Wykazać, że każdy
ze wzorów x

1. Udowodnić, że kula domknieta w przestrzeni unormowanej jest zbiorem wypukłym.

2. Wykazać, że w przestrzeni Rⁿ(_Cⁿ) zachodza nierówności:

x


₂
x₁
√ n


x

2,

x


_∞
x₂
√ n


x

∞,

x _∞
x₁
n x_∞ dla x∈Rⁿ(Cⁿ), czyli normy te sa równoważne.

3. Niech  ₁ i  ₂ bed
a dwiema normami w przestrzeni wektorowej X. Wykazać, że każdy
ze wzorów

x = x₁ +x₂,

x = ^x²₁ +x²₂,

x = max {x₁,x₂} ,

również określa norme w pzestrzeni X oraz, że normy te s
a równoważne.

4. Niech   bedzie norm
a w przestrzeni liniowej X, a x
0-ustalonym elementem z tej przestrzeni. Pokazać, że

x − y^∗ =





0, x = y

x − x0 + x0− y , x = y generuje metryke w przestrzeni X.

5. W przestrzeni R² zaznaczyć w układzie współrzędnych sferę jednostkową S(0, 1), czyli zbiór punktów opisany za pomocą zbioru {(x, y) ∈ ^R2 :||(x, y)||p = 1} dla p = 1, p = 2, p = ∞.

6. Wykazać, że || · || jest normą w R² i wyznaczyć domkniętą kulę jednostkową B(0, 1) = {(x, y) ∈^R2 :||(x, y)||
1}, jeśli

(i)||(x, y)|| = ^8(x− y)²+ (x + y)²; (ii) ||(x, y)|| = max |x|, |y|, |x − y|;

(iii) ||(x, y)|| =√

4x²+ 5y²+|y|

dla (x, y)∈R². 7. Wykazać, że wzór

||(x, y, z)|| = max^x²+ y²,|z|^

gdzie (x, y, z)∈R³ definiuje normę w _R³ i wyznaczyć kulę domknietą B(0, 1) w tej normie.

8. Wykazać, że w przestrzeni skończenie wymiarowej wszystkie normy są równoważne.

9. Niech p ∈ (0, 1) i d :R² → [0, +∞) będzie funkcją określoną następująco:

d(x, y) = (|x|^p+|y|^p)^p1 . Pokazać, że d nie jest normą w R².

10. Niech x = (ξ1, ξ₂, . . . ), gdzie ξ_n = ^−₁₁^{5 n} dla n = 1, 2, . . . . Sprawdzić, czy x ∈ l¹ i ob- liczyć jego normę.

11. Niech x = (ξ₁, ξ₂, . . . ), gdzie ξ_n = ^−₁₃^{7 n} dla n = 1, 2, . . . . Sprawdzić, czy x ∈ l² i ob- liczyć jego normę.

12. Niech x = (ξ₁, ξ₂, . . . ), gdzie ξ_n = ^−₁₇^{9 n} dla n = 1, 2, . . . . Sprawdzić, czy x ∈ l^∞ i obliczyć jego normę.

13. Pokazać, że ciąg x =^1,_ln2¹ ,_ln3¹ , . . . należy do przestrzeni c₀, a nie należy do przestrzeni l^p dla p 1.

14. Niech x_n = ^_n¹,¹_n, . . . ,_n¹, 0, 0, . . . , . Sprawdzić, czy ciąg (x_n)^∞_n=1 jest zbieżnyc w prze- strzeniach c₀, l^p dla p 1.

15. Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Półnormą w tej przestrzeni nazywamy każdą funkcję p : X →R spełniajacą warunki:

P1) p(x) 0,

P2) p(λx) =|λ|p(x), P3) p(x + y)
p(x) + p(y)

dla dowolnych wektorów x, y∈ X i λ ∈ K. Wykazać, że (i) jeśli p spełnia warunek P2), to p(Θ) = 0,

(ii) jeśli p spełnia warunki P2) i P3), to spełnia warunek P1), (iii) dla dowolnych x₁, x₂, . . . , x_n ∈ X

p(x₁ + x₂+· · · + xn)
p(x1) + p(x₂) +· · · + p(xn), (iv) dla dowolnych x, y∈ X

|p(x) − p(y)|
p(x − y).

16. Rozważmy przestrzeń Cⁿ([a, b]) funkcji zmiennej rzeczywistej t ∈ [a, b] ciagłych wraz ze
swoimi pochodnymi do rzedu n wł
acznie. Określamy działania w sposób naturalny oraz funkcje:

x = |x(a)| + |x^(a)| + . . . + |x⁽ⁿ⁻¹⁾(a)| + sup

atb|x⁽ⁿ⁾(t)|,

x = |x(b)| + |x^(b)| + . . . + |x⁽ⁿ⁻¹⁾(b)| + sup

atb|x⁽ⁿ⁾(t)|,

x = max

sup

atb|x(t)|, sup

atb|x^(t)|, . . . , sup

atb|x⁽ⁿ⁾(t)|

. (i) Wykazać, że funkcje   określaja normy.

(ii) Udowodnić, że ciag (x
k)^∞_k=1 zbiega do x w przestrzeni Cⁿ([a, b]) wtedy i tylko wtedy, gdy x_k(t)→ x(t), x^_k(t)→ x^(t), . . . , x⁽ⁿ⁾_k (t)→ x⁽ⁿ⁾(t) jednostajnie dla a
t
b.

17. Rozważmy przestrzeń C ([0, 1]) z norma supremum. Niech g(t) = 2 − t
². Znaleźć (nary- sować) domkniet
a kul
e ¯
B(g, 1/2) o środku g i promieniu 1/2. Co można powiedzieć o tej kuli, jeśli przestrzeć ta wyposażona jest w norme x
₁ =₀¹|x(t)| dt?

18. Rozważmy przestrzeń C ([a, b]) z normami f_∞ = max_atb|f(t)| i f₁ = _a^b|f(t)| dt.

Weźmy f_n ∈ C ([a, b]) , n = 1, 2, . . . określone f_n(t) = (t− a)ⁿ, t∈ [a, b] . Pokazać, że (i)f_n_∞ = (b− a)ⁿ, f_n₁ = ^(b−a)_n+1ⁿ;

(ii) nie istnieje stała M > 0 taka, że fn_∞
M fn₁;

(iii) dla funkcji g_n = (b− a)⁻ⁿf_n ciag (g
n)^∞_n=1 jest zbieżny do zera w normie  ₁, ale nie w normie _∞.

Wynika stad, że normy te nie s
a równoważe.

19. Niech f : [0, 4] → R będzie określona następująco: f (x) = 3x− 5. Sprawdzić, czy f ∈ L^p i obliczyć normę f dla p = 1, p = 2 i p =∞.

20. Niech f : [0, 1] → R będzie określona następująco: f (x) = e^x. Sprawdzić, czy f ∈ X i obliczyć normę f w X, jeśli

(i) X = C([0, 1]);

(ii) X = C^k([0, 1]) dla k = 1, 2, . . . ; (iii) X = L^p(0, 1) dla p∈ (1, +∞).

21. Sprawdzić, czy dla X = C²([a, b]), następujace funkcje są normami:

(i)||f||₁ = sup_t∈[a,b]|f(t)| + sup_t∈[a,b]|f^(t)| + sup_t∈[a,b]|f^(t)|, (ii) ||f||2 =|f(a)| + |f(b)| + sup_t∈[a,b]|f^(t)|.

Czy te normy są równoważne?

22. Niech B = {(x, y) ∈R² : x²+ y² < r²} . Niech dalej X = C¹(B) będzie podprzestrzenią

przestrzeni (B,R) funkcji, które mają ciągłą i ograniczoną pierwszą pochodną. Sprawdzić, czy następujące funkcje sa normami:

(i)||f||₁ = sup_(x,y)∈B|f(x, y)| + sup_(x,y)∈B|f_x^(x, y)| + sup_(x,y)∈B|f_y^(x, y)|, (ii) ||f||2 =|f(0, 0)| + sup_(x,y)∈B|f_x^(x, y)| + sup_(x,y)∈B|f_y^(x, y)|.

23. Niech X będzie przestrzenią wszystkich wielomianów określonych na [0, +∞), tzn. funk- cji f (x) = ⁿ_k=0a_kx^k.

(i) Zbadać, czy ||f||1 = ⁿ_k=0|ak| jest normą.

(ii) Zbadać, czy ||f||₂ = sup_x∈[0,∞)|f(x)|e^−x jest normą.

(iii) Czy powyższe normy są równoważne?

(iv) Pokazać, że X nie jest przestrzenią zupełną w żadnej z tych norm.

24. NiechX = C(R²) będzie przestrzenią funkcji ciągłych takich, że

||f|| = sup

(x,y)∈R²|f(x, y)|e^−(x2+y2) <∞.

Pokazać, żę dla wszystkich k i n naturalnych funkcja f (x, y) = xⁿy^k ∈ X i obliczyć normę tej funkcji.

25. Pokazać, że l¹ i l^∞ są zupełne.

26. Niech xn =

1

n,¹_n, . . . ,_n¹, 0, 0, . . . ,

. Sprawdzić, czy ciąg (x_n)^∞_n=1 jest zbieżnyc w prze- strzeniach c₀, l^p dla p 1.

27. Sprawdzić, czy ciągi funkcji fn(t) = tⁿ − tⁿ⁺¹ i g_n(t) = tⁿ − t²ⁿ są zbieżne w przestrzeni C([0, 1]).

28. Sprawdzić, że ciąg fn(t) = tⁿ nie jest zbieżny w przestrzeni C([0, 1]), ale jest zbieżny w L^p(0, 1) dla p∈ [0, 1).

29. Niech M, L > 0. W przestrzeni C([0, M]) funkcji ciągłych f : [0, M] →Rokreślamy

||f||_L= max

x∈[0,M]e^−Lx|f(x)|

dla f ∈ C([0, M]). Wykazać, że || · ||L jest normą w tej przestrzeni (zwaną normą Bieleckiego).

30. Przez H_α(X) oznaczamy przestrzeń liniową wszystkich funkcji f : X → R spełniających warunek

|f(x) − f(y)
L|x − y|^α

dla pewnej stałej L > 0. (tzw. warunek H¨oldera z wykładnikiem α , a dla α = 1 tzw. warunek Lipschitza ).

Wykazać, że

||f|| = sup

x∈X|f(x)| + sup

|f(x) − f(y)

|x − y|^α : x, y ∈ X, x = y

określa normę w H_α(X) dla f ∈ H_α(X) dla α∈R, α > 0.