AndrzejTorój wiczenia4Prognozowanie Ekonometria

(1)

Ekonometria

wiczenia 4 Prognozowanie Andrzej Torój

Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

(2)

Plan ¢wicze«

1 Prognoza punktowa i przedziaªowa

2 Ocena prognozy ex post

3 Stabilno±¢ i sezonowo±¢

Sezonowo±¢ zadanie Test Chowa

Andrzej Torój Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

(3)

Plan prezentacji

1 Prognoza punktowa i przedziaªowa

2 Ocena prognozy ex post

3 Stabilno±¢ i sezonowo±¢

(4)

Prognoza punktowa, bª¡d prognozy ex ante, przedziaª ufno±ci

Zadanie

Dodatkowo, dla wszystkich okresów prognozy wyznaczymy 90-, 95- i 99-procentowy przedziaª ufno±ci tej prognozy.

(5)

Prognoza punktowa

y _t = β ₀ + β ₁ x _1,t + β ₂ x _2,t +ε _t ˆ

y _t+ ₁ = β ₀ + β ₁ x _1,t+1 + β ₂ x _2,t+1

(6)

redni bª¡d prognozy ex ante

Prognoza na okres / dla jednostki τ, x τ wektor warto±ci zmiennych obja±niaj¡cych w tym okresie.

S _τ ^P = ˆ σ

q 1 + x ^T τ ( X ^T X) ⁻ ¹ x τ

redni wzgl¦dy bª¡d prognozy ex ante:

v _τ = ^S _y

^τ^P

τ

(7)

Prognoza przedziaªowa

P





 y _τ ^P −t _N−(k+ _1);α · S _τ ^P

| {z }

dolna granica prz.ufnosci

< y _τ < y _τ ^P +t _N−(k+ _1);α · S _τ ^P

| {z }

gorna granica prz.ufnosci





 = 1 − α

| {z }

poziom ufnosci

N liczba obserwacji w modelu prognostycznym k + 1 liczba oszacowanych parametrów τ okres prognozy, y

τ^P

prognoza punktowa

1 − α poziom ufno±ci (prawdopodobie«stwo obj¦cia przedziaªem zmiennej y

τ

) S

τ^P

±redni bª¡d prognozy ex ante

t

_N−(k+1);α

kwantyl rz¦du 1 −

^α₂

z rozkªadu t z N − (k + 1) stopniami swobody

(8)

Plan prezentacji

1 Prognoza punktowa i przedziaªowa

2 Ocena prognozy ex post

3 Stabilno±¢ i sezonowo±¢

(9)

Bª¦dy prognozy ex post

Zadanie

(10)

Ocena prognozy ex post kryteria (1)

Dla okresów τ ∈ {1, ..., T }, które ju» min¦ªy, dysponujemy zarówno prognoz¡ punktow¡ y

τ^P

, jak i realizacj¡ y

τ

.

Mean Error (ME) ME =

_T¹

T

P

τ =1

y

τ

− y

τ^P

Mean Absolute Error (MAE) MAE =

_T¹

T

P

τ =1

y

τ

− y

_τ^P

Root Mean Squared Error (RMSE) RMSE = s

1 T

T

P

τ =1

(y

τ

− y

τ^P

)

²

Mean Absolute Percentage Error (MAPE) MAPE =

_T¹

P

^T

τ =1

y_τ−y_τ^P y_τ

· 100 Root Mean Squared Percentage Error (RMSPE)

RMSPE = s

1 T

T

P

τ =1

_y

τ−y_τ^P y_τ

· 100

₂

(11)

Ocena prognozy ex post kryteria (1)

Dla okresów τ ∈ {1, ..., T }, które ju» min¦ªy, dysponujemy zarówno prognoz¡ punktow¡ y

τ^P

, jak i realizacj¡ y

τ

.

Mean Error (ME) ME =

_T¹

T

P

τ =1

y

τ

− y

τ^P

Mean Absolute Error (MAE) MAE =

_T¹

T

P

τ =1

y

τ

− y

_τ^P

Root Mean Squared Error (RMSE) RMSE = s

1 T

T

P

τ =1

(y

τ

− y

τ^P

)

²

Mean Absolute Percentage Error (MAPE) MAPE =

_T¹

P

^T

τ =1

y_τ−y_τ^P y_τ

· 100 Root Mean Squared Percentage Error (RMSPE)

RMSPE = s

1 T

T

P

τ =1

_y

τ−y_τ^P y_τ

· 100

₂

(12)

Ocena prognozy ex post kryteria (1)

Dla okresów τ ∈ {1, ..., T }, które ju» min¦ªy, dysponujemy zarówno prognoz¡ punktow¡ y

τ^P

, jak i realizacj¡ y

τ

.

Mean Error (ME) ME =

_T¹

T

P

τ =1

y

τ

− y

τ^P

Mean Absolute Error (MAE) MAE =

_T¹

T

P

τ =1

y

τ

− y

_τ^P

Root Mean Squared Error (RMSE) RMSE = s

1 T

T

P

τ =1

(y

τ

− y

τ^P

)

²

Mean Absolute Percentage Error (MAPE) MAPE =

_T¹

P

^T

τ =1

y_τ−y_τ^P y_τ

· 100 Root Mean Squared Percentage Error (RMSPE)

RMSPE = s

1 T

T

P

τ =1

_y

τ−y_τ^P y_τ

· 100

₂

(13)

Ocena prognozy ex post kryteria (2)

ME: najlepiej blisko zera (wtedy predykcja nieobci¡»ona bez systematycznych bª¦dów w gór¦ / w dóª).

Co to znaczy blisko? Mo»na porówna¢ ME i MAE lub wyznaczy¢ MPE (Mean Percentage Error wzór?).

MAE, RMSE, MAPE, RMSPE: zawsze dodatnie; im ni»ej, tym lepiej.

Interpretacja:

MAE, RMSE: o ile przeci¦tnie mylimy si¦, prognozuj¡c z modelu (w jednostkach pomiaru zmiennej)

MAPE, RMSPE: o ile procent przeci¦tnie mylimy si¦,

prognozuj¡c z modelu (nie zawsze sensowna miara kiedy

nie?)

(14)

Bª¦dy prognozy (ex ante i ex post) w Gretlu

Tylko ex ante:

W gªównym oknie: Dane Dodaj obserwacje... (dodajemy w horyzoncie prognozy).

Powy»szy krok pomijamy, je»eli w naszym zbiorze danych mamy ju» te obserwacje, ale nie zostaªy one u»yte do oszacowania modelu (bo byªy puste lub oszacowali±my model na podpróbie, wybieraj¡c j¡ wcze±niej).

Nast¦pnie w oknie modelu: Analiza Prognoza...

Ex ante i ex post:

W zbiorze danych musz¡ by¢ informacje nt. zmiennej obja±niaj¡cej i zmiennych obja±nianych poza zakresem próby.

W praktyce oznacza to, »e przed estymacj¡ modelu zaw¦»amy prób¦ poprzez polecenie w gªównym oknie: Próba Zakres próby, a pó¹niej jak wy»ej (w oknie modelu Analiza Prognoza)

(15)

Plan prezentacji

1 Prognoza punktowa i przedziaªowa

2 Ocena prognozy ex post

3 Stabilno±¢ i sezonowo±¢

(16)

Sezonowo±¢ zadanie

Zadanie

Dodatkowo: przeprowad¹ test Chowa w dwóch przypadkach: przeprowadzenia periodyzacji (i pracy na podpróbie) oraz jej braku.

(17)

Test Chowa

podzielmy prób¦ na 2 podpróby A i B

hipoteza zerowa: w podpróbie A i B parametry s¡ równe

hipoteza alternatywna: dla obu podprób parametry modelu ró»ni¡

si¦

Test Chowa

H ₀ : β _A = β _B , tzn. parametry s¡ równe w obu podpróbach (A i B) H ₁ : β _A 6= β _B , tzn. parametry s¡ ró»ne w obu podpróbach

Statystyka testowa: F = (RRSS−URSS)/(k+ 1)

URSS/[N− 2(k+1)] ma rozkªad F [k + 1, N − 2 (k + 1)], gdzie:

k+1 liczba parametrów w modelu

RRSS suma kwadratów reszt w modelu

URSS suma kwadratów (wszystkich) reszt, gdy parametry s¡

oszacowane osobno w podpróbach

(18)

Test Chowa

podzielmy prób¦ na 2 podpróby A i B

hipoteza zerowa: w podpróbie A i B parametry s¡ równe

hipoteza alternatywna: dla obu podprób parametry modelu ró»ni¡

si¦

Test Chowa

H ₀ : β _A = β _B , tzn. parametry s¡ równe w obu podpróbach (A i B) H ₁ : β _A 6= β _B , tzn. parametry s¡ ró»ne w obu podpróbach

Statystyka testowa: F = (RRSS−URSS)/(k+ 1)

URSS/[N− 2(k+1)] ma rozkªad F [k + 1, N − 2 (k + 1)], gdzie:

k+1 liczba parametrów w modelu

RRSS suma kwadratów reszt w modelu

URSS suma kwadratów (wszystkich) reszt, gdy parametry s¡

oszacowane osobno w podpróbach

(19)

Test Chowa

podzielmy prób¦ na 2 podpróby A i B

hipoteza zerowa: w podpróbie A i B parametry s¡ równe

hipoteza alternatywna: dla obu podprób parametry modelu ró»ni¡

si¦

Test Chowa

H ₀ : β _A = β _B , tzn. parametry s¡ równe w obu podpróbach (A i B) H ₁ : β _A 6= β _B , tzn. parametry s¡ ró»ne w obu podpróbach

Statystyka testowa: F = (RRSS−URSS)/(k+ 1)

URSS/[N− 2(k+1)] ma rozkªad F [k + 1, N − 2 (k + 1)], gdzie:

k+1 liczba parametrów w modelu

RRSS suma kwadratów reszt w modelu

URSS suma kwadratów (wszystkich) reszt, gdy parametry s¡

oszacowane osobno w podpróbach

(20)

Test Chowa

podzielmy prób¦ na 2 podpróby A i B

hipoteza zerowa: w podpróbie A i B parametry s¡ równe

hipoteza alternatywna: dla obu podprób parametry modelu ró»ni¡

si¦

Test Chowa

H

₀

: β

_A

= β

_B

, tzn. parametry s¡ równe w obu podpróbach (A i B) H

₁

: β

_A

6= β

_B

, tzn. parametry s¡ ró»ne w obu podpróbach

Statystyka testowa: F =

(RRSS−URSS)/(k+1)

URSS/[N−2(k+1)]

ma rozkªad F [k + 1, N − 2 (k + 1)], gdzie:

k+1 liczba parametrów w modelu

RRSS suma kwadratów reszt w modelu

URSS suma kwadratów (wszystkich) reszt, gdy parametry s¡

oszacowane osobno w podpróbach

(21)

Test Chowa

Gretl

Test Chowa:

W oknie modelu: Testy Test zmian strukturalnych Chowa Wybieramy obserwacj¦, która rozdzieli prób¦ na dwie podpróby: A i B

Generowanie nowych zmiennych: trendu i sezonowych zmiennych zerojedynkowych

W gªównym oknie: Dodawanie zmiennych time: zmienna czasowa t

...lub Dodawanie zmiennych periodyczne zmienne 0-1 Dodawanie zmiennej w postaci zlogarytmowanej

Nale»y zaznaczy¢ zmienn¡, a potem...

Dodawanie zmiennych Logarytmy dla wybranych zmiennych

(22)

Test Chowa

Zadanie E3

(23)

Test Chowa

AndrzejTorój wiczenia4Prognozowanie Ekonometria

Ekonometria

wiczenia 4  Prognozowanie Andrzej Torój

Instytut Ekonometrii  Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Plan ¢wicze«

1 Prognoza punktowa i przedziaªowa

2 Ocena prognozy ex post

3 Stabilno±¢ i sezonowo±¢

Sezonowo±¢  zadanie Test Chowa

Plan prezentacji

1 Prognoza punktowa i przedziaªowa

2 Ocena prognozy ex post

3 Stabilno±¢ i sezonowo±¢

Zadanie

Dodatkowo, dla wszystkich okresów prognozy wyznaczymy 90-, 95- i 99-procentowy przedziaª ufno±ci tej prognozy.

Prognoza punktowa

y t = β 0 + β 1 x 1,t + β 2 x 2,t +ε t ˆ

y t+ 1 = β 0 + β 1 x 1,t+1 + β 2 x 2,t+1

redni bª¡d prognozy ex ante

Prognoza na okres / dla jednostki τ, x τ  wektor warto±ci zmiennych obja±niaj¡cych w tym okresie.

S τ P = ˆ σ

q 1 + x T τ ( X T X) − 1 x τ

redni wzgl¦dy bª¡d prognozy ex ante:

v τ = S y

Prognoza przedziaªowa

P





 y τ P −t N−(k+ 1);α · S τ P

| {z }

dolna granica prz.ufnosci

< y τ < y τ P +t N−(k+ 1);α · S τ P

| {z }

gorna granica prz.ufnosci





 = 1 − α

| {z }

poziom ufnosci

N  liczba obserwacji w modelu prognostycznym k + 1  liczba oszacowanych parametrów τ  okres prognozy, y

 prognoza punktowa

1 − α  poziom ufno±ci (prawdopodobie«stwo obj¦cia przedziaªem zmiennej y

) S

 ±redni bª¡d prognozy ex ante

t

 kwantyl rz¦du 1 −

z rozkªadu t z N − (k + 1) stopniami swobody

Plan prezentacji

1 Prognoza punktowa i przedziaªowa

2 Ocena prognozy ex post

3 Stabilno±¢ i sezonowo±¢

Zadanie

Ocena prognozy ex post  kryteria (1)

Dla okresów τ ∈ {1, ..., T }, które ju» min¦ªy, dysponujemy zarówno prognoz¡ punktow¡ y

, jak i realizacj¡ y

.

Mean Error (ME) ME =

P

y

− y

Mean Absolute Error (MAE) MAE =

P

y

− y

Root Mean Squared Error (RMSE) RMSE = s

P

(y

− y

)

Mean Absolute Percentage Error (MAPE) MAPE =

P

· 100 Root Mean Squared Percentage Error (RMSPE)

RMSPE = s

P



· 100 

Ocena prognozy ex post  kryteria (1)

Dla okresów τ ∈ {1, ..., T }, które ju» min¦ªy, dysponujemy zarówno prognoz¡ punktow¡ y

, jak i realizacj¡ y

.

AndrzejTorój wiczenia4Prognozowanie Ekonometria

wiczenia 4 Prognozowanie Andrzej Torój

Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Sezonowo±¢ zadanie Test Chowa

y _t = β ₀ + β ₁ x _1,t + β ₂ x _2,t +ε _t ˆ

y _t+ ₁ = β ₀ + β ₁ x _1,t+1 + β ₂ x _2,t+1

redni bª¡d prognozy ex ante

Prognoza na okres / dla jednostki τ, x τ wektor warto±ci zmiennych obja±niaj¡cych w tym okresie.

S _τ ^P = ˆ σ

q 1 + x ^T τ ( X ^T X) ⁻ ¹ x τ

redni wzgl¦dy bª¡d prognozy ex ante:

v _τ = ^S _y

 y _τ ^P −t _N−(k+ _1);α · S _τ ^P

< y _τ < y _τ ^P +t _N−(k+ _1);α · S _τ ^P

N liczba obserwacji w modelu prognostycznym k + 1 liczba oszacowanych parametrów τ okres prognozy, y

prognoza punktowa

1 − α poziom ufno±ci (prawdopodobie«stwo obj¦cia przedziaªem zmiennej y

±redni bª¡d prognozy ex ante

kwantyl rz¦du 1 −

Ocena prognozy ex post kryteria (1)

· 100

Ocena prognozy ex post kryteria (1)

· 100

Ocena prognozy ex post kryteria (1)

· 100

Ocena prognozy ex post kryteria (2)

ME: najlepiej blisko zera (wtedy predykcja nieobci¡»ona bez systematycznych bª¦dów w gór¦ / w dóª).

Co to znaczy blisko? Mo»na porówna¢ ME i MAE lub wyznaczy¢ MPE (Mean Percentage Error wzór?).

prognozuj¡c z modelu (nie zawsze sensowna miara kiedy

W gªównym oknie: Dane Dodaj obserwacje... (dodajemy w horyzoncie prognozy).

Nast¦pnie w oknie modelu: Analiza Prognoza...

W praktyce oznacza to, »e przed estymacj¡ modelu zaw¦»amy prób¦ poprzez polecenie w gªównym oknie: Próba Zakres próby, a pó¹niej jak wy»ej (w oknie modelu Analiza Prognoza)