Rzeczywiste źródło napięciowe obciążone rezystancją

Wykład VI. PODSTAWOWE UKŁADY PRĄDU STAŁEGO

Rzeczywiste źródło napięciowe obciążone rezystancją

Na rysunku pokazano schemat i charakterystykę zewnętrzną rzeczywistego stałoprądowego źródła napięciowego, obciążonego rezystancją R. Charakterystyka przedstawia zależność

U = −E R_w⋅I . (3.9a) W stanie jałowym (I = 0) napięcie U ma wartość

U₀ = E ; (3.9b) w stanie zwarcia (U = 0) prąd I ma wartość

I E

z R

w

= . (3.9c) Moc wytwarzana w źródle (oddawana przez idealne źródło) przy obciążeniu prądem I wynosi

P₁ = ⋅E I ; (3.10a) moc oddawana do obwodu zewnętrznego (pobierana przez odbiornik) oraz sprawność źródła –

P₂ = ⋅ = ⋅ −U I E I R_w⋅I² ; (3.10b)

η= = = − ⋅

P = − P

U E

E R I E

I I

w

z 2

1

1 , albo inaczej:

( )

η= = ⋅

+ ⋅ = +

U E

R I

R R I

R R R

w w

. (3.10c, d) Stan, w którym z danego źródła pobierana jest największa moc, nazywa się stanem dopasowania odbiornika do źródła. Prąd I ma wtedy taką wartość, że

2 =0 dI

dP , więc E−2Rw⋅Idop =0, stąd

w

dop R

I E

= 2 . Ponieważ jednak

w dop

dop R R

I E

= + , więc warunkiem dopasowania odbiornika do źródła jest

w

dop R

R = . (3.11a) Zgodnie ze wzorem (3.10d), sprawność źródła w stanie dopasowania wynosi

5 ,

=0

ηdop , (3.11b) a moc pobierana przez odbiornik wyraża się wzorem

w dop

dop

dop R

I E R

P 4

2 2

.

2 = ⋅ = . (3.11c) Moc P_2.dop , określona wzorem (3.11c), jest nazywana mocą dopasowania odbiornika do źródła napięciowego lub mocą dysponowaną źródła napięciowego.

Rzeczywiste źródło prądowe obciążone konduktancją

Na rysunku pokazano schemat i charakterystykę zewnętrzną rzeczywistego stałoprądowego źródła prądowego, obciążonego konduktancją G. Charakterystyka przedstawia zależność

I =I_źr −G_w⋅U . (3.12a) W stanie jałowym (I = 0) napięcie U ma wartość

U I

G

źr w

0 = ; (3.12b) w stanie zwarcia (U = 0) prąd I ma wartość

I_z = I_źr (3.12c) U

Iz

I E

0 U R

Rw

I

E

Gw

I

Iźr U G

Iw

I

U0

U Iźr

0

Moc wytwarzana w źródle (oddawana przez idealne źródło) przy napięciu U wynosi

P₁ = ⋅U I_źr , (3.13a) moc oddawana do obwodu zewnętrznego (pobierana przez odbiornik) oraz sprawność źródła –

2

2 U I U I G U

P = ⋅ = ⋅ _źr − _w⋅ ; (3.13b)

0 1

2 1

U U I

U G I I

I P P

źr w źr źr

−

⋅ =

= −

=

η= , albo inaczej:

(

)

źr G G

G U

G G

U G I

I

= +

⋅ +

= ⋅

η= . (3.13c, d)

W stanie dopasowania odbiornika do źródła napięcie U ma taką wartość, że

2 =0 dU

dP , więc I_źr −2G_w⋅U_dop =0, stąd

w źr

dop G

U I

= 2 . Ponieważ jednak

w dop

źr

dop G G

U I

= + , więc warunkiem dopasowania odbiornika do źródła jest

w

dop G

G = . (3.14a) Zgodnie ze wzorem (3.13d), sprawność źródła w stanie dopasowania wynosi

5 ,

=0

ηdop , (3.14b) a moc pobierana przez odbiornik wyraża się wzorem

w źr dop dop

dop G

U I G

P 4

2 2

.

2 = ⋅ = . (3.14c) Moc P2.dop , określona wzorem (3.14c), jest nazywana mocą dopasowania odbiornika do źródła prądowego lub mocą dysponowaną źródła prądowego.

Równoważność rzeczywistych źródeł napięciowych i prądowych

Równoważność źródeł dotyczy ich wielkości zaciskowych, tj. identyczności prądów oraz napięć na zaciskach obu źródeł (rys.).

Źródło napięciowe:

I R E

U = − _w⋅ . Źródło prądowe:

I I

I_w = _źr − czyli G_w⋅U =I_źr −I ,

więc I

G G U I

w w

źr − ⋅

= 1

.

Otrzymuje się tożsamość: I

G G I I

R E

w w źr

w⋅ ≡ − ⋅

− 1

; z niej warunki równoważności układów:

w

w G

R 1

= i _{w źr}

w źr

I G R

E= I = ⋅ ; (3.15a, b)

inne postaci:

w

w R

G = 1 i

w w

źr

R E E G

I = ⋅ = . (3.16a, b) Charakterystyki zewnętrzne źródeł równoważnych są identyczne (nie licząc zamiany ról zmien- nych).

Trzeba zaznaczyć, że na ogół źródła równoważne – ze względu na wielkości zaciskowe – nie są równoważne ze względu na straty mocy wewnątrz źródeł. W rzeczywistym źródle napięciowym straty te wynoszą

∆P_U = R_w⋅I² , (3.17a) Rw

I

E

U Gw

I

Iźr U

I_w

≡

a w rzeczywistym źródle prądowym -

∆P G U R I

I w R

w

= ⋅ ₂ = ²⋅ ²

, (3.17b) stąd ich stosunek -

∆

∆ P

P R

R

U I

= w

 



2

, (3.17c) a więc równoważność źródeł ze względu na straty mocy zachodzi tylko wtedy, gdy R= R_w, czyli w stanie dopasowania odbiornika do źródła.

Łączenie źródeł prądu stałego

Układy różnych źródeł można zastępować – ze względu na wielkości zaciskowe – jednym źródłem odpowiedniego typu. Zostaną rozpatrzone układy szeregowych i równoległych połączeń źródeł tych samych rodzajów.

Warunkiem równoważności idealnych źródeł jest równość, odpowiednio, napięcia bądź prądu źró- dłowego. Warunkiem równoważności rzeczywistych źródeł jest równość dwóch z trzech wielkości:

napięcia w stanie jałowym U₀, prądu zwarcia I_z oraz rezystancji R_w (konduktancji G_w) wewnętrznej, będącej ilorazem tych wielkości R_w = U₀ / I_z (G_w = I_z / U₀).

Połączenia wywołujące sprzeczność definicyjną są zakazane. Zakaz ten dotyczy łączenia równole- głego idealnych źródeł napięciowych o różnych napięciach źródłowych oraz łączenia szeregowego idealnych źródeł prądowych o różnych prądach źródłowych. Poza tym, wszystkie połączenia ideal- nych źródeł z innymi źródłami lub z rezystorami są dozwolone. Niektóre z nich są jednak nieistotne, tzn. nie wpływają na wypadkową charakterystykę U (I) lub I (U) układu (ale mają wpływ na straty mocy w układzie wewnętrznym).

Przykłady nieistotnych połączeń elementów z idealnym źródłem napięciowym:

Przykłady nieistotnych połączeń elementów z idealnym źródłem prądowym:

Szeregowe połączenie idealnych źródeł napięciowych:

∑

=

= ⁿ

k k

zast E

E

1

. (3.18a) Szeregowe połączenie rzeczywistych źródeł napięciowych:

≡

E E

1

2

1

2 R_wr

E Er

1

2 R_r

E E

1

2

Iźr E

1

2 1

2

E Iźr Gw

1

2 Iźr

Iźr

1

2 Iźr

Iźr.s G_ws

1

2 Iźr

≡

1

2 Iźr

R

1

2 Iźr

E

1

2 Iźr

R E

E1 E2 En E

≡

E1 Rw1 E2 Rw2 En Rwn E

≡

∑

= ⁿ

k k

zast E

E

1

,

∑

=

= ⁿ

k wk zast

w R

R

1

. . (3.18a, b) Równoległe połączenie idealnych źródeł prądowych:

∑

=

= ⁿ

k k źr zast

źr I

I

1 .

. . (3.19a)

Równoległe połączenie rzeczywistych źródeł prądowych:

∑

=

= ⁿ

k k źr zast

źr I

I

1 .

. ,

∑

=

= ⁿ

k wk zast

w G

G

1

. . (3.19a, b) Równoległe połączenie rzeczywistych źródeł napięciowych:

∑

∑

=

=

⋅

=

= _n

k wk n

k

k wk

zast w

zast źr zast

G E G G

E I

1 1 .

. ,

∑

=

= _n

k wk zast

w zast w

G G R

1 .

.

1

1 , (3.20a, b)

Szeregowe połączenie rzeczywistych źródeł prądowych:

∑

∑

=

=

⋅

=

= _n

k wk n

k

k źr wk

zast w

zast zast

źr

R I R R

I E

1 1

.

.

. ,

∑

=

= _n

k wk zast

w zast w

R R G

1 .

.

1

1 . (3.21a, b)

≡

Iźr.1 Iźr.2 Iźr.n Iźr.zast

Iźr.1 ^Gw1 Iźr.2 ^Gw2 Iźr.n ^Gwn

≡

E1 En

Rw1 Rwn

≡

(Gw1) (Gwn) Gw1 E1

Gwn En

Gw1

Gwn

≡

Rw. zast

(Gw. zast)

Ezast

Iźr.1

Gw1

(Rw1)

Iźr.n

Gwn

(Rwn)

Rw1

E1

Rwn

En

≡

≡

...

...

...

...

... ...

Linia zasilająca odbiornik prądu stałego

Jeśli źródła i odbiorniki prądu stałego są oddalone od siebie, to przekazywanie energii między nimi odbywa się za pośrednictwem linii energoelektrycznych (elektroenergetycznych). Linie te składają się zwykle z przewodów umieszczonych obok siebie, tworzących zespoły (wiązki) nazywane torami elektroenergetycznymi.

Tor elektroenergetyczny to pojedynczy zespół przewodów, którym można przesłać energię ze źródła do odbiornika. Linie elektroenergetyczne buduje się jako jedno- lub dwutorowe. Używane są do tego przewody gołe (bez izolacji stałej) oraz kable i przewody izolowane (jedno- bądź wielożyłowe).

Powietrzna bądź stała izolacja między przewodami linii zasilającej jest z zasady na tyle dobra, że można nie uwzględniać konduktancji poprzecznej. Dwuprzewodowa linia prądu stałego (rys.) jest więc reprezentowana na schemacie przez całkowitą rezystancję podłużną skupioną, nazywaną krót- ko rezystancją linii (toru), która jest równa sumie rezystancji żył obu przewodów zasilających:

2 2

2 1 1

1 2

1 S

l S R l

R

R_{L L L}

+ ⋅

= ⋅ +

= γ γ , (3.22)

gdzie: RL – rezystancja linii; RL1, RL2 – re- zystancje przewodów linii; l₁, l₂ – długości przewodów linii; γ1, γ2 – przewodność wła- ściwa (konduktywność) wzdłużna przewo- dów linii; S1, S2 – pola przekrojów przewo- dów linii.

Parametrami odbiornika są: napięcie U oraz alternatywnie: prąd I, moc P =U I, albo rezystancja zastępcza R = U/I = U²/P. Odbiornik obciąża źródło i linię zasilającą, w wyniku czego powstaje w linii spadek napięcia i strata mocy.

Spadek napięcia ∆^UAB w linii prądu stałego jest to różnica wartości napięcia na początku linii U_A (w punkcie A - po stronie źródła) i na końcu linii U_B = U (w punkcie B - po stronie odbiornika):

R U R U

P I R

R U U

U_AB = _A − _B = _L⋅ = ^L⋅ = ^L⋅

∆ . (3.23a)

Na rys. a przedstawiono schemat jednokreskowy toru elektroenergetycznego, odpowiadający jego schematowi pełnemu.

Na schematach jednokreskowych nie rysuje się symboli graficznych, tylko opisuje linie symbolami słownymi lub danymi liczbowymi elementów, co zapewnia przejrzystość i czytelność informacji.

Jeśli zmienną jest odległość x od początku linii, to można narysować wykresy zmienności napię- cia U_x(x) i spadku napięcia ∆^UAx(x), pokazane na rys. b.

W praktyce operuje się często procentowym spadkiem napięcia

% 100

% 100

%

100 ₂

% = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

R R U

P R U

u _AB ∆U^{AB L L}

∆ . (3.23b)

Strata mocy ∆^PAB w linii prądu stałego wynosi

R P R U

P I R

R I U

P_AB =∆ _AB⋅ = _L⋅ ² = ^L⋅₂ ² = ^L⋅

∆ , (3.24a)

a procentowa strata mocy w tej linii –

% 100

% 100

%

100 ₂

% = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

R R U

P R P

p _AB ∆P^{AB L L}

∆ . (3.24b)

(L1-A) I RL1 (L1-B)

RL2

(P+∆P) ∆P P E UA UB U R

(L2-A) (L2-B)

a)

b)

UA RL UB = U I

I ; I ; P + ∆P P Ux

UA

UB ∆UAB

∆ ^UAx

xA xB

0 x

Ze wzorów (3.23b) i (3.24b) wynika, że w linii prądu stałego procentowy spadek napięcia jest rów- ny procentowej stracie mocy:

%

% p

u ∆

∆ = . (3.25) Obok na rysunku została pokazana trój-

przewodowa linia prądu stałego z prze- wodami „skrajnymi” L1 i L2 oraz prze- wodem „środkowym” L0. Podstawowe znaczenie ma praca przy symetrii źródła i odbiornika, co oznacza: E1 =E2 =E;

L L

L R R

R ₁ = ₂ = ^; R₁=R₂ =R^.

Uzyskuje się wówczas: I1=I2 =I; I₀ =0.

Prąd, spadek napięcia i strata mocy w przewodzie „środkowym” są więc równe zeru przy idealnej symetrii układu, a odpowiednio małe, gdy asymetria obciążenia jest niewielka. Przekrój przewodu środkowego” może być dlatego mniejszy od przekroju przewodów „skrajnych”.

Dzielnik napięcia. Rozszerzanie zakresu pomiarowego woltomierza

Połączone szeregowo rezystancje (rys. a) tworzą dzielnik napięcia.

Napięcie zasilające ten układ „dzieli się” na rezystancjach proporcjo- nalnie do ich wartości:

U R I R U

R R

R

R R U

1 1 1

1 2

1

1 2

= ⋅ = ⋅

+ =

+ ⋅ , (3.26a)

U R I R U

R R

R

R R U

2 2 2

1 2

2

1 2

= ⋅ = ⋅

+ =

+ ⋅ . (3.26b) Układ dzielnika napięcia jest wykorzystywany m.in. do rozszerzania zakresu pomiarowego woltomierza prądu stałego (rys. b). Aby zakres pomiarowy woltomierza o rezystancji R_V rozszerzyć n razy, trzeba po- łączyć z nim szeregowo taki rezystor Rd (opornik dodatkowy), że U

U n

V = 1

czyli R

R R n

V

V + d = 1

,

więc R_d = − ⋅

(

)

Dzielnik prądu. Rozszerzanie zakresu pomiarowego amperomierza

Połączone równolegle konduktancje (rys. a) tworzą dzielnik prądu.

Prąd dopływający do tego układu „dzieli się” na prądy gałęziowe pro- porcjonalnie do wartości konduktancji gałęzi:

R I R I R G G

G G

G G I U G

I ⋅

= + + ⋅

+ =

⋅

=

⋅

=

2 1

2 2

1 1 2

1 1 1

1 , (3.28a)

R I R I R G G

G G

G G I U G

I ⋅

= + + ⋅

+ =

⋅

=

⋅

=

2 1

1 2

1 2 2

1 2 2

2 . (3.28b)

Układ dzielnika prądu jest wykorzystywany m.in. do rozszerzania za- kresu pomiarowego amperomierza prądu stałego (rys. b). Aby zakres pomiarowy amperomierza o rezystancji RA rozszerzyć n razy, trzeba połączyć z nim równolegle taki rezystor Rb (bocznik), że

n I I_A 1

= czyli

n R R

R

b A

b 1

+ = ^,

więc

−1

= n

R_b R^A . (3.29) (L1-A) I1 RL1 (L1-B)

E1 U(L0-A) IA1 U0 RL0 (L0-B)B1 R1

(L2-A) I2 RL2 (L2-B)

E2 UA2 UB2 R2

U

U1

U2

R1

R2

a) I

b)

U

UV RV

Rd

V

a)

b) U

I1 I2

G1 G2

I

IA Ib

RA Rb

A I