AUTOMATY ZE STOSEM (AZS)

AUTOMATY ZE STOSEM (AZS) (PUSH-DOWN AUTOMATON PDA)

Def. Automat ze stosem (AZS) jest to układ



^{Q q F}



M  , , , ₀, , , taki że:

–  jest skończonym alfabetem (wejścia),   , –  jest skończonym alfabetem (stosu),

– Q jest skończonym zbiorem (stanów), – q₀ Q (stan początkowy),

–  :Q





 











 





 P



Q





 



 

(funkcja przejścia),

– F Q (zbiór stanów końcowych), – # (symbol dna stosu)

Opis funkcji przejścia:

Q q

q,  , a

 

 , B,B

 







q ,,a B







^q,B



znaczy:

q - bieżący stan q- nowy stan a - czytany symbol

B - symbol zdejmowany B - symbol wkładany ze stosu na stos

Uwaga! Nie zdejmujemy # ze stosu.

Oznaczenia: zamiast



q,B

 

 q,a,B



piszemy q,a,B q,B

Def. Konfiguracją nazywamy układ



^{q ,,x y}



^{, taki że qQ, x, y.}

Konfiguracja początkowa:



^q₀^,x,#



Konfiguracja akceptująca:



^q_f ^,,#



^{, q}_f ^F

Określamy relację



^q,x,y



^|_M



^{q,x,y}



( czytaj: M bezpośrednio przeprowadza



^{q ,,x y}



^w



^{q,x,y}



⁾

następująco:

Q q

q,  , a

 

 , B,B

 

 , x^, y^



^q,^ax,^yB



|_M



^q,^x,^yB



gdzie

q - bieżący stan q- nowy stan ax - słowo do wczytania x - reszta słowa yB - aktualny stos yB - nowy stos

Dla automatu ze stosem budujemy diagram stanów, w którym

oznacza



^{q ax yB}

 

^{q x yB}



M  

 , ,

| ,

,

a, B[B’]

q q_’

Określamy relację :



^{q x y}

 

^{q x y}



M   

^ , ,

| , ,

(czytaj: M przeprowadza



^{q ,,x y}



^w



^{q,x,y}



), następująco:



^{q x y}

 

^{q x y}



M   

^ , ,

| ,

, ,

jeżeli istnieją opisy chwilowe



^q_i^,x_i^{, y}_i



^, 0  ⁱ  ⁿ, n  0, takie że



^q₀^,x₀^{, y}₀

 

^{ q,x,y}





^q_n,^x_n,^y_n

 

 ^q,^x,^y





^q_i1^,x_i1^,y_i1



^|_M



^q_i^,x_i^,y_i



dla każdego 1 i  n.

Def. AZS M akceptuje łańcuch x^, jeżeli



q0^,x^,#



^|



q_f ^,^,#



M

 , dla pewnego q_f F.

Język akceptowany przez M (L

 

M ) jest to zbiór wszystkich łańcuchów akceptowanych przez M.

Fakt . Każdy język regularny jest akceptowany przez pewien AZS.

Dowód.

Każdy DAS można traktować jako AZS, który nie korzysta ze stosu, tzn.  

 

^# .

Funkcję przejścia określamy następująco:



^q,a,#

  



 

^{q,a ,#}

 

 

 

^{ }

 

 q, a,

 

^{ }

 q ,, a

^



^{ }



^{ }

 q, , 

PRZYKŁADY

Przykład I.

Pokażemy, że język



^{anbn: n 0}



, który nie jest regularny, jest akceptowany przez pewien AZS.

Określamy AZS następująco:

 

^a,b



 , ^{ }

 

^{a,# , Q }



^q₀^{, q}₁



^{, F Q}

Funkcja przejścia:

a q a

q₀, ,  ₀,

 , ,

, ₁

0 b a q

q 

 , ,

, ₁

1 b a q

q 

Obliczenie dla słowa aabb:



q₀,aabb,#



|



q₀,abb,#a



|



q₀,bb,#aa



|



q₁,b,#a



|



q₁,,#



. Zatem aabbL

 

M .

Przykład II.

^{L }



^{x: x}_a ^{ x}_b



Określamy AZS następująco:

 

^a,b



  



a,b,#



^{Q }



^q₀^,q₁^,q₂



^{F }

 

^q₀

Funkcja przejścia:

a q a

q₀, ,  ₁, q₂,b, q₂,b b

q b

q₀, ,  ₂, q₂,a,bq₂, a

q a

q₁, ,  ₁, q₁,,#q₀,#

 , ,

, ₁

1 b a q

q  q₂,,#q₀,#

 

^M

L aabb



^q₀^,aabb,#



^|



^q₁^,abb,#a



^|



^q₁^,bb,#aa



^|



^q₁^,b,#a



^|



q₁^,^,#



^|



q₀^,^,#



.

 

M L abba



^q₀^,abba,#



^|



^q₁^,bba,#a



^|



^q₁^,ba,#



^|



^q₀^,ba,#



^|



^q₂^,a,#b



|



q₂,,#



|



q₀,,#



.

 

^M

L abbb



^q₀^,abbb,#



^|



^q₁^,bbb,#a



^|



^q₁^,bb,#



^|



^q₀^,bb,#



^|



^q₂^,b,#b



^|



^q₂^,^,#bb



STOP.

Deterministyczny automat ze stosem DAZS

AZS

^M 



^, ^{,Q, q}₀^,^{, F}



jest deterministyczny, jeżeli

1) dla każdego qQ i B



q,,B



   



q,a,B



 



dla każdego a

2) dla każdego qQ , B i a 

 

 , zbiór 



q ,,a B



jest co najwyżej jednoelementowy.

UWAGA!

DAZS  AZS, ale DAZS  AZS

np. nie istnieje DAZS akceptujący język ^{L }



^{wwR :w}

 

^{a,b }



^.

Uogólniony automat ze stosem UAZS Uogólniony AZS (UAZS) dopuszcza przejścia postaci:

y q B

a

q, ,  , gdzie

q,qQ, a 

 

 , B 

 

 , y ^ .

Każde przejście q,a,B  q,y można zastąpić zwykłymi przejściami wprowadzając dodatkowe stany, np.

CD q

B a

q, ,  , zastępujemy przez

C q B

a

q, ,  ₁, D q q₁,,  ,

gdzie q₁ specjalny nowy stan.

Zatem, dla każdego UAZS M istnieje AZS M, taki że ^L

 

^M  ^L

 

^M .

Przykład



^{2 : 1}



 a b i

L ^{i i} ,  

 

a,b ,  

 

A,# AZS ^Q 



^q₀^,q₁^,q₂



^F 

 

^q₁

Funkcja przejścia:

A q a

q₀, ,  ₂, A q q₂,,  ₀,

 , ,

, ₁

0 b A q

q 

 , ,

, ₁

1 b A q

q 

UAZS



q₀, q₁



Q  F 

 

q₁ Funkcja przejścia:

AA q

a

q₀, ,  ₀,

 , ,

, ₁

0 b A q

q 

 , ,

, ₁

1 b A q

q 