

gdzie: {y j,d ,{y j,g }-zbiory dolnych i górnych wartości granicznych parametrów.

Analogicznie można sformułować warunek zdatności w chwili  n+ (zadanie prognozowania stanu maszyny) [2,4,10,17,59]:

S( _n+1 ) = S ⁰   (j=1,...,m) [{y j,d }  {y j ( _b+1 )}  {y j,g }], (3.2)

przy czym elementy zbioru {y j ( b+1 )} są nieznane i stąd konieczność ich przewidywania w założonym przedziale czasu  1 . Wielkość  1 oznacza przedział czasu, dla którego realizowany jest proces prognozowania (wielkość  1 nazywa się także wyprzedzeniem lub „horyzontem czasowym prognozy”). W ujęciu tym ocenę czasu przejścia maszyny w stan niezdatności wyznaczają wyniki prognoz parametrów diagnostycznych {y j ( b+1 )}, sygnalizujące przekroczenie wartości granicznych.

Podobnie można sformułować warunek zdatności w chwili  b-2 (zadanie genezowania stanu maszyny) [21,55]:

S( n-2 ) = S ⁰   (j=1,...,m) [{y j,d }  {y j ( b-2 )}  {y j,g }], (3.3) przy czym niektóre wartości elementów zbioru {y j ( b-2 )} mogą być nieznane i stąd konieczność ich przewidywania w założonym przedziale czasu  2 . Wielkość  2 oznacza przedział czasu, dla którego realizowany jest proces genezowania (wielkość  2 nazywa się

„horyzontem czasowym genezy”). W ujęciu tym oszacowanie stanu maszyny lub wartości wykonanej przez nią w przeszłości pracy wyznaczają wyniki genezowania wartości parametrów diagnostycznych {y _j ( _b-2 ).

Główne zadania, które można sformułować przy rozwiązywaniu problemów genezowania stanu maszyn to [21,55,66]:

a) sformułowanie celu genezowania stanu maszyny;

b) zmiana stanu maszyny w czasie eksploatacji;

c) opis stanu maszyny za pomocą cech stanu oraz zależność pomiędzy cechami stanu i parametrami diagnostycznymi;

d) rozwiązanie zadania genezowania stanu.

Głównymi problemami pojawiającymi się przy rozwiązaniu tak ujętych zadań jest [55,57]:

a) wybór „najlepszych” parametrów diagnostycznych opisujących aktualny stan i ich zmiana w czasie eksploatacji maszyny;

b) wyznaczenie wartości genezowanej parametru diagnostycznego dla horyzontu genezy

 2 , y jG ( b - 2 ) za pomocą „najlepszej” metody generowania;

c) oszacowanie stanu maszyny poprzez określenie przyczyny wystąpienia zlokalizowanego, podczas badania maszyny, uszkodzenia .

Użyte powyżej pojęcie „najlepsze” wiąże się z przyjęciem odpowiednich kryteriów i

rozpatrzenie tych problemów w kategoriach poszukiwania rozwiązania optymalnego, zaś ze

względu na wiele kryteriów oceny wymaga rozpatrzenie tych problemów w kategoriach

rozwiązania polioptymalnego.

3.2. WYZNACZANIE ZBIORU PARAMETRÓW DIAGNOSTYCZNYCH

Parametry stanu technicznego maszyny W są wielkościami zmiennymi w czasie W=f(), bowiem zależą od przebiegu procesów wymuszających starzenie. Zostało ustalone [4,5,7,16,57], że parametry diagnostyczne mogą odzwierciedlać stan maszyn i zależą od zmian parametrów stanu i czasu:

Y = Y (W, ) (3.4)

stąd określenie ich umożliwia rozpoznanie stanu technicznego maszyny.

Zbiór parametrów diagnostycznych Y wyróżnia się ze zbioru parametrów wyjściowych Y wy , które opisują przebieg procesów wyjściowych (procesy robocze i towarzyszące), zależnych od stanu technicznego obiektu:

Y _wy = Y _wy (W, ) (3.5) Wzajemny związek parametrów stanu W i parametrów wyjściowych Y wy pozwala przy spełnianiu podanych poniżej warunków, parametry wyjściowe y wy  Y wy wstępnie traktować jako parametry diagnostyczne oraz określić punkty pomiarowe w maszynie.

Warunkami tymi są :

a) warunek jednoznaczności - każdej wartości parametru stanu W _i  W odpowiada tylko jedna zdeterminowana wartość parametru wyjściowego y _wy  Y _wy ;

b) warunek szerokości pola zmian - największa względna zmiana wartości parametru wyjściowego y wy  Y wy dla zadanej wartości parametru stanu W i  W;

c) warunek dostępności pomiaru parametru wyjściowego - charakteryzuje się poprzez wskaźnik kosztu pomiaru c j lub czasu pomiaru t _j , przy czym narzuca się minimalizację tych wskaźników;

d) warunek mierzalności formułuje się dla funkcji Y wy = Y wy (W, ). Twierdzi się wówczas, że funkcja Y = Y (W 1 ) jest mierzalna, jeżeli dla każdego n mierzalny jest zbiór [13,32]:

{ W 1 : Y j (W 1 ) < N } (3.6) Spełnienie warunków 1  2  3  4 wyróżnia wstępnie ze zbioru Y WY zbiór parametrów diagnostycznych Y.

Na podstawie wyników badań i ustaleń poczynionych w pracach [13,43,45,68,69], mających na celu potwierdzenie niektórych propozycji zawartych w pracach dotyczących redukcji informacji diagnostycznej [5,9,17,31,37], uważa się że wyznaczanie zbioru parametrów diagnostycznych w procesie genezowania stanu maszyn powinno uwzględniać:

a) zdolność odwzorowania zmian stanu maszyny w czasie eksploatacji;

b) ilość informacji o stanie maszyny;

c) odpowiednią zmienność wartości parametrów diagnostycznych w czasie eksploatacji.

Odpowiednie metody i procedury oraz algorytmy uwzględniające te postulaty zostały

przedstawione poniżej.

Metoda maksymalnej względnej zmiany parametru diagnostycznego

W metodzie tej wybiera się ten parametr diagnostyczny, który posiada największą wartość wskaźnika k _j . Uwzględnia on średnią prędkość zmiany parametrów w przedziale czasu ( ₁ ,  _b ). Określa się go według zależności:

k j = ^b

b

j

j j

m

=1

 ^,

b _j =  _{  } ^{ } _ ^ _

 K

i i i j jg

i j i

j

y y

y y

K

_{=1 1 1 ,}

1 +

) ( ) (

) ( )

1 ( (3.7)

gdzie: K - liczebność elementów szeregu czasowego w przedziale ( 1 ,  b ).

Metoda korelacji wartości parametrów diagnostycznych ze stanem maszyny

Metoda polega na badaniu korelacji wartości parametrów diagnostycznych ze stanem maszyny r j =r(W, y j ) (ewentualnie z czasem eksploatacji, (r j = r((, y j )):

r j =

 



 



















K

k

K

k

j k j k

K

k

j k j k

y y

y y

1 1

2 ,

2 1

,

) (

) (

) )(

(

(3.8)











^K

k

K

1 k

1 , 





^K

k k j

j

y

y K

1 ,

1 (3.9)

gdzie: r j = r(W, y j ); j = 1,..., m - współczynnik korelacji między zmiennymi W (stan maszyny) oraz zmiennymi parametrami y j ,

r jn = r(y j , y n ); j,n = 1,..., m; jn – współczynnik korelacji między zmiennymi y j i y n . W przypadku braku danych ze zbioru W zastępowane są one, przy założeniu że wyznaczenie procedur genezowania stanu maszyny jest realizowane w przedziale zużycia normalnego, czasem eksploatacji maszyny. Wówczas r j = r(, y j ); j=1,..., m; k=1,...,K; (r j - współczynnik korelacji między czasem eksploatacji a parametrami y j .

Metoda maksymalnej pojemności informacyjnej parametru diagnostycznego

Istota metody polega na wyborze parametru dostarczającego największą ilość informacji o stanie maszyny. Parametr diagnostyczny ma tym większe znaczenie w określeniu zmiany stanu, im silniej jest z nim skorelowany i im słabiej jest skorelowany z innymi parametrami diagnostycznymi. Zależność tę przedstawia się w postaci wskaźnika pojemności informacyjnej parametru diagnostycznego h _j , który jest modyfikacją wskaźnika odnoszącego się do zbioru zmiennych objaśniających model ekonometryczny [45]:

h j =



 



^m

n j n j

n j j

r r

, 1 ,

, 2

1

(3.10)

r _j,n =

 



 











K

k

K

k

n k n j

k j K

k

n k n j k j

y y y

y

y y y y

1 1

2 ,

2 ,

1

, ,

) (

) (

) )(

(

(3.11)







^K

k k j

j

y

y K

1 ,

1 ; 





^K

k k n

n

y

y K

1 ,

1 (3.12)

gdzie: r j = r(W, y j ); j = 1,..., m - współczynnik korelacji między zmiennymi stanu Woraz y j ,

r jn = r(y j , y n ); j, n = 1,..., m; jn – współczynnik korelacji między zmiennymi y j i y n . W przypadku braku danych ze zbioru W zastępowane są one, przy założeniu że wyznaczenie procedur genezowania stanu maszyny jest realizowane w przedziale zużycia normalnego, czasem eksploatacji maszyny.

Zaletą przedstawionych powyżej metod jest to, że pozwalają wybrać ze zbioru parametrów wyjściowych jednoelementowe, jak i wieloelementowe zbiory parametrów diagnostycznych. Zbiór jednoelementowy odnosi się do przypadku, gdy maszyna jest zdekomponowana na zespoły i konieczny jest wybór jednego parametru diagnostycznego.

Zbiór wieloelementowy otrzymuje się, gdy w przedstawionych procedurach stosuje się mniej ostre ograniczenie polegające na zakwalifikowaniu do zbioru parametrów diagnostycznych tych parametrów, których wartości wskaźników są większe (mniejsze) od, przyjętych odpowiednio dla metody, małych (dużych) liczb dodatnich.

Na podstawie przedstawionych procedur określa się algorytm wyznaczania zbioru parametrów diagnostycznych maszyn. Zawiera on następujące etapy:

1. Akwizycja danych:

a) zbiór wartości parametrów diagnostycznych w funkcji czasu eksploatacji {y _j ( k )}, uzyskanych w czasie realizacji eksperymentu bierno – czynnego, gdzie  k ( 1 ,  b );

b) zbiór wartości nominalnych parametrów:{y j ( 1 )} oraz {y jg }- wartości granicznych, j=1,…, m;

c) zbiór stanów maszyny{ _k : {s _i }, k=1, …, K; i=1,…, I}określonych w czasie realizacji eksperymentu bierno – czynnego, gdzie  k ( 1 ,  b );

d) koszty parametrów diagnostycznych c(y j ) = const.

2. Optymalizacja zbioru wartości parametrów diagnostycznych (tylko w przypadku dużej liczebności zbioru Y, np. m >5). Zbiór parametrów diagnostycznych wyznacza się za pomocą:

a) metody korelacji wartości parametrów diagnostycznych ze stanem maszyny (z czasem eksploatacji, r _j = r(W, y _j ), (r _j = r((, y _j ));

b) metody ilości informacji parametrów diagnostycznych o stanie maszyny h j .

W celu wyboru zbioru parametrów diagnostycznych wykorzystuje się wartości wag [51,57]:

a) standaryzowane wagi obliczeniowe w _1j : w 1j =



 m

j j j

w w

1

(3.13)

w j = d

j

1 , d j = ( 1  r

_j^*

)

²

 ( 1  h

^*_j

)

²

(3.14)

j j

j

r

r r

max

*

 ,

j j

j

h

h h

max

*

 (3.15) b) jako kryterium wyboru parametrów diagnostycznych przyjęto maksymalizację

wartości wag w 1j i wybór według powyższego kryterium.

c) w celu uwzględnienia preferencji użytkownika powinno być możliwe wprowadzenie wag w _2j (wartości standaryzowane) z przedziału (0,1) i wybór według tego kryterium.

3.3. PROCEDURY GENEZOWANIA STANU

Podejmując rozważania na temat genezowania stanu maszyn [21,24,48,55] nie można wykazać wyższości pewnych metod genezowania nad innymi, bowiem zależy to, jaki obiekt jest przedmiotem badań oraz jaki jest cel genezowania stanu maszyny. Stosując jednak kryteria dotyczące wymagań związanych z postacią genezy (wartość genezowana symptomu, szacowany stan maszyny w przeszłości, wartość wykonanej przez nią w przeszłości pracy lub inna postać genezy stanu maszyny) oraz wpływem zmiany warunków eksploatacji maszyn i czynności obsługowych na właściwości eksploatacyjne maszyny, które należy uwzględnić przy wyborze metody generowania można sformułować problemy występujące w procesie genezowania stanu technicznego maszyny. Sprowadzają się one do:

a) analizy procesu pogarszania się stanu technicznego maszyny, tzn. określenie tendencji i dynamiki zmian wartości jej parametrów stanu, wybór stanów w których mogła znajdować się maszyna, dekompozycja maszyny na układy i zespoły, kryteria wyboru stanów i prawdopodobieństwo ich występowania, wybór „najlepszych” parametrów diagnostycznych opisujących zmianę stanu maszyny.

b) wyboru „najlepszej” metody wyznaczania genezy stanu;

c) wykorzystanie informacji uzyskanej z genezowania stanu do analizy przyczyny zaistnienia stanu maszyny w chwili badania maszyny.

Model genezowania stanu technicznego maszyny

Według ustaleń poczynionych powyżej genezowanie stanu technicznego maszyn powinno polegać na określeniu (przy niepełnych lub niepewnych danych wartości parametrów diagnostycznych) trendu zmian wartości parametrów diagnostycznych, charakteryzującego proces jego pogarszania się w przeszłości, przyrównaniu chwilowych wartości parametrów diagnostycznych do wartości granicznych i na tej podstawie szacowanie czasu niezawodnej pracy maszyny w interesującym użytkownika czasie przeszłym eksploatacji maszyny. Można go także wykorzystać do analizy przyczyn zlokalizowanego w chwili badania uszkodzenia maszyny.

Rozwiązanie przedstawionych zadań można uzyskać postępując według algorytmu:

1. Niech zjawisko pogarszania się stanu technicznego zespołów maszyny będzie reprezentowane szeregiem czasowym y _ =<y ₁ , y ₂ , ..., y _b >, to jest zbiorem dyskretnych obserwacji {y _ = (); =  ₁ ,  ₂ ,...,  _b } niestacjonarnego procesu stochastycznego ().

2. Przy założeniu, że mechanizm zmian wartości procesu stochastycznego w czasie ( 1 ,

 _b ) kształtuje trend () zakłócony różnymi oddziaływaniami losowymi ():

y _ = () + () (3.16) gdzie: () - składnik zdeterminowany szeregu czasowego y _ ,

() - trend czynników przypadkowych (warunki terenowe, klimatyczne, jakość obsługiwań).

konstruuje się takie oszacowanie { p ()} dla nieznanej postaci trendu (), które zapewniałoby odpowiednią dokładność genezy y G (), przy interpolacji (lub aproksymacji)

 p () na odcinek czasu pracy maszyny ( b ,  G ),  G =  b - 2 .

3. Oszacowanie  G () wyznacza wówczas wartości obserwowanych parametrów w genezowanej chwili  G , a tym samym genezę stanu technicznego maszyny W( G ).

4. Jako dopuszczalny stan eksploatacji maszyny W dop w przedziale czasu ( b , G ) przyjmuje się wartość czasu, dla którego granice przedziału błędu dla poszczególnych genez (y  , y G , G(y _ ,)) określone na podzbiorze  ^y   dostępnych realizacji obserwowanych parametrów diagnostycznych {y j ()} oraz ich genez {y j,G } według przyjętej metody genezowania G(y _ ,) nie przekraczają wartości granicznych {y j,g }.

5. Dopuszczalny stan techniczny W dop maszyny wyznacza horyzont genezy  j o , dla którego nie występuje przekroczenie wartości granicznej parametru diagnostycznego {y jg } przez granicę przedziału błędu genezy wyznaczoną przez promień granicy przedziału błędu r _G :

r _G = q _G (3.17) gdzie: q _,K - parametr stały wyznaczany z tablicy rozkładu Studenta do wymaganego

poziomu ufności  i K-2 liczby stopni swobody,

 _G - odchylenie standardowe składnika losowego błędu genezy e _G

6. W przypadku systemu obsługiwania wymaganą postacią genezy stanu układów lub zespołów maszyny jest informacja, czy w czasie ( 1 ,  b ) stan techniczny był stanem dopuszczalnym W _dop (na jej podstawie można szacować stan maszyny w przeszłości).

Proponuje się także, aby wielkościami dodatkowymi GST (genezy stanu maszyny) były wartość oczekiwana i promień granicy przedziału błędu genezy r G (rys. 3.2)

GST = < W _dop , r _G > (3.18) Przedział czasu ( 1 ,  b ) będzie okresem estymacji wartości oczekiwanej błędu genezy e G i promienia granicy błędu genezy r G , zaś okres czasu  b -  2 będzie okresem aktywnej genezy, tzn. wyznaczenia:

a) wartości genezowanej parametru dla czasu horyzontu genezy  2 , y jG ( b - 2 );

b) określenie wartości promienia granicy przedziału błędu genezy r G ( b -  2 );

c) wyznaczenie ewentualnych czasów { Gi } przejścia maszyny w stan niezdatności.

Rys. 3.2. Schemat wyznaczania wartości genezowanej parametru diagnostycznego

Zakładając możliwość ciągłej lub dyskretnej rejestracji zdarzeń (wartości parametrów diagnostycznych y _j , wartości parametrów procesowych maszyny yp j , wartości parametrów otoczenia yo _j , stanów maszyny s _k oraz zdarzeń dodatkowych zd _n w czasie jej eksploatacji (np.

w trakcie eksperymentu bierno – czynnego) uzyskuje się bazę informacji w postaci macierzy informacji: wartości parametrów zdarzeń – stany maszyny – czas eksploatacji. W chwili utraty przez maszynę stanu zdatności będzie prawdopodobnie możliwość, na podstawie zebranych danych jak i oględzin maszyny, stwierdzić, jaka mogła być przyczyna powstania stanu niezdatności maszyny.

Wyznaczenie genezowanych wartości parametrów diagnostycznych

Realizacja przedstawionego powyżej algorytmu możliwa jest przy wykorzystaniu odpowiednich metod wyznaczenia genezowanej wartości parametrów diagnostycznych (tylko przy notacji dyskretnej zdarzeń w przedziale czasu ( 1 ,  b ), w przypadku notacji ciągłej ciągłej wyznaczanie wartości genezowanej parametrów diagnostycznych y j nie jest konieczne). Problem ten można rozwiązać stosując odpowiednio metody aproksymacji lub interpolacji.

Aproksymacja wartości parametru diagnostycznego

Aproksymacja jest to przybliżanie funkcji Y() zwanej funkcją aproksymowaną inną funkcją Y() zwaną funkcją aproksymującą. Z wielu metod aproksymacji, na podstawie analizy literatury i badań wstępnych [3,17,18,47,52,55,60,62] zostały wybrane: aproksymacja średniokwadratowa punktowa wielomianowa oraz aproksymacja trygonometryczna.

1. Aproksymacja średniokwadratowa punktowa wielomianowa

Dane są punkty czasowe  1 , …,  i , …,  j , …,  b parami różne, czyli dla i j   j 

 j oraz dane są wartości parametrów diagnostycznych w tych punktach y 1 , …, y i , …, y b , gdzie y=f( i ), i=1, …, b.

Zadaniem aproksymacji jest więc znaleźć wartości współczynników a 0 , a 1 , …, a m

wielomianu Y m () stopnia m-tego postaci:











^m

j

j j

m

a

Y

0

)

( , (3.19)

aby błąd średniokwadratowy był najmniejszy czyli:

e _G =  

 







ⁿ

i

m

j

j i j a i

a

a

B y a

n 0 0

2 ,...,

,

( )

min

1 0

(3.20) Zadanie aproksymacji średniokwadratowej punktowej sprowadza się więc do rozwiązania m  1 równań o m  1 niewiadomych.

2. Aproksymacja trygonometryczna

Aproksymacja trygonometryczna jest stosowana wówczas, gdy funkcja aproksymowana jest funkcją okresową a punkty szeregu czasowego Y = {y i ()} pochodzące z obserwacji zmiany wartości parametru diagnostycznego są równoodległe. Funkcja aproksymująca przyjmuje wówczas postać:

2 ) 2 sin

cos ( )

(

1

0

 





 







 



n

b i n

a i a

Y

_i

m

i i



 (3.21) gdzie: n - liczba punktów szeregu czasowego, m - stopień wielomianu trygonometrycznego, przy czym parametr m musi spełniać warunek n > 2m + 1.

Zagadnienie aproksymacji sprowadza się wówczas do obliczenia wartości współczynników a 0

oraz a i , b i (i = 1, 2, ... , m ). Współczynniki te wyznacza się ze wzorów Eulera-Fouriera:

 



 





























n

j j i

n

j j i

n

j j

n ij b n

n ij a n

a n

1 1 1 0

sin 2 2

cos 2 2

1



 i=1,2,…,m (3.22)

gdzie  j (j = 1, 2, ... , n) są elementami ciągu (3.21).

Błąd aproksymacji trygonometrycznej można wyrazić zależnością:

e G = 







^b

i

y

i

y B

1

)

2

( (3.23) gdzie: y - wartość funkcji aproksymującej, y _i - wartość funkcji aproksymowanej.

Interpolacja wartości parametru diagnostycznego

Załóżmy, że dane są wartości funkcji Y() wartości parametrów diagnostycznych na zbiorze punktów czasowych  1 , …,  i , …,  j , …,  b zwanych węzłami interpolacji.

Zadaniem interpolacji jest wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji Y() zwanej funkcją interpolowaną w punktach nie będących węzłami interpolacji. Funkcja interpolująca jest funkcją pewnej klasy. Najczęściej będzie to wielomian algebraiczny, wielomian trygonometryczny, funkcja wymierna lub funkcja sklejana.

Interpolację stosuje się najczęściej, gdy nie znamy analitycznej postaci funkcji Y() (jest ona tylko stablicowana) lub, gdy jej postać analityczna jest zbyt skomplikowana. W opracowaniu, na podstawie analizy literaturowej i badań wstępnych 3,17,18,47,52,55,60,62]

została zastosowana interpolacja Lagrange’a oraz interpolacja za pomocą funkcji sklejanych.

1. Interpolacja Lagrange’a

Zagadnienie interpolacyjne Lagrange’a charakteryzuje się wymaganiem, aby wartości funkcji interpolującej równały się wartościom funkcji interpolowanej w n+1 punktach.

Załóżmy, że znamy kilka wartości funkcji Y() dla kilku argumentów  1 , …,  i , …,  j , …,

 b , a chcemy dowiedzieć się, jakie są wartości dla innych argumentów. Można tego dokonać dzięki funkcjom interpolacyjnym. Wymaga się, aby ich wykres przechodził przez węzły interpolacji (punkty dyskretne, których współrzędne znamy) y ₁ , …, y _i , …, y _b , a poza nimi przybliżał jak najlepiej pierwowzór.

Aby znaleźć wartości funkcji w każdym punkcie dziedziny, należy na podstawie znajomości kilku wartości dyskretnych wyznaczyć wielomian interpolacyjny. Najprostszy jest wielomian interpolacyjny w sensie Lagrange'a przyjmuje postać:

) )...(

)(

)...(

)(

(

) )...(

)(

)...(

)(

) ( (

1 1

1 0

1 1

1

1

*

n i i

i i i i

i

n i

i o

b

i i

n

y

Y               





























 















(3.24)

Oszacowanie jest w dużym stopniu zależne od rozkładu argumentów punktów dyskretnych

 _j . Interpolacja w sensie Lagrange'a jest dość dokładna dla większości funkcji ciągłych, zaś oszacowanie błędu w tej metodzie jest następujące:

e G = ( )

)!

1 ) (

( )

(

¹ ₁



 



_i ^n

w

_n

n

t M Y t

Y (3.25)

gdzie:  max

^1

(  )





 n b

a

y

M , w

_n1

 (   

₀

)(   

₁

)...(   

_n

)

2. Interpolacja za pomocą funkcji sklejanych

W dotychczasowych rozważaniach funkcja była interpolowana jednym wielomianem.

Oczywiście, jeśli wzrasta liczba węzłów wzrasta również stopień wielomianu interpolacyjnego i może się okazać, że nie będzie on zbieżny do funkcji interpolowanej.

Można inaczej sformułować problem. Niech dane będą węzły uporządkowane następująco:

a = x 0 < x 1 < x 2 < … x n-1 < x n = b (3.26) W każdym z przedziałów  x

_j

, x

_j1

) j  0 , 1 , 2 ,..., n  1 funkcję interpolowaną przybliża się wielomianem stosunkowo niskiego stopnia. Na ogół w każdym przedziale wielomian będzie różny ale cała funkcja interpolująca powinna być ciągła wraz z odpowiednimi pochodnymi na odcinku  a, b  .

Zagadnienie interpolacyjne za pomocą funkcji sklejanych wymaga, aby ich wykres przechodził przez węzły interpolacji (punkty dyskretne, których współrzędne znamy) y 1 , …, y _i , …, y _b , a poza nimi przybliżał jak najlepiej pierwowzór za pomocą odpowiednich funkcji w poszczególnych przedziałach < j ,  j+1 ). Na przykład w każdym przedziale < j ,  j+1 ) funkcja sklejana stopnia 3 przyjmuje postać:

3

2

( )

) (

) (

)

(

_{j j j j j j j}

i

a b c d

Y               , j  0 , 1 , 2 ,..., n  1 (3.27)

przy czym współczynniki a

_i

, b

_i

, c

_i

, d

_i

wyznacza się następująco:

1. Należy rozwiązać układ równań liniowych o postaci:

 

 

 







 

 

 













2 0

0 0 0 0

2 0

0 0 0

0 0 0 2

0

0 0 0 0

2

0 0 0 0

0 2

1 2 2

3 3

2 2

1

n n n

u w u

w u

w u

w



























 

 

 

 





 

 

 

 









* 1

* 2

* 3

* 2

* 1

n n

c c c c c

 =

 

 

 







 

 

 









 1 2 3 2 1

n n

v v v v v

 (3.28)

gdzie

 



 





 







 



 

 



 

 























) (

:

₁

1

1 1 2 1

1 1 1

1 1

j j j

j j

j j j j

j j

j j

j j

j j

h h h

s s h

s v s

h h w h h h u h

2 ,..., 2 , 1 ,

0 

 n

j

h

_j

 

_j1

 

_j

j  0 , 1 , 2 ,..., n  1 y

_i

 y ( 

_j

) j  0 , 1 , 2 ,..., n z którego wyznacza się współczynniki c

^*_i

j  1 , 2 ,..., n  1 .

2. Współczynniki c są określone następująco:

_i

c

₀

 c

_n

 0 c

_j

 3 c

^*_j

j  1 , 2 ,..., n  1 (3.29) a współczynniki a

_i

, b

_i

, d

_i

oblicza się wg zależności:

 





 







 



 











j j j j

j j

j

j j j j

j j

h c d c

c h c

h s b s

s a

3

) 2 3 (

1

1

1

j  0 , 1 , 2 ,..., n  1 . (3.30)

Mając obliczone współczynniki wielomianu, można obliczyć szukaną wartość wielomianu, zaś błąd interpolacji za pomocą funkcji sklejanych wyznacza się według zależności:

e _G =

²

2 ) 1 ( )

( Y

_i

Mh

_i

Y     (3.31) gdzie: M - stała, taka że Y

_i

" ( )  M dla każdego    

₁

, 

n

 , Y i - funkcja sklejana

trzeciego stopnia z węzłami 

₁

 ...  

_n

taka, że Y

_i

( 

_j

)  Y ( 

_j

) dla j=1,…,n oraz Y

_i

" ( 

₁

)  3 M i Y

_i

" ( 

_n

)  3 M ; h

_j

 

_j1

 

_j

.

Analiza przedstawionych powyżej metod wyznaczania wartości genezowanej parametrów diagnostycznych oraz odpowiednich dla nich błędów genezy pozwala stwierdzić, że w celu wyznaczenia wartości genezowanej parametrów diagnostycznych, na podstawie niepewnych i niepełnych ich wartości z przedziału czasu ( 1 ,  b ), należy wykorzystać:

1. W zakresie metod aproksymacyjnych:

a) aproksymację średniokwadratową punktową wielomianową z błędem genezy r ja :

r ja = e Gj = max

_,

( ) ( )

,

1 ja k j k

K k

y y

B    



(3.32) b) aproksymację trygonometryczną z błędem genezy r _ja :

r ja = e Gj = max

_,

( ) ( )

,

1 ja k j k

K k

y y

B    



(3.33) 2. W zakresie metod interpolacyjnych:

a) interpolację za pomocą funkcji sklejanych 1, 2 i 3 stopnia dla przedziału czasu ( 1 ,

 _b ) o liczebności r ₁ z błędem genezy r _j,int [55,64]:

r j,int = e Gj = max

_,int

( ) ( )

2 ,

1 j k j k

r k

y y

B    



(3.34) gdzie: r ₁ = K/2 - ilość punktów do interpolacji wartości szeregu czasowego y _j (),

r 2 = K/2-1 - ilość punktów do porównania wartości funkcji sklejanych z wartością rzeczywistą parametru oraz interpolacji wartości szeregu czasowego y j (), K – liczebność szeregu czasowego.

Szacowanie przyczyny uszkodzenia maszyny

Analiza przyczyny wystąpienia stanu s i (T _LU ) odbywa się poprzez analizę zbioru zdarzeń, w tym {s i ( k ), i=1,…, 1; k=1, …, K} w przedziale  K ( 1 , b ) w celu:

a) określenia punktu wspólnego „kanału błędowego” wyznaczonego przez promień błędu r ^* j i wartość graniczną parametru diagnostycznego y j *

w chwili  _S ( ₁ , _b ), d min =0 (rys. 3.4, rys. 3.6);

b) określenia większej liczby punktów wspólnych „kanału błędowego” (np. n - punktów) wyznaczonego przez promień błędu r ^* j i wartości granicznej parametru diagnostycznego y j * w chwilach  S  ( 1 , b ), nd min =0 (rys. 3.5);

c) określenia minimalnej odległości „kanału błędowego” od wartości granicznej w chwili

 _S  ( ₁ , _b ), d _min <0 (rys. 3.5, rys. 3.6);

d) analiza elementów zbioru stanów {s _i ( k ), k=1, …, K}i zbioru stanów {s _i ( S )} oraz zlokalizowanego stanu s i (T LU ) w celu określenia przyczyny jego wystąpienia.

Rys. 3.4. Interpretacja genezowania stanu maszyny dla jednego punktu wspólnego (d

_min

=0)

Rys. 3.5. Interpretacja genezowania stanu dla n punktów wspólnych (n(d

_min

=0)) i dla d

_min

<0

Rys. 3.6. Interpretacja genezowania stanu dla d

_min

>0 i jednego punktu wspólnego (d

min

=0)

Dla każdego parametru diagnostycznego określana jest ilość „zbliżeń”

aproksymowanej (interpolowanej) wartości parametru diagnostycznego z obliczonym błędem genezy e _Gj = max (r _j,a , r _j,int ) do wartości granicznej parametru diagnostycznego y _jg (d _min = 0, nd _min = 0, d _min > 0, d _min < 0) oraz lista określonych stanów {s _i ( k )}.

Analiza ilości „zbliżeń” (wartości minimalne d min ) i odpowiadające im stany s _i {s _i ( _k )} oraz warunków ich wystąpienia (parametry procesowe, parametry otoczenia oraz zdarzenia dodatkowe, np. obciążenie, warunki terenowe, warunki klimatyczne, inne) umożliwia określenie przyczyny stanu s i (T _LU ), stwierdzonego w chwili badania stanu maszyny  b . Wynika to z następujących ustaleń:

a) jeśli znane są stany s i {s i ( k ),  k ( 1 , b )} i warunki ich wystąpienia w postaci

zbioru zdarzeń oraz pojedynczy punkt wspólny „kanału błędowego” (d _min =0, rys. 3.4)

w chwili  S wyróżnia stan s _i ( S )=s _i (T _LU ) to wówczas przyczyną wystąpienia stanu

s i (T LU ) były okoliczności i warunki określone dla stanu s i ( S ) oraz „chwilowe

pojawienie się” się tego stanu w czasie ( 1 , b );

b) jeśli znane są stany s i {s i ( k ),  k ( 1 , b )} i warunki ich wystąpienia w postaci zbioru zdarzeń oraz wiele punktów wspólnych „kanału błędowego (nd min =0, d _min <0, rys. 3.5) w chwili  S wyróżnia stan s _i ( S )=s _i (T _LU ) to wówczas przyczyną wystąpienia s i (T LU ) były okoliczności i warunki określone dla stanu s i ( S ) oraz „narastający rozwój” tego stanu w czasie ( 1 , b );

c) jeśli znane są stany s i {s i ( k ),  k ( 1 , b )} i warunki ich wystąpienia w postaci zbioru zdarzeń oraz odległość minimalna d min >0 (rys. 3.6) w chwili  S wyróżnia stan s i ( S )=s i (T LU ) to wówczas przyczyną wystąpienia s i (T LU ) były okoliczności i warunki określone dla stanu s i ( S ) oraz „chwilowe niepełne pojawienie się” się tego stanu w czasie ( 1 , b );

d) jeśli nie są znane stany s i {s i ( k ),  k ( 1 , b )} i znane są warunki eksploatacji maszyny (w postaci zbioru zdarzeń) w przedziale czasu ( 1 , b ) oraz wartość odległości minimalnej d min = (d min =0 lub d min >0 lub d min <0) chwili  S jest zbliżona (z błędem około 10%) do wartości d min (s i (T LU )) to wówczas jest możliwe określenie przyczyny wystąpienia stanu s i (T LU ), bo prawdopodobne są warunki dla chwili  S ; e) jeśli nie są znane stany s i {s i ( k ),  k ( 1 , b )} i nie są znane warunki eksploatacji

maszyny (w postaci zbioru zdarzeń) w przedziale czasu ( 1 , b ) oraz wartość odległości minimalnej d min = (d min =0 lub d min >0 lub d min <0) w chwili  S nie jest zbliżona (z błędem około 10%) do wartości d min (s i (T LU )) to wówczas nie jest możliwe określenie przyczyny wystąpienia stanu s i (T _LU ).

Przedstawione opcje określania przyczyny stanu s i (T LU ) ograniczone są z przyjęciem wielu uwarunkowań związanych z procesem eksploatacji maszyn.

3.4. ALGORYTM GENEZOWANIA STANU

Realizacja opracowanych powyżej procedur powinna zapewnić:

a) optymalizację zbioru parametrów diagnostycznych Y;

b) genezowanie wartości parametrów diagnostycznych w przedziale czasu ( 1 , b );

c) wyznaczenie przyczyny zlokalizowanego, w trakcie realizacji testu diagnostycznego T _LU , stanu maszyny s _i (rys. 3.4).

Rys. 3.4. Schemat procedury genezowania stanu w rozpoznawania stanu maszyn

Algorytm realizacji procesu genezowania stanu maszyny zawiera następujące etapy (rys. 3.5):

Rys. 3.5. Schemat procesu genezowania stanu maszyn

A. Akwizycja danych

Podczas akwizycji danych uzyskuje się:

a) zbiór wartości parametrów diagnostycznych w funkcji czasu eksploatacji maszyny {y _j ( _k )}, uzyskanych w czasie realizacji eksperymentu, gdzie  _k ( ₁ ,  _b );

b) zbiór wartości parametrów diagnostycznych:{y _j ( ₁ )} – wartości nominalne,{y _jg }- wartości graniczne, j=1, …, m;

c) zbiór stanów maszyny{ k : {s i }, k=1, …, K; i=1,…, I} uzyskanych w czasie realizacji eksperymentu, gdzie  k ( 1 ,  b );

d) zbiór wartości parametrów procesowych maszyny w funkcji czasu eksploatacji maszyny {yp j ( k )}, uzyskanych w czasie realizacji eksperymentu, gdzie  k ( 1 ,  b );

e) zbiór wartości parametrów otoczenia maszyny w funkcji czasu eksploatacji maszyny {yo j ( k )}, uzyskanych w czasie realizacji eksperymentu, gdzie  k ( 1 ,  b );

f) zbiór zdarzeń dodatkowych w funkcji czasu eksploatacji maszyny {zd j ( k )}, uzyskanych w czasie realizacji eksperymentu, gdzie  k ( 1 ,  b ).

B. Optymalizacja zbioru wartości parametrów diagnostycznych Zbiór parametrów diagnostycznych wyznacza się za pomocą:

a) metody korelacji wartości parametrów diagnostycznych ze stanem maszyny (z czasem eksploatacji, r j = r(W, y j ), (r j = r((, y j ));

b) metody ilości informacji parametrów diagnostycznych o stanie maszyny h j ;

a) redukcji zbioru parametrów diagnostycznych za pomocą metody „punktu idealnego” z grupy metod rozwiązań kompromisowych Pareto;

b) wyznaczenie wartości wagi w _j .

C. Genezowanie stanu – ustalenie przyczyny wystąpienia, zlokalizowanego w trakcie realizacji testu T LU , stanu s i (T LU ):

1. Genezowanie wartości zbioru parametrów diagnostycznych {y j *

}, tylko przy notacji dyskretnej zdarzeń, w przedziale czasu ( 1 ,  b ):

a) za pomocą metody aproksymacji wartości parametru diagnostycznego y j *

w przedziale czasu ( ₁ , _b ) wraz z promieniem błędu aproksymacji „kanału błędowego” r _j,a metodą średniokwadratową;

b) za pomocą interpolacji wartości parametru diagnostycznego y j *

w przedziale czasu ( 1 , b ) wraz z promieniem błędu interpolacji „kanału błędowego” r j,int metodami (metoda funkcji sklejanych)stopnia drugiego i stopnia trzeciego;

c) wybór metody według minimalnej wartości promienia błędu aproksymacji lub interpolacji (błąd dopasowania);

2. Szacowanie przyczyny wystąpienia stanu niezdatności s _i (T _LU ):

a) określenie zbioru {s _i ( _k ), i=1,…, 1; k=1, …, K} w przedziale czasu ( ₁ ,  _b );

b) określenie punktu wspólnego „kanału błędowego” wyznaczonego przez promień błędu r ^* j = max (r ja , r ji ) i wartość graniczną parametru diagnostycznego y j *

w chwili

 S ( 1 , b ), co oznacza że przyczyną wystąpienia zlokalizowanego stanu s i było

„chwilowe pojawienie” się tego stanu w czasie ( 1 , b );

c) określenie większej liczby punktów wspólnych „kanału błędowego” wyznaczonego przez promień błędu r _j = max (r _j,a , r _j,int ) i wartości granicznej parametru diagnostycznego y _j ^* w chwilach  s  ( 1 , b ) oznacza, że przyczyną wystąpienia zlokalizowanego stanu s _i był „narastający rozwój” stanu s _i w czasie ( ₁ , _b );

d) w przypadku braku punktów wspólnych określenie minimalnej odległości „kanału błędowego” od wartości granicznej w chwili  _S ( ₁ , _b ), co oznacza że prawdopodobną przyczyną wystąpienia zlokalizowanego stanu s i było „chwilowe niepełne pojawienie się ” się tego stanu w czasie ( 1 , b );

e) analiza elementów zbioru zdarzeń, w tym stanów {s i ( k ), k=1, …, K} i zlokalizowanego przez T _LU stanu s _i oraz wystąpienia w celu określenia przyczyny jego wystąpienia w kontekście otrzymanych ewentualnych „punktów wspólnych” lub minimalnej odległości „zbliżeń”.

Przeprowadzona prezentacja możliwości wyznaczania genezy stanu maszyn pozwala na sformułowanie następujących wniosków:

1. Wszystkie prezentowane algorytmy pozwalają wyznaczyć optymalne, ze względu na przyjmowane kryterium, wartości genezowane parametrów diagnostycznych w przedziale czasu ( ₁ , _b ), przy czym do dalszych badań proponuje się:

a) wykorzystanie metod aproksymacji wartości parametru diagnostycznego y j *

(metoda średniokwadratowa), z promieniem błędu aproksymacji „kanału błędowego” r j,a ; b) wykorzystanie metod interpolacji wartości parametru y _j ^* (metoda funkcji sklejanych

różnych stopni) z promieniem błędu interpolacji „kanału błędowego” r j,int ;

b) wybór metody według minimalnej lub maksymalnej wartości promienia błędu

aproksymacji lub interpolacji (błąd dopasowania).

2. Przyjmując za podstawową metodę genezowania polegającą na wykorzystaniu rejestrowanych wartości parametrów diagnostycznych wyróżniono w celu genezowania wartości parametru diagnostycznego (dla notacji dyskretnej zdarzeń) metody aproksymacyjne (metoda średniokwadratowa punktowa wielomianowa, metoda trygonometryczna) i metody interpolacyjne (metoda wielomianowa, metodę funkcji sklejanych 1, 2 i 3 stopnia) oraz opracowano odpowiadające im algorytmy.

3. Analiza przyczyny wystąpienia stanu s _i (T _LU ) poprzez analizę zbioru zdarzeń, w tym stanów {s _i ( k ), k=1, …, K}, i zlokalizowanego przez T LU stanu s _i w celu określenia przyczyny jego wystąpienia w kontekście otrzymanych ewentualnych „punktów wspólnych” lub minimalnej odległości „zbliżeń”.

4. Algorytm realizacji procesu genezowania stanu maszyny zawiera następujące etapy:

a) akwizycja danych i optymalizacja parametrów diagnostycznych;

b) genezowanie wartości zbioru parametrów diagnostycznych {y _j ^* } tylko przy założeniu niepełnej i niepewnej historii ich wartości w przedziale czasu ( 1 ,  b ),;

c) analiza przyczyny wystąpienia stanu s _i (T _LU ) dla notacji ciągłej zdarzeń oraz notacji dyskretnej zdarzeń.

W celu weryfikacji skuteczności opracowanych procedur genezowania stanu maszyn należy prowadzić badania stanowiskowe i eksploatacyjne wybranych układów maszyn.

Wyniki badań, w postaci szeregów czasowych (wartości parametrów diagnostycznych w

funkcji czasu eksploatacji) stanowią podstawę do przeprowadzenia badań jakości

dedykowanych obiektowo procedur genezowania stanu maszyn.