ZASADY ENERGOELEKTRYKI

Cezary Łucyk

ZASADY ENERGOELEKTRYKI

DODATEK

P r z y k ł a d y o b l i c z e n i o w e

SPIS TREŚCI

D.1. Transformator trójfazowy ... 245

D.2. Maszyny indukcyjne ... 252

D.3. Maszyny prądu stałego ... 260

D.4. Trójfazowe linie zasilające ... 263

D.1. TRANSFORMATOR TRÓJFAZOWY

Przykład 1-1. Mając dane katalogowe transformatora trójfazowego T3Ea-25/6, obliczono:

a) parametry jego schematu zastępczego o konfiguracji Γ - przy napięciu pierwotnym (rys. D.1.1), b) moc bierną magnesującą, c) względne spadki napięcia przy obciążaniu prądem o wartościach 0,5 I_{2 n} i I_{2 n} , gdy obciążenie ma charakter: czynny, indukcyjny o cos

ϕ

2 = 0,6 i pojemnościowy o cos

ϕ

2 = 0,6, d) całkowite czynne i bierne moce własne oraz sprawności - przy obciążeniach jw.

Dane:

S_n = 25 kVA, U_{1 n} = 6,3 kV, U2 n = 0,4 kV,

∆PFe n = 185 W (straty jałowe),

∆PCu n = 650 W (straty obciążeniowe),

∆u_{z % n} = 4,5 % (napięcie zwarcia),

i0 % n = 4,5 % (prąd względny jałowy). Rys. D.1.1. Schemat Γ jednej fazy transformatora Wzory i obliczenia:

a) ₂

1 2 2 1

1 2 1 2

1

1 3 3

3

n n z n n z n

z n

Cu U

R S U R S I

R

P = = =

∆

(z założenia I_1n ≈I'_2n),

100 100

3

100 ₂

1 1 1

1 1

1 1 1

% ⋅ = ⋅

⋅

= ⋅

⋅

=

n n z n

n f

n z

n f

n z n

z U

Z S U

U

S Z U

I u Z

∆

^,

gdzie Z_z1 = R_z1 + j X_z1 , czemu odpowiada zależność Z_z²₁ =R_z²₁+X_z²₁ oraz analogiczne wyrażenia na składowe procentowe straty napięcia:

- czynną ₂ 100 100

1 1

% = ⋅ = ⋅

n n Cu

n n z n

R S

P U

R S

u

∆

∆

^,

- bierną ₂ ²_% ²_%

1 1

% 100 _{z n R n}

n n z n

X u u

U X S

u

∆ ∆

∆

= ⋅ = − ,

stąd obliczono R z 1 i X z 1 : 1. sposobem -

28 , 10 41

25 10 3 , 650 6 _{2 6}

6 2

2 2 1

1 ≈

⋅

⋅ ⋅

=

=

n n n Cu

z S

P U

R

∆

Ω ;

44 , 10 71

25 10 3 , 6 100

5 , 4

100 ³

6 2 2

1

%

1 ≈

⋅

⋅ ⋅

=

⋅

=

n n n z

z S

U Z

∆

u

Ω , 31 , 58 28 , 41 44 ,

71 ^{2 2}

2 1 2

1

1 = _z − _z = − ≈

z Z R

X Ω ;

2. sposobem -

6 , 2 10 100

25 100 650₃

% ⋅ ≈

= ⋅

⋅

=

n n Cu n

R S

u

∆

P

∆

^{% ,}

28 , 10 41

25 10 3 , 6 100

6 , 2

100 ³

6 2 2

1

%

1 ≈

⋅

⋅ ⋅

=

⋅

=

n n n R

z S

U R

∆

u

Ω ,

I 1 X z 1 R z 1 I’2

U 1 f

X_µ

U’_{2 f} Z’obc

I_µ I Fe

R Fe

I ₀

673 , 3 6 , 2 5 ,

4 ^{2 2}

2

% 2

%

%_n = _{z n} − _{R n} = − ≈

X u u

u

∆ ∆

∆

^{% ,}

31 , 10 58

25 10 3 , 6 100

673 , 3

100 ³

6 2 2

1

%

1 ≈

⋅

⋅ ⋅

=

⋅

=

n n n X

z S

U X

∆

u

Ω ;

Fe n

Fe n f Fe n

Fe Fe n

Fe R

U R

R U I

R P

2 1 2

2 2 1

3

3 = =

∆

= ^,

stąd obliczono ³

6 2 2

1 214,5 10

185 10 3 ,

6 ⋅ ≈ ⋅

=

=

n Fe

n

Fe P

R U

∆

Ω = 214,5 kΩ ;

100 100

) 3 ( /

100 ₀

2 1

1 0 1

1 0

%

0 ⋅ = ⋅ ⋅

⋅

= ⋅

⋅

= Y

S U U

S

Y U I

i I

n n

n n

n f

n n

n ,

gdzie Y0 =G_Fe + j B_µ oraz Y₀² =R_Fe² +X_µ^{2 ,}

Fe

Fe R

G 1

= ,

µ

µ X

B 1

= ,

stąd obliczono: _{2 6} ⁶

3 2

1

% 0

0 31,5 10

10 3 , 6

10 25 100

5 100

⋅ −

⋅ ≈

⋅ ⋅

=

⋅

=

n n n

U i S

Y S ,

6 3 4,66 10 10

5 , 214

1

1 ≈ ⋅ ₋

= ⋅

=

Fe

Fe R

G S ,

6 2

2 6 2

2

0 − =10⁻ 31,5 −4,66 ≈31,15⋅10⁻

= Y GFe

B_µ S ,

3 6 32,1 10 10

15 , 31

1

1 ≈ ⋅

= ⋅

= ₋

µ

µ B

X Ω = 32,1 kΩ ,

b) Q_{µ n} =3U₁²_fn B_µ =U₁²_n B_µ =6,3²⋅10⁶ ⋅31,15⋅10⁻⁶ ≈1236 var ,

albo inaczej: 25 10 1250

100 5 100

% 3 0

0_n = i ⁿ ⋅S_n = ⋅ ⋅ =

S VA ,

Qµ _n = S₀²_n −

∆

P_Fe²_n = 1250² −185² ≈1236 var , c) założenie:

0 ≈0

I , I₁ =I '₂

Rys. D.1.2. Obwód i odpowiadający mu wykres wskazowy prądu i napięć jednej fazy transformatora (po stronie pierwotnej), wykorzystany do wyprowadzenia wzorów na spadek napięcia

I 1 X z 1 R z 1 I’2

U _{1 f} U’2 f Z’_obc

U X 1 U R 1

U R 1

U 1 f

U’2 f

I 1 = I’2

U X 1

ϕ

∆

^U 1 f

∆

^U c 1 f

∆

^U b 1 f

f f

f f

f U U U U

U₁ = ₁ − '₂ = ₁ − '₂

∆ (spadek napięcia pierwotnego fazowego),

(

^{2 1}

)

^{2 21}

1_f U' _f U_{c f} U_{b f}

U = +∆ +∆ (napięcie pierwotne fazowe), ϕ

ϕ

∆Uc1f =UR1⋅^cos +UX1⋅^sin (podłużna strata napięcia pierwotnego fazowego), ϕ

ϕ

∆U_b1_f =U_X1⋅^cos −U_R1⋅^sin (poprzeczna fazowa strata napięcia pierwotnego), fazowe napięcie znamionowe - założenie: U'_2f =U_1fn ,

(

^{fn c f}

)

^{b f fn}

f U U U U

U₁ = ₁ +∆ ₁ ² +∆ ²₁ − ₁

∆ ^,

oznaczenia:

I n

y I

1

= 1 - względne obciążenie prądowe,

100

1 1

% = ⋅

n f

f

U u

∆

U

∆

- procentowy spadek napięcia,

y u U

I I U S S

U u

I I I R I R

U ^{R n} _fn

n n n

n n n R

n n z z

R = = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ 1 ⋅

%

1 1

1 2

1

%

1 1 1 1 1 1

1 100 3 100

∆

∆

,

y u U

I I U S S

U u

I I I X I X

U ^{X n} _fn

n n n

n n n X

n n z z

X = = = ⋅ ⋅ ⋅ = ^% ⋅ ₁ ⋅

1 1

1 2

1

%

1 1 1 1 1 1

1 100 3 100

∆

∆

;

wzór dokładny:

( )

[ ] [ ( ) ]

, 100 1

100

100 sin

cos sin

cos 100

2 2

2

%

% 2

%

%

%

− +

=

− +

=

=

−

⋅

⋅

−

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅ +

=

x a b

a

y u

u y

u u

u

∆

_{R n}

ϕ ∆

_{X n}

ϕ ∆

_{X n}

ϕ ∆

_{R n}

ϕ

∆

gdzie: ^{a =100+}

( ^∆

^uR%n⋅cos

^ϕ

⁺

^∆

^uX%n⋅sin

^ϕ )

^{⋅y ,}

(

^{u u}

)

^y

b=

∆

_X%_n⋅^cos

ϕ

−

∆

_R%_n⋅^sin

ϕ

⋅ ,

2 2

a x=b ,

wzory przybliżone - na podstawie rozwinięcia ...

16 1 8

1 2 1 1

1+x = + x− x² + x³ − (1)

^∆

^{u%(1) =a−100=}

( ^∆

^{uR%n ⋅cos}

^ϕ

⁺

^∆

^{uX%n ⋅sin}

^ϕ )

^{⋅y ,}

(2)

a u b

x u a

u = + ⋅ = + ⋅

2 2

2 ) 1 (

% )

1 (

% )

2 (

%

∆ ∆

∆

^;

wyniki obliczeń

y Charakter obciążenia ∆u % ∆u % (1) ∆u % (2)

0,5 czynny 1,317 1,300 1,317 0,5 indukcyjny, cos ϕ = 0,6 2,249 2,249 2,249 0,5 pojemnościowy, cos ϕ = 0,6 -0,666 -0,689 -0,666 1 czynny 2,666 2,600 2,666 1 indukcyjny, cos ϕ = 0,6 4,498 4,498 4,498 1 pojemnościowy, cos ϕ = 0,6 -1,285 -1,378 -1,285

- wyniki otrzymane ze wzoru (1), odpowiadające podłużnej stracie napięcia, są obarczo- ne niewielkim błędem,

- wyniki otrzymane ze wzoru (2) są bardzo dokładne, praktycznie bezbłędne,

d) _n ^{X n} _n

n n

n n n X n

z

n u S

y Q U y

S S U Q u

I X Q

Q ⋅ = + ⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅

⋅ +

= +

= 3 3 100 3 ₂ ^{2 2} 100^%

1 2 2

1 2 %

1 1

∆

∆

µ µ

∆

µ ,

∆

P=

∆

P_Fen +y² ⋅

∆

P_Cun ^,

_{2 2 2} ^% ₂

2 2

2 2 2 2

2

2 cos

1 100 cos

3 cos

3

ϕ

n n

ϕ

n

ϕ

n n

S u y

I I U

I U I U

U

P 



 



 −

=

⋅

⋅

=

= ,

P P

P

η ∆

= +

2

2 ;

wyniki obliczeń

y Charakter obciążenia ∆Q (var) ∆P (W) P2(W) η 0,5 czynny 1466 348 12335 0,973 0,5 indukcyjny, cos ϕ = 0,6 1466 348 7331 0,955 0,5 pojemnościowy, cos ϕ = 0,6 1466 348 7550 0,956 1 czynny 2154 835 24334 0,967 1 indukcyjny, cos ϕ = 0,6 2154 835 14325 0,945 1 pojemnościowy, cos ϕ = 0,6 2154 835 15193 0,948

Przykład 1-2. Pokazano, jak wpływają zmiany indukcji magnetycznej, wywołane zmianami napięcia zasilającego oraz przełączaniem zaczepów uzwojenia pierwotnego, na straty mocy w rdzeniu

∆

^PFe , moc magnesującą Q_µ , prąd jałowy I_µ oraz parametry schematu zastępczego (R_Fe , X_µ , R_z , X_z) transformatora trójfazowego T3Ea-25/6 (badanego poprzednio). Zakłada się, że indukcja magnetyczna w całym rdzeniu (w kolumnach i jarzmach) jest jednakowa;

wartość maksymalna tej indukcji przy zasilaniu napięciem znamionowym wynosi Bm n = 1,2 T (n - indeks oznaczający wartości nominalne). Przyjęto charakterystykę magnesowania

„rdzeń 0,5”, zamieszczoną w podręczniku „Elektrotechnika podstawowa” (str. 205, zad. 7-1).

Wzory i obliczenia:

- napięcie U₁ =k₁z₁B_m , stąd indukcja

ϑ

¹

2 1 1 1 1

k U z k U

B_m = ⁻ = oraz

ϑ ϑ

n n n m

m

U U B

B = ⋅

1

1 ,

gdzie: k1, k2 - stałe, z1,

ϑ

- liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i przekładnia transformatora, ulegające zmianom wskutek przestawiania przełącznika zaczepów, przy czym

2 1

z k_u z

ϑ

= ^(ku – stała układu połączeń, z2 - liczba zwojów uzwojenia wtórnego), - straty mocy w rdzeniu ∆P_Fe =∆P_h +∆P_w =k_h f B_m² +k_w f² B_m^{2 ;}

gdy f = const., to ∆P_Fe =k₃B_m^{2 oraz}

2 2

1 1 2



 



⋅











=











=

ϑ ϑ

∆

∆

n

n n

m m

n Fe

Fe

U U B

B P

P

gdzie: kh, kw, k3 - stałe, - prąd magnesujący

1 4 z k H

I_µ = ^m , moc magnesująca Q_µ = 3U₁I_µ ,

stąd

n m

m n

n H

H I

I = ⋅

ϑ ϑ

µ

µ oraz

n m

m n

n n n

n H

H U

U I

I U

U Q

Q = ⋅ = ⋅ ⋅

ϑ ϑ

µ µ µ

µ

1 1 1

1 ,

gdzie: Hm =Hm

( )

Bm , k4 - stała,

- moc jałowa ^S₀ =

∆

^PFe² +^Q_µ² , prąd jałowy

1 0

0 3 U

I = S ,

stąd

1 1

0 0

0 0

U U S

S I

I n

n n

⋅

= ,

- rezystancja poprzeczna (przy napięciu pierwotnym)

Fe

Fe P

R U

∆

2

= 1 ,

zatem

2 2

1

1 







=

 ⋅











=

n Fe

n Fe

n n

Fe Fe

P P U

U R

R

ϑ ϑ

∆

∆

,

- reaktancja poprzeczna (przy napięciu pierwotnym)

µ

µ Q

X U

2

= 1 ,

zatem

m n m

n n

n

n H

H U

U Q

Q U

U X

X  ⋅ = ⋅ ⋅









=

ϑ ϑ

µ µ

µ µ

µ

1 1 2

1

1 ,

- rezystancja podłużna R_z1 i reaktancja podłużna X_z1 (przy napięciu pierwotnym), zależne od liczby zwojów uzwojenia pierwotnego z1 (pozycji „zerowej” przełącznika zaczepów odpowiadają: nominalna liczba zwojów z₁ = z_1n , nominalna wartość przekładni

ϑ

=

ϑ

_n oraz nominalne wartości rezystancji podłużnej R_z1 =R_z1n i reaktancji podłużnej

n z

z X

X ₁ = ₁ ; ze zmianą liczby zwojów w stosunku z n

z

1

1 zmienia się przekładnia

w stosunku

n

n z

z

1

= 1

ϑ ϑ

; obliczone nominalne wartości rezystancji podłużnej R_z1n i reaktan- cji podłużnej X_z1n rozdzielono „po połowie” na uzwojenie pierwotne i wtórne):







 +

⋅

⋅

 =







⋅ +

⋅

=

n n

n z

n n z

n n z z

R R

R R

ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϑ

1

2 2

2

1 2 1

1 1

(pierwszy składnik wyrażenia na Rz 1 odnosi się wprost do zmiany długości drutu nawojowego wraz ze zmianą z1 , zaś drugi - z przeliczeniem rezystancji ze strony wtórnej na stronę pierwotną wg zmienionej wartości przekładni),

2

1 2 1

2 1

1 2 2 







= 







⋅

 +







⋅

=

n n z n

n z

n n z

z X X X

X

ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ ϑ

(pierwszy składnik wyrażenia na Xz 1 wynika wprost ze zmiany indukcyjności wraz ze zmianą liczby zwojów z1 , zaś drugi - z przeliczeniem reaktancji ze strony wtórnej na stronę pierwotną wg zmienionej wartości przekładni),

zatem 







 +

⋅

⋅

=

n n

n z

z

R R

ϑ ϑ ϑ

ϑ

1 5

, 0

1

1 ,

2

1

1 







=

n n z

z

X X

ϑ ϑ

;.

przyjęto zmiany przekładni o: –5%, +5%, oraz zmiany napięcia zasilającego o: –10%, –5%, +5% (względem wartości nominalnych: przekładni

ϑ

n i napięcia U1 n );

wyniki obliczeń (najmniejsze i największe wartości względne wyników pogrubiono)

ϑ / ϑn U1 / U1 n Bm / Bm n Bm (T) Hm (A/m) Hm / Hm n ∆PFe /∆PFe n ∆PFe (W) Qµ / Qµ n

0,95 0,90 0,9474 1,1368 872,0 0,8683 0,8975 166,0 0,8226 0,95 0,95 1,0000 1,2000 1004,2 1,0000 1,0000 185,0 1,0000 0,95 1,00 1,0526 1,2632 1182,9 1,1779 1,1080 205,0 1,2399 0,95 1,05 1,1053 1,3263 1424,1 1,4182 1,2216 226,0 1,5675 1,00 0,90 0,9000 1,0800 779,4 0,7761 0,8100 149,9 0,6985 1,00 0,95 0,9500 1,1400 877,7 0,8741 0,9025 167,0 0,8304 1,00 1,00 1,0000 1,2000 1004,2 1,0000 1,0000 185,0 1,0000 1,00 1,05 1,0500 1,2600 1172,6 1,1677 1,1025 204,0 1,2261 1,05 0,90 0,8571 1,0286 706,9 0,7040 0,7347 135,9 0,6034 1,05 0,95 0,9048 1,0857 787,9 0,7846 0,8186 151,4 0,7099 1,05 1,00 0,9524 1,1429 883,0 0,8793 0,9070 167,8 0,8374 1,05 1,05 1,0000 1,2000 1004,2 1,0000 1,0000 185,0 1,0000

ϑ ^/ ϑn U1 / U1 n Q_µ (var) S0 (VA) S0 / S0 n I_µ / I_µ n I0 / I0 n

0,95 0,90 1017 1030 0,8243 0,9140 0,9159

0,95 0,95 1236 1250 1,0000 1,0526 1,0526

0,95 1,00 1533 1546 1,2372 1,2399 1,2372

0,95 1,05 1937 1951 1,5607 1,4928 1,4864

1,00 0,90 863 876 0,7011 0,7761 0,7790

1,00 0,95 1026 1040 0,8320 0,8741 0,8758

1,00 1,00 1236 1250 1,0000 1,0000 1,0000

1,00 1,05 1515 1529 1,2235 1,1677 1,1652

1,05 0,90 746 758 0,6066 0,6704 0,6740

1,05 0,95 877 890 0,7124 0,7472 0,7499

1,05 1,00 1035 1049 0,8390 0,8374 0,8390

1,05 1,05 1236 1250 1,0000 0,9524 0,9524

ϑ ^/ ϑn U1 / U1 n RFe / RFe n X_µ / X_µ n Rz1 / Rz1 n Xz1 / Xz1 n

0,95 0,90 0,9025 0,9847 0,9263 0,9025 0,95 0,95 0,9025 0,9025 0,9263 0,9025 0,95 1,00 0,9025 0,8065 0,9263 0,9025 0,95 1,05 0,9025 0,7034 0,9263 0,9025 1,00 0,90 1,0000 1,1597 1,0000 1,0000 1,00 0,95 1,0000 1,0869 1,0000 1,0000 1,00 1,00 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,00 1,05 1,0000 0,8992 1,0000 1,0000 1,05 0,90 1,1025 1,3424 1,0763 1,1025 1,05 0,95 1,1025 1,2714 1,0763 1,1025 1,05 1,00 1,1025 1,1941 1,0763 1,1025 1,05 1,05 1,1025 1,1025 1,0763 1,1025

warto zauważyć, że wszystkie z badanych wielkości cechuje duża wrażliwość na zmiany przekładni i napięcia zasilającego, przy czym w największym stopniu odnosi się do: Q_µ i I_µ, S₀ i I₀, oraz X_µ .

Przykład 1-3. Pokazano, że zmiany przekładni trójfazowego T3Ea-25/6 (wyżej badanego), wywołane przełączaniem zaczepów uzwojenia pierwotnego, wpływają na wartość obciążenia, przy którym sprawność transformatora jest największa.

Wzory i obliczenia:

I n

y I

1

= 1 - względne obciążenie prądowe (oznaczenie jw.);

straty mocy w miedzi:

∆

P_Cu =3R_z1I₁^{2 ,}

∆

P_Cun=3R_z1_n I1²_n ^,

czyli _Cun

n n

n Cu n

n z

z

Cu P y P

I I R

P R

∆

ϑ ϑ ϑ ϑ

∆

∆

⋅ ⋅







 +

⋅

⋅

=

 ⋅











⋅

= ²

2

1 1

1

1 0,5 1 ;

straty mocy w rdzeniu (gdy f = const. i U1 = U1 n = const):

2



 



=

ϑ ϑ

∆

∆

n

n Fe

Fe

P

P ,

czyli P_Fe ⁿ

∆

P_Fen

ϑ

∆ ϑ

 ⋅



 



=

2

;

warunek największej sprawności (przy y = ymax ):

∆

P_Cu =

∆

P_Fe ,

czyli _Cun ⁿ _Fen

n n

P P

y

∆

ϑ

∆ ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϑ

_{ ⋅}



 



=

⋅

⋅







 +

⋅

⋅

2 2

1 max

5 ,

0 ,

stąd _{max 3}

1 2















 +

⋅

=

n n

n Cu

n Fe

P P y

ϑ ϑ ϑ ϑ

∆

∆

;

wyniki obliczeń

ϑ ^/ ϑ n y _max

0,90 0,641

0,95 0,584

1,00 0,533

1,05 0,490

1,10 0,451

D.2. MASZYNY INDUKCYJNE

Przykład 2-1. Mając dane katalogowe trójfazowego silnika klatkowego Sf-132 M-6A, obliczono: a) moce (pozorną, czynną i bierną) pobierane z sieci przy pracy znamionowej, b) poślizg sn i moment Mn - przy pracy znamionowej, moment maksymalny Mm, moment rozruchowy Mr i prąd rozruchowy Ir , c) poślizg krytyczny sm , wartość Mr /Mm oraz wartości prędkości obrotowej przy niedociążeniu momentem w 50% i przeciążeniu momentem w 50%, d) straty mocy czynnej w uzwojeniu wirnika i w uzwojeniu stojana przy pracy znamionowej.

Dane znamionowe: Un = 380 V, fn = 50 Hz, Pn = 4 kW, nn = 960 obr/min, In = 9,7 A,

η

n = 0,835, cos

ϕ

n = 0,75, Ir / In = 6,0, Mr / Mn = 2,7, Mm / Mn = 3,0.

Wzory i obliczenia:

a) S₁n = 3Un In = 3⋅380⋅9,7≅6384 VA≅6,4 kVA, P_1n =S_1n⋅cosϕ_n ≅6,4⋅0,75=4,8 kW^,

albo 4,8kW

835 , 0

4

1 = = ≅

n n n

P P

η

^,

Q_1n =S_1n⋅sinϕ_n ≅6,4⋅0,66≅4,2kvar^,

albo Q_1n = S₁²_n −P₁²_n ≅ 6,4² −4,8² ≅4,2kvar,

b) 0,04

1000 960 1000

1

1− = − =

= n

n

s_n n ⁿ ,

gdzie n1 to prędkość synchroniczna silnika, obliczona ze wzoru

p n 60 f

1 = dla domyślnej liczby par biegunów p (liczba naturalna), przy której n1 jest najbliższą, wyższą od nn z obliczonych tak liczb: 3000, 1500, 1000, 750, 600, ... (tutaj nn = 960 obr/min, więc z warunku 1000 > 960 wynika, że n1 = 1000 obr/min, zaś p = 3),

39,8 Nm

960 2

4000 60 2

60 ≅

⋅

= ⋅

=

=

ω π

n

π

n

n n

n n

P

M P ,

= ⋅ n ≅3⋅39,8=119,4 Nm

n m

m M

M

M M ,

= ⋅ n ≅2,7⋅39,8≅107,4 Nm

n r

r M

M

M M ,

= ⋅ _n =6⋅9,7=58,2A

n r

r I

I

I I ,

c) poślizg krytyczny sm - ze wzoru będącego rozwiązaniem szczególnym algebraicznego równania kwadratowego, uzyskanego z uproszczonego wzoru Klossa -

^{2 1} _^=0,04⋅

(

^{3+ 32 −1}

)

^≅0,233













 −





 + 

=

n m

n m n

m M

M M

s M

s ,

z danych katalogowych -

0,9

3 7 , 2

kat

=

=

 =







=









n m

n r

m r

m r

M M

M M M

M M

M ,

ze wzoru Klossa przy rozruchu (s = 1) -

0,442

233 , 0 233 1 , 0

2 1

2

obl

≅ +

≅ +

 =









m m m

r

s s M

M ,

niezgodność powyższych wartości (0,442 ≠ 0,9) świadczy o niestandardowym (niekoło- wym) przekroju prętów klatki, skutkującym tzw. „wypieraniem” prądu w czasie rozruchu (wartość 0,9 stosunku Mr /Mm jest oczywiście wiarygodna); wyklucza to stosowanie wzoru Klossa w zakresie wartości poślizgu s bliskich 1, lecz nie przekreśla jego przydatności w zakresie 0 < s < sm , co wykorzystano poniżej;

poślizg s = s_y - ze wzoru będącego rozwiązaniem ogólnym algebraicznego równania kwadratowego (uzyskanego z uproszczonego wzoru Klossa), z wymuszeniem (obciąże- niem mechanicznym) względnym y = M / Mn jako zmienna niezależna -

















 −







− 

=













−



 



− 

=

= 1 1

2 2

y M M y

M s M

M M M

s M s

s _{y m} ^{m m} _m ^{m n m n} ,

stąd ^{0,5 0,233} ₀³_{,5 0}³_,5 ^{2 1}_^=0,233⋅

(

^{6− 35}

)

^≅0,0196













−



 



− 

⋅

=

s ,

prędkość obrotowa ^{ny =n1}

(

^1−sy

)

^-

(

^{1 0,0196}

)

⁹⁸⁰

5 1000

,

0 = ⋅ − =

n obr/min,

(

^{1 0,0624}

)

⁹³⁸

5 1000

,

1 = ⋅ − =

n obr/min,

d) straty mocy w uzwojeniu wirnika przy pracy znamionowej -

(

^{n mn}

)

n n n

Cu P P

s

P s

∆

∆

⋅ +

= −

2 1 ,

gdzie

∆

^Pm n - straty mechaniczne; zwykle przyjmuje się

∆

^Pm n = 0,005 P_n ,

więc 4000 167,5W

04 , 0 1

04 , 0 005 , 1 1

005 , 1

2 ⋅ =

−

= ⋅

− ⋅

= _n

n n n

Cu P

s P s

∆

^;

założono, że silnik ma największą sprawność przy obciążeniu znamionowym, więc łączne straty w uzwojeniach stojana i wirnika przy pracy znamionowej ∆P_Cun =∆P_Cu1n +∆P_Cu2n -

395,2 W

2 4000 835

, 0

835 , 0 1 2 1

2

1 + = − ⋅ = − ⋅ ≅

= ⁿ

n n n

Cu n

Cu n

Cu

P P P

P

η

∆ η

∆

∆

^;

zatem straty w uzwojeniu stojana przy pracy znamionowej - ∆PCu₁n =∆PCun −∆PCu₂n =395,2−167,5=227,7 W

Przykład 2-2. Wyprowadzono wzory dotyczące rozruchu silnika pierścieniowego, tzn. dobo- ru rozrusznika o odpowiedniej liczbie sekcji oraz obliczenia największych i najmniejszych wartości chwilowych momentu rozruchowego i prądu rozruchowego.

Mając dane katalogowe silnika pierścieniowego, dobrano do niego taki rozrusznik, że współ- czynnik mechaniczny nierównomierności momentu

ε

_M =M₁ M₂ ≤2 oraz: a) M₁ =M_m ; b) M₁ M_n =2,5 , gdzie M₁, M₂ - największe i najmniejsze wartości chwilowe momentu w czasie rozruchu, przy czym M₂ >M_n (warunek dokonania rozruchu).

a)

b)

Rys. D.2.1. Objaśnienie symboli związanych z rozruchem silnika pierścieniowego: a) schemat połączeń elementów w każdej z faz wirnika, b) charakterystyki mechaniczne i pokazane na nich

zmiany poślizgu i momentu silnika w czasie rozruchu z rozrusznikiem 3-sekcyjnym;

Uf 20 – napięcie indukowane w każdej z faz wirnika przy zatrzymanym wirniku (n = 0), Xw 0 – reaktancja fazy wirnika przy zatrzymanym wirniku, Rw – rezystancja fazy wirnika, r1 , r2 , ... , rm – rezystancje sekcji rozrusznika, k – numery charakterystyk (k = 0 – charakterystyka naturalna; numery sekcji rozrusznika i charakterystyk - w kolejności przeciwnej do stopni rozruchu)

U _{f 20} ^.s

WIRNIK ROZRUSZNIK (m sekcji) X _{w 0} ^.s R _w r ₁ r ₂ r _m

R _{d 1} R _{2 1}

R _{d 2} R _{2 2}

R _{d m} R _{2 m}

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

M / M_m

Mn / Mm

M₁ / M_m

M₂ / M_m

s_n s_{m n} s_{m 1} s_{m 2}

smax 0 = smin 1 smax 1 = smin 2 smax 2 = smin 3 smax 3 = 1 s k=0 k=1 k=2

k=m=3

Wyprowadzenie wzorów do doboru rozrusznika

Przyjęta numeracja rezystorów sekcyjnych i charakterystyk (przeciwna do numeracji stopni rozruchu) pozwala uzyskać prostszy zapis wzorów.

Wartość rezystancji każdej z faz obwodu wirnika zmienia się od R 2 m na pierwszym stopniu rozruchu (k = m) do Rw na ostatnim stopniu rozruchu (k = 0).

Współczynniki rozruchowe „mechaniczne”:

- przeciążalność momentem

n m

n n m

n M

M M

M =

λ

= ^;

1

1 M

M_m

λ

= ^,

2

2 M

M_m

λ

=

(rozruch można przeprowadzić, gdy M₂ >M_n , tzn.

λ

₂ <

λ

_n ), - nierównomierność momentu

1 2

2 1

λ ε

= =

λ

M M

M ,

- poślizg minimalny na stopniu k , wg wzoru (2.134), rozdz. 2, str. 89

(

^{2 22}

)

²

min_k =s_mk

λ

−

λ

−1 =s_mk ⋅

α

s ,

gdzie α₂ =λ₂ − λ²₂ −1 ^, 







 +

=

2 2 2

5 1 ,

0

α α

λ

^,

- poślizg maksymalny na stopniu k – 1 , wg wzoru jw.

(

^{1 12}

)

^{1 1}

1 1

maxk₋ =smk₋

λ

−

λ

−1 =smk₋ ⋅

α

s ,

gdzie α₁ =λ₁− λ₁² −1 ^, 







 +

=

1 1 1

5 1 ,

0

α α

λ

^,

przy czym: s_mink =s_maxk−1 ,

z k k

m X

s R

'

= 2 ,

z k k

m X

s R

' 1 2 1

−

− =

( X_z jest reaktancją zwarcia, tj. sumą reaktancji fazy stojana i reaktancji fazy wirnika przy zatrzymaniu, przeliczonej na stronę stojana – patrz: rozdz. 2, rys. 2.35 na str. 86),

zatem _r

k k

k k

k m

k m

R R R

R s

s

ε

α α

₌

=

=

=

− −

− 2

1

1 2

2 '

1 2

' 2

1

(współczynnik utworzony analogicznie do

ε

M ).

Wobec tego, przy założeniu m sekcji rozrusznika: ^{mn mm}

m

r ⋅s =s

ε

_,

ale s_maxm =smm⋅α₁ =1 (gdy m = 3, to s_max3 =1, jak na rys. 8.2.1b), czyli

1

1

=α

m

sm , stąd

m n m

r s ₁

1

ε α

= ⋅ ^(*)

Jeśli założyć m+1 sekcji rozrusznika, to ⁺¹⋅ mn = mm₊₁ m

r s s

ε

; jeśli przy tym dodatkowa sekcja rozrusznika (nieistniejąca w rzeczywistości) ma być użyta (umownie) na początku i natych-